Теория вероятностей

1 Явления окружающего нас мира часто протекают под действием множества факторов, среди которых нельзя выделить главные и второстепенные, а проследить влияние всех факторов невозможно. Тогда применяется статистический метод изучения, идея которого заключается в том, что изучается не единичное явление, а массовая совокупность однородных явлений. В такой массовой совокупности влияние каждого второстепенного фактора носит случайный характер и в общей массе взаимно погашается. В результате появляются статистические закономерности. Они не дают возможности предсказать каждое единичное явление, но позволяют достаточно точно описать поведение всей совокупности в целом и на этом основании составить научный прогноз. С необходимостью изучать массовые совокупности однородных явлений встречаются обычно в экономике при анализе темпов роста производства, повышения производительности труда, снижения себестоимости. Теория вероятностей (ТВ) – математическая наука , изучающая закономерности , присущие массовым случайным явлениям. При этом изучаемые явления рассматриваются в абстрактной форме независимо от их конкретной природы. То есть теория вероятностей рассматривает не сами реальные явления, а их упрощённые схемы − математические модели. Предметом ТВ являются математические модели случайных явлений, исход которых предсказать невозможно. Например, выпадение герба при подбрасывании монеты, выигрыш по купленному лотерейному билету, результат измерения какой-нибудь величины, длительность работы телевизора и т.п. Цель ТВ − прогноз в области случайных явлений, влияние на ход этих явлений, контроль их, ограничение сферы действия случайности. Случайным называется эксперимент, исход которого не вполне однозначно определяется условиями опыта, например, изготовление детали заданных размеров, подбрасывание монеты, вытаскивание карты из колоды. Пусть А – один из возможных исходов случайного эксперимента, например, выпадение чётного числа очков при подбрасывании игральной кости. Повторяем опыт n раз и пусть при этом исход А наступает m A раз. Относительной частотой 2 исхода А наз. величину W( A) = mA n . Если с увеличением n относительная часто- та начинает стабилизироваться и при больших n лишь слегка колеблется около некоторого постоянного числа, то говорят, что опыт обладает свойством устойчивости частот. ТВ изучает математические модели таких случайных экспериментов. Её методы позволяют предсказать средний результат массы случайных экспериментов. Рассмотрим основные понятия теории вероятностей. Испытание – реальный или принципиально осуществимый опыт, для которого установлены контролируемые воспроизводимые условия и совокупность всех возможных исходов. Пусть в результате испытания происходит один из множества взаимно исключающих друг друга исходов ω 1 , ω 2 , ..., ω n , которые будем называть также элементарными событиями. Они образуют пространство элементарных событий { } Ω = ω 1 , ω 2 , ..., ω n . • Случайным событием называют совокупность всех элементарных событий, в результате которых оно наступает. Случайные события обозначают заглавными латинскими буквами А, В, ... . Говорят, что случайное событие А связано с рассматриваемым испытанием, если по каждому исходу можно точно судить о том, осуществляется оно или нет. Пример. Испытание – подбрасывание игральной кости. Ω = {1, 2, ..., 6} . Событие А − выпадение чётного числа очков, A = { 2, 4, 6} , событие В − выпадение числа очков, кратного трём, B = {3 , 6} . • Событие A называется противоположным событию А или дополнением для А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А, т.е. содержит все элементарные события, не вошедшие в А. В нашем примере A − выпадение нечётного числа очков, A = {1 , 3 , 5}. • Достоверным называется событие U , которое всегда наступает в результа- те испытания, оно содержит всю совокупность элементарных событий, 3 т.е. U = Ω , например, U − выпадение любого числа очков от 1 до 6. Достоверное событие часто обозначают Ω . • Невозможным называется событие V , которое никогда не наступает в результате испытания, оно не содержит ни одного элементарного события, т.е. V = {∅} , например, V − выпадение 7 очков. Невозможное событие часто обозначают ∅ . • Два события называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого, т.