Топоцентрические системы координат

ВЫСШАЯ ГЕОДЕЗИЯ И ОСНОВЫ КООРДИНАТНО-ВРЕМЕННЫХ СИСТЕМ РАЗДЕЛ: СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ВЫСОТ В ГЕОДЕЗИИ Половнев О.В. МИИГАиК Лекция № 4 Топоцентрические системы координат Топоцентрическая система координат Z Q2 Xтоп Zтоп z12 A12 Q1 HQ1 Yтоп B О L Y X Рис. Топоцентрическая горизонтная система координат Q1XтопYтопZтоп и ее связь с геоцентрической экваториальной OXYZ и геоцентрической эллипсоидальной системами координат Начало системы координат расположено в выбранной точке (центре объекта, на объекте, …) вблизи поверхности Земли; ось Z является продолжением нормали, проведенной от заданного начала системы координат к поверхности эллипсоида, положительное направление — по направлению луча от пересечения малой оси вращения эллипсоида и плоскости экватора (центра геоцентрической системы координат) через поверхность эллипсоида; ось Х лежит в плоскости меридиана начала топоцентрической системы координат, перпендикулярна оси Z и направлена в сторону малой оси вращения эллипсоида, плоскость XOZ представляет плоскость меридиана начала системы координат; ось Y дополняет систему координат до «левой», плоскость YOZ представляет плоскость первого вертикала; плоскость XOY параллельна плоскости касательной к поверхности эллипсоида в точке пересечения нормали и 3 поверхности эллипсоида и представляет из себя плоскость горизонта начала системы координат. Топоцентрическая система координат Z V(север) Гринвичский (начальный) меридиан, =0 W(верх) Q U(восток) h0 Начало геоцентрической системы отсчета координат, =0; =0; h=0; X=Y=Z=0 0 О 0 X Начало топоцентрической системы координат, =0; =0; h=h0; X=X0; Y=Y0; Z=Z0; U=V=W=0 Y Экватор, =0 Рис. Связь геоцентрической экваториальной OXYZ и топоцентрической систем координат в открытых ресурсах Точка P (P; P; hP) (UP; VP; WP) WP W hP Начало топоцентрической системы координат, 0; 0; h=h0; 0; 0; h=0 h0 Перпендикуляр к поверхности эллипсоида проходящий через начало топоцентрической системы координат 0 Топоцентрическая плоскость Касательная плоскость Эллипсоид Рис. Топоцентрическая и эллипсоидальная высоты в открытых ресурсах 4 Топоцентрическая система координат Геометрическая интерпретация дифференциалов топоцентрических горизонтных координат Z ZQ Q Qм N YQ O Qэ Y B Qz L XQ X Qпр Рис. Топоцентрическая система координат и приращения геодезических координат 5 Топоцентрическая система координат Дифференциальные формулы, связывающие эллипсоидальные, экваториальные и топоцентрические горизонтные декартовы координаты X X X dB + dL + dH ; B L H Y Y Y dY = dB + dL + dH ; B L H Z Z Z dZ = dB + dL + dH ; B L H dX = d (N cos B ) = dN cos B − N sin B; dB dB d (N sin B ) = dN sin B + N cos B; dB dB ( ) ( ) M = 1 − e 2 N / 1 − e 2 sin 2 B , X = −(M + H ) sin B cos L; B X = −(N + H ) cos B sin L; L X = cos B cos L H  e 2 N cos B sin B dN d  a = =  2 2 dB dB  1 − e sin B  1 − e 2 sin 2 B ( d (N sin B ) = M cos B / 1 − e2 dB ) d (N cos B ) = −M sin B dB Y = −(M + H ) sin B sin L; B Y = ( N + H ) cos B cos L; L Y = cos B sin L H Z Z = (M + H ) cos B; = 0; B L Z = sin B H 6 Топоцентрическая система координат Дифференциальные формулы, связывающие эллипсоидальные и экваториальные декартовые координат в матричной форме dX   (M 1 + H1 )dB2−1   dY  (N + H ) cos B dL  = R 1 1 2−1     1  dZ  геоц   топо dH 2−1 r11 = − sin B cos L; r21 = − sin B sin L; r31 = cos B; r12 = − sin L; r13 = cos B cos L; r22 = cos L; r23 = cos B sin L; r32 = 0; r33 = sin B. dX   (M 1 + H1 )dB2−1   dY  (N + H ) cos B dL  = 1 1 2−1     1  dZ  топо   dH 2−1 dX   (M 1 + H1 )dB2−1   dY  = (N + H ) cos B dL  1 1 2−1     1  dZ  2(1)   dH 2−1 dX  X 2   X1  X 2  01  X 2   dY  =  Y  −  Y  =  Y  − 0  =  Y  или 2 1 2 1 2              dZ  topo  Z 2  topo  Z1  topo  Z 2  topo 01  topo  Z 2  topo тчк 2 в СК тчк1 X 2  Y   2  Z 2  2 (1) 7 Топоцентрическая система координат Последовательность преобразований геоцентрической системы координат в топоцентрическую через углы поворота Z’ 1 X  0   Y  = 0       Z  T 0 Z ZQ H N Y’ Q1 Перенос начала системы координат в заданную точку Q1 - начало топоцентрической системы координат X’ YQ B O Y XQ X L Шаг 1. Перемещение осей геоцентрической экваториальной OXYZ в центр топоцентрической горизонтной системы координат – в точку Q1 Z’ 2 Z Матрица преобразования из правой тройки векторов в левую ZQ H N X’ Y’ ;меняются местами оси X и Y, при неизменной оси Z. B O Q1 0 1 0  R = 1 0 0 0 0 1 YQ Y XQ X L Шаг 2. Преобразование смещенной «правой» тройки векторов в «левую» тройку 8 Топоцентрическая система координат Последовательность преобразований геоцентрической системы координат в топоцентрическую через углы поворота 3 Cтандартное вращение вокруг оси Z - против часовой стрелки, для левой тройки векторов матрица разворота имеет вид: cos  − sin  0 Z’’ Z 90+L ZQ1 R =  sin  cos  0  0 1 преобразование на угол  = (90 + L ) дает − sin L cos L 0 R90+ L =  cos L sin L 0  0 1 Y’ X’’ H Q1 N YQ1 B O Y XQ1 X L Шаг 3. Вращение вокруг оси Z «левой» тройки векторов с началом в точку Q1 на угол 4 90-B ZT XT ZQ YT H Q1 B XQ X L  cos R =  0 − sin  0 sin   1 0  0 cos  вращение по часовой стрелке вокруг оси Y на угол  = (90 − B ) N O  = (90 + L ) Для левой тройки векторов стандартное вращение вокруг оси y — по часовой стрелке. Исходная матрица разворота Z” Z sin (90 + L ) = cos L cos(90 + L ) = − sin L YQ – ось QZ совпадает с нормалью к поверхности эллипсоида sin (90 − B ) = sin B cos(90 − B ) = cos B  sin B 0 cos B  Y   R90− B =  0 1 0  − cos B 0 sin B  Шаг 4. Вращение вокруг оси Y” на угол 90-B 9 Топоцентрическая система координат Z Zт Xт ZQ H Yт Q1 N B O YQ Y XQ X L Рис. Результат преобразования геоцентрической системы координат в топоцентрическую  sin B 0 cos B  − sin L − cos L 0 0 1 0 R = R90− B R90+ L R =  0 1 0   cos L sin L 0 1 0 0 − cos B 0 sin B   0 1 0 0 1 − sin B cos L − sin L cos B cos L  R =  − sin B sin L cos L cos B sin L   cos B sin B  Матрица преобразования приращений координат из топоцентрической системы отсчета в геоцентрическую систему 10 Топоцентрическая