Теория управления запасами

Математическое моделирование :: Теория управления запасами Незнахина Екатерина Дмитриевна1 1 Институт математики и механики УрО РАН им. Н.Н.Красовского Уральский федеральный университет 2020 Введение в предмет Исследование операций — теория математических моделей и методов принятия решений. Введение в предмет Исследование операций — теория математических моделей и методов принятия решений. 1 Наличие некоторого процесса Введение в предмет Исследование операций — теория математических моделей и методов принятия решений. 1 2 Наличие некоторого процесса Наличие управляющих воздействий Введение в предмет Исследование операций — теория математических моделей и методов принятия решений. 1 2 3 Наличие некоторого процесса Наличие управляющих воздействий Наличие цели, ради которой проводится операция Введение в предмет Исследование операций — теория математических моделей и методов принятия решений. 1 2 Наличие некоторого процесса Наличие управляющих воздействий 3 Наличие цели, ради которой проводится операция 4 Выбор наилучшего (оптимального) управления, при котором достигается цель Введение в предмет Исследование операций — теория математических моделей и методов принятия решений. 1 2 Наличие некоторого процесса Наличие управляющих воздействий 3 Наличие цели, ради которой проводится операция 4 Выбор наилучшего (оптимального) управления, при котором достигается цель Операция — система действий, объединенная единым замыслом и направленная на достижение определенной цели. Введение в предмет Исследование операций — теория математических моделей и методов принятия решений. 1 2 Наличие некоторого процесса Наличие управляющих воздействий 3 Наличие цели, ради которой проводится операция 4 Выбор наилучшего (оптимального) управления, при котором достигается цель Операция — система действий, объединенная единым замыслом и направленная на достижение определенной цели. Основная задача теории оптимальных решений состоит в представлении обоснованных рекомендаций для принятия оптимальных решений. Введение в предмет Введение в предмет Математическая модель — объективная схематизация основных аспектов решаемой задачи или ее описание в математических терминах. Введение в предмет Математическая модель — объективная схематизация основных аспектов решаемой задачи или ее описание в математических терминах. Математическая модель описывает исследуемую систему и позволяет выразить ее эффективность в виде целевой функции W = f (X, Y ), где X = (x1 , . . . , xn ) — управляемые переменные, Y = (y1 , . . . , ym ) — неуправляемые переменные (исходные данные). Введение в предмет Математическая модель — объективная схематизация основных аспектов решаемой задачи или ее описание в математических терминах. Математическая модель описывает исследуемую систему и позволяет выразить ее эффективность в виде целевой функции W = f (X, Y ), где X = (x1 , . . . , xn ) — управляемые переменные, Y = (y1 , . . . , ym ) — неуправляемые переменные (исходные данные). Связь между переменными X и исходными данными Y выражается с помощью ограничений ϕ(X, Y ) ≤ 0. Пример: Пример: системы сотовой связи, филиалы банков, производство продукции Пример: системы сотовой связи, филиалы банков, производство продукции 1. Береснев В.Л., Гимади Э.Х., Дементьев В.Т. Экстремальные задачи стандартизации. Новосибирск: Наука, 1978. 2. Diaz J.A., Fernandez E. Column generation for the single source capacitated plant location problem. Technical report DR 2000/17, UPC Barcelona, 2000. 1. Toth P., Vigo D. The Vehicle Routing Problem // Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, USA, 2001. 2. Gutin G., Punnen A. and (eds.). The Traveling Salesman Problem and Its Variations // Springer, 2007. 1. Chrétienne P., Coffman Jr. E.J., Lenstra J.K., and Liu. Z. Scheduling theory and its applications. — New-York: Wiley, 1995. 2. Darte A., Robert Y., Vivien F. Scheduling and automated parallelization. — Birkhäuser, Boston, 2000. 