Теория и технологии формирования вычислительных навыков и умений

Раздел № 2.1. Теория и технологии формирования вычислительных навыков и умений Нет лабораторного занятия!!!!!!!!!! Содержание Раздел 2.2. Формирование вычислительных навыков . Содержание 1 1. Темы лекций практических и лабораторных занятий по разделу 2 2.Требования к знаниям и умениям студентов по разделу 2 3. План материалов к лекциям и практическим занятиям по разделу. 2 4. Материалы к лекциям и практическим занятиям по разделу 3 5. Литература к разделу 23 6. Контрольные вопросы 24 7. Цели и структура практических занятий 25 8. Содержание практического занятия № 2.2.1. «Изучение приемов вычислений для чисел первого десятка» 25 9. Содержание практического занятия № 2.2.2. «Табличные случаи умножения и деления» 26 10. Содержание практического занятия № 2.2.3. Подходы к изучению устных вычислительных приемов 28 11. Содержание практического занятия № 2.2.4 и №2.2.5. Подходы к изучению письменных вычислительных приемов 30 12. Тестовый материал по изученной теме 32 13. Итоговое тестирование по теме «Обучение вычислениям в начальной школе» 1-ый варианта 35 14. Итоговое тестирование по теме «Обучение вычислениям в начальной школе» 2-ой вариант 36 1.Темы лекций практических и лабораторных занятий по разделу Раздел №6.Теория и технология формирования вычислительных навыков и умений 8\ 10\ 4. № Темы лекций 8ч. Практические 10ч Лабораторные– (0ч.) 4-ч. Л6.1 Формирование смысла арифметических действий 2 Пр6.1. Изучение приемов вычислений для чисел первого десятка» 2 . Лаб. 6.2.Формирование навыка табличных вычислений 4 Л. 6..2.+ Л. 6.3. Общие сведения о о формировании письменных и устных вычислений 4 Пр.6.2. Табличные случаи умножения и деления 2 Л.6.4. Подходы к изучению табличных вычислений 2 Пр.6.3. Подходы к изучению устных вычислительных приемов 2 Пр.6.4.и 6.5 Подходы к изучению письменных вычислительных приемов 4 2.Требования к знаниям и умениям студентов по разделу Знать: - содержание и особенности построения курса математики; - основные подходы к обучению и развитию младших школьников в математической деятельности; - оснащение учебного процесса в начальной школе. Уметь: - анализировать содержание темы; - разрабатывать соответствующие теме дидактические упражнения, подбирать дидактические игры; - предвидеть возможные ошибки и затруднения младших школьников; осуществлять усвоение школьниками таблиц сложения, вычитания, умножения, деления; Владеть - технологией формирования устных и письменных вычислительных умений; - диагностикой определения уровня сформированности вычислений у каждого школьника. -технологиями раскрытия темы в различных образовательных технологиях 3.План краткого содержания раздела 1. Формирование смысла арифметических действий 2. Общие сведения о формировании письменных и устных вычислений 3. Характеристика понятия» вычислительный прием», виды вычислительных приемов 4. Вычислительный навык и его качества 5. Формирование вычислительных навыков: табличные случаи вычисления 4.Краткое содержание вопросов плана 1. Формирование смысла арифметических действий В начальной школе изучают четыре арифметических действия: в 1 классе дети знакомятся с действиями первой ступени: сложением и вычитанием, во 2 — с действиями второй ступени: умножением и делением В математике существует несколько подходов к определению данных действий на множестве целых неотрицательных чисел: теоретико-множественный, аксиоматический и через измерение величин. В существующих образовательных системах для ознакомления детей со смыслом сложения и вычитания используют теоретико-множественный подход, поскольку он позволяет представить смысл арифметических действий через предметные ситуации, смысл которых легко воспринимается детьми младшего школьного возраста. При теоретико-множественном подходе операции сложения и вычитания на множестве целых неотрицательных чисел определяются через операции над множествами и трактуются следующим образом. Если даны непересекающиеся множества А и В, такие, что n (A) = a, n (B) = b, то сложением называют операцию по отысканию численности объединения множеств А или В, а значением суммы чисел а и b называют численность объединения данных множеств А и В т.е. a + b= n (A) + n (B) = n (A объединения B). Если множества А и В, такие, что множество В включается в множество А и n (A) = a, n (B) = b, то вычитанием называют действие, с помощью которого находят численность дополнения к множеству В до множества А, а значением разности чисел а и b называют численность этого дополнения или численность разности множеств А и В, т.е. a-b= n (A) - n (B) = n (A/B), где В включается в А При изучении этого вопроса дети должны знать: название компонентов и результата действий сложения и вычитания, название выражений со знаками плюс и минус, способы чтения этих выражений. Уметь: моделировать практические ситуации, соответствующие действиям сложения и вычитания. Переводить практические ситуации на язык математики и записывать их в виде символической записи. Читать математические записи разными способами. Находить значение математических выражений на сложение и вычитание. Методическая интерпретация теоретико-множественного подхода к изучению данного материала в альтернативных образовательных системах обучения различна, и зависит от концепций, положенных в основу каждой технологии, предпочтений автора в выборе упражнений для моделирования практических ситуаций, объема вводимых понятий. Все это неизбежно ведет к различиям в системе заданий, с помощью которых учащиеся усваивают смысл арифметических действий, последовательности введения понятий и к различиям в используемых методах обучения. С теоретико-множественной точки зрения сложению соответствуют следующие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов): • объединение элементов двух совокупностей, • увеличение на несколько элементов данной совокупности, • увеличение на несколько элементов совокупности, сравниваемой с данной. Вычитанию соответствуют следующие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов): • удаление правильной части из данного множества, • уменьшение на несколько элементов данной совокупности, • уменьшение на несколько элементов совокупности, сравниваемой с данной, • разностное сравнение двух совокупностей. Последовательность изучения должна соответствовать логике математической трактовки понятия, возрастным особенностям детей и осуществляется в следующем порядке. 1. Обучение моделированию всем выше названным ситуациям, сначала на предметных моделях (правильное представление их со слов учителя, показ руками, как процесса, так и результата предметного действия), затем словесная их характеристика и изображение на графических моделях. 2. Знакомство со знаками действий и символической записью выражений, составленных с этими знаками действий. Закрепление этих знаний осуществляется через совокупность заданий следующего характера: а.) На соотнесение ситуации и выражения (подбери выражение к данной ситуации или измени ситуацию в соответствии с выражением). Ситуация может быть изображена на картинке, нарисована на доске, смоделирована на фланелеграфе, представлена в виде графической схемы; б.) На составление выражений по ситуациям (составь выражение, соответствующее ситуации); в.) На конструирование ситуации по заданному выражению. 3. После того, как дети научатся правильно выбирать знак действия в выражении, соответствующем данной ситуации и объяснять выбор действия, переходят к составлению равенства и фиксированию результата действия. Позже дети знакомятся с понятием «математическое выражение» с изучаемым знаком действия и первыми способами чтения этих выражений. Например, в учебниках даются следующие пояснения: Выражение вида 3 + 5 называют суммой. Числа 3 и 5 в этой записи называют слагаемыми. Запись вида 3 + 5 = 8 называют равенством. Число 8 называют значением выражения. Поскольку число 8 в данном случае получено в результате суммирования, его называют значением суммы. Во всех образовательных технологиях процесс введения соответствует выше представленной последовательности. В тоже время, один учебник отличается от другого: 1. Последовательностью введения арифметических действий. В учебниках математики (М. И. Моро и др., Л.Г. Петерсон, Д.Е. Демидовой, С.А. Козловой, А.П. Тонких и др.) действия сложения и вычитания изучаются одновременно. В других учебниках (И.И. Аргинской, Н.Б. Истоминой) сначала изучается сложение, а затем — вычитание. 2. Ситуациями, предлагаемыми для рассмотрения и их графическим изображением. 3. Временем, отводимым на изучение данных действий, через практические ситуации. В учебниках М. И. Моро и др., Л.Г. Петерсон, Д.Е. Демидовой, С.А. Козловой, А.П. Тонких и др через два - три урока после рассмотрения смысла арифметических действий сложения или вычитания через практические ситуации, рассматривают задачи, решаемые действиями сложения и вычитания. Это позволяет расширить сферу применения данных действий. В учебниках Н.Б. Истоминой, понятие «задача» вводится только во втором классе, поэтому достаточно долгое время смысл этих действий рассматривается через практические ситуации. Как объясняет автор данной технологии, такой подход к изучению материала, позволяет детально отрабатывать названия компонентов при сложении и вычитании, разные формы моделирования данных ситуаций, вычислительные навыки. Например, Н.Б. Истомина активно использует задания, требующие распознавания компонентов действий и употребления их названий в речи. С этой целью она предлагает задания следующего типа: • Среди данных выражений найдите те, в которых первое слагаемое (уменьшаемое, вычитаемое) равно 4: 4 + 2; 7 - 4; 6 + 4; 8 + 1; 4 + 5; 4 - 2; 7 - 4; 4 + 4; 4 - 1. | • Составьте выражение, в котором второе слагаемое (уменьшаемое, вычитаемое) равно 2. Найдите его значение. • Выберите выражения, в которых значение суммы равно 7. Подчеркните их красным цветом. Выберите выражения, в которых значение разности равно 2. Подчеркните их, синим цветом. • Как называют число 3 в выражении 8 — 3? Как называют число 8? Найдите значение разности. Составьте другой пример, в котором значение разности равно тому же числу. • Уменьшаемое 8, вычитаемое 3. Найдите значение разности. • Запишите разность чисел 9 и 7. Назовите уменьшаемое, вычитаемое. Вычислите значение разности. Следует отметить, что во всех образовательных системах используется и аксиоматический подход к определению действия вычитания, при котором вычитание трактуется как действие обратное сложению. В этом направлении предлагаются различные методические решения. Так в ОС «Школа 2100» уже при введении числа 3 вводятся понятия «Часть и целое». Далее при изучении любого числа в пределах 10-ти и его состава, закрепляются эти понятия. Каждое число рассматривается как целое, которое можно составить из различных частей. Например, 5= 1+4, 5=2+3 и т.д. С опорой на предметные модели дети устанавливают связь между действиями сложения и вычитания: 4+1=5 5-1=4 5-4=1. В процессе наблюдений за частными случаями дети подводятся к выводу, что при сложении частей, получаем целое, если из целого вычесть одну его часть, то получим другую часть целого. Таким образом, вычитание вводится как действие необходимое для нахождения части числа. Знакомство со смыслом действия умножения. Определение. Если а,в – целые неотрицательные числа, то произведением а*в называется число, удовлетворяющее следующим условиям: 1.) а*в = а+а+а+а…..