Устойчивость деформируемых стержней.

Устойчивость деформируемых стержней. Точное решение. Задача Эйлера При рассмотрении задачи об устойчивости стержня обычно принимают следующие допущения: 1. Ось ненагруженного стержня идеально прямая и все внешние силы действуют точно вдоль оси. 2. Изменения геометрических размеров в процессе нагружения отсутствуют. 3. Изгиб рассматривается с помощью линейной теории стержней. Рассмотрим простейший случай. Стержень шарнирно оперт по концам и загружен сжимающей продольной силой. Будем решать задачу статическим методом, поэтому предположим, что при достижении сжимающей силой некоторой предельной величины стержень теряет устойчивость и изгибается. Рассмотрим новое состояние равновесия. Изгибающий момент в сечении стержня Из теории стержней известно, что изгибающий момент в сечении связан с кривизной упругой оси стержня. Приравнивая моменты из двух равенств, получим: , где . Имеем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристический полином . Переходя от комплексных корней к действительным (по формуле Эйлера) получим общее решение в виде: . Для определения констант запишем краевые условия: ; . Последнее равенство возможно в двух случаях: либо A=0, но тогда перемещения стержня равны 0 и имеем исходную форму равновесия; либо . Тогда: и Имеем несколько значений силы P, которые обеспечивают равновесие, каждое значение соответствует своей форме потери устойчивости, характеризуемой числом полуволн n. Выбираем низшую форму с минимальным значением силы Другие варианты закрепления стержней. При различных вариантах закрепления стержня краевые условия могут относиться к прогибу, углу поворота, моменту или поперечной силе. Эти величины связаны с функцией прогиба и ее производными до 3-ей включительно. Однако рассмотренное уравнение - дифференциальное уравнение второго порядка, и его краевые условия могут относиться только к прогибу и углу поворота. Для большей свободы в выборе краевых условий необходимо повысить порядок дифференциального уравнения. Это можно сделать простым дифференцированием, а можно вспомнить, что в курсе “Сопротивления материалов” уравнение изгиба записывалось в форме , и попытаться ввести условную поперечную нагрузку. Для этого рассмотрим отрезок сжатого стержня (см. рис. 18). На концах отрезка действуют сжимающие силы P, а концы стержня повернуты на углы θ и θ́. Найдем равнодействующую сил P на ось Y и заменим ее распределенной нагрузкой. Тогда: Дифференциальное уравнение упругой оси в этом случае примет вид: Для решения уравнения составим характеристический полином и найдем его корни. Решение примет вид: Значения констант A, B, C, D должны быть определены из граничных условий. Рассмотрим несколько важных случаев. Стержень, шарнирно опертый по концам.(рис.19) Решение дифференциального уравнения имеет вид: При шарнирных опорах на концах стержня прогиб равен 0, изгибающий момент отсутствует. Можно записать: Из краевых условий при x=0 имеем: На другом краю краевые условия сведутся к системе двух уравнений. Ненулевое решение возможно, если . Значение силы в положении равновесия , выбирая минимальное значение, получим для n=1 . В общем случае стержень может терять устойчивость в двух плоскостях, поэтому нужно брать минимальный момент инерции. Свободно стоящий стержень (рис.20). Решение дифференциального уравнения то же, но краевые условия нужно записывать для деформированного состояния. В этом случае на нижнем конце стержня прогиб и угол поворота равны нулю, а на свободном конце стержня изгибающий момент отсутствует, а поперечная сила равна проекции внешней силы на нормаль к деформированной оси стержня. Записывая краевые условия, получим: Решая систему уравнений, найдем: . Исключая тривиальное решение B=0, найдем: Стержень, защемленный с двух концов Общий подход к решению тот же, краевые условия имеют вид: Исключая из уравнений C и D , получим: Нетривиальное решение возможно, если определитель системы равен 0. Возможно два решения. Первое решение - Второе решение - Выбирая из двух решений меньшее значение, получим: Стержень, с одним защемленным концом и шарнирной опорой на другом. Краевые условия для такого