Теория механизмов и машин

Министерство образования и науки Российской Федерации Иркутский государственный технический университет Институт авиамашиностроения и транспорта Кафедра конструирования и стандартизации в машиностроении ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Разработал – д.т.н., профессор Н.К. Кузнецов Иркутск 2014 г. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ (ДИДАКТИЧЕСКИХ ЕДИНИЦ) Введение Предмет и задачи курса. Основные понятия теории механизмов и машин (машина, механизм, машинный агрегат, звено, кинематическая пара, кинематическая цепь). Основные этапы развития теории механизмов и машин как науки. 1. Строение механизмов Структура и классификация механизмов. Механизмы металлорежущих станков. Манипуляционные механизмы. Кинематические пары и их классификация. Кинематическая цепь. Замена высших кинематических пар низшими. Избыточные связи и лишние степени свободы. Структурный анализ и синтез механизмов. Принцип образования механизмов. Группы Ассура и их классификация. Структурная классификация плоских рычажных механизмов. Порядок структурного анализа. Структурный синтез. Построение рациональных механизмов методом наслоения структурных групп. Синтез механизмов оптимальной структуры перебором вариантов понижения классов кинематических пар. Пример решения задачи структурного синтеза. 2. Кинематический анализ механизмов Основные понятия кинематики механизмов. Задачи и методы кинематического анализа. Планы положений механизмов. Графический метод кинематического анализа. Графическое дифференцирование и интегрирование. Кинематическое исследование механизмов методом планов. Планы скоростей плоских механизмов. Планы ускорений плоских механизмов. Аналитический метод кинематического анализа. Функции положения, аналоги скоростей и ускорений. Метод замкнутого векторного контура. Кинематический анализ механизмов с высшими кинематическими парами. Кинематическое исследование зубчатых механизмов. Кинематическое исследование кулачковых механизмов. 3. Динамика механизмов Основные понятия динамики механизмов. Режимы движения машины. Кинетостатический (силовой) расчет механизмов. Характеристика сил, действующих на звенья механизмов и машин. Условия статической определимости кинематической цепи. Силовой расчет групп Ассура. Силовой расчет начального звена. Определение уравновешивающей силы с помощью рычага Жуковского. Трение и коэффициент полезного действия механизмов. Трение в поступательной кинематической паре. Трение во вращательной кинематической паре. Трение качения в высшей кинематической паре. Механический коэффициент полезного действия механизмов. Динамические модели машинного агрегата. Динамические модели металлорежущих станков. Приведение сил и масс механизмов. Уравнения движения механизмов в энергетической и дифференциальной формах. Уравновешивание механизмов, вращающихся масс (роторов). Условия статической и динамической 2 уравновешенности ротора. Уравновешивание вращающихся масс. Статическая и динамическая балансировка ротора. Уравновешивание механизмов. Динамический синтез машин. Графоаналитический метод динамического синтеза. Диаграмма Виттенбауэра. Определение закона движения начального звена. Динамический синтез машин на основе концепции обратных задач динамики. Учет динамики приводов движения. Электропривод механизмов. Гидропривод механизмов. Пневмопривод механизмов. Выбор типа приводов. 4. Колебания в механизмах Линейные уравнения в механизмах. Нелинейные уравнения движения в механизмах. Колебания в рычажных и кулачковых механизмах. Коэффициент неравномерности хода машины. Регулирование колебаний угловой скорости с помощью маховика. Вибрация, виброактивность машин. Пассивные и активные виброзащитные системы. Демпферы. Гашение колебаний, виброгасители. Динамические гасители колебаний. Гашение свободных колебаний управляемых машин. Принцип вибрационного перемещения. Вибрационные транспортеры. Вибрационные загрузочные устройства для робототехнических комплексов и гибких производственных систем. 5. Синтез механизмов Основные понятия и методы синтеза. Синтез механизмов по методу приближения функций. Методы оптимизации в синтезе механизмов с применением ЭВМ. Синтез плоских механизмов с высшими кинематическими парами. Общая характеристика зубчатых механизмов. Основная теорема зацепления. Основные геометрические параметры зубчатого колеса. Эвольвента и её свойства. Эвольвентное зацепление и его свойства. Методы изготовления зубчатых колёс. Виды зацепления колёс. Основные факторы зацепления: коэффициент перекрытия, коэффициенты удельного скольжения и удельного давления. Синтез планетарных механизмов. Подбор чисел зубьев планетарных механизмов. Дифференциальные планетарные механизмы. Синтез кулачковых механизмов. Определение основных параметров кулачковых механизмов. Выбор закона движения ведомого звена. Определение основных размеров кулачкового механизма из условия ограничения угла давления. Синтез плоских механизмов с низшими кинематическими парами. Синтез передаточных механизмов. Синтез механизмов по заданному ходу ведомого звена и по положениям промежуточного звена. Условия существования кривошипа в четырёхзвенных механизмах. Синтез направляющих механизмов. Теорема Робертса. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ СОДЕРЖАНИЯ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ 1. СТРОЕНИЕ МЕХАНИЗМОВ Предмет и задачи курса Теория механизмов и машин (ТММ) - это наука, изучающая общие методы структурного, кинематического и динамического анализа и синтеза 3 различных механизмов и машин. Как самостоятельная научная дисциплина ТММ возникла в 30-е годы XVIII века и называлась «Прикладной механикой». В отличие от специальных дисциплин, в которых изучаются машины и механизмы (станки, грузоподъемные, строительные машины и т.д.) в ТММ рассматриваются методы анализа и синтеза машин, пригодные для анализа любой машины, независимо от технического назначения и физической природы рабочих процессов в машинах (кривошипно-шатунные механизмы, зубчатые механизмы, кулачковые механизмы и т.п.). В ТММ, как правило, изучаются идеализированные модели механизмов и процессов, протекающих в них. При отсутствии специальных требований звенья механизмов и машин представляются как абсолютно твёрдые тела, не учитываются люфты, зазоры, силы трения. ТММ основывается на законах теоретической механики и физики. Необходимы также знания высшей математики, начертательной геометрии и черчения. В тоже время, в отличие от теоретической механики, в которой рассматриваются виртуальные тела (материальная точка, абсолютно твёрдое тело), в ТММ рассматриваются реальные тела. В ТММ решаются две основные задачи: задача анализа и задача синтеза. Задача анализ заключается в исследовании геометрических, кинематических, динамических характеристик заданного механизма и машины. Задача синтеза состоит в нахождении кинематической схемы машины или механизма, удовлетворяющей заданным геометрическим и кинематическим и динамическим свойствам. Основные понятия теории механизмов и машин Машина – это устройство, выполняющее механические движения для преобразования энергии, материалов и информации; различают – энергетические, рабочие и информационные машины. Энергетическая машина – это машина, предназначенная для преобразования любого вида энергии в механическое движение (машины двигатели) и наоборот (машины-генераторы). Рабочая машина – машина для преобразования материалов; подразделяются на транспортные (машины в которых преобразование материала состоит только в изменении его положения) и технологические (это рабочая машина, преобразование материалов в которой состоит в изменении формы, свойств и положений) машины. Информационные машины – машины, предназначенные для преобразования информации (ЭВМ, компьютеры и др.). Кибернетические машины – машины, заменяющие или имитирующие механические, биологические и физиологические процессы, присущие человеку и живой природе (промышленные роботы, машины андроиды и экзоскелетоны и т.п.). 4 Механизм – система тел, предназначенная для передачи и преобразования движения одного или нескольких твердых тел в требуемые движения других твердых тел (в ТММ под твердыми телами понимаются как абсолютно твердые, так и деформируемые тела). Передаточный механизм (привод) – это механизм, предназначенный для передачи движения от двигателя к рабочей машине. Исполнительный механизм – это механизм, осуществляющий непосредственное воздействие на объект обработки или обрабатываемую среду. Машинный агрегат – это комплексное устройство, состоящее из двигателя, рабочей машины и передаточного механизма, связывающего их. Звено – геометрически неизменяемая система, состоящая из одного или нескольких жёстко связанных между собой тел, состоящая как из абсолютно твёрдых, так и гибких тела, кроме жидкостей и газов. Кинематическая пара (КП) – это подвижное соединение двух соприкасающихся звеньев. Кинематическая цепь – система звеньев, образующих между собой кинематические пары. Число подвижностей (степеней подвижности) механизма – число обобщенных координат, однозначно определяющих положение всех звеньев механизма. Основные виды механизмов Всякий механизм состоит из отдельных звеньев. Звенья могут быть как подвижные, так и неподвижные. Обозначаются звенья арабскими цифрами. Неподвижное звено – стойка (рама или корпус машины), обычно обозначается 0 или 1.Стойка в механизме всегда одна. Подвижные звенья могут быть входными и выходными, ведущими и ведомыми, начальными и промежуточными. Входное звено – звено, которому сообщается движение, преобразуемое механизмом в требуемые движения других звеньев. Выходное звено – звено, совершающее движение, для выполнения которого предназначен механизм. Ведущее звено – звено, для которого сумма работ всех приложенных к нему сил положительна. Ведомое звено – звено, для которого сумма работ всех приложенных сил либо отрицательна, либо равна нулю. Начальное звено – звено, координаты которого являются обобщенными для данного механизма, определяющими движение всех остальных звеньев. Звенья соединяются между собой с помощью кинематических пар или подвижных соединений. В основе всякого механизма лежит кинематическая цепь, т.е. совокупность звеньев, связанных кинематическими парами. Классификация механизмов 1. Механизмы различают по областям применения в соответствии с функциональным назначением (например, механизмы летательных 5 аппаратов, механизмы двигателей внутреннего сгорания; механизмы промышленных роботов, станков, прессов и т.д.). 2. По виду передаточных функций: с постоянной передаточной функцией; с переменной передаточной функцией, которая в свою очередь может быть нерегулируемой (синусный и тангенсный механизмы) и регулируемой (со ступенчатым регулированием (коробки передач), бесступенчатые (вариаторы)). 3. По виду преобразования движения различают механизмы: преобразующие вращательное движение во вращательное (редукторы, мультипликаторы и муфты); вращательное движение в поступательное; поступательное движение во вращательное; поступательное движение в поступательное. 4. По расположению звеньев в пространстве различают: плоские механизмы (звенья движутся в плоскостях, параллельных неподвижной плоскости); пространственные механизмы (движение звеньев происходит в различных плоскостях); сферические механизмы (имеют одну неподвижную точку). 5. По изменяемости структуры: с неизменяемой структурой; с переменной структурой. 6. По числу степеней неподвижности: механизмы с одной степенью подвижности (W=1); механизмы с несколькими степенями подвижности (W>1): суммирующие (интегральные); разделительные (дифференциальные). 7. По виду кинематический пар: механизмы с низшими парами (все КП низшие); механизмы с высшими парами (имеется хотя бы одна высшая КП); шарнирные механизмы (все КП вращательные). 8. По способу передачи и преобразования энергии различают: фрикционные механизмы (передают энергию за счет трения); зубчатые механизмы (передают энергию зацеплением); волновые механизмы (преобразуют энергию за счёт создания волновых деформаций); импульсные механизмы (передают энергию импульсами). 9. По конструктивному исполнению механизмы делятся на рычажные (см. рис. 1.1); зубчатые (см. рис. 1.2); кулачковые (см. рис. 1.3); планетарные (см. рис.1.4) и манипуляционные механизмы (см. рис. 1.5). Рис. 1.1 Рис. 1.2 Рис. 1.3 6 Рис. 1.4 Рис. 1.5 Кинематические пары Кинематические пары классифицируются по следующим признакам: 1. По виду места связи поверхностей звеньев различают: низшие КП (контакт звеньев осуществляется по плоскости или поверхности – пары скольжения); высшие КП (контакт звеньев осуществляется по линиям или точкам – пары, допускающие скольжение с перекатыванием). 2.По относительному движению звеньев, образующих КП: плоские (траектории всех точек в относительном движении звеньев – плоские кривые, расположенные в параллельных плоскостях); вращательные; поступательные; винтовые; сферические. 3. По способу замыкания (обеспечения контакта звеньев пары): КП с силовым замыканием (за счёт действия сил тяжести или упругости); КП с геометрическим замыканием (за счёт конструкции рабочей поверхности пары). 