а+а (а повторяется в раз), если в больше 1; 2.) а*в=а, если в=1; 3.) а*в=0, если в=0 Анализ определения показывает, что осознание смысла умножения предполагает отработку следующих умений: • Среди выражений содержащих знак сложения выделять те, которые содержат одинаковые слагаемые. • Заменять выражение, содержащее сложение одинаковых слагаемых выражением, содержащим знак умножения. • Находить значение простого выражения со знаком умножения через замену его выражением на сложение одинаковых слагаемых. • Находить результат умножения в том случае, когда один из множителей равен нулю или единице. Первое умение в различных образовательных технологиях формируется через небольшое число заданий, где требуется составить выражения на сложение одинаковых слагаемых по картинке, либо описать особенность этих выражений словесно, выделив, что в них складывают одинаковые слагаемые, либо произвести классификацию данных выражений, где в одну из групп попадут выражения на сложение одинаковых слагаемых. На наш взгляд, необходимо расширить число таких упражнений и насытить их информационно. Например, полезно уже на этом этапе задавать вопросы, которые затем лягут в основу замены выражений, содержащих одинаковые слагаемые в выражения со знаком умножения. (Какое слагаемое в выражении повторяется? Сколько раз повторяется слагаемое в сумме?) Кроме того, полезно варьировать сами слагаемые, представлять их, либо в виде суммы или разности, либо обозначать буквами. ( Например, «(4+3) + (4+3) + (4+3) + (4+3)», или «в+в+в+в+в»). Наиболее последовательно это умение отрабатывается в учебниках Н.Б. Истоминой. Прежде чем отрабатывать второе и третье умение, детям сообщается ориентировочная основа этого действия. Чаще всего она вводится по соглашению. Детям сообщается, как необходимо осуществлять процесс замены выражений, содержащих одинаковые слагаемые, выражениями со знаком умножения, что при этом обозначает первое и второе число в выражении со знаком умножения, даются первые формулировки чтения таких выражений. Работая с учебником, дети могут ознакомиться с определением действия умножения. В разных образовательных программах это делается по-разному. Например, «Умножением называют сложение одинаковых слагаемых» (М.И. Моро и др.) «Если слагаемые равны между собой, то сложение можно заменить другим действием - умножения» (И.И. Аргинская, с. 69, учебник 2001 года) «Если все слагаемые в сумме одинаковые, то действие сложения можно заменить действием умножения». (Т.Е. Демидова и др. с. 48, 2 часть, учебник 2006 года) Заметим, что данные определения способствуют возникновению ошибок такого характера (2+2+2+2+2= 2*2*2*2*2) – ученик в соответствии с определением заменяет сложение умножением. Корректнее вывод сделать так: ««Если все слагаемые в сумме одинаковые, то выражение на сложение одинаковых слагаемых можно заменить простым выражением со знаком умножения, где первое число показывает, какое слагаемое складывали, а второе – сколько раз это слагаемое складывали». Закрепляется этот материал через совокупность упражнений следующих видов: • на выделение признаков сходства и различия составных выражений на сложение, где присутствуют и выражения на сложение одинаковых слагаемых; • на соотнесение рисунка и числового выражения на умножение или сложение одинаковых слагаемых; • на запись числового выражения под заданным рисунком; • на выбор числового выражения, соответствующего рисунку; • на замену произведения суммой одинаковых слагаемых и суммы одинаковых слагаемых произведением; • на сравнение числовых выражений; • на чтение простых выражений со знаком умножения разными формулировками; • на вычисление значений выражений на умножение путем преобразования их в составные выражения на сложение одинаковых слагаемых. Действие умножения может быть введено не только через практическую ситуацию, но и через задачу. В этом случае последовательность действий учителя может быть таковой: 1. Детям предлагается задача с заведомо нелаконичным текстом: «Саша нарисовал сначала 2 шарика, затем еще 2 шарика, потом еще 2 шарика и еще 2 шарика и еще 2 шарика. Сколько всего шариков нарисовал Саша? » 2. Записывается решение задачи в виде выражения, вычислив значение которого можно ответить на вопрос задачи. (2+2+2+2+2=10 (ш.)) 3. Проводится беседа о возможности преобразования текста задачи. -Понравился ли вам текст задачи? - Нет. - Можно ли его сказать короче? – Да. 4. Преобразуется текст задачи. -По сколько шариков рисовал Саша каждый раз? – По 2 шарика. -Сколько раз он нарисовал по 2 шарика? -5 раз. -Скажите текст задачи короче. «Саша нарисовал 5 раз по 2 шарика. Сколько всего шариков нарисовал Саша?» 5. Сообщается, что эту задачу можно решить с помощью нового математического действия - умножения. Записывается выражение со знаком умножения (по 2 шарика взять 5 раз. (2*5)). Устанавливается, что решалась одна и та же задача, но решение записано разными выражениями. В этом случае можно утверждать, что данные выражения равны, т.е. 2+2+2+2+2 = 2*5 Далее проводится такая же работа, как и в предыдущем случае. На наш взгляд оба эти подходы должны дополнять друг друга, поскольку отсутствие второго подхода вызывает у детей затруднения в установлении особенностей задач на нахождение значения произведения и в выборе действия при решении таких задач. Умножение с нулем и единицей рассматривается в виде четырех постулатов (правил, которые необходимо запомнить): 1*а=а; 0*а=0, затем, а*1=а и а*0=0. Первые два из них выводятся через практическую ситуацию или через выражение на сложение одинаковых слагаемых (в первом случае слагаемым будет 1, во втором, число 0) с опорой на смысл действия умножения. Например, детям предлагается выражение 1+1+1+1+1+1 (для нуля: 0+0+0+0+0+0). Поскольку складывают одинаковые слагаемые, то это выражение заменяют простым выражением на умножение: 1+1+1+1+1+1 = 1*6 (0+0+0+0+0+0 =0*6). Выполнив несколько таких заданий, дети подводятся к выводу: 1*а=а, соответственно 0*а=0. Значения двух вторых выражений получают из первых, применив переместительное свойство произведения: 1*а=а*1= а, соответственно: 0*а=а*0=0 Знакомство с действием деления Как мы уже подчеркивали, методика ознакомления со смыслом математических действий базируется или полностью опирается на трактовки данных действий в математике. В математике существует несколько подходов к определению действия деления. В начальных классах действие деления вводится, т.е. осуществляется первое знакомство с этим действием, с опорой на теоретико-множественный смысл этого действия, а затем дается и определение деления соответствующее аксиоматическому способу построения арифметики натуральных чисел. -С теоретико-множественной точки зрения действие деления связано с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются задачи двух видов: на отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения (задача на деление на части) и на отыскание числа таких подмножеств (задача на деление по содержанию). Определение. Если а= н(А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся подмножества и если: в – число элементов в каждом подмножестве, то частное а : в – это число таких подмножеств; в – число таких подмножеств, то частное а : в – это число элементов в каждом подмножестве. При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление определяется как операция, обратная умножению. Определение. «Делением натуральных чисел а и в называется операция, удовлетворяющая условию: а : в = с тогда и только тогда, когда в * с = а., где а : в называется частным чисел а и в, число а – делимым, число в – делителем». В начальных классах сохраняются оба подхода к определению данного действия, поскольку первый подход необходим для решения задач, т. е. он связан со смысловой частью текста задачи и помогает правильно выбрать и обосновать выбор действия, с помощью которого решается соответствующая задача. Второй подход необходим для вычисления значений выражений, в которых не ясно делят ли множество на части или по содержанию. В этом случае достаточно знать, что для нахождения значения выражения 12:2, достаточно подобрать такое число, которое при умножении на 2 даст нам число 12, это будет число 6, т.к. 6 * 2 = 12 Во всех образовательных системах вначале дети знакомятся с теоретико-множественным подходом к действию делением, а затем с аксиоматическим. Знакомство с теоретико–множественным смыслом действия деления может осуществляться двумя способами: • 1 - через решение задач; • 2 - через установление соответствия между предметными моделями и символическими записями. Рассмотрим последовательность педагогических действий при первом способе. (См. И.И. Аргинская, с.84-85, учебник 2001 года) При первом подходе последовательность педагогических действий может быть такова. 1. Дается задача на умножение. Сюжет задачи иллюстрируется на предметной модели. Записывается решение задачи. 2. Составляется задача обратная данной на деление на части. Используя иллюстрацию к первой задаче, дети находят ответ на вопрос второй задачи, опираясь на предметную модель. Затем, используя прием показа, детям сообщают, что решение такой задачи можно записать с помощью нового действия – деления. Дается образец записи и пояснения к нему, делается вывод, что задачи такого вида решают с помощью действия деления. Задачу на деление по содержанию вводят по такому же плану, но в различных технологиях это делают в разное время. В учебнике И.И. Аргинской задачу на деление по содержанию вводят, как задачу обратную к задаче на деление на части и делают это примерно, через 2 месяца, после знакомства с задачей на деление на части. (И.И. Аргинская, с.84-85, учебник 2001 года ) Авторы учебника математики Т.Е. Демидова и др. (Школа 2100) одновременно вводят задачу на деление по содержанию и задачу на деление на части, сравнивают эти задачи, находят общее и различное (в первой задаче делят поровну по 2 яблока, а во второй делят тоже поровну на 5 равных частей). При этом название задач «деление по содержанию» и «деление на части» не сообщается. В образовательной программе (Школа России) порядок введения этой темы такой же, как в системе «Школа 2100», но большое внимание уделяется практическим операциям с предметами, сообщают и название этих задач. Второй подход – аксиоматический также осуществляется двумя способами: • через изучение связи между компонентами и результатом действия умножения; • через введения понятия обратная операция, с помощью которого устанавливается взаимосвязь между действиями умножения и деления. Первый способ используется в технологии «Школа России». Приведем пример пояснения к изучению данного материала в методическом пособии к учебнику «Математика 2 класс», с 89. (Методическое пособие к учебнику «Математика 2 класс»: Пособие для учителя / М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.