Теория вероятностей

Гурьянова И.Э. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КУРС ЛЕКЦИЙ Москва, 2014 УДК 519.2(075.8) ББК 22.17г95 Рецензент: С.А.Зададаев, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Теория вероятностей и математическая статистика» Г-95 И.Э. Гурьянова «Теория вероятностей.Курс лекций». Учебно-методическое пособие. Для бакалавров направления 080100.62 «Экономика». – М.: ФГОБУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика», 2014. - 104 с. Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» является базовой компонентой цикла математических и естественнонаучных дисциплин ФГОС ВПО по направлению 080100.62 «Экономика». Учебно-методическое пособие охватывает все разделы теории вероятностей, входящие в учебные программы для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям, содержит основные теоретические сведения по теории вероятностей,примеры, список основной и дополнительной литературы. Курс лекций предназначен для студентов второго курса всех факультетов Финуниверситета. Пособие может быть полезно и преподавателям ВУЗов, читающих лекции по этой дисциплине. УДК 519.2(075.8) ББК 22.17г95 Учебное издание Ирина Эдуардовна Гурьянова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КУРС ЛЕКЦИЙ Учебно-методическое пособие Компьютерный набор, верстка: Гурьянова И.Э. Формат 60х90/16. Гарнитура TimesNewRoman Отпечатано в ФГОУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации» И.Э. Гурьянова, 2014 ФГОБУ ВПО «Финансовый университет Правительстве Российской Федерации», 2014 при 2 Оглавление КОМБИНАТОРИКА ................................................................................................ 5 Бином Ньютона ............................................................................................................................. 9 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ................................................................................ 11 Виды случайных событий......................................................................................................... 11 Классическое определение вероятности............................................................................... 12 Статистическое определение вероятности .......................................................................... 13 Геометрическое определение вероятности .......................................................................... 13 Алгебра случайных событий .................................................................................................... 14 Теорема умножения вероятностей ......................................................................................... 19 Теорема умножения вероятностей (принцип Ферма) ........................................................ 19 Теорема сложения вероятностей (принцип Лапласа) ........................................................ 21 Формула полной вероятности ................................................................................................. 24 Формулы Байеса ......................................................................................................................... 25 Повторные независимые испытания. Схема Бернулли ...................................................... 26 Формула Бернулли ..................................................................................................................... 26 Наиболее вероятное число успехов ........................................................................................ 28 Локальная приближенная формула Лапласа........................................................................ 30 Интегральая приближенная формула Лапласа .................................................................... 31 Оценка отклонения относительной частоты от вероятности .......................................... 32 Предельная теорема и приближенные формулы Пуассона ............................................... 33 Случайные величины ................................................................................................................ 34 Функция распределения вероятностей (интегральная функция распределения) ..... 35 Независимость случайных величин ....................................................................................... 36 Дискретные случайные величины ......................................................................................... 36 Функция от случайной величины ........................................................................................... 37 Числовые характеристики дискретных случайных величин ............................................ 39 Математическое ожидание ...................................................................................................... 39 Дисперсия .................................................................................................................................... 43 Свойства ковариационной и корреляционной матриц ...................................................... 49 Основные законы распределения дискретных случайных величин ............................... 50 Биноминальное распределение ............................................................................................... 50 Закон распределения Пуассона ............................................................................................... 51 Геометрический закон распределения ................................................................................... 52 Производящие функции ........................................................................................................... 53 Непрерывные и абсолютно непрерывные случайные величины .................................... 57 Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин.......................... 63 3 Закон равномерного распределения на отрезке .................................................................... 63 Показательный (экспоненциальный) закон распределения ................................................. 66 Нормальный закон распределения ......................................................................................... 70 Логарифмически-нормальное распределение ....................................................................... 73 Начальные и центральные моменты случайных величин ................................................ 74 Закон больших чисел ................................................................................................................. 77 Различные формы закона больших чисел ............................................................................. 80 Теорема Чебышева ................................................................................................................... 80 Теорема Бернулли .................................................................................................................... 81 Центральная предельная теорема .......................................................................................... 82 Случайные векторы (Многомерные случайные величины) ............................................. 86 Дискретные случайные векторы ............................................................................................ 87 Абсолютно непрерывные случайные векторы .................................................................... 88 Независимость компонент случайного вектора .................................................................. 90 Числовые характеристики случайного вектора .................................................................. 90 Условные распределения и условные математические ожидания .................................. 93 Двумерные нормальные векторы ......................................................................................... 101 ЛИТЕРАТУРА........................................................................................................... 103 4 Введение Предлагаемыйкурслекций по теории вероятностей охватывает все разделы этой дисциплины, входящие в учебные программы для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям. Курс содержит основные теоретические сведения по теории вероятностей и предназначен для закрепления теоретических знаний по этому курсу. В основу курса положен учебник А.С. Солодовникова, В.А. Бабайцева, А. В. Браилова «Математика в экономике. Часть 3. Теория вероятностей и математическая статистика». Курс соответствует программе дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для профилей «Финансы и кредит», «Мировая экономика» и «Налоги налогообложение». Курс лекций может быть полезным студентам и преподавателям ВУЗов, а также лицам, изучающим теорию вероятностей самостоятельно. Предлагаемый материал может быть использован для самостоятельного изучения курса студентами, обучающимися заочно. КОМБИНАТОРИКА Предварительно рассмотрим необходимую в комбинаторике функцию факториал n! 1 2 ... n . Свойство факториала: . При этом считается, что 0!