4. По числу условий связи, накладываемых на относительное движение звеньев, КП делятся на 5 классов. Класс пары определяется числом этих связей или ограничений. Поскольку число связей (S) меняется от 1 до 5, существует 5 классов кинематических пар. 5. По числу степеней подвижности (w = 6 - S) различают соответственно: пятиподвижные; четырехподвижные; трехподвижные; двухподвижные и одноподвижные КП( см.табл.1.1). Кинематическая цепи Кинематическая цепь – это система звеньев, образующих между собой кинематические пары. Кинематические цепи различают по следующим признакам: замкнутые и незамкнутые; простые и сложные; плоские и пространственные. В замкнутой цепи каждое звено входит менее чем в две кинематические пары; в незамкнутой цепи есть звенья, входящие только в одну кинематическую пару. В простой цепи каждое звено входит не более чем в две кинематические пары; в сложной цепи есть звенья, входящие более чем в две кинематические пары. В плоской цепи все звенья перемещаются в одной плоскости либо в параллельных плоскостях; в пространственной – звенья движутся в разных непараллельных плоскостях. Структурная формула кинематической цепи связывает число степеней свободы с числом и видом кинематических пар. 7 Таблица 1.1 Класс пары Число связей S Подвижность W 1 1 5 Пространственная схема (пример) Шар-плоскость Условные обозначения По виду места связи Высш. Шар-цилиндр 2 2 4 3 3 3 Высш. Плоскостная Низш. Сферическая Сфер. с пальцем Низш. 4 4 2 Цилиндрическая Вращательная 5 5 1 Низш. Поступат. Винтовая 8 Рассмотрим цепь, имеющую n звеньев. Каждое звено до соединения его с другим звеном имеет 6 степеней свободы в пространстве и общее число степеней свободы равно 6n. Учитывая, что каждая пара 5 - го класса накладывает 5 связей, пара 4 - го класса – 4 связи и т.д., число степеней свободы кинематической цепи W в общем случае определяется соотношением: W=6n-5p5-4p4-3p3-2p2-p1, (1.1) где n – число подвижных звеньев механизма; p1,…,p5 – число КП, соответственно, 1 - го,...,5 - го классов. Выражение (1.1) носит название формулы Малышева-Сомова. Все механизмы классифицируются по семействам. Класс семейства механизма определяется числом общих связей, наложенных на механизм. Для механизмов 1- го семейства W1=5n-4р5-3р4-2р3-р2. Для механизмов 2- го семейства W2=4n-3р5-2р4-р3. Если наложить 3 общих связи, получим механизм 3-го семейства плоский механизм. Из определения плоских механизмов следует, что у них из шести независимых движений возможны только три. Структурная формула кинематической цепи в этом случае примет вид: Wпп=3n -2pн -pв, (1.2) где рн – число низших КП; рв – число высших КП. Выражение (1.2) называется формулой Чебышева. Замена высших кинематических пар низшими В плоских механизмах все пары 4 - го класса являются высшими, а пары 5 - го класса низшими. При структурном и кинематическом анализах удобно пользоваться низшими КП, т.к. для них решены все основные задачи анализа механизмов. Поэтому высшие КП стремятся заменить низшими. Условия замены: 1) степень подвижности механизма должна оставаться неизменной; 2) относительное движение звеньев так же должно сохраняться. Число низших КП пятого класса (р5), необходимых для замены на высшей КП в плоском механизме, определяется выражением (1.3) Учитывая, что р5 и n – целые числа, определим минимальное число звеньев и кинематических пар в цепи замены Таким образом, высшую КП в плоской кинематической цепи можно заменить одним дополнительным звеном и двумя низшими парами. Правила замены высшей КП низшими: 9 1. Если высшая КП представляет собой две соприкасающиеся окружности или кривые, то пары замены располагаются в центрах кривизны этих окружностей или кривых. 2. Если высшая КП представляет окружность или кривую и точечный контакт с другой стороны, то кинематические пары замены будут находиться в точке контакта и в центре кривизны окружности или кривой. 3. Если контакт в высшей КП происходит по линии, то замена осуществляется поступательной парой. Избыточные связи. Лишние степени свободы Избыточные связи – это дополнительные связи, вводимые в механизм из конструктивных соображений для обеспечения требуемых жесткости, прочности, точности. Однако с точки зрения расчета эти связи являются нежелательными, поскольку приводят к статической неопределенности и повышению требований к точности изготовления. Поэтому, прежде чем приступать к анализу и расчету необходимо избавиться от избыточных связей. Относительное движение звеньев при этом не меняется. Для определения избыточных связей используется формула Чебышева. Если при этом окажется, что в механизме с одним начальным звеном w < 1, то в механизме присутствуют избыточные связи. Лишние степени подвижности (свободы) – это дополнительные звенья, вводимые в конструкцию механизма для обеспечения требуемых свойств движения. Эти звенья применяются, например, для уменьшения сил трения. Однако с точки зрения расчетов, лишние степени свободы являются нежелательными и от них стараются избавиться. Для определения лишних степеней свободы также используется формула Чебышева. Если при этом окажется, что в механизме с одним начальным звеном w > 1, то в механизме имеются дополнительные степени свободы. Структурный анализ механизмов Основной принцип образования механизмов (принцип Ассура) был сформулирован в 1914 г. Механизм может быть образован путем последовательного наслоения кинематических цепей, обладающих определенными структурными свойствами. Рассмотрим плоский механизм, кинематическая схема которого показана на рис. 1.6. Покажем, что данный механизм может быть образован путем присоединения к начальному звену 1 из стойки 0 двух звеньев 2 и 3. Получаем механизм ABCD, число степеней подвижности которого . К звену 3 и стойке 0 присоединяем звенья 4 и 5. Получаем механизм ABCDEF, число степеней подвижности которого . Таким образом, присоединяемые к начальному звену 1 и стойке 0 группы звеньев обладают нулевой степенью подвижности. Группой Ассура называется незамкнутая кинематическая цепь с нулевой степенью подвижности, не распадающаяся на более простые цепи с нулевой степенью подвижности. 10 Правила выделения групп Ассура: 1. Звенья группы должны обладать подвижностью; 2. Группа Ассура не может быть присоединена к одному звену. Назовем условно ведущее звено и стойку связанной кинематической парой 5-го класса механизмом первого класса (рис. 1.7). Принцип Ассура формулируется следующим образом: схема любого механизма может быть составлена последовательным присоединением к одному или нескольким механизмам первого класса структурных групп с нулевой степенью подвижности. Рис. 1.6 Рис. 1.7 Структурные группы звеньев Установим соотношение между числом звеньев и числом кинематических пар, входящих в группу Ассура. Группа Ассура обладает нулевой степенью подвижности ; откуда p5 = n , (1.4) где n – число звеньев; p5 – число кинематических пар 5- го класса. Таким образом, число кинематических пар 5 - го класса в группе равно n. Учитывая, что числа в выражении (1.4) могут быть только положительными, получим следующие возможные соотношения: n = 2, p5 = 3; n = 4, p5 = 6; n = 6, p5 = 9 и т.д. Группы Ассура делятся на классы, имеют различный порядок и вид. Класс группы Ассура определяется наивысшим числом внутренних КП, входящих в замкнутый контур. Порядок группы Ассура определяется числом элементов звеньев, с помощью которых группа присоединяется к основному механизму. Пример 1: двухповодковая группа (рис.1.8, n =2, p5 = 3 ; ВС и CD – поводки). Имеет 2 - й класс, 2 - й порядок. Пример 2: трёхповодковая группа (рис. 1.9, , ; BE, FC, DG – поводки). Имеет 3 - й класс, 3 - й порядок. Пример 3: группа с двумя базисными звеньями (рис. 1.10, , ). Имеет 4 - й класс, 2 - й порядок. Вид группы Ассура определяется сочетанием вращательных и поступательных пар в двухповодковой группе. 11 Рис. 1.8 Рис. 1.9 Рис. 10 Эта группа подразделяется на 5 видов: 1 – все пары вращательные; 2 – на конце одного из звеньев поступательная пара; 3 – середине одного из звеньев поступательная пара; 4 – на концах обоих звеньев поступательные пары; 5 – на конце и в середине одного из звеньев поступательные пары. Структурная классификация плоских механизмов Класс механизма определяется наивысшим классом структурной группы, входящей в его состав. Большинство современных механизмов принадлежит к механизмам 2 - го класса (см. рис. 1.1). Механизм второго класса это механизм, в состав которого входят группы не выше 2 - го класса и 2 - го порядка. Механизмы, в состав которых входят группы не выше 3 - го класса, 3 - го порядка называются механизмами 3 - го класса (рис. 1.11,а). Механизмы, в состав которых входят группы не выше 4 - го класса, 2 - го порядка, называются механизмами 4 - го класса (рис. 1.11,б). а) б) Рис. 1.11 Рассмотрим основные виды механизмов 2 - го класса. Если в четырехзвенном механизме 2 - го класса все пары вращательные, то механизм называется четырехзвенником (см. рис. 1.1). Если поступательная пара находится на конце одного из звеньев, то механизм называется кривошипно - ползунным. Если поступательная пара находится между звеньями 2 и 3, то механизм называется кулисным. Порядок структурного анализа При структурном анализе необходимо решить следующие задачи: 1. Определить степень подвижности механизма (число степеней свободы); 2. При необходимости высшие пары заменить низшими; 12 3. Выделить структурные группы Ассура; 4. Выделить механизм (механизмы) первого класса; 5. Определить класс механизма. Структурный анализ механизма следует проводить путем расчленения его на структурные группы в порядке, обратном образованию механизма, т.е. выделение групп необходимо начинать с наиболее удаленной (последней в порядке присоединения к механизму 1-го класса) группы. В результате отсоединения структурных групп остаётся механизм (механизмы) первого класса. Структурный синтез Синтез механизмов является самым ответственным этапом при создании будущей машины. Синтез представляет собой сложную задачу, которая обычно имеет многовариантное решение. Традиционно синтез осуществляется в два этапа: 1. Структурный синтез, в процессе которого определяется структура будущего механизма; 2. Параметрический синтез, при котором по заданным кинематическим или динамическим свойствам механизма находятся размеры звеньев. Структурный синтез это нахождение структурной схемы механизма, определяющей положение стойки, подвижных звеньев, видов и взаимного расположения КП с учетом желаемых структурных, кинематических и динамических свойств. Наиболее распространённым методом структурного синтеза механизмов с замкнутыми кинематическими парами является метод присоединения к начальным механизмам структурных групп на основе принципа Ассура. Структурный синтез осуществляется в порядке, обратном структурному анализу. 2. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ Основные понятия кинематики механизмов Кинематика механизмов – раздел ТММ, в котором изучается движение механизмов с геометрической точки зрения, без учёта действующих сил. Задачей кинематического анализа механизмов является определение кинематических характеристик движения: перемещений, скоростей и ускорений точек и траекторий движения звеньев. Знания траекторий необходимы для исключения столкновения звеньев механизма, для вычерчивания корпусов и т.п. Знания перемещений, скоростей и ускорений необходимы для последующего динамического анализа и синтеза. Исходными данными для анализа являются кинематическая схема механизма и закон движения начального звена. Кинематические характеристики механизма определяются в пределах рабочего цикла, то есть за один оборот начального звена. При кинематическом анализе удобно пользоваться группами Ассура. При кинематическом анализе используется три метода: графический (или метод графиков и диаграмм); графоаналитический (или метод планов 13 скоростей и ускорений) и аналитический, основанный на дифференцировании геометрических зависимостей, связывающих координаты ведомых звеньев с координатами ведущего или начального звена. Планы положений механизмов Планом механизма называется чертеж, изображающий кинематическую схему механизма, соответствующую определенному положению начального механизма звена. Планы механизма строятся в определенном масштабе. Масштабным коэффициентом называется отношение численного значения физической величины к длине отрезка в мм, изображающего эту величину. Например, масштабный коэффициент длины , в м; AB – величина отрезка в мм. Масштабный коэффициент скорости , где vА – величина скорости в м/с; pa - длина отрезка. Порядок построения планов механизма: 1. Задается масштабный коэффициент длин ( ) и вычисляются длины отрезков, изображающих все звенья механизма, межцентровые расстояния, координаты точек и т.д.; 2. Отмечается положение центров вращений, показываются траектории движения всех звеньев и задается начальное положение механизма, соответствующее одному из крайних положений ведущего или начального звена (например, когда кривошип и шатун располагаются на одной линии); 3. Траектория движения ведущего звена делится на несколько равных частей (6, 8, 12, 24 и т.д.); 4. Методом засечек, т.