е. они не содержат общих элементарных событий, например, при подбрасывании игральной кости A = { 2, 4,6} и C = {1, 5} несовместны.. Несколько событий называются попарно несовместными, если любые два из них несовместны. • Суммой событий А и В называют событие C = A + B , состоящее в наступ- лении хотя бы одного из событий А или В, оно содержит все элементарные события, входящие в А, в В и общие для А и В. Например, берём одну карту из колоды, пусть А − появление туза, В − появление красной карты, тогда C = A + B − появление красной карты или любого туза. • Произведением событий А и В называют событие D = A ⋅ B , состоящее в совместном наступлении А и В, оно содержит лишь общие для А и В элементарные события. В предыдущем примере D = A ⋅ B − появление красного туза. • События A 1 , A 2 , ..., A n образуют полную группу, если в результате испыта- ния может наступить одно и только одно из них, т.е. у них нет общих исходов (элементарных событий), а в сумме исходы образуют всё пространство  A 1 + A 2 + ... + A n = U элементарных событий:  .  A i ⋅ A j = V , i≠j Противоположные события А и A всегда образуют полную группу. При рассмотрении событий удобно использовать диаграммы. Пусть точки внутри прямоугольника образуют совокупность всех элементарных событий, полу- 4 ченных в результате испытания, событие А − попадание в закрашенную область. Тогда сумму событий, произведение и A на диаграмме изображают так: Операции над событиями обладают следующими свойствами: 1. Переместительное свойство: A + B = B + A, A ⋅ B = B ⋅ A . 2. Сочетательное свойство: ( A + B ) + C = A + ( B + C ) , ( AB ) C = A ( BC ) 3. Распределительное свойство: A ( B + C ) = AB + AC . Справедливы следующие равенства: A + A = U, A⋅ A =V, A + A = A, A ⋅ A = A, A +U = U, U +V = U, A ⋅ U = A, A + V = A, A ⋅V = V , U ⋅V = V. Вероятность и способы её определения Каждому случайному событию А поставим в соответствие число P ( A ) , называемое вероятностью события А и характеризующее шансы наступления этого события в эксперименте. • Статистическая вероятность Рассмотрим эксперимент с пространством элементарных событий Ω и пусть А − случайное событие для этого эксперимента. Повторяем опыт n раз, считая, что результаты каждого не влияют на результаты остальных. Обозначим mA число наступлений события А. Дробь Pn∗ ( A ) = mA называется относительной частотой n события А в проведённой серии опытов. 5 • Статистической вероятностью события А называется число, около которого колеблется относительная частота события А при достаточно большом числе опытов, P ( A ) ≈ Pn∗ ( A ) . Свойства статистической вероятности: 1. 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 , т.к. 0 ≤ mA ≤ n 2. P (U ) = 1 , т.к. mU = n 3. Для несовместных событий P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) , т.к. mA + B = mA + mB 4. P ( A ) = 1 − P ( A ) , т.к. mA = n − mA . • Классическая вероятность Рассмотрим эксперимент, у которого n взаимно исключающих друг друга равновозможных исходов ω 1 , ω 2 ,..., ω n . Классическую вероятность случайного события А определим по формуле P ( A) = mA , n где mA − количество исходов (элементарных событий), принадлежащих событию А (они называются благоприятствующими А). Свойства классической вероятности совпадают со свойствами статистической. Пример. Определим двумя способами вероятность выпадения чётного числа очков при подбрасывании игральной кости. 1. Многократно подбрасываем игральную кость, например, n = 500 и пусть при этом 241 раз выпало чётное число очков, mA =241. По статистическому определению вероятности P ( A ) ≈ 241 = 0.482 . 500 2. Для использования классической вероятности, кость должна быть идеальной, чтобы исходы были равновозможными. Тогда n = 6 , mA = 3, P ( A) = 3 = 0 .5 . 6 Аксиомы теории вероятностей В основу ТВ положена система аксиом, опирающаяся на свойства, присущие классическому и статистическому определению вероятности: 6 1. Каждому событию А ставится в соответствие неотрицательное число P( A) , называемое вероятностью этого события. 2. Аксиома сложения: если события A1 , A2 , ..., An попарно несовместны, т.е. n n i =1 i =1 Ai ⋅ A j = V при i ≠ j , то P( ∑ Ai ) = ∑ P(Ai ) . 3. Аксиома нормировки: если U − достоверное событие, то P(U) = 1 . Следствия из аксиом: a) P ( V ) = 0 . b) P ( A ) = 1 − P ( A ) . n ( ) c) Если события A1 , A2 ,..., An образуют полную группу, то ∑ P Ai = 1 . i =1 d) 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 . Вероятность − числовая характеристика степени объективной возможности появления данного события при определённых условиях, которые могут повторяться неограниченное число раз.