В. Степанова. – М.: Просвещение, 2002. – 96 с.). Для того чтобы дети могли находить результаты деления на основе знания соответствующих случаев умножения, необходимо ознакомить их со связью между произведением и множителями. С этой целью можно предложить детям рассмотреть тройку взаимосвязанных равенств: 4*2=8, 8:4=2, 8:2=4. Вспомнив названия чисел при умножении, дети читают равенства с действием деления, используя терминологию действия умножения: значение произведения 8 делим на первый множитель 4, получаем второй множитель 2 (аналогично читают второе равенство). На основе этих частных выводов ученики делают общий вывод своими словами или читают его по учебнику. Далее авторы подчеркивают, что в дальнейшем важно, чтобы при выполнении аналогичных упражнений, дети не только находили результат, но и производили пояснения: «Значение произведения чисел 4 и 3 равно 12; делю значение произведения 12 на первый множитель 4, получаю второй множитель 3; делю значение произведения 12 на второй множитель 3, получаю первый множитель 4». Анализируя такое пояснение, видим, что для детей остается неясным, как же находить результаты деления на основе знания соответствующих случаев умножения, если у нас нет рядом выражения на умножение. Разумеется, тут требуются дополнительные пояснения учителя. Второй способ наиболее последовательно и информационно насыщенно дается в программе Л. Г. Петерсон. В данной программе на одном уроке (2 класс) дети знакомятся с несколькими подходами к трактовке действия деления. Поскольку дети уже знакомы с понятиями «операция» и «обратная операция» (начало 2 класса), то для ознакомления детей с действием деления сначала используется аксиоматический подход к определению данного действия. После установления взаимосвязи между делением и умножением, которую они наблюдают, выполняя практические ситуации, дети знакомятся с выводом, данным в учебнике. «Операция деления является обратной для операции умножения. Чтобы разделить число а на число в надо подобрать такое число с, которое при умножении на в дает а или а : в = с, следовательно, с * в = а » После чего вводятся задачи на деление на части и по содержанию. Случаи деления вида а : а = 1 и а : 1 = а выводятся с опорой на взаимосвязь между действиями умножения и деления, впоследствии запоминаются. Деление вида а : 0 дается в виде постулата, который необходимо запомнить: «Делить на нуль нельзя». 2.Общие сведения о формировании письменных и устных вычислений Формирование у школьников 1-4 классов вычислительных умений и навыков традиционно считается одной из основных задач курса математики в начальной школе. В «Обязательном минимуме содержания образовательных программ» лаконично указан раздел, который должен входить в любую образовательную программу: «Устные и письменные вычисления с натуральными числами». Уровень требований к подготовке выпускников отражен в слове научиться (научиться выполнять вычисления с натуральными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, деление с остатком устно и письменно в пределах миллиона), что мы понимаем как усвоить этот раздел на уровне умений и навыков. Роль этих знаний в младшем школьном возрасте особенно значительна, поскольку, изучение многих других дидактических единиц по математике немыслимо без вычислительных умений (см. темы: «Величины, их измерение, зависимость между величинами», «Задачи» и др.); Развитие вычислительной деятельности способствует: • развитию универсальных учебных действий, которые проявляются в умении планировать деятельность в соответствии с поставленной задачей, умения осознавать не только результат своей деятельности, но и сам процесс этой деятельности, понимать зависимость результата от характера процесса деятельности; • влияет на формирование гибкости, рациональность мышления, умение осуществлять анализ ситуации и отбирать рациональные средства для ее решения; • формирует умение моделировать действие. По способу производства действий вычисления делятся на три вида: устные, письменные и полуписьменные. Устные вычисления выполняются мысленно, совсем без записи чисел или с записью данных и результата в строчку. При этом сами вычисления выполняются разными способами и начинаются с единиц высшего разряда. Устные вычисления в процессе усвоения могут быть доведены до уровня навыка. Вычисления протекают в форме автоматизированного (неосознаваемого) психического регулирования, а обращение к развернутому алгоритму выполнения действия происходит только в случаях затруднений или по требованию учителя, желающего проверить степень осознанности выполняемого действия или для осуществления контроля за выполняемым действием. Письменные вычисления характеризуются тем, что в процессе вычислений производится запись, как результата действия, так и промежуточных операций, которая имеет особую форму «в столбик». Вычисления выполняются по установленным правилам (алгоритмам) и начинаются с единиц низших разрядов (кроме деления). Письменные вычисления формируются на уровне умений и выполняются с опорой на усвоенный алгоритм действия, который постепенно сокращается, приобретая некоторые операциональные характеристики, но усвоенный алгоритм всегда остается регулирующей основой вычислительного действия. Полуписьменные вычисления характеризуются частичным использованием признаков устных и письменных вычислений и чаще всего используются в особых приемах вычислений 328 · 25 = 328 · 100 : 4 = 328 : 4 · 100 = 8200 К полуписьменным вычислениям относят и деление в столбик, поскольку этот вид вычислений обладает признаками письменных и устных вычислений. Устные вычисления в свою очередь делятся на табличные и внетабличные. К табличным вычислениям относят все случаи выполнения сложения и умножения с однозначными числами и соответствующие им случаи вычитания и деления. К устным внетабличным вычислениям относят все случаи вычислений в пределах сотни, кроме табличных и сводимые к ним вычисления с многозначными числами. Обучение вычислениям происходит через усвоение алгоритма вычислительного приема. Элементами теоретических знаний, с которыми встречаются школьники начальных классов при изучении математики, являются алгоритмы. Понятие «алгоритм» является основным, неопределяемым. Сущность его на содержательно-интуитивном уровне может быть описана следующим образом: алгоритм - понятное предписание, указывающее, какие операции, и в какой последовательности необходимо выполнить с данными, чтобы решить любую задачу данного типа. Известно, что алгоритм обладает свойствами массовости, элементарности и дискретности шагов, детерминированности и результативности. Свойство массовости предполагает, что с помощью данного алгоритма могут быть решены все задачи определенного типа. Перечисленные свойства являются характеристическими свойствами понятия «алгоритм». Всякий алгоритм описывает общий метод решения класса однотипных задач, т. е. алгоритм является формой выражения этого метода. Для описания общего метода решения класса однотипных задач в школе также часто используются правила. Правило представляет собой «свернутый» алгоритм. Отдельные шаги его являются блоками (системами операций в «сжатом» виде); некоторые операции, необходимые на начальном этапе формирования метода, вообще не содержатся в формулировке правила. Правила в учебниках выражаются формулами и формулировками на естественном языке. Использование правил имеет ту же цель, что и использование алгоритма: формирование общих методов решения класса однотипных задач. Всякий алгоритм можно назвать правилом, но не всякое правило можно назвать алгоритмом: в формулировке правила часто четко не выделяются все шаги — оно не обладает в этом случае свойством детерминированности. Для правильной организации работы учащихся по овладению алгоритмами школьного курса математики, учителю необходимо овладеть умением выполнять логико-математический анализ алгоритмов (правил). Логический анализ алгоритмов (правил) предполагает: а) проверку наличия у данного правила характеристических свойств алгоритма; б) выделение последовательности операций и логических условий в данном правиле; в) установление связи алгоритма (правила) с другими знаниями. Математический анализ алгоритмов (правил) состоит в установлении математической основы данного правила (алгоритма), т.е. тех базовых математических положений из курса математики, которые в адаптированном к возрасту виде даются в курсе математики начальных классов (они обычно называются обосновывающими знаниями); Покажем логико-математический анализ алгоритма деления трехзначного числа на однозначное. Приведем формулировку алгоритма, изучающегося в 3 классе: Чтобы разделить трехзначное число на однозначное можно: определить число цифр в значении частного; подобрать первую цифру результата; проверить, правильно ли подобрана первая цифра в значении частного; образовать второе неполное делимое и т.д. Прежде всего, обратим внимание на выполнение характеристических свойств алгоритма. В словесной формулировке алгоритма выделены дискретные шаги, каждый из которых представляет собой операцию, ранее сформированную у школьников (например, определение числа цифр в значении частного и др.). Поэтому приведенное правило обладает свойствами дискретности и элементарности шагов. В словесной формулировке также строго указана последовательность шагов (все шаги занумерованы). Это говорит о том, что данный алгоритм обладает свойством детерминированности. Это правило обладает свойством массовости. Применяя его, можно разделить любое трехзначное число на однозначное. Нужно только иметь в виду, что данный алгоритм применяется для кратных чисел, т.е. для чисел, при делении которых деление осуществляется без остатка, что является логическим условием, определяющим область применения этого алгоритма. Наконец, применяя данное правило для кратных между собой чисел, всегда можно найти результат деления трехзначного числа на однозначное. Это значит, что данное правило обладает свойством результативности. Таким образом, заданная последовательность действий обладает всеми характеристическими свойствами алгоритма. В нем уже выделены операции и указана их последовательность. Анализ полученной схемы позволяет установить связи данного алгоритма с другими знаниями. Например, алгоритм деления трехзначного числа на однозначное предполагает знание другого алгоритма: определение числа цифр в значении частного, который, в свою очередь, состоит из двух шагов (операций): определение первого неполного делимого; установление старшего разряда в значении частного. После выполнения этих двух операций можно сделать вывод о числе цифр в значении частного. Последнее предполагает, что дети должны знать разрядный состав числа и место каждого разряда в записи числа. Кроме того, данный алгоритм предполагает знание детьми табличных и внетабличных случаев умножения и деления, прием деления с остатком, вычитание чисел в пределах ста и др. Для того чтобы выполнить математический анализ алгоритма, необходимо за операциями алгоритма увидеть их математическую основу, или, другими словами, ответить на вопрос, на основании каких математических знаний можно выполнять ту или иную операцию, входящую в алгоритм. Теоретической основой рассматриваемого алгоритма является правило деления суммы на число (следствие из распределительного свойства деления относительно сложения), поскольку изначально это правило позволяет нам представить число в виде суммы удобных слагаемых и затем, применив правило деления суммы на число, выполнить деление каждого слагаемого на делитель. Например, 535 : 5 = (500 + 35) : 5 = 500 : 5+35 : 5 = 100 + 7 = 107. Таким образом, обосновывающим знанием для рассматриваемого алгоритма является правило деления суммы на число. Логико-математический анализ алгоритма позволяет правильно осуществить отбор материала для работы с учащимися по овладению алгоритмом. Работа с учащимися по овладению алгоритмом обычно включает три основных этапа: 1) введение алгоритма; 2) усвоение алгоритма; 3) применение алгоритма, обеспечивающих восприятие, осознание и осмысление каждой операции алгоритма и последовательность их применения, свертывание процесса рассуждений, которым сопровождается усвоение алгоритма и применение сформированного умения. Охарактеризуем цель каждого из выделенных этапов: цель первого этапа — актуализация знаний, необходимых для введения и обоснования алгоритма, а также знакомство с алгоритмом; цель второго этапа — отработка операций, входящих в алгоритм, и усвоение их последовательности; цель третьего этапа — отработка алгоритма в знакомых (при варьировании исходных данных) и незнакомых ситуациях. Основным средством, используемым на различных этапах формирования алгоритма, является совокупность упражнений. Ее содержание определяется на основании логико-математического анализа конкретного алгоритма. Можно выделить и преобладающие формы работы с учащимися на разных этапах формирования алгоритма. Так, на первом этапе это устная работа на актуализацию опорных знаний. На втором этапе — письменная коллективная работа с широким использованием комментирования выполняемых действий. На третьем этапе — самостоятельная работа 3.