Теория вероятностей

ЛЕКЦИЯ 1. Теория вероятностей. Основные понятия. Определение. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. Т.е. в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда. В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае событие А может произойти совместно с событием В, в другом – нет. Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте). Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта. Определение. Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта. Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий. Определение. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью. В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного. Исходя из этих общих понятий можно дать определение вероятности. Определение. Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий. P ( A) m n Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А. Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. 0 P( A) 1 Пример. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым. Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С. Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем: 3 2 5 ; P( B) ; P(C ) ; 10 10 10 Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P( A) Определение. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов. Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта. Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна: 2 W ( A) 5 Как видно, эта величина не совпадает с найденной вероятностью. При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события. Вообще говоря, классическое определение вероятности – довольно относительное. Это обусловлено тем, что на практике сложно представить результат опыта в виде совокупности элементарных событий, доказать, что события равновероятные. К примеру при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д. Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Чтобы преодолеть этот недостаток вводится понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства). Так если на отрезке длиной L выделен отрезок длины l, то вероятность попадания наугад взятой точки в отрезок l равна отношению l/L. 2 Операции над событиями. Определение. События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот. Определение. Объединением или суммой событий Аk называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий Аk. A  Ak k Определение. Пересечением или произведением событий Ak событие А, которое заключается в осуществлении всех событий Ak. A  Ak называется k Определение. Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит событие А, но не происходит событие В. C A\ B Определение. Дополнительным к событию А называется событие означающее, что событие А не происходит. А, Определение. Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие. Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий. Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P( A B) P( A) P( B) Следствие 1: Если события A1 , A2 ,..., An образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице. n P ( Ai ) 1 i 1 Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу. Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. P( A B) P( A) P( B) P( AB) Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. P ( A) P ( A ) 1 3 Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Определение. Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В. PA ( B) P( B / A) P( AB ) / P( A) Теорема. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило. P( AB ) P( A) P( B / A) P( A) PA ( B) Также можно записать: P( AB ) P( A) P( B / A) P( B) P( A / B) P( B) PB ( A) Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения условной вероятности. Если события независимые, то P( B / A) P( B) , и теорема умножения вероятностей принимает вид: P( AB) P( A) P( B) В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились. P( A1 A2 ... An ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 )... P( An / A1 A2 ... A n 1 ) Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события. Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна P( A) 1 q1 q 2 ...q n Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий Ai, а qi – вероятность противоположных событий A1 , A2 ,..., An . Пример. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червонная карта. 4 Обозначим появление хотя бы одной бубновой карты – событие А, появление хотя бы одной червонной карты – событие В. Таким образом нам надо определить вероятность события С = А + В. Кроме того, события А и В – совместны, т.е. появление одного из них не исключает появления другого. Всего в колоде 13 червонных и 13 бубновых карт. При вытаскивании первой карты вероятность того, что не появится ни 26 25 червонной ни бубновой карты равна , при вытаскивании второй карты , третьей 52 51 24 23 , четвертой . 50 49 Тогда вероятность того, что среди вынутых карт не будет ни бубновых, ни 26 25 24 23 червонных равна P(C ) . 52 51 50 49 Тогда P(C ) 1 P(C ) 0,945 Пример. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей? Вероятность выпадения 6 очков при одном броске кости равна того, что не выпадет 6 очков выпадет ни разу 6 очков равна p 1 . Вероятность 6 5 . Вероятность того, что при броске трех костей не 6 5 6 3 125 . 