стержня имеют вид: Исключаем две константы и записываем выражение для определителя. Разрешающее уравнение имеет вид: Аналитического решения для такого уравнения не существует. Очевидно, что значение k=0 является решением уравнения, но это значение нас не устраивает, поскольку соответствует исходной прямолинейной форме равновесия с нулевой нагрузкой. Графики левой и правой частей уравнения приведены на рис 22. Наименьшее значение корня Решения для стержней с различными краевыми условия могут быть сведены к единой формуле: - длина стержня - приведенная длина стержня - коэффициент приведения - показывает, что стержень длиной с данными условиями закрепления в плане потери устойчивости эквивалентен шарнирно опертому стержню длиной . Можно от критических сил перейти к критическим напряжениям. F-площадь сечения стержня Для некоторых приложений полезно ввести дополнительный параметр. Введем  радиус инерции сечения стержня  гибкость стержня. Формулы Эйлера применимы до тех пор, пока напряжения не превышают предела пропорциональности. . Отсюда можно получить предельные значения гибкости , при которых формулы Эйлера справедливы. Для стали Ст3 =200 Мпа, , для алюминиевых сплавов . Работа стержня в закритической области. Предположим, что нагрузка, действующая на какой-либо стержневой элемент конструкции, превысила критическую силу. В большинстве реальных случаев это приводит к появлению пластических деформаций, и задача перестает быть упругой, в исходное состояние стержень после снятия нагрузки не вернется. Исследования в этом случае должны вестись совсем другими методами. Однако для очень гибких стержней потеря устойчивости не обязательно приводит к высоким напряжениям, такую задачу можно решать, но решать как геометрически нелинейную. Рассмотрим стержень, защемленный одним концом и загруженный силой на свободном конце (рис. 23) Из теории стержней известно, что , но кривизну стержня для больших прогибов необходимо вычислять точно. Тогда: Из уравнений статики . Введем новую переменную , для нее получим дифференциальное уравнение: , с краевыми условиями . Это уравнение можно один раз проинтегрировать и найти одну константу из краевых условий. . Из этого равенства можно выразить производную Интегрировать это выражение можно, но трудно найти пределы интегрирования, поскольку при больших прогибах положение стержня относительно осей координат не определено, но длина стержня при изгибе не меняется, а изменением длины при сжатии мы пренебрегаем. Перейдем к координатам по длине стержня. Введем переменные φ и θ , так, чтобы Тогда интеграл в последнем равенстве примет вид: и его проинтегрировать: Это полный эллиптический интеграл первого рода, его можно вычислить, для него есть готовые таблицы. Это позволяет вычислить прогиб и соответствующую нагрузку, которые можно изобразить следующим графиком (рис. 24) По графику можно установить, что наибольшее отклонение конца стержня от вертикали равно 0.806 l при этом сила превышает критическую в 1,75 раза. Начальный участок кривой можно аппроксимировать параболой (для этого можно использовать приближенное значение интеграла, полученной суммой первых слагаемых степенного ряда). Это упрощает вычисления при малых отклонениях, и можно легко вычислить некоторые промежуточные значения. Так, если нагрузка превышает критическую силу на 1%, то отклонение конца стержня составляет 0,18 l. Влияние несовершенств стержня на потерю устойчивости. Учет начальной погиби. Рассмотрим стержень, имеющий изначально неидеальную форму, загруженный продольной силой. При составлении дифференциального уравнения изгиба необходимо учесть, что момент создается силой на полном плече v1(x), а изгибающий момент в сечении стержня (внутренний силовой фактор) определяется деформациями, вызванными только дополнительными перемещениями v(x). Тогда: где Обозначим, как обычно, и получим: Для простоты примем, что стержень свободно оперт по концам и его начальная форма описывается уравнением Тогда общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид дополнительный прогиб под нагрузкой Можно построить серю графиков f(P) для различных значений f0 (рис. 26) На этих графиках f1