Характеристика понятие «вычислительный прием», виды вычислительных приемов Под вычислительным приемом (ВП) понимают совокупность операций, приводящую к нахождению результата вычислений в выражениях определенного типа. Чаще всего эта совокупность операций содержит: разбивку одного из чисел на части, что приводит к получению составного выражения; применение свойства арифметического действия для изменения порядка действий в полученном составном выражении; выполнение во вновь полученном составном выражении вычислений по правилу порядка действий. Например, для вычислительного приема «вычитание двузначного числа из двузначного без перехода через разряд» развернутая запись выполнения указанных операций имеет следующий вид: 46 – 14 = 46 – (10 + 4) = (46 - 10) – 4 = 36 – 4 = 32 Полный алгоритм рассуждений, сопровождающий данную запись, включает название всех операций, входящих в вычислительный прием, в заданной последовательности и указания обоснований для применения этих операций. Например, полный алгоритм рассуждений для вышеназванного ВП 46 - 14 будет выглядеть так: 1 часть. Чтобы найти значение выражения 46 - 14 можно свести его к ранее изученным приемам вычислений, для этого можно число 14 разложить на сумму разрядных слагаемых 10 и 4 и эту сумму вычесть из числа 46. Получим составное выражение 46 – (10 + 4). 2 часть. Чтобы вычислить значение полученного составного выражения можно изменить указанный в выражении порядок действий, применяя правило вычитания числа из суммы. Удобно из 46 вычесть 10 и из полученной разности вычесть 4. Получим (46 – 10) – 4. 3 часть. Чтобы вычислить значение нового составного выражения применим правило порядка действий и применим уже известные нам случаи вычислений: из 46 вычесть 10 получится 36 и из 36 вычесть 4 получится 32. 4 часть. Значение выражения 46 – 14 равно 32. Таким образом, основным принципом, определяющим последовательность введения вычислительных приемов, следует считать сведение нового вычислительного приема к ранее изученным. Так, рассмотренный нами вычислительный прием 46–14 путем трех вышеуказанных операций был сведен к таким вычислительным приемам как 46 – 10 и 36 – 4, которые должны быть изучены ранее. Принцип сведения нового вычислительного приема к ранее изученным предполагает, что каждый ВП требует знания определенной совокупности базовых знаний, опираясь на которую можно организовать самостоятельную деятельность детей по открытию нового ВП и его осознанное усвоение. Например, изучение умножения двузначного числа на однозначное опирается на следующую совокупность базовых знаний: разрядный состав чисел; свойство умножения суммы на число; правило порядка действий; умножение круглых десятков на однозначное число; табличные случаи умножения; сложение двузначных чисел. Каждый вычислительный прием имеет название. При указании названия ВП следует сначала обратить внимание на знак действия в выражении, а затем на особенности чисел (указать их значность: однозначные, двузначные, многозначные, либо круглые десятки и т.д.). Рассмотренный нами вычислительный прием 46 – 14, следует назвать так: вычитание двузначного числа из двузначного. К сожалению, не всегда в методических указаниях к программам при ознакомлении с ВП рекомендуют давать ему полное название, тогда как только название ВП помогает учащимся отнести предложенное для вычисления выражение к тому или иному ВП и определить способ (алгоритм) его вычисления. Теоретической основой ВП могут служить свойства арифметических действий или следствия из них, с помощью которых данный вычислительный прием сводят к ранее изученным, и таким образом находят значение данного выражения. Например, для рассмотренного нами случая, теоретической основой является правило вычитания суммы из числа. Для вычислительного приема 540 · 60 – умножение трехзначного числа, оканчивающегося нулями на круглые десятки – теоретической основой может служить правило умножения числа на произведение, которое позволит свести данный вычислительный прием к ранее изученным: 540 · 6 – умножение трехзначного числа, оканчивающегося нулями на однозначное и 3240 · 10 – умножение числа на 10. 540 · 60 = 540 · (6 · 10) = (540 · 6) · 10 = 3240 · 10 = 32400 и именно этот подход фиксируется в записи при письменных вычислениях: х540 60 Один и тот же ВП может иметь несколько теоретических основ. Например, вычислительный прием 423 + 245 можно вычислить, используя сочетательное свойство сложения: 423 + 245 = 423 + (200 + 40 + 5) = ((423 + 200) + 40) + 5 = =(623 + 40) + 5 = 663 + 5 = 668 или можно при рассуждениях опираться на знание вопросов, связанных с нумерацией чисел, а именно, знание поразрядного состава чисел, тогда рассуждаем так: 423 + 245= =4 с. 2 д. 3 ед. + 2 с. 4 д. 5 ед. = (4 с. + 2 с.) + (2 д. + 4 д.) + (3 ед. + +5 ед.) = 6 с. 6 д. 8 ед. = 668. В то же время можно выделить группы приемов, имеющих одинаковую теоретическую основу, что позволяет использовать общие подходы в методике формирования соответствующих умений и навыков (см. таблицу). Таблица Устные вычислительные приемы Теоретическая основа устных вычислительных приемов а+2, а+3, а+4, а+0, 1·а, 0·а Конкретный смысл арифметических действий 2+8, 34+20, 36+4, 50-3, 8+4, 14-5, 45+7, 40+28, 56-23, 63+18, 13·5, 5·13, 81:3, 16·30 и др. Свойства арифметических действий или следствия из них 9-7, 21:3,66:20, 54:18, 8:1, 0:7 Связь между компонентами и результатом арифметических действий а+1, 10+6, 6+10, 16-10, 16-6, 57·10, 1200:100 и аналогичные им для больших чисел Вопросы нумерации чисел приемы округления чисел (46 + 19, 512 - 298) и приемы умножения и деления на 5, 25, 50, 11, 9 и др. Зависимость, указывающая на изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов а · 1, а : 1, а · 0, 0 : а Особые случаи, выполняемые на основе специально сформулированных правил. 4. Вычислительный навык и его качества Многие вычисления, изучаемые в начальных классах, должны быть сформированы на уровне навыка или вычислительного умения. Под навыком психологи понимают автоматизированные компоненты сознательного действия человека, которые вырабатываются в процессе его выполнения. Под вычислительным навыком будем понимать автоматизированное выполнение учеником вычислительного действия. Полноценно усвоенные вычислительные навыки характеризуются шестью качествами: правильностью, прочностью, осознанностью, обобщенностью, рациональностью и скоростью (автоматизацией). Качество правильности проявляется в том, что ученик верно выбирает и выполняет вычислительные операции входящие в состав действия, что позволяет ему получать верный результат. Наличие такого качества обычно устанавливается в процессе устного опроса или математического диктанта. Осознанность проявляется в том, что ученик осознает на основе каких знаний осуществляется переход от одной операции к другой, какое правило определяет порядок выполнения операций. Ученик в любой момент может объяснить как он вычислял и почему так можно находить значение выражения. Наличие данного качества можно выявить с помощью устного опроса, или специально составленных тестов. Прочность выражается в том, насколько долго удерживается в памяти вычислительный прием и не утрачивается в тот период, когда он практически не используется. Данное качество обычно проверяется в начале нового учебного года, когда учитель дает тот же математический диктант, который проводился в конце предыдущего года. Сравнив результаты можно установить, какие из вычислительных приемов усвоены прочно, а какие требуют доработки или повторения. Качество обобщенности проявляется в умении переносить известный вычислительный прием в новые условия. Обычно это можно выявить при открытии сходного вычислительного приема в новом числовом концентре. Рациональность проявляется в умении выбирать те способы вычисления, которые быстрее приводят к нахождению результата. Проверить наличие этого качества можно, предложив ученику вычислить значение выражения разными способами и выбрать из них рациональный. Автоматизм (скорость) проявляется в качественном и быстром выполнении вычислительного действия за счет свертывания операций входящих в его состав. Автоматизм (скорость) ВП проверяют с помощью специально организованных математических диктантов «на скорость» и последующим сравнением результатов выполнения работы с нормой. Наиболее распространенной теорией усвоения, на которую ориентируются большинство существующих технологий обучения является теория поэтапного формирования умственных действий (Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина). В ее основе лежит идея о принципиальной общности внутренней и внешней деятельности человека. Согласно этой идеи, умственное развитие, как и усвоение знаний, навыков и умений, происходит путем интериоризации, т.е. поэтапном переходе материальной внешней деятельности во внутренний умственный план. В результате такого перехода, действия с внешними предметами преобразуются в умственные и интериоризируются. При этом они подвергаются обобщению, вербализуются, сокращаются и становятся готовыми к дальнейшему внутреннему развитию, которое может превышать возможности внешней деятельности. Последовательность усвоения алгоритма ВП на основе теории поэтапного формирования умственных действий слагается из этапов. Предварительное знакомство с ВП, т.е. с совокупностью операций, которая является ориентировочной основой вычислительного действия (ООД). Знакомство осуществляется с помощью различных видов моделей (материальной, графической, математической) и проговаривается система условий его выполнения. Выполнение действия в материальном или материализованном виде. На данном этапе учащиеся самостоятельно в соответствии с заданием выполняют действие в развернутой материальной (оперируя реальными предметами) или материализованной (преобразовывая модели) форме. Этап внешней речи. Здесь функцию ООД выполняет речь. Учащиеся проговаривают вслух в определенной последовательности ту совокупность операций, которая входит в ВП. При этом в их сознании происходит обобщение, сокращение учебной информации, а алгоритм выполнения действия начинает автоматизироваться. Этап внутренней речи. Обучаемые проговаривают алгоритм выполняемого действия про себя. При этом делается акцент только на наиболее сложные значимые операции, что способствует дальнейшему мысленному свертыванию и обобщению алгоритма. Этап автоматизированного действия. Учащиеся автоматически выполняют вычислительное действие. Это свидетельствует о том, что действие интериоризировалось, т.