216 Тогда вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков равна 125 91 . 1 216 216 Пример. В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке. Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза. Найти вероятности хотя бы одного выстрела, двух выстрелов, двух осечек. Вероятность выстрела при первом нажатии на курок (событие А) равна 4 2 , вероятность осечки - P( A ) P(A) . Вероятность выстрела при втором нажатии 6 3 на курок зависит от результата первого нажатия. Так если в первом случае произошел выстрел, то в барабане осталось только 3 патрона, причем они распределены по 5 гнездам, т.к. при втором нажатии на курок напротив ствола не может оказаться гнездо, в котором был патрон при первом нажатии на курок. 3 Условная вероятность выстрела при второй попытке - P( B / A) , если в 5 4 первый раз был выстрел, P( B / A ) - если в первый раз произошла осечка. 5 5 Условная вероятность осечки во второй раз - P( B / A) 2 , если в первый раз 5 1 - если в первый раз была осечка. 5 Рассмотрим вероятности того, что во втором случае произойдет выстрел (событие В) или произойдет осечка (событие В ) при условии, что в первом случае произошел выстрел (событие А) или осечка (событие А ). произошел выстрел, P( B / A ) 4 3 6 0,4 - два выстрела подряд 6 5 15 1 4 4 P( B) P( A ) P( B / A ) 0,267 - первая осечка, второй выстрел 3 5 15 4 2 4 P( B ) P( A) P( B / A) 0,267 - первый выстрел, вторая осечка 6 5 15 1 1 1 P( B ) P( A ) P( B / A ) 0,067 - две осечки подряд 3 5 15 Эти четыре случая образуют полную группу событий (сумма их вероятностей равна единице) Анализируя полученные результаты, видим, что вероятность хотя бы одного 6 4 4 14 выстрела равна сумме P1 0,933 15 15 15 15 P( B) P( A) P( B / A) Теперь рассмотрим другой случай. Предположим, что после первого нажатия на курок барабан раскрутили и опять нажали на курок. 4 Вероятности первого выстрела и первой осечки не изменились - P(A) , 6 2 P( A ) . Условные вероятности второго выстрела и осечки вычисляются из условия, 6 что напротив ствола может оказаться то же гнездо, что и в первый раз. 3 Условная вероятность выстрела при второй попытке - P( B / A) , если в 6 4 первый раз был выстрел, P( B / A ) - если в первый раз произошла осечка. 6 3 Условная вероятность осечки во второй раз - P( B / A) , если в первый раз 6 2 произошел выстрел, P( B / A ) - если была осечка. 6 Тогда: 4 3 3 P( B) P( A) P( B / A) 0,333 - два выстрела подряд 6 6 9 2 4 2 P( B) P( A ) P( B / A ) 0,222 - первая осечка, второй выстрел 6 6 9 4 3 3 P( B ) P( A) P( B / A) 0,333 - первый выстрел, вторая осечка 6 6 9 2 2 1 P( B ) P( A ) P( B / A ) 0,111 - две осечки подряд 6 6 9 В этом случае вероятность того, что произойдет хотя бы один выстрел, равна 6 P2 3 9 2 9 3 9 8 9 0,889 Пример. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков. Обозначим попадание в цель первым стрелком – событие А, вторым – событие В, промах первого стрелка – событие А , промах второго – событие В . P( A) 0,7; P( A ) 0,3; P( B) 0,8; P( B ) 0,2. Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, а второй – нет равна P( A) P( B ) 0,7 0,2 0,14 Вероятность того, что второй стрелок попадет в цель, а первый – нет равна P( A ) P( B) 0,3 0,8 0,24 Тогда вероятность попадания в цель только одним стрелком равна P 0,14 0,24 0,38 Тот же результат можно получить другим способом – находим вероятности того, что оба стрелка попали в цель и оба промахнулись. Эти вероятности соответственно равны: P( A) P( B) 0,7 0,8 0,56; P( A ) P( B ) 0,3 0,2 0,06 . Тогда вероятность того, что в цель попадет только один стрелок равна: P 1 0,56 0,06 0,38. Пример. Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей 2 окажется не бракованными. Обозначим бракованную деталь – событие А, не бракованную – событие А . P( A) 0,2; P( A ) 0,8; Если среди трех деталей оказывается только одна бракованная, то это возможно в одном из трех случаев: бракованная деталь будет первой, второй или третьей. P P( A) P( A ) P( A ) P( A ) P( A) P( A ) P( A ) P( A ) P( A) P 3 0,2 0,8 0,8 0,384 Пример. Вероятности того, что нужная деталь находится в первом, втором, третьем или четвертом ящике, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Найти вероятности того, что эта деталь находится: а) не более, чем в трех ящиках; б) не менее, чем в двух ящиках. а) Вероятность того, что данная деталь находится во всех четырех ящиках, равна P P1 P2 P3 P4 0,6 0,7 0,8 0,9 0,3024 . Вероятность того, что нужная деталь находиться не более, чем в трех ящиках равна вероятности того, что она не находится во всех четырех ящиках. 7 P( A) 1 P 1 0,3024 0,6976 . б) Вероятность того, что нужная деталь находится не менее, чем в двух ящиках, складывается из вероятностей того, что деталь находиться только в двух ящиках, только в трех ящиках, только в четырех ящиках. Конечно, эти вероятности можно посчитать, а потом сложить, однако, проще поступить иначе. Та же вероятность равна вероятности того, что деталь не находится только в одном ящике и имеется вообще. Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна P P1 q 2 q3 q 4 q1 P2 q3 q 4 q1 q 2 P3 q 4 q1 q 2 q3 P4 P 0,6 0,3 0,2 0,1 0,4 0,7 0,2 0,1 0,4 0,3 0,8 0,1 0,4 0,3 0,2 0,9 0,0036 0,0056 0,0096 0,0216 0,0404 Q 1 0,0404 0,9596 Вероятность того, что нужной деталь нет ни в одном ящике, равна: P0 q1 q 2 q3 q 4 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0024 Q0 1 0,0024 Искомая вероятность равна P( B) 0,9976 Q Q0 0,9596 0,9976 0,9573 . Формула полной вероятности. Пусть некоторое событие А может произойти вместе с одним из несовместных событий H 1 , H 2 ,..., H n , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий P( H 1 ), P( H 2 ),..., P( H n ) и условные вероятности наступления события А при наступлении события Hi P( A / H 1 ), P( A / H 2 ),..., P( A / H n ) . Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий H 1 , H 2 ,..., H n , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А. P ( A) n P( H i ) P( A / H i ) i 1 Фактически эта формула полной вероятности уже использовалась при решении примеров, приведенных выше, например, в задаче с револьвером. Доказательство. Т.к. события H 1 , H 2 ,..., H n образуют полную группу событий, то событие А можно представить в виде следующей суммы: A AH 1 AH 2 ... AH n n AH i i 1 Т.к. события H 1 , H 2 ,..., H n несовместны, то и события AHi тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий: P( A) n i 1 При этом P( AH i ) P( H i ) P( A / H i ) 8 P ( AH i ) Окончательно получаем: P ( A) n P( H i ) P( A / H i ) i 1 Теорема доказана. Пример. Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза. Вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок 1 равна . 3 Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны: - для первого стрелка: p12 0,4 2 0,16; - для второго стрелка: p 22 0,6 2 0,36; - для третьего стрелка: p32 0,8 2 0,64; Искомая вероятность равна: 1 2 1 2 1 3 p p1 p2 p3 3 3 3 1 (0,16 0,36 0,64) 3 9 29 75 ЛЕКЦИЯ 2 (начало). Формула Бейеса. (формула гипотез) Пусть имеется полная группа несовместных гипотез H 1 , H 2 ,..., H n с известными вероятностями их наступления P( H 1 ), P( H 2 ),..., P( H n ) . Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности P( A / H 1 ), P( A / H 2 ),..., P( A / H n ) . Требуется определить какие вероятности имеют гипотезы H 1 , H 2 ,..., H n относительно события А, т.е. условные вероятности P( H i / A) . Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события. P( H i ) P( A / H i ) P ( H i / A) n P( H i ) P( A / H i ) i 1 Эта формула называется формулой Бейеса. Доказательство. По теореме умножения вероятностей получаем: P( A) P( H i / A) P( H i ) P( A / H i ) P( H i ) P( A / H i ) . P( A) Для нахождения вероятности P(A) используем формулу полной вероятности. P( H i ) P( A / H i ) P ( H i / A) n P( H i ) P( A / H i ) Тогда если P( A) 0, P( H i / A) i 1 Если до испытания все гипотезы равновероятны с вероятностью P( H i ) формула Бейеса принимает вид: P ( H i / A) P( A / H i ) n i 1 10 P( A / H i ) p , то Повторение испытаний. Формула Бернулли. Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Допустим, что событие А наступает в каждом испытании с вероятностью Р(А)=р. Определим вероятность Рт,п того, что в результате п испытаний событие А наступило ровно т раз. Эту вероятность в принципе можно посчитать, используя теоремы сложения и умножения вероятностей, как это делалось в рассмотренных выше примерах. Однако, при достаточно большом количестве испытаний это приводит к очень большим вычислениям. Таким образом, возникает необходимость разработать общий подход к решению поставленной задачи. Этот подход реализован в формуле Бернулли. (Якоб Бернулли (1654 – 1705) – швейцарский математик) Пусть в результате п независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие А наступает с вероятностью Р(А) = р, а противоположное ему событие А с вероятностью P( A ) 1 p . Обозначим Ai – наступление события А в испытании с номером i. Т.к. условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Если в результате п опытов событие А наступает ровно т раз, то остальные п-т раз это событие не наступает. Событие А может появиться т раз в п испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из п элементов по т. Это количество сочетаний находится по формуле: n! C nm m!(n m)! Вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей: p m (1 p) n m Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем формулу Бернулли: n! Pm,n p m (1 p) n m m!(n m)! Формула Бернулли важна тем, что справедлива для любого количества независимых испытаний, т.е. того самого случая, в котором наиболее четко проявляются законы теории вероятностей. Пример. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель попали не менее трех раз. Вероятность не менее трех попаданий складывается из вероятности пяти попаданий, четырех попаданий и трех попаданий. Т.к. выстрелы независимы, то можно применить формулу Бернулли вероятности того, что в т испытаниях событие в вероятностью р наступает ровно п раз. Pm,n n! p m (1 p) n m!(n m)! 11 m В случае пяти попаданий из пяти возможных: P5,5 p 5 0,45 0,01024 Четыре попадания из пяти выстрелов: 5! 4 P4,5 p (1 p) 4! 1! 0,0768 Три попадания из пяти: P3,5 5! 3 p (1 p) 2 3! 2! 0,2304 Окончательно, получаем вероятность не менее трех попаданий из пяти выстрелов: P 0,01204 0,0768 0,2304 0,31744 12