Теория и технология обучения математике в начальной школе

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Уральский государственный педагогический университет Институт педагогики и психологии детства Кафедра теории и методики математики и информатики в начальных классах Теория и технология обучения математике в начальной школе Учебно-методический комплекс дисциплины (Модуль№ 7 Обучение решению текстовых задач, технологии формирования умения решать текстовые задачи в курсе математики начальных классов. 10\ 13\ 5) УТВЕРЖДАЮ Директор ИПиПД ____________С.А. Новоселов «____»______________2011г. Екатеринбург 2011 Содержание Модуль№ 7 Обучение решению текстовых задач, технологии формирования умения решать текстовые задачи в курсе математики начальных классов. 10\ 13\ 5 . Содержание 1 1. Темы лекций практических и лабораторных занятий по разделу 2 2.Требования к знаниям и умениям студентов по разделу 2 3. План материалов к лекциям и практическим занятиям по разделу. 2 4. Материалы к лекциям и практическим занятиям по разделу 3 5. Литература к разделу 23 6. Контрольные вопросы 24 7. Цели и структура практических занятий 25 8. Содержание практического занятия Тема 7.1. Обучение решению простых задач. 9. Содержание практического занятия Тема 7.2. Методика обучения решению простых задач на умножение и деление. 10. Содержание практического занятия Тема7. 3. Технологии обучения решению составных задач 11. Содержание практического занятия Тема7.4. Технология обучения решению составных задач на пропорциональную зависимость между величинами 12. Содержание практического занятия Тема7.5. Технологии обучения решению задач разными методами и способами 13. Содержание практического занятия Тема7.6. Формирование обобщенных умений решать задачи 14. Лабораторная работа № 7.1. Классификации простых задач 15. Лабораторная работа №7.2. Альтернативные подходы к работе над простыми задачами разных видов 16. Лабораторная работа №7.3. Виды составных задач в начальной школе и методические подходы к их решению. 17. Тесты по данной теме 2-а варианта 18. Задания тестового характера. 19. Задания для контрольной работы Темы лекций практических и лабораторных занятий по модулю №7 Модуль № 7. Обучение решению текстовых задач, технологии формирования умения решать текстовые задачи в курсе математики начальных классов. 10\ 13\ 5 Л.7.1. Понятие об арифметической задаче. Классификации простых задач 2 .Пр.7.1. Обучение решению простых задач 2 Л.7.2. Технологии формирования понятия «составная задача» 2 .Пр.7.2. Обучение решению простых задач на умножение и деление 2 Л.7.3. Технологии обучения решению текстовых задач Общие вопросы работы над задачей 2 .Пр.7.3. Технологии обучения решению составных задач. 3 Лаб. 7.1 Классификации простых задач 2 Л.7.4. Технологии обучения решению задач на зависимость между величинами 2 .Пр7.4. Технология обучения решению составных задач на пропорциональную зависимость между величинами 2 Лаб. 7.2 Альтернативные подходы к работе над простыми задачами разных видов 2 Л.7.5. Методы решения арифметических задач 2 .Пр.7.5. Технологии обучения решению задач разными методами и способами 2 Лаб. 7.3 Виды составных задач в начальной школе и методические подходы к их решению 1 .Пр.7.6. Формирование обобщенных умений решать задачи 2 Требования к знаниям и умениям студентов по теме «Теория и технология обучения решению задач в начальной школе» Знать: содержание примерной программы по математике, три варианта планирования, раздел «Текстовые задачи» основные положения объяснительной записки к программе по математике для начальных классов, касающиеся обучения решению задач в альтернативных программах по математике; виды простых и составных задач, рассматриваемые в курсе математики начальных классов и технологии работы над каждой из них; функции текстовых задач в курсе математики начальных классов; различные методические приемы обучения решению задач (фронтальная беседа, наглядная интерпретация и др.) Уметь: Организовать познавательную деятельность детей на любом этапе работы над задачей (осознание текста задачи, моделирование планирование решения задачи, запись решения задачи, проверка правильности решения задачи, работа над задачей после ее решения.) разъяснить учащимся возможность решения задачи различными способами; разработать урок обучения решению задач в традиционном и альтернативном обучении; выделять наиболее рациональные способы решения задач; решать любую задачу по курсу математики начальных классов. проводить коррекционную работу по формирования умения решать задачи Владеть навыком: разбора любой текстовой задачи; навыком разработки фрагмента и конспекта урока по теме. 3. План краткого содержания раздела. 1.Понятие арифметической задачи 2. Структура текстовой задачи 3.Подходы к обучению решению задач 4. Классификация простых задач 5.Общие вопросы методики обучения решению задач 6. Обучение решению простых задач 7. Ознакомление младших школьников с составной задачей 8. Составные задачи в начальной школе 9. Задачи на нахождение четвертого пропорционального 10. Задачи на пропорциональное деление 11. Обучение решению составных задач 12.. Методика ознакомления с алгебраическим методом решения задач. 4. Краткое содержание вопросов плана раздела . Понятие арифметической задачи В начальном курсе математики понятие «задача» обычно используется тогда, когда речь идет об арифметических задачах. Они формулируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами. Под арифметической задачей понимается требование в определении числового значения искомой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостям, выраженным в словесной форме, которые связывают все известные и неизвестные величины между собой. Текст задачи можно рассматривать как словесную модель реальной действительности. В структуре текста задачи выделяются: условие (часть текста, в которой описывается заданная ситуация, числовые данные этой ситуации и связи между ними) и вопрос (часть текста, в которой описывается требование найти неизвестную (искомую) величину). В методике математике различают разнообразные конструкции текста задачи: в начале текста дано условие, которое выражено повествовательными предложениями, а затем следует требование, выраженное вопросительным предложением (В гараже стояло 4 машины. По вызову выехало 3 машины. Сколько машин осталось в гараже?); часть условия представлена повествовательным предложением в начале текста, а затем, идет вопросительное предложение, содержащее вопрос и другую часть условия (В гараже стояло 4 машины. Сколько машин стало в гараже, если 3 машины уехало?); часть условия представлена повествовательным предложением в начале текста. Затем дано второе повествовательное предложение, содержащее требование и еще часть условия (В гараже стояло 4 машины. Найдите количество машин оставшихся после того, как 3 машины уехало.); текст задачи представляет собой одно вопросительное предложение, в котором сначала идет вопрос, а затем условие (Сколько машин осталось в гараже после того, как 3 из 4 машин уехали?); текст задачи представляет собой одно повествовательное предложение, в котором сначала идет требование, а затем условие (Найдите количество машин оставшихся в гараже после того, как 3 из 4 машин уехали.). Следует иметь в виду, что понятие «решение задачи» можно рассматривать с различных точек зрения: решение как результат, т.е. как ответ на вопрос, поставленный в задаче, и решение как процесс нахождения этого результата. С точки зрения методики обучения решению задач на первый план выступает процесс нахождения результата, который, в свою очередь, тоже можно рассмотреть с различных точек зрения. Во-первых, как метод нахождения результата и, во-вторых, как последовательность тех действий, которые ученики выполняют, применяя для решения тот или иной метод. В методике математики вопрос о роли задач в курсе математики начальной школы является дискуссионным. С одной стороны обучение решению задач рассматривается как цель обучения (ребенок должен научиться решать задачи), а с другой стороны – процесс обучения решению задач рассматривается как один из способов математического, а в целом и интеллектуального развития ребенка. Сторонники первой точки зрения придерживаются четкой иерархии в построении системы обучения решению задач: в увеличении сложности задач (первоначально рассматриваются простые задачи, затем составные в 2 действия, а затем – составные большего количества действий) и в четком разграничении видов с целью прочного усвоения учащимися способов решения этих видов задач. С.Е. Царева [77] отмечает, что умение решать задачи определенных видов включает в себя: 1) знания о видах задач, способах решения задач каждого вида и 2) умения «узнать» задачу данного вида, выбрать соответствующий ей способ решения и реализовать его на «узнанной» задаче. Для развития у учащихся умения решать задачи определенных видов необходимо, чтобы дети усвоили сведения о видах задач, способах решения задач каждого вида, отработали умение выделять задачи соответствующих видов, умение выбирать способы решения, адекватные виду задачи, и применять эти способы к решению конкретных задач. В методике математики имеются различные классификации простых задач. В качестве примера приведем классификацию М.А. Бантовой. В данной классификации деление задач на группы происходит в зависимости от тех понятий, которые формируются при их решении. Выделяются три такие группы. К первой группе относятся простые задачи, при решении которых дети усваивают конкретный смысл каждого из арифметических действий. В этой группе пять задач: 1) Нахождение суммы двух чисел. (Во дворе гуляли 3 мальчика и 2 девочки. Сколько всего детей гуляло во дворе?) 2) Нахождение остатка. (На тарелке было 6 пирожков. Два пирожка съели. Сколько пирожков осталось?) 3) Нахождение суммы одинаковых слагаемых (произведения). (В живом уголке жили хомячки в четырех клетках, по 2 хомячка в каждой. Сколько всего хомячков в живом уголке?) 4) Деление на равные части. (Мама раздала 6 апельсинов поровну 3 детям. Сколько апельсинов досталось каждому ребенку?) 5) Деление по содержанию. (Учительница раздала 10 тетрадей ученикам по 2 тетради каждому. Сколько учеников получило тетрадей?) Ко второй группе относятся простые задачи, при решении которых учащиеся усваивают связь между компонентами и результатами арифметических действий. К ним относятся задачи на нахождение неизвестных компонентов. 1) Нахождение первого слагаемого по известным сумме и второму слагаемому. (Во дворе гуляли несколько мальчиков и 2 девочки. Всего гуляло 5 детей. Сколько мальчиков гуляло во дворе?) 2) Нахождение второго слагаемого по известным сумме и первому слагаемому. (Во дворе гуляли 3 мальчика и несколько девочек. Всего во дворе гуляло 5 детей. Сколько девочек гуляло во дворе?) 3) Нахождение уменьшаемого по известным вычитаемому и разности. (На тарелке было несколько пирожков. Когда два пирожка съели, на тарелке осталось 4 пирожка. Сколько пирожков было?) 4) Нахождение вычитаемого по известным уменьшаемому и разности. (На тарелке было 6 пирожков. Когда несколько пирожков съели, на тарелке осталось 4 пирожка. Сколько пирожков съели?) 5) Нахождение первого множителя по известным произведению и второму множителю. (Неизвестное число умножили на 4 и получили 20. Найти неизвестное число.) 6) Нахождение второго множителя по известным произведению и первому множителю. (7 умножили на неизвестное число и получили 35. Найти неизвестное число.) 7) Нахождение делимого по известным делителю и частному. (Неизвестное число разделили на 4 и получили 7. Найти неизвестное число.) 8) Нахождение делителя по известным делимому и частному. (32 разделили на неизвестное число и получили 8. Найти неизвестное число.) К третьей группе относятся задачи, при решении которых раскрываются понятия разности и кратного отношения. К ним относятся простые задачи, связанные с понятием разности (6 видов), и простые задачи, связанные с понятием кратного отношения (6 видов). 1) Разностное сравнение чисел или нахождение разности двух чисел (1 вид). (У Кати 3 шарика, а у Маши 5 шариков. На сколько шариков у Маши больше, чем у Кати?) 2) Разностное сравнение чисел или нахождение разности двух чисел (2 вид). (У Кати 3 шарика, а у Маши 5 шариков. На сколько шариков у Кати меньше, чем у Маши?) 3) Увеличение числа на несколько единиц (прямая форма). (У Кати 3 шарика, а у Маши на 2 шарика больше, чем у Кати. Сколько шариков у Маши?) 4) Увеличение числа на несколько единиц (косвенная форма). (У Кати 3 шарика, это на 2 шарика меньше, чем у Маши. Сколько шариков у Маши?) 5) Уменьшение числа на несколько единиц (прямая форма). (У Маши 5 шариков, а у Кати на 2 шарика меньше, чем у Маши. Сколько шариков у Кати?) 6) Уменьшение числа на несколько единиц (косвенная форма). (У Маши 5 шариков, это на 2 шарика больше, чем у Кати. Сколько шариков у Кати?) Задачи, связанные с понятием кратного отношения (не приводя примеры). 1) Кратное сравнение чисел или нахождение кратного отношения двух чисел (1 вид). (Во сколько раз больше?) 2) Кратное сравнение чисел или нахождение кратного от­ношения двух чисел (2 вид). (Во сколько раз меньше?) 3) Увеличение числа в несколько раз (прямая форма). 4) Увеличение числа в несколько раз (косвенная форма). 5) Уменьшение числа в несколько раз (прямая форма). 6) Уменьшение числа в несколько раз (косвенная форма). При втором подходе к обучению решению задач подбор задач осуществляется с ориентацией на определенные интеллектуальные (мыслительные) действия, которые могут формироваться у учащихся при решении той или иной задачи. При данном подходе ученики должны выполнять семантический и структурный анализ текстов задач вне зависимости от их видов и количества действий, выявлять взаимосвязи между данными и искомыми и описывать их каким-либо образом – либо через краткую запись, схему, чертеж, либо сразу в математических символах в виде записи решения. Результатом такого обучения является обобщенное умение решать задачи. Для развития у учащихся обобщенного умения решать задачи необходимо: 1) формирование знаний о задачах, методах и способах решения, приемах, помогающих решению в процессе работы над задачей, этапах этого процесса, назначении и содержании каждого этапа; 2) выработка умения расчленять задачи на составные части, использовать различные методы решения, адекватно применять приемы, помогающие понять задачу, составить план решения, выполнить его, проверить решение [77]. Итак, мы рассмотрели два подхода в обучении решению задач: 1) четкое разграничение видов задач с целью прочного усвоения учащимися способов решения этих видов задач; 2) формирование у учащихся обобщенного умения решать задачи. Мы придерживается точки зрения, которая была высказана С.Е. Царевой [77]. Она отмечает, что в процессе обучения младших школьников необходимо использовать и тот, и другой подход. Причем сначала формировать у учеников обобщенные умения, а от них идти к обучению способам решения конкретных видов задач. Такое обучение возможно, по мнению С.Е. Царевой, при сочетании трех линий в содержании и организации деятельности учащихся: 1) накопление опыта решения разнообразных задач; 2) овладение компонентами обобщенного умения решать задачи в специально организованной для этого деятельности; 3) выработка умения решать все виды простых задач; выработка умения решать отдельные виды составных задач. Общие вопросы методики обучения решению задач Методически принято выделять следующие этапы работы над задачей на уроке: Усвоение содержания задачи. Моделирование текста задачи. Поиск путей решения задачи. Оформление записи решения задачи. Проверка правильности решения задачи. Запись ответа задачи. Работа над задачей после ее решения. Раскроем каждый этап. 1. Этап усвоения содержания задачи. ЦЕЛЬ: представить ситуацию, описанную в задаче; понять задачу, т.