е. перешло во внутренний план, и необходимость во внешней опоре отпала. Обучение вычислениям можно осуществлять, придерживаясь следующей технологии. Подготовка к восприятию Восприятие материала Осознание и осмысление Закрепление и применение 1. Перспективная подготовка к восприятию Изучение базовых для нового ВП знаний Постановка учебной задачи. Выполнение упражнений, удовлетворяющих принципам: полноты, однотипности, контрпримеров, сравнения, непрерывного повторения, вариативности. Введение ВП в систему ранее изученных знаний Отработка качеств ВН 2. Непосредственная подготовка к восприятию; актуализация опорных знаний; мотивация (проблемная ситуация). Решение учебно- исследовательской задачи; выделение общего способа действия; фиксация его в виде различных моделей Пооперационный контроль и последующая коррекция Итоговый тематический контроль Принято считать, что процесс вычислений требует только репродуктивного воспроизведения соответствующего алгоритма. Поэтому в педагогической практике преобладает такой подход, при котором обучение вычислительным приемам идет репродуктивным путем. Деятельность детей состоит во внимательном слушании учителя, выполнении практических действий по заданной инструкции или образцу, объяснении готового решения. В этих условиях вычислительные навыки формируются в результате выполнения большого числа однообразных заданий, и не приобретают необходимых качественных характеристик. При таком обучении не происходит и существенного умственного развития. Формирование полноценного вычислительного навыка должно обеспечиваться созданием ряда специальных условий. Первостепенное значение имеет систематическая работа по формированию мотивов учебной деятельности, организация поисковой, эвристической деятельности учащихся на этапе восприятия вычислительного приема, целенаправленный отбор заданий для обеспечения осознания и осмысления вновь вводимого вычислительного приема, насыщение всего процесса формирования заданиями на развитие приемов умственных действий, учет индивидуальных особенностей усвоения. При формировании вычислительных навыков необходимо исходить из того, что мышление - это активная, целенаправленная деятельность, в процессе которой осуществляется переработка имеющейся и вновь поступающей информации, отчленение внешних случайных или второстепенных ее элементов от основных или внутренних, отражающих сущность исследуемых ситуаций, раскрывается закономерная связь между ними. Задача учителя заключается в умелом руководстве этой деятельностью. Управлять - не значит подавлять, навязывать процессу мышления ход, противоречащий его природе, а, наоборот, максимально учитывать эту природу, согласовывать каждое воздействие на процесс с его логикой и особенностями усвоения учащихся. В связи с этим, оптимально подобранная совокупность заданий на каждом этапе формирования вычислительного навыка становится средством управления мышлением и практическими действиями школьников. Раскроем принципы отбора совокупности упражнений, которую полезно предлагать учащимся на этапе осознания и осмысления вычислительного приема. На этапе осознания и осмысления вычислительного приема полезно предлагать такую систему упражнений, которая удовлетворяет, по меньшей мере, следующим принципам: полноты, однотипности, контрпримеров, сравнения, вариативности и непрерывного повторения. Кратко охарактеризуем сущность каждого из указанных принципов. Реализация принципа полноты предполагает, что совокупность упражнений будет содержать задания, обеспечивающие осознанное применение всех операций, связанных с усвоением изучаемого вычислительного приема. К ним мы относим упражнения: на отбор выражений, значение которых можно находить с помощью изученного вычислительного приема; на отработку каждой операции, входящей в состав вычислительного приема; на понимание математического смысла и последовательности выполнения каждой операции входящей в состав алгоритма; на осуществление контроля и оценки выполненного вычислительного приема. Совокупность упражнений будет соответствовать принципу однотипности, если на каждую из выше перечисленных операций будет выполнено достаточное число однотипных упражнений. При этом достаточность определяется индивидуальными особенностями скорости усвоения материала каждым учеником класса. Для осознания и осмысления операции некоторым детям достаточно выполнить одно упражнение, для других, этого количества бывает недостаточно. Здесь нужно подходить дифференцированно, ориентируясь на уровень развития детей в классе и организовать работу так, чтобы одним стало понятно, а другим было интересно. Принцип контрпримеров предполагает включение в совокупность таких заданий, которые провоцируют ученика на ошибку. Умение увидеть ошибку это уже определенный уровень освоения алгоритма вычислительного приема. В связи с этим такие упражнения могут служить как для осознания и осмысления вычислительного приема, так и для диагностики уровня сформированности вычислительного приема и самоконтроля. Кроме того, такие задания дети воспринимают как своеобразную игру, с интересом включаются в диалог по обоснованию причин возникновения ошибки и правильному выполнению действия, что способствует повышению познавательной мотивации. Применение принципа сравнения предполагает включение некоторого ряда взаимосвязанных заданий, позволяющих подчеркнуть сходство и различие нового и ранее изученного вычислительных приемов. Алгоритм вычислительных приемов дает для сравнения богатейший материал. Сравнивать можно, опираясь на схематическую, математическую модель выполнения действия, на теоретическую основу вычислительного приема и другие его характеристики. В процессе формирования вычислительных навыков скрыты немалые возможности для существенного развития мышления детей путем использования заданий на сравнение, классификацию, подведение под понятие, выведения следствия из факта принадлежности объекта к понятию. Задача учителя - реализовать их в полной мере через совокупность упражнений, предполагающих использование логических приемов мышления. Принцип вариативности полезно использовать двояко: варьировать формы выполнения вычислительного приема (варьируя модели вычислительного приема, осуществляя переход от одной модели к другой) и видоизменять форму подачи заданий (используя формулировки: вычисли, допиши, прочитай разными способами, сравни, назови вычислительный прием и т. д.). Принцип непрерывного повторения предполагает включение вновь изученного вычислительного приема в контекст ранее изученного материала. Это могут быть задачи, уравнения, вычисления на нахождение значений величин и другие, ранее изученные понятия. Следует понимать, что реализация всех этих принципов вовсе не требует большого числа упражнений, разумно подбирать такие задания, выполнение которых предусматривает реализацию сразу нескольких принципов. 5. Формирование вычислительных навыков: табличные случаи вычисления Под навыком психологи понимают автоматизированные компоненты сознательного действия человека, которые вырабатываются в процессе его выполнения. Под вычислительным навыком будем понимать автоматизированное выполнение учеником вычислительного действия. Полноценно усвоенные вычислительные навыки характеризуются шестью качествами: правильностью, прочностью, осознанностью, обобщенностью, рациональностью и скоростью (автоматизацией). Качество правильности проявляется в том, что ученик, верно выбирает и выполняет вычислительные операции, входящие в состав действия, что позволяет ему получать правильный результат. Наличие такого качества обычно устанавливается в процессе устного опроса или математического диктанта. Осознанность табличных навыков проявляется в том, что ученик осознает, на основе каких знаний из основного табличного случая получаются три других. Ученик в любой момент может объяснить, как он вычислял и почему так можно находить значение выражения. Наличие данного качества можно выявить с помощью устного опроса, или специально составленных тестов. Прочность выражается в том, насколько долго удерживается в памяти вычислительный прием и не утрачивается в тот период, когда он практически не используется. Данное качество обычно проверяется в начале нового учебного года, когда учитель дает тот же математический диктант, который проводился в конце предыдущего года. Сравнив результаты можно установить, какие из вычислительных приемов усвоены прочно, а какие требуют доработки или повторения. Навыки табличных вычислений проверяются не менее двух раз в год. Качество обобщенности проявляется в умении переносить известный вычислительный прием в новые условия. При изучении табличных вычислений рациональность проявляется в переносе учеником схемы получения табличных вычислений из одной таблицы в другую, Рациональность проявляется в умении выбирать те способы вычисления, которые быстрее приводят к нахождению результата. Проверить наличие этого качества можно, предложив ученику вычислить значение выражения разными способами, выбрать из них рациональный. При изучении табличных вычислений рациональность проявляется в переносе учеником схемы получения табличных вычислений из одной таблицы в другую, в способе получения каждого следующего вычисления, содержащегося в таблице. Автоматизм (скорость) проявляется в качественном и быстром выполнении вычислительного действия за счет свертывания операций входящих в его состав. Табличные вычисления практически должны быть доведены до полного автоматизма. Автоматизм (скорость) вычислительного навыка проверяют с помощью специально организованных математических диктантов «на скорость» и последующим сравнением результатов выполнения работы с нормой. К табличным вычислениям относят те, в которых выполняются основные математические операции сложения и умножения над однозначными числами. Но поскольку каждая из этих операций имеет обратную ей (для сложения обратной операцией является вычитание, соответственно, для умножения - деление), то к табличным относят и соответствующие случаи с обратными операциями. Таким образом, в курсе математики начальных классов изучается две разновидности табличных случаев вычислений: • табличные случаи сложения и соответствующие им случаи вычитания и • табличные случаи умножения и соответствующие им случаи деления. Раскроем подробно методику изучения табличных случаев умножения и соответствующих им случаев деления, поскольку методика их изучения имеет сходные черты и изучается по одному плану. «Таблица умножения» включает в себя случаи умножения однозначного числа, начиная с числа 2 до числа 9, на последовательно увеличивающиеся однозначные числа от 1 до 10. Запомнив эти табличные случаи умножения, мы без труда для каждого случая из таблицы умножения находим результаты трех других, связанных с ним, случаев умножения и деления. Например, зная, что 6*3=18, мы, не особенно задумываясь, можем найти результаты следующих выражений: 3*6, 18:6, 18:3. Происходит это потому, что между этими четырьмя случаями вычислений существует связь, которая обеспечивается математическими положениями (правилами, свойствами действий или связями между производимыми действиями). Рассмотрим эти положения. Значение 3*6 мы находим, применяя переместительное свойство суммы (Для любых а, в, принадлежащих множеству целых неотрицательных чисел верно а*в=в*а). Значения следующих двух выражений 18:6 и 18: 3 находят, используя связь между действиями умножения и деления. Поскольку деление есть действие обратное умножению, то из равенства а*в=с, вытекает, что с:а=в и с:в=а. То есть деление – это действие, с помощью которого по известному значению произведения и одному из множителей мы находим другой множитель. Из этих рассуждений вытекают