Теория линейных электрических цепей

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования “ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА АЛЕКСАНДРА I” Кафедра «Теоретические основы электротехники» И. М. Карпова Б1.Б.38 «ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ для специальности 23.05.05 «Системы обеспечения движения поездов» по специализации «Электроснабжение железных дорог» Форма обучения – очная, заочная Санкт-Петербург – 2018 2 ОГЛАВЛЕНИЕ 1. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ .............................................................................................................. 4 1.1 Основные понятия ............................................................................................................... 4 1.2 Расчет трехфазных систем .................................................................................................. 5 1.2.1 Соединение приемника «звездой» ............................................................................... 5 1.2.2 Соединение приемника «треугольником» .................................................................. 6 1.3 Мощность трехфазных систем и ее измерение ................................................................ 7 1.4 Пульсирующее и вращающееся магнитное поле ............................................................. 7 1.5 Основы метода симметричных составляющих ................................................................ 8 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ И ФИЛЬТРОВ ........................................ 9 2.1 Уравнения четырехполюсников......................................................................................... 9 2.2 Холостой ход и короткое замыкание четырехполюсника ............................................. 10 2.3 Определение параметров четырехполюсника ................................................................ 11 2.4 Простейшие фильтры ........................................................................................................ 12 2.4.1 Низкочастотный фильтр ............................................................................................. 12 2.4.2 Простейший высокочастотный фильтр..................................................................... 13 3. РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ ................................................................................... 13 3.1 Разложение периодических функций в ряд Фурье ........................................................ 13 3.2 Действующее значение и мощность при несинусоидальных напряжениях и токах .. 14 3.3 Расчет линейных цепей при несинусоидальных напряжениях и токах ....................... 16 3.4 Влияние параметров цепи на форму кривой напряжения или тока. Резонансные фильтры .................................................................................................................................... 17 4. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ В УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ ................................................................................................................................... 18 4.1 Уравнения линии с распределенными параметрами, и их решение в синусоидальном режиме. ..................................................................................................................................... 18 4.2 Работа линии на согласованную нагрузку. ..................................................................... 20 4.3 Линия без потерь в различных режимах работы ............................................................ 21 4.4 Уравнения линии конечной длины .................................................................................. 22 4.5 Уравнения длинной линии как четырехполюсника ....................................................... 23 4.6 Линия без потерь ............................................................................................................... 23 4.7 Стоячие волны в длинных линиях ................................................................................... 24 5. АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ ................................................................................................ 25 5.1 Общие сведения ................................................................................................................. 25 5.2 Переходные процессы в цепи с одним реактивным элементом ................................... 26 5.2.1 Короткое замыкание цепи .......................................................................................... 26 5.2.2 Включение цепи на постоянное напряжение ........................................................... 26 5.2.3 Включение цепи на синусоидальное напряжение ................................................... 27 5.3 Переходные процессы в линейных электрических цепях с двумя реактивными элементами ............................................................................................................................... 27 3 6. АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ ................................................................................................... 30 6.1 Основные положения ........................................................................................................ 30 6.2 Операторные изображения простейших функций ......................................................... 30 6.3 Изображения производной и интеграла функции .......................................................... 31 6.4 Законы электрических цепей в операторной форме ...................................................... 31 6.5 Последовательность расчета операторным методом ..................................................... 32 6.6 Теорема разложения .......................................................................................................... 32 7. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ИМПУЛЬСНЫХ ЭДС И ЭДС ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ .............................................................................................. 32 7.1 Расчет цепи при произвольной форме воздействия. Интеграл Дюамеля. ................... 32 7.2 Импульсный интеграл Дюамеля ...................................................................................... 33 8. АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ......................................................................................................................................... 33 8.1 Особенности переходных процессов в нелинейных цепях ........................................... 33 8.2 Метод кусочно-линейной аппроксимации ...................................................................... 34 8.3 Метод последовательных интервалов ............................................................................. 35 4 1. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ 1.1 Основные понятия В электроэнергетике, системах электроснабжения и электропитания, а также в генераторных датчиках широкое распространение получили многофазные системы токов и напряжений. Многофазной системой токов (напряжений, ЭДС) и соответственно многофазной цепью называют систему, в которой действует несколько источников периодических напряжений (токов) с одним и тем же периодом, имеющие кратные сдвиги начальных фаз. Наибольшее применение нашли связанные трехфазные цепи с синусоидально изменяющимися источниками напряжений. eA 2 3 eB eC 2 3 2 3 t ЭДС источников трехфазной системы записывают в виде: eA  EmA sin t , eB  EmB sin(t  2 3) , eC  EmC sin(t  4 3) . 2 Элементарный трехфазный генератор можно устроить аналогично элементарному однофазному генератору. Он состоит из трех одинаковых плоских витков или катушек, называемых фазами генератора, вращающихся в однородном магнитном поле с равномерной угловой скоростью ω вокруг оси, перпендикулярной к направлению магнитных линий. При вращении в фазах будут индуктироваться э. д. с.; период Т этих э. д. с. соответствует полному обороту. Катушки одинаковы, поэтому максимальные значения (амплитуды) э.д.с. фаз будут также одинаковы. Так как фазы сдвинуты друг относительно друга в пространстве на угол 2 3 , их э.д.с. будут сдвинуты во времени на: треть периода, что соответствует фазному сдвигу, равному 2 3 . Фазой называется часть цепи с источником фазного напряжения, по которой идет ток одной и той же фазы. При анализе цепей с синусоидальными источниками обычно переходят к комплексным величинам, которые для наглядности могут быть изображены в виде векторов на комплексной плоскости. Если источники имеют одинаковые амплитуды, что наиболее распространено на практике, можно записать: E A  E , E B  Ee  j 2 3 , E С  Ee  j 4  3  Ee j 2  3 . В связной системе обмотки генератора могут быть соединены «звездой» или «треугольником». +1 A U СA U A E A U C E C C U CA U B N U BС U AB U A +j E B U C B U AB U B U BC 5 +1 A B U BC E CA E AB U AB C U CA C E BC B +j A В трехфазной системе принято выделять фазные и линейные напряжения. При соединении «звездой» линейные напряжения: U  U  U , U  U  U , U  U  U . AB A B BC B C CA C A При соединении «треугольником» линейные напряжения равны фазным. В симметричной системе амплитуды линейных напряжений при соединении «звездой» в 3 раз превышают амплитуды фазных напряжений. В симметричной системе выполняется равенство: U A  U B  U C  0 , U AB  U BC  U CA  0 . При соединении симметричной системы напряжений «треугольником» напряжение и ток внутри треугольника при отключенной нагрузке отсутствуют. 