е. пересечением длин звеньев с соответствующими траекториями движения, определяются положения остальных точек механизма; 5. Одноименные точки механизма соединяются между собой. Графический метод кинематического анализа Графический метод основывается на построении кинематических диаграмм перемещений и их графическом дифференцировании. Кинематической диаграммой называется графическое изображение основных кинематических характеристик движения за полный цикл работы. При этом методе задача о положениях решается путём построения совмещенных планов механизма при различных последовательных положениях ведущего звена и построении кинематических диаграмм перемещений исследуемых точек. Определение скоростей осуществляется путём графического дифференцирования кинематических диаграмм перемещений, а определение ускорений – графическим дифференцированием кинематических диаграмм скоростей. Графическое 14 дифференцирование можно производить методом хорд и методом касательных. С целью повышения точности вычислений можно использовать оба метода одновременно. К преимуществам графического метода анализа можно отнести наглядность и простоту. Он хорош для кинематического анализа звеньев, совершающих возвратно-поступательные движения. Недостаток метода – невысокая точность, которая зависит от точности графических построений. Кинематическое исследование механизмов методом планов Графоаналитический метод кинематического исследования механизмов основан на построении планов скоростей и ускорений звеньев механизма. Задача о положениях при этом методе также решается графически, то есть построением нескольких совмещённых планов механизма в выбранном масштабе длин. Задачи о скоростях и ускорениях решаются построением планов скоростей и ускорений звеньев механизма при определённых (заданных) положениях ведущего звена на основе заранее составленных векторных уравнений для скоростей и ускорений звеньев механизма. Преимущества этого метода, по сравнению с графическим, заключаются в большей точности и меньшей трудоемкости определения скоростей и ускорений всех точек механизма в заданном положении. В то же время его эффективность снижается при необходимости нахождения законов изменения скоростей и ускорений исследуемой точки за полный цикл движения. Планы скоростей плоских механизмов Планом скоростей называется чертеж, на котором изображены в определенном масштабе векторы, равные по модулю и направлению скоростям точек механизма в данном положении. Исходными данными для построения скоростей являются план механизма, соответствующий заданному положению начального звена, и угловая скорость начального звена. Принцип подобия в плане скоростей: векторы относительных скоростей точек жесткого звена образуют на плане скоростей фигуру, подобную этому звену и повернутую на угол 900 в сторону вращения. Планы ускорений плоских механизмов Планом ускорений называется чертёж, на котором изображены векторы, равные по модулю и направлению векторам ускорений различных точек механизма. При построении плана ускорений считается, что скорости всех точек механизма известны. Для построения плана ускорений необходимо знать формулы для определения ускорений точек при различных движениях звеньев. Принцип подобия в плане ускорений: векторы относительных ускорений точек жесткого звена образуют на плане ускорений фигуру, подобную этому звену и повернутую на угол (1800-φ) в сторону углового ускорения (здесь φ – угол между касательной и нормальной составляющими относительного ускорения). 15 Аналитический метод кинематического анализа Графический и графоаналитический методы кинематического анализа обладают невысокой точностью и значительной трудоемкостью. Этих недостатков лишен аналитический метод анализа. В то же время его использование ограничивается возможностями получения необходимых геометрических соотношений между положением и перемещением ведомых звеньев и положением и перемещением начального звена. Поскольку эти соотношения будут зависеть от координаты начального звена, то выражения для скоростей и ускорений, полученные путем дифференцирования соответствующих аналитических зависимостей, не будут являться явными функциями времени. Введем понятия функции положения и аналогов скоростей и ускорений. Функцией положения называется аналитическая зависимость, определяющая положение ведомого звена относительно ведущего звена К (1); XK(1); YK(1), где К, XK и YK – координаты, определяющие положение К-го звена (ведомого), а угол 1 – угол, характеризующий положение ведущего звена. Аналогом скорости какого-либо звена называется первая производная обобщенной координаты этого звена по обобщенной координате ведущего звена: – аналог угловой скорости; ; – аналоги линейных скоростей звеньев. С помощью аналогов линейных скоростей можно определить истинное значение скоростей ведомых звеньев . Откуда аналог угловой скорости . Таким образом, аналог угловой скорости ведомого звена будет представлять собой угловую скорость звена при . Аналогом ускорения ведомого звена называется вторая производная обобщенной координаты этого звена по обобщенной координате ведущего звена: – аналог углового ускорения; – аналог линейного ускорения ведомого звена. Используя аналог углового ускорения, можно определить истинное значение углового ускорения ведомого звена . Аналогичным образом находятся аналоги линейных ускорений . Порядок аналитического анализа: 16 1. Сначала решается задача о положениях ведомых звеньев механизма. При этом можно использовать либо метод замкнутого векторного контура (метод Зиновьева), либо метод преобразования координат (метод Морошкина); 2. Затем решается задача о скоростях путем нахождения аналогов скоростей с последующим нахождением истинных значений скоростей; 3. Задача об ускорениях решается путем нахождения аналогов ускорений; 4. По аналогам скоростей и ускорений определяются истинные значения ускорений ведомых звеньев. Кинематическое анализ механизмов с высшими парами Кинематическое исследование зубчатых механизмов К зубчатым механизмам относятся механизмы, звенья в которых выполняются в виде зубчатых колес. Предназначены для передачи движения с одного вала на другой с постоянной либо переменной скоростями. Их преимущества: компактность, минимальные габаритные размеры; высокий КПД; практически любое передаточное отношение (чаще всего постоянное); высокая надежность, долговечность; простота эксплуатации. Различают простые и сложные зубчатые механизмы. Простые состоят из двух зубчатых колес. Часто их называют зубчатые передачи или одноступенчатые передачи (большее из колес называется зубчатым колесом, меньшее – шестерней). Сложные зубчатые механизмы имеют несколько ступеней или осей, которые могут быть как неподвижными, так и подвижными. Механизмы с подвижными осями носят название планетарных (см. рис. 1.4). Соосные колеса 1 и 3 называются центральными, а неподвижное центральное колесо 3, кроме того, носит название солнечного. Зубчатое колесо или блок колес 2 с подвижной осью называется сателлитом или планетным колесом (их число может достигать 20), а держатель сателлитов (Н) – водилом. Простые зубчатые механизмы (передачи) по характеру зацепления колес могут быть с внешним, внутренним и реечным зацеплением. По характеру расположения валов различают цилиндрические, конические и гиперболоидные передачи. В цилиндрических зубчатых передачах оси валов параллельны. В конических передачах оси валов пересекаются, чаще всего под прямым углом. В гиперболоидных передачах оси валов перекрещиваются. Последние, в свою очередь, делятся на винтовые, червячные и гипоидные. По типу взаимоогибаемых кривых, которыми очерчиваются боковые поверхности зубьев, передачи делятся на эвольвентные, циклоидальные и передачи с круглым зубом. По характеру расположения зубьев относительно образующей обода колеса передачи с эвольвентным зацеплением подразделяются на прямозубые, косозубые и шевронные. По характеру передаточного отношения различают передачи с постоянным и переменным передаточными отношениями. Одной из основных характеристик зубчатого механизма является передаточное отношение. Оно определяется как отношение скорости 17 ведущего звена 1 к скорости ведомого звена 2 или числа зубьев ведомого колеса к числу зубьев ведущегоколеса (см. рис. 1.2) , где: w1, z1 – угловая скорость и число зубьев ведущего звена; w2, z 2 – угловая скорость и число зубьев ведомого колеса (знак «плюс» берется для передач с внутренним, а «минус» – для передач с внешним зацеплением. Передаточное отношение зубчатого механизма, состоящего из нескольких ступеней, равно взятому с соответствующим знаком произведению передаточных отношений этих ступеней , или где i1 , i2…, ik – передаточные отношения отдельных ступеней; k – число ступеней; n – число внешних зацеплений; z1. z2, …,zk – число зубьев колес. Передаточное отношение планетарных механизмов не является простым отношением чисел зубьев колес, как у механизмов с неподвижными осями. Для определения передаточного отношения планетарных механизмов используется метод обращения движений, предложенный английским ученым Виллисом. Суть этого метода заключается в том, что планетарному механизму сообщается скорость, численно равная скорости водила (wH) и противоположная по направлению (см. рис. 1.12,а). При этом получается новый механизм, эквивалентный в относительном движении исходному, у которого водило неподвижно и для которого можно использовать вышеприведенную формулу передаточного отношения механизма с неподвижными осями Здесь w1, w2, w4 – угловые скорости; z1, z2, z3, z4 – числа зубьев колес. В случае n колес формула Виллиса принимает вид Используя формулу Виллиса можно получить необходимое передаточное отношение между колесами. Например, передаточное отношение от первого колеса к водилу при неподвижном колесе n . При кинематическом анализе и синтезе планетарных механизмов наряду с аналитическими используется графоаналитические методы, основанные на построении планов угловых и линейных скоростей. Планы дают наглядное представление картины зацепления, облегчают задачу нахождения абсолютных значений скоростей и передаточных отношений. На рис. 1.12,б приведены планы линейных и угловых скоростей планетарного механизма. План линейных скоростей построен на линии центров зубчатых колес 18 (прямая I-I). Скорость точки Р12, лежащей на начальных окружностях первого и второго колеса, . Скорость точки P34 равна нулю. Прямая Оа выражает закон распределения скоростей по первому колесу, а прямая P34а – закон распределения скоростей по сателлиту z2z3. План угловых скоростей построен на прямой II-II, перпендикулярной прямой I-I на основе зависимостей V1 = w1/ ОP12; а) б) Рис. 1.12 или . Кинематическое исследование кулачковых механизмов При кинематическом исследовании кулачковых механизмов (см. рис.1.3) считаются известными основные размеры механизма, а также координаты профиля кулачка 1 (аналитические выражения, либо в виде графиков или таблиц). Требуется определить закон движения ведомого звена 3. При кинематическом анализе можно воспользоваться заменой высшей КП в точке контакта ролика 2 и кулачка и провести кинематическое исследование полученного плоского рычажного механизма известными методами. Кинематическое исследование кулачковых механизмов может проводиться аналитическими, графическими или графоаналитическими методами. Аналитическое исследование проводится в тех случаях, когда известно уравнение профиля кулачка. Когда профиль кулачка задан в виде графика или таблицы, задача кинематического анализа решается графически с помощью метода обращения движения или инверсии, как и в планетарных механизмах. 19 3. ДИНАМИКА МЕХАНИЗМОВ Основные понятия динамики механизмов Динамика – это раздел ТММ, в котором изучаются методы исследования и расчета механизмов и машин с учетом динамических процессов, протекающих в них под действием приложенных сил. В динамике машин решаются две основные задачи: прямая задача (задача динамического анализа), заключающаяся в определении законов движения исполнительных механизмов по заданным силам; обратная задача (задача динамического синтеза), состоящая в нахождении силовых воздействий или конструктивных параметров исполнительных механизмов, обеспечивающих воспроизведение заданных законов движения. Кроме того, в процессе динамических исследований могут определяться мощности, необходимые для обеспечения заданного режима движения машины, проводиться сравнительная оценка механизмов с учетом их механического коэффициента полезного действия, устанавливаться законы движения ведущего звена (например, колебания угловой скорости кривошипа за один оборот) под действием внешних сил, приложенных к звеньям механизма, а также решаться задачи динамической балансировки, виброзащиты и виброизоляции, подбора оптимальных соотношений между силами, массами и размерами звеньев механизмов. Объектом изучения в динамике машин является машинный агрегат. В общем виде его можно представить как механическую систему, состоящую из трех основных частей: машина-двигатель, передаточный механизм и рабочая машина (или исполнительный механизм). В ряде случаев в состав машинного агрегата входит и система управления. В качестве основного метода динамического исследования механизма положен закон сохранения энергии, сформулированный М.