необходимые методические особенности изучения табличных случаев умножения и соответствующих им случаев деления. Изучение табличных случаев умножения и соответствующих им случаев деления предусматривает рассмотрение 4-х столбцов. Первый из них отражает последовательное умножение некоторого числа, например числа 6, на последовательно увеличивающиеся на один, однозначные числа от 2 до 9, второй - умножение однозначных чисел от 2 до 9 на данное число 6, третий – деление результатов первого столбика на данное число 6 и четвертый – деление результатов первого столбика на однозначные от 2 до 9, где в результате получается число 6-ть. Каждый столбик из этих столбцов в методике обучения математики носит свое название, первый – умножение 6- ти, второй – умножение на 6-ть, третий деление на 6-ть, четвертый – табличное деление на однозначные числа со значением частного равным 6-ти. Формирование навыка сложный и длительный процесс, в котором можно выделить три основных этапа: • этап подготовительный, • этап ознакомления с табличными случаями умножения и соответствующими случаями деления • этап отработки прочного вычислительного навыка. Цель подготовительного этапа – обеспечить усвоение теоретических вопросов, являющихся основой вычислительных приемов, которыми учащиеся будут пользоваться при составлении табличных случаев умножения и деления. К этим вопросам следует отнести: • -смысл действия умножения как сложения одинаковых слагаемых ; • -переместительное свойство умножения; • распределительное свойство умножения относительно сложения (правило умножения числа на сумму); • смысл действия деления. • взаимосвязь между действиями умножения и деления; • рассмотрение особых случаев умножения и деления ( а*1; а:а; а*10 ) На втором этапе дети знакомятся с табличными случаями умножения и соответствующими случаями деления. Составляют соответствующие столбики табличных случаев умножения и деления, опираясь на изученные теоретические положения. Знакомятся с сокращенной формой таблицы умножения (таблица Пифагора) и правилами пользования этой формой таблицы. Обычно все случаи табличного умножения и деления вводятся по одному сценарию. Рассмотрим, как вводится таблица умножения и деления с числом 6-ть. На доске записывается два столбца. 6*2 2*6 6*3 3*6 6*4 4*6 6*5 5*6 6*6 6*6 6*7 7*6 6*8 8*6 6*9 9*6 В процессе диалога устанавливается, что значения первых четырех случаев умножения в первом и втором столбцах можно легко найти, т.к. дети знают таблицу умножения 2-х, 3-х, 4-х, 5-ти и переместительное свойство произведения. Значение выражения 6*6 дети могут найти, опираясь на смысл действия умножения. В начальных классах действие умножения трактуется как действие, с помощью которого можно найти значение суммы одинаковых слагаемых. Следовательно, 6*3=6+6+6=18. Для нахождения значения следующего выражения можно использовать распределительное свойство умножения относительно сложения. Например, чтобы найти результат умножения 6*7, можно 7 представить в виде суммы 6*1 и число 6 умножить на эту сумму, получим 6*7=6*(6+1)= 6*6+6*1=36+6=42. В этом случае используется распределительное свойство умножения относительно сложения и знание табличных случаев умножения 6*6 и 6*1. Обычно в практике устанавливают закономерность получения каждого следующего результата в таблице умножения, подчеркивая, что каждый следующий результат в таблице умножения увеличивается на первый множитель. (Если 6*7=42, то 6*8=42+6=48). Далее уточняется, какие случаи умножения 6-ти дети должны запомнить и как знание этих случаев использовать для нахождения случаев умножения на 6-ть и соответствующих случаев деления. Два следующих столбца деление на 6-ть и деление на однозначные числа со значением частного равным 6-ти дети составляют самостоятельно с последующей проверкой, опираясь на взаимосвязь между действиями умножения и деления. На третьем этапе осуществляется отработка навыка со всеми присущими ему качествами: правильность, скорость, осознанность, обобщенность, полнота, рациональность, поскольку в соответствии со стандартом табличные случаи умножения и соответствующие им случаи деления должны быть усвоены на уровне сознательного вычислительного навыка. Способы запоминания таблиц. При организации деятельности детей по выработке навыка со всеми присущими ему качествами необходимо соблюдать психологические закономерности заучивания материала, а именно: 1. Давать установку на запоминание, поскольку восприятие материала без установки на заучивание часто вообще не дает никаких результатов. Данная закономерность учитывается всеми учителями и в той или иной мере предусмотрена во всех технологиях. Особенно целенаправленно эта закономерность используется в учебниках Н. Б. Истоминой, где в определенной системе даются установки на запоминание трех-четырех табличных случаев. При этом установка на запоминание таблицы ориентирована не на последовательное увеличение второго множителя(9*2, 9*3, 9*4), а на запоминание определенных табличных случаев. Например, первая порция, рекомендуемая для запоминания в таблице умножения числа 9, включает случаи 9*5, 9*6, 9*7, . В качестве опорного может выступать случай 9*6, запомнив который учащиеся могут быстро найти значения произведений 9*5 и 9*7,. Но в качестве опорного может выступать и случай 9*5. Вторая порция, рекомендуемая для запоминания, включает случаи 9*2, 9*3, 9*4. Здесь внимание учащихся акцентируется на случае 9*3. И, наконец, последняя порция включает случаи 9*8, 9*9, где, в качестве опорного может выступать случай 9*7. Таким образом, данная методика формирования навыков табличного умножения, по мнению автора, позволяет учесть индивидуальные особенности памяти каждого ребенка, создает условия для непроизвольного и для произвольного запоминания таблицы и активизирует при этом смысловую память. 2. Другой закономерностью успешного заучивания материала является его осмысленность. Она зависит от того, имеются ли в арсенале обучающегося понятия и действия, необходимые для понимания учебного материала и установления связей между ними. Учитывая эту закономерность, авторы учебных программ по математике для начальной школы много учебного времени выделяют на подготовительный этап, где изучаются теоретические положения, на основе которых составляются табличные случаи умножения и соответствующие им случаи деления (см. подготовительный этап). Кроме того, даются специальные задания с установкой на смысловую память. Например: «Знаю, что 7*6=42, что еще можно знать, помня только этот случай умножения?». Или другой прием: «детям показывают один столбик таблицы со значениями произведений, а три других дети восстанавливают по памяти». 3. Заучивание материала облегчается, если обеспечивается его привлекательность, способность вызвать определенные чувства радостные переживания, чувство удовлетворенности новыми достижениями . Для использования этой закономерности успешного заучивания материала во многих технологиях используют специальные задания, активизирующие мыслительную деятельность детей, побуждающие их к самостоятельному открытию. Это задания на доказательство правильности выполненных действий, на составление заданий по указанным параметрам, задания на выбор, сравнение, преобразование выполненных действий, на выявления закономерностей получения результатов в той или иной таблице умножения. Например, при изучении таблицы умножения 6-ти дети самостоятельно могут установить следующие закономерности: 1. Значения произведений в таблице умножения 6-ти являются четными числами; 2. Каждое следующее значение произведения увеличивается на 6-ть, а каждое предыдущее уменьшается на 6-ть. 3. При умножении 6-ти на четное число последняя цифра в результате равна множителю не равному 6-ти, а первая равна последней цифре деленной на 2. (Например, пусть требуется найти результат 6*4=?. Множитель, отличный от 6-ти, равен 4. Значит, в значении произведения последняя цифра будет равна 4-м, а чтобы найти первую цифру результата надо 4:2=2. Следовательно, значение произведения 6-ти и 4-х равно 24.) С этой же целью при изучении табличных случаев умножения и соответствующих им случаев деления используются различные игровые ситуации, например: «Игра в мяч»; игра «Таблицу знаю» и др. Ход научения обычно регулируется на основе обратной связи, т.е. непрерывного или периодического контроля и учета текущих результатов. Основными формами контроля при изучении данной темы являются: самоконтроль, взаимоконтроль, тестирование, математические диктанты, итоговые контрольные работы. Результативность научения зависит от многих факторов, среди которых можно выделить постоянный мониторинг формируемого умения и своевременную коррекцию хода его формирования с учетом индивидуальных и возрастных особенностей детей В существующих на данный момент образовательных системах обучения при изучении этого материала имеется несколько подходов • к распределению материала по классам обучения, • последовательности изучения данной темы, • к способам введения теоретических основ данной темы, • к организации деятельности детей на этапе отработки вычислительного навыка. Распределение материала по классам обучения. Полностью изучается во втором классе Изучается во втором и третьем классах Школа 2000. (Л.Г.Петерсон) Гармония (Н.Б. Истомина) Школа 2100. (С.А.Козлова, Т.Е.Демидова, А.П.Тонких) Школа России (М. А. Бантова, Г.В.Бельтюкова, С.В. Степанова) ОС Л.В.Занкова. (И.И.Аргинская) «Планета знаний». (М.И. Башмакова, М.Г. Нефедова) Значительные различия наблюдаются в изучении последовательности табличного умножения и деления. В большей части образовательных технологий (Школа 2000, Школа 2100, Школа России) при изучении данного материала придерживаются следующей последовательности. Сначала, в достаточно растянутые сроки, дети последовательно знакомятся с таблицей умножения 2-х, затем на 2. После знакомства с действием деления вводится таблица деления с числом 2. Такое растянутое во времени изучение таблицы умножения и деления с числом 2, объясняется необходимостью ввести сопутствующий материал (Особые случаи умножения и деления, название компонентов и результата действий, понятия «увеличить» и «уменьшить» в 2 раза; задачи на умножение и деление.), а также ввести и на практике отработать умения применять все теоретические положения, определяющие способы получения табличных случаев умножения и деления (см. таблицу). Название темы Умения, формируемые при изучении этой темы Таблица умножения 2-х Умения находить результат умножения: заменив выражение на умножение выражением на сложение одинаковых слагаемых; применив распределительное свойство умножения относительно сложения. Таблица умножения на 2-а Умение применять переместительное свойство умножения. Табличные случаи деления с числом 2 Применять связь между умножением и делением Далее постепенно изучается таблица умножения и деления с числом 3, затем с числом 4 и т.д. Принципиально иной подход к изучению данного материала наблюдается в образовательных программах «Гармония» (автор учебника Н, Б. Истомина) и «О С Л.В. Занкова» (автор учебника И. И. Аргинская). В учебнике Н. Б. Истоминой составление и усвоение таблиц умножения (деления) органически включается в содержательную линию курса. В связи с этим в учебнике нет даже заголовков «Умножение 2-х или на 2; умножение 3-х или на 3» и т.