=1. При больших значениях справедлива формула Стирлинга или . Полуфакториалы . Свойства полуфакториалов: 5 Комбинаторика – раздел математики, изучающий методы решения задач, связанных с выбором и расположением элементов конечного множества, в частности, комбинаторных задач на подсчет числа различных комбинаций. Будем рассматривать последовательности данной длины состоящие из некоторых элементов (не обязательно различных). , Правило произведения (принцип логического умножения). Если элемент может быть выбран способами, после каждого такого выбора элемент может быть выбран способами и т.д. после каждого выбора элемент может быть выбран способами, то выбор всех элементов в указанном порядке может быть осуществлен способами. Пример. В группе 30 человек. Нужно выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать? . Правило суммы (принцип логического сложения). Если элемент может быть выбран способами, элемент другими способами, –отличными от первых двух способами и т.д. – способами, отличными от первых , то выбор одного из элементов или , или , или может быть осуществлен способами. Пример. 6 В ящике 300 деталей. Из них 150 деталей 1 сорта, 120 – второго, а остальные – третьего сорта. Сколькими способами можно извлечь из ящика одну деталь 1 или 2 сорта? Решение. , ; . Пусть дано множество из различных элементов. Из этого множества могут быть образованы подмножества из элементов, . Если комбинациииз элементов по отличаются только составом элементов (т.е. представляют собою просто подмножества), то их называют сочетаниями из элементов по . Число сочетаний из элементов по равно Свойства: Свойство 1. Свойство 2. Свойство 3. Свойство 4. Свойство 5. , ибо ; – свойство симметрии; – рекуррентное соотношение; – следствие бинома Ньютона; . Свойство 5 означает, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то есть Если комбинации из элементов по отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим), то такие комбинации называются размещениями из элементов по . Таким образом, размещения – это упорядоченные подмножества из элементов по . Число размещенийравно или 7 Если комбинации из элементов отличаются только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками из элементов. Число перестановок Если в сочетаниях (размещениях) из элементов по некоторые из элементов (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие сочетания (размещения) называются сочетаниями (размещениями) с повторениями из элементов по . Замечание: в этом случае может быть больше . Число сочетаний с повторениями . Число размещений с повторениями . Пример. Сколькими способами можно выбрать кондитерской, где есть 4 сорта пирожных? 6 пирожных в Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, при условии, что цифры могут повторяться? . Если в множестве из элементов есть элементов первого вида, элементов второго вида, …, элементов k-того вида, причем , то такие перестановки из этих nэлементов называются перестановками с повторениями. 8 Число перестановок с повторениями Пример. Сколькими способами можно расположить в ряд 2 зеленые и 4 красные лампочки? Решение. Бином Ньютона Для действительных чисел натуральных чисел Числа , отличных от нуля и для всех называются биномиальными коэффициентами. Пример. Найти . Полиномиальная формула – формула разложения степени многочлена по степеням его членов: где суммирование проводится по всем последовательностям неотрицательных целых чисел , для которых . Например, при 9 Бином Ньютона есть частный случай полиномиальной формулы при , , , . 10 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теория вероятностей – математическая закономерности случайных явлений. наука, изучающая Теория вероятностей зародилась в середине XVII в. на основе теории азартных игр, когда было замечено, что на базе массовых случайных событий возникают четкие закономерности. В развитие теории вероятностей большой вклад внесли такие выдающиеся ученые как Гюйгенс, Паскаль, Ферма, Якоб Бернулли. Испытание (опыт, эксперимент) – это выполнение определенного комплекса условий. Событием (случайным событием) называется исход (результат) испытания, т.е. любой факт, который в условиях испытания может произойти или не произойти. События обозначаются латинскими буквами . Виды случайных событий 1. Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно должно произойти. Достоверное событие обозначается буквой . 2. Событие называется невозможным, если в результате испытания оно не может произойти. Невозможное событие обозначается . 3. События называется несовместными, если наступление одного из них исключает наступление любого другого. В противном случае события называются совместными. 4. Событие , заключающееся в том, что некоторое событие не произошло, называется противоположным к событию и обозначается , (не ). 5. События называются равновозможными, если в результате испытания считают, что ни одно из них не является более возможным, чем другие. 11 6. Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них. 7. Несколько событий образуют полную группу (полную систему), если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Геометрически случайные события удобно изображать с помощью диаграмм Эйлера – Венна. Весь прямоугольник – это достоверное событие , случайные события это замкнутые области, обычно круги. Вероятностью событияназывается число, характеризующее степень объективной возможности наступления события. А Классическое определение вероятности Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны. Такие исходы называются элементарными исходами или элементарными событиями. При этом говорят, что задача сводится к схеме случаев. Элементарное событие (исход) называется благоприятствующим событию , если его появление влечет наступление события . Вероятностьсобытия равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих ему, к общему числу всех элементарных исходов Свойства вероятности: Свойство 1. Свойство 2. ; – вероятность достоверного события равна 1; 12 Свойство 3. – вероятность невозможного события равна 0. Статистическое определение вероятности Статистической вероятностью события относительная частота (частость) появления события произведенных испытаний. называется после где –число испытаний, в которых событие произошло. Статистическая вероятность является величиной опытной, экспериментальной. Результат, как правило, тем точнее, чем больше произведено испытаний, причем при больших отношение остается примерно постоянным, мало отклоняется от некоторой постоянной величины. Это свойство называется статистической устойчивостью. За вероятность случайного события на практике принимают либо наблюдаемую частость, либо число, близкое этому значению, т.е. . Вообще P(A)= limW ( A) . n Пример. Английский ученый Пирсон произвел 23000 бросаний монеты, герб появился 11512 раз. Геометрическое определение вероятности Классическое определение вероятности основывается на том, что число всех возможных случаев конечно. Если распределение возможных исходов испытания непрерывно и бесконечно, то при решении задач часто используется понятие геометрической вероятности. 13 Полагают, что имеется область и в ней меньшая область наудачу бросается точка. Событие – попадание точки в область . . На Геометрической вероятностью называется отношение меры области благоприятствующей событию к мере всей области . Замечание.Область и n-мерной. , может быть одномерной, двумерной, трехмерной Пример. В круг радиуса бросается точка. Найти вероятность ее попадания во вписанный в круг квадрат. Решение. Алгебра случайных событий Произведение (пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении всех этих событий. А (Если события несовместны В ) 14 А В Суммой (объединением) нескольких событий называют состоящее в наступлении хотябы одного из этих событий. А В А для совместных событие, В для несовместных Разностьюсобытий А и В называется событие , состоящее в том, что произойдет, а не произойдет. т.е. А В Если событие обязательно произойдет, при появлении другого события , то говорят, что событие представляет собой частный случай события и пишут , говорят, также, что влечет . 15 Пример. Событие – на кубике выпало 6 очков. Событие выпало четное число очков . Если и эквивалентными. – на кубике , то их называют равносильными или равными или Примеры равных событий: 1) ; 2) . А ABВ А В ЗАКОНЫ де Моргана: - отрицание суммы равно произведению отрицаний. - отрицание произведения равно сумме отрицаний. Кроме того, верны соотношения: ; ; . Пространством элементарных событий назовем произвольное множество , а его элементы элементарными событиями или элементарными исходами. 16 Событиями будем называть подмножества множества . При этом называется невозможным событием, а множество достоверным событием. Событие называется противоположным к событию . Система случайных событий называется алгеброй событий, если выполнены условия: 1) ; 2) если , , то и , , . Другими словами, – алгебра событий, если вместе с любым событиемона содержит противоположное к нему, кроме того, вместе с любыми двумя событиями она содержит их сумму и произведение, а также множество . Из этих условий следует, что также принадлежит . Алгебра событий называетсяσ-алгеброй или борелевской алгеброй, если из того, что , следует, что Введем понятие вероятности события. Числовая функция , определенная на алгебре событий , называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы: Аксиома 1 Каждому событию A, принадлежащему ,ставится в соответствие неотрицательное число – его вероятность, т.