1.2 Расчет трехфазных систем Расчет трехфазных систем выполняют с применением комплексных амплитуд. При расчете используются все рассмотренные ранее методы анализа линейных электрических цепей (узловых напряжений, контурных токов, преобразования схем). 1.2.1 Соединение приемника «звездой» При соединении нагрузки «звездой» важнейшей составляющей расчета является определение смещения нейтрали. Zл A E A E C Za U nN N C a I A IN ZN E B B Zл n c Zс Zb b IB Zл IC Схема цепи содержит два узла: нейтраль генератора (0) и общую точку нагрузки (0’). По методу узловых потенциалов напряжение U 00 (смещение нейтрали нагрузки) определим из формулы: Y E  Y B E B  Y C E C U nN  A A , Y A Y B YC Y N 1 1 1 1 где Y A  , YB  , YC  , YN  Zb  Zл Zc  Zл ZN Za  Zл Фазные напряжения генератора относительно нейтрали приемника: U An  U A  U nN , U Bn  U B  U nN , U Cn  U C  U nN . 6 Токи нагрузки: IA  Y AU An , IB  Y BU Bn , IC  Y CU Cn . Ток в нулевом проводе: I0  Y N U nN В общем случае последовательности фазных напряжений нагрузки и фазных токов получается несимметричной. 1.2.2 Соединение приемника «треугольником» Если три фазы приемника с фазными сопротивлениями Z ab , Z bc , Z ca включить непосредственно между линейными проводами трехпроводной цепи, то получим соединение приемников треугольником. Zл A a I A Ica E A Iab Z сa Z ab N C E C E B B Ibc Zл Z bc b c IB Zл IC Если пренебречь сопротивлениями линейных проводов, то фазные напряжения приемника будут равны соответствующим линейным напряжениям источника питания. Фазные токи определяются по формулам: U U U Iab  AB , Ibc  BC , Ica  CA . Z ав Z вс Z са Линейные токи определяются по фазным токам из уравнений, составленных согласно первому закону Кирхгофа для узлов а, b, с IA  Iab  Ica ; IB  Ibc  Iab ; IC  Ica  Ibc . Любой из линейных токов равен геометрической разности соответствующих векторов токов тех двух фаз приемника, которые соединяются с данным линейным проводом. При симметричной нагрузке ( Z ab  Z bc  Z ca  Z ) фазные токи равны по величине и углы сдвига фаз токов по отношению к соответствующим фазным напряжениям одинаковы. Соотношение между фазными и линейными токами составит I л  3I ф . Следовательно, расчет токов при симметричной нагрузке производится только для одной фазы. При несимметричной нагрузке линейные и фазные токи определяются по общим формулам, но вследствие несимметрии нагрузки векторы токов уже не образуют симметричную систему. Независимо от характера нагрузки геометрическая сумма векторов линейных токов будет равна нулю IA  IB  IC  0. 7 U ab IС    Iвc I cа U сa   I вc I В  Icа Iab  Iab U bс IA Важной особенностью соединения фаз приемника треугольником является то, что при изменении сопротивления одной из фаз режим работы других фаз останется неизменным, так как линейные напряжения генератора являются постоянными (будет изменяться только ток данной фазы и линейные токи в проводах линии, соединенных с этой фазой). При необходимости учета сопротивлений линейных проводов, «треугольник» преобразуется в эквивалентную «звезду» и дальнейший расчет проводится по рассмотренному ранее алгоритму. 1.3 Мощность трехфазных систем и ее измерение В трехфазной системе с нулевым проводом активная мощность складывается из активных мощностей фаз нагрузки (РА, РВ, РС), потерь в линии ( PлA , PлB , PлC ) и нейтральном проводе PN : P  ( PA  PB  PC )  ( PлA  PлB  PлC )  PN . Для измерения активной мощности в трехфазной цепи с нейтральным проводом необходимо включить три ваттметра. W1 A W2 B W3 C При измерении мощностей в симметричной системе достаточно измерить мощность, потребляемую одной фазой. Активная мощность при симметричной нагрузке P  3Uф I ф cos  , где φ – угол между напряжением и током в фазе нагрузки. При отсутствии доступа к нейтральной точке последняя создается искусственно с помощью включения трех дополнительных резисторов по схеме «звезда». Если нулевой провод отсутствует, то измерение активной мощности можно осуществить двумя ваттметрами. W1 A W2 B C 1.4 Пульсирующее и вращающееся магнитное поле Магнитное поле одной катушки, по которой протекает синусоидальный ток, представляет собой пульсирующее магнитное поле, вектор магнитной индукции которого изменяется (пульсирует) вдоль оси создающей его катушки с током. Система трёх неподвижных катушек, смещенных в пространстве на угол 2/3 и присоединенная к симметричной трёхфазной системе э.д.с. создает вращающееся 8 магнитное поле – магнитное поле, вектор результирующей магнитной индукции имеет постоянное значение и вращается с постоянной угловой частотой . В центре системы вектор магнитной индукции каждой катушки может быть направлен только по ее оси, поэтому B A  B A , BB  BB e  j 2 3 , BC  BC e j 2 3 . Значения BA, BB, BC определяются токами в катушках: BA  Bm sin(t ) , BB  Bm sin(t  2 3) , BC  Bm sin(t  2 3) . Заменяя в этих выражениях синусы по формуле Эйлера и суммируя векторы магнитной индукции трех катушек, получим вектор индукции результирующего поля:  e jt  e  jt e j ( t  2 3)  e  j ( t  2 3)  j 2 3 e j ( t  2 3)  e  j ( t  2 3) j 2 3  B  Bm   e  e , 2j 2j 2j   откуда 3 B  Bm e  j ( t   2) . 2 Вектор магнитной индукции, сохраняя неизменной свою величину, равную 3Bm 2 , равномерно вращается в отрицательном направлении (по часовой стрелке) с угловой частотой . Направление вращения совпадает с чередованием тока в фазах. 1.5 Основы метода симметричных составляющих Для расчета несимметричных режимов линейных трехфазных цепей часто применяется метод симметричных составляющих, основанный на принципе наложения. Любую несимметричную систему э.д.с. напряжений или токов одинаковой частоты можно представить в виде суммы в общем случае трёх симметричных трёхфазных систем: нулевой, прямой и обратной последовательности фаз, которые называются симметричными составляющими данной несимметричной трёхфазной системы.  Введем оператор трехфазной системы a  e j120  e j 2 3 .Умножение какого-либо вектора на а поворачивает вектор на угол 1200 против часовой стрелки. При этом 1  a  a2  0 . Трёхфазная система прямой последовательности может быть записана через оператор a: U1A ; U1B  U1 A  a 2 ; U1C  U1A  a . Трёхфазная система обратной последовательности может быть записана через оператор a: U 2 A ; U 2B  U 2 A  a ; U 2C  U 2 A  a 2 . Система нулевой последовательности: U  U  U . 0A 0B 0C Подобные выражения могут быть записаны и для токов. Чтобы подчеркнуть общность этого подхода, будем записывать характеристики фаз: A  A  A  A ; B  B  B  B  A  a 2 A  aA ; C  C  C  C  A  aA  a 2 A . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Из этой системы уравнений находим симметричные составляющие: 1 1 1 A0  A  B  C ; A1  A  aB  a 2C ; A2  A  a 2 B  aC . 3 3 3 Это означает, что любую несимметричную систему векторов можно разложить на три симметричные системы. Очевидно, что нулевая составляющая (нулевая последовательность фаз) отсутствует, если сумма рассматриваемых синусоидальных величин всех трёх фаз равна нулю. Так, в частности, не содержат нулевой последовательности система линейных токов без нейтрального провода (т.к. IA  IB  IC  0 ).       9 При наличии нейтрального провода по нему протекает утроенная нулевая составляющая несимметричной системы линейных токов. Расчёты, методика которых рассмотрена ранее, касались частного случая, когда источник симметричный (система симметричных фазных напряжений), а несимметрична нагрузка. В общем случае несимметричны как система фазных э.д.с., так и нагрузка. В этом случае применяется метод симметричных составляющих. 1) Раскладывают несимметричную систему эдс на три симметричных U 0 , U1, U 2 . 2) На основе принципа наложения заданный несимметричный режим работы схемы представляют как результат наложения трёх симметричных режимов: прямой, обратной и нулевой последовательности фаз. Фазные токи соответствующих составляющих находим по формулам: U U U I1  1 , I2  2 , I0  0 , Z0 Z2 Z1 где Z 1 , Z 2 , Z 0 – комплексные сопротивления цепи токам различной последовательности, соответственно называемые сопротивлениями прямой, обратной и нулевой последовательности. Следует иметь в виду, что хотя все симметричные напряжения приложены к одному и тому же участку цепи, сопротивление этого участка токам различной последовательности может оказаться различным. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ И ФИЛЬТРОВ 2.1 Уравнения четырехполюсников Электрическая цепь, имеющая два входных и два выходных зажима, называется четырехполюсником. Активные четырехполюсники содержат внутри себя также источники электрической энергии. Соответственно, пассивные четырехполюсники внутри себя источников энергии не содержат. Примером их могут служить линия передачи, трансформатор, мостовая схема. Принято изображать 4-полюсник в виде прямоугольника с двумя парами зажимов. U1 и I1 – комплексные напряжение и ток на входе I1 I2 1 2 четырехполюсника, U 2 и I2 – комплексные   Z 2 напряжение и ток на его выходе, Z – комплексное U1 U2 2 2 1 сопротивление нагрузки. Для вывода уравнений, связывающих входные и выходные напряжения и токи, удобно заменить приемник Z 2 с напряжением U 2 эквивалентным источником напряжения без внутреннего сопротивления с ЭДС равной  U  Z I . 