В. Ломоносовым. Последний удобно записать в форме кинетической энергии: изменение кинетической энергии механизма за этот промежуток времени будет равно разности работ сил движущих и сил сопротивления ΔЕ = Адв - Асопр , где ΔЕ – изменение кинетической энергии механизма; Адв движущих сил; Асопр – работа сил сопротивления. (3.1) – работа Приведенное равенство и будет основным уравнением движения механизма. Таким образом, зная силы, действующие в механизме, нетрудно определить и работу этих сил, а зная массу движущихся звеньев можно определить и их кинетическую энергию. Режимы движения механизмов При динамическом исследовании механизма следует различать три периода его движения (рис. 3.1). 20 1. Период разгона (Тр) в течение которого происходит нарастание скорости движения звеньев механизма и соответственно кинетической энергии его звеньев. Необходимым условием для разгона является избыток источника энергии в механизме над его потребителем. Рис.3.1 2. Период установившегося движения (Ту=кТц) (где Тц – длительность цикла; к – число циклов) характеризующийся постоянством средней угловой скорости ведущего звена механизма ωср и обеспечиваемый при условии равенства за цикл движения источника энергии и его потребителя. 3.Период выбега или остановки (Тв) в течение которого происходит снижение скорости движения звеньев механизма и, соответственно, уменьшение их кинетической энергии. Необходимым условием для выбега является недостаток источника энергии для его потребителя. Кинетостатический (силовой) расчет механизмов Силовой анализ – это изучение влияния внешних сил на звенья механизмов, кинематические пары и неподвижные опоры. Силовой анализ необходим для испытания механизмов на прочность, точность, виброустойчивость и другие параметры, а также для определения движущих сил и моментов сил, приложенных к начальным или ведущим звеньям. Силовой анализ позволяет наметить пути уменьшения динамических нагрузок, повышения динамической прочности и виброустойчивости машин и механизмов, а также спроектировать машину и механизм с минимальными габаритными размерами и массами. Исходными данными при силовом анализе являются закон или законы движения начальных звеньев и внешние силы, действующие на механизм. При силовом анализе решаются две прикладные задачи по определению движущих сил или моментов сил, приложенных к начальному звену, и по нахождению реакций в КП. При этом, если звенья механизма движутся с ускорением, к внешним силам добавляются силы инерции. В последнем случае используется метод кинетостатики, основанный на принципе Даламбера. Характеристика сил, действующих на звенья механизмов и машин Силы, действующие на звенья механизмов и машин, можно разделить на 4 группы: 1. Движущие силы (моменты сил), которые приложены к ведущим звеньям и совершают положительную работу; 2. Силы (моменты сил) сопротивления, которые приложены к ведомым звеньям и совершают отрицательную работу. В свою очередь, они подразделяются на силы полезного сопротивления (технологические 21 нагрузки) и силы вредного сопротивления (силы трения, силы сопротивления окружающей среды и т.п.); 3. Силы тяжести, действующие на все звенья и совершающие как положительную, так и отрицательную работу. В то же время за полный цикл сумма работ этих сил равна нулю, так как траектория движения замкнутая; 4. Силы взаимодействия между звеньями или реакции в КП. Первые три группы сил относятся к внешним. Согласно третьему закону Ньютона, силы реакций равны по величине, но противоположны по направлению. Они могут быть как внешними, так и внутренними. Если рассматривать равновесие всего механизма эти силы будут внутренними и в уравнениях кинетостатики не учитываются. Если рассматривать равновесие отдельных звеньев эти силы будут являться внешними и их необходимо учитывать в уравнениях равновесия. Способы задания сил, действующих в механизме, могут быть различными в зависимости от назначения и типа машины. Силы могут быть заданы в виде функциональной зависимости, например, выраженной аналитически или графически в функции перемещения точек их приложения или времени их движения и т.д. Скажем, при исследовании поршневых машин силы, возникающие в цилиндре машины, задаются в виде индикаторной диаграммы, т.е. графика изменения давления в цилиндре в функции перемещения поршня. В ряде машин силы могут задаваться в виде графиков их изменения по пути точки приложения, как это имеет место в строгальных станках, дробилках, генераторах электрического тока, пружинных двигателях и т.д. Для того чтобы воспользоваться методом кинетостатики, необходимо знать силы инерции звеньев. Силы инерции будут зависеть от вида совершаемого движения. Эти силы приводятся к главному вектору и главному моменту ; , где – масса; – ускорение центра масс; – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно плоскости движения; – вектор углового ускорения. Порядок кинетостатического анализа плоских механизмов: 1.Сначала выделяется последняя группа Ассура (т.е. наиболее удалённая от начального механизма), и производиться её кинетостатический расчет; 2. Последовательно выделяются остальные группы Ассура и производится их расчет; 3. Производится силовой расчёт начального звена. Силовой расчет начального звена Силовой расчет начального звена заключается в определении уравновешивающей силы и реакции стойки. Он необходим для определения 22 движущих сил или моментов сил, необходимых для обеспечения требуемого движения. Если в качестве начального звена используется зубчатое колесо или кривошип, то уравновешивающая сила будет направлена по нормали к боковым поверхностям зубьев. Для её определения можно воспользоваться уравнением равновесия начального звена в форме суммы моментов внешних сил относительно стойки. При этом сила, действующая на начальное звено, берётся из силового анализа, проведённого для присоединённой к этому звену структурной группы. Для определения реакции стойки можно воспользоваться условием равновесия в форме векторного уравнения, которое может быть решено графически путем построения замкнутого многоугольника сил. Если в качестве начального звена используется муфта скольжения, совмещённая с кривошипом, вместо уравновешивающей силы необходимо приложить уравновешивающий момент. Для его определения также можно воспользоваться уравнением равновесия начального звена в форме суммы моментов внешних сил относительно стойки. Определение уравновешивающей силы с помощью рычага Жуковского  Определение уравновешивающей силы Pур или уравновешивающего  момента M ур может быть осуществлено и без предварительного определения реакций в КП механизма. Для этого можно воспользоваться теоремой Жуковского, которая является графической интерпретацией принципа возможных перемещений. Для реального механизма эти возможные перемещения являются реальными. Исходя из принципа сохранения энергии сумма работ всех внешних сил, приложенных к звеньям механизма, равна нулю. Эта теорема формулируется следующим образом: алгебраическая сумма моментов всех внешних сил, перенесенных с механизма в соответствующие точки повёрнутого на 900 плана скоростей, относительно полюса равна нулю. Повернутый на 900 план скоростей с приложенными к нему внешними силами носит название рычага Жуковского. Трение и коэффициент полезного действия механизмов Трение в поступательной кинематической паре При перемещении одного тела (звена механизма) относительно находящегося с ним в контакте другого тела (звена) в месте их контакта возникает сила, сопротивляющаяся перемещению, – сила трения F (рис. 3.2). Величину коэффициента трения в поступательной кинематической паре можно определить с помощью так называемого закона Кулона, в соответствии с которым величина силы трения F прямо пропорциональна нормальной силе N между соприкасающимися звеньями. Векторная сумма      сил F и N равна полной силе реакций в кинематической паре: R  N  F (рис. 3.2). F  tg  f называют коэффициентом трения скольжения в N поступательной кинематической паре, а угол   arctgf – углом трения Отношение 23 скольжения. Полная реакция R отклоняется на угол трения  в сторону, противоположную скорости  . Величину коэффициента трения скольжения f можно определить экспериментально или по справочникам (величина f зависит от шероховатости, материалов, трущихся поверхностей, наличия смазки, ее качества, температуры и т.д.). Трение во вращательной кинематической паре Внешние нагрузки, действующие на вал при его вращении, показаны на схеме рис. 3.3. Здесь А – точка приложения нормальной реакции N , причем – равнодействующая всех нормальных сил; F – сила трения N (равнодействующая всех сил трения, распределенных по поверхности контакта); Q – сила давления цапфы вала на опору (корпус подшипника); R – сила реакции во r – радиус цапфы (опорной части) вала;   r  sin    r  tg   r  f  – радиус круга трения; f  – приведенный коэффициент трения. Рис. 3.2 Рис. 3.3 Во вращательной КП реакция R отстоит от оси вращения на величину радиуса круга трения  , причем R всегда касательна к кругу трения. Момент трения M тр  R    Q  r  f  . Трение качения в высшей кинематической паре Картину внешних сил и эпюр распределения давлений в месте контакта тел качения можно условно отобразить на нижеприведенных схемах (рис. 3.4). В состоянии покоя (рис. 3.4,а) эпюра напряжений в зоне контакта симметрична относительно общей нормали, проведенной через условную точку касания, а равнодействующая сила N совпадает с нормалью. При качении (рис. 3.4,б) симметрия эпюры нарушается, а сила N смещается в направлении качения на расстояние k. Здесь N – равнодействующая сила давлений в месте смятия соприкасающихся звеньев (тел качения); Q – нагружающая сила, Q  - N ; M тр  k  Q – момент трения качения; k – плечо силы трения качения или коэффициент трения качения (имеет размерность  длины); P – сила перекатывания. 24 а) б) Рис. 3.4 Условие равновесия перекатывающегося тела в форме моментов   можно записать как P  r  Q  k  M тр , откуда P  k  Q . r Механический КПД механизма В период установившегося движения машины соблюдается условие равенства работ сил движущих и сил сопротивлений Адв=Асопр. Работа сил сопротивления складывается из суммы работ сил полезного сопротивления Апол.сопр и сил вредного сопротивления Авр.сопр. Тогда Адв = Апол.сопр + Авр.сопр. Разделив левую и правую части равенства на величину работы сил движущих, получим 1 = η + φ, где   Апол.сопр Адв (КПД);   – механический (цикловой) коэффициент полезного действия Авред.сопр Адв – коэффициент механических потерь. Общий механический КПД машинного агрегата, состоящего из последовательно соединенных механизмов, равен произведению их КПД. Общий механический КПД машинного агрегата при параллельном соединении механизмов равен сумме величин КПД каждого механизма, умноженных на коэффициенты долей работ, подводимых к механизмам. Приведение сил и масс механизма Анализ движения машин и механизмов под действием приложенных внешних сил удобно проводить с использованием метода приведения сил и масс к какому-либо звену механизма. В качестве точки или звена приведения целесообразно выбрать такие, которые не изменяют направление движения в пределах одного цикла работы механизма. В противном случаев приведенные силы и моменты будут достигать бесконечно больших величин. Такими точками и звеном приведения могут быть точки ведущего звена механизма, совершающего непрерывное вращательное или поступательное движения. Условием приведения сил и моментов сил 25 является равенство работ или мощностей, совершаемых реальными силами и моментами по пути точек и звеньев их приложения и приведенных (расчетных, условных) по пути точек и звеньев их приведения. Условием приведения масс и моментов инерции звеньев механизма является равенство кинетической энергии звена приведения и кинетических энергий всех звеньев механизма. Приведенной силой (моментом сил) называется такая условная сила (момент), приложенная к звену приведения, работа или мощность которой равна сумме работ или мощностей всех сил и моментов сил, приложенных к звеньям механизма. Приведенной массой механизма называется такая условная масса, которая как бы сосредоточена в точке приведения механизма и кинетическая энергия которой равна сумме кинетических энергий всех звеньев механизма. Приведенным моментом инерции механизма называется такой условный момент инерции, которым как бы обладает звено приведения относительно оси вращения, кинетическая энергия которого (при таком моменте инерции) равна сумме кинетических энергий всех звеньев механизма. Уравнения движения механизмов Рассмотрим состояние механизма при двух различных положениях ведущего звена, разделяемых каким-либо промежутком времени dt или углом dφ поворота ведущего звена – кривошипа (рис. 3.5). При положении кривошипа φ0 угловая скорость звена приведения – ω0, Iпр.0 – приведенный момент инерции механизма в рассматриваемом положении. При положении φ1= φ0+dφ угловая скорость звена приведения – ω1, Iпр.1 – приведенный момент инерции механизма. Воспользуемся основным уравнением динамики (3.1). Изменение кинетической энергии определится выражением ΔЕ = Е1 - Е0 = I пр.1  12 2  I пр.0   02 2 , (3.2) где Е0 и Е1 – величины кинетических энергий механизма при положениях φ0 и φ1 кривошипа. y A  ;m ;I ;E 1 пр .1 пр .1 1 A 0 ; mпр.0 ; I пр.0 ; E0 d 1 0 x Рис. 3.5 Работы движущих сил и сил сопротивления определятся выражениями 26 1 Адв =  М дв  , (3.3) 0 1 Асопр =  М сопр  , (3.4) 0 где Мдв и Мсопр – приведенные моменты сил движущих и сил сопротивлений. Подставив (3.2) – (3.4) в (3.1) и выражая угловую скорость кривошипа в положении 1 , получим 1  2 Аизб. I пр.0 2   0 . I пр.1 I пр.1 (3.5) Уравнение (3.5) называют уравнением движения механизма в энергетической форме. Уравнение (3.5) можно записать в виде I пр.1  12 2  I пр.0  02 2 1  М пр  ,  (3.6) 0 где Мпр=Мпрдв+Мпрсопр – суммарный приведенный момент сил движущих и сил сопротивлений. Дифференцируя (3.6) по переменной φ, после преобразований будем иметь I пр.    