е. выделить объекты или величины, используемые в задаче, установить их числовые данные, отделить известные данные от неизвестных, определить отношения между ними. Данный этап состоит из нескольких моментов: а) Чтение задачи. При чтении задачи необходимо выделять голосом числа, используемые в задаче, отношения между объектами и, конечно, требование. Перед чтением вслух, ученики должны прочитать задачу «про себя». Задачу ученики всегда читают самостоятельно, в исключительных случаях (букварный период, задача нового вида) читает учитель. Вслух задачу полезно читать один раз. Повторное (выборочное) чтение можно осуществлять в процессе повторения задачи. б) Повторение задачи. Приемы повторения: 1. Абстрагирование к виду числа. 2. Повторение задачи по логическим частям. 3. Повторение задачи по структурным частям. 4. Повторение полного текста задачи. 2. Моделирование текста задачи. ЦЕЛЬ: установить отношения между данными и искомыми числами задачи. Моделирование – это процесс построения моделей для каких-либо познавательных целей. В процессе решения задачи ученик не может непосредственно исследовать ту ситуацию, которая предлагается ему в тексте задачи. Смысл же решения задачи состоит в том, чтобы описать данную в тексте ситуацию с помощью математических символов, для этого необходимо выделить количественные характеристики описанной ситуации и тип связей между ними. В математике модели делятся на схематизированные и словесно-графические. В свою очередь, схематизированные модели бывают вещественными (они обеспечивают физическое действие с предметами, инсценировка, представление) и графическими (они обеспечивают графическое действие – рисунок, условный рисунок, схематический чертеж, схема). Словесно-графическая модель задачи может выполняться как на естественном языке (в виде краткой записи, таблицы), так и на математическом, когда используются математические символы. Виды моделей, применяемых при решении текстовых задач: 1. Рисунок - изображает реальные предметы, о которых говорится в задаче, или условные предметы в виде геометрических фигур. 2. Краткая запись - представление в лаконичной форме содержания задачи, выполненное с помощью опорных слов, простых математических выражений, значения исходных величин, связей между ними, а также данными и искомыми величинами. Это наиболее распространенный путь облегчения учащимся перехода от словесной модели к представлению ситуации, описанной в задаче. 3. Таблица. Этот вид модели похож на краткую запись, но данные расставляются не по строкам к опорным словам, а структурируются в таблицу. Наиболее удачно применение таблицы при решении задач на тройку пропорциональных величин: 4. Чертеж - условное изображение предметов, взаимосвязей между ними и взаимоотношения величин с помощью отрезков и с соблюдением определенного масштаба. Чертеж как вид модели целесообразно применять при следующих условиях: наличие у детей определенных навыков вычерчивания отрезков заданной длины; удобные числовые данные в задаче, позволяющие начертить отрезок заданной длины. 5. Схема - это чертеж, на котором все взаимосвязи и взаимоотношения величин передаются приблизительно, без соблюдения масштаба. Схема является наиболее предпочтительной моделью при решении задач по ряду причин: она исключает пересчет (как и чертеж); может быть использована при решении задач со сколь угодно большими числами; может применяться при решении задач с буквами; достаточно конкретна, и полностью отражает внутренние связи и количественные отношения в задаче; позволяет подняться на достаточно высокую ступень абстрактности: не отражает никаких отношений, кроме количественных; все второстепенные детали опущены; выбор действия производится без учета главного (опорного) слова, а только исходя из логики происходящих изменений, которые отражены в модели; внешняя схожесть схем подчеркивает однотипность рассуждений при поиске решения задач; способствует формированию общего способа действия в задачах одного типа. 6. Блок-схема. Этот вид модели еще называют «дерево рассуждений». Некоторые методисты не выделяют блок-схему как отдельную модель. На наш взгляд, это неверно, так как при составлении модели в виде блок-схемы используются приемы, отличающиеся от приемов составления моделей других видов: 1) при построении данной модели используется разбор задачи начиная с вопроса; 2) в блок-схеме нет опорных слов, на которые можно ориентироваться при выборе действия (как в краткой записи); 3) отсутствует зрительный ориентир для сравнения величин между собой (как при работе со схемой и чертежом); 4) ребенок ориентируется только на взаимоотношения и взаимосвязи, описанные в задаче. Составление блок-схемы сопровождается обязательным поэтапным анализом. 3. Этап поиска путей решения задачи. ЦЕЛЬ: выбрать метод решения и составить план решения задачи. В математике различают следующие методы решения арифметических задач: практический, графический, арифметический и алгебраический. В качестве основных в математике выделяют арифметический и алгебраический методы решения задач. При решении задач арифметическим методом проводится анализ задачи. Выделяется 3 вида анализа задачи: прямой (от данных к вопросу), обратный (от вопроса к данным) и смешанный. В методической литературе прямой анализ задачи принято называть синтетическим, обратный – аналитическим, смешанный - аналитико-синтетическим. Приемы обучения прямому анализу: 1. Создание целевой установки на запоминание вопросов анализа (сегодня вопросы к задаче ставлю я, а завтра кто-нибудь из вас.). 2. Ролевая игра: 1) роль учителя выполняет один ученик, остальные - ученики; 2) весь класс выполняет роль учителя, а один ученик – роль ученика; 3) учащиеся первого ряда ставят вопросы классу, а учащиеся второго ряда отвечают на эти вопросы, ученики третьего ряда выступают в роли учителя – следят за правильностью ответов; 4) учащиеся первого варианта задают вопросы учащимся второго варианта. В последнем случае надо проверить правильность выполнения задания, например, предложить учащимся, сидящим за одной партой проговорить вслух вопросы и ответы. Обучение обратному анализу задач начинают с готового решения составной задачи, полученного в ходе прямого анализа. К готовому решению ставят вопросы обратного анализа, обязательно соотнося их с соответствующим действием. В случае применения смешанного анализа используют вопросы того и другого видов анализа. 4. Оформление записи решения задачи. ЦЕЛЬ: реализовать план, т.е. записать решение задачи. Решение задачи сводится к записи ее символической модели. Решая задачу арифметическим методом символическая модель может быть представлена: 1) действиями без пояснения; 2) действиями с пояснением; 3) в виде составного выражения с последующим вычислением его значения; 4) планом и последующим решением задачи по действиям. (Планом называют последовательность вопросов, отвечая на которые мы приходим к ответу на вопрос задачи); 5) вопросами и записью действий, с помощью которых можно ответить на каждый вопрос. Решая задачу алгебраическим методом, символическая модель может быть представлена: а) в виде уравнения и его решения; б) через запись шагов составления уравнения, самого уравнения и его решения. 5. Проверка правильности решения задачи. ЦЕЛЬ: убедиться в истинности выбранного плана решения и выполненных действий. Выделяются следующие способы проверки правильности решения задачи: 1. Составление и решение одной из обратных задач. Для каждой простой задачи можно составить 2 обратных, т.к. в каждой по 2 известных числа. Для составной – более чем две обратных. 2. Проверка задачи по всем условиям. Этот способ является громоздким, т.к. даже для проверки решения простой задачи требуется выполнить 2 действия. 3. Прогнозирование результата (прикидка, установление границ ответа на вопрос задачи). Рекомендуется применять этот метод при решении простых задач, особенно при нахождении значения суммы и остатка, так как в этих случаях сразу видно правильно решена задача или нет. 4. Решение задачи разными способами (только для составных задач). 6. Формулировка и запись ответа задачи. ЦЕЛЬ: дать ответ на вопрос задачи. Существует 2 формы формулировки ответа: а) формулировка полного ответа на вопрос задачи; б) формулировка краткого ответа на вопрос задачи. Записать ответ можно следующими способами: а) после слова «ответ» ставится точка и тогда сам ответ пишется с заглавной буквы. б) после слова «ответ» ставится двоеточие, и затем сам ответ пишется с маленькой буквы. 7. Работа над задачей после ее решения. ЦЕЛЬ: развивать у учащихся обобщенные умения, необходимые для решения задач. Данный этап включает в себя следующие виды работы: если решение задачи записывалось по действиям, то можно его записать с помощью составного выражения и вычислить его значение; решение задачи другим способом; варьирование (изменение) данных задачи, а также условия или вопроса; составление обратной задачи. С.Е. Царева [76] рассматривает следующие виды работы с задачами на уроке математики. 1. Фронтальное (коллективное) решение задачи под руководством учителя. Этот вид работы может иметь разные цели, например, использоваться для знакомства детей со способом решения задач определенного вида, для запоминания этапов решения и др. 2. Фронтальное (коллективное) решение задачи под руководством учащихся. Данный вид может быть использован для овладения учащимися умением последовательно выполнять этапы решения задачи, а также для закрепления умения пользоваться определенными приемами и методами решения. Работа над задачей должна завершаться обобщающими выводами в соответствии с ее целями. 3. Самостоятельное решение учащимися задачи. Этот вид включает в себя либо самостоятельный выбор средств, методов, способов и форм решения, либо применение указанных учителем или учеником средств, методов и способов решения. Это наиболее распространенный вид работы с задачами, но и здесь может быть ориентация на разные цели: на формирование умения решать задачи определенного вида, решать задачи с помощью определенных средств, приемов и методов; проводить проверку и самопроверку, оценку и самооценку; использовать при решении задач свойства действий, вычислительные упражнения и др. 4. Выполнение части решения задачи. Основные цели данного вида работы – формирование у школьников умения выполнять определенный этап решения, обучение общим приемам решения, формирование представлений об арифметических действиях и др. С.Е. Царева [76] предлагает следующие примеры заданий, которые определяют этот вид работы над задачей: сделать рисунок (чертеж) к данной задаче; прочитать задачу, представить, о чем говорится в ней и рассказать, что представили; пользуясь схемой обратного анализа задачи, составить план решения; известно, что задача решается так … (дается запись решения задачи по действиям), записать это же решение в виде составного выражения, найти его значение и ответить на вопрос задачи; проверить правильность решения данной задачи, определив смысл каждого действия (решив задачу другим способом, сделав прикидку результата и др.). В методической литературе [28, 76] выделяются также виды работы с задачами, которые не включают в себя полное ее решение. Основным содержанием этих видов работы является сравнение, сопоставление, анализ, что способствует развитию мышления учащихся, повышает интерес к математике. Перечислим эти виды работы: Установление соответствия между содержанием задачи и схематическим рисунков (чертежом, таблицей, краткой записью и т.п.). Выбор среди данных задач той, которая соответствует данному рисунку (чертежу, таблице, краткой записи и т.п.). Выбор среди нескольких рисунков (чертежей, таблиц, кратких записей и т.п.) такого, который соответствует данной задаче. Нахождение ошибок в данном рисунке, чертеже, таблице и т.п. (построенных к данной задаче). Классификация простых задач по действиям, с помощью которых они могут быть решены. Выбор среди данных задач (задач на данной странице или страницах учебника, на карточке) задач данного вида (таких же, какие решали сегодня на уроке и др.). Выбор задачи, при решении которой можно применить данный вычислительный прием. Обнаружение ошибок в решении задачи. Исключение из текста лишних данных. Дополнение условия задачи недостающими для решения данными или отношениями. Обучение решению простых задач В методике существует три этапа в обучении детей решению задач: 1) подготовительный этап, 2) этап ознакомления с задачей и формирование умений работать над задачей и 3) этап отработки этих умений в процессе решения различных задач. На подготовительном этапе к обучению решению задач необходимо сформировать у учащихся базовые умения: умение слушать и понимать тексты различных структур, умение правильно представлять и моделировать ситуации, предлагаемые учителем, умение правильно выбирать действие в соответствии с ситуацией, умение составлять математическое выражение в соответствии с выбранным действием, умение находить значение математического выражения. Опишем основные условия корректной методической подготовки учащихся к обучению решению задач: 1. Обучение детей моделированию различных практических ситуаций, направленных на объединение совокупностей, удаление части из множества, увеличение на несколько элементов данного множества или множества равночисленного данному, сравнение множеств на различной наглядности символического характера и др. 2. Обучение учащихся выбору соответствующих арифметических действий и составлению математических выражений в соответствии с заданной ситуацией. 3. Ознакомление учащихся со следующими связями: связью операций над множествами с арифметическими действиями, т. е. с конкретным смыслом арифметических действий: связью отношений , выраженных словами «больше на…», «меньше на…», «больше в…», «меньше в…»; связью между компонентами и результатами арифметических действий; связью между данными величинами, находящимися в прямой и обратной зависимости и соответствующими арифметическими действиями. Умение правильно выбирать арифметическое действие в предложенной ситуации зависит от умения ребенка переводить различные реальные события и связи между ними на язык математических символов. Для этого на уроках целесообразно использовать задания, связанные с составлением рассказа по картинке, и записи его с помощью математических символов. На первых порах рассказ не должен содержать вопроса, так как цель задания – учить ребенка составлять по картинке математическое выражение или равенство в соответствии с предложенной ситуацией. Поскольку ситуация задана рисунком, то это облегчает ребенку ее восприятие, так как ведущий вид мышления в данном возрасте наглядно-образный. Такие задания одновременно готовят ребенка и к пониманию схематических моделей ситуаций задач в дальнейшем. Перейдем ко второму этапу обучения решению задач. Основная задача данного этапа – ознакомлением с понятием «задача» и ее существенными признаками; обучение анализу задачи, формам записи ее решения и ответа; способам проверки правильности решения задачи. В различных системах обучения ознакомление с простой задачей происходит в разное время. В традиционной программе и программе «Школа 2000…» термин «задача» вводится в конце второй четверти, а в системах Л.