3. Sinen O. Task scheduling for parallel systems. — New Jersey: Wiley, Hoboken, 2007. Теория управления запасами 1. Дж. Хедли, Т. Уайтин, Анализ систем управления запасами. Москва: Наука, 1969. 2. Х.А. Таха, Введение в исследование операций. Москва: Вильямс, 2001. 3. K. Arrow, S. Karlin and H. Scarf, Studies in the Mathematical Theory of Inventory and Production, Stanford, Calif.: Stanford University Press, 1958. Введение в теорию управления запасами Какие модели мы будем рассматривать? Введение в теорию управления запасами Какие модели мы будем рассматривать? I. Детерминированные модели (например, модель Вильсона) Введение в теорию управления запасами Какие модели мы будем рассматривать? I. Детерминированные модели (например, модель Вильсона) II. Стохастические модели (спрос случайный, но стационарный) Введение в теорию управления запасами Какие модели мы будем рассматривать? I. Детерминированные модели (например, модель Вильсона) II. Стохастические модели (спрос случайный, но стационарный) III. Динамические модели (дискретные) а) Однопериодные (задача о рождественских елках) б) k-периодная модель (ДП) Введение в теорию управления запасами Введение в теорию управления запасами Требования 1. Система не может управлять спросом 2. Пополнение запасов регулируется Введение в теорию управления запасами Пример системы, в которой пополнение запасов не регулируется? Введение в теорию управления запасами Пример системы, в которой пополнение запасов не регулируется? Введение в теорию управления запасами Классификация издержек 1. Пополнение запасов а) A — издержки оформления заказа б) стоимость партии C(Q), Q — объем партии (например, CQ) Введение в теорию управления запасами Классификация издержек 1. Пополнение запасов а) A — издержки оформления заказа б) стоимость партии C(Q), Q — объем партии (например, CQ) 2. Хранение запасов I — ставка рефинансирования x(t) — функция запаса на складе Введение в теорию управления запасами Классификация издержек 1. Пополнение запасов а) A — издержки оформления заказа б) стоимость партии C(Q), Q — объем партии (например, CQ) 2. Хранение запасов I — ставка рефинансирования x(t) — функция запаса на складе I R t2 t1 c(x(t))dt = [в линейном случае] = Ic R t2 t1 x(t)dt Введение в теорию управления запасами Классификация издержек 3. Дефицит а) учет дефицитных требований (долевое строительство) для произвольного требования издержка составит π1 + π2 ∆t Введение в теорию управления запасами Классификация издержек 3. Дефицит а) учет дефицитных требований (долевое строительство) для произвольного требования издержка составит π1 + π2 ∆t б) потеря дефицитных требований π1 — некоторая постоянная издержка Введение в теорию управления запасами Параметры модели Q — объем заказываемой партии; r — точка заказа, уровень запаса на складе, при котором подается заказ; Условные обозначения П — прибыль; В — выручка; И — издержки; ↑ П(Q, r) =В - И ↓ Детерминированные модели Модель Вильсона Допущения: Детерминированные модели Модель Вильсона Допущения: 1. Спрос детерминирован и постоянен (λ единиц в год) Детерминированные модели Модель Вильсона Допущения: 1. Спрос детерминирован и постоянен (λ единиц в год) 2. Система существует бесконечно долго (максимизировать будем среднегодовую прибыль) Детерминированные модели Модель Вильсона Допущения: 1. Спрос детерминирован и постоянен (λ единиц в год) 2. Система существует бесконечно долго (максимизировать будем среднегодовую прибыль) 3. Заданы параметры c < s (c — себестоимость, s — стоимость продажи единицы товара), A, I, τ — время доставки Детерминированные модели Модель Вильсона Допущения: 1. Спрос детерминирован и постоянен (λ единиц в год) 2. Система существует бесконечно долго (максимизировать будем среднегодовую прибыль) 3. Заданы параметры c < s (c — себестоимость, s — стоимость продажи единицы товара), A, I, τ — время доставки 4. Продукция однородна Детерминированные