2 2 2 Применим метод наложения. Сначала учитываем I1 I2 только источник U 1 . Замыкая накоротко зажимы 1 2 источника  U 2 , находим токи I '1 и I ' 2 , которые, U 1  U 2 будут пропорциональны напряжению U 1 : 2 1 I'1  Y11U1 , I' 2  Y21U 1 Аналогично, при наличии источника  U 2 и коротком замыкании U 1 : I"1  Y12U 2 , I"2  Y22U 2 Здесь Y11 , Y12 , Y21 , Y22 –комплексные коэффициенты пропорциональности, имеющие размерность проводимости; Y11 и Y22 называются входными, a Y12 и Y21 взаимными 10 проводимостями. Проводимости Y12 и Y21 определяют токи в короткозамкнутом выходном или входном контуре при заданном напряжении в другом контуре. При одинаковом напряжении U токи Y12U и Y21U по принципу взаимности были бы равны между собой. Следовательно, взаимные проводимости: Y12  Y21 . Действительные токи на входе и выходе четырехполюсника I1  I'1  I"1  Y11U 1  Y12U 2 и I2  I' 2  I"2  Y21U 1  Y22U 2 . Совместное решение этих уравнений дает Y 1  U 1  22 U 2  I2 , Y21 Y21 Y Y Y Y Y I1  11 22 12 21 U 2  11 I2 . Y21 Y21 После введения обозначений Y Y Y Y Y Y 1 A  22 , B  , C  11 22 12 21 и D  11 Y21 Y21 Y21 Y21 получаются уравнения четырехполюсника: U1  AU 2  BI2 , I1  CU 2  DI2 где комплексы А, В, С, D называются параметрами четырехполюсника. Между ними существует следующая связь: AD  BC  1 . Следовательно, из четырех параметров независимыми являются три. В симметричном четырехполюснике, который со стороны выходных зажимов представляет ту же цепь, что и со стороны входных, A  D и A2  BC  1 . С помощью уравнений четырехполюсника можно определить нагрузочный режим, т. е. найти U 1 и I1 для заданных U 2 и I2 или две любые величины из указанных, если заданы две другие. 2.2 Холостой ход и короткое замыкание четырехполюсника U 1xx При холостом ходе ток на выходе I 2 xx  0 и уравнения четырехполюсника дают  AU 2 xx , I1xx  C U 2 xx . При коротком замыкании напряжение на выходе U 2 кз  0 и из уравнений четырехполюсника вытекает, что U  B I , I  D I . 1 кз 2 кз 1 кз 2 кз Отсюда видно, что параметр A представляет собой отношение входного и выходного комплексных напряжений при холостом ходе четырехполюсника, a D – отношение входного и выходного комплексных токов при коротком замыкании. Если при холостом ходе напряжение на выходе будет равно напряжению U 2 при нагрузке, а при коротком замыкании ток на выходе – току I2 при нагрузке, уравнения четырехполюсника получают вид: U 1  AU 2  BI2  U 1xx  U 1кз , I1  CU 2  DI2  I1xx  I1кз Следовательно, напряжение U 1 и ток I1 при любом заданном режиме работы приемника ( U и I ) могут быть определены путем наложения соответствующих 2 2 режимов холостого хода и короткого замыкания. Чтобы осуществить это наложение, надо знать, как расположить друг относительно друга векторные диаграммы холостого хода и короткого замыкания Для этой цели нужно 11 измерить сдвиг фаз σ между векторами U 2 и I1xx при опыте холостого хода и сдвиг фаз β между векторами U и I при опыте короткого замыкания. 1кз 2 После этого построение ведется в следующем порядке: строится заданная диаграмма U 2 и I2 , затем под углом σ к вектору U 2 строится вектор I1xx , а под углом 1хх к нему вектор U 1 xx . Далее под углом β к вектору I строится вектор U 1 , а кз 2 под углом 1кз к нему – вектор I1кз . После этого строятся векторы напряжения и тока на входе ( U 1 и I1 ) как суммы напряжений и токов при холостом ходе и коротком замыкании. Так как в симметричном четырехполюснике А = D, то U 1хх AU 2 U 2    Z 2  z2 e j2 I D I I 1 кз 2 2 т. е. угол сдвига фаз между векторами U 1 xx и I1кз равен заданному углу φ2 сдвига фаз в нагрузке, что сразу определяет взаимное расположение векторных диаграмм холостого хода и короткого замыкания без добавочных измерений. Указанное применение принципа наложения имеет большое значение при испытании мощных электротехнических устройств, описываемых линейными уравнениями, так как позволяет заменить опыт нагрузки, требующий источников большой мощности, опытами холостого хода и короткого замыкания при значительно меньшей мощности. 2.3 Определение параметров четырехполюсника Если известны конкретная схема и сопротивления (проводимости) ветвей четырехполюсника, то его параметры могут быть определены расчетным путем по входным и взаимным проводимостям. Можно также исходить непосредственно из зависимостей, устанавливаемых законами Кирхгофа. В качестве примера рассмотрим простейшие схемы четырехполюсников. Так как из четырех параметров четырехполюсника независимыми являются три, то простейшие схемы должны содержать три ветви, т. е. представлять собой соединение звездой (Тобразная схема) или треугольником (П-образная схема). 1 Z1 Z2 2 Y1 Y0 1 Z0 1 2 1 2 Y2 2 Для Т-образной схемы при режиме холостого хода очевидны следующие соотношения: U 1xx  U 2 xx  Z1Y0U 2 xx  AU 2 xx , I1xx  Y0U 2 xx  CU 2 xx ; при коротком замыкании: U 1кз  Z 2 I2 кз  Z1 ( I2 кз  Y0 Z 2 I2 кз )  BI2 кз , I1кз  I2 кз  Y0 Z 2 I2 кз  DI2 кз Отсюда параметры этого четырехполюсника: A  1  Z1Y0 , B  Z1  Z2  Z1Z2Y0 , C  Y0 , D  1  Z2Y0 Параметры П-образной схемы могут быть определены аналогично: при холостом ходе: 12 U 1xx  U 2 xx  Z 0Y2U 2 xx  AU 2 xx , 1 I1 xx  Y2U 2 xx  Y1Y2U 2 xx ( Z 0  )  CU 2 xx ; Y2 при коротком замыкании U 1кз  Z 0 I2 кз  BI2 кз , I1кз  I2 кз  Y1 Z 0 I2 кз  DI2 кз Отсюда параметры П-схемы A  1  Z0Y2 , B  Z0 , C  Y1  Y2  Y1Y2 Z0 , D  1  Z0Y1 Любой сложный четырехполюсник можно заменить простейшим эквивалентным ему, т. е. Т- или П-схемой. Параметры этих эквивалентных схем выражаются через параметры четырехполюсника. A 1 D 1 Для Т-схемы: Y0  C , Z1  , Z2  ; C C A 1 D 1 Для П-схемы: Z0  B , Y1  , Y2  . B B Видно, что схемы, эквивалентные симметричным четырехполюсникам, сами тоже симметричны, так как, если A  D , то Z1  Z 2 и Y1  Y2 . Если конкретная схема и параметры ветвей четырехполюсника неизвестны, его параметры могут быть определены из опытов холостого хода и короткого замыкания при питании и измерениях со стороны входа и со стороны выхода. Эти измерения позволяют определить комплексы сопротивлений короткого замыкания Z1кз и холостого хода Z1хх при питании схемы со стороны входных зажимов 1'-1″ и Z 2 кз и Z 2 хх при питании схемы со стороны выходных зажимов 2' -2": U U A B Z1 хх  1 хх  ; Z1кз  1кз  ; I1 хх C I1кз D U U D B Z 2 хх  2 хх  ; Z 2 кз  2 кз  ; I2 C I A хх 2 кз Как видно из этих выражений, полные сопротивления при коротком замыкании и холостом ходе связаны между собой соотношением: Z 1 хх Z 2 хх  , Z 1 кз Z 2 кз поэтому из четырех вышеупомянутых опытов необходимы лишь три, а четвертый может служить для контроля. Параметры четырехполюсника находят по формулам: Z 1 хх B A A ; B  AZ 2 кз ; C  ; D . Z 2 хх  Z 2 кз Z1хх Z1кз 2.4 Простейшие фильтры 2.4.1 Низкочастотный фильтр L L C0 Для этого Т-образного четырехполюсника Z1  Z 2  jL следовательно, его параметры: A  1  Z1Y0  1  2 LC0 , C  Y0 , B  2Z1  Z12Y0  2 jL  j3L2C0 . симметричного и Y0  jC0 , 13 Вторым примером низкочастотного фильтра может служить Побразный четырехполюсник, у которого Y1  Y2  jC0 и L Z0  jL . Его параметр A  1  Y1Z0  1  2 LC0 тот же, что и у рассмотренного Т-образного четырехполюсника, следовательно, он также является низкочастотным фильтром. 2.4.2 Простейший высокочастотный фильтр C0 C0 C0 C0 У этого Т-образного симметричного четырехполюсника 1 1 Z1  Z 2  и Y0  . jC 0 jL L Поэтому его параметры: A  1  Z1Y0  1  1 2 LC0 , C  Y0  1 1  1  , B  2Z1  Z12Y0  2 jL jC0  2 LC0  3. РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ ПРИ 3.1 Разложение периодических функций в ряд Фурье В электротехнике стремятся к синусоидальной форме периодических кривых, так как большинство устройств при этом работает лучше, однако на практике кривые несколько отличаются от синусоид. Более того, в устройствах электронной и вычислительной техники по принципу их действия напряжения и токи должны быть несинусоидальными. В этих случаях можно использовать рассмотренные ранее методы расчета цепей, если разложить периодические несинусоидальные кривые в ряд Фурье. Как известно из математики, периодическая функция f (t ) , удовлетворяющая условиям Дирихле, т. е. имеющая за полный период конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть приближенно представлена тригонометрическим рядом F (t ) . Этот ряд состоит из суммы постоянной составляющей С0 и синусоид разных частот k , где k – целые числа, начиная с единицы: n f (t )  F (t )  C0   Ak m sin(kt   k ) . 1 Ряд Фурье может быть записан в другой форме: n n n 1 1 1 F (t )  C0   Ak m cos  k sin kt  sin  k cos kt   C0   Bk m sin kt   Ck m cos kt , где Bk m  Ak m cos  k и Сk m  Ak m sin  k . Коэффициенты ряда необходимо вычислять следующим образом: 1 Bk m      1 f (t ) sin kt d (t ) и Ck m     f (t ) coskt d (t )  Вычислив B k m и C k m , можно найти амплитуды Ak m и начальные фазы синусоид  k , называемых гармониками: Ck m Ak m  Bk2m  C k2m ,  k  arctg Bk m 14 Постоянная составляющая C0 ряда является, очевидно, средним значением функции за период: 1 С0  2   f (t ) d (t ) .  Когда функция задана графически, разложение в ряд можно выполнить приближенно, заменив интегрирование суммированием подынтегральных выражений для конечного числа ординат f (t ) кривой. Для п равноотстоящих друг от друга на 2  n ординат следует подставить 2  n вместо d (t ) . Тогда C0  1 n  f (t ) , n 1 Ck m  Bk m  2 n  f (t ) sin(kt ) , n 1 2 n  f (t ) cos(kt ) n 1 На практике часто встречаются симметричные кривые; аналитическое разложение их упрощается. 