е. для . Аксиома 2 Вероятность достоверного события равна 1, . Аксиома 3 Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, т.е. . Для решения задач, связанных с бесконечными последовательностями событий, требуется ввести еще дну аксиому непрерывности: Аксиома 4 Для любой (сужающейся)последовательности ий, принадлежащих , такой, что убывающей событ 17 справедливо равенство Тройка , где – является σ-алгеброй и удовлетворяет аксиомам 1 – 4 называется вероятностным пространством. Таким образом, математической моделью любого случайного явления в теории вероятностей служит вероятностное пространство. Следствия из аксиом. 1) Так как , то . 2) Если – последовательность событий таких, что каждое следующее является следствием предыдущего , то 3) Если – последовательность событий таких, что каждое предыдущее является следствием последующего , то Пример. Рассмотрим опыт с подбрасыванием игрального кубика. Пространство элементарных событий есть множество , где – элементарный исход опыта, заключающий в выпадении очков. Алгебра событий состоит из подмножеств множества : , …, , , …, , , …, , , …, , …, . , , Пример. Пусть подмножеств и множества , алгебра событий , .Функцию состоит из всех определим формулой 18 Получено классическое определение – вероятностное пространство. вероятности. Тройка Теорема умножения вероятностей События и называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. В противном случае события называются независимыми. Замечание. Несовместные события зависимы, так как появление любого из них обращает в нуль вероятности появления всех остальных. Вероятность события , найденная при условии, что некоторое событие произошло, называется условной вероятностью события и обозначается или . Можно доказать, что (если ). Теорема умножения вероятностей (принцип Ферма) Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло. . Пример. В урне 7 белых и 12 черных шаров. Из нее вынимают один за другим 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара – белые. Решение. Всего шаров в урне - 19. = 7 6 19 18 7 57 0,1228 . 19 Для произведения событий формула принимает вид: Пример. В урне 7 белых и 12 черных шаров. Из нее вынимают один за другим 4 шара. Найти вероятность того, что все четыре шара – белые. Решение. P(A) 7 6 5 4 19 18 17 16 35 3876 0,009 . Определение. Будем говорить, что событие не зависит от Таким образом, для независимых событий и и , если . . Тогда для независимых событий теорема умножения вероятностей приобретает вид (*), то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. В дальнейшем независимость событий и будет пониматься как выполнение равенства (*), т.к. это критерий независимости двух событий. События называютсянезависимыми в совокупности (или просто независимыми), если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных. Например, три события , , независимы в совокупности, если независимы события и , и , и , и , и , и . Попарная независимость некоторых событий (то есть независимость взятых из них любых двух событий) еще не означает их независимость в совокупности. Если события независимы в совокупности, то 20 Теорема сложения вероятностей (принцип Лапласа) Для несовместныхсобытий вероятностей и вероятность суммы равна сумме (смотри 3-ю аксиому вероятности). Для несовместных событий (попарно несовместных) Следствие. Сумма вероятностей событий равна 1. , образующих полную группу, Доказательство. Так как события образуют полную группу, то есть единственно возможны и несовместны, то их сумма есть событие достоверное. по теореме сложения ▄ Для совместных событий и . Доказательство. Воспользуемся классическим определением вероятности. Пусть – общее число исходов; –число исходов, благоприятных для события ; – число исходов, благоприятных для события ; –число исходов, благоприятных для обоих событий. Тогда . 21 Разделимэту формулу почленнона : А В Пример. В урне 11 шаров = 7 белых и 4 черных. Один за другим вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что хотя бы один из них – белый. Решение. Событие Aсостоит в том, что первый шар – белый, событие Bсостоит в том, что второй шар белый. Эти события совместны и зависимы. 7 7 7 6 11 11 11 10 то 49 55 0,8909 . Следствие 1.Если событие является следствием события , то есть . Доказательство. Так как, , то – сумма несовместных событий. А , В Следствие 2. . Для трех совместных событий: 22 B A C формула приобретает вид: . Из закона де Моргана следует: Пример. Доказать, что если события независимы. Решение. и независимы, то и также Нужно доказать, что 23 . Дважды применяя доказанное утверждение, получим, что если независимы события и , то и события и также независимы. Доказать самостоятельно, что если независимы и , то независимы и . Формула полной вероятности Пусть событие может произойти только при условии появления одного из событий , образующих полную группу. Так как заранее неизвестно, какое именно из событий произойдет, то их называют гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез и условные вероятности события . ТЕОРЕМА (формула полной вероятности). Вероятность события , которое может наступить лишь вместе с одной из гипотез, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из этих гипотез на соответствующую условную вероятность события . Доказательство. 24 H1 Hn H2 H3 A H4 ▄ Пример. Имеется 2 урны с шарами. В первой урне - 17 белых и 11 черных шаров, во второй – 4 белых и 9 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили 2 шара. После этого из второй урны вынули 1 шар. Найти вероятность того, что он белый. Решение: P(H1)=0,36; P(H2)=0,145; P(H3)=0,495; P( A / H 1 ) 6 15 0,4 ; 5 4 0,333 ; 0,267 ; P( A / H 3 ) 15 15 P(A)= 0,36 0,4 +0,1450 ,267 + 0,495 0,333 = 0,34755; P( A / H 2 ) Формулы Байеса В тех случаях, когда стало известно, что событие произошло, возникает потребность в определении условной вероятности гипотез (это не !!!). Найдем вероятность события . По теореме умножения 25 . Формулы Байеса служат для оценки вероятностей гипотез после того, как стало известно, что событие наступило. Пример. Пусть в условиях предыдущей задачи вынутый из второй урны шар оказался белым. Найти вероятность того, что были переложены 2 черных шара. Решение. Применим формулы Байеса: 0,145 0,267 0,34755 PA(H2)= 0,1114 . Повторные независимые испытания. Схема Бернулли Когда производится серия повторных испытаний, в каждом из которых некоторое событие может произойти или не произойти, то обычно интересуются не результатом отдельного испытания, а общим числом (частотой) появления события . Возникает необходимость вычисления вероятности того, что событие произойдет раз после испытаний . Пусть все испытания независимы и вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна При этом , . Описанная последовательность независимых название схемы Бернулли. (Якоб Бернулли XVIIв.) испытаний получила Формула Бернулли , . Доказательство. 26 Пусть –событие, состоящее в появлении события равно раз в испытаниях. – появление события вi-том испытании, – не появление события в -том испытании. , . Событие представимо в виде суммы несовместных событий, каждое из которых является произведением событий и событий . (например, при , , ). Вероятность каждого слагаемого равна , а число слагаемых . .▄ Пример. Стрелок поражает мишень с вероятностью . Найти вероятность, что при 10 выстрелах он поразит мишень 8 раз. Следствие. Вероятность того, что после испытаний событие раз, равна произойдет не более ; не менее раз ; хотя бы 1 раз 27 . Наиболее вероятное число успехов Очевидно, что каждому значению частоты соответствует свое значение вероятности . То есть, – является функцией аргумента . Вопрос: при каком значении значение является наибольшим? Число наступления события в независимых испытаниях называется наивероятнейшим (называется наивероятнейшей частотой), если Pn,m0 по крайней мере не меньше при . Значение наивероятнейшей частоты находится из неравенства: (длина отрезка равна1). Доказательство. Для нахождения напишем систему неравенств: Из простых соображений можно понять, что максимум частоты близок к числу , так как число опытов – , а вероятность при каждом опытеравна . Решим первое неравенство: После сокращения: (все части неравенства положительны) 28 ; . Решим второе неравенство: После сокращения: .▄ Замечание. Если – дробное число, то только одно значение . Если – целое число, то 2 значения наивероятнейшей частоты. Если – целое, то . Пример. Вероятность того, что кошка ловит в день 1 мышку, равна 0,4. Найти наивероятнейшее число мышей, пойманных за 17 дней. Ответ. 7. Пример. Из 10 яблок в среднем – 2 испорченных. Найти наивероятнейшее число хороших яблок из 9. Ответ. 