д. Табличные случаи умножения учащиеся усваивают в процессе изучения смысла умножения и тех положений, которые мы относим к теоретической основе данной темы (см. темы «Умножение», «Переместительное свойство умножения, «Увеличить в несколько раз», «Площадь фигуры», «Измерение площади», «Сочетательное свойство умножения»). В теме «Умножение» большое внимание уделяется: • разъяснению предметного смысла действия, усвоению детьми его определения как сложения одинаковых слагаемых и • осознанию ими новой математической записи. Для этой цели в учебнике даны различные виды упражнений: • на выделение признаков сходства и различия данных выражений • на соотнесение рисунка и числового выражения; • на запись числового выражения по данному рисунку; • на выбор числового выражения, соответствующего рисунку; • на замену произведения суммой; • на сравнение числовых выражений и т.д. Сначала формируются навыки табличного умножения, а затем, навыки табличного деления. Причем при изучении действия деления и отработке навыков табличного деления выполняются те же условия, а именно: усвоение табличных случаев деления распределено во времени и органически включается в содержательную линию курса. Мы рассмотрели только сходные черты последовательности изучения данного материала в различных образовательных программах. Естественно каждая из них имеет и отличительные особенности, рассмотрение которых не представляется возможным, в связи с ограничением объема пособия. Важно подчеркнуть, что такой разброс в последовательности изучения материала, обусловлен желанием авторов, найти оптимальный путь для формирования прочного навыка табличного умножения и деления. Поскольку этот материал определяет успех в усвоении других тем школьного курса математики, таких как решение задач, письменные вычисления и др. 5 Литература к разделу Основная литература 1. Белошистая, А.В. Методика обучения математике в начальной школе: Курс лекций : учеб. пособие для студентов высш. пед. учеб заведений [Текст] / А.В. Белошистая. - М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 455 с.: ил. – 5000 экз. – ISBN 5-691-01422-6. – С. 5 – 26. 2. Зайцева, С. А. Методика обучения математике в начальной школе [Текст] / С.А. Зайцева, И.Б. Румянцева, И.И. Целищева. – М.- Гуманитар. изд. 3. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах [Текст] / Н.Б. Истомина. - М., Академия; 1999. – 285 с. – 5000экз.- ISBN – 5-7695-0310-6. – С. 7 – 12. 4. Истомина, Н.Б. Преемственность при изучении чисел в начальной и основной школе [Текст] / Н.Б. Истомина, Г.В. Вонтелева. - М.: Московский психолого-социальный институт, 2003. – 144 с. – ISBN 5-89502-358 -4. 5. Курс лекций по методике обучения математике в начальных классах [Текст]:учебное пособие / В.П.Ручкина, Г.П.Калинина, Г.В.Воробьева.- Екатеринбург: Издатель Калинина Г.П..- 190с. . Дополнительная литература 1. Артемов А.К. Образцы действий в обучении математике // Начальная школа. 1989. №2. 2. Бантова Л.А. Система формирования вычислительных навыков // Начальная школа. 1993. №11. 3. Бантова Л.А. Ошибки учащихся в вычислениях и их предупреждение // Начальная школа. 1982. №8 4. Белошистая А.В.Прием формирования устных вычислительных умений в пределах 100 // Начальная школа. 2001. №7. 5. Бельтюкова Г.В. Методические ошибки при формировании у школьников вычислительных навыков // Начальная школа. 1980. №8. 6. Бростак Г.Д. Использование занимательного материала на уроках математики // Начальная школа. 1989. №1. 7. Земцова Л.И., Сушкова Е.Ю. Роль дидактической игры на уроке математики // Начальная школа. 1988. №10. 8. Истомина Н.Б., Шмырева Г.Г. Формирование навыков сложения и вычитания в пределах 10 // Начальная школа. 1987. №10. 9. Попова С.В. Мой взгляд на современный урок // Начальная школа. 2001. №4. 10. Петрова И.А. Использование игры в учебном процессе // Начальная школа. 1988. №3. 11. Радюкова Л.А. Из опыта обучения математике в 1-2 классах четырехлетней школы // Начальная школа.1995. №7. 12. Липатникова И.Г.Роль устных упражнений на уроках математики // Начальная школа. 1998. №2. 13. Мозжорина Т.И. Уроки изучения нового материала по математике // Начальная школа. 2001. №4. 14. Петерсон Л.Т. Активизация деятельности детей при изучении вычитания двузначных чисел с переходом через разряд // Начальная школа. 1997. №6. 15. Полозова Т.П. Роль самоконтроля в формировании вычислительных навыков // Начальная школа. 1985. №3. 16. Фонин Д.С., Целищева И.И. Организация повторения на уроках математики при ознакомлении с новыми вычислительными приемами // Начальная школа. 1989. №2. 6. Контрольные вопросы 1. Дайте характеристику видам вычислений 2. Сформулируйте понятие навыка. 3. Дайте характеристику вычислительному приему. 4. Дайте определение вычислительному навыку. 5. Назовите качества, которыми характеризуется вычислительный навык. 6. Как формируется вычислительный навык? 1. 7.Назовите этапы формирования вычислительного навыка в различных технологиях 7. Какие нормы проверки вычислительного навыка Вы знаете? 8. Сформулируйте алгоритмы письменных вычислений 2. 10.Основные положения, определяющие формирование универсальных учебных действий в процессе изучения данной темы 7. Планы практических занятий Цели практических занятий по данному разделу Формировать умения: проводить логико-математический и логико-дидактический анализ содержательной линии; определять иерархию целей обучения конкретной теме и мотивировать изучение конкретного учебного материала; ставить учебную задачу, отбирать соответствующие ей учебные действия и операции, конструировать совокупность заданий для ее реализации; организовывать и управлять деятельностью учащихся в процессе решения учебной задачи; выполнять логико-дидактический анализ изучения данной содержательной линии в школьных учебных комплектах по разным системам обучения. Структура практических занятий 1. Задачи 2. Оборудование 3. Ход занятия 4. Литература 5. Задания для самостоятельной работы 6. Обобщения по занятию 8. Содержание практического занятия № 6.1. Тема «Изучение приемов вычислений для чисел первого десятка» Задачи: 1. Закрепить понятия «вычислительный прием и его характеристика», «виды вычислений и виды вычислительных приемов» «алгоритм вычисления», «вычислительный навык 2. 2. Познакомить с методикой формирования у младших школьников навыков сложения и вычитания в пределах 10. Оборудование: 1) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Гармония» автора Н.Б. Истоминой; 2) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа России» автора М.И. Моро; 3) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Начальная школа ХХI века» автора В.Н. Рудницкой; 4) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа 2100» автора Л.Г.Петерсон; 5) Программы общеобразовательных учреждений. Начальная школа: 1-4 классы: [Текст] / Учебно-методический комплект "Планета знаний": Обучение грамоте. Русский язык. Математика. Литературное чтение. Окружающий мир. Английский язык. Музыка. - М.: АСТ: Астрель, 2007. - 317 с. - (Планета знаний). - 5000 экз. - ISBN 5-17-037776-2. ББК 74.202.41 6) Депман И.Я. История арифметики. – М.: Просвещение, 1965. –. 416 с. С. 233 – 260. 7) Истомина, Н. Б. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах [Текст] / Н. Б. Истомина, Л. Г. Латохина, Г. Г. Шмырева. - М.: Просвещение; 1986. – 176 с. – 35000 экз. Ход занятия: 1. Доклад: «Устные вычисления». 2. Назовите основные отличия навыков устных вычислений от письменных и навыков табличных вычислений от других навыков вычислений. 3. Назовите этапы формирования навыка. 4. Проведите логико-дидактический анализ приемов устного сложения и вычитания в пределах 10. 5. Какие этапы выделяются при формировании каждого вычислительного приема? 6. Когда и как составляются таблицы? 7. Как происходит заучивание таблиц, и формируются вычислительные навыки? 8. Из «Практикума» Н.Б. Истоминой по методике преподавания математики выполните следующие задания. № 214. Составьте (подберите из учебной литературы) упражнения, с помощью которых будете закреплять умения и формировать навыки табличного сложения и вычитания в пределах 10 в форме: устного счета, математического диктанта, индивидуального опроса (используя карточки для индивидуальной работы). 9. Какие игровые моменты можно использовать для непроизвольного запоминания таблиц? Подберите игры. 10. Укажите различия между приемами устных и письменных вычислений. Задания для самостоятельной работы : Выполните два задания на выбор из ряда предложенных 1. Выполните логико-математический анализ изучения данной содержательной линии в УМК к учебнику М1М [32; 33] и определите перечень знаний и умений, которые должны быть сформированы при изучении данной темы. Заполните таблицу. Таблица Перечень выч. приемов и последовательность изучения темы Формируемые знания и умения Теоретическая основа выч. приема Базовые знания Сопутствующий материал 2. Выполните это же задание по учебникам М1П [40-43]. Прокомментируйте на примере предложенных учебников различные подходы к последовательности изучения вычислительных приемов для чисел первого десятка 3. Определите виды заданий, которые используются в учебниках М1М [32-33], М1И [23], М1П [40-43] на этапах: подготовки к восприятию вычислительного приема; восприятия вычислительного приема, осознания и осмысления вычислительного приема; закрепления и применения вычислительного приема. Дайте оценку заданиям, используемым в учебниках по различным системам обучения. 4. Выберите по одному заданию из каждого этапа, определите их учебную задачу, продумайте методику работы с этими заданиями на уроке. 5. Составьте итоговую контрольную работу по данному разделу. Обоснуйте ее содержание, форму проведения, технологию оценивания и обработки результатов. Продумайте возможные варианты работы над ошибками. Сделайте вывод по пройденному практическому занятию. 9. Содержание занятия № 6.2. Тема «Табличные случаи умножения и деления» Задачи 1) Рассмотреть методику формирования навыков табличного умножения и деления; 2) Показать общее и различное в технологиях формирования навыков табличного сложения и вычитания и табличного умножения и деления. Оборудование: 1) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Гармония» автора Н.Б. Истоминой; 2) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа России» автора М.И. Моро; 3) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Начальная школа ХХI века» автора В.Н. Рудницкой; 4) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа 2100» автора Л.Г.Петерсон; 5) Программы общеобразовательных учреждений. Начальная школа: 1 - 4 классы: [Текст] / Учебно-методический комплект "Планета знаний": Обучение грамоте. Русский язык. Математика. Литературное чтение. Окружающий мир. Английский язык. Музыка. - М.: АСТ: Астрель, 2007. - 317 с. - (Планета знаний). - 5000 экз. - ISBN 5-17-037776-2. ББК 74.202.41 6) Истомина, Н. Б. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах [Текст] / Н. Б. Истомина, Л. Г. Латохина, Г. Г. Шмырева. - М.: Просвещение; 1986. – 176 с. – 35000 7) Примерные программы по учебным предметам. Начальная школа. В 2-х ч. Ч. 1- 3-е изд. –М.: Просвещение, 2010. – 317 с. – (Стандарты второго поколения) Основное содержание: 1. Выполнить анализ программ и учебников Н.Б. Истоминой, Л.Г. Петерсон и М.И.Моро для выделения особенностей составления таблиц сложения и умножения, а также формирования навыка табличных вычислений. 2. Разработать задания различных типов, используемые учителем: Для запоминания таблиц сложения, умножения Для отработки скорости вычислений 3. Разработать фрагменты уроков, на которых используются представленные выше задания. 4. Приведите свои примеры приемов, которые можно использовать для создания положительной мотивации, проблемной ситуации, заучивания табличных случаев умножения и деления. 