система координат Z 2 Xтоп Zтоп 1 Yтоп HQ1 B О X Y L Рис. Приращения координат тчк2 в топоцентрической горизонтной системе координат тчк1 и в геоцентрической прямоугольной системе координат  X  X   X  X             Y  −  Y   = R90− B R90+ L R  Y  = R(1)  Y  Z  Z    Z  2(1)  Z  2(1)    2  1  geo X  X  X  Y  Y  Y  = + R ( 1 )        Z  geo 2  Z  geo 1  Z  2(1) 11 Топоцентрическая система координат Матрица R ортогональна - сумма квадратов элементов любых строк или столбцов матрицы равна единице, а произведение любых двух строк или столбцов равно нулю, поэтому обратная матрица совпадает с транспонированной − sin B cos L − sin B sin L cos B  R −1 = RT =  − sin L cos L 0   cos B cos L cos B sin L sin B  Для приращений геодезических координат dX  dX   dY  = R T  dY  (1)      dZ  topo  dZ  geo Для прямоугольных топоцентрических координат  X  X   X    Y  Y   T   Y = R − ( 1 )          Z  geo 2  Z  geo1   Z  topo 2(1)   12 Топоцентрическая система координат Преобразование координат произвольной точки из системы координат точки n в систему координат начальной точки Z(2) Y(2) 3 Z(1) 2 X.(2) Y(1) X.(1) 1 Рис. Приведение координат точки 3 из системы координатточки 2 в систему координат точки 1 X  X  X  Y   Y  + Y         Z  3(1)  Z  2(1)  Z  3(2 )  X   X  X     Y  = RТ   Y     − Y  (2 )         Z  geo 3  Z  geo 2   Z  3( 2)    X  X   X     Y  = RТ   Y  −  Y   (1)         Z  geo 2  Z  geo 1   Z  2(1)   X  X  X  Y    = Y  − R(2 )  Y     Z  geo 2  Z  geo 3  Z  3(2 ) X  X  X   X     Y  = RТ   Y  − R(2 )  Y  −  Y   (1)         Z  geo 3  Z  2(1)  Z  3(2 )  Z  geo 1    X  X   X   X    Y  = RТ   Y    Т −  Y   − R(1) R(2 )  Y  (1)         Z  geo 3  Z  geo 1   Z  2(1)  Z  3(2 )   X  X  X   Y  =  Y  − RТ R  Y  (1) ( 2 )        Z  2(1)  Z  3(1)  Z  3(2 ) X  X  X   Y  =  Y  + RТ R  Y  (1) ( 2 )        Z  3(1)  Z  2(1)  Z  3(2 ) 13 Топоцентрическая система координат Дифференциальные изменения координат произвольной точки в системе координат начальной точки YT2 ZТ2 XT1 YT1 dZT2 XT2 ZТ1 Z dYT2 dXT2 Q2 dXT1 XT YT dZT1 dYT1 ZТ Q1 XГ O Y X Рис. Малые приращения координат точки (Q ) Т 2 1 = R Q2 T 2 1 − sin B1 cos L1 − sin B1 sin L1 cos B1  − sin B2 cos L2 R'T1 R2 =  − sin L1 cos L1 0   − sin B2 sin L2  cos B1 cos L1 cos B1 sin L1 sin B1   cos B2 (X ) = b X (Y ) = b X (Z ) = b X T i 1 11 T i + b21Yi T + b31Z iT T 12 T i + b22Yi + b32Z T i 13 T i + b23Yi + b33Z T i T i 1 T i 1 T (Q ) = R( )R( )Q T 2 1 T 1 2 Q2 в топоцентрической системе координат точки (Q ) = R( )R( )Q Q2 = R(2 )Q2T Т 1 T 2 − sin L2 cos L2 T 1 T 2 2 cos B2 cos L2  cos B2 sin L2  sin B2  (Q ) = В( )( )Q T 2 1 1 2 T 2 Q1 B11 = cos B1 cos Bi + sin B1 sin Bi cos(Li − L1 ); B12 = sin B1 sin (Li − L1 ) B13 = cos B1 sin Bi − sin B1 cos Bi cos(Li − L1 ) B21 = − sin Bi sin (Li − L1 ) B22 = cos(Li − L1 ) B23 = cos B sin (Li − L1 ) B31 = sin B1 cos Bi − cos B1 sin Bi cos(Li − L1 ) B32 = − cos B1 sin (Li − L1 ) B33 = sin B1 sin Bi + cos B1 cos Bi cos(Li − L1 ) 14 Схема стандартных преобразований геодезических координат 15