3.2 Действующее значение и мощность при несинусоидальных напряжениях и токах Действующее значение несинусоидального тока определяется, как и для синусоидального тока, по равенству средней мощности переменного тока и мощности постоянного тока в том же сопротивлении r. T 1 rI   r i 2 dt , T 2 т. е. действующее значение периодического переменного тока 1 I T T i 2 dt является его среднеквадратичным значением за период. После подстановки в это выражение тока i в виде ряда Фурье: I 1 T T  I 0 I1m sin(t  1)    I k m sin(t  k )   2 интеграл может быть представлен в виде суммы интегралов вида: T 1 2 I 0 dt  I 02 ,  T 0 T 1 1 I k2m sin 2 ( kt   k ) dt   T 0 T T I k2m 1 2   I 1  cos 2 ( k  t   ) dt   I k2 , k  2 km 3 T 1 2 I 0 I k m sin(kt   k ) dt  0 , T 0 dt 15 T 1 2 I sin(kt   k ) I l m sin(lt   l ) dt  T 0 k m T  1 I I cos( k  l )t   k   l )  cos( k  l )t   k   l )dt  0 T 0 k m l m Следовательно, I  I 02  I 12  I 22    I k2   т. е. действующее значение тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей I 0 и действующих значений токов всех гармоник, и не зависит от их начальных фаз  k . По аналогии действующее значение напряжения U  U 02  U 12  U 22    U k2   Важной характеристикой кривой является среднее значение ее абсолютной величины за период U ср  1 T T  u dt . Например, для синусоиды T 1 2 2 U ср   U m sin(t ) dt  2 U m  U  0.9U .  T  Для характеристики кривых без постоянной составляющей пользуются несколькими коэффициентами. Коэффициент искажения k и равен отношению действующего значения первой гармоники к действующему значению всей кривой: k и  U 1 U ; в случае синусоиды kи  1 . Коэффициент амплитуды k а равен отношению максимального значения Um к действующему U: k а  U m U ; для синусоиды k а  2 . Коэффициент формы равен отношению действующего значения U к среднему значению U ср кривой: k ф  U U ср ; для синусоиды k ф   2 2  1.11 . Мгновенная мощность р после разложения напряжения и тока в ряды Фурье получает вид: p  ui  (U 0   uk )( I 0   ik )  U 0 I 0   uk ik  U 0 ik   uk I 0   uk il Таким образом, мощность имеет постоянную составляющую U0 I 0 и синусоидальные составляющие uk ik , имеющие частоту 2k и среднее значение U k I k cos  k . Кроме того, в кривой р содержатся синусоидальные составляющие вида U0ik и uk I 0 имеющие частоту k , и вида uk il представляющие собой сумму синусоидальных функций частоты (k  l ) и (k  l ) , среднее значение которых равно нулю. Следовательно, кривая мгновенной мощности имеет весьма сложную форму, но средняя мощность равна сумме средних мощностей, создаваемых одноименными гармониками напряжения и тока: P  U 0 I 0  U1 I1 cos 1    U k I k cos  k  . Если при синусоидальном напряжении и токе полная мощность S  UI и реактивная мощность Q  UI sin  имели определенный физический смысл как амплитуды 16 синусоид соответствующих мгновенных мощностей, то при сложной форме кривых строгие определения S и Q дать невозможно, и они могут быть чисто условными. При отсутствии постоянных составляющих общепринято определение полной мощности как произведения действующих значений напряжения и тока: S  UI  (U 12  U 22    U k2  )( I 12  I 22    I k2  ) Если по аналогии с активной мощностью под реактивной мощностью понимать алгебраическую сумму реактивных мощностей отдельных гармоник: Q   U1 I1 sin 1    U k I k sin  k   можно показать, что S  P 2  Q 2 . Тогда вводят понятие мощности искажения Т, определяемой из соотношения S  P 2  Q 2  T 2 В приближенных расчетах при отсутствии в кривых напряжения и тока постоянных составляющих иногда оперируют с эквивалентными синусоидами, имеющими те же действующие значения напряжения и тока, что и заданные кривые. Эти синусоиды должны быть сдвинуты на угол φ, при котором средняя мощность будет той же, т. е. UI cos   P . Тогда cos  называют коэффициентом мощности, а реактивную мощность определяют из треугольника мощностей как Q   S 2  P 2  UI sin  3.3 Расчет линейных цепей при несинусоидальных напряжениях и токах Если напряжение, приложенное к цепи, имеет сложную форму: u  U k m sin(kt   k ) , то ток цепи с активным сопротивлением Ukm u iа    sin(kt   k ) , r r ток в цепи с индуктивностью L Uk m 1  i L   u dt   sin(kt   k  ) , L kL 2 ток цепи с емкостью С Uk m du  iC  C  sin(kt   k  ) . dt 1 kC 2 Отсюда видно, что каждой гармонике напряжения соответствует своя гармоника тока, вычисляемая независимо от других гармоник. При пренебрежении поверхностным эффектом активное сопротивление для всех гармоник одинаково. Индуктивное сопротивление kL растет, а емкостное - 1 kC убывает пропорционально порядку гармоники. Таким образом, для расчета сложных линейных цепей может быть применен метод наложения: после разложения кривых заданных напряжений и токов в ряд Фурье они записываются в его первой форме и задача решается для каждой гармоники в отдельности; при этом сопротивления ветвей для каждой гармоники в общем случае будут различными. Задачи для отдельных гармоник решаются однотипно и при их решении может быть использован весь аппарат теории синусоидальных токов – векторные диаграммы, символический метод и т. д. Затем можно произвести наложение решений для мгновенных значений отдельных гармоник – напряжений и токов каждой ветви и вычислить их действующие значения и мощность. 17 Например, в цепи, состоящей из последовательного соединения сопротивления r, индуктивности L и емкости С, полное сопротивление и угол сдвига фаз для гармоники порядка k будут: 1 2 kL  1   kC . k  arctg zk  r 2   kL   , r kC   Для одной из гармоник эта цепь может оказаться в резонансе; тогда, если порядок этой гармоники n, то nL  1 nC , z n  r ,  n  0 . Для остальных гармоник: при k  n kL  1 kC , z k  r ,  k  0 ; при k  n kL  1 kC , z k  r ,  k  0 ; Значение индуктивности, при которой происходит резонанс: L  1 n 2 2 C . Поэтому если в цепи, питаемой несинусоидальным напряжением, увеличивать L, начиная от нуля, в ней будет происходить резонанс на отдельных гармониках, начиная с высшей. При достаточно малом r ток резонансной гармоники будет относительно большим, и кривая I (L) зависимости действующего значения тока от индуктивности, так как I  I 12  I 22   , будет иметь ряд максимумов, соответствующих отдельным гармоникам напряжения. Аналогичная зависимость получится и при изменении емкости. Для расчета более сложной цепи целесообразно применять символический метод. 3.4 Влияние параметров цепи на форму кривой напряжения или тока. Резонансные фильтры Гармоники тока ia цепи с сопротивлением r, независящим от частоты, пропорциональны одноименным гармоникам напряжения и совпадают с ними по фазе; следовательно, результирующие кривые напряжениями тока ia будут подобны. Отношение амплитуды тока гармоники порядка k и амплитуды тока основной гармоники цепи с индуктивностью L: Uk m Ikm 1 Uk m  kL  U 1m k U I 1m 1m L будет в k раз меньше отношения амплитуд гармоник напряжения. Следовательно, роль высших гармоник в кривой тока будет меньшей, чем в кривой напряжения, и кривая индуктивного тока i L будет ближе к синусоиде, чем кривая напряжения. Отношение амплитуд гармоник тока цепи с емкостью С: I k m kCU k m Ukm  k I 1m CU 1 m U 1m будет в k раз больше отношения амплитуд гармоник напряжения. Следовательно, роль высших гармоник в кривой тока будет больше, чем в кривой напряжения, и кривая емкостного тока iC будет больше отличаться от синусоиды, чем кривая напряжения. Свойство цепей переменного тока изменять форму кривой используется в электрических фильтрах. Г-образный фильтр предназначается для уменьшения переменной составляющей в напряжении и токе приемников, питаемых от электрических генераторов постоянного тока и выпрямителей, которые дают на выходе не постоянное, а пульсирующее напряжение. 18 Считая в первом приближении эти пульсации синусоидальными, форму кривой характеризуют коэффициентом пульсации k п , равным отношению максимального значения переменной слагающей Um напряжения к среднему его значению U0, т. е. kп  U m U0 . Пренебрегая активным сопротивлением катушки фильтра и считая, что сопротивление конденсатора 1 C во много раз меньше сопротивления r приемника, можно пренебречь переменной составляющей тока приемника и сделать расчет для холостого хода. Постоянные составляющие напряжения и тока сохраняются, так как для них сопротивление катушки равно нулю, а конденсатора бесконечности. Амплитуда переменной составляющей напряжения на конденсаторе, а следовательно, и на приемнике Um Um 1 1   Um Im   . 2 C C L  1 C  LC  1 Поэтому коэффициент пульсации напряжения приемника U U k k п  m  2 m  2 п U 0 ( LC  1)U 0  LC  1 т. е. уменьшится в 2 LC  1 раз по сравнению с коэффициентом пульсации k п у генератора; для высших гармоник фильтр будет уменьшать пульсации еще в большей степени. Если сглаживающее действие одного Г-образного элемента недостаточно, можно включить последовательно несколько ступеней. Для ослабления какой-либо гармоники в кривой тока по сравнению с кривой входного напряжения последовательно с приемником можно включить фильтр с параллельным соединением катушки индуктивности и конденсатора, настроенных в резонанс на эту гармонику, так как сопротивление фильтра для нее будет наибольшим. Для выделения какой-либо гармоники в кривой тока по сравнению с кривой входного напряжения последовательно с приемником можно включить фильтр с последовательным соединением катушки индуктивности и конденсатора, настроенных в резонанс на эту гармонику, так как сопротивление фильтра для нее будет наименьшим. 4. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ В УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ 4.1 Уравнения линии с распределенными параметрами, и их решение в синусоидальном режиме. На практике часто приходится иметь дело с цепями (линии электропередачи, передачи информации, обмотки электрических машин и аппаратов и т.д.), где электромагнитное поле и потери равномерно или неравномерно распределены вдоль всей цепи. В результате напряжения и токи на различных участках даже неразветвленной цепи отличаются друг от друга, т.е. являются функциями двух независимых переменных: 19 времени t и пространственной координаты x. Такие цепи называются цепями с распределенными параметрами. Для исследования процессов в цепи с распределенными параметрами (другое название – длинная линия) введем дополнительное условие о равномерности распределения вдоль линии ее параметров: индуктивности, сопротивления, емкости и проводимости. Такую линию называют однородной. Линию с неравномерным распределением параметров часто можно разбить на однородные участки. Под первичными параметрами линии будем понимать сопротивление R0, индуктивность L0, проводимость G0 и емкость C0, отнесенные к единице ее длины. Для получения уравнений однородной линии разобьем ее на отдельные участки бесконечно малой длины dx со структурой, показанной на рис. 1. Пусть напряжение и ток в начале такого элементарного четырехполюсника равны u и i, а в конце, соответственно, i u u dx и i  dx . x x Разность напряжений в начале и конце участка определяется падением напряжения на резистивном и индуктивном элементах, а изменение тока на участке равно сумме токов утечки и смещения через проводимость и емкость. Таким образом, по законам Кирхгофа u i  dx  R0dx i  L0dx , x t i u  dx  G0dx u  C0 dx x t или после сокращения на dx u i   R0 i  L0 , x t i u   G0 u  C0 . x t Теорию цепей с распределенными параметрами в установившихся режимах будем рассматривать для случая синусоидального тока. Тогда полученные соотношения при f=0 можно распространить и на цепи постоянного тока, а воспользовавшись разложением в ряд Фурье – на линии периодического несинусоидального тока. Вводя комплексные величины и заменяя  t на j получаем dU   ( R0  jL0 ) I  Z 0 I , dx dI   (G0  jC0 )U  Y 0U , dx где Z 0 и Y 0 – соответственно, комплексные сопротивление и проводимость на единицу длины линии. Продифференцировав первое уравнение по х и подставив выражение для производной от тока из второго, получим 20 d 2U  Z 0 Y 0U . dx 2 Характеристическое уравнение p 2  Z 0 Y 0  0 , откуда p1, 2   Z 0 Y 0     (   j) . Таким образом, U  A1e  x  A 2 e x  A1e  x e  jx  A 2 e x e jx , где  - постоянная распространения;  - коэффициент затухания;  - коэффициент фазы. Для тока можно записать 1 dU    x  x 1   x  x I    ( A1e  A2 e )  ( A1e  A2 e ) , Z 0 dx Z 0 ZC где Z C  Z 0 Y 0 – волновое сопротивление. Волновое сопротивление и постоянную распространения называют вторичными параметрами линии, которые характеризуют ее свойства как устройства для передачи энергии или информации. Определяя A  A e j1 и A  A e j 2 , можно записать 1 1 2  x 2 u( x, t )  2 A1e sin(t  x  1 )  2 A2 e x sin(t  x   2 ) . Аналогичное уравнение можно записать и для тока. Слагаемые в правой части соотношения можно трактовать как бегущие волны: первая движется и затухает в направлении возрастания х, вторая – убывания. Действительно, в фиксированный момент времени каждое из слагаемых представляет собой затухающую (вследствие потерь энергии) гармоническую функцию координаты х, а в фиксированной точке – синусоидальную функцию времени. Волну, движущую от начала линии в сторону возрастания х, называют прямой, а движущуюся от конца линии в направлении убывания х – обратной. В соответствии с введенными понятиями прямой и обратной волн распределение напряжения вдоль линии в любой момент времени можно трактовать как результат наложения двух волн: прямой и обратной, - перемещающихся вдоль линии с одинаковой фазовой скоростью, но в противоположных направлениях: U  U  U , где U  A e  x и U  A e x . пр обр пр 1 обр 2 Аналогично для тока: A e  x A e x и Iобр  2 . I  Iпр  Iобр , где Iпр  1 ZC ZC Положительные направления прямой и обратной волн тока различны: положительное направление прямой волны совпадает с положительным направлением тока (от начала к концу линии), а положительное направление обратной волны ему противоположно. Для прямых и обратных волн напряжения и тока выполняется закон Ома U обр U пр Iпр  , Iобр  ZC ZC 4.2 Работа линии на согласованную нагрузку. Рассмотрим теоретически важный случай бесконечно длинной однородной линии. В случае бесконечно длинной линии в выражениях для напряжения и тока слагаемые, содержащие e x , должны отсутствовать, т.к. стремление x   лишает эти составляющие физического смысла. Следовательно, A2  0 . Таким образом, в решении уравнений линии бесконечной длины отсутствуют обратные волны тока и напряжения. В соответствии с вышесказанным 21 A e  x U  A1e  x , I  1 . ZC Таким образом, для бесконечно длинной линии в любой ее точке, в том числе и на входе, отношение комплексов напряжения и тока есть постоянная величина, равная волновому сопротивлению: U Z вх   Z C . I Если такую линию мысленно рассечь в любом месте и вместо откинутой бесконечно длинной части подключить сопротивление, численно равное волновому, то режим работы оставшегося участка конечной длины не изменится. Отсюда можно сделать два вывода: 1) Уравнения бесконечно длинной линии распространяются на линию конечной длины, нагруженную на сопротивление, равное волновому. В этом случае также имеют место только прямые волны напряжения и тока. 2) У линии, нагруженной на волновое сопротивление, входное сопротивление также равно волновому. Режим работы длинной линии, нагруженной на сопротивление, равное волновому, называется согласованным, а сама линия называется линией с согласованной нагрузкой. Данный режим характеризуется отсутствием отраженных (обратных) волн, обусловливающих помехи. Согласованная нагрузка полностью поглощает мощность волны, достигшей конца линии. Эта мощность называется натуральной. Поскольку в любом сечении согласованной линии сопротивление равно волновому, угол сдвига  между напряжением и током неизменен. Таким образом, если мощность, получаемая линией от генератора, равна P1  U1I1 cos  , то мощность в конце линий длиной l : P2  U 2 I 2 cos   U1e  l I1e  l cos   P1e 2l , P P 1 откуда КПД линии   2  e  2l , а затухание   ln 1 P1 2l P2 4.3 Линия без потерь в различных режимах работы Пусть сигнал, который требуется передать без искажений по линии, является периодическим, тогда его можно разложить в ряд Фурье. Сигнал будет искажаться, если для составляющих его затухание и фазовая скорость различны, т.е. если последние являются функциями частоты. Таким образом, для отсутствия искажений, что очень важно, например, в линиях передачи информации, необходимо, чтобы все гармоники распространялись с одинаковой скоростью и одинаковым затуханием, поскольку только в этом случае, сложившись, они образуют в конце линии сигнал, подобный входному. Идеальным в этом случае является так называемая линия без потерь, у которой сопротивление R0 и проводимость G0 равны нулю. Действительно, в этом случае   Z 0 Y 0  jL0 jC0  j L0C0  j , т.е. независимо от частоты коэффициент затухания =0 и фазовая скорость  1 V    const .  L0C0 Однако искажения могут отсутствовать и в линии с потерями. Условие передачи сигналов без искажения вытекает из совместного рассмотрения выражений для постоянной распространения и фазовой скорости.   Z 0 Y 0  Z С Y 0  Z С G0  Z С jC0    j , 22  1  .  Z С C0 Для получения постоянных  и V, что обеспечивает отсутствие искажений, необходимо, чтобы волновое сопротивление не зависело от частоты. Z0 R0  jL0 L0 R0 L0  j ZC    . Y0 G0  jC0 C0 G0 C0  j V  Как показывает анализ, для этого необходимо, чтобы R0 L0  G0 C0 . Линия, параметры которой удовлетворяют этому условию, называется линией без искажений. 1 1 1   Фазовая скорость для такой линии V  , Z С C0 L0 L0C0 C0 C0 L0 R0 R G0  G0  R0G0  0 C0 G0 ZC Следует отметить, что у реальных линий (и воздушных, и кабельных) R0 L0  G0 C0 . Поэтому для придания реальным линиям свойств линий без искажения искусственно увеличивают их индуктивность путем включения через одинаковые интервалы специальных катушек индуктивности, а в случае кабельных линий – также за счет обвивания их жил ферромагнитной лентой. затухание   Z С G0  4.4 Уравнения линии конечной длины Постоянные A1 и A 2 определяются на основании граничных условий. Пусть для линии длиной l заданы напряжение U1 и ток I1 в начале линии, при x = 0. Тогда U  A  A , I Z  A  A , откуда 1 1 2 1 C 1 2 1 1 A1  (U1  I1 Z C ) , A 2  (U1  I1 Z C ) . 