В. Занкова и «Гармония» учащиеся знакомятся с задачей во втором классе. Для того чтобы деятельность, направленная на усвоение структуры задачи, не была однообразной, не сводилась к восприятию условия и вопроса задачи Н.Б. Истомина предлагает следующие виды упражнений: Сравнение текстов задач. Постановка вопроса учащимися к условию. Составление условия к данному вопросу. Задачи с недостающими данными. Задачи с лишними данными. Преобразование вопроса, условия, данных задачи. Составление задач по рисунку, краткой записи, по решению. Для сравнения целесообразно подбирать такие пары задач, которые имеют: а) одинаковые условия, но различные вопросы; б) одинаковые вопросы, но различия в условиях; в) одинаковые решения, хотя смысл одного и того же действия в каждой задаче различен. При работе над задачей целесообразно проводить семантический анализ текста задачи. Под семантическим анализом текста задачи понимается процесс прочтения задачи с последующим выделением основных понятий, связанных со специфическим названием частей этого текста: условие, вопрос, известные данные, неизвестные искомые элементы задачи (А.В. Белошистая). В результате осуществления данного анализа ребенок осознает и представляет себе ситуацию, данную в тексте задачи, и устанавливает связи между данными и искомым. Основная задача третьего этапа обучения решению задач – формирование у младших школьников обобщенного умения решения задач. Обобщенное умение решать задачи включает в себя: 1) знание о задачах, методах и способах решения, приемах, помогающих решению в процессе работы над задачей, этапах этого процесса, назначении и содержании каждого этапа; 2) умение расчленять задачи на составные части, использовать различные методы решения, адекватно применять приемы, помогающие понять задачу, составить план решения, выполнить его, проверить решение. С точки зрения методики простая задача является «одношаговым» (А.В. Белошистая) описанием соответствующей ей предметной ситуации. Как было отмечено выше, целью работы над простой задачей является обучение ребенка самостоятельной работе над текстовой формой простой задачи с применением всех приобретенных ранее умений: 1) моделирование заданной в тексте задачи ситуации; 2) выбор арифметического действия и составление математического выражения; 3) вычисление значения составленного выражения; 4) запись ответа задачи; 5) проверка правильности решения задачи. Другими словами, смысл работы над простой задачей заключается в том, что учащиеся в процессе этой деятельности упражняются в применении двух учебных умений: умение перевести текстовое описание ситуации (словесную модель) любого вида в схему (чертеж, краткую запись, предметный рисунок), показывающую взаимосвязь между данными и искомым, и умение оформить эту связь в виде равенства с наименованием (т.е. записать решение, а затем и ответ задачи). Таким образом, процесс решения задачи можно представить в следующем виде: словесная модель графическая модель символическая модель Таким образом, математики и методисты рассматривают процесс решения задачи как процесс поиска системы моделей. Каждая модель представляет собой одну из форм отображения структуры задачи, а преобразование модели идет по пути постепенного обобщения, абстрагирования и в конечном результате построения ее математической (символической) модели. Следовательно, чтобы решить задачу, надо построить ее математическую модель, но для этого используются графические (или другими словами вспомогательные) модели. Уровень овладения моделированием определяет успех решающего задачу. Поэтому обучение моделированию, по мнению М.А. Бородулько и Л.П. Стойловой, должно занимать особое место в формировании умения решать задачи, это обучение должно вестись целенаправленно, соблюдая ряд условий. Во-первых, все математические понятия, используемые при решении задач, должны изучаться с помощью моделей. Во-вторых, должна вестись работа по усвоению знаково-символического языка, на котором строится модель. Ученик должен осознавать значение каждого элемента модели, осуществляя переход от реальности (предметной ситуации) к модели и, наоборот, от модели к реальности. В-третьих, одним из этапов обучения должно быть освоение моделей тех отношений, которые рассматриваются в задачах. И, в-четвертых, ученик должен освоить различные виды моделей, научиться выбирать модель, соответствующую предложенной задаче, и переходить от одной модели к другой. Исходя из вышесказанного, процесс работы над простыми задачами можно рассматривать как подготовительный этап к решению составных задач. С данной точки зрения понятие «умение решать простые задачи» можно рассматривать, как умение работать с текстовым описанием ситуации и оформлять его в виде соответствующих моделей. Ознакомление младших школьников с составной задачей Процесс обучения решению задач традиционно делится на две ступени – решение простых задач и решение составных задач. В различных системах обучения на каждую из этих ступеней отводится различный промежуток времени. В настоящее время в школьной практике имеется два направления. В одних программах («Школа России» и «Школа 2000…») реализовано раннее знакомство с простыми задачами (ноябрь-декабрь 1 класса) и раннее знакомство с составными задачами (февраль-март 1 класса). В других программах (системы Л.В. Занкова и «Гармония») знакомство с простыми задачами перенесено на 2 класс (октябрь-ноябрь), но при этом дети почти сразу же знакомятся с составными задачами. Под составной задачей понимается такая задача, которая состоит из нескольких простых, и для ее решения необходимо выполнить не менее двух арифметических действий. При ознакомлении с составными задачами дети должны усвоить существенный признак этого понятия: задача состоит более чем из одной простой задачи. В методической литературе известны два пути формирования понятия «составная задача»: аналитический и синтетический. Первый прием – аналитический - был введен в школу В.А. Евтушевским в к.18 - н.19 века. Суть этого приема заключается в том, что учитель берет составную задачу и выполняет ее анализ, начиная от неизвестного числа задачи. Таким образом, показывается, что в задаче два неизвестных числа, то есть она состоит из двух простых задач. Научное обоснование второму приему - синтетическому - дал Е.М. Семенов. Содержание этого приема проявляется в объединении двух простых задач, находящиеся в отношении продолжения, в одну составную. Этот прием позволяет раскрыть существенные признаки составной задачи. В настоящее время в практике обучения при знакомстве с составной задачей используются следующие методические приемы: Рассмотрение двух простых задач с последующим объединением их в составную. Педагог рассматривает с учениками два текста простых задач и предлагает сравнить их: чем похожи и чем отличаются. Затем оба сюжета объединяются в один текст, получая составную задачу. Рассмотрение простой задачи с последующим преобразованием ее в составную путем изменения ее вопроса. В данном случае простая задача содержит термин разностного сравнения (на … больше (меньше), чем), для получения составной задачи вопрос изменяется на «Сколько всего …?». Рассмотрение сюжета задачи с действием, рассредоточенным во времени. В данном случае при анализе задачи обращается внимание на то, что действие происходит не одновременно (например, из транспорта выходят на разных остановках и т.п.), поэтому при решении выполняется не одно действие, а несколько. Рассмотрение задач с недостающими или лишними данными. При работе с такими задачами после анализа текста основное внимание уделяется преобразованию простой задачи таким образом, чтобы задача стала составной. В основном все методические системы обучения математике ставят своей целью научить младших школьников решать задачи арифметическим методом, который сводится к выбору арифметических действий, моделирующих связи между данными и искомыми величинами. Процесс решения задачи арифметическим методом включает в себя последовательность следующих действий: Чтение задачи и представление той ситуации, которая в ней описана. Выделение в тексте условия и вопроса, известных и неизвестных. Установление связи между данными и искомыми величинами и моделирование, заданной в тексте ситуации. Установление последовательности арифметических действий и составление пла­на решения. Запись этих действий и вычисление их значения, т. е. запись решения и ответа. Проверка полученного ответа. Овладение этими действиями характеризует умение решать задачи арифметическим методом. Составные задачи в начальной школе: На начальном этапе – это задачи, которые включают различные сочетания простых задач. Ниже покажем последовательность их изучения. А) Решение большинства из них связано со свойствами арифметических действий (прибавление суммы к числу, прибавление числа к сумме, вычитание числа из суммы, вычитание суммы из числа). Б) Позднее появляются задачи, содержащие все 4 действия. В) Далее изучаются задачи на пропорциональную зависимость между величинами в одно и два действия. Г) Задачи с прямо пропорциональной зависимостью 1 – 1У видов (см. таблицу) изучающихся на следующих группах величин: - цена, количество стоимость; - масса одного предмета, количество предметов, общая масса; - емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость; - выработка в единицу времени, время работы, выработка; - расход материи на 1 вещь, количество вещей, общий расход материи. Д) Задачи на нахождение четвертого пропорционального рассматриваются на следующих группах величин: - скорость время, расстояние; - длина, ширина, площадь; - урожайность, площадь, весь урожай. Таблица 6 Задачи на нахождение четвертого пропорционального Зависимость № п /п Цена Количество Стоимость Пример задачи Прямая пропорци ональность 1 одинаковая Даны два значения Дано одно значение, а другое надо найти За 2 кг моркови уплатили 30 рублей. Сколько стоят 6 кг моркови по той же цене? 2 одинаковая Дано одно значение, а другое надо найти Даны два значения За 6 кг моркови уплатили 90 рублей. Сколько моркови по той же цене можно купить на 30 рублей? 3 Даны два значения одинаковая Дано одно значение, а другое надо найти За кусок льняного полотна по 20 рублей за 1 метр уплатили 80 рублей. Сколько надо уплатить за шелк той же длины, по цене 40 рублей? 4 Дано одно значение, а другое надо найти одинаковая Даны два значения За кусок шелка по цене 40 рублей за метр уплатили 160 рублей, а за кусок льна той же длины уплатили 80 рублей. По какой цене покупали льняное полотно? Обратная пропорциональность 5 Даны два значения Дано одно значение, а другое надо найти одинаковая За шесть детских костюмов ценой 120 рублей уплатили столько же, сколько за детские пальто, ценой по 360 рублей. Сколько купили пальто? 6 Дано одно значение, а другое надо найти Даны два значения одинаковая За два пальто ценой по 360 рублей уплатили столько же, сколько за 6 детских костюмов. Какова цена костюма? Задачи на нахождение четвертого пропорционального решаются в два действия. Краткая запись таких задач может быть следующей: (см. таблицу). Таблица 7 Цена моркови в рублях Количество купленной моркови Стоимость купленной моркови одинаковая 2 30 6 ? По существу в содержание этих задач входят три величины: цена, количество, стоимость. При решении задачи I применяется следующее рассуждение: «Если известно, что 2 кг стоят 30 рублей, то можно узнать, сколько стоит I кг моркови. Когда это будет известно, то можно будет узнать стоимость 6 кг моркови». При решении задачи 2 сначала узнаем, сколько стоит I кг моркови (ее пену), а затем по указанной стоимости и цене, можно найти, сколько моркови можно купить. При решении задачи 3 сначала отвечают на вопрос: Какова длина куска полотка льна? Второй вопрос - это вопрос задачи. Подобные рассуждения проводятся и для задач 4, 5, 6. При решении задач на нахождение четвертого пропорционального, если числовые значения кратны, применяется способ нахождения отношения. Он заключается в том, что находят отношение двух значений одной величины, затем увеличивают или уменьшают во столько же раз известное значение другой величины. Например, рассмотрим соответствующее решение задачи 1. 1) Во сколько раз, количество моркови, которое нужно купить, больше количества купленной моркови? 2) Вопрос задачи. Мы проанализировали математическое содержание задач с величинами цена, количество, стоимость. Можно составить задачи, содержание которых будут входить другие группы величин. Е) Задачи на пропорциональное деление (в начальной школе рассматривается только способ нахождения значения постоянной величины). Основным признаком этих задач является содержащееся в них требование распределить одно числовое значение величины (например, стоимости) пропорционально данным числам (например, числу предметов в одной совокупности, числу предметов другой совокупности). Приведем строение этого типа задач в следующей таблице. Задачи на пропорциональное деление Зависимость № п /п Цена Количество Стоимость Пример задачи Прямая пропорциональность 1 одинаковая Даны два и более значений Дана сумма значений, соответствующих стоимости. Найти слагаемые Купили по одинаковой цене 6 тетрадей в клетку и 4 тетради в линейку. Всего уплатили 30 рублей. Сколько стоят тетради в клетку и в линейку в отдельности? 2 одинаковая Дана сумма значений, соответствующих количеству. Найти слагаемые Даны два или более значений Купили по одинаковой цене тетради в клетку и линейку, всего 10 штук. За тетради в клетку уплатили 18 рублей, а за тетради в линейку – 12 рублей. Сколько купили тетрадей в клетку и в линейку в отдельности? 3 Даны два или более значений одинаковое Дана сумма значений, соответствующих стоимости. Найти слагаемые В магазине продали одинаковое количество шапок и шарфов. Цена шапки 50 рублей, а шарфа 30 рублей. За всю покупку выручили 1600 рублей. Сколько стоили шапки и шарфы в отдельности? 4 Дана сумма значений, соответствующих цене. Найти слагаемые одинаковая Даны два или более значений В магазине продали одинаковое количество шапок и шарфов. Шапка с шарфом стоили 80 рублей. За все шапки выручили 1000 рублей, а за все шарфы – 600 рублей. Какова цена шапки и шарфа в отдельности? Обратная пропорциональность 5 Даны два или более значений Дана сумма значений, соответствующих количеству. Найти слагаемые одинаковая 6 Дана сумма значений, соответствующих цене. Найти слагаемые Даны два или более значений одинаковая Приведем краткую запись к задаче 1. Таблица 9. Цена в рублях Количество тетрадей Стоимость в рублях Тетради в клетку одинаковая 6 ? 30 Тетради в линейку 4 ? В задаче 1 количество предметов разного рода различно, поэтому сумму стоимостей приходится распределять пропорционально двум числам: числу тетрадей в клетку и числу тетрадей в линейку. Решение задачи после выполнения первого действия сводится к решению двух задач на нахождение четвертого пропорционального. В задаче 2 указана различная стоимость предметов, поэтому общее число предметов приходится распределять пропорционально двум значениям стоимости. Видим, что решение данной задачи сводится к решению задачи на нахождение четвертого пропорционального. При решении задачи 3 стоимость можно представить в виде суммы слагаемых пропорционально двум значениям цены. При решении задачи мы отыскиваем числовое значение не изменяющейся величины (количество предметов) делением по содержанию. Так же при решении задачи 4 вначале представляем в виде суммы слагаемых сумму цен, пропорционально двум значениям стоимости. При ее решении находим числовое значение количества предметов делением по содержанию. И т.