Устойчивость пластинок

Устойчивость пластинок Рассмотрим тонкую пластину, поверхностных и контурных усилий: находящуюся под действием Допущения: 1. До нагружения пластина идеально плоская и в докритическом состоянии равнодействующие всех внешних нагрузок и реакций опор действуют строго в срединной плоскости пластины, т.е. всегда возможно плоское состояние равновесия пластины, при котором w(x,y)=0. 2. Докритическое напряженное состояние описывается соотношениями линейной теории упругости и изменением размеров пластины до потери устойчивости пренебрегаем, т.е. в начальном состоянии деформации в срединной плоскости связаны с производными начальных перемещений линейными зависимостями . Уравнения равновесия в начальном неискривленном состоянии: Граничные условия в усилиях: Геометрические граничные условия: 3. Все действующие на пластину внешние нагрузки “мертвые”, т.е. они не изменяются ни по величине, ни по направлению при деформациях платины. 4. Изгиб платины описывается с помощью обычных гипотез линейной теории изгиба тонких жестких пластин, т.е. гипотезы о неискривляемости нормали и гипотезы о малости нормальных напряжений в плоскостях, параллельных срединной плоскости Если внешние поверхностные нагрузки не зависят от координат, то можно ввести функцию начальных усилий: В результате определение НДС пластины сведется к бигармоническому уравнению Будем далее считать, что где функции, соответствующие Р=1. - Для определения точек бифуркации начального неискривленного состояния пластины рассмотрим искривленное изгибное состояние равновесия пластины, бесконечно близкое к исходному. Такое состояние опишем функцией прогиба: где α – бмв, а w1 – конечная функция координат. Углы поворота нормали: Кривизны деформированной срединной плоскости: При изгибе в пластине возникают: Условия равновесия элемента пластины состоянии (моменты относительно граней): Если действует поверхностная нагрузка равновесия (проекции на ось z) примет вид: В результате получаем уравнение в недеформированном , то уравнение изгиба пластины: Приведенных линейных зависимостей недостаточно для исследования поведения пластины в закритической области при конечных поперечных прогибах, а также для исследования устойчивости пластин энергетическим методом. Т.о. необходимо использовать кроме линейных, также и геометрически нелинейные соотношения теории гибких пластин. Выведем их (тангенциальные составляющие перемещений пока не учитываем, рассмотрим деформации, связанные лишь с поперечным прогибом w): обозначим - соответственно а и b. Проекции векторов а и b Раскладывая в ряд и ограничившись квадратичными членами, получим: Для сдвиговой деформации получим: Деформации срединной плоскости, вызываемые всеми перемещениями, примут вид (средний изгиб): Вывод основного уравнения устойчивости пластин в декартовой системе координат Рассмотрим элемент пластины в состоянии, отклоненном от начального. Поперечные прогибы, переводящие пластину из начального состояния в новое отклоненное состояние равновесия, считаем бесконечно малыми: где α – бмв. Во всех уравнениях будем сохранять только слагаемые первого порядка малости относительно параметра α. По 4-му допущению: Сумма моментов относительно оси х1 даст: Остальные усилия дают моменты высших порядков малости, например, от усилия Тх: Аналогично для оси у1. Т.о. следующие выражения остаются в силе Т.о. поперечные силы и изгибающие моменты имеют первый порядок малости относительно параметра α. Сумма проекций всех сил на оси х и у дает (величины более высокого порядка малости сразу исключаем): Величины в квадратных скобках исключаем из рассмотрения, т.к. они имеют второй порядок малости, т.к. они содержат произведения величин первого порядка малости. Т.о. следующие выражения остаются в силе Значит остаются равными начальным усилиям с точностью до величин второго порядка малости. Сумма проекций всех сил на ось z дает (при этом учитываются повороты граней рассматриваемого элемента): Результирующая усилий Tx и : Результирующая сдвиговых усилий Аналогично получим результирующие от Ту на двух других гранях (С1А1 и С1D1): Собрав все слагаемые и добавив к ним результирующие от поперечных сил, получим: Выразим поперечные силы через внутренние изгибающие моменты, получим: Для пластины постоянной толщины получим: (*) Для пластины на винклеровском упругом основании (с коэффициентом жесткости (постели)) Если пластина нагружена только контурными усилиями, то получим: Если поверхностные нагрузки раны нулю, то: , т.