2 2 Подставив найденные выражения, получим 1 1 U  A1e  x  A 2 e x  (U1  I1 Z C )e  x  (U1  I1 Z C )e x  2 2 e x  e  x  e x  e  x   I1 Z C  U1 ch( x )  I1 Z C sh( x ) 2 2 1   x  x 1 1    x 1  I  ( A1e  A2 e )   (U1  I1 Z C )e x    (U1  I1 Z C )e ZC ZC  2 2   U1 U1 e x  e  x  e x  e  x U  I1   1 sh( x )  I1 ch( x ) ZC 2 2 ZC Полученные уравнения позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по их известным значениям в начале линии. Обычно в практических задачах бывают заданы напряжение U 2 и ток I2 в конце линии. Для выражения напряжения и тока в линии через эти величины перепишем уравнения в виде: U  A1e   ( l  x ' )  A 2 e  ( l  x ' ) , 1    (l  x ' )   (l  x ' ) I  ( A1e  A2 e ). ZC  23 Обозначив B1  A1e  l и B 2  A 2 e l , из этих уравнений при x  0 получим   U1 U2 U Zн U 2  B1  B 2 , I2 Z C  B1  B 2 , откуда x x'=l-x 1 1 B1  (U 2  I2 Z C ) , B 2  (U 2  I2 Z C ) . l 2 2   После подстановки найденных выражений B1 и B2 получаем уравнения, позволяющие определить ток и напряжение по их значениям в конце линии: U  U 2 ch( (l  x ))  I2 Z C sh( (l  x )) , U I  2 sh(  (l  x ))  I2 ch(  (l  x )) . ZC I1 I I2 4.5 Уравнения длинной линии как четырехполюсника Напряжения и токи в начале и в конце линии связаны между собой соотношениями U1  U 2 ch( l )  I2 Z C sh( l ) , U I  2 sh( l )  I2 ch( l ) . ZC Эти уравнения соответствуют уравнениям симметричного четырехполюсника, коэффициенты которого A  D  ch( l ) , B  Z C sh( l ) , C  sh(l ) Z C , при этом условие AD  BC  ch 2 ( l )  sh 2 ( l )  1 выполняется. Это означает, что к длинным линиям могут быть применены элементы теории четырехполюсников, и, следовательно, как всякий симметричный четырехполюсник, длинная линия может быть представлена симметричной Т- или П- образной схемами. 4.6 Линия без потерь Линией без потерь называется линия, у которой первичные параметры R0 и G0 равны нулю. В этом случае, как было показано ранее,   0 и    L0 C0 . Таким образом,  2 2   j  j  j  j , откуда l  j 2l  . V VT  Раскроем гиперболические функции от комплексного аргумента l  l  j 2l  : ch(l  jl )  ch(l ) cos(l )  j sh(l ) sin(l ) , sh(l  jl )  sh(l ) cos(l )  j ch(l ) sin(l ) . Тогда для линии без потерь, т.е. при   0 , имеют место соотношения: 2 2 ch(  (l  x ))  cos( (l  x )) и sh(  (l  x ))  j sin( (l  x )) .   Таким образом, уравнения длинной линии в гиперболических функциях от комплексного аргумента для линии без потерь трансформируются в уравнения, записанные с использованием круговых тригонометрических функций от вещественного аргумента: 2 2 U  U 2 cos( (l  x ))  jI2 Z C sin( (l  x )) ,   U 2 2 I  j 2 sin( (l  x ))  I2 cos( (l  x )) . ZC   24 Строго говоря, линия без потерь (цепь с распределенными параметрами без потерь) представляет собой идеализированный случай. Однако при выполнении R0 L0  1 и G0 C0  1, что имеет место, например, для высокочастотных цепей, линию можно считать линией без потерь. 4.7 Стоячие волны в длинных линиях Решение уравнений длинной линии можно представить в виде суммы прямой и обратной волн. В результате их наложения в цепях с распределенными параметрами возникают стоячие волны. Рассмотрим два предельных случая: холостого хода и короткого замыкания в линии без потерь, когда поглощаемая приемником активная мощность равна нулю. В случае холостого хода имеем: U 2 2 U  U 2 cos( x ) и I  j 2 sin( x ) , ZC   откуда для мгновенных значений напряжения и тока можно записать 2  U 2m 2   2   U 2m   u( x , t )  U 2m sin t cos x sin t  x  sin t  x ; 2   2        U 2  U 2m  2   2   U 2 m  i ( x , t )  2m cos t sin x sin t  x  sin t  x . ZC   2Z C      2Z C   Полученные уравнения представляют собой уравнения стоячих волн, являющихся результатом наложения прямой и обратной волн с одинаковыми амплитудами. При холостом ходе в точках с координатами u, i u(t+T/2) u(t)  x   k , где k – целое число, имеют место i(t+T/2) i(t) 2 максимумы напряжения, называемые пучностями, и нули тока, называемые узлами.  В точках с координатами x   ( 2k  1) пучности x' 4 и узлы напряжения и тока меняются местами. Таким образом, узлы и пучности неподвижны, и пучности одной переменной совпадают с узлами другой и наоборот.  2    2     x , x  и I  I 2 cos При коротком замыкании: U  jI2 Z C sin       откуда для мгновенных значений можно записать  2   u ( x , t )  I 2m Z C cos t sin x ,     2   i ( x , t )  I 2m sin t cos x ,    т.е. и в этом случае напряжение и ток представляют собой стоячие волны, причем по сравнению с режимом холостого хода пучности и узлы напряжения и тока соответственно меняются местами. Поскольку в узлах мощность тождественно равна нулю, стоячие волны в передаче энергии вдоль линии не участвуют. Ее передают только бегущие волны. Чем сильнее нагрузка отличается от согласованной, тем сильнее выражены обратные и, следовательно, стоячие волны. В рассмотренных предельных случаях холостого тока и короткого замыкания имеют место только стоячие волны, и мощность на нагрузке равна нулю. 25 5. АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ 5.1 Общие сведения Под переходным процессом понимают процесс перехода от одного режима работы электрической цепи (обычно периодического) к другому (обычно также периодическому), чем-либо отличающемуся от предыдущего, например, амплитудой, фазой, формой или частотой действующей в схеме э.д.с., значениями параметров схемы, а также вследствие конфигурации цепи. Физически переходные процессы представляют собой переход от одного энергетического состояния, соответствующего докоммутационному режиму, к другому энергетическому состоянию, соответствующему послекоммутационному режиму. Энергия магнитного поля, создаваемого током i, протекающим через индуктивность L: Wмаг  Li 2 2 Энергия электрического поля, возникающего вследствие того, что к конденсатору емкостью C приложено напряжение uC : Wэл  CuC2 2 . Энергии электрического и магнитного полей не могут меняться скачком на конечную величину за бесконечно малый промежуток времени, поэтому не могут меняться скачком ток в цепи с индуктивностью и напряжение на конденсаторе. Тем самым, мы получаем два закона коммутации: 1. Ток через индуктивный элемент L непосредственно до коммутации равен току через этот же индуктивный элемент после коммутации, что принято записывать следующими образом: iL (0  )  iL (0  ) (момент времени непосредственно до коммутации и непосредственно после). 2. Напряжение на конденсаторе непосредственно до коммутации равно напряжению на этом конденсаторе после коммутации: uC (0 )  uC (0 ) . Для расчета переходных процессов в цепях составляется система уравнений по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов. Эта система приводится к одному уравнению для одного из напряжений или токов. Поскольку мы будем пока рассматривать линейные цепи, то итоговое уравнение будет линейным дифференциальным уравнением. Порядок этого уравнения равен числу независимых начальных условий для токов индуктивностей и напряжений на емкостях. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения i(t ) и общего решения однородного уравнения i(t ) . Т.о, i(t )  i(t )  i(t ) Частное решение неоднородного уравнения определяется видом функции, стоящей в правой части уравнения, и поэтому называется вынужденным. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников энергии вынужденное решение совпадает с установившимися значениями искомых величин. Оно может быть найдено теми способами расчета, которые вы рассматривали в прошлом семестре. Общее решение i" однородного уравнения описывает процесс, происходящий без воздействия внешних источников за счет изменения запаса энергии, накопленной в цепи до начала переходного процесса; оно имеет одинаковый вид для любого переходного процесса в данной цепи. Это решение называют свободной составляющей переходного процесса. Решение однородного дифференциального уравнения ищется в виде A1 e p1t  A2 e p2t  , где pi – корни характеристического уравнения. 26 Постоянные интегрирования Ai , входящие в выражение для переходной величины, определяют из начальных условий – значений напряжений на емкостях и токов в индуктивностях, которые в соответствии с законами коммутации не могут изменяться скачком. 5.2 Переходные процессы в цепи с одним реактивным элементом Здесь приведены примеры задач с индуктивным элементом, аналогичные задачи могут быть рассмотрены и для цепей с емкостным элементом. 5.2.1 Короткое замыкание цепи Рассмотрим следующую цепь. При коротком замыкании цепи с последовательным соединением r и L уравнение переходного тока i, равного r в этом случае свободному току i", имеет вид: U0 L di L  ri  0 dt Характеристическое уравнение Lp  r  0 имеет корень p   r L , тогда r  t i  i   A e pt  A e L Если до момента короткого замыкания по цепи шел постоянный ток I 0  U0 r , где U 0 – постоянное напряжение цепи, это значение тока сохранится и для первого мгновения после замыкания цепи, откуда определяется постоянная интегрирования: i(0)  I 0  A . r  t U0 Следовательно, i  I 0 e L , -uL i=I0   L r называется постоянной времени. i В цепи появляется э. д. с. самоиндукции: r r  t di  r   Lt L eL   L   LI 0    e  U 0 e  uL . t dt  L Энергия, расходуемая на нагрев сопротивления r цепи за время переходного процесса равна энергии, запасенной в индуктивности до замыкания цепи:   2r  t 1 2 2 W   r i dt  r I 0  e L dt  LI 02 2 5.2.2 Включение цепи на постоянное напряжение При включении цепи r, L на постоянное напряжение U 0 вынужденный ток i  U0 r , а переходный ток r r  t U0 L  Ae . r Ток до переходного процесса, а следовательно, и в первый момент после включения равен нулю: U i (0)  0  A  0 , r r r  t  t  U  U откуда A   0 и i  0 1  e L   I 0 1  e L  , r r     U0 L i  i  i  т. е. переходный ток постепенно нарастает до своего окончательного значения I 0 и тем медленней, чем больше постоянная времени . Напряжения на участках цепи 27 r r  t  t  di ua  ri  U 0 1  e L  ; u L  L  U 0 e L dt   Следовательно, в первый момент напряжение цепи целиком сосредоточивается на индуктивности и затем постепенно переходит на сопротивление. 