д. Аналогичные задачи можно составить с другими величинами. Ж) Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям Если в каждой из рассмотренных задач на пропорциональное деление заменить сумму двух значений их разностью, то можно получить различные виды задач с пропорциональными величинами, в которых одним из данных будет разность двух значений из указанных выше величин. Например, возьмем задачу 1 на пропорциональное деление (см. таблицу). Заменим в этой задаче сумму стоимостей тетрадей в клетку и в линейку их разностью, получим такую задачу: Купили по одинаковой цене 6 тетрадей в клетку и 4 тетради в линейку. За тетради в клетку уплатили на 6 рублей больше, чем за тетради в линейку. Сколько стоят тетради в клетку и в линейку в отдельности? Узнав разность между количеством тетрадей в клетку и количеством тетрадей в линейку (6 – 4 = 2), и сопоставив ее с разностью в стоимости (6 рублей), найдем цену одной тетради, а затем стоимость 6 и 4 тетрадей. Отметим, что краткая запись задач на нахождение неизвестного по двум разностям менее наглядна и решение при ее наблюдении менее очевидно. В этих случаях чаще и полезнее следует использовать рисунки и схемы. Например, рисунок к рассмотренной задаче будет таким: Тетради в клетку О О О О О О Тетради в линейку О О О О 6 р. Заметим, что разность двух значений одной и той же величины может быть указана не только выражением «больше на несколько единиц», но и при помощи выражения «меньше на несколько единиц». В содержание задач указанного вида могут входить и другие величины, связанные пропорциональной зависимостью. З) Задачи на движение. В школе рассматриваются задачи на встречное движение и на движение в противоположных направлениях (удаление). Их математическое содержание подобно тем задачам, которые уже были рассмотрены. . Обучение решению задач с пропорциональными величинами Обучение решению задач с пропорциональными величинами можно разбить на несколько этапов, каждый из которых имеет свою дидактическую цель. На первом этапе обучения целесообразно подвести учащихся к самостоятельному нахождению способа решения задач нового вида, на основе выполнения практических действий. Практические действия самих учеников с группами предметов служат для них средством анализа, выявления отношений между предметами. После практических упражнений полезно предложить задачи с сюжетом, которые представляют большую ценность, чем практические задания. Чтобы помочь учащимся «перешагнуть эту ступеньку трудности, необходимо использовать различные средства наглядности (запись на доске, чертежи, схемы, рисунки и др.) На втором этапе следует направить внимание школьников на вычленение величин, о которых идет речь в задаче, на установление связи и функциональной зависимости между ними в процессе разбора, решения задачи и чтения выражений. Желательно обучение решению задач осуществлять на основе противопоставления. В методике известны два вида противопоставлений: последовательное и перемежающееся. При последовательном противопоставлении один вид задач изучается после другого, причем второй вид задач изучается в сопоставлении с первым видом. При перемежающемся противопоставлении разные виды задач решаются на одном уроке, вперемежку. Проверка показала, что при обучении решению более сложных задач прием последовательного противопоставления является более эффективным, чем прием перемежающего противопоставления. На третьем этапе следует проводить творческие работы по составлению и преобразованию задач. С этой целью можно использовать таблицы цен, скоростей, массы предметов и т д. Методика ознакомления с алгебраическим методом решения задач Особенность алгебраического метода состоит в том, что вводится специальное обозначение неизвестной величины, что позволяет действовать с ней как с реальной, то есть заданной величиной, выполнять анализ основных зависимостей между явными и неявными значениями величин; производить моделирование условия задачи в виде уравнения. Таким образом, в качестве базовых знаний для усвоения детьми данного метода необходимо считать следующие знания и умения: • усвоение понятия переменной величины; • умение решать простые уравнения различных видов и составные с опорой на зависимость между компонентами и результатом действия; • умение составлять по тексту задачи различные элементарные, простые и составные выражения и определять их сюжетный смысл; • умение находить выражения с одинаковым сюжетным смыслом. Основные методические этапы формирования умения решать задачи алгебраическим методом (АМ) можно назвать обобщенно: подготовительный, этап ознакомления с алгоритмом рассуждений и записи решения задач АМ, этап закрепления и выработки умения Дадим краткую характеристику каждого из этапов. 1 этап: Основная задача учителя на данном этапе - дать представление о понятии «сюжетный смысл выражения», научить детей составлять всевозможные выражения по тексту задачи, определять их сюжетный смысл. Реализацию этапа можно осуществить через следующую систему последовательно усложняющихся заданий, требующих от учеников все большей самостоятельности при их выполнении. 1. Для текста с числами, например: «К Новому году дети сделали 4 гирлянды, 8 шариков и 6 хлопушек» составить несколько выражений, записать их смысл по данному сюжету. Установить, верно ли определен сюжетный смысл выражений, составленных по данному тексту. (8 - 4) шт. – на столько шариков сделано больше, чем гирлянд; (8 + 6) шт. – столько шариков и хлопушек сделали дети к Новому году; (8 : 4) – во столько раз гирлянд сделали меньше, чем шариков; (6 + 4) – 8 шт. – на столько шариков сделали меньше, чем хлопушек и гирлянд вместе. 2. Для текста с числами составить несколько выражений и предложить детям самостоятельно определить их сюжетный смысл. 3. Задание, подобное предыдущему, но среди выражений должны быть такие, которые не имеют сюжетного смысла по данному тексту. 4. По предложенному тексту с числами дети самостоятельно составляют выражения и определяют их сюжетный смысл, а затем находят выражения с одинаковым сюжетным смыслом 5. Для задачи после показа способа обозначения величины, которую требуется найти, через х и способа составления выражений по задаче с использованием этой неизвестной величины как заданной, определение сюжетного смысла этих выражений по тексту задачи. 6. По предложенному тексту задачи после установления сюжетного смысла одного из выражений, которое можно составить по тексту задачи, самостоятельное составление выражения, соответствующего данному сюжетному смыслу. На данном этапе используются различные формы организации деятельности учащихся: фронтальная, групповая, индивидуальная. Основными методами работы учителя будет беседа и подводящий диалог. 2 этап: Основной задачей учителя на данном этапе является введение понятия «основание для составления уравнения», введение алгоритма рассуждений и развернутой формы записи решения задачи алгебраическим методом. Деятельность учащихся может быть организована по следующему плану: 1. Дать текст задачи. Решить ее арифметическим методом. 2. Предложить обозначить через х неизвестную величину, значение которой требуется найти в вопросе задачи. Составить ряд выражений по тексту задачи и определить их сюжетный смысл. 3. Найти выражения с одинаковым сюжетным смыслом. Сообщить детям, что если выражения составлены по тексту одной и той же задачи и имеют одинаковый сюжетный смысл, то они равны. 4. Составить равенство из двух выражений с одинаковым сюжетным смыслом, в одно из которых входит переменная х. 5. Вместе с детьми определить, что данная запись в математике называется уравнением 6. Решить данное уравнение и установить, что найденное значение х и есть ответ на вопрос задачи. 7. Указать, что сюжетный смысл выражений, которые использовали при составлении уравнений, называется основанием для составления уравнения, а метод решения задачи, который использовался в данном случае, в математике называют алгебраическим. 8. Предложить решить еще одну задачу алгебраическим методом, уточнив алгоритм рассуждений и полную форму записи решения задачи алгебраическим методом 9. Решив вторую задачу, предложить учащимся проверить правильность решения этой задачи. Вспомнив все известные учащимся способы проверки правильности решения задачи, которые использовались детьми ранее (составление и решение обратной задачи, решение задачи другим способом, прикидка результата и т.д.), познакомить с новым способом проверки правильности решения задачи, который используется в том случае, когда задача решается алгебраическим методом. Суть этого способа состоит в составлении по данной задаче уравнения по новому основанию при условии, что через х обозначается та же величина. Если после решения этого уравнения получается тоже самое значение х, что и в первом уравнении, то делается заключение о правильности решения задачи. 10. На основе сопоставления решения первой и второй задач, в процессе фронтальной беседы составляется алгоритм решения задач алгебраическим методом: 1) обозначение буквой неизвестной величины, 2) выбор основания для составления уравнения; 3) составление выражений; 4) составление уравнения; 5) решение уравнения; 6) проверка правильности решения задачи. 3 этап: Закрепление материала. Основные задачи этого этапа: обеспечить осознанное выполнение каждого пункта алгоритма решения задач АМ, постепенно увеличивая долю самостоятельности в его выполнении, перейти от развернутой записи всего процесса рассуждений к сокращенной, сформировать умение осуществлять самоконтроль и взаимоконтроль за правильностью выполнения каждого пункта плана. Реализация данных задач может быть достигнута путем использования следующих приемов: организация фронтальной беседы по целесообразно подобранным вопросам, направленным на выявление степени осознанности действий, осуществляемых на каждом этапе алгоритма решения задач АМ; групповой работы (парами, тройками и т.д.) по составлению и решению задач АМ; показ эталона ответа и выработка умения сопоставлять ответ товарища с заданным эталоном, составлять оценочное суждение по ответу товарища и самостоятельно выполненному заданию. Значительное внимание на этом этапе уделяется составлению уравнений по различным основаниям к одной и той же задаче. Естественно, это доступно не для всех учащихся, поэтому такое задание следует предлагать для желающих, с последующим рассмотрением со всеми учащимися. Нередко, составляя несколько уравнений к одной задаче, получаются такие виды уравнений, решение которых сложно для учащихся начальных классов. В этом случае не нужно требовать решения данного уравнений. Важно, что учащиеся смогли установить взаимосвязи между величинами, данными в задаче, перевести их на математический язык и составить уравнения. Анализ работ учащихся позволяет в качестве типичных назвать следующие ошибки: неверное составление уравнения; ошибки в решении уравнения; подмена проверки правильности решения задачи проверкой правильности решения уравнения. Причиной возникновения ошибок первой категории следует считать недостаточную продолжительность подготовительного этапа, где учащиеся должны научиться составлять различные выражения по тексту задачи и определять их сюжетный смысл. Для детей с разными способностями к обобщению и скоростью усвоения материала на данном этапе должны быть подобраны задания с различной степенью формализации математических фактов, заданий. Например, для детей со слабой способностью к обобщению можно: использовать прием демонстрации явления, описываемого в задаче, с помощью дидактического материала; провести разъяснительную работу по «введению» школьника в сюжет задачи; помочь ученику представить, как этот сюжет мог бы протекать в реальной жизни; помочь осознать взаимосвязи между величинами и разъяснить способ перевода этих взаимосвязей на язык математических знаков. Детям с быстрым темпом усвоения полезно предлагать составлять несколько уравнений по задаче, и затем их правильность проверить вместе с детьми всего класса. Причины ошибок второй категории кроятся в теме «Неравенства и уравнения». Причиной ошибок третьей категории является недостаточная работа учителя по осознанию каждого пункта алгоритма решения задач алгебраическим методом или отсутствие обратной связи на каждом этапе формирования умения решать задачи АМ. 5. Литература к разделу 2.1. Основная литература 1. Белошистая, А.В. Методика обучения математике в начальной школе: курс лекций : учеб. пособие для студентов высш. пед. учеб заведений [Текст] / А.В. Белошистая. - М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 455с.: ил. – 5000 экз. – ISBN 5-691-01422-6. 2. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах [Текст] / Н.Б. Истомина. - М., Академия; 1999. – 285 с. – 5000экз.- ISBN – 5-7695-0310-6. 3. Белошистая, А.В. Обучение решению задач в начальной школе. Книга для учителя [Текст] / А.В. Белошистая. - М.: ТИД «Русское слово – РС», 2003. – 288с. – 5000 экз. – ISBN-5-94853-098-1. 4. Курс лекций по методике обучения математике в начальных классах [Текст]:учебное пособие / В.П.Ручкина, Г.П.Калинина, Г.В.Воробьева.- Екатеринбург: Издатель Калинина Г.П..- 190с. 2.2. Дополнительная литература 1. Байрамукова П.У. Внеклассная работа по математике в начальных классах: Учебное пособие для студентов педагогических вузов [Текст] / П.У. Байрамукова. - М.: «Издательская школа»: «Рейл»; 1997. – 93 с. – 10000 экз. – ISBN 5-89289-029-4. 2. Безруких, М.И. Трудности обучения в начальной школе: Причины, диагностика, комплексная помощь [Текст] / М.М. Безруких. - Тула: ООО Издательство «Родничок» - М.: 2004. – 350с. – 5000 экз. – ISBN5-271-09248-8. 3. Волина, В. И. Праздник числа. Пособие для учителей и родителей [Текст] / В.П. Волина. - М.: «Просвещение» 1993. – 309 с. – 5000 экз. – ISBN 5-86755-092-2. 4. Гончарова, С.Н. Развитие мышления на уроках в начальных классах [Текст] / С.Н. Гончарова. - М.: ООО «Издательство Астрель», 2004. – 266с. – 5000 экз. – ISBN 5-271-09607-6. 5. Гордеев, Э.В. 1200 задач и примеров на математике: Для начальной школы: 1 класс [Текст] / Э.В. Гордеев - Тула: Родничок: М.: 2000. – 288 с. 6. Демидова, Т.Е. Теория и практика решения задач: Учеб пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений [Текст] / Т.Е. Демидова, А.П. Тонких. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. –288с. – 30000 экз. – ISBN 5-7695-0701-2. 7. Депман, И.Я. История арифметики [Текст] / И.Я. Депман. М.: Просвещение,1965. - 8. Дмитриев, А.Е. Концепция подготовки учителя начальных классов / А.Е. Дмитриев, М.Р. Львов [Текст] / А.Е. Дмитриев // Начальная школа, 1990. – №7.. С. 64 – 67. 9. Зак, А.З. 600 игровых задач для развития логического мышления детей. Книга для учителей и родителей [Текст] / А.З. Зак.– Ярославль, 1998. – 186 с. – 1000 экз. 10. Зотова, Т.Н. Изучение методики преподавания математики в начальной школе [Текст] / Т.Н. Зотова, Л.Г. Колтакова, Л.Я. Кульбякина. - Бийск, НИЦ БПГУ им. В.М. Шукшина, 2003. – 183 с. – 100 экз. 11. Истомина, Н.Б. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах [Текст] / Н.Б. Истомина, Л.Г. Латохина, Г.Г. Шмырева. - М.: Просвещение; 1986. – 176 с. – 35000 экз. 12. Лавриенко, Т.А. Как научить детей решать задачи: Методические рекомендации для учителей начальных классов [Текст] / Т.А. Лавриенко. - Саратов: «Лицей», 2001. – 64 с. – 20000 экз. – ISBN 5-8052-0063-Х. 13. Левенберг, Л.Ш. Рисунки, схемы и чертежи в начальном курсе математики: Из опыта работы. [Текст] / Л.Ш. Левенберг. - М.: 1978. – 126 с. – 100000 экз. 14. Методы начального обучения математике [Текст] / Под ред. Л.Н. Скаткина.- М.: Просвещение, 1965. – 199с. – 35000 экз. 15. Кановалова, Е.И. Нестандартные уроки математики: 1 класс: Пособие для учителя [Текст] / Е.