I пр.  2   М пр. ( ; ; t ) ,  2 (3.7) где  – угловое ускорение. Уравнение (3.7) называется уравнением движения механизма в дифференциальной форме. Уравновешивание механизмов, вращающихся звеньев (роторов) При движении звеньев с переменными скоростями (с ускорением) возникают силы инерции и их моменты, которые принято называть динамическими нагрузками. Их возникновение приводит к вибрации и шуму, которые устраняются уравновешиванием звеньев при проектировании механизма. Это достигается соответствующим подбором масс и моментов инерции. Для устранения малой неуравновешенности, возникающей после изготовления звеньев и их монтажа из-за несоблюдения размеров в процессе изготовления, неточности сборки, неоднородности материала, звенья балансируют. Условия уравновешенности ротора Деталь, вращающаяся в опорах, называется ротором. При вращении какой-либо i-й массы m на нее действует сила инерции, которую можно разложить на нормальную Рin и тангенциальную Рi составляющие (рис. 3.6). Величины этих сил можно вычислить по формулам 27 Pi n  mi  i 2 ,  Pi   mi  u  .  (3.8) x Рис. 3.6 Проектируя силы (3.8) на оси х, у, z и определяя моменты этих сил относительно осей (учитывая, что  i cos   xi ,  i sin   yi ), получим Px   2 mxS  myS ,   Py   2 myS  mxS ,   M x   2  yz     xz ,  M y   2  xz     yz ,   M z    z . (3.9) Силы P и P , моменты M и M в (3.9) равны нулю в том случае, если x y x y координаты x и y массы m расположены на оси вращения z (т.е. центр масс ротора неподвижен) x S  0, (3.10)  y S  0. Это есть условие статической уравновешенности ротора. Моменты M x и M y равны нулю, если центробежные моменты инерции ротора равны нулю  yz  0,   xz  0. (3.11) Уравнения (3.11) представляют условия динамической уравновешенности ротора. Выводы: ротор статически уравновешен, если его центр тяжести расположен на оси вращения; ротор динамически уравновешен, если его ось вращения является главной центральной осью инерции. Уравновешенность ротора можно охарактеризовать и силовыми параметрами. Он статически уравновешен, если главный вектор сил инерции P и  0 . Ротор динамически уравновешен, если главный вектор моментов сил инерции M и  0 . При проектировании роторов используют условия (3.10) и (3.11). При проверке уравновешенности изготовленных роторов используют 28 условия P и  0 и M и  0 . Устранение остаточной неуравновешенности уже изготовленного ротора, возникшей по причинам неточности изготовления, монтажа, из-за неоднородности материала, из которого изготовлен ротор, называется балансировкой. Уравновешивание вращающихся масс Положения отдельных неуравновешенных масс m , расположенных на i r роторе, можно охарактеризовать величинами радиус-векторов относительно оси его вращения. Система вращающихся масс будет уравновешена, если главный вектор сил инерции, действующих на эти массы при их совместном вращении, равен нулю P   Pi  Pyp  0 , i u где P – сила инерции, действующая на i-ю массу; Pyp – сила инерции уравновешивающей массы m yp , расположенной на расстоянии ryp от оси i вращения ротора; Pi  mi ri  2 – сила инерции, действующая на i-ю массу, вращающуюся с постоянной скоростью  . Балансировка вращающихся масс (роторов) Уравновешивание роторов или систем масс используется при проектировании механизмов. В уже изготовленных роторах встречаются, как было сказано выше, неоднородности материала, возникают неточности изготовления и сборки, в результате чего возникает остаточная неуравновешенность, которую нужно устранять балансировкой. Различают балансировку: – статическую, которую производят для достаточно плоских роторов типа дисков, колес, маховиков, шкивов. Ротор при этом устанавливают в опорах с малым трением (например, на призмах) и путем добавления масс или высверливания добиваются безразличного положения балансируемого ротора на опорах; – динамическую, которую выполняют для роторов, имеющих значительную длину (валы, широкие колеса, шкивы и т.д.), на специальных станка. Уравновешивание механизмов Целью уравновешивания механизмов является устранение переменных во времени и пространстве воздействий стойки, станины механизма на опору, фундамент, вызывающих колебания фундамента и здания, а также уменьшение вибрации. Условия уравновешенности механизмов в общем виде можно охарактеризовать уравнениями P  Pu  Pф  const ; M  M u  M ф  const , где Pф и M ф – главный вектор сил и главный момент сил давления станины механизма на фундамент, опору; P и M – главный вектор сил и главный 29 момент всех других сил, внешних по отношению к механизму; Pu и M u – главный вектор сил инерции и главный момент сил инерции звеньев механизма. С достаточной для практики точностью часто ограничиваются условиями Pu  0 ; (3.12) Mu  0 . (3.13) Уравнение (3.12) представляет условие статической, а (3.13) – динамической уравновешенности механизма. Динамический синтез механизмов При создании машин структура и конструктивные параметры исполнительных механизмов определяются, как правило, на начальной стадии проектирования, в результате синтеза функциональных характеристик в соответствие с целевым назначением машины, на основе разрабатываемых или унифицированных узлов и механизмов. При этом вопросы учёта динамических свойств исполнительных механизмов на этой стадии обычно не рассматриваются или затрагиваются минимальным образом. Указанное обстоятельство обусловлено тем, что комплексное проектирование машин, сочетающее одновременную оптимизацию их функциональных и динамических характеристик, в силу ограниченности технических возможностей, осуществимо лишь в сравнительно редких случаях. В этой связи на последующих этапах проектирования, как правило, возникает необходимость доработки и изменений, предпочтительных по функциональным характеристикам решений для обеспечения их пригодности по динамическим качествам. Задачей динамического синтеза машин является обеспечение требуемых динамических качеств механического движения. Для её решения используются различные аналитические, численные и графоаналитические методы исследования. К последним может быть отнесен метод, основанный на построении кривой энергомасс, представляющей собой зависимость кинетической энергии от приведенного момента инерции и называемой диаграммой Виттенбауэра. Динамический синтез машин и механизмов можно осуществлять и на основе концепции обратных задач динамики с помощью задания не зависящих от законов механики уравнений, определяющих желаемый характер механического движения [5].По аналогии с аналитической механикой, эти уравнения могут быть представлены как некие дополнительные связи, накладывающие определенные ограничения на управляемое движение. Однако, в отличие от механических связей, применяемых в аналитической механике и описываемых либо конечными, либо дифференциальными уравнениями первого порядка, эти связи могут представляться самыми различными уравнениями, в том числе конечными, дифференциальными любого порядка, с постоянными и переменными коэффициентами, в частных производных, интегро-дифференциальными, а 30 также различными функционалами, компьютерными программами и т. п. В отличие от дополнительных связей, рассматриваемых в известных работах, указанные связи не накладывают ограничений на структуру средств их реализации. Чтобы не путать эти связи с реальными связями, вводимыми в управляемую машину, последние будем называть дополнительными обратными связями, подчеркивая тем самым их действительный двухсторонний характер. Учет динамики приводов машин При динамических исследованиях машин необходимо учитывать также динамику приводов, так как процессы, протекающие в них, оказывают существенное влияние на движение исполнительных механизмов. В машинах и механизмах применяются следующие типы приводов движения: электрический, гидравлический и пневматический. Механизмы с электрическим приводом можно рассматривать как электромеханические системы. Для исследования их динамики методически наиболее удобными являются уравнения Лагранжа – Максвелла, которые имеют форму уравнений Лагранжа второго рода и позволяют автоматически получать не только уравнения движения механической части системы, но и связанные с ними уравнения электрической части. В состав гидравлического привода обычно входят гидронасосы и гидродвигатели. Для получения уравнений движения гидравлической части системы обычно используются уравнения неразрывности потоков рабочей жидкости. При этом жидкость предполагается несжимаемой. В состав пневматического привода входят насосы и двигатели в виде пневмомоторов и пневмоцилиндров. Для составления уравнений движения пневматической части привода применяется уравнение массового расхода газа, полученное по уравнению его состояния и учитывающее зависимость объёма газа от давления и температуры. Уравнения движения приводов, как правило, являются нелинейными дифференциальными уравнениями высокого порядка. Учет упругости звеньев приводит к еще большему усложнению этих уравнений. В качестве примера, на рис. 3.7 показаны расчетные схемы машин с учетом приводов движения и упругости звеньев [5]. Схема, изображенная на рис.3.7,а, соответствует поступательной степени подвижности и использованию электрогидравлического привода движения, а схема, приведенная на рис.3.7,б, – вращательной степени подвижности и использованию электропривода. На этом рисунке приняты следующие обозначения: ЭГУ – электрогидравлический усилитель типа сопло-заслонка; ГД – гидродвигатель; УМ – усилитель мощности; ЭД – электродвигатель; q*, * – координаты программного движения; q,  – упругие координаты; Q n , M n – движущая сила и момент привода; c – приведенный коэффициент жесткости; b – коэффициент вязкого трения; m, j – приведенная масса и момент инерции исполнительного механизма; mn , J n – приведенная масса и момент инерции движущихся элементов привода; Qн , M н – сила и момент полезной нагрузки. 31 а) б) Рис. 3.7 Хотя механические характеристики приводов в общем случае являются нелинейными, для многих приводов, особенно гидравлических, а также электрических постоянного тока с независимым возбуждением, они близки к линейным . Qn  Qn 0  bn q дв , (3.14) . . где bn  Qn 0 / q дв 0 ; Qn 0 – движущая сила (момент) ненагруженного привода; q дв 0 . – скорость холостого хода; q дв , Qn – движущей силы привода. текущие значения скорости и 4.КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЗМАХ Линейные и нелинейные уравнения движения механизмов Современные машины представляют собой единый комплекс двигательного, передаточного и исполнительного механизмов с системой автоматического управления и, в отличие от традиционного технологического оборудования, работают на управляемых переходных режимах, связанных с разгоном, торможением и реверсированием исполнительных механизмов, что приводит к дополнительным динамическим нагрузкам. В этих условиях повышение требований к производительности и точности работы управляемых машин вызывает необходимость учета упругих свойств исполнительных механизмов и разработки методов и средств снижения динамических ошибок, обусловленных упругими колебаниями. Колебательные движения нарушают точность функционирования рабочих органов, увеличивают время выполнения операций, снижают прочность основных элементов и надежность работы. Решение задачи ограничения упругих колебаний 32 осложняется тем, что исполнительные механизмы зачастую являются и источниками колебаний, и объектами защиты от них. Снижение колебаний, вызванных упругой податливостью звеньев механизмов и машин, является одной из центральных задач динамического синтеза. Эта задача может быть решена как путем выбора и изменения конструктивных параметров, а, в некоторых случаях, и структуры исполнительных механизмов при использовании специальных средств активной компенсации колебаний, так и с помощью динамически оптимальных законов движения. Причем, на сегодняшний день считается, что граница между этими двумя подходами ещё не определена. Следует отметить, что возможности динамики машин, связанные с изменениями конструктивных параметров исполнительных механизмов и использованием активных способов и средств снижения динамических ошибок, в том числе на основе компьютерных технологий вычислений, являются далеко не исчерпанными. Динамика исполнительных механизмов машин с учетом упругости звеньев описывается нелинейными уравнениями движения, так как приведенные массы и моменты инерции звеньев в выражениях (3.6) и (3.10) зависят от положения механизма. С целью упрощения расчетов производят линеаризацию этих уравнений, либо используют численные и графоаналитические методы их решения. Уравнение движения главного вала машины в форме кинетической энергии имеет вид (см. формулу (3.6)) 2 2 Аизб  пр0   0 1   .  