к. выражения в скобках удовлетворяются тождественно. Основное уравнение устойчивости пластин (*) по форме совпадает с уравнением изгиба пластинки, т.к. его вывод аналогичен выводу уравнения поперечного изгиба пластинки, но роль внешней нормальной нагрузки играют проекции внутренних начальных усилий на ось z, появляющиеся в результате учета поворотов граней пластины. Это позволяет трактовать как фиктивную поперечную нагрузку. Прием фиктивной нагрузки: предположим, что нам известно диф. уравнение поперечного изгиба стержня, пластинки, оболочки, полученное в обычной линейной постановке, например, Тогда для получения линеаризованного уравнения задачи устойчивости, рассмотрев деформированное состояние элемента, достаточно найти фиктивную нагрузку и заменить поперечную нагрузку фиктивной. Граничные условия (на краю х=0): А) защемление Б) Шарнирное опирание (свободное опирание) Если выполнено первое из этих условий, то заведомо будет выполнено и В) свободный край Г) свободный или упруго опертый край с контурными нагрузками Первое уравнение М=0. Второе уравнение получим ,рассмотрев уравнение равновесия в проекциях на ось z дает: Т.к. при х=а то Д) подкрепление упругим стержнем (ребром) Первое уравнение М=0. Второе уравнение (из условия равенства прогиба стержня нормальным перемещениям края пластины) Если стержень нагружен в продольном направлении Основное уравнение устойчивости в цилиндрической системе координат Внешний вид сохранится В случае действия лишь контурных усилий фиктивная нагрузка примет вид: Бигармоническое уравнение сохранит также свой внешний вид но усилия через функцию напряжений представимы Граничные условия: А) Жесткая заделка: Б) Шарнирное опирание (свободное опирание) Решение конкретных задач Устойчивость удлиненной поперечном направлении пластины, равномерно сжатой в Граничные условия: на длинных кромках произвольны, но неизменные. Размеры пластины в продольном направлении настолько велики, что условия закрепления коротких сторон не играют никакой роли. Решение этой задачи Эти значения тождественно удовлетворяют граничные условия и уравнения равновесия. , В результате основное уравнение примет вид: Предположим, что изгиб происходит по цилиндрической поверхности w=w(x), тогда получим: С точность до коэффициентов оно тождественно уравнению для прямого стержня постоянной изгибной жесткости ЕJ, сжатого продольной силой Р Совпадение вполне ожидаемо, т.к. задача об устойчивости пластинки в данном случае эквивалентна задаче об устойчивости полоски единичной ширины с изгибной жесткостью ЕJ=1D, сжатой продольной силой P=1q. Т.о. для свободного опирания краев можем записать При этом форма изогнутой поверхности пластины при потере устойчивости описывается зависимостью При других граничных условиях получим: В задачах устойчивости пластин результаты принято представлять через критические напряжения: Т.о. видно, что для пластинок потеря устойчивости может происходить при низких напряжениях (при малых значениях ) Устойчивость шарнирно опертой пластинки равномерно сжатой в одном направлении Считаем, что вдоль короткой стороны образуется n полуволн, а l – длина полуволны по направлению х. Минимальное значение критического напряжения получим при n=1: Стороны пластинки сравнимы между собой Полагая n=1 и минимизируя напряжение: Результаты совпали с прошлым случаем, т.к. мы отсекаем от удлиненной пластинки столько квадратов, сколько раз ширина пластинки укладывается вдоль длины. Все вышеперечисленное абсолютно точно для целых чисел m. Если m – нецелое число, то по-прежнему нужно положить n=1, а из двух ближайших значений m выбрать такое, какое выражению придает минимальное значение. Переход от полуволн m к m+1 будет иметь место при При Обозначим равновозможно образование одной и двух полуволн. , тогда Если b велик по сравнению с продольным размером a, то нужно принять m=n=1. В результате получим При большом значении b/a можно принять Защемленные продольные края : Обозначим Для пластинки со свободными краями мы видели, что Ясно, что для закрепленных краев должно быть Значит корни к3,4 – являются число мнимыми. Полагая получим Граничные условия: Учитывая Получаем трансцендентное уравнение на определение критического напряжения. Упрощение: учесть симметрию, относительно оси х’: Граничные условия: Обозначим: Если а>>b, то изогнутая форма поверхности состоит из вмятин, длина которых l=a/m составляет приблизительно 2/3 ширины b.