И. Коновалова. - Волгоград; 2002. – 112 с. – 5000 экз. – ISBN5-93312-039-1. 16. Начальная школа. Примерные программы начального общего образования. - М.: «Просвещение», 2003. – 45 с. 17. Петерсон, Л.Г. Математика. 1 класс. Методические рекомендации: пособие для учителей [Текст] / Л.Г. Петерсон М.: Баллас-96. – 224 с. – 100000 экз. – ISBN 5-85939-065-3. 18. Петерсон, Л.Г. Математика. 2 класс. Методические рекомендации: пособие для учителей [Текст] / Л.Г. Петерсон М.: Баллас-96. – 224 с. – 100000 экз. – ISBN 5-85429-051-0. 19. Петерсон, Л.Г. Математика. 1 класс. Методические рекомендации: пособие для учителей [Текст] / Л.Г. Петерсон М.: Баллас-96. – 224 с. – 100000 экз. – ISBN 5-85679-050-4. 20. Свечников, А.А. Решение математических задач в 1-3 классах. Пособие для учителя [Текст] / А.А. Свечников. - М.: «Просвещение», 1976 – 160с. – 200000 экз. 21. Тихомирова, Л.Ф. Математика в начальной школе: Развивающие игры. Задания, упражнения: Пособие для учителей начальных классов, воспитателей детсадов [Текст] / Л.Ф. Тихомирова. - М.: «Просвещение», 2001. –.187 с. – 10000 экз. – ISBN 5-89144-175-6. 22. Труднев, В.П. Внеклассная работа по математике в начальной школе: Пособие для учителей [Текст] / В.П. Труднев - М.: Просвещение, 1975. – 176 с. - 451000 экз. 6. Контрольные вопросы 1. Что мы понимаем под текстовой арифметической задачей в начальной школе? 2. Каковы причины включения текстовых арифметических задач в начальный курс математики? 3. Охарактеризуйте особенности строения текстовой задачи. 4. Перечислите этапы работы над текстовой арифметической задачей. 5. Каковы особенности работы на каждом из этапов. 6. Приведите примеры сюжетной текстовой задачи и задачи с отвлеченными данными. 7. Виды моделей текстов задач. 8. Дайте понятия простой задаче и составной. 9. На вашем примере покажите схемы прямого и обратного анализа задачи. 10. Перечислите методы решения текстовых задач. 11. Какие способы записи решения текстовых задач приняты в начальной школе? Охарактеризуйте каждый из названых способов записи решения текстовой задачи. 12. Какие основные ошибки при обучении простым задачам наблюдаются у учащихся? 13. Какая памятка для решения простых задач предложена ведущими учителями? 14. Какие общие умения должны быть усвоены всеми учащимися класса к решению любой текстовой задачи? 15. Охарактеризуйте составные задачи, которые встречаются в начальных классах в традиционном и альтернативном обучении. 16. Какие пропорциональные величины рассматриваются в начальной школе? 17. Сколько видов задач на нахождение четвертого пропорционального должно быть усвоено в начальной школе? Охарактеризуйте их. 18. Сколько видов задач на пропорциональное деление должно быть усвоено в начальной школе. Охарактеризуйте каждый из них. 19. Сколько видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям рассматривается в начальной школе? Охарактеризуйте их. 20. Как классифицируются составные задачи? Какой их признак удобнее всего положить в основу классификации с целью обучения общему подходу в решении задач? 21. Какие задачи на движение рассматриваются в начальной школе? 22. Какие группы величин рассматриваются в задачах начальной школы? 7. Цели практических занятий по разделу №7 Формировать умения: проводить логико-математический и логико-дидактический анализ содержательной линии в школьных учебных комплектах по разным системам обучения; определять иерархию целей обучения конкретной теме и мотивировать изучение конкретного учебного материала; ставить учебную задачу, отбирать соответствующие ей учебные действия и операции, конструировать совокупность заданий для ее реализации; организовывать и управлять деятельностью учащихся в процессе решения учебной задачи; подбирать литературу для изучения конкретного вопроса (задачи, пункта учебника) и составлять соответствующую картотеку; Структура практических занятий 1. Задачи 2. Оборудование 3. Ход занятия 4. Литература 5. Задания для самостоятельной работы 6. Обобщения по занятию 8. Содержание практического занятия № 7.1 Тема: Обучение решению простых задач на сложение и вычитание. Цели: 1. Познакомить студентов с логико-дидактическим анализом учебного материала. 2. Систематизировать и расширить представления студентов о видах простых задач на сложение и вычитание. 3. Преобразовывать один вид задачи в другой. Оборудование: 1) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Гармония» автора Н.Б. Истоминой; 2) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа России» автора М.И. Моро; 3) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Начальная школа ХХI века» автора В.Н. Рудницкой; 4) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа 2100» автора Л.Г.Петерсон; 5) Программы общеобразовательных учреждений. Начальная школа: 1 - 4 классы: [Текст] / Учебно-методический комплект "Планета знаний": Обучение грамоте. Русский язык. Математика. Литературное чтение. Окружающий мир. Английский язык. Музыка. - М.: АСТ: Астрель, 2007. - 317 с. - (Планета знаний). - 5000 экз. - ISBN 5-17-037776-2. ББК 74.202.41 6) Депман И.Я. История арифметики. – М.: Просвещение, 1965. –. 416 с. 7) Истомина, Н. Б. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах [Текст] / Н. Б. Истомина, Л. Г. Латохина, Г. Г. Шмырева. - М.: Просвещение; 1986. – 176 с. – 35000 экз. Задания для подготовки 1. Запомните виды простых задач на сложение и вычитание. 2. В методических пособиях можно встретить следующие задания: Провести: а) логико-дидактический анализ; б) логико-дидактический и психологический анализ; в) логико-математический анализ. Запомни характерные черты этих видов анализа. 3. Познакомься с видами определений понятий Цель логико-дидактического анализа получить информацию о том: - какие теоретические знания должны быть усвоены школьниками в процессе изучения темы (раздела, урока) и на каком уровне; - какие умения, должны быть сформированы и на каком уровне; - как логически связаны между собой выделенные знания, умения, навыки; - каковы возможные способы деятельности, с помощью которых учащиеся могут овладеть учебным материалом; - какие трудности могут возникнуть у учащихся в процессе изучения вопросов содержания курса, а также при выполнении конкретных заданий. Цель логико-дидактического и психологического анализа – выяснить следующие вопросы: - с какой целью учитель может предлагать данное упражнение (с целью знакомства, с целью подготовки к изучению, с целью закрепления и т.д.); - на каком этапе урока; - на каком этапе изучения темы; - какая подготовительная работа должна предписывать выполнению учащимися следующих заданий; - расположите данные задания в усложняющейся последовательности; - проведите анализ допущенных учащимися (или возможных) ошибок при выполнении следующих упражнений и назовите их возможные причины; - какие наглядные пособия целесообразно использовать при выполнении следующих упражнений учебника; - Какова учебная задача следующих упражнений и как можно организовать работу учащихся при выполнении следующих упражнений (индивидуально, фронтально, в парах, в группах). Цель логико-математического анализа – получить ответы на ряд следующих вопросов: - какие новые понятия, объекты вводятся? - даются ли им определения? - к какому по структуре виду определений можно отнести данное определение? - встречались ли ранее определения с такой структурой или мы имеем дело с новой структурой? - какие познавательные и учебные действия можно выполнять для раскрытия структуры определения и его применения? - какой возможен содержательный материал для раскрытия всех операций и действий? Ход занятия: 1. Доклад: «Арифметические забавы и занимательные задачи в учебниках арифметики и математики». (Самооценка и взаимооценка содержания доклада) 2. Назовите все виды простых задач, решаемые действием сложения. Найдите на страницах учебников, где впервые вводится каждый из этих видов задач. 3. Проведите логико-дидактический анализ одного из видов простой задачи, решаемых действием сложения. 4. Назовите все виды простых задач, решаемых действием вычитания. Найдите на страницах учебников, где впервые вводится каждый из этих видов задач. 5) Проведите логико-дидактический и психологический анализ одной из простых задач, решаемых действием вычитания. 6) Составьте один фрагмент урока знакомства с задачей, используя те умения и навыки, которыми учащиеся овладели на подготовительном этапе (по традиционной программе и по альтернативным программам). 7) Найдите задания в учебниках и составьте сами задания, в процессе выполнения которых дети учатся анализировать текст задачи. 8) Какие типы вопросов помогают учащимся усвоить любую из простых задач? Охарактеризуйте каждый из них. 9) Что вы можете сказать о преобразовании задач из одного вида в другой? Таблица 10 Первые простые задачи, встречающиеся в учебниках математики Программа Учебник (класс) Название типа задачи Стр.учебника, где впервые встречается задача Примечание 1 2 3 4 5 Традиционная - 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Задания для самостоятельной работы 1. Обосновать последовательность формирования понятия задачи и целесообразность основных методических приемов, используемых на различных этапах (традиционная и альтернативные системы обучения математике). 2. Найти в учебниках математики для начальной школы задачи, используя содержание которых можно проиллюстрировать основные методические приемы в работе над восприятием текста задачи. 3. Разработать подготовительные упражнения к введению следующих приемов моделирования:  предметная модель;  рисунок;  схематический чертеж (схема). 9. Содержание практического занятия № 7.2 Тема: Обучение решению простых задач на умножение и деление. Тема: Цели: 1. Рассмотреть методику обучения младших школьников решению простых задач на умножение и деление; 2. Познакомиться с методикой введения простых задач на умножение и деление в различных технологиях обучения. Оборудование: 1) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Гармония» автора Н.Б. Истоминой; 2) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа России» автора М.И. Моро; 3) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Начальная школа ХХI века» автора В.Н. Рудницкой; 4) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа 2100» автора Л.Г.Петерсон; 5) Программы общеобразовательных учреждений. Начальная школа: 1 - 4 классы: [Текст] / Учебно-методический комплект "Планета знаний": Обучение грамоте. Русский язык. Математика. Литературное чтение. Окружающий мир. Английский язык. Музыка. - М.: АСТ: Астрель, 2007. - 317 с. - (Планета знаний). - 5000 экз. - ISBN 5-17-037776-2. ББК 74.202.41 6) Депман И.Я. История арифметики. – М.: Просвещение, 1965. –. 416 с. 7) Истомина, Н. Б. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах [Текст] / Н. Б. Истомина, Л. Г. Латохина, Г. Г. Шмырева. - М.: Просвещение; 1986. – 176 с. – 35000 экз. Задания для подготовки: 1. Запомните типы простых задач на умножение и деление. 2. Составьте план-конспект этапа урока знакомства учащихся с одним из типов простых задач на умножение или деление. Используйте систему вопросов. Ход занятия: 1) Доклады: «Пропорции в математике», «Тройное правило». 2) Назовите все виды простых задач, решаемых умножением. Приведите пример каждого вида. 3) Найдите в учебниках математики начальной школы страницы, на которых впервые встречаются названные виды задач. Заполните таблицу 1 Первые простые задачи, встречающиеся в учебниках математики Программа Учебник (класс) Название типа задачи Стр.учебника, где впервые встречается задача Примечание 1 2 3 4 5 Традиционная - 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4) Представьте фрагмент плана-конспекта урока введения одного из видов простой задачи на умножение и простой задачи на деление. 5) Проведите логико-дидактический анализ процесса усвоения задачи, для которой Вы описали методику знакомства с ней. 6) Выполните логико-математический анализ этого же материала. 7) Решите задачи из практикума по методике преподавания математики № 447 «В чем различие методики выполнения рисунка к одной и другой задаче? Сделайте по каждой задаче рисунок и решите задачи: а) 8 морковок раздали 4 кроликам поровну. Сколько морковок дали каждому кролику? б) 15 морковок дали кроликам, по 5 морковок каждому. Сколько кроликов получили морковь? 8) Какие приемы учитель может использовать для усвоения учащимися перевода простых текстовых задач на математический язык выражений? (Ответ на этот вопрос можно найти на с. 93 – 95 «Практикума» Н.Б. Истоминой). 9) Какие умения должны отрабатываться у учащихся в процессе работы над простой текстовой задачей. 10) Показать взаимосвязь простых задач на умножение и деление, и методику реализации этой взаимосвязи в процессе обучения младших школьников. Методические задания для самостоятельной работы 1. Используя текст задачи на разностное сравнение (текст подобрать самостоятельно), проиллюстрировать основные виды моделей, которые могут быть использованы в начальной школе. 2.Проиллюстрировать 5-7 методических приемов по обучению моделированию (этап усвоение приема моделирования), используя тексты задач «на уменьшение на несколько единиц» (тексты подобрать самостоятельно). 10. Содержание практического занятия № 7.3 Тема: Технология обучения решению составных задач Задачи 1. Ввести понятие составной задачи. 2. Познакомиться с различными методиками введения составных задач. 3. Научиться проводить аналитический и синтетический разбор задачи. Оборудование: 1) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Гармония» автора Н.Б. Истоминой; 2) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа России» автора М.И. Моро; 3) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Начальная школа ХХI века» автора В.Н. Рудницкой; 4) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа 2100» автора Л.Г.Петерсон; 5) Депман И.Я. История арифметики. – М.: Просвещение, 1965. –. 416 с. 6) Истомина, Н. Б. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах [Текст] / Н. Б. Истомина, Л. Г. Латохина, Г. Г. Шмырева. - М.: Просвещение; 1986. – 176 с. – 35000 экз. Задания для подготовки: 1) Познакомьтесь с понятием составной задачи и методикой работы с ней в различных технологиях обучения. 2) Представьте конспект статьи из журнала «Начальная школа» об обучении младших школьников решению задач. Что нового вы узнали из статьи? Чем удивила Вас эта статья? Ход занятия: 1) Доклад: «Задачи на пропорциональное деление» 2) Приведите подготовительные упражнения из учебников разных технологий к введению составной задачи. 3) Заполните таблицу 2. Таблица 11 Технология, класс № задачи с двумя данными, решаемые № задачи с тремя данными, решаемые Вычитанием и сложением В два действия сложения Сложением и вычитанием Вычитанием и сложением Обоими действиями сложениями 4) Назовите этапы работы над составной задачей. 5) Проведите разбор любой из задач с помощью прямого и обратного анализа 6) Приведите фрагмент плана-конспекта урока, где проводится работа над составной задачей и все необходимые этапы работы над ней. 7) В чем вы видите рациональное «зерно» при работе над задачей в методике, которую предлагается в статье, конспект которой Вы представили? Задания для самостоятельной работы . На примере задачи проиллюстрировать приемы поиска плана решения задачи. Составить памятки для учащихся, которые могут быть использованы для обучения основным приемам поиска плана решения. Задача. «В трех кусках 92 м шнура. В первом - 28 м, в третьем - 34 м. Сколько метров шнура во втором куске?», 11. Содержание практического занятия №7.4 Тема: Технология обучения решению составных задач на пропорциональную зависимость между величинами. Цели: 1. Выявить типы задач на пропорциональную зависимость между величинами и их взаимосвязь. 