пр1  пр1 Так как величина избыточной работы Аизб, являясь функцией угла поворота вала φ, угловой скорости ω и времени t, есть величина переменная, т.е. Аизб = f(φ, ω, t), при этом Iпр = f(φ), то при установившемся режиме работы машины угловые скорости в начале и конце одного цикла Т (например, одного оборота) равны: ω0нач = ω0кон = ωср. За цикл изменение кинетической энергии равно нулю ΔЕ = 0. Внутри цикла угловая скорость вала может меняться, что вызывает дополнительные динамические (инерционные) нагрузки, а также дополнительное трение в кинематических парах, снижающее надежность механизма и его кпд. Ухудшаются условия работы механизма, приходится увеличивать материалоемкость машины, повышать прочность звеньев, нести дополнительные энергетические затраты на преодоление трения. Коэффициент неравномерности (δ) хода ведущего вала машины выражается формулой   min   max , (4.1) ср где 33 ср   max   min . 2 (4.2) Из (4.1) и (4.2) получим  ), ωmax2 ≈ ωср2 (1 + δ), 2  = ωcp (1 - ), ωmin2 ≈ ωср (1 - δ). 2 ωmax = ωcp (1 + ωmin Величина δ может находиться в следующих пределах: для ударных машин и прессов δ ≤ двигателей δ ≤ 1 1 1 , для металлорежущих станков δ = ... , для 5 20 50 1 . 100 Регулирование периодических колебаний угловой скорости с помощью маховика В случае необеспечения требуемой величины δ при работе машины могут возникнуть нежелательные явления и процессы (вибрация, повышенные энергетические затраты, невозможность выполнения технологического процесса и т.д.). При условии периодических колебаний угловой скорости вала для получения заданной величины δ используют маховик – массивное колесо с большим моментом инерции. Основная задача при расчете маховика – это определение его момента инерции. Маховик с таким моментом инерции Iмахов в интервале скоростей от ωmax до ωmin (см. рис. 3.1) должен произвести работу, равную изменению кинетической энергии механизма за это время Аизбmax = ΔEмеx. Приведенный момент инерции механизма можно представить в виде Iпрmax=Iпост.часть+Iмахов+ΔI max при ω=ωmax, Iпрmin=Iпост.часть+Iмахов+Δ I min при ω=ωmin, где Iпост.часть – постоянная составляющая приведенного момента инерции механизма; Iмахов – момент инерции маховика или маховых масс (колес, max валов и т.д.), (величина постоянная для данного механизма); ΔI – составляющая приведенного момента инерции при максимальной скорости в min цикле ωmax; ΔI – составляющая приведенного момента инерции при минимальной скорости в цикле ωmin. Тогда max Аизб  E мех  max 2 I пр   max 2  min 2 I пр   min 2 . 2 2 Из (4.3) следует (если  max   ср2 1    ,  min   ср2 1    ) max I пр 1     I прmin 1     С учетом (4.1) и (4.2) получим 34 max 2 Аизб  ср2 . (4.3) I махов max Аизб I max 1     I min 1      I пост.часть  . 2   ср2 (4.4) Для определения величины Iмахов задаются величинами ωср и Формулу (4.4) можно упростить, если принять ΔImax= ΔImin. Тогда max Аизб I махов   I пост.часть .   ср2 δ. При больших маховых массах (когда Iмахов>>Iпост.часть) можно приближенно принять max Аизб I махов    ср2 . max Для определения величины Аизб можно пользоваться диаграммами моментов сил движущих Мдв(φ) и сил сопротивлений Мсопр(φ) (см. рис. 4.1). Площади f1…f4, ограниченные кривой Мсопр и графиком Мдв, представляют собой разности работ движущих моментов Мдв и моментов сопротивлений Мсопр. Суммы площадей имеют соотношение f1 + f3 = f2 + f4. max  f 3 , то Выбирается наибольшая из этих площадей. Если f величину максимальной избыточной работы можно определить по формуле max Аизб  f 3     М , где μφ и μМ – масштабы графиков по осям  и М. М Мсопр f1 f3 Мдв f2 f4  Т Рис. 4.1 Регулирование непериодических колебаний угловой скорости главного вала машины производится с помощью специальных регуляторов. Одним из простейших является центробежный регулятор (регулятор Дж. Уатта). Вибрация, виброактивность машин, виброзащита Если не удается уравновесить и сбалансировать отдельные звенья и механизм в целом, то используют виброзащиту механизма от возникающих при его работе переменных динамических нагрузок. 35 Основными способами снижения вибрации механизма являются применения: – демпферов – устройств, предназначенных для увеличения сил сопротивлению колебаниям, зависящих от амплитуд и скорости колебаний; однако этот способ не всегда эффективен и не приводит к желаемым результатам; – виброзащитных систем, гасящих динамические воздействия на машину путем воздействия дополнительными динамическими нагрузками. В соответствии с этим существуют два основных способа виброзащиты: виброгашение и виброизоляция. Применяемые виброзащитные системы в соответствии с принятой классификацией разделяются на две основные группы – пассивные и активные. Пассивные виброзащитные системы, состоящие из набора инерционных, упругих и демпфирующих элементов сохраняют высокую эффективность только в узком диапазоне изменения частот возмущений. Активные виброзащитные системы, располагая собственными источниками энергии и элементами средств автоматического управления, обладают более широкими возможностями по сравнению с пассивными. Способ активного гашения упругих колебаний, основанный на формировании дополнительных кинематических и силовых воздействий соответствующей частоты и фазы, обладает высокой эффективностью в широком диапазоне частот возмущений. Основным его недостатком, ограничивающим области применения, является необходимость источников энергии, приводов и систем управления движением. В зависимости от принципа применяемого регулирования активные системы, в свою очередь, разделяются на системы с управлением по возмущению и по отклонению (со стабилизацией). В первом случае управление осуществляется на основе сигнала, получаемого при измерении возмущающих воздействий (как силовых, так и кинематических). Главной задачей синтеза считается реализация передаточной функции системы, обеспечивающей инвариантность (независимость от возмущений) выбранных координат объекта. Второй принцип – управление по отклонению, применяется в подавляющем большинстве используемых активных виброзащитных систем. У этих систем не требуется полная информация о возмущениях и, в определенной степени, о характеристиках изолируемого объекта, так как небольшие изменения последних мало сказываются на эффективности гашения. В качестве входных сигналов управления в них используются различные параметры движения объекта. Демпферы относятся к пассивным средствам виброзащиты. Как показывает опыт их использования, обычные демпфирующие устройства, если их не подстраивать, не обеспечивают требуемую степень демпфирования колебаний при изменениях нагрузок и скоростей движения. Для устранения этого недостатка может быть применена конструкция предложенного автором [5] гидравлического демпфирующего устройства с переменным сопротивлением, которое автоматически меняет площадь 36 проходного сечения дросселирующих отверстий при изменениях указанных параметров в достаточно широких пределах. Гашение колебаний, виброгасители Виброгашение достигается тем, что к машине присоединяются дополнительные колебательные системы – динамические виброгасители. Динамические гасители относятся к одним из наиболее эффективных средств гашения моногармонических колебаний. Одна из схем активного динамического гашения упругих колебаний звена механизма, предложенная автором, приведена на рис.4.2 [5]. К звену (руке манипулятора) 1, совершающему колебания в направлении, обозначенном стрелками, посредствам упругой связи 2 присоединена дополнительная масса 3, имеющая возможность перемещаться в направлении колебаний. По сигналу датчика 4 скорости колебаний звена к дополнительной массе с помощью устройства управления 5 и исполнительного устройства 6 прикладывается сила, направление действия которой совпадает с направлением скорости перемещений звена [5]. Рис. 4.2 Возникающая при этом реактивная сила, равная силе инерции массы 3, направлена противоположно скорости колебаний звена и демпфирует последние. Для обеспечения эффективного демпфирования колебаний при изменении длины вылета консольного звена посредствам датчика 7 измеряется величина вылета и с помощью управляющего устройства 5 изменяется величина силы, перемещающей массу 3. Вибрационные транспортеры Вибрационными транспортерами (конвейерами) называются транспортные устройства, в которых транспортирование объектов осуществляется на основе вибрационного перемещения. Вибрационное перемещение – одностороннее направленное перемещение тел под действием периодических сил. Основными функциональными механизмами транспортера являются: бункер, лоток (выполняется горизонтальным или наклонным под углом и амортизаторы. Работа   20  40 ), вибратор, подвеска, основание вибрационного транспортера основана на движении объектов по лотку вследствие вибрации последнего. Бункеры служат для накопления 37 перемещаемых объектов. Расчет основных размеров бункера производится по заданной производительности конвейера. Вибраторы предназначены для создания периодических воздействий на лоток. Наибольшее распространение получили однотактные и двухтактные электромагнитные вибраторы, обеспечивающие гармонический закон колебательного движения с частотами колебаний в 16, 25, 50 и 100 Гц. В однотактных вибраторах используется один электромагнит (при этом обратный ход осуществляется за счет упругих сил подвески), а в двухтактных – два электромагнита, которые осуществляют и прямой обратный ходы. Обычно в электромагнитных вибраторах применяются сердечники Ш – образной формы. Расчет электромагнитных вибраторов сводится к определению геометрических параметров этих сердечников («железа») и числа витков катушки по требуемому усилию, определяемому заданной скоростью транспортирования. Назначение подвесок: упругое соединение бункера с основанием, обеспечение заданного угла бросания и резонансного режима работы. Выполняются в виде плоских (однослойных и многослойных) и круглых пружин. Их расчет заключается в нахождении длины и размеров поперечного сечения (диаметров – для круглых, ширины и толщины – для плоских пружин). Эти параметры определяются из условия обеспечения резонансного режима работы. Исходными данными для расчета являются частота колебаний вибратора, число подвесок и угол бросания. Амортизаторы используются для уменьшения динамических нагрузок, передаваемых на окружающее оборудование. В качестве амортизаторов применяются цилиндрические пружины, резиновые и пробковые опоры. Жесткость амортизаторов подбирается таким образом, чтобы частота собственных колебаний конвейера вместе с основанием составляла 3 – 5 Гц. 5. СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ Основные понятия и методы синтеза. Методы оптимизации в синтезе с применением ЭВМ Проектирование машин и механизмов является комплексной задачей, которая решается в три этапа: 1–й этап: установление кинематической схемы механизма, которая обеспечивает требуемый вид и закон движения; 2–й этап: разработка конструктивной схемы механизма, обеспечивающей его прочность, жёсткость, долговечность, требуемый КПД и др.; 3–й этап: разработка технологических технико-экономических показателей механизма, определяемых его эксплуатацией, ремонтом и обслуживанием. В ТММ, в основном, решается задача первого этапа с учётом вопросов, связанных со вторым и третьим этапами. Задача синтеза кинематических схем механизмов многокритериальная, поскольку механизм должен удовлетворять различным геометрическим, кинематическим и динамическим условиям. Для решения подобных задач используются различные численные методы, основанные на применении ЭВМ: случайного поиска (метод Монте 38 – Карло); направленного поиска; комбинированного поиска; наилучшего приближения функций (метод Чебышева П.Л.) и другие. Задачи кинематического синтеза: 1.Преобразование вращательного движения вокруг одной оси во вращательное движение вокруг другой оси; 2.Преобразование вращательного движения вокруг одной оси в движение вдоль некоторой прямой и наоборот; 3.Преобразование поступательного движения вдоль одной прямой в поступательное движение вдоль другой прямой; 4.Воспроизведение одной из точек механизма заданной траектории. Для решения первых трех задач задаются требуемые законы движения звеньев, а для решения четвертой задачи – траектория движения (аналитическим или графическим способами). Задаются углы поворота выходного звена в зависимости от угла поворота, длительность периода остановки выходного звена и т.д. Кроме того, указываются желаемые конструктивные формы механизмов и некоторые условия динамического характера, включающие к.п.