5.2.3 Включение цепи на синусоидальное напряжение Пусть цепь r, L включается на синусоидальное напряжение u  Um sint   . Тогда значение напряжения в момент включения u(0)  Um sin  определяется величиной начальной фазы , которая в этом случае называется также фазой включения. Вынужденный ток (в случае активно-индуктивного характера цепи ток отстает от напряжения): Um L  U m  i  sin t    arctg sint      t  z  r 2  (L)2 r  t Um sint      A e L . z U U Учет начального условия дает: i(0)  m sin    A  0  A   m sin   z z r  t U U и окончательно i  m sint      m sin  e L . z z Переходное напряжение на активном сопротивлении пропорционально току, а на индуктивности есть r  t di L  r  uL  L  U m sin t        sin  e L . dt z 2 z  При включении в момент времени, когда вынужденный ток равен нулю, например при     0 , уравнения принимают вид L  U  U m sin t   , i  m sin t и uL  z 2 z  т. е. свободного тока и свободных напряжений на участках цепи нет, и сразу после включения наступает установившийся процесс. В общем же случае на синусоидальные установившиеся напряжения на участках цепи и ток налагаются свободные составляющие, значения которых уменьшаются по показательному закону. В результате ток i и напряжения ua и u L в течение некоторых промежутков времени могут превосходить их максимальные значения I m , U a m и U L m при установившемся режиме. В результате может возникнуть большой ток, называемый сверхтоком, и перенапряжения. Их величина зависит от фазы включения  и от постоянной времени , определяющих, соответственно, начальные значения свободных составляющих и скорость их уменьшения. Так, при включении в момент времени, когда вынужденный ток получает максимальное значение I m  U m z , например при      2 , Переходный ток: i  i  i  Um U rt L r rt sint   2  m e L ; uL   U m sin t  e L z z z z При большой постоянной времени получается большой сверхток, однако он не может превзойти двойную амплитуду 2 I m установившегося тока. i 5.3 Переходные процессы в линейных электрических цепях с двумя реактивными элементами Рассмотрим характер этих процессов на примере короткого замыкания цепи с 28 последовательным соединением индуктивности и емкости. Пусть емкость, заряженная до напряжения U 0 , замыкается на цепь с последовательным соединением r L сопротивления и индуктивности. Тогда уравнение по i второму закону Кирхгофа будет однородным: U0 C d 2uc r duc 1 di ri  L  uc  0 , откуда   uc  0 . 2 dt dt L dt LC Характеристическое уравнение p 2  r 1 p  0 имеет два корня: L LC r r2 1   . 2 2L 4 L LC Если r 2 4L2  1 LC т.е. r  2 L C , корни будут различными p1  p2 . p1, 2   В этом случае решение дифференциального уравнения uc  A1e p1t  A2 e p2t , а ток в цепи i  CA1 p1e p1t  CA2 p2 e p2t . В момент t = 0 напряжение на емкости и ток индуктивности, равный току всей цепи, будут такими же, как и до замыкания: uc (0)  A1  A2  U0 , i(0)  CA1 p1  CA2 p2 pU pU откуда постоянные интегрирования A1   2 0 , A2  1 0 p1  p2 p1  p2 и, следовательно, ток и напряжения на участках будут: p p CU U0  i   1 2 0 e p1t  e p2 t    e p1t  e p2 t  ; ua  r  i ; 2 p1  p2 1  r  2L     2 L  LC pU pU U0  uc   2 0 e p1t  1 0 e p2 t   p2 e p1t  p1e p2 t  ; 2 p1  p2 p1  p2 1  r  2     2 L  LC di U0  uL  L   p1e p1t  p2 e p2 t  2 dt 1  r  2     2 L  LC Характер переходного процесса зависит от соотношения между параметрами r, L и С. 1. Если r  2 L C , корни p1 и p2 будут вещественными, причем p1  0 , p2  0 , p1  p2 . U0 uC t0 2t0 t ua i -U0 uL Напряжение конденсатора, начиная с U 0 , непрерывно убывает, оставаясь всегда положительным, так как его первая экспонента положительная и больше второй отрицательной. Ток i цепи и напряжение на сопротивлении, начинаясь с нуля, всегда отрицательны, что соответствует току разряда. Напряжение u L на индуктивности возникает скачком, принимая значение U 0 ; проходит через нуль в момент t0 при равенстве значений своих экспонент, т.е. при p t0  ln 2  p1  p2  и p1e p1t0  p2 e p2t0 ,откуда p1 29 затем становится положительным. Так как u L пропорционально производной от тока, то в момент времени t0 абсолютное значение тока проходит через максимум. Приравняв производную duL dt нулю, можно видеть, что u L имеет максимум при t  2t0 . Рассмотренный вид разряда называется апериодическим. 2. Пусть r  2 L C . Введем обозначения: r 2 L   , 1 LC  02 , 1 LC  ( r 2 L)2   . Тогда выражение для корней характеристического уравнения можно переписать следующим образом: 2 r 1  r  p1, 2   j       j 2L LC  2 L  Так как  – число вещественное, корни p1 и p2 будут комплексными. После подстановки значений p1 и p2 выражения для тока и напряжений на участках примут вид: U U i   0 e   jt  e   jt   0 e t sin t , ua  r  i , 2 jL L  uc    jt  jt jt  jt U0    je jt     je jt  U 0e t   e  e  e  e  . 2 j 2j 2     Обозначим    ctg   cos   U uc  U 0e t  sin t  cos t   0 e t sint   .  sin   sin  Аналогично U U u L   0    je   jt     je   jt  0 e t sint   . 2 j sin  Ток и напряжения цепи, в которой r  0 и, следовательно,   0 ,   0 ,    2 : U i   0 sin 0t , ua  r  i , uc  U0 sin0t   2 , uL  U0 sin0t   2 . 0 L Следовательно, если бы в цепи не происходило рассеяние энергии, ток и напряжения на участках были бы U0 uC синусоидальными функциями времени, т.е. имели бы место собственные незатухающие колебания, угловая частота которых равна резонансной частоте этой цепи 0  1 LC . Для незатухающих колебаний векторная диаграмма и график мгновенных значений тока и напряжений на индуктивности и емкости аналогичны тем, которые имеют место при резонансе в цепи с последовательным -U0 uL соединением r, L и С. Следовательно, и здесь происходит полный обмен энергиями между С и L.   t i 30 U0 Если в цепи есть сопротивление r  2 L C , разряд также носит колебательный характер, но амплитуды тока и напряжений постепенно уменьшаются, так как e t с ростом t стремится к нулю. Угловая частота этих uC собственных затухающих колебаний   02  2  0 . Энергетический процесс заключается в обмене энергиями между емкостью и индуктивностью с непрерывным uL i -U0 рассеянием энергии сопротивлением. Переходный процесс закончится, когда запасенная энергия полностью рассеется. 3. Если r  2 L C , частота   0 и в выражении для тока возникает неопределенность: sin t   0 0 . Такой режим разряда называется критическим. sin t t cos t Раскрывая неопределенность   t , для этого случая получаем:  1 0 t U 0  2rL t r   2rL t r   2rL t   , uC  U 0 1  , uL  U0 1  . i te t e t e L  2L   2L  Характер разряда будет апериодическим. 6. АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ 6.1 Основные положения При использовании операторного метода действительные функции времени, называемые оригиналами, заменяются их операторными изображениями. Соответствие между оригиналом и изображением устанавливается с помощью некоторого функционального преобразования. Это преобразование выбирается так, чтобы операции дифференцирования и интегрирования оригиналов заменялись алгебраическими операциями над их изображениями. При таком подходе дифференциальные уравнения для оригиналов переходят в алгебраические уравнения для их изображений. Связь между оригиналом f(t) и его изображением F(p) устанавливается с помощью интеграла Лапласа:  F ( p )   f (t ) e  pt dt , где p=+j. Полученное соотношение называется прямым преобразованием Лапласа. С его помощью находят операторное изображение F(p) оригинала f(t). Связь между оригиналом и изображением условно записывается так: f (t )  F ( p) 6.2 Операторные изображения простейших функций Из основных свойств определенных интегралов вытекают два важных следствия для изображений. Если известны изображения нескольких функций, например f1 (t )  F1 ( p ) , f 2 (t )  F2 ( p ) и т.д., то n n 1 1  f k (t )   Fk ( p) , т. е, изображение суммы функций равно сумме их изображений. При a=const, соответственно, имеем af (t )  aF ( p) , т. е. при умножении функции, на постоянную величину изображение функции должно быть умножено на эту величину. E Изображение постоянной во времени функции E  . p 31 1 . pa Из этого соотношения могут быть найдены изображения следующих функций:  p , cos t  2 . sin t  2 2 p  p  2 Изображение показательной функции eat  6.3 Изображения производной и интеграла функции Если известны начальное значение f(0) функции f(t) и ее изображение F(р), то изображение производной f(t) можно получить, интегрируя по частям: f (t )  pF ( p)  f (0) . Изображение второй производной f (t )  p2 F ( p)  pf (0)  f (0) . di Изображение напряжения на катушке: uL (t )  L  pLI ( p )  Li (0) . dt Изображение неопределенного интеграла: F ( p ) (0) . (t )   f (t )dt   p p Изображение напряжения на конденсаторе: t 1 1 I ( p ) uC (0) uC (t )   i (t )dt   i (t )dt  uC (0)   C C0 pC p 6.4 Законы электрических цепей в операторной форме Пусть цепь с последовательным соединением r, L, С при ненулевых начальных условиях включается на напряжение u(t ) . Тогда di 1 L  ri   i dt  u(t ) dt C Применим к этому уравнению изображение Лапласа. Преобразование Лапласа является линейным, поэтому изображение суммы равно сумме изображений: 1 u (0) LpI ( p )  Li (0)  rI ( p )  I ( p)  c  U ( p) Cp p В результате вместо интегро-дифференциального уравнения получаем алгебраическое, откуда ток в такой цепи есть: U ( p )  Li (0)  uc (0) p I ( p)  Lp  rI  1 Cp Это выражение представляет собой аналог закона Ома в операторной форме для переходного процесса при ненулевых начальных условиях. В знаменателе стоит операторное сопротивление: Z ( p)  Lp  rI  1 Cp В общем случае сложной цепи ее операторное сопротивление имеет вид: a p n  a p n 1    a1 p  a0 Z ( p )  n m n 1 m 1 bm p  bm 1 p    b1 p  b0 Первый закон Кирхгофа в операторном виде:  I k ( p )  0 k Второй закон Кирхгофа в операторном виде при нулевых начальных условиях и отсутствии взаимной индукции имеет вид:  I k ( p ) Z k ( p )   Ek ( p ) k k При составлении операторных уравнений удобнее использовать операторные схемы замещения, которые составляются на основе заданной электрической схемы для 32 оригиналов. Сопротивления элементов ветвей записываются в операторной форме: R, pL, 1/pC. Изображения заданных ЭДС и токов находят, как правило, по таблицам. Ненулевые начальные условия учитывают введением дополнительных источников ЭДС (внутренних ЭДС). Полученную операторную схему рассчитывают по законам Кирхгофа в операторной форме или любым другим методом, используемым при расчете цепей постоянного тока. 6.5 Последовательность расчета операторным методом Расчет переходных процессов в сложных цепях операторным методом состоит из двух основных этапов: 1) составления изображения искомой функции времени. Для этого записываются законы Кирхгофа и соответствующая им алгебраическая система уравнений для изображений. При этом необходимо учесть ненулевые начальные условия. Решение системы дает изображения искомых токов и напряжений. Эти изображения имеют вид рациональных дробей. 