2. Определить сущность обобщенного подхода к решению составных задач. Оборудование: 1) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Гармония» автора Н.Б. Истоминой; 2) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа России» автора М.И. Моро; 3) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Начальная школа ХХI века» автора В.Н. Рудницкой; 4) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа 2100» автора Л.Г.Петерсон; 5) Депман И.Я. История арифметики. – М.: Просвещение, 1965. –. 416 с. 6) Истомина, Н. Б. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах [Текст] / Н. Б. Истомина, Л. Г. Латохина, Г. Г. Шмырева. - М.: Просвещение; 1986. – 176 с. – 35000 экз. Задания для подготовки: 1) Выясните, какие типы задач на пропорциональную зависимость между величинами изучаются в начальной школе. 2) Для каждого типа задач составьте краткую запись в виде таблицы. Ход работы: 1) Доклад: «Метод ложного положения». 2) Покажите образовательное значение задач с пропорциональными величинами. 3) Назовите основные виды задач с пропорциональными величинами, рассматриваемые в начальных классах и раскройте их математическое содержание: а) простые задачи с пропорциональными величинами, решаемые умножением и делением (оформить в виде таблиц); б) задачи в два действия с прямо пропорциональными величинами на нахождение четвертого пропорционального; в) задачи на пропорциональное деление; г) задачи на нахождение неизвестного по двум разностям. 4) Приведите примеры задач из учебников математики начальной школы (различные технологии), в основе решения которых лежит идея прямо пропорциональной зависимости между величинами. 5) Найдите в учебниках простые задачи с пропорциональными величинами. Заполните таблицу 1. Таблица 12. Простые задачи с пропорциональными величинами Технология обучения Учебник (класс) Страница, номер задачи Вид задачи Примечание 1 2 3 4 5 6) Преобразуйте все найденные задачи в обратные. 7) Найдите в учебниках разных технологий первые задачи на пропорциональное деление. Заполните таблицу 2. Таблица 13. Первые задачи на пропорциональное деление Технология обучения Учебник (класс) Страница, номер задачи Вид задачи Примечание 1 2 3 4 5 8) Преобразуйте все найденные задачи в обратные. 9) Найдите в учебниках разных технологий первые задачи на нахождение неизвестного по двум разностям. Заполните таблицу 3. Таблица 14. Первые задачи на нахождение неизвестного по двум разностям Технология обучения Учебник (класс) Страница, номер задачи Вид задачи Примечание 1 2 3 4 5 10) Найдите в учебниках разных технологий первые задачи на нахождение четвертого пропорционального и преобразуйте одну из них во все другие виды задач с пропорциональными величинами. Заполните таблицу 4. Таблица 15. Первые задачи на нахождение четвертого пропорционального Технология обучения Учебник (класс) Страница, номер задачи Примечание 1 2 3 4 Задания для самостоятельной работы 1. Составить 2-3 тренировочных упражнения, с помощью которых учащиеся овладевают одним из способов разбора задачи. 2. Разработать фрагмент урока, цель которого, усвоение учащимися формы записи решения задачи выражением. 12. Содержание практического занятия №7.5. Тема: Технология обучения решению задач разными методами и способами Цели: 1. Дать характеристику арифметическому, алгебраическому методам решения задач 2. Разграничить понятия метода и способа решения задач. 3. Закрепить сущность обобщенного подхода к решению составных задач разными методами и способами. Оборудование: 1) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Гармония» автора Н.Б. Истоминой; 2) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа России» автора М.И. Моро; 3) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Начальная школа ХХI века» автора В.Н. Рудницкой; 4) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа 2100» автора Л.Г.Петерсон; 5) Депман И.Я. История арифметики. – М.: Просвещение, 1965. –. 416 с. 6) Истомина, Н. Б. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах [Текст] / Н. Б. Истомина, Л. Г. Латохина, Г. Г. Шмырева. - М.: Просвещение; 1986. – 176 с. – 35000 экз. Задания для подготовки: Ознакомьтесь с содержанием статьи Т.В. Смолеусовой «Этапы, методы и способы решения задачи» // Начальная школа. – 2003. - №12. Ответьте на следующие вопросы. Как автор трактует понятия «метод решения задачи» и «способ решения задачи»? С точки зрения трактовки автором метода решения задачи обоснуйте или опровергните возможность существования табличного метода решения задачи. Указан ли автором общий принцип решения задачи алгебраическим методом? Как автор статьи рекомендует обучать решению задач разными способами? Ход работы: 1. Заполните таблицу, указав виды методов и способов решения задачи, формы записи их решения и способы проверки правильности решения задачи. Таблица Методы решения задачи Способы решения задачи Формы записи решения задачи Способы проверки правильности решения задач 2. На примере ниже данной задачи приведите пример рассуждений, которые следует проводить, решая задачу тем или иным методом. Задача. Во второй корзине на 8 кг яблок больше, чем в первой и на 4 кг меньше, чем в третьей. В четвертой корзине яблок столько, сколько в первой и второй корзинах вместе. Сколько килограммов яблок в четырех корзинах вместе, если в первой корзине 20 кг? 3 Решите задачу разными способами. Приведите примеры рассуждений, которые должны проговаривать дети, выполняя тот или иной способ решения задачи. Задача. Каменщик укладывает 4 000 кирпичей за 8 часов, а монтажник с помощью крана укладывает один блок, заменяющий 800 кирпичей за 16 минут. Во сколько раз меньше времени требуется монтажнику, чтобы уложить блоки, заменяющие 4 000 кирпичей? Какие приемы можно использовать, чтобы помочь детям найти новый способ решения задачи? Какие приемы используются с этой целью авторами учебников по математике для начальных классов? 4. Рассмотрите вариант дифференцированной работы с учащимися при обучении решению задач разными способами. № групы детей 1 группа детей 2 группа детей 3 группа детей Текст задания (задачи) Задача. В вазе лежало 5 желтых яблок и 2 зеленых. Три яблока съели. Сколько яблок осталось в вазе? Та же, что и для 1 группы детей. Та же, что и для 1 группы детей. Задания на деятельность Решите задачу. Подумайте, можно ли ее решить другим способом? Решите задачу двумя способами. Измените задачу так, чтобы ее можно было решить тремя способами. Решите полученную задачу тремя способами. Приведите примеры своих заданий для реализации дифференцированного подхода при формировании умения решать задачи разными способами или методами. Задания для самостоятельной работы 1. Выпишите свойства арифметических действий 2. Приведите примеры математических задач (не менее 3-х), которые можно использовать при формировании свойств арифметических действий 13. Содержание практического занятия № 7.6 Тема. Формирование обобщенных умений решать задачи Цели: 1. Дать характеристику частному и обобщенному подходам обучения решению задач. 2. Актуализировать приемы , способствующие формированию обобщенных умений решать задачи. Оборудование: 1) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Гармония» автора Н.Б. Истоминой; 2) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа России» автора М.И. Моро; 3) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Начальная школа ХХI века» автора В.Н. Рудницкой; 4) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа 2100» автора Л.Г.Петерсон; 5) Депман И.Я. История арифметики. – М.: Просвещение, 1965. –. 416 с. 6) Истомина, Н. Б. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах [Текст] / Н. Б. Истомина, Л. Г. Латохина, Г. Г. Шмырева. - М.: Просвещение; 1986. – 176 с. – 35000 экз. 7.) Обучение младших школьников решению текстовых задач: Сборник статей / Сост. Н.Б. Истомина, Г.Г. Шмырева. – Смоленск: Изд-во «Ассоциация ХХI век», 2005. – 272с. Задания для подготовки: Законспектируйте нижеуказанные статьи, используя источник (7) Артемов А.К. Формирование обобщенных умений решать задачи (Начальная школа.1992. № 2) Истомина Н.Б. Первые шаги в формировании умения решать задачи (Начальная школа. 1998. № 11/12) Царева С.Е. Обучение решению задач (Начальная школа. 1997. № 11) Ответьте на следующие вопросы: Как трактуются авторами статей понятия: задача, решение задачи, процесс решения задачи, методы и способы решения задачи, обучение решению задачи, умение решать задачи. Каким обобщенным приемам необходимо обучить школьников, чтобы сформировать умение решать задачи? Ход работы: 1. Проверка и взаимооценка выполнения домашнего задания. 2. Выделите этапы решения задачи. Определите цель каждого этапа и приемы, с помощью которых можно использовать на каждом этапе. Заполните таблицу. Таблица Название этапа Цель этапа Приемы выполнения этапа 1. Восприятие и осмысление задачи 3. Какие приемы работы рационально использовать на каждом этапе при решении следующих задач. От чего может зависеть выбор приема работы над задачей на каждом этапе? Задача 1. Две ученические бригады собрали 100 одинаковых мешков картофеля. Одна бригада собрала 2450 кг, другая – 2550кг. Сколько мешков картофеля собрала каждая бригада? Задача 2. «Купили 6 одинаковых стульев и заплатили за них 4800 рублей. Сколько будут стоить 12 таких же стульев?» Задача 3. «В магазине за три дня продали 1 т сахара. В первый день продали 300 кг сахара, во второй в 2 раза больше, чем в первый. Сколько килограммов сахара продали в третий день?» 4. С чем связана необходимость обучения детей различным способам проверки правильности решения задачи? Составьте фрагменты уроков, на которых будете обучать детей различным способам проверки правильности решения задачи. Используйте для этого текст первой задачи из предыдущего задания. 5. Найдите в учебниках математики для начальных классов (по любой системе обучения) задания, направленные на формирование умения осуществлять проверку правильности решения задачи. Достаточно ли таких заданий, для того чтобы сформировать привычку к самоконтролю? 6. Выберите из учебника математики для начальных классов (по любой системе обучения) задания, направленные на формирование умения осуществлять поиск плана решения задачи. Приведите свои примеры заданий, направленных на формирование указанного умения. 7. Составьте развернутый план обобщающего урока в 1 классе (2 ,3, 4 классах) по теме «Решение задач». 8. Составьте контрольную работу, с помощью которой можно определить уровень овладения умением решать задачи. Класс и систему обучения выберите самостоятельно. 9. Выполните анализ учебников по математике для начальной школы по системе Л.В. Занкова и «Школа 2000…» [9-15, 40-55] и составьте перечень видов работы над задачей после ее решения. Результаты работы отразите в таблице. Таблица Вид задания Конкретный пример из учебника Класс и страница учебника 1. 10. Приведите примеры своих заданий, которые можно давать детям после решения исходной задачи. Укажите, с какой целью будете предлагать детям эти задания. 11. К данным в таблице задачам подберите задание, которое можно предложить детям после их решения. Таблица Задачи Задания к задачам «Садовод собрал осенью 80 кг яблок, груш – в 4 раза меньше, чем яблок, а слив больше, чем груш. Сколько слив собрал садовод?» «В зооуголке живут 20 кроликов, а кур – на 12 меньше, чем голубей. Сколько зверей и птиц живут в зооуголке?» «За два мяча заплатили 28 рублей. Сколько стоит каждый мяч?» «Из 24 м шелка сшили 3 платья, 2 блузки и 2 халата. На блузки израсходовали 4 м ткани, а на платья - на 8 м больше, чем на блузки, а на халаты - остальной шелк. Сколько метров шелка израсходовали на халаты?» Измените условие задачи так, чтобы в нем остались числа, которые необходимы для решения задачи. Какой вопрос можно поставить к условию задачи, чтобы данные в условии числа не были лишними? Измените вопрос так, чтобы задача имела решение. Не добавляя данных, измените условие задачи так, чтобы ее можно было решить. Сколько решений имеет задача? Дополните условие так, чтобы она имела только одно решение. Дополните условие задачи так, чтобы она имела решение. Задания для самостоятельной работы Объясните причины ошибок, допущенных учащимися при решении задач. Задача 1. В одной книге 20 страниц, это в 5 раз меньше, чем в другой. Сколько страниц в другой книге? Решение: 20 : 5 = 4 (кн.) Задача 2. Из коробки взяли 6 карандашей, а потом еще 3 карандаша. Сколько карандашей взяли из коробки? Решение: 8 – 3 =5 (к.) Задача 3. Володя решил 15 задач, а Надя 10 задач. На сколько задач больше решил Володя, чем Надя? Решение: 15 +10 = 25 (з.) Используя детские работы, найдите другие типичные ошибки, допускаемые учащимися при решении простых задач, и укажите пути их устранения. Какие типичные ошибки допускают учащиеся при решении составных задач? . 14. Лабораторная работа № 7.1. Тема: Классификации простых задач Цели работы: 1) учиться определять виды простых текстовых по различным классификациям ; 2) сформировать умение моделировать текст любой простой задачи; 3) овладеть различными формами проведения с учащимися работы по обоснованию выбора действия, с помощью которого решается задача. Оборудование: Оборудование: 1) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Гармония» автора Н.Б. Истоминой; 2) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа России» автора М.И. Моро; 3) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Начальная школа ХХI века» автора В.Н. Рудницкой; 4) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа 2100» автора Л.Г.Петерсон; 5) Задания для подготовки: 1. Изучив литературу (5), ответьте на следующие вопросы: Какие существуют подходы к формированию умения решать задачи? Какие авторы предпринимали попытку выполнить классификацию простых задач? Какие цели преследовали авторы, работающие над классификацией простых задач? Выделите основание классификации простых задач у каждого автора, Ход занятия 1. Назовите группы и виды простых задач по классификации М.А. Бантовой. К каждому виду задач приведите конкретный пример. Проверьте свои знания, заполнив таблицу. Таблица Автор классификации. Основание классификации Название групп задач по данной классификации Название видов задач, относящихся к данной группе. Примеры задач М.А. Бантова 3. Назовите достоинства и недостатки этой классификации. Можно ли, опираясь на данную классификацию, обосновывать выбор арифметического действия, с помощью которого решается задача? Приведите примеры. 4. Изобразите классификацию простых задач по Е.М. Семенову в виде блок-схемы. Ответьте на вопросы, поставленные в задании № 3, имея в виду классификацию Е.М. Семенова. 5. Для каждой из ниже данных задач выполните следующие задания: Назовите вид задачи по выбранной вами классификации и укажите действие, с помощью которого решается задача. Обоснуйте выбор арифметического действия. При выполнении заданий указывайте, какой классификацией простых задач руководствовались. Задачи: «Дети собирали грибы. Саша нашел 5 грибов, а Миша 3 гриба. Сколько грибов они нашли вместе?» «В корзине 15 грибов. Из них 5 белых, остальные - лисички. Сколько в корзине лисичек? » «В цирке выступало 11 обезьян и 7 тигров, на сколько меньше выступало тигров, чем обезьян?» «Мама испекла 13 пирожков. Гриша съел 5 пирожков. Сколько пирожков осталось?» «У хозяйки 9 кур, а уток на 4 меньше, чем кур. Сколько уток у хозяйки?» 