модели Модель Вильсона Допущения: 1. Спрос детерминирован и постоянен (λ единиц в год) 2. Система существует бесконечно долго (максимизировать будем среднегодовую прибыль) 3. Заданы параметры c < s (c — себестоимость, s — стоимость продажи единицы товара), A, I, τ — время доставки 4. Продукция однородна 5. Партия выделяется единовременно Детерминированные модели Модель Вильсона Допущения: 1. Спрос детерминирован и постоянен (λ единиц в год) 2. Система существует бесконечно долго (максимизировать будем среднегодовую прибыль) 3. Заданы параметры c < s (c — себестоимость, s — стоимость продажи единицы товара), A, I, τ — время доставки 4. Продукция однородна 5. Партия выделяется единовременно Найти: Q∗ , r∗ из max Π(Q, r) Модель Вильсона запас Q+q r q t время T T =Q λ — время, за которое система удовлетворяет Q требований. Пусть q — гарантированный (наименьший) запас товара на складе. Модель Вильсона Выручка за период: sQ Модель Вильсона Выручка за период: sQ Издержки за период: RT 2 A + cQ + Ic 0 (Q + q − λt)dt = A + cQ + Ic((Q + q)T − λ T2 ) = A + cQ + (IcQT )/2 + IcqT Модель Вильсона Выручка за период: sQ Издержки за период: RT 2 A + cQ + Ic 0 (Q + q − λt)dt = A + cQ + Ic((Q + q)T − λ T2 ) = A + cQ + (IcQT )/2 + IcqT Среднегодовая прибыль: Π(Q, r) , limz→∞ Π(Q,r,z) z z лет ∼ b Tz c полных периодов Π(Q, r, z) = Tz (sQ − A − cQ − IcQT /2 − IcqT ) Модель Вильсона Среднегодовая прибыль: Модель Вильсона Среднегодовая прибыль: Π(Q, r) , limz→∞ Π(Q,r,z) z Модель Вильсона Среднегодовая прибыль: Π(Q, r) , limz→∞ Π(Q,r,z) z z лет ∼ b Tz c полных периодов Модель Вильсона Среднегодовая прибыль: Π(Q, r) , limz→∞ Π(Q,r,z) z z лет ∼ b Tz c полных периодов Π(Q, r, z) = Tz (sQ − A − cQ − IcQT /2 − IcqT ) Модель Вильсона Среднегодовая прибыль: Π(Q, r) , limz→∞ Π(Q,r,z) z z лет ∼ b Tz c полных периодов Π(Q, r, z) = Tz (sQ − A − cQ − IcQT /2 − IcqT ) Π(Q,r,z) = T1 (sQ − A − cQ − IcQT /2 − IcqT ) z Модель Вильсона Среднегодовая прибыль: Π(Q, r) , limz→∞ Π(Q,r,z) z z лет ∼ b Tz c полных периодов Π(Q, r, z) = Tz (sQ − A − cQ − IcQT /2 − IcqT ) Π(Q,r,z) = T1 (sQ − A − cQ − IcQT /2 − IcqT ) z IcQ Π(Q, r) = (s − c)λ − Aλ Q − 2 − Icq Модель Вильсона Среднегодовая прибыль: Π(Q, r) , limz→∞ Π(Q,r,z) z z лет ∼ b Tz c полных периодов Π(Q, r, z) = Tz (sQ − A − cQ − IcQT /2 − IcqT ) Π(Q,r,z) = T1 (sQ − A − cQ − IcQT /2 − IcqT ) z IcQ Π(Q, r) = (s − c)λ − Aλ Q − 2 − Icq Модель Вильсона Среднегодовая прибыль: Π(Q, r) , limz→∞ Π(Q,r,z) z z лет ∼ b Tz c полных периодов Π(Q, r, z) = Tz (sQ − A − cQ − IcQT /2 − IcqT ) Π(Q,r,z) = T1 (sQ − A − cQ − IcQT /2 − IcqT ) z IcQ Π(Q, r) = (s − c)λ − Aλ Q − 2 − Icq не зависит от стратегии функционирования Модель Вильсона Среднегодовая прибыль: Π(Q, r) , limz→∞ Π(Q,r,z) z z лет ∼ b Tz c полных периодов Π(Q, r, z) = Tz (sQ − A − cQ − IcQT /2 − IcqT ) Π(Q,r,z) = T1 (sQ − A − cQ − IcQT /2 − IcqT ) z IcQ Π(Q, r) = (s − c)λ − Aλ Q − 2 − Icq не зависит от стратегии функционирования Тогда в целях максимизации прибыли, будем минимизировать хвост: min Q≥0,q≥0 λA IcQ λA IcQ + + Icq = min + + min Icq Q≥0 Q q≥0 Q 2 2 Модель Вильсона Среднегодовая прибыль: Π(Q, r) , limz→∞ Π(Q,r,z) z z лет ∼ b Tz c полных периодов Π(Q, r, z) = Tz (sQ − A − cQ − IcQT /2 − IcqT ) Π(Q,r,z) = T1 (sQ − A − cQ − IcQT /2 − IcqT ) z IcQ Π(Q, r) = (s − c)λ − Aλ Q − 2 − Icq не зависит от стратегии функционирования Тогда в целях максимизации прибыли, будем минимизировать хвост: min Q≥0,q≥0 λA IcQ λA IcQ + + Icq = min + + min Icq Q≥0 Q q≥0 Q 2 2 Что эквивалентно такой простенькой оптимизационной задаче... Модель Вильсона λA IcQ + Q≥0 Q 2 min Модель Вильсона λA IcQ + Q≥0 Q 2 min Выпукла ли целевая функция? Модель Вильсона λA IcQ + Q≥0 Q 2 min Выпукла ли целевая функция? − λA Ic =0 + Q2 2 Модель Вильсона λA IcQ + Q≥0 Q 2 min Выпукла ли целевая функция? − λA Ic =0 + Q2 2 r 2λA Ic — оптимальный объем партии Qw = √ Uw = 2λAIc — оптимальное значение издержек заказа и хранения Спасибо за внимание!