Теория вероятности. Вероятность. Классическое определение вероятности

Теория вероятности Вероятность Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех исходов. ( ) , – все исходы, их число определяет опыт, – благоприятные исходы, их число определяет событие. Пример. Опыт: подбрасывание игральной кости. Найти вероятности следующих событий: А выпало 2 очка; В - число выпавших очков кратно 3; С - число выпавших очков - четное; D выпало 7 очков; Е – число выпавших очков не более 8. Решение. Опыт: подбрасывание игральной кости. Число всех равновозможных исходов . Для события А число благоприятных исходов ( ) , для события B ( ) , для события C ( ) , для события D ( ) , ( ) для события E . Событие D является невозможным, а событие – достоверным. Т.о. для случайного события ( ) . Пример. В ящике 4 белых, 7 черных и 9 красных шаров. 1) Вынули 1 шар. Какова вероятность, что он черный? 2) Вынули 2 шара. Какова вероятность, что а) шары белые, б) шары разноцветные? 3) Вынули 3 шаров. Какова вероятность, что все шары разноцветные? 4) Вынули 5 шаров. Какова вероятность, что а) шары белые, б) 2 белых и 3 черных. Решение. 1) Опыт: вынули 1 шар. Число всех равновозможных исходов (число способов вынуть 1 шар из 20=4+7+9) равно . Событие А - вынули 1 черный из 7 черных, число благоприятных исходов , вероятность ( ) . 2) Опыт: вынули 2 шара из 20. Число всех исходов (число способов вынуть 2 шара из 20, порядок выбора не важен) равно . а) событие B: вынули 2 белых шара из 4 белых, число благоприятных исходов , вероятность ( ) б) шары разноцветные; событие С: вынули БЧ или БК или ЧК, число способов вынуть каждую пару равно (правило умножения комбинаторики) ; число благоприятных исходов (по правилу сложения комбинаторики) ; вероятность ( ) 3) Опыт: вынули 3 шара. Число всех исходов (число способов вынуть 3 шар из 20) равно . Событие Е: вынутые шары все разного цвета (1 белый из 4, 1 черный из 7, 1 красный из 9). Число исходов выбрать каждый шар , число благоприятных исходов (правило умножения комбинаторики) , вероятность ( ) 1 4) Опыт: вынули 5 шаров. Число всех исходов (число способов вынуть 5 шар из 20) равно . а) событие F – вынули 5 белых шаров из 4, число благоприятных исходов вероятность ( ) (или это невозможное событие, ( ) ) б) событие H – вынули 2 белых (из 4) и 3 черных (из 7), число благоприятных исходов , вероятность ( ) Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведенных испытаниях. ̃( ) , где – общее число испытаний, – число испытаний, в которых событие А наступило. ̃( ) Статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной. Пример. Для проверки всхожести семян было посеяно 200 штук, из которых 170 проросло. Чему принять вероятность прорастания семян? Сколько семян в среднем взойдет из каждой тысячи посеянных? Решение. ̃( ) - вероятность прорастания семян, – столько семян в среднем взойдет из каждой тысячи посеянных. Теоремы о вероятности. Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятности этих событий. ( ) ( ) ( ) Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. ( ) ( ̅) Пример. Мишень имеет форму круга и двух колец: 1, 2,3 зоны, вероятность попадания в эти зоны соответственно равна 0,45, 0,30, 0,15. Найти вероятность поражения мишени. Какова вероятность, что выстрел не поразит мишень? Решение. События А - поражения мишени, В - выстрел не поразит мишень. Эти события ( ) противоположные, т.е. ( ) События А поражения мишени – попадание в одну из зон мишени. Обозначим через попадание в зону ( ). ( ) ( ) Тогда ( ) , , – несовместны. ( ) Р( ) Р( ) ( ) ( ) ̅ ( ) ( ) ( ) Теорема 2. Если события А и В совместны, то ( ) ( ) ( ) ( ). 2 Пример. Колода из 36 карт, найти вероятность, что вытянутая карта пиковой масти или туз. Решение. Событие А=В+С, где В - вынутая карта пиковой масти, С - вынутая карта туз. Эти события совместны (1 карта в колоде – пиковый туз). Поэтому ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Найдем все вероятности. ( ) , ( ) , ( ( ) Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий. ( ) ( ) ( ) Пример По мишеням производят 3 выстрела. Обозначим через попадание при -м выстреле ( ). Используя действия над событиями и события , записать следующие события а) все 3 попадания, б) все три промаха, в) только 2 попадания, г) попадание только при втором выстреле. Решение. а) все 3 попадания ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ б) все три промаха ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ в) только 2 попадания ̅̅̅ ̅̅̅ г) попадание только при втором выстреле 3