д., устойчивость, прочность. Перечисленные задачи синтеза наиболее просто и точно решаются с помощью механизмов, в состав которых наряду с низшими входят высшие КП. Эти механизмы позволяют: изменять скорости и законы движения звеньев и характер механического движения; осуществлять раздачу и суммирование движений; передавать движения между осями, произвольно расположенными в пространстве; осуществлять бесступенчатое изменение скорости движения. К механизмам с высшими КП относятся зубчатые, кулачковые, фрикционные и волновые механизмы. К механизмам с низшими КП относятся рычажные, кулисные и синусные механизмы. Они более просты в изготовлении, но не обеспечивают высокой точности воспроизведения заданных законов движения. В дальнейшем будет рассмотрен синтез только плоских механизмов с высшими КП. В этих механизмах элементы высших КП являются либо центроидами, либо взаимоогибаемыми кривыми. В первом случае механизмы получили название центроидных. К механизмам, в которых элементы высших КП являются взаимоогибаемыми кривыми, относятся зубчатые и кулачковые механизмы. Синтез эвольвентного зацепления Общая характеристика зубчатых механизмов К зубчатым механизмам относятся механизмы, звенья в которых выполняются в виде зубчатых колес. Предназначены для передачи движения с одного вала на другой с постоянной либо переменной скоростями. Их преимущества: компактность, минимальные габаритные размеры; высокий КПД; практически любое передаточное отношение (чаще всего постоянное); высокая надежность, долговечность; простота эксплуатации. Различают простые и сложные зубчатые механизмы. Простые состоят из двух зубчатых колес. Часто их называют зубчатые передачи или одноступенчатые передачи 39 (большее из колес называется зубчатым колесом, меньшее – шестерней). Сложный зубчатый механизм состоит из большего числа зубчатых колес. Простые зубчатые механизмы (передачи) по характеру зацепления колес могут быть с внешним, внутренним и реечным зацеплением. По характеру расположения валов различают цилиндрические, конические и гиперболоидные передачи. В цилиндрических зубчатых передачах оси валов параллельны. В конических передачах оси валов пересекаются, чаще всего под прямым углом. В гиперболоидных передачах оси валов перекрещиваются. Последние, в свою очередь, делятся на винтовые, червячные и гипоидные. По типу взаимоогибаемых кривых, которыми очерчиваются боковые поверхности зубьев, передачи делятся на эвольвентные, циклоидальные и передачи с круглым зубом. По характеру расположения зубьев относительно образующей обода колеса передачи с эвольвентным зацеплением подразделяются на прямозубые, косозубые и шевронные Передаточное отношение является одной из основных характеристик зубчатого механизма. Оно определяется как отношение скорости ведущего звена 1 к скорости ведомого звена k где – угловая скорость ведущего звена; – угловая скорость ведомого звена (колеса) (знак «плюс» берется для передач с внутренним, а «минус» – для передач с внешним зацеплением. По характеру передаточного отношения различают передачи с постоянным и переменным передаточными отношениями. Основная теорема зацепления Общая нормаль к соприкасающимся профилям зубьев в данный момент зацепления делит линию центрод на части, обратно-пропорциональные угловым скоростям (см. рис. 5.3) . Следствия из теоремы: 1. Проекции скоростей точек на общую касательную не равны между собой. Поэтому зацепление зубьев будет происходить со скольжением. Скольжения не будет, если зацепление происходит на линии центров . 2. Для постоянства передаточного отношения необходимо, чтобы общая нормаль NN в любой момент зацепления проходила через одну и ту же точку на линии центров – полюс зацепления (точка Р). Окружности, проходящие через полюс зацепления, называются начальными ; . Они являются центроидами относительного движения колёс, то есть геометрическими местами мгновенных центров вращения колёс. Расстояние 40 по дуге начальной окружности, между двумя соседними зубьями – шаг зацепления по начальной окружности . Передаточное отношение пары зубчатых колёс с неподвижными осями, обратно пропорционально числу зубьев колёс, взятых с соответствующим знаком . Основной теореме зацепления удовлетворяет большое число кривых. Можно вообще задаться профилем зуба одного колеса, и пользуясь теоремой вычертить профиль зуба 2-го колеса. Однако полученное зацепление не всегда может удовлетворять требованиям предъявляемым требованиям. Поэтому число кривых ограничено. Наибольшее распространение получил эвольвентный профиль, предложенный Л. Эйлером в 1754 году. Основные геометрические параметры зубчатого колеса цилиндрической передачи Зубчатое колесо представляет собой цилиндрический диск с нарезанными на его поверхности зубьями, число которых равно z (см. рис. 5.1). На этом рисунке использованы следующие обозначения. 1. Угловой шаг ( ) – угол между осями симметрии зубьев 4. 5. 6. 7. 8. ; . Окружность выступов ( ) – определяет внешнюю границу зуба. Окружность впадин (rf) – определяет внутреннюю границу зуба. Головка зуба – часть зуба от начальной окружности до окружности вершин (ha– высота головки зуба). Ножка зуба – часть зуба от начальной окружности до окружности впадин (hf – высота ножки зуба). Высота зуба Рис.5.1 41 9.Толщина зуба (S) определяется расстоянием между профилями зуба по начальной окружности. 10.Шаг зацепления (Р) – расстояние между одноименными профилями зубьев по начальной окружности. 11.Модуль зацепления – отношение шага зацепления к числу π . 12. Делительная окружность – окружность, по которой модуль зацепления является стандартной величиной; её радиус r = (mz)/2. Эвольвента Эвольвента – развёртка круга, которая образуется как траектория точки касания прямой с окружностью при перекатывании этой прямой по окружности без скольжения. Развертываемая окружность называется эволютой, а прямая АМ – образующей (см. рис. 5.2). В теории зацепления эволюту принято называть основной окружностью. Параметрические уравнения эвольвенты в полярных координатах ; Рис. 5.2 где Rx – радиус - вектор; – текущий угол поворота (эвольвентный угол); – угол давления; inv  tg   . – инволюта (разность между тангенсом угла и его значением в радианах). Эвольвентное зацепление и его свойства Картина эвольвентного зацепления показана на рис.5.3. Исходные данные для построения: w1,w2 – угловые скорости колес; αw – угол зацепления; m – модуль зацепления; z1, z 2–числа зубьев колес. На этом рисунке приняты следующие обозначения: – линия центров; Р – полюс зацепления, положение которого определяется основной теоремой зацепления; NN – линия зацепления; N1N2 = g – теоретический участок линии зацепления; ga – действительный (практический) участок линии зацепления (участок линии зацепления, заключенный между окружностями выступов колес, – геометрическое место точек контакта рабочих профилей зубьев);  w1,  w2 – углы зацепления; rb1, rb2 – радиусы основных окружностей; r w1, rw2 – радиусы начальных окружностей; ra1, ra2 – радиусы окружностей выступов; rf1, rf2 – радиусы окружностей впадин; а w12 – межосевое расстояние. С окружностью впадин боковые профили зубьев будут сопрягаться переходными прямыми – галтелями. Между окружностями выступов первого колеса и окружностями впадин второго колеса существует 42 радиальный зазор, который служит для исключения соприкосновения с галтелями колес и исключения гидравлического удара от смазки. Преимущества эвольвентного зацепления: 1. Эвольвентное зацепление дает постоянное давление на опоры и подшипники валов, так как линия зацепления – прямая; 2. Эвольвентное колесо может работать в паре с другим эвольвентным колесом, имеющим тот же модуль (коробки перемены передач); 3. Правильность эвольвентного зацепления сохраняется при небольших изменениях межосевого расстояния О1О2; 4. Эвольвентное зацепление обеспечивает возможность нарезания одним инструментом колес с разными числами зубьев; 5. Сумма радиусов кривизны сопряженных точек профилей зубьев есть величина постоянная, равная теоретическому участтку линии зацепления ρ1+ρ2 = g. Рис. 5.3 Недостатки эвольвентного зацепления: 1. Эвольвентное зацепление приводит к большому износу зубьев; 2. Малая поверхностная прочность эвольвентных профилей. Методы изготовления зубчатых колес Существует два принципиально различных метода: метод копирования и метод обкатки (огибания). К методу копирования относятся: литье, штамповка, протягивание, строгание, фрезерование пальцевой и дисковой фрезами и шлифование. При этом методе форма режущих кромок инструмента отвечает форме впадины между зубьями. Недостатком этого метода является невысокая точность, а также невозможность нарезания одним инструментом зубчатых колес с различным числом зубьев. 43 Наибольшее применение получил метод обкатки. К этому методу относятся: фрезерование червячной фрезой, обработка долбяком, обработка рейкой, накатка зубьев, шлифование, шевингование. При этом методе форма режущего инструмента схожа с формой зубчатого колеса или рейки, зубьям которых приданы режущие свойства, а относительные движение заготовки колеса и режущего инструмента такие же, как при зацеплении нарезаемого колеса с другим зубчатым колесом или рейкой. Такие инструменты получили название инструментального колеса (долбяка, шевера) или инструментальной рейки. Процесс нарезания колес осуществляется на специальных зуборезных станках, которые обеспечивают принудительное взаимное перемещение инструмента и заготовки колеса. Преимущество метода обкатки заключается в возможности нарезания одним инструментом зубчатых колес с различными числами зубьев. Самым универсальным инструментом при обкатке является инструментальная рейка (см. рис. 5.4). Рис.5.4 На этом рисунке обозначено: α – угол профиля рейки; mm – средняя линия рейки; ab, ef – боковые участки зубьев; Pp – шаг инструментальной рейки; c* – коэффициент радиального зазора; ha* – коэффициент высоты зуба; S p – толщина зуба рейки. Боковые участки зубьев рейки, образующие эвольвентный профиль на нарезаемом колесе, выполнены прямолинейными, причем, ab║еf . Прямые ab и ef можно рассматривать как частные случаи эвольвент, радиусы эволют которых равны бесконечности. Эвольвента зуба образуется как огибающая всех положений прямой ab при обкатке некоторой прямой mm (центроиды рейки) без скольжения по окружности (центроиде) заготовки радиусом r. Окружность радиуса r, по которой катится без скольжения прямая mm рейки, называется производственной или делительной окружностью. Делительная окружность отличается от начальных окружностей, появляющихся в процессе зацепления двух колес. Каждое колесо, имея только одну делительную окружность, может образовывать несколько начальных окружностей разного диаметра при зацеплении с различными колесами. Зубчатые колеса, у которых делительные окружности совпадают с начальными, называются коромысловыми. Шаг инструментальной рейки (Pp) равен шагу по дуге делительной окружности (P) Pp = . 44 Модуль зацепления (m) является одним из основных параметров зубчатого колеса. С целью сокращения количества зуборезного инструмента значения модуля стандартизованы в соответствии с ГОСТ 9563-60 (его выбирают из стандартного ряда в пределах m = 0,05…100 мм). Размеры инструментальной рейки также стандартизованы в долях модуля. ГОСТ 13755-68 предусматривает два варианта исполнения рейки: основной и укороченный контуры. Параметры основного контура: ha*=1; cm*=0,25; α = 200 , а укороченного: ha*=0,8; cm*=0,3; α = 200. В зависимости от относительного положения заготовки и инструментальной рейки, делительная окружность заготовка может перекатываться без скольжения либо по средней линии рейки, либо по одной из параллельных этой линии прямых. Расстояние между делительной окружностью нарезаемого колеса и делительной прямой рейки называется смещением производящего контура (xm) , а отношение смещения к модулю зацепления – коэффициентом смещения (x) (см. рис.5.5). а) б) в) Рис. 5.5 При отсутствии смещения (x =0) нарезаются нулевые зубчатые колеса (рис. 5.5,а); при смещении центроиды рейки от оси заготовки нарезаемого колеса (xm>0) получаются колеса с положительным смещением (рис. 5.5,б) а при смещении центроиды рейки к оси заготовки (xm<0) – колеса с отрицательным смещением (рис. 5.5,в). Виды зацепления колес В зависимости от того, какие зубчатые колеса введены в зацепление, образуется три вида зацепления: 1. Нулевое зацепление (x1=x2=0). В этом случае делительные окружности совпадают с начальными, угол зацепления равен углу профиля рейки и толщина зуба по начальной окружности равна ширине впадины: ; ; . 2. Смещенно – нулевое зацепление (x1+x2=0; x1 = -x2). В таком зацеплении делительные окружности также совпадают с начальными, угол зацепления равен углу профиля рейки, но толщины зубьев по начальным (делительным) окружностям не равны между собой: . 