7 или 8. 29 Локальная приближенная формула Лапласа Формула Бернулли дает точный результат, но ее применение при большом числе испытаний становится технически малопригодным. Возникает необходимость в отыскании приближенных формул. Локальная приближенная формула Лапласа (Муавра – Лапласа). При больших значениях и где функция Гаусса (затабулирована). Свойства функции Гаусса. Свойство 1. –четная. Свойство 2. и имеет единственный максимум при Свойство 3. свойство нормированности: . 0,3 0,2 0,1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 30 Чем больше , тем точнее формула. Более определенно: точность улучшается с ростом . Обычно формулой пользуются, когда . Видно, что чем ближе или к нулю, тем большим следует брать . Поэтому в случае или близких к нулю используются другие формулы (Пуассона). Пример. Монету бросают 100 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет 55 раз? Решение. Так как npq 100 0,5 0,5 25 > 10 , Интегральая приближенная формула Лапласа По этой формуле приближенно вычисляется не то есть, вероятности произойдет не менее , а суммы . Это вероятность того, что событие раз и не более раз.При где – функция Лапласа или интеграл вероятностей (затабулирована). Свойства Свойство 1. . – нечетная функция; Свойство 2. – монотонно возрастает. . 31 0,5 -0,5 Пример. Монету бросают 100 раз. Найти вероятность, что число появлений герба . Так как npq 100 0,5 0,5 25  10 , Оценка отклонения относительной частоты от вероятности В условиях схемы Бернулли с заданными значениями и постараемся для заданного оценить вероятность события ; Таким образом, получилиформулу , где . Применяя интегральную приближенную формулу Лапласа ; 32 Предельная теорема и приближенные формулы Пуассона Будем считать, для определенности, что число мало (в противном случае, если мало, события и поменяем местами). Такие события называются массовыми ( велико) и редкими ( мало). Предельная ТЕОРЕМА Пуассона. Предположим, что фиксировано, а и меняются, , а притом так, что величина остается постоянной . Тогда , Доказательство. 33 устремим Согласно второму замечательному пределу Получаем ▄ Замечание. Строго говоря, условие теоремы Пуассона при , противоречит условиям схемы Бернулли, где . Однако, если вероятность постоянна и мала, число – велико, то получаем приближенную формулы Пуассона: При этом Для формулы Пуассона удается точно оценить ошибку приближения, она равна , поэтому условие ее применимости имеет вид: . Случайные величины Случайная величина –это переменная, которая в результате испытания принимает одно из своих возможных [числовых] значений, причем заранее неизвестно, какое именно, так как это зависит от случая. Случайные величиныобозначаются латинскими буквами , , . Их возможные значения . Примеры. Число студентов на лекции. Рост наугад отобранного студента. 34 Более строгослучайная величина определяется как функция, заданная на пространстве элементарных событий (множестве элементарных исходов), то есть f (ω), где – элементарный исход . Например, Случайная величина года. , – число дней во взятом наугад месяце ,… Определение. Случайной величиной, связанной с данным вероятностным пространством ,называется действительная функция , определенная на пространстве элементарных событий , такая, что для действительного числа множество элементарных событий, для которых выполняется неравенство , является событием (то есть ). Случайные величины описываются законом распределения вероятностей, то есть соответствием между возможными значениями случайных величин и их вероятностями. Закон распределения имеет различные формы. Функция распределения вероятностей (интегральная функция распределения) Функцией распределения случайной величины определенная равенством называется функция, . Свойства. Свойство 1. Свойство 2. , так как это вероятность. – неубывающая функция, то есть если , . Доказательство. Пусть . 35 Событие представляет собой сумму несовместных событий. (1) .▄ Свойство 3. Свойство 4. непрерывна слева в любой точке. Свойство 5. , (следует из формулы (1), если положить Свойство 6. , .) =x1 равен P ( X x1 ) . Независимостьслучайных величин Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какое возможное значение приняла другая случайная величина. Пусть задана система случайных величин . Будем говорить, что и независимы, если независимы события и , где и – любые два подмножества возможных значений Xи Yсоответственно. Иными словами выполняется равенство . В дальнейшем понятие независимости случайных величин будет уточнено. Дискретные случайные величины Наиболее удобными для изучения являются так называемые дискретные случайные величины. Они характеризуются тем, что их множество возможных значений конечно или счетно. 36 Закон распределения дискретной случайной величины может быть заданрядом распределения. … … … … (1) Свойство. Для дискретной случайной величины функция распределения – это функция ступенчатого типа(кусочно-постоянная). Она терпит разрыв в точках причем имеет в этих точках скачки . 1 Независимость дискретных независимость событий и случайных , величин , и означает . . Функция от случайной величины Пусть – случайная величина. Часто возникает необходимость в рассмотрении случайной величины вида , где – заданная числовая функция. Если – непрерывная функция, то соотношение определяет случайную величину . Если закон распределения случайной величины задан таблицей (1), то закон распределения задан таблицей 37 … Если среди имеются равные, то соответствующие столбцы надо объединить в один столбец, сложив соответствующие вероятности. Пример. -2 0,2 -1 0,2 0,2 1 0,2 2 0,2 4 0,2 1 0,2 0,2 1 0,2 4 0,2 0,2 1 0,4 4 0,4 Суммой (разностью или произведением) случайных величин и называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида ( или ), где , с вероятностями . Если случайные величины и независимы, то есть независимы любые события , , то по теореме умножения . Пример. Найти а) 0,5 2 0,2 4 0,3 -2 0,1 0,6 2 0,2 , б) 38 Числовые характеристики дискретных случайных величин Закон распределения случайной величины дает исчерпывающую информацию о ней. Однако, во многих случаях удобно ограничиться так называемыми числовыми характеристиками. Математическое ожидание Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется величина (если число возможных значений конечно) или (если число возможных значений бесконечно, причем, математическое ожидание , если ряд сходится абсолютно) (так как, ряд может и расходиться, то соответствующая случайная величина может и не иметь математического ожидания) Пример. … … … … У этой случайной величины математическое ожидание не существует. 39 Математическое ожидание случайной величины – это неслучайная постоянная величина. Она имеет размерность случайной величины. Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины, центр ее распределения. Нельзя путать математическое ожидание с наиболее вероятным значением случайной величины. Неправильно говорить «среднее ожидаемое». Пример. Пусть случайная величина Х – число очков на игральной кости. Ее ряд распределения 4 6 Математическое ожидание Х равно E (X ) 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6 3,5 . Очевидно, бесполезно ожидать, что на кубике выпадет 3,5 очка. Пример из механики. Если массы расположены в точках с абсциссами , то абсцисса центра тяжести системы материальных точек вычисляется по формуле Можно сказать, что математическое ожидание «средневзвешенное»значение случайной величины. 40 Интерпретация математического ожидания в финансовом анализе. Пример из финансового анализа. Пусть случайная величина – доходность некоторого актива (например, акции), известно ее распределение, то есть значения доходности и их вероятности за рассматриваемый промежуток времени. Тогда математическое ожидание выражает среднюю (прогнозную) доходность актива. Свойства. Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой. . Доказательство. . Свойство 2. Постоянный множитель математического ожидания. можно вынести за знак Доказательство. … … … … … … … … Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий. Доказательство. Для простоты будем считать, что значений. Обозначим , и принимают конечное число , . 41 Замечание. Формула обобщается на любое число слагаемых . Свойство 4. Если случайные величины и независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий: . Доказательство. Опять рассмотрим для простоты конечное число возможных значений. … … … … ( вынесем за знак) 42 Свойство 5. Если – числовая функция и величина, то Свойство 6. Если – дискретная случайная – выпуклая функция, то – неравенствоЙенсена. функции (Выпуклость – это , где выпуклость . вниз Дисперсия Рассмотрим пример: -100 -50 50 100 -0,02 -0,01 0,01 0,02 . Математическое ожидание не полностью характеризует случайную величину; нужно выяснить, насколько рассеяны ее возможные значения вокруг центра, то есть математического ожидания. Для этого вводят новую числовую характеристику, называемую дисперсией. Слово «дисперсия» означает «рассеяние». Назовем случайную величину – , где отклонением. … … … … 43 На первый взгляд, кажется, что нужно найти среднее значение (математическое ожидание) отклонения случайной величины от ее центра, но . Поэтому вычисляют среднее значение квадрата отклонения. Это и есть дисперсия. (Величина - среднее значение модуля отклонения, называемая средним линейным отклонением неудобна в пользовании). Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Для дискретной случайной величины (если число возможных значений конечно) и (если число бесконечно) возможных значений неслучайная постоянная величина, она имеет размерность квадратаслучайной величины, что не всегда удобно, Поэтому в качестве меры рассеяния (разброса) возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания используют величину , имеющую ту же размерность и называемую средним квадратичным (квадратическим) отклонением случайной величины или стандартным отклонением. Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения, то можно рассматривать как некоторую среднюю характеристику самого отклонения, точнее, величины . . 44 В финансовом анализе. Если случайная величина – доходность некоторого актива, то дисперсия или – выражает меру отклонения доходности от ожидаемого среднего значения, то есть риск данного актива. ТЕОРЕМА. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания. . (*) Доказательство. Следствие. . Свойства. Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна (постоянная величина не имеет рассеяния). нулю. Доказательство. . Свойство 2. Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате . Доказательство. . Свойство 3. Рассмотрим дисперсию суммы 45 . Величина называютковариацией корреляционным моментом случайных величин и , и обозначают или σ(X,Y). или . Ковариация имеет размерность произведения размерностей случайных величин и . ТЕОРЕМА. Если и независимы, то их ковариация равна нулю. Доказательство. Обозначим . Тогда ▄ Если и независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсии и дисперсия разности 46 – тоже равна сумме дисперсий. Следствие. Величины и независимы . Замечание.Если случайные величины XиYнезависимы, то ) = D(X) . Доказательство. ) ) Прибавим и вычтем слагаемое = = = = D(Y) + =(D(X)+ =D(X) D(Y)+D(Y) .▄ Свойства ковариации. Свойство 1. Свойство 2. Свойство 3. Свойство 4. Если и независимы, то Свойство 5. Свойство 6. Свойство 7. Свойство 8. . Если , то случайные величины и называются некоррелированными. Таким образом, по свойству 4 из независимости и следует их некоррелированность. Обратное неверно. Ковариация может использоваться как характеристика линейной взаимосвязи и . Например, положительный знак 47 свидетельствует о том, что в колебательной динамике случайных величин преобладают отклонения от средних значений в одном направлении. и Ковариационной матрицей называется матрица вида: . Для характеристики уровня линейной взаимосвязи между подходит безразмерная характеристика и больше –коэффициент корреляции. Свойства. Свойство 1. Свойство 2. Доказательство. Рассмотрим случайную величину , и – константы. Вычислим . Так как , то и . . Свойство 3. Условие равнозначно существованию констант и таких, что равенство выполняется с вероятностью 1. 48 При этом, если , то , если , то – при корреляционная связь между признаками и представляет собой линейную функциональную зависимость; при линейная корреляционная связь между и отсутствует, но может присутствовать нелинейная. Чем ближе к единице, тем теснее линейная связь между признаками и . Коэффициент детерминации указывает долю дисперсии одной случайной величины, обусловленную вариацией другой. Соответственно, показывает долю остаточной дисперсии случайной величины, объясняемой не включенными в рассматриваемую двумерную модель факторами. Корреляционная матрицаимеет вид: . Свойства ковариационной и корреляционной матриц Свойство 1. Ковариационная и корреляционная матрицы симметричны. Свойство 2. Ковариационная и корреляционная матрицы неотрицательно определены. Свойство 3. Определители этих матриц неотрицательны. Более того . Примечание. Корреляция – это статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющая строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой. Количественные критерии оценки тесноты связи. Величина коэффициента Характер связи корреляции практически отсутствует до 49 слабая умеренная сильная Основные законы распределения дискретных случайных величин Биноминальное распределение Дискретная случайная величина имеет биноминальный закон распределения, если она принимает целочисленные неотрицательные значения с вероятностями, вычисляемыми по формуле Бернулли: … … 1 … … Случайная величина может быть представлена в виде суммы независимых случайных величин (представляющих собой число наступления события в i-том испытании), каждая из которых имеет один и тот же закон распределения Бернулли: Следовательно 1 . Учитывая, что случайные величины независимы, согласно свойствам математического ожидания и дисперсии, получим 50 Закон распределения Пуассона Дискретная случайная величина имеет закон распределения Пуассона с параметром , если она принимает целочисленные, неотрицательные значения (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями, вычисляемыми по формуле Пуассона: где 1 2 … … … … – параметр распределения Пуассона. Найдем числовые характеристики случайной величины . Вычислим дисперсию Найдемсначала 51 Тогда Таким образом, Сумма независимых случайных величин , распределенных по закону Пуассона с параметрами и , распределена так же по закону Пуассона с параметром . Геометрический закон распределения Геометрическое распределение имеет случайная величина , равная числу испытаний по схеме Бернулли до первого успеха, с вероятностью успеха в единичном испытании .Закон распределения имеет вид: 1 2 3 … … … … Вычислим числовые характеристики для геометрического распределения: Ряд, записанный в скобках, получается почленным дифференцированием геометрической прогрессии ( –прибавим и вычтем) 52 будет доказано ниже. Производящие функции Производящей функцией последовательности чисел или обычной производящей функцией называется формальный ряд , где – формальная переменная. Если последовательность конечна или, начиная с некоторого места, все ее члены равны нулю, то получается конечная сумма: Говорят, что производящая функция представлена в замкнутом виде, если для указано конечное аналитическое выражение. Если – производящая функция последовательности , то – производящая функция последовательности , а производная – производящая функция последовательности . Если и – производящие функции последовательностей и , то – производящая функция последовательности . 53 Определение. Производящей функцией дискретной целочисленной случайной величины с законом распределения , где называется функция , заданная степенным рядом . Иначе говоря, – есть математическое ожидание случайной величины . Так как все , ряд сходится, по крайней мере, для закона распределения видно, что . Из свойства . . Таким образом, область сходимости ряда содержит точку . ТЕОРЕМА. Производящая функция суммы независимых случайных величин равна произведению производящих функций слагаемых. и . Доказательство. .▄ Для случайной величины, распределенной по закону Бернулли, Случайная величина, распределенная по биноминальному закону равна ,где Xiимеют распределение Бернулли, ее производящая функция . 54 Для случайной величины, распределенной по законуПуассона, ТЕОРЕМА. Сумма независимых случайных величин, распределенных по закону Пуассона, распределена по тому же закону. Доказательство. Пусть и распределены по закону Пуассона с параметрами и . , . Таким образом, случайная величина с параметром .▄ распределена по тому же закону Для случайной величины, распределенной по геометрическому закону, ТЕОРЕМА. Для дискретной случайной величины верны соотношения: с производящей функцией . . 55 Доказательство. – продифференцируем два раза почленно: Подставляя , получим . Следствие. Найдем с помощью производящей функции числовые характеристики для геометрического распределения. 56 Непрерывные и абсолютно непрерывные случайные величины Определение. Случайная величина распределения вероятностей называется непрерывной, если ее функция непрерывна в любой точке . Свойство . Для непрерывной случайной величины вероятность того, что она примет любое определенное значение равна нулю для . Доказательство. Представим в виде учитывая непрерывность Замечание. 57 В свете классического определения вероятности событие, вероятность которого равна нулю, невозможно. Однако было бы неверным считать событие невозможным. Дело в том, что классическое определение вероятности не подходит для непрерывных случайных величин. Но на практике это не приводит к недоразумениям, просто вместо вероятности нужнонаходить вероятность попадания случайной величины в интервал, содержащий х1,пусть даже сколь угодно малый. Следствие. Для непрерывных случайных величин . Можно дать другое определение непрерывной случайной величины: случайная величина непрерывна, если вероятность каждого ее отдельного значения равна нулю. Определение. Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если найдется такая неотрицательная функция называемая плотностью распределения (плотностью вероятности), такая, что вероятность попадания в промежуток равна f(x) a Полагая , b , получаем 58 Поэтому называют еще интегральной функцией распределения. Свойства. Свойство 1. по определению Свойство 2. Функция плотности обладает свойством нормированности Свойство 3. Во всех точках, где функция плотности непрерывна выполняется равенство , поэтому – называют еще дифференциальной функцией распределения. Определение. Абсолютно непрерывная случайная величина называется сосредоточенной на отрезке , если функция плотности равна нулю вне этого отрезка. Математическим ожиданием абсолютно непрерывной случайной величины называется величина (при этом математическое ожидание , если сходится интеграл Свойства. Для непрерывных случайных величин. 59 Свойство 1. Свойство 2. Свойство 3. Если случайные величины и независимы, то . Свойство 4. Пусть –абсолютно непрерывная случайная величина, – ее непрерывная плотность вероятности, и пусть – некоторая непрерывная функция, тогда если интеграл сходится абсолютно. Дисперсией абсолютно непрерывной случайной величины величина где называется . Из формулы следует Свойства. Свойство 1. Свойство 2. Свойство 3. Если и независимы, то Геометрическая интерпретация непрерывной случайной величины . . математического ожидания 60 Если имеется график функции распределения , то и – площади фигур, заключенных соответственно между осью и кривой на интервале и между кривой осями и на промежутке , где , прямой и Замечание. Возможные значения непрерывной случайной величины как бы «размазаны» по числовой оси или по отрезку с неравномерной плотностью, а возможные значения дискретной случайной величины сосредоточены в точках с весами . Кроме математического ожидания и дисперсии, в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения. Модой абсолютно непрерывной случайной величины называют ее наиболее вероятное значение, для которого плотность вероятности достигает максимума. Для дискретной случайной величины мода – это значение с наибольшей вероятностью. Если наиболее вероятных значений у распределения несколько, оно называется полимодальным, если оно единственно – унимодальным. Если распределение моды не имеет, оно называется немодальным. 61 Вероятностный смысл моды – в ее окрестность наиболее вероятно попадание случайной величины. Квантилемуровня (квантилем порядка случайной величины, при котором ) называется такое значение С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. -ой точкой называют квантиль порядка . Квантиль уровня (порядка) 0,5 называют медианой случайной величины и обозначают . Квантили порядка 0,25 и 0,75 называют нижним и верхним квартилями. Коэффициент вариации –это отношение (%) среднего квадратического отклонения случайной величины к ее математическому ожиданию 62 (предполагается, что ) Это – безразмерная характеристика степени рассеивания случайной величины. В экономике коэффициент вариации используют при моделировании технико-экономических показателей. Его применяют в тех случаях, когда степень рассеивания исходного параметра естественно описывать безразмерной характеристикой по отношению к среднему. Случайную величину будем называть нормированной, если , . Преобразование случайной величины называют нормированием случайной величины. Случайная величина является безразмерной. Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин Закон равномерного распределения на отрезке Определение. Будем говорить, что абсолютно непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения на отрезке (или равномерно распределена на этом отрезке), если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, то есть , если . Найдем из условия: 63 Таким образом, для равномерного распределения Функция распределения , при , найдем при При 1 a b 64 Мода не определена – распределение не модальное. Медиана равна . Для нахождения эксцесса вычислим 65 Вероятность попадания на отрезок [c,d] , содержащийся в исходном отрезке [a,b] равна Показательный (экспоненциальный) закон распределения Определение. Будем говорить, что абсолютно непрерывная случайная величина имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид: Найдем для показательного распределения функцию распределения вероятностей . 66 1 Найдем числовые характеристики показательного распределения: Для нахождения найдем сначала 67 Коэффициент вариации Мода не определена. Вычислим медиану . Вычислим для показательного распределения 68 при Кроме того, для показательного распределения ; . Примечание. Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности. Так, например, интервал времени между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром – интенсивностью потока. Типичным примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока случайных событий. Действительно, если имеется простейший поток случайных событий, характеризующийся параметром , то вероятность того, что за время не произойдет ни одного события потока, равна . Поэтому, если случайная величина обозначает время между последовательными событиями потока, то . Например, такими потоками будут поток пассажиров, прибывающих на остановку, поток клиентов, приходящих в банк. Наиболее простой пример случайной величины, распределенной по показательному закону – длительность службы электролампы, выбранной случайным образом из большой партии. Показательный закон распределения (и только он) обладает важным свойством: верно, что если промежуток времени , распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время , то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка, то есть закон распределения остается таким же, как и всего промежутка . Это свойство широко используется в марковских случайных процессах. 69 Нормальный закон распределения Определение. Будем говорить, что абсолютно непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение или подчинена нормальному закону, если она имеет плотность вероятности вида: Принадлежность случайной величины к нормальному распределению обозначается , . , – два параметра. Стандартным или нормированным нормальным законом называется случай, когда , . Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная его особенность состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Функция называется – кривая Гаусса. Ее график Вычислим функцию распределения вероятностей случайной величины. По общей формуле для нормальной 70 сделаем замену где –функция Лапласа или интеграл вероятности Таким образом, получаем формулу Непосредственно из этой формулы получим 71 Вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания на величину меньше заданного числа δ, вычисляется по формуле В частности, вероятность попадания случайной величины наотрезок , равна Таким образом, . Этот факт называется «правило трех сигм». То есть, практически достоверно, что все значения случайной величины, подчиненной нормальному закону . Вычислим числовые характеристики нормального закона. Сделаем замену переменной Таким образом, ожиданием. , то есть параметр совпадает с математическим 72 Сделаем замену применим интегрирование по частям: =σ2. Таким образом, для нормального распределения . – как и для всех симметричных распределений , Если – нормальная случайная величина, то случайная величина – также нормальна. Сумма нескольких независимых нормальных случайных величин является нормальной случайной величиной. Логарифмически-нормальное распределение Определение. Абсолютно непрерывная случайная величина имеет логарифмически-нормальное (логнормальное) распределение, если ее логарифм подчинен нормальному закону, то есть , если . В финансовых приложениях это распределение имеет особое значение. 73 Начальные и центральные моменты случайных величин Обобщением числовых характеристик распределения – математического ожидания и дисперсии являются начальные и центральные моменты. Определение. Начальным моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание k-той степени случайной величины : . Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание . Для дискретных случайных величин Для абсолютно непрерывных случайных величин . Определение. Центральным моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание k-той степени отклонения , где – математическое ожидание . . 74 Первый центральный момент равен нулю, второй представляет собой дисперсию. , . Для дискретных случайных величин Для непрерывных случайных величин Центральные моменты выражаются через начальные моменты формулами: ; ; . Свойство 1. Если и независимы, то . Свойство 2. Для независимых случайных величин и . 75 Для произвольного числа независимых слагаемых . Определение. Асимметрией распределения называется отношение третьего центрального момента к кубу среднего квадратического отклонения. Замечание. Асимметрия случайной величины совпадает с третьим начальным (центральным) моментом соответствующей нормированной случайной величины. Если асимметрия положительна, то максимальная ордината кривой плотности распределения (для абсолютно непрерывной случайной величины с одним максимумом) смещена влево от математического ожидания и смещена, тем более, чем больше асимметрия. При отрицательной асимметрии кривая плотности смещена вправо от математического ожидания. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то . A>0 A<0 Определение. Эксцессом распределения называется величина [У нормального распределения поэтому 3 вычитается]. 76 Эксцесс служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения. Кривые, более островершинные, чем нормальные, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом. Для нормального распределения асимметрия и эксцесс равна нулю. Асимметрия и эксцесс инвариантны относительно преобразования , и : . Если – независимые случайные величины, распределенные по тому же закону, что и случайная величина , то Закон больших чисел В широком смысле под законом больших чисел понимается свойство устойчивости массовых явлений, состоящее в том, что средний результат действия большого числа явлений практически перестает быть случайным и может быть предсказан с достаточной определенностью. В узком смысле под законом больших чисел понимают совокупность теорем, устанавливающих факт приближения средних характеристик, полученных по результатам большого числа наблюдений, к некоторым постоянным величинам. В основе доказательства этих теорем лежит неравенство Чебышева. ТЕОРЕМА (неравенство Чебышева). Рассмотрим случайную величину с математическим ожиданием и дисперсией . Для , вероятность того, что случайная величина 77 отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на ограничена сверху числом , , то есть Доказательство. 1. Предварительно докажем другое неравенство, также принадлежащее Чебышеву:если случайная величина принимает только неотрицательные значения, то . (*) а) Докажем сначала неравенство (*) для дискретной случайной величины. Пусть – дискретная случайная величина, с рядом распределения : … … … … Тогда = m, так как все . б) Докажем теперь неравенство (*) для абсолютно непрерывной случайной величины. Пусть -абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью вероятности . Тогда Таким образом, . 78 2. Докажем теперь неравенство Чебышева. Неравенство величина равносильно неравенству . Случайная – неотрицательна и к ней можно применить неравенство (*). Таким образом, ▄ Замечание 1. Неравенство Чебышева часто записывают в форме Замечание 2. В случае , получаем Полученное утверждение называютправилом трех сигм. В действительности, для большинства встречающихся на практике случайных величин, эта вероятность значительно ближе к 1, чем . У нормального распределения она равна 0,997. На практике в качестве интервала возможных значений случайных величин принимают интервал . 79 Различные формы закона больших чисел Теорема Чебышева Пусть имеется бесконечная последовательность – независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной с: ; Тогда для Доказательство. Рассмотрим случайную величину S n X 1 ... X n и найдем ее числовые n характеристики Так как, – независимы, то Применим неравенство Чебышева к случайной величине Используя неравенство . , получим 80 ▄ Подчеркнем смысл теоремы Чебышева. При достаточно большом числе случайных величин становитсяпрактически достоверно, что их средняя – величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величины , то есть практически перестает быть случайной. Широко используемые в математической статистике состоятельные оценки параметров используют понятие сходимости по вероятности. Определение. Последовательность случайных величин к случайной величине , если для …сходится по вероятности Теорема Бернулли Пусть имеет место схема Бернулли, то есть, производится независимых испытаний, в каждом из которых событие может наступить с вероятностью . Случайная величина – число наступлений события . Для То есть, с увеличением числа испытаний становится сколь угодно достоверным факт, что относительная частота события отличается от его вероятности меньше, чем на (сколь угодно малое). Доказательство. Отметим, что случайная величина величины имеют распределение Бернулли: : 1 , где случайные ; Таким образом, выполняются всеусловия теоремы Чебышева, т.е. 81 ▄ Смысл теоремы Бернулли состоит в том, что при большом числе испытаний практически достоверно, что частость (или относительная частота, или статистическая вероятность) события – величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величины , то есть практически перестает быть случайной. Теорема Бернулли дает теоретическое обоснование замены неизвестной вероятности события его статистической вероятностью. Теорема дает возможность обосновать применение на практике вероятностных методов исследования. Центральная предельная теорема В законе больших чисел шла речь об устойчивости средних характеристик большого числа опытов, то есть об устойчивости сумм вида Но оказывается, что при некоторых условиях закон распределения близок к нормальному закону. Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. ТЕОРЕМА. Центральная предельная теорема в форме Ляпунова. Если – последовательность независимых случайных величин, у каждой из которых математическое ожидание , дисперсия и абсолютный центральный момент третьего порядка такие, что 82 то закон распределения суммы при неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией [Смысл условий теоремы состоит в том, что удельный вес каждого слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых.] Уточним смысл слов «неограниченно приближается к нормальному». Пронормируем случайную величину . Теперь , . Тогда Наиболее известной является центральнаяпредельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Для бесконечной последовательности одинаково распределенных случайных величин для которых математическое ожидание , дисперсия и абсолютные центральные моменты третьего порядка , функции распределения нормированных частичных сумм стремятся при к функции распределения нормального закона с параметрами 0 и 1, то есть Следствие. 83 Распределение суммы большого числа независимых случайных величин при общих условиях близко к нормальному. Этим и определяется особая роль нормального закона. Пример. Для независимых случайных распределенных на отрезке найти величин равномерно Решение. .▄ Проиллюстрируем центральную предельную теорему на примере суммирования независимых случайных величин, равномерно распределенных на отрезке . Графики плотностей распределения имеют вид: 1 1 1 1 2 84 1 1,5 2 3 Сумма – уже имеет плотность вероятности практически неотличимую от нормальной. Обоснование интегральной приближенной формулы Лапласа. Пусть – число наступления события в испытаниях. Очевидно, что , где – число наступлений в i-том испытании. 1 имеют распределение Бернулли : , , ▄ 85 Случайные векторы (Многомерные случайные величины) Очень часто результат испытания характеризуется не одной случайной величиной, а некоторой системой случайных величин , которую называют также многомерной случайной величиной или случайным вектором . Случайные величины , входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными. Случайные величины называются компонентами случайного вектора. Рассмотрим двумерный случай. Определение. Упорядоченная пара случайных величин , определенных на пространстве элементарных событий = X× Y, называется системой случайных величин, двумерным случайным вектором или двумерной случайной величиной. Пара чисел называются возможными значениями случайного вектора , если для некоторого элементарного исхода имеем , . Систему случайных величин можно интерпретировать как случайную точку на плоскости или как случайный вектор. Подмножество называется борелевским подмножеством, если оно принадлежит минимальной σ-алгебре, содержащей все открытые подмножества в . Борелевскими множествами являются: точки, прямые, открытые и замкнутые многоугольники, полуплоскости, круги и т.