6) «Карандаш длиннее ручки на два сантиметра. Какова длина ручки, если длина карандаша равна 16 см?» 6. Приведите примеры заданий, направленных на формирование задачи определенного вида по методике Е.М. Семенова. 7. Разработайте конспект урока по теме: «Формирование умения решать задачи на нахождение большего из двух разностно неравных чисел». 8. Рассмотрите каждую из ниже данных задач, сделайте к каждой задаче графическую и символическую модель. Сравните тексты и модели задач. Смысл какого математического действия раскрывается через совокупность данных задач? В чем ценность такой совокупности задач? Задача 1. У Кати 6 цветных карандашей и 2 простых. Сколько карандашей у Кати? Задача 2. Маша отдала 6 конфет Даше и 2 конфеты Пете, после чего конфет у нее не осталось. Сколько конфет отдала Маша? Задача 3. Ваня отдал 2 тетради Маше, после чего у него осталось 6 тетрадей. Сколько тетрадей было у Вани? Задача 4. У Гриши 6 солдатиков, а у Сережи на 2 солдатика больше, чем у Гриши. Сколько солдатиков у Сережи? Задача 5. У Гриши 6 солдатиков, их на 2 меньше, чем у Сережи. Сколько солдатиков у Сережи? Задача 6. Гриша играл с Ваней в морской бой. Шесть партий он выиграл, а 2 проиграл. Сколько партий сыграли Гриша с Ваней? Задача 7. В корзину с яблоками добавили 6 яблок. После того как несколько яблок взяли, в корзине осталось на 2 яблока меньше, чем было первоначально. Сколько яблок взяли? Задания для самоподготовки Составьте такую же совокупность задач для иллюстрации математического действия вычитания. 15. Лабораторная работа № 7.2. Тема: Работа над простыми задачами разных видов. Цели работы: 1) учиться определять виды простых текстовых задач; 2) сформировать умение анализировать текст простой задачи; 3) отработать умение предвидеть при анализе текста задачи выбор одного из видов интерпретации задачи: составление краткой записи, выполнение чертежа, схематического рисунка и т.п.; 4) овладеть различными формами проведения с учащимися работы по разбору задачи. Оборудование: 1) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Гармония» автора Н.Б. Истоминой; 2) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа России» автора М.И. Моро; 3) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Начальная школа ХХI века» автора В.Н. Рудницкой; 4) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа 2100» автора Л.Г.Петерсон; Задания для подготовки: 1) Изучить объяснительную записку по примерной программе. Сделать выписки, касающиеся вопросов обучения младших школьников решению простых текстовых задач. 2) Обоснуйте последовательность формирования понятия задача и целесообразность основных методических приемов, используемых на различных этапах (традиционная и альтернативные системы обучения математике). 3) В чем заключаются особенности формирования понятий задача и решение задачи в общем и частном методических подходах? В рамках какого подхода учащиеся осознают существенные признаки понятия задача? Ход работы: Задание 1. Выписать по каждому классу основные требования, предъявляемые программой к умениям учащихся решать простые текстовые задачи. Задание 2. Показать в учебниках по учебникам альтернативных образовательных систем, где вводится первая текстовая задача. На какой странице учебника впервые вводится термин «задача»? Задание 3. Отделить условие задачи от ее вопроса (требования): 3.1. В малых бидонах 80 л молока. Сколько литров молока в 6 больших бидонах, если в каждом большом бидоне на 12 л больше, чем в малом бидоне? 3.2. Расстояние в 200 метров могут пробежать: страус – за 12 с, беговая лошадь – за 10 с, антилопа – за 8 с. Какое расстояние могли бы пробежать каждое из этих животных за 1 час, если бы они могли сохранить такую же скорость, как на расстоянии 200 м? Задание 4. К какому виду простой задачи сводятся решения каждой из задач вашего варианта. 1 вариант Задача 1. Пионеры помогали колхозу собирать яблоки. Первый день они работали 6 ч, второй 5 ч и третий день 4 ч. Всего было собрано 2т 025 кг яблок. Сколько килограммов яблок собрали пионеры в 1–ый, 2-ой и 3–ий дни? Задача 2. Два мотоциклиста выехали одновременно навстречу друг другу. Один ехал со скоростью 1 км в минуту, а другой со скоростью 750 м в минуту. При встрече оказалось, что первый мотоциклист проехал на 60 км больше второго. Какой путь проехали оба мотоциклиста до встречи? Задача 3. Велосипедист до остановки проехал 60 км, а после остановки на 24 км меньше. Всего он был в пути 8 ч. Сколько часов он ехал до остановки и сколько после остановки? Задача 4. Масса трех одинаковых ящиков с печеньем 18 кг. Найти массу 4 ящиков с конфетами, если известно, что ящик с конфетами в 3 раза тяжелее, чем ящик с печеньем. Задача 5. Взрослые собирали яблоки в большие корзины по 16 кг в каждой, а пионеры в маленькие, по 10 кг в каждой, но они набрали столько же корзин, сколько и взрослые. Сколько килограммов яблок собрали пионеры, если взрослые собрали 80 кг? Задача 6. Для посадки привезли 600 лип и 400 дубов. Их рассадили в ряды поровну. При этом лип получилось на 5 рядов больше, чем дубов. Сколько получилось рядов лип и дубов. Сколько получилось рядов лип и дубов в отдельности? Задача 7. Купили 4м шерстяной материи по 12 руб. за метр и несколько метров шелка по 8 руб. за метр. За шерстяную ткань заплатили столько же денег, сколько за шелк. Сколько метров шелка купили? 2 вариант. Задача 1. В двух ящиках было 45 кг яблок, когда из второго ящика взяли 15 кг яблок, в обоих ящиках яблок осталось поровну. Второй ящик стоит на 60 р. дороже первого. Столько стоили яблоки в каждом ящике? Задача 2. Один трактор работал в неделю 50 ч, другой – 48 ч. Оба трактора при одинаковой норме израсходовали 686 л горючего. Столько литров горючего израсходовал за неделю каждый трактор? Задача 3. Бабушка купила несколько пирожков с капустой по 5 к за штуку и столько же пирожков с мясом по 10 к за штуку. За пирожки с капустой она заплатила 30 к. Сколько стоили пирожки с мясом? Задача 4. На одно поле привезли для посева 45 мешков пшеницы, на другое – 69 мешков. Известно, что на второе поле привезли пшеницы на 1 т 920 кг больше, чем на первое. Найдите массу пшеницы, привезенной на оба поля. Задача 5. В районе построили два кинотеатра. В одном кинотеатре 840 мест, по 28 мест в ряду, а в другом – 1120 мест, а рядов в нем на 5 больше, чем в первом. Сколько мест в каждом ряду во втором кинотеатре? Задача 6. Покупатель уплатил в кассу за 6 стульев по 15 р. за каждый, но потом решил на те же деньги вместо стульев купить 2 кресла. Сколько стоит одно кресло? Задача 7. Один автомобиль прошел 1400 км, второй 900 км и израсходовал на 60 л бензина меньше первого. Сколько бензина израсходовали оба автомобиля? 3 вариант. Задача 1. Поезд – экспресс за 5 ч прошел 600 км, а скорый поезд за 6 ч прошел 360 км. Во сколько раз поезд – экспресс идет быстрее скорого поезда? Задача 2. Теплоход прошел путь между пристанями А и В за 5 ч со скоростью 30 км в час. На обратном пути то же расстояние этот теплоход прошел за 6 часов. С какой скоростью шел теплоход на обратном пути? Задача 3. С одного участка собрали в корзинах одинакового веса 320 кг моркови, а с другого – 280 кг. Со второго участка собрали на 2 корзины моркови меньше, чем с первого. Сколько корзин моркови собрали с обоих участков? Задача 4. Два столяра отремонтировали стульев поровну. Первый столяр работал 6 дней, ремонтируя по 10 стульев в день, а второй работал 5 дней. Поскольку стульев в день ремонтировал второй столяр? Задача 5. Двое рабочих, работая одинаковое число дней, изготовили 5160 деталей. Один из них изготовлял в день 212 деталей, другой 218. Сколько деталей за это время изготовил первый рабочий и сколько второй? Задача 6. Магазин продал за день 15 ящиков апельсинов и 25 таких же ящиков яблок, причем яблок было продано на 20 кг больше, чем апельсинов. Сколько килограммов апельсинов и яблок в отдельности было продано за день? Задача 7. Для клуба и читального зала купили 50 настольных ламп по одинаковой цене. За лампы для клуба уплатили 120 р., а для читального зала 180 р. Сколько купили ламп для клуба и читального зала в отдельности? 4 вариант. Задача 1. В двух классах 70 учеников. Каждый из них посадил на пришкольном участке одинаковое число деревьев. Ученики одного класса высадили 96 деревьев, а другого 114 деревьев. Сколько было учеников в каждом из этих классов? Задача 2. Два опытных участка имеют одинаковую площадь. Ширина первого участка 30 м, ширина второго – 40 м. Найти длину первого участка, если известно, что длина второго участка 75 м. Задача 3. Для санатория купили два ящика одинакового печенья. Один ящик печенья стоил 30 р., другой –18р. Во втором ящике было печенья на 6 кг меньше, чем в первом. Сколько килограммов печенья было в каждом ящике? Задача 4. За билеты в кинотеатр по одной и той же цене два класса уплатили 14 рублей. Сколько денег уплатил каждый класс, если в первом 37 учеников, а во втором 33 ученика? Задача 5. За 4 м ситца уплатили 4 р. Сколько нужно уплатить за 5 м шелковой ткани, если 1 м шелковой ткани на 2 р. дороже 1 м ситца? Задача 6. Кондитерская фабрика изготовила в один день 800 кг печенья, а во второй день – 900 кг, причем в первый день изготовлено печенья на 10 ящиков меньше, чем во второй. Сколько ящиков печенья изготовила фабрика за два дня? Задача 7. Бабушка купила 3 мотка белой шерсти за 15 р. и по такой же цене 6 мотков синей шерсти. Сколько стоила синяя шерсть? 5 вариант. Задача 1. Моторная лодка прошла путь от одной пристани до другой за 20 мин со скоростью 625 м в минуту. На обратный путь она затратила на 5 мин больше. На сколько меньше была скорость лодки на обратном пути? Задача 2. За два дня самолет пролетел с одинаковой скоростью 10240 км. В один день в полете он был 10 ч., в другой день 6 ч. Сколько километров пролетел самолет каждый день? Задача 3. Питомник отпустил по одинаковой цене одной школе 360 саженцев, другой – 440. Вторая школа уплатила за них на 20 р. больше, чем первая. Сколько уплатила за саженцы каждая школа? Задача 4. Самолет пролетел в один день 1600 км, в другой день – 2800 км. Во второй день он был в воздухе на 3 ч больше, чем в первый. Сколько часов самолет находился в воздухе каждый день, если он летел с одинаковой скоростью? Задача 5. За 3 м ткани, купленной в первый раз, уплатили 12 р. Во второй раз купили 5 м ткани по той же цене. Сколько стоит ткань, купленная во второй раз? Задача 6. Швея сшила 96 наволочек за 6 дней, каждый день она шила наволочек поровну. За сколько дней она может сшить 64 наволочки при той же норме выработки в день? Задача 7. В совхозе 40 автомашин – легковых и грузовых, причем на каждую легковую машину приходится 4 грузовых. Сколько легковых и сколько грузовых машин в совхозе? Задания для самоподготовки Выберите из задач задания 4 (вашего варианта) такие, для которых удобно составить: а) схематический рисунок; б) таблицу с пропорциональными величинами; в) краткую запись; г) чертеж. Приведите текст, сопровождающий их составление (в вопросно–ответной форме и в форме рассуждения). 16. Лабораторная работа № 7.3. Тема: Виды составных задач в начальной школе и методические подходы к их решению. Цели работы: 1) учиться определять виды составных текстовых задач; 2) сформировать умение анализировать текст составной задачи; 3) овладеть различными формами проведения с учащимися работы по разбору задачи; 4) уметь решать любую задачу из учебников математики для начальных классов всеми возможными арифметическими способами и оформить запись ее решения в соответствии с требованиями, предъявляемыми к оформлению решения задач в начальных классах; 5) научиться выбирать наиболее эффективный и доступный учащимся способ проверки решения задачи. Оборудование: 1) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Гармония» автора Н.Б. Истоминой; 2) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа России» автора М.И. Моро; 3) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Начальная школа ХХI века» автора В.Н. Рудницкой; 4) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа 2100» автора Л.Г.Петерсон; Задания для подготовки: 1. Изучить объяснительную записку по программе. Сделать выписки, касающиеся вопросов обучения учащихся решению составных текстовых задач. 2. Раскройте содержание понятий задача, решение задачи, составная задача, способ решения задачи, метод решения задачи. Каковы особенности содержания данных понятий в различных методических подходах к обучению решению задач? Конкретизируйте на примере программы «Школа России» и программ И.И.Аргинской и Н.Б.Истоминой Ход работы: Задание 1. Выписать по каждому классу основные требования, предъявляемые программой к умениям учащихся решать составные текстовые задачи. Задание 2. Показать в учебниках по учебникам альтернативных технологий, где вводится первая составная текстовая задача. Задание 3. Определить, какие из задач Вашего варианта, приведенных в лабораторной работе 2, можно отнести к задачам «на нахождение четвертого пропорционального», на «пропорциональное деление», на «нахождение неизвестного по двум разностям». Задание 4. Определить, какую из ниже следующих задач удобно разбирать обратным анализом « от вопроса», Ответ обосновать. Провести этот разбор в ответно – вопросной форме. Оставшуюся задачу разобрать смешанным анализом. Для этой задачи составить план решения. 1 вариант. Задача 1. В швейной мастерской сшили за один день из 320 м ткани платья и из 120 м ткани рубашки. На каждое платье шло 4 м, на каждую рубашку - 3 м. Чего сшито больше – платьев или рубашек и во сколько раз? Задача 2. Грузовик прошел 200 км за 5 ч, после чего ему осталось пройти 100 км. Сколько времени потребуется грузовику, чтобы пройти оставшуюся часть пути, если его скорость увеличить на 10 км \ ч? Задача 3. Для дома отдыха купили 2 телевизора и 4 радиоприемника. За все уплатили 756 р. Цена телевизора 270 р. Сколько стоит радиоприемник? 2 вариант. Задача 1. На товарную станцию прибыло два состава с бревнами. В одном из них было 37 платформ, а в другом на 4 больше. Разгрузили 60 платформ. Сколько еще платформ осталось разгрузить? Задача 2. В первый день магазин продал 8 одинаковых портфелей и получил за них 32 р. Во второй день было продано 6 таких портфелей. Сколько денег получили за портфели за два дня? Задача 3. В одном лагере отдыхало 346 школьников, в другом на 80 школьников меньше, чем в первом лагере, а в третьем лагере – на 329 меньше, чем в первом и втором вместе. Сколько школьников отдыхало в третьем лагере? 3 вариант. Задача 1. У хозяйки было 50 р. Она купила 3 кг яблок по 8 р. за 1 кг и 2 кг помидор по той же цене. Сколько денег осталось у хозяйки? Задача 2. Школьники собрали с одного участка 504 кг моркови, а с другого в 3 раза меньше. Израсходовали 1/3 всей собранной моркови. Сколько килограммов моркови израсходовали? Задача 3. В школьной библиотеке в одном шкафу 160 книг, в другом на 70 книг меньше, а в третьем столько, сколько в первом и втором вместе. Сколько книг в третьем шкафу? 4 вариант. Задача 1. На корм для кур за месяц израсходовали 30 кг зерна, а для уток 40 кг. На одну курицу расходовали в месяц 3 кг зерна, а на одну утку 5 кг. На сколько больше было кур, чем уток? Задача 2. Ученик купил 15 тетрадей по 3 р. и дневник за 17 р. Сколько денег заплатил ученик? Задача 3. В июне в санатории было 158 рыбаков с Дальнего Востока, в июле на 36 человек больше, а в августе на 217 человек больше чем в июле. Сколько всего рыбаков отдохнуло в санатории за эти три месяца? 