Трансформирование плоских систем координат

ВЫСШАЯ ГЕОДЕЗИЯ И ОСНОВЫ КООРДИНАТНО-ВРЕМЕННЫХ СИСТЕМ РАЗДЕЛ: СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ВЫСОТ В ГЕОДЕЗИИ Половнев О.В. МИИГАиК Лекция № 2 Трансформирование плоских систем координат Трансформирование плоских систем координат Определение [ГОСТ Р 52572-2006]: «3.40 трансформирование координат: Операция с переходе от одной координатной системы отсчета к других датах. Примечание - При трансформировании координат определены опытным путем с использованием набора отсчета. [ГОСТ Р 52438-2005, статья 45]» XСК2  координатами пространственных объектов при координатной системе отсчета, основанной на используют параметры, которые могут быть пунктов, общих для обеих координатных систем xСК 2 = xСК 1 cos  − y СК 1 sin  y СК 2 = xСК 1 sin  + yСК 1 cos  XСК1 xQsin XQ СК1 yQsin x cos = y    СК 2  sin  Q XQ СК2 yQcos xQcos R лев . OСК1 YQ СК2 OСК2 YQ СК1 YСК2 cos =  sin  − sin    x  cos   y  СК 1 − sin   ;  cos   x  x = R  лев .    y   СК 2  y  СК 1 YСК1 3 Рис. Схема преобразования координат пункта из системы координат СК1 в систему координат СК2 Трансформирование плоских систем координат  XСК1 XСК2 Xск1sin XQ СК2 YСК1sin XQ СК1 YСК1cos Q xСК 2 = xСК 1 cos + yСК 1 sin  yСК 2 = − xСК 1 sin  + yСК 1 cos XСК1cos OСК1 YQ СК1 OСК2 YQ СК2 YСК1 YСК2 Рис. Вращение по часовой стрелке 4 Трансформирование плоских систем координат XСК1 X’СК1 XСК2 α XСК2 α XСК1 α Aск1 Aск2 2 (y1-yo)sin (y1-yo)sin Sт1-т2 x1 1 y1-yo 1 (x1-xo)cos (x1-xo)cos (x1-xo)sin xo OСК2 xo Y’СК1 (y1-yo)cos OСК2 (y1-yo)cos YСК2 (x1-xo)sin OСК1 yо y1 OСК1 yo YСК2 YСК1 YСК1 Рис. Схема преобразования координат пункта из системы координат СК1 в систему координат СК2 x  cos  ( ) = 1 +  m y  − sin     СК 2   cos   x  ( ) = 1 +  m  y  − sin    СК 2  sin    x − x o  cos    y − yo  СК1 sin    x   x o cos  + yo sin     −      cos    y  СК 1 − x o sin  + yo cos   СК 1  5 Трансформирование плоских систем координат XСК1 XСК2 α y1cos y1sin x1 1 -x1sin -xocos-yosin 1’ x1cos xosin- yocos xo yosin OСК2 xocos OСК1 yо YСК2 y1 YСК1 Рис. Параметры преобразования прямоугольной системы координат Представленное решение вводит понятие кажущегося местоположения точки 1 системы СК2 в системе СК1. Реально полученные координаты относятся к системе координат СК2.  x  cos  ( ) = 1 +  m  y − sin    СК 2   sin    x  - x o cos  − y o sin      + (1 + m )       cos    y  СК 1   x o sin  − y o cos   СК 1  6 Трансформирование плоских систем координат XСК2  XСК1 1 x1 (y1 -yo)sin (y1-yo)cos x1 (x1- xo))sin (x1- xo))cos YСК2 y1 xo OСК2 OСК1 yo y1 YСК1 Рис. Параметры преобразования, разворот против часовой стрелки  x cos  ( ) = 1 + m   y   СК 2  sin  x cos  ( ) = 1 +  m y   sin     СК 2 − sin    x − x o  cos    y − yo  СК 1 − sin    x  - x o cos  + yo sin   ( ) + 1 +  m - x sin  − y cos   cos    y  СК1 o  o  СК1 7 Трансформирование плоских систем координат XСК2 XСК1 X’СК1 α y1cos x1sin y1sin (y1-yo)sin -x1sin+y1cos - yo (x1-xo)sin 1 x1cos+y1sin - xo x1cos x Оск2 OСК2 YСК2 OСК1 YСК1 y Оск2 Y’СК1 Рис. Смещение начала системы координат СК1 отсчитывается в системе координат СК2  x  cos  ( ) = 1 +  m  y − sin    СК 2  Координаты начала системы координат СК1 в системе координат СК2 выразим следующей формулой: sin    x   x Оск1  − cos    y  СК 1  yОск 1  СК 2  xОск 1   x Оск1 cos  + y Оск1 sin   ( ) = 1 + m  y    Оск 1  СК 2 − x Оск1 sin  + y Оск1 cos   8 Трансформирование плоских систем координат  z  z O  x O  y Рис. Правая тройка векторов  y  x Рис. Левая тройка векторов 9 Трансформирование плоских систем координат XСК1  xQ1sin YСК2 XQ СК1 yQ1sin Q1 YQ СК2 yQ1cos xQ1cos xo OСК1 YQ СК1 OСК2 yo YСК1 XQ СК2 XСК2 Рис. Схема преобразования координат пункта из «левой» системы векторов СК1 в «правую» систему векторов СК2 x   y cos  =  0  + (1 + m )  x   СК 2  y0   sin  cos  Rлев −пр    sin  − sin    sin  = cos   cos   sin  Rлев −пр =  cos  cos    cos   − sin   − sin  cos   − sin   Rлев −пр  sin  = cos  sin   cos   − sin    x  cos    y  СК 1 cos   cos   − sin    sin  −1 − sin    sin  =  cos   cos  cos   cos   − sin    sin  − sin   cos   0 1  Rпр − лев = Rлев −пр = R =   1 0 Матрица не перестановочная, ее следует применять слева от преобразуемой матрицы Для случая трехмерных систем координат преобразования осуществляется для трех осей 0 1 0  R = 1 0 0 0 0 1 10 Т Варианты трансформирования плоских систем координат Наименования основных процедур преобразований плоских систем координат: Преобразование без изменений – первая и вторая система координат полностью совпадают; Преобразование подобия, конформное, Гельмерта, изогональное, Эвклидово – вторая система отличается от первой за счет применения масштабного коэффициентов Преобразование ортогональное – различие в системах координат достигается использованием масштабных коэффициентов по каждой оси; Преобразование аффинное – все параметры преобразования неизвестны. При конформном трансформировании местной уравненной сети в государственную геодезическую сеть могут деформироваться только длины линий в зависимости от масштаба проектирования m. Углы в местной сети не деформируются, изменяется только ее общее ориентирование в зависимости от угла .  x0   xСК 1 cos  − yСК 1 sin    x ( ) = + 1 +  m x      y   СК 2  y0   xСК 1 sin  + yСК 1 cos   Различие в масштабных коэффициентах по осям координат дает пятый элемент преобразования из системы СК1 в систему СК2  x0  cos   x =  y  +  sin   y   СК 2  0   − sin   1 + mx 0   x  1 + m y   y  СК 1 cos   0 11 Варианты трансформирования плоских систем координат Аффинное – преобразование с не ортогональным углом между осями второй системы координат с различными масштабными коэффициентами по каждой оси.  XСК1 Aск2  xQ1sin XСК2 Aск1 XQ1 СК1 yQ1sin Q2 SQ1-Q2 Q1 XQ1 СК2 yQ1cos xQ1cos xo OСК1 YQ1 СК1 OСК2 yo  YQ1 СК2 YСК1 YСК2 Рис. Схема аффинного преобразования координат пункта из системы координат СК1 в систему координат СК2  x  cos  x  x =  0 +   y   СК 2  y0   sin  y − sin  x  1 + mx 0   x   cos  y  0 1 + m y   y  СК 1 sin ( y ) = sin ( x +  ) = sin  x cos  + cos  x sin  cos( y ) = cos( x +  ) = cos  x cos  − sin  x sin   x  (1 + mx )xСК 1 cos  x − (1 + m y )yСК 1 sin  y   x =  0 +    y   СК 2  y0  (1 + mx )xСК 1 sin  x + (1 + m y )yСК 1 cos  y  sin  x cos  + cos x sin  = sin  x + cos x sin  cos x cos  − sin  x sin  = cos x − sin  x sin   x0  (1 + mx )xСК 1 cos  x − (1 + m y )yСК 1 (sin  x + cos  x sin  )  x = +   y ( ) ( ) ( ) 1 +  m x sin  + 1 +  m y cos  − sin  sin  y x СК 1 x y СК 1 x x   СК 2  0    12