д. Определение. Функцией распределения двумерной случайной величины называется вероятность совместного наступления двух событий и : . Свойства. Свойство 1. Свойство 2. . не убывает по обоим аргументам, то есть при ; 86 при Свойство 3. . непрерывна слева по обоим аргументам, то есть Свойство 4. Свойство 5. Свойство 6. где и – функции распределения случайных величин и . Свойство 7. Дискретные случайные векторы Для простоты будем рассматривать случай, когда конечное число значений. и принимают Определение. Законом распределения дискретного случайного вектора называется набор его возможных значений, то есть пар чисел , и их вероятностей , , . Закон распределения удобно задавать таблицей: … … … … … … … 87 Отметим, что Зная закон распределения случайного вектора, , легко найти законы распределения его компонент. Так как все события несовместны, то , , …………………………………….. – то есть вероятность равна сумме чисел в i-том столбце таблицы. Аналогично, . . …………………………………….. . Абсолютно непрерывные случайные векторы Определение. Случайный вектор называется абсолютно непрерывным, если найдется неотрицательная функция называемая плотностью распределения (плотностью вероятности), такая что для множества , для которого интеграл вероятность попадания точки в находится по формуле 88 Функция распределения абсолютно непрерывного случайного вектора является непрерывной и выражается через его плотность вероятности Свойства плотности распределения. Свойство 1. . Свойство 2. (свойствонормированности) Свойство 3. в каждой точке непрерывности . Компоненты абсолютно непрерывного случайного вектора также являются абсолютно непрерывными. Их плотности вероятности равны Определение. Случайный вектор называется сосредоточенным на множестве , если . В этом случае пределы интегрирования зависят от вида области . Случайный вектор называется равномерно распределенным в области , если он имеет плотность распределения вида: 89 где – площадь . Вероятность попадания в область равномерно распределенного в области геометрических вероятностей. случайного вектора , , находится по формуле Независимость компонент случайного вектора Определение. Говорят, что случайные величины борелевских множеств и на прямой и независимы, если для любых . Сформулируем условие независимости компонент случайного вектора ТЕОРЕМА. Для случайного вектора тогда, когда . его компоненты независимы тогда и только . Кроме того, для абсолютно непрерывного случайного вектора компоненты независимы тогда и только тогда, когда его . Числовые характеристики случайного вектора Математическое ожидание функции вектора вычисляется по формуле: от компонент случайного 90 для абсолютно непрерывного случайного вектора. А для дискретного случайного вектора Важный частный случай: –для дискретного случайного вектора, - для абсолютно непрерывного случайного вектора. Числовые характеристики компонент случайного вектора находятся по формулам: Ковариация компонент случайного вектора находится по формуле: 91 . Для дискретного случайного вектора: Для абсолютно непрерывного: В финансовых приложениях часто используется ковариационная и корреляционная матрицы. Ковариационная матрица набора случайных величин – квадратная матрица порядка ковариаций. Корреляционная матрица порядка коэффициентов корреляции. , составленная из парных составлена из всех парных . В двумерном случае . Свойства. Свойство 1. Ковариационная и корреляционная матрицы являются симметричными. Свойство 2. Ковариационная и корреляционная матрицы неотрицательно определены. 92 Свойство 3. Определители этих матриц неотрицательны. Более того, . , . Условные распределения и условные математические ожидания Определение. Условным законом распределения одной из компонент случайного вектора называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая компонента приняла определенное значение или попала в какой-то интервал. Если случайные величины и дискретные, то их условные законы распределения вычисляются с помощью теоремы умножения вероятностей. Пример. Случайная величина Найти распределена по закону 0,16 0,15 0,14 0,18 0,12 0,25 . 93 Решение. Ответ. Чтобы получить условный закон распределения случайной величины при условии, что , надо еще вычислить Условный закон распределения имеет вид 1 2 3 Отметим, что ▄ Аналогично, вычисляются условные вероятности Определение. Функция условного распределения значение имеет вид: при условии, что принимает 94 Функция условного распределения значения . при условии, что принимает Для абсолютно непрерывных случайных величин условная плотность определяется аналогичным образом Если случайные величины равны безусловным и независимы, то их условные плотности Условную плотность можно рассматривать, как плотность некоторой случайной величины, она обладает всеми соответствующими свойствами. Определение. Условным математическим ожиданием случайной величины при условии, что случайная величина приняла значение , называется величина (число) Аналогично, Аналогично, 95 Условные распределения удовлетворяют всем свойствам распределения вероятностей, поэтому и условные математические ожидания удовлетворяют всем свойствам математического ожидания. Пример. Найти Решение. . Имеем условный закон распределения: 1 96 Определение. Условным математическим ожиданием случайной величины относительно случайной величины называется случайная величина , которая принимает значения при . Аналогично,условным математическим ожиданием случайной величины относительно случайной величины называется случайная величина , которая принимает значения при . Свойства условного математического ожидания. Свойство 1. , где . Свойство 2. , где Свойство 3. . Свойство 4. Если Свойство 5. и – постоянные. и – независимые и . случайные величины, то . Пример. Распределение случайного вектора задано таблицей: 0,2 0,2 0,3 0,1 Найти условное математическое ожидание Решение. 0,1 0,1 . 97 0,5 0,3 0,2 Понятие условного математического ожидания можно распространить на абсолютно непрерывные случайные величины, при этом сохраняются все свойства. ТЕОРЕМА – формула полного математического ожидания. ; . Если – дискретная случайная величина, то это означает, что выполняется равенство Пример. Для иллюстрации формулы полного математического ожидания в условиях предыдущего примера вычислим . X P 0,5 0,5 98 E(X) = 1 +2 Замечание. Отметим, что . Определение. Условной дисперсией случайной величины относительно случайной величины называется случайная величина . , которая принимает значение при . Значение определяется формулой: Свойства условной дисперсии. Свойство 1. . Свойство 2. . Свойство 3. Свойство 4. Если . и – независимые случайные величины, то . Свойство 5. . Понятие условной дисперсии можно распространить на абсолютно непрерывные случайные величины, при этом все ее свойства сохраняются. ТЕОРЕМА – формула полной дисперсии. . 99 . Пример. В условиях предыдущего примера найдем дисперсию . . 0,5 0,3 0,2 Проиллюстрируем формулу полной дисперсии: E( ; D(E( )= ; D(X) = + = . С другой стороны, вычисляя D(X) обычным способом, получаем: D(X) = 1 = 0,5 + 2 – 2,25 = 0,25. 100 Двумерные нормальные векторы Определение. Случайный вектор распределение с имеет невырожденное двумерное нормальное параметрами , , , , , если его функция плотности распределения имеет вид Для представления функции матрицей вектора . ТЕОРЕМА. Если воспользуемся ковариационной , то , , . Если , , , тогда случайный вектор имеет стандартное или нормированное нормальное распределение на плоскости с функцией плотности вероятности: ТЕОРЕМА. 101 Для нормального случайного вектора понятия независимости и некоррелированности его компонент и эквивалентны. ТЕОРЕМА. Если случайный вектор , то имеет нормальное распределение то есть, условная плотность одной из компонент при фиксированном значении другой является нормальной, причем справедливы формулы: 102 ЛИТЕРАТУРА 1. А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А. В. Браилов. Математика в экономике. Часть 3. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Финансы и статистика, 2008. 2. Браилов A. В., Зададаев С. А., Рябов П. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические рекомендации по самостоятельной работе. Часть 1. 3. Браилов A. В., Рябов П. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические рекомендации по самостоятельной работе. Часть 2. 4. Браилов A. В., Рябов П. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические рекомендации по самостоятельной работе. Часть 3. 5. Браилов A. В., Рябов П. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические рекомендации по самостоятельной работе. Часть 4. 6. Браилов А.В., Гончаренко В.М., Зададаев С.А., Коннов В.В. Вопросы и задачи по теории вероятностей. Для студентов бакалавриата экономики. М.: Финансовый университет при Правительстве РФ, кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика», 2010. 7. А.В. Браилов, А.С. Солодовников. Сборник задач по курсу «Математика в экономике». Часть 3. М.: Финансы и статистика, ИНФРА-М, 2010. 8. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики. Н.Ш. Кремер [и др.]; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2011. 9. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика - М., Высш.шк., 2003. 10.Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М., Высш.шк., 1979. 11.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. 12.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Айрис-пресс, 2004. 13.В.С. Мхитарян, Л.И. Трошин, Е.В. Астафьева, Ю.Н. Миронкина. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб пособие. Под ред. В.С. Мхитаряна. М.: Маркет ДС, 2010. 14.А.А. Гусак, Е.А. Бричикова. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. Минск.:ТетраСистемс,2003. 15.Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие. Москва: ИКЦ «МарТ»; Ростов н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005. 103 16.Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Эксмо, 2008. 17.В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский. Теория вероятностей и математическая статистика. Под ред. В.А. Колемаева. М.: Высш. шк.. 1991. 18.Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения. Под ред. К.А. Рыбникова. М.: Наука. Главная редакции физико-математической литературы, 1982. 104