2) переход от изображения к функции времени. Для перехода от изображений к оригиналам можно использовать таблицы, приведенные в справочниках или, в случае сложного вида функции воспользоваться теоремой разложения. 6.6 Теорема разложения В большинстве случаев изображение представляет собой правильную дробь: N ( p ) an p n  an 1 p n 1    a1 p  a0 F ( p)   , M ( p ) bm p m  bm 1 p m 1    b1 p  b0 у которой n  m . Если полином M ( p) не имеет кратных корней, то такая дробь может быть разложена на простые дроби: N ( p) N ( p) A1 A2 Am     , M ( p )  p  p1  p  p2  p  pm  p  p1 p  p2 p  pm pi - корни уравнения M ( p)  0 , коэффициенты Ak: Ak  N ( pk ) M ( pk ) Тогда для оригиналов можно записать следующее выражение: N ( p ) m N ( pk ) pk t  e M ( p) k 1 M ( pk ) Это и есть теорема разложения, позволяющая по изображению в виде рациональной дроби найти оригинал. Если при этом один из корней M ( p) равен нулю, соответствующая показательная функция превращается в постоянную величину. 7. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ИМПУЛЬСНЫХ ЭДС И ЭДС ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ 7.1 Расчет цепи при произвольной форме воздействия. Интеграл Дюамеля. Предположим, что линейная цепь включается на напряжение u(t ) , являющееся произвольной функцией времени. Заменим кривую напряжения ступенчатой линией. 33 В этом случае можно считать, что в момент времени t  0 цепь включается на постоянное начальное напряжение u(0) , а затем через равные промежутки u() u(t) времени Dx включаются дополнительные источники Du2 постоянных напряжений Dui . Эти напряжения в общем случае обладают разной величиной и имеют Du1 u(0) положительный знак при возрастании напряжения и отрицательный при его убывании. В результате ток в t любой ветви при переходном процессе можно найти  D как сумму токов, вызываемых отдельными постоянными составляющими напряжения. Для применения этого метода необходимо предварительно рассчитать переходный ток исследуемой ветви по заданному постоянному входному напряжению U 0 и найти переходную функцию K (t ) , связывающую искомую и заданную величины. Эта функция зависит от времени и может быть найдена с помощью классического или операторного методов расчета переходного процесса при включении данной цепи под действие постоянного напряжения. При вычислении тока переходная характеристика имеет размерность проводимости и называется переходной проводимостью Y (t ) . Если воздействие запаздывает на время t*, то на такое же время запаздывает и реакция цепи. Следовательно, переходная проводимость t -t*   1  Y (t  t*)  1  e   . r  Составляющая переходного тока от напряжения u(0) , включаемого в начальный момент, равна Y (t )  u(0) , а от скачка напряжения Du , включаемого в момент   D , равняется Y (t    D)  Du . В результате при переходе D в пределе к бесконечно малым промежуткам времени dτ значение искомого переходного тока будет: t i (t )  Y (t )  u(0)   Y (t  )u( ) d Полученное выражение называется интегралом Дюамеля. 7.2 Импульсный интеграл Дюамеля u() u(t) u(0)  D t Заданное входное напряжение u(t ) представить в виде следующих друг за другом прямоугольных импульсов напряжения u() малой длительности D . Расчет реакции линейной электрической цепи можно получить как сумму реакций на каждый импульс учетом сдвига во времени. В этом случае вводится понятие импульсной переходной проводимости Y (t ) , а результирующий ток определяется импульсным интегралом Дюамеля: t i (t )  u(t )  Y (0)   u( )  Y (t  ) d . 8. АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ 8.1 Особенности переходных процессов в нелинейных цепях В нелинейных цепях зависимости q(uc ) и (iL ) нелинейны. Поэтому для определения начальных условий на основе невозможности скачкообразного изменения 34 энергии следует исходить из невозможности скачков q и . Затем, определив зависимости q(t ) и (t ) и используя кривые q(uc ) и (iL ) , можно найти зависимости uc (t ) и iL (t ) . Переходные процессы в нелинейных цепях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Эти уравнения не имеют общего метода решения. Для их решения применяются приближенные аналитические, графоаналитические и графические методы. 8.2 Метод кусочно-линейной аппроксимации Сущность метода кусочно-линейной аппроксимации состоит в замене нелинейной характеристики ломаной линией, что позволяет довольно точно аппроксимировать любую заданную нелинейную характеристику. Для связи решений, полученных на линейных участках, используют законы коммутации и находят постоянные интегрирования. В качестве примера определим зависимость i потокосцепления индуктивной катушки t  при замыкании r ключа. ЭДС Е, сопротивление r и кривая намагничивания E (i) i  заданы. Сначала надо определить рабочий участок на кривой намагничивания: в начальный момент времени t  0 потокосцепление  0  0 ; при установившемся режиме t    ток 2  2 i  i2  E r , по этому значению тока с помощью 1 2 кривой i  находим соответствующее значение 1 20 потокосцепления 2 . Полученный рабочий участок определяется отрезком 0  2. Он 1 заменяется ломаной, состоящей, например, из двух линейных отрезков: 01 и 12. i i' i1 i2 Расчет переходного процесса в пределах каждого отрезка выполняют аналогично расчету линейной цепи. Значения индуктивности, соответствующие участкам 01 и 12 характеристики, определяются тангенсами углов наклона 1 и  2 ( L1  1 i1 , L2  2  1  i2  i1  ). Поскольку на втором участке насыщение больше L2  L1 . Выражения для потокосцепления на участках:   L1i ,   20  L2i . 20 - пересечение продолжения отрезка 12 с осью ординат На первом участке переходный процесс соответствует изменению потокосцепления в пределах 0    1 на временном интервале 0  t  t1 . Для этого участка по второму закону Кирхгофа уравнение имеет вид d  r E dt L1 Для второго интервала уравнение будет иметь такой же вид, но вместо L1 там должно стоять L2 .  r Рассмотрим первый участок: 0  t  t1 t   1  A1e L1 , 1  L1 E r . Значения постоянной находим из условия непрерывности потокосцепления: t  0  0  0 , откуда A1   1 Таким образом, для первого участка t   1 (1  e  r t L1 ) t 35 Из этого уравнения можно определить момент времени L 1 получает значение 1 : t1  1 ln . r 1  1 t1 , когда потокосцепление  r ( t  t1 ) L2 Рассмотрим второй участок: 1    2 при t1  t   , t   2  A2 e . Из условия непрерывности потокосцепления на границе двух линейных отрезков находим постоянную A2 t  t1 t1   1 , откуда A2  ( 2  1 ) .  r ( t  t1 ) L2 Таким образом, для второго участка t   2  2  1  e . По полученным выражениям можно построить график зависимости t  . Постоянная времени на первом участке 1  L1 r , на втором 2  L2 r , причем 1  2 . 8.3 Метод последовательных интервалов В этом методе время переходного процесса разделяется на ряд малых интервалов Dt . На каждом интервале вычисляется изменение переменных, характеризующих цепь. Пусть, требуется найти закон изменения заряда на нелинейном конденсаторе и напряжения на его пластинах при подключении цепи к источнику постоянного напряжения. Характеристика конденсатора uc (q) задана. Для рассматриваемой схемы можно написать следующее уравнение: i dq U r  uc (q) r u (q) C dt U Используем приближенное соотношение dq dt  Dq Dt . Из этого уравнения находим Dq  U  uc Dt r . Задаваясь достаточно малым значением Dt и зная начальное условие uc (0)  0 , вычисляем заряд для момента времени t1  Dt : q1  Dq0  U Dt r . uC По характеристике uc (q) находим напряжение uc1 . Далее определяем заряд q 2 . Для момента времени t2  t1  Dt : q2  q1  Dq1  q1  (U  uc1 ) Dt r . Для момента времени tk 1  tk  Dt заряд qk 1  qk  Dqk  qk  (U  uc1 ) Dt r . Напряжение uc k 1 находим по вольт-кулоновой uCk uC2 uC1 q1 q2 qk q характеристике uc (q) . При использовании метода последовательных интервалов расчет удобно вести в табличной форме. Разработчик, доцент И.М. Карпова Материалы рассмотрены и одобрены на заседании кафедры «Теоретические основы электротехники» Протокол № 4 от « 19 » декабря 2018 г. Заведующий кафедрой «Теоретические основы электротехники» К.К. Ким