3. Смещенное зацепление (x1 + x2 ≠ 0). В этом зацеплении делительные окружности не совпадают с начальными, угол зацепления отличается от угла 45 профиля рейки неодинаковы: и толщины зубьев по делительным окружностям ; ; ; . Основные факторы зацепления К основным факторам зацепления относятся три: коэффициент перекрытия; коэффициенты удельного скольжения и коэффициент удельного давления. Картина зацепления двух колес приведена на рис. 5.6. Обозначения на этом рисунке: О1,О2 – центры колес; w1,w2 – угловые скорости колес; αw – угол зацепления; Р – полюс зацепления; a0b0 – теоретический участок линии зацепления; а1в1 – действительный (практический) участок линии зацепления; ra1,ra2 – радиусы окружностей вершин; rb1,rb2 – радиусы основных окружностей; rw1,rw2 – радиусы делительных окружностей; ВВ1– дуга зацепления; М – точка текущего касания колес. Коэффициентом перекрытия (ε) называется величина, равная отношению дуги зацепления к шагу по основной окружности (Рb). Дуга зацепления (ВВ1) – расстояние, пройденное какой-либо точкой зуба по основной окружности за время зацепления. Этот коэффициент характеризует степень плавности зацепления; его величина определяется выражением Практически коэффициент перекрытия может быть определен по следующей формуле Коэффициенты удельного скольжения (ν1,ν2) определяются через отношение скорости скольжения к тангенциальным составляющим скоростей соответствующих точек (М1,М2). Они характеризуют степень истирания поверхности зубьев. Эти коэффициенты находятся по выражениям Рис. 5.6 Коэффициент удельного давления (  ) – представляет отношение модуля зацепления к приведенному радиусу кривизны боковых профилей зубьев. Он оказывает влияние на величину контактных напряжений в зоне соприкосновения поверхностей зубьев 46 . Цели смещения инструмента при изготовлении зубчатых колес (цели исправления) Смещение инструмента позволяет обеспечить следующие свойства: 1. Повышение контактной прочности колес благодаря уменьшению коэффициента удельного давления; 2. Повышение износостойкости колес за счет снижения коэффициентов удельного скольжения; 3. Повышение изгибной прочности зубьев за счет увеличения толщины зуба у основания при положительном смещении; 4. Устранение подрезания ножки зубьев за счет положительного смещения; 5. Получение требуемого межцентрового расстояния; 6. Уменьшение габаритов зубчатого механизма при сохранении заданной долговечности и износостойкости. При малом числе зубьев и больших отрицательных смещениях наблюдается подрезание ножек зубьев. Для устранения подрезания используют положительное смещение инструмента, при этом величина минимального коэффициента смещения определяется по формуле где ha*– коэффициент высоты зуба. По этой формуле можно определить минимальное количество зубьев для нулевых колес при условии отсутствия подрезания зубьев .   a Для основного контура (   20 и h  1,0 ) минимальное число зубьев zmin =17. Выбор коэффициентов смещения колес довольно сложная задача. Для её решения удобно использовать разработанные проф. И.Л.Болотовским блокирующие контуры, представляющие собой допустимые области изменения значений коэффициентов x1 и x2 , обеспечивающие качественное зацепление передач с заданными числами зубьев (см. ГОСТ 16532-70). Синтез планетарных механизмов Подбор чисел зубьев планетарных механизмов При выборе чисел зубьев планетарных механизмов, необходимо обеспечить выполнение множества условий. Из них обязательные: передаточное отношение; условие соосности; условие соседства; условие зацепления или сборки. Помимо этих условий необходимо обеспечить высокий КПД, минимальные габариты и массу, высокую прочность зубьев, максимальную точность работы и т.д. Рассмотрим выполнение основных условий. 47 1.Соблюдение передаточных отношений Это условие определяется формулой Виллиса Из этой формулы можно получить передаточные отношения между различными колесами планетарного механизма. 2. Соблюдение условия соосности Условие соосности – это равенство межцентровых расстояний или где mI, mII – модули зацепления; αwI , αwII – углы зацепления; α – угол профиля рейки; z1, z2, z3, z4 –числа зубьев колес. 3.Соблюдение условия соседства Условие соседства или равномерного размещения сателлитов по траектории движения подвижной оси применяется при числе сателлитов k≥3. В случае нулевых зубчатых колес оно имеет вид 4. Соблюдение условия сборки Условие сборки или зацепляемости устанавливает соотношение между числами зубьев колес, обеспечивающее совпадение зубьев сателлитов со впадинами центральных колес и применяется при числе сателлитов k≥2. В наиболее общем виде условие сборки будет соблюдаться при выполнении следующего условия где z1 – число зубьев первого колеса; in1H – передаточное оношение от первого колеса к водилу при неподвижном колесе n; k – число сателлитов; N0 – некоторое целое число. Произведение числа зубьев первого колеса на передаточное отношение от первого колеса к водилу при неподвижном колесе n должно быть кратно числу сателлитов. Дифференциальный механизм Дифференциальные механизмы имеют число степеней подвижности W>1(см. рис. 5.7). Показанный механизм имеет 2 степени подвижности: движение может передаваться как от первого колеса (z1) к водилу (H), так и от четвертого колеса (z4) к водилу, либо от водила к колёсам. 48 Z3 Z2 Z4 сателит w1 w4 Z1 Н wн центральное Рис. 5.7 Дифференциальные механизмы позволяют осуществлять как раздачу движений или мощностей (что, в частности, используется в автомобильных мостах), так и суммирование движений. Синтез кулачковых механизмов Кулачковый механизм – механизм, в состав которого входят стойка, кулачок и ведомое звено (толкатель или коромысло). В некоторых случаях для уменьшения сил трения в состав кулачкового механизма вводят ролик. Кулачковые механизмы воспроизводят ведомым звеном неравномерное движение по определенному закону с остановками необходимой продолжительности. Получили широкое применение в приборах (счетнорешающие, самописцы) и в технологических машинах (машины-автоматы, станки, двигатели). По назначению кулачковые механизмы подразделяют на механизмы, реализующие только заданные величины перемещений ведомого звена без учета характера этих перемещений (клапаны, выключатели) и механизмы, реализующие заданный закон движения ведомого звена (технологические, полиграфические машины и т.д.). По виду движения входных и выходных звеньев соответственно. По способу замыкания высшей КП различают кулачковые механизмы с силовым и геометрическим замыканием. Толкатель выполняется остроконечным (обеспечивает высокую точность воспроизведения движения, однако приводит к быстрому износу места кулачка), плоским, криволинейным или снабжается роликом. Определение основных параметров кулачковых механизмов Выбор основных параметров определяется необходимостью получения механизма с минимальными габаритами, с высоким КПД, достаточной прочности и надежности. Основные параметры кулачкового механизма с толкателем приведены на рис. 5.8. На этом рисунке приняты следующие обозначения: 1 – кулачок; 2 – толкатель; 3 – ролик; n-n – нормаль к точке касания;  – угол давления между нормалью n-n и вектором скорости 49 движения ведомого звена в точке контакта; е – эксцентриситет (расстояние между осью толкателя и осью вращения кулачка); R – максимальный радиус кулачка; R0 – радиус начальной окружности кулачка (R0= r0+rp); r0 – минимальный радиус кривизны кулачка (радиус кулачковой шайбы); rp – радиус ролика; γ = 900-α – угол передачи; φв – угол ближнего стояния (соответствует профилю кулачка с минимальным радиусом r0); φу – угол удаления (соответствует профилю кулачка на этапе подъема; φδ – угол дальнего стояния (соответствует профилю кулачка с максимальным радиусом R); φb – угол возвращения (соответствует профилю кулачка на этапе опускания); теоретический профиль – траектория движения ролика; действительный профиль – эквидистантно отстоящая от теоретического профиля на радиус ролика траектория. Сумма фазовых углов В механизмах с качающимся толкателем или коромыслом помимо фазовых углов и радиусов кулачка используются параметры межосевого расстояния L0 и угла поворота β. Рис. 5.8 Выбор закона движения ведомого звена Законы движения ведомого звена определяются кинематическими, динамическими, конструктивными и технологическими требованиями. Основное требование – обеспечение минимальных динамических нагрузок. Это требование относится, прежде всего, к фазам удаления и возвращения ведомого звена. По характеру влияния на работоспособность механизма применяются следующие законы движения ведомого звена: законы, приводящие к жестким ударам; законы, вызывающие явление мягкого удара; безударные законы. 50 К явлению жесткого удара приводят законы постоянной скорости, когда скорость ведомого звена имеет разрывы I рода. Закон постоянства скорости позволяет получить кулачковый механизм, профиль которого представляет собой спираль Архимеда. В этом случае в начале движения, при реверсировании и остановке возникают бесконечно большие ускорения, приводящие к появлению бесконечно больших сил инерции и жестким ударам кулачка о толкатель, которые приводят к износу рабочей поверхности, нарушают точность, снижают долговечность. Эти законы применяются при малых скоростях движения ведомого звена, а также в несиловых механизмах (механизмах приборов). Появление мягких ударов вызывают законы постоянного ускорения, при которых скорость изменяется непрерывно, а ускорение имеет точки разрыва II рода. В точках разрыва возникает резкое изменение ускорений и сил инерции, что приводит к мягкому удару, вибрациям, шуму. Эти законы используются в механизмах с умеренными скоростями движения, а точки разрыва появляются в тех местах профиля кулачка, которые соответствуют точкам сопряжения дуг разных диаметров. Безударные режимы движения наблюдаются в тех случаях, когда ускорение является непрерывной функцией времени и может меняться, например, по закону треугольника или синусоидальному закону. Эти законы используются в силовых и быстроходных кулачковых механизмах. Определение основных размеров кулачкового механизма из условия ограничения угла давления При выборе основных размеров кулачкового механизма – минимального радиуса кулачка r0 , смещения оси толкателя относительно оси вращения кулачка e или расстояния между осями вращения кулачка и толкателя a w, стремятся получить минимально возможные значения углов давления  , так как при этом уменьшаются реакции в КП, величина вращающего момента на валу кулачка, силы трения; повышается КПД и надежность механизма. Связь угла давления с характером движения звеньев высшей кинематической пары и основными размерами механизма может быть установлена с использованием рис. 5.9. Угол давления заключен между направлением вектора силы F, действующей со стороны кулачка на толкатель по нормали n-n, проведенной в точке касания звеньев, и направлением вектора скорости точки В – VB , принадлежащей толкателю, перпендикулярного толкателю. Угол CO1D равен углу давления  , и tg  CD BD  BC BD  ( O2 B  O2 C )   O1C O1C O1C Из подобия треугольника плана скоростей и треугольника BO1D VA VB  O1 A BD и BD  VB VB  O1 A V r  B 1   VqB V1 1  r 1 После подстановки значений отрезков зависимость между углом давления и кинематическими параметрами механизма приобретет вид 51 tg  VqB   2  a w cos  2 a w sin  2 , где VqB – передаточная функция скорости точки В толкателя; a w – расстояние между осями вращения кулачка и толкателя;  2 – длина толкателя;  2 – угол, определяющий положение толкателя относительно линии межосевого расстояния. В случае, когда толкатель совершает прямолинейно-поступательное движение, выражение для определения угла давления имеет вид tg  VqB  e S0  S B , где e – смещение направляющей толкателя относительно оси вращения кулачка; S 0  S B – координата точки В толкателя в системе координат, имеющих начало на оси вращения кулачка. Величины VqB , S B и  2 , входящие в формулу для определения  , являются переменными. Следовательно, угол давления также является переменной величиной и его текущие значения  i не должны превосходить определенный допустимый угол давления i  . Рис. 5.9 При проектировании механизма, когда положение оси вращения неизвестно, требуется выбрать его таким образом, чтобы любое из текущих значений i не превышало допустимых значений []. Для этого следует построить зависимость S B (VqB ) и в каждой позиции i провести через конец отрезка кинематической передаточной функции скорости VqBi луч под углом [] к вектору скорости в этой точке. Каждый луч удовлетворяет равенству  = [] и ограничивает заштрихованную область допустимых решений, в которой выполняется условие i  [] для этого положения (рис. 5г). Центр вращения кулачка следует поместить в эту область, общую для всех положений. Такое решение обеспечит выполнение условия i < []. 52 ЛИТЕРАТУРА 1. Артоболевский И.И.Теория механизмов и машин: учебник для втузов. – 6-е изд., стер. – М.: Альянс, 2011. – 640 с. 2. Теория механизмов и машин : учеб. пособие для вузов по машиностроит. специальностям /М.З. Коловский [и др.]. – М. :Академия, 2008. – 557с. 3. Тимофеев Г.А. Теория механизмов и машин: учеб пособие для студентов вузов по техн. спец. – М.: Юрайт, 2012. – 351с. – (Бакалавр) 4. Борисенко Л.А. Теория механизмов, машин и манипуляторов: учебное пособие по машиностроительным специальностям. – М.: ИНФРА-М, 2011. – 284с. 5. Курсовое проектирование по теории механизмов и машин: учебное пособие/ А.С.Кореняко [и др.]. – Репринт. изд.– М.: МедиаСтар, 2012. – 330с. 6. Матвеев Ю.А., Матвеева Л.В. Теория механизмов и машин: учеб. пособие для вузов. – М.: Альфа – М, 2009. – 316с. 7. Кузнецов Н.К. Динамический синтез управляемых машин: монография. – Saarbrucken (Deutschland): Verlag Palmarium Academic Publishing. – 2014. – 357 p. 8. Кузнецов Н.К. Теория механизмов и машин: учеб. пособие. – Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2014. – 104 с. 53