5 вариант. Задача 1. У мальчика было 58 р. Он купил 4 конверта по 7 р., а на остальные деньги несколько открыток по 5 р. сколько открыток купил мальчик? Задача 2. Турист шел сначала 2 часа пешком со скоростью 4 км \ ч, потом ехал на автобусе, проезжая каждый час на 20 км больше, чем он проходил пешком . Какой путь проделал турист за день? Задача 3. В первый день магазин продал 65 м ткани, во второй на 45 м больше, чем в первый, а в третий день столько, сколько в первый и во второй дни вместе. Сколько метров ткани продал магазин в третий день? Задание 5. Перечислить приемы работы над усвоением текста задачи № 3 (см. задачи задания 4) Задание 6. Определить, в какой из данных задач вашего варианта (см. задание 4) неудобно начинать разбор способом «От вопроса». Ответ обосновать. Привести разбор этой задачи способом от данных в форме рассуждения. Задание 7. Записать решение одной из задач (см. задание 4, задачи вашего варианта) каллиграфическим почерком по действиям, запись другой задачи оформить с вопросами. Решение третьей задачи записать без вопросов и без пояснений. Задание 8. Описать деятельность учащихся на всех этапах решения задачи: «В кинотеатре 300 мест. Сколько мест осталось свободными, если продано 90 билетов для взрослых, а для детей в 2 раза больше?» Выбор приемов обосновать. Задание 9. Решить ниже данную задачу шестью арифметическими способами: (привести решение запишите с вопросами). Задача. Нужно перевести 540 т угля на трех машинах. За сколько дней это можно сделать, если на каждую машину грузить по 3 т и делать по 5 поездок в день? Задания для самоподготовки Проанализировать программу и УМК по любой образовательной системе и составить последовательность изучения задач на движение. 3.______________________ 23. Решите задачу алгебраическим методом: «Мама купила 3 килограмма овощей по 80 руб. за кг и 2 килограмма фруктов по той же цене. У нее было 600 рублей, сколько денег у нее осталось после покупки? 24. Запишите последовательность вопросов для анализа простой задачи на зависимость между величинами: 1.__________________________ 2.__________________________ 3.__________________________ 4.__________________________ 25. Сколько нужно заплатить за 5 кукол по цене 30 рублей за куклу? Обоснуй выбор действия для решения данной задачи. 17. Тест по теме: «Формирование умения решать задачи» 1 вариант 1.. Запиши номер этапа формирования умения решать задачи на движение и букву задания, соответствующего этому этапу. 1. Выделение объектов движения и величин, характеризующих движение А. Пешеход проходит 4 км в час, а велосипедист проезжает в 3 раза больше. На сколько километров в час больше проезжает велосипедист, чем проходит пешеход? 2. Знакомство с моделированием разных видов движения и единицами измерения величин Автотуристы в первый день были в пути 6 часов и проехали 360 км, во второй день они двигались с такой же скоростью и были в пути 4 часа. Сколько км они прошли за второй день? 3. Решение задач с использованием значений одной величины В.) «Показ и объяснение построения рисунка по тексту «Мальчики вышли из дома и направились в магазины, которые находились по разные стороны от дома» 4. Решение простых задач на зависимость между величинами Г. Дети рисуют перекресток, отмечают объекты числами и готовятся рассказать с помощью своего рисунка о движении на перекрестке. 5. Решение составных типовых задач на зависимость между величинами.  Д. Расстояние между городом и зимовкой 150 км. Из города к зимовке выехали аэросани со средней скоростью 60 км/ч. В это же время навстречу им из зимовки по той же дороге вышел лыжник со средней скоростью 15 км/ч. На каком расстоянии от зимовки он встретил аэросани? 6 Введение понятий «скорость сближения и скорость удаления» Е. Пешеход, двигаясь со скоростью 5 км в час, прошел 15 км. Как долго он был в пути? Ответ: 1 задание: 1 г, 2 в, 3 а, 4. е, 5. а, 6 д 2. Реши задачу разными способами (найди наибольшее число способов) «Из двух пунктов А и В расстояние между которыми 4000 км, вылетели одновременно, навстречу друг другу два вертолета и встретились через 4 часа. Скорость одного из них на 120 км больше другого. Определите скорость каждого вертолета.» ______________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ _______________________________________________________________ ________________________________________________________________ 3. Решите задачу разными способами, запишите план решения каждым способом: «Из поселка одновременно в противоположных направлениях выехали два автомобиля. Скорость одного из них- 60 км\ч, скорость другого- 72 км\ч. На каком расстоянии друг от друга находились автомобили через 3 часа?» ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ 4. Укажите, какими способами можно оформить запись решения предыдущей задачи. ___________________________________________________________ ____________________________________________________________ 5. Укажите виды простых задач, входящих в данную задачу. _______________________________________________________________ ______________________________________________________________ _____________________________________________________________ ______________________________________________________________ 6. Выполните обратный анализ задачи и представьте его в виде блок схемы 7. Запишите формулу нахождения скорости удаления при противоположно направленном движении. _____________________________________________________________ 8. Запишите систему вопросов для повторения и анализа простой задачи на зависимость между величинами. _______________________________________________________________ _____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 9. Перечислите методы решения задачи, используемые в курсе математики начальных классах: _______________________________________________________________ __________________________________________________________________ 10. Перечислите этапы работы над задачей: 11. Перечислите этапы решения задачи алгебраическим методом _____________________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ Тест по теме: «Формирование умения решать задачи» 2 вариант 1. Установи правильную последовательность этапов формирования умения решать задачи на движение. 1.Выделение объектов движения и величин, характеризующих движение 2. Введение понятий «скорость сближения и скорость удаления» 3. Решение простых задач на зависимость между величинами 4. Знакомство с моделированием разных видов движения и единицами измерения величин 5. Решение простых и составных задач с использованием значений одной величины 6. Решение составных типовых задач на зависимость между величинами. __________________________________________________ Ответ: 1 задание: 1-1, 2-4, 3-5, 4-3, 5-6, 6-2. 2. Реши задачу разными способами (найди наибольшее число способов) «Из двух пунктов А и В расстояние между которыми 4000 км, вылетели одновременно, навстречу друг другу два вертолета и встретились через 4 часа. Скорость одного из них на 120 км больше другого. Определите скорость каждого вертолета.» _____________________________________________________ _____________________________________________________________ ______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. Решите задачу разными способами, запишите план решения каждым способом: «Из двух городов, расстояние между которыми 125 км выехали одновременно в противоположных направлениях два мотоциклиста . Скорость одного из них- 60 км\ч, скорость другого- 72 км\ч на каком расстоянии друг от друга находились мотоциклисты через 5 часов?» ______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. Укажите, какими способами можно оформить запись решения задачи. ________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 5. Укажите виды простых задач, входящих в задачу №3. ________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 6. Выполните обратный анализ задачи №3 и представьте его в виде блок схемы. 7. Запишите формулу нахождения скорости сближения при однонаправленном движении. _________________________________________________________________ 8. Запишите систему вопросов для повторения и анализа простой задачи на зависимость между величинами. _________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 9. Перечислите виды проверки правильности решения задачи: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 10. Перечислите этапы работы над задачей: __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ 11. Перечислите виды моделей, с помощью которых можно представить текст задачи. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 18. Тестовые задания по теме №7 1. Перечислите этапы работы над задачей: 2. Составь текст задачи по схемам. ( : ) – ( : ) = ( · ) – ( · ) = 3. Перечислите виды моделей, с помощью которых можно представить текст задачи. 4. Назови вид задачи. Запишите вопросы соответствующие прямому анализу задачи «Купили 12 больших елочных шаров и 16 маленьких. Цена маленького елочного шара равна 6 рублям за штуку. Какова цена большого елочного шара, если стоимость больших и маленьких шаров одинакова? 5. Перечислите требования, которые предъявляются к чтению текста задачи. 6. Выпишите в разные столбики номера задач так, чтобы: в первом столбике были задачи, где осуществлены все существенные признаки во втором столбике задачи, где нарушен один из существенных признаков простой задачи, в третьем столбике задачи, где нарушено два существенных признака. ◦ У Димы в журнале стоит 2 отметки, а у Зои на 2 отметки больше, чем у Димы. Сколько всего отметок у ребят вместе? ◦ У Кати 3 астры, а у Лены 5 гвоздик. Сколько всего цветов у девочек? ◦ У Васи 4 шара, а у Пети на 2 шара больше, чем у Коли. Сколько всего шаров у Пети? ◦ У Даши 8 картинок из журнала, а у Маши на 3 картинки больше, чем у Зои. Сколько картинок у Даши и Маши вместе? ◦ В автобусе ехало 3 мальчика и 2 девочки. На остановке несколько мальчиков вышло. Сколько всего ребят ехало в автобусе? 7. Перечисли обобщенные умения решать задачи 8. Перечисли способы проверки правильности решения задачи 9. Запишите вопросы соответствующие прямому анализу задачи: «Сколько надо уплатить за пирожки с капустой ценой по 3 рубля за штуку, если за столько же пирожков с мясом уплатили 72 рубля, а их цена в 6 раз больше, чем цена пирожков с капустой? 10. Перечислите виды моделей, с помощью которых можно представить текст задачи. 11. Перечисли способы записи решения задачи. 12. Можно ли данные рассказы назвать задачей? (Ответы запиши внизу, под номером каждой задачи) • В корзине лежали 3 белых гриба и 2 рыжика. • В библиотеке были книги для взрослых и детей. Сколько всего книг было в библиотеке? • На тарелке лежало 5 пирожков, 3 пирожка съели. Сколько всего плодовых деревьев посадили школьники? • В вазе лежало 6 яблок. Дети съели 3 яблока. Сколько груш осталось лежать в вазе? 13. Напишите, какой существенный признак простой задачи не выполняется в каждом из текстов, которые не являются простой задачей: Почему? 1 з. 2 з. 3 з. 4 з. 14. Выпиши в разные столбики номера задач так, чтобы: в первом столбике были задачи, где осуществлены все существенные признаки во втором столбике задачи, где нарушен один из существенных признаков простой задачи, в третьем столбике задачи, где нарушено два существенных признака. • У Димы в журнале стоит 2 отметки, а у Зои на 2 отметки больше, чем у Димы. Сколько всего отметок у ребят вместе? • У Кати 3 астры, а у Лены 5 гвоздик. Сколько всего цветов у девочек? • У Васи 4 шара, а у Пети на 2 шара больше, чем у Коли. Сколько всего шаров у Пети? • У Даши 8 картинок из журнала, а у Маши на 3 картинки больше, чем у Зои. Сколько картинок у Даши и Маши вместе? • В автобусе ехало 3 мальчика и 2 девочки. На остановке несколько мальчиков вышло. Сколько всего ребят ехало в автобусе? 15. Можно ли данный текст назвать задачей? У Лены было 8 конфет, а у Пети на 2 конфеты меньше. Как чувствовал себя при этом Петя? Напишите, при отработке какого существенного признака простой задачи вы будете предлагать такие задания. 16. Правильно ли приведен пример простой задачи? У Симы и у Димы есть игрушки. У Симы 2 грузовика, а у Димы 5 самолетов. Сколько всего игрушек у ребят? Обоснуй свой ответ:___________________________________ ______________________________________________ С какой целью можно предложить подобное задание ученикам? ______________________________________________ 17. Выпиши в разные столбики номера задач так, чтобы: • в первом столбике были задачи, где выполнены все существенные признаки. во втором столбике задачи, где нарушен один из существенных признаков простой задачи, в третьем столбике задачи, где нарушено два существенных признака. ◦ У Димы в журнале стоит 2 отметки, а у Зои на 2 отметки больше, чем у Димы. Сколько всего отметок у ребят вместе? ◦ У Кати 3 астры, а у Лены 5 гвоздик. Сколько всего цветов у девочек? ◦ У Васи 4 шара, а у Пети на 2 шара больше, чем у Коли. Сколько всего шаров у Пети? ◦ У Даши 8 картинок из журнала, а у Маши на 3 картинки больше, чем у Зои. Сколько картинок у Даши и Маши вместе? ◦ В автобусе ехало 3 мальчика и 2 девочки. На остановке несколько мальчиков вышло. Сколько всего ребят ехало в автобусе? 18. На какие группы можно распределить данные тексты? Запиши основание для классификации и осуществи разбиение, записав в каждую группу только номер текста. • У Лены было 2 щенка, она еще принесла одного щенка. Как при этом чувствовала себя мама? • У Васи и Лены были цветы, они подарили их маме, сестренке и бабушке. И у них остался всего один цветок. • В вазе было 10 яблок. Ребята взяли из нее 6 яблок. Сколько всего яблок осталось? • У Зины 3 конфеты, у Гали на 3 больше, чем у Зины. Сколько всего конфет у девочек? Какие знания необходимы для выполнения этого задания? 19. Придумай и запиши такое задание, где необходимо было бы осуществить классификацию задач по признаку – «Наличие двух неизвестных чисел и одного неизвестного». ___________________________________________________ ___________________________________________________ 20. Назови подходы к формированию понятия «составная задача»: • • • 21. Реши задачу разными способами. На один склад доставили в 24 вагонах 768 тонн минеральных удобрений. Сколько тонн удобрений привезли на другой склад, если туда привезли 12 таких же вагонов? 1 способ:……………………………………………………… 2 способ………………………………………………………. 22. Перечислите этапы решения задачи алгебраическим методом: 1.______________________ 2.______________________ 19. Задания для контрольной работы. Напишите планы-конспекты следующих уроков (каждому – а, в и еще один из б, г, д – по выбору). а) Тема: обучение решению задач на пропорциональное деление. Цель: подвести учащихся к самостоятельному нахождению приема решения задач нового для них вида. б) Тема: обучение решению задач на пропорциональное деление (с величинами: цена, количество, стоимость). Цель: научить решать обратные задачи способом обратного приведения к единице, устанавливать связь между условием задачи и способом решения, записывать решение в виде выражения. в) Тема: обучение решению задач на нахождение неизвестного по двум разностям. Цель: подвести учащихся к самостоятельному открытию способа решения задач нового вида. г) Тема: обучение решению задач на пропорциональное деление и нахождение неизвестного по двум разностям. Цель: на основе сопоставления двух видов задач научить видеть в них сходство и различие. д) Тема: обучение решению задач на пропорциональное деление и нахождение неизвестного по двум разностям (с величинами: масса одного предмета, количество, общая масса). Цель: научить устанавливать между условием задачи и способом ее решения, находить сходство и различие в задачах этих видов.