5. Какие дидактические пособия можно использовать при изучении этой содержательной линии? 6. Выпишите особые случаи умножения и деления. Выделите из них те, которые постулируются, и те, которые доказываются. Поясните доказательство каждого особого случая. 7. Разработать задания различных типов, используемые учителем: 8. для запоминания таблиц сложения, умножения; 9. для отработки скорости вычислений. 10. Разработать фрагменты уроков, на которых используются представленные выше задания. 11. Подобрать дидактические игры, способствующие формированию табличного вычислительного навыка. Литература 1. Бантова Л.А. Система формирования вычислительных навыков // Начальная школа. 1993. №11. 2. Бантова Л.А. Ошибки учащихся в вычислениях и их предупреждение // Начальная школа. 1982. №8. 3. Земцова Л.И., Сушкова Е.Ю. Роль дидактической игры на уроке математики // Начальная школа. 1988. №10. 4. Истомина Н.Б., Шмырева Г.Г. Формирование навыков сложения и вычитания в пределах 10 // Начальная школа. 1987. №10. 5. Попова С.В. Мой взгляд на современный урок // Начальная школа. 2001. №4. 6. Петрова И.А. Использование игры в учебном процессе // Начальная школа. 1988. №3. 7. Бростак Г.Д. Использование занимательного материала на уроках математики // Начальная школа. 1989. №1. 8. 14. Радюкова Л.А. Из опыта обучения математике в 1 - 2 классах четырехлетней школы // Начальная школа.1995. №7. Задания для самостоятельной работы 1. Изучить методическую литературу по проблеме формирования у школьников навыков устных нетабличных и письменных вычислений. 2. Выполнить анализ учебников Н.Б. Истоминой, Л.Г. Петерсон, М.И. Моро для выделения содержания этапов формирования навыка устных нетабличных и письменных вычислений. Выделить особенности каждого этапа, характерные для каждой программы обучения математике. 3. Выполните логико-дидактический анализ изучения данного вида вычислений по учебникам М2М [34-35], М2И [24], М2П [44-47]. Установите последовательность введения табличных случаев умножения и деления в каждом учебнике и установите, какими положениями руководствовались авторы учебников при выборе этой последовательности. Определите, какие методические приемы используют авторы учебников на этапах: • подготовки к восприятию вычислительного приема; • восприятия вычислительного приема, • осознания и осмысления вычислительного приема; Заполните таблицу. Таблица Программа Этап подготовки к восприятию вычислительного приема Этап восприятия вычислительного приема Этап осознания и осмысления вычислительного приема 4. Охарактеризуйте методику работы над типичными вычислительными ошибками 5. Составьте конспект урока по ознакомлению детей с делением с остатком. 6. Составьте перечень вопросов, с помощью которых можно выявить усвоение детьми данной темы. Сделайте вывод по пройденному практическому занятию. Содержание занятия.№ 6.3. Тема: «Подходы к изучению устных вычислительных приемов» Задачи 1. Рассмотреть технологии формирования устных вычислительных приемов 2. Показать общее и различное в технологиях формирования навыков табличного сложения и вычитания и табличного умножения и деления. Оборудование: 1) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Гармония» автора Н.Б. Истоминой; 2) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа России» автора М.И. Моро; 3) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Начальная школа ХХI века» автора В.Н. Рудницкой; 4) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа 2100» автора Л.Г.Петерсон; 5) Программы общеобразовательных учреждений. Начальная школа: 1 - 4 классы: [Текст] / Учебно-методический комплект "Планета знаний": Обучение грамоте. Русский язык. Математика. Литературное чтение. Окружающий мир. Английский язык. Музыка. - М.: АСТ: Астрель, 2007. - 317 с. - (Планета знаний). - 5000 экз. - ISBN 5-17-037776-2. ББК 74.202.41 6) Истомина, Н. Б. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах [Текст] / Н. Б. Истомина, Л. Г. Латохина, Г. Г. Шмырева. - М.: Просвещение; 1986. – 176 с. – 35000 7) Примерные программы по учебным предметам. Начальная школа. В 2-х ч. Ч. 1- 3-е изд. –М.: Просвещение, 2010. – 317 с. – (Стандарты второго поколения) Основное содержание: 1. Установите последовательность введения внетабличных вычислительных приемов в пределах сотни по традиционной системе обучения и установите, какими положениями руководствовались авторы учебника М2М [34-35] при выборе этой последовательности. 2. Выполните это же задание по учебникам М2И [24] и М2П [44-47]. Заполните таблицу. Таблица Название вычислительного приема Теоретическая основа выч. приема Базовые знания выч. приема Схематическая модель выч. приема Развернутый алгоритм рассуждений 2. Сформулируйте ведущие методические положения, на которых основано изучение данного материала в традиционной системе обучения, а также по учебникам Н.Б. Истоминой и Л.Г. Петерсон. 3. Приведите примеры приемов создания положительной мотивации в процессе изучения вычислительных приемов. 4. Охарактеризуйте методы и приемы организации учебной деятельности учащихся на этапе восприятия вычислительного приема по каждому из вышеназванных учебников. 5. Обоснуйте отбор средств обучения, в том числе серии заданий (вопросов), способствующих реализации целей обучения на этапах осознания и осмысления и закрепления и применения вычислительного приема по учебникам М2М [34-35], М2И [24], М2П [44-47]. 6. Укажите на возможные ошибки, трудности в процессе изучения данного материала и пути их предупреждения. 7. Обоснуйте отбор возможных форм организации учебной деятельности детей на каждом этапе формирования вычислительного приема. • Литература 1. Бантова Л.А. Система формирования вычислительных навыков // Начальная школа. 1993. №11. 2. Бантова Л.А. Ошибки учащихся в вычислениях и их предупреждение // Начальная школа. 1982. №8. 3. Земцова Л.И., Сушкова Е.Ю. Роль дидактической игры на уроке математики // Начальная школа. 1988. №10. 4. Петрова И.А. Использование игры в учебном процессе // Начальная школа. 1988. №3. 5. Бростак Г.Д. Использование занимательного материала на уроках математики // Начальная школа. 1989. №1. Задания для самостоятельной работы 1. Выберите один из вычислительных приемов, укажите этапы формирования этого вычислительного приема, раскройте особенности организации познавательной деятельности детей на каждом из них по одной из технологий обучения. 2. Составьте итоговую контрольную работу по данному разделу. Обоснуйте ее содержание, форму проведения, технологию оценивания и обработки результатов. Продумайте возможные варианты работы над ошибками. Сделайте вывод по пройденному практическому занятию. Содержание занятий .№ 6.4. и 6.5 Тема: «Подходы к изучению письменных вычислительных приемов» Задачи 1) Познакомиться с технологиями формирования умений выполнять письменные случаи умножения и деления 2) Обсудить вопросы, связанные с методикой формирования навыков письменного умножения и деления. Оборудование: 1) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Гармония» автора Н.Б. Истоминой; 2) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа России» автора М.И. Моро; 3) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Начальная школа ХХI века» автора В.Н. Рудницкой; 4) Учебники математики 1, 2, 3, 4 классов технологии «Школа 2100» автора Л.Г.Петерсон; 6) Депман И.Я. История арифметики. – М.: Просвещение, 1965. –. 416 с. С. 233 – 260. 7) Истомина, Н. Б. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах [Текст] / Н. Б. Истомина, Л. Г. Латохина, Г. Г. Шмырева. - М.: Просвещение; 1986. – 176 с. – 35000 экз. Ход занятия: 1. Сформулируйте алгоритмы письменных вычислений в обобщенном и в адаптированном к возрасту виде. 2. Выполните логический анализ каждого из алгоритмов (выделите последовательность операций и логических условий; проверьте наличие характеристических свойств алгоритма; установите связи алгоритма с другими знаниями). 3. Выполните математический анализ алгоритмов (установите теоретическую основу рассмотренных алгоритмов). 4. Заполните таблицу, установив последовательность изучения письменного сложения (деления) в учебниках М3П [48-51] и М4П [52-55]. Заполните таблицу. Таблица Название вычислительного приема и его теоретическая основа Развернутый алгоритм рассуждений адаптированный к возрасту учащихся Базовые знания выч. приема Последовательность операций, входящих валгоритм Схематические модели выч. приема 5. Сравните задания в учебниках, в процессе выполнения которых учащиеся усваивают алгоритм письменного умножения на однозначное число. В чем их различие? Приведите ответы детей при выполнении этих заданий. Продумайте свои задания, которые можно использовать с этой целью. 6. Сравните задания в учебниках, в процессе выполнения которых учащиеся усваивают алгоритм письменного умножения на двузначное и трехзначное числа. В чем их различие? Приведите ответы детей при выполнении этих заданий. Продумайте свои задания, которые можно использовать с этой целью. 7. Познакомьтесь с последовательностью рассмотрения случаев деления в учебнике математики по традиционной программе (1 - 4). К каким записям деления дан подробный комментарий, к каким - краткий, какие записи деления учащиеся должны объяснить сами? Конкретизируйте пункты плана для каждого случая деления упражнениями, предлагаемыми в учебнике. План: А. Комментируется (объясняется) образец записи деления. Б. Пользуясь данным образцом, учащиеся решают аналогичные примеры (закрепляют данный случай деления). В. Выполняются упражнения, включающие решение примеров, как нового случая деления, так и ранее рассмотренных. 8. Сравните задания подготовительного этапа к знакомству с алгоритмом письменного деления, предложенные в учебниках различных технологий (не менее двух технологий). В чем их различие? Опишите деятельность учащихся при выполнении этих заданий. 8. Проанализируйте задания учебников в теме «Деление многозначных чисел». Проверьте, все ли 12 случаев деления, рассматриваемых в учебнике по традиционной программе, включены в задания учебников альтернативных технологий. Что бы Вы изменили? Задания доля самостоятельной работы Выберите и выполните 2-а задания, из ряда предложенных ниже. 1. Установите последовательность изучения каждого алгоритма вычислений по учебникам М2М [34-35], М2И [24], М2П [44-47]. Выделите и обоснуйте последовательность изучения данной содержательной линии по каждому из учебников. Заполните таблицу. Таблица Программа, год издания учебника Последовательность изучения письменных вычислений Теоретические положения, определяющие представленную в учебнике последовательность изучения 2. Выпишите типы заданий, которые используются авторами учебников при изучении алгоритмов письменных вычислений. сформулируйте учебную задачу для заданий из учебников М3И [25], М4И [26]; выберите задания, формирующие такие общие учебно-познавательные действия, как анализ и синтез, обобщение и конкретизация, сравнение и классификация и др.; установите, удовлетворяет ли совокупность заданий, предложенных для осознания и осмысления изучаемого вычислительного приема принципам полноты, непрерывного повторения, вариативности и др. 3. Объясните, на каких этапах формирования письменных вычислительных умений уместно использовать такие методические приемы как: анализ и синтез, обобщение и конкретизация, сравнение, классификация. 4. Составьте текст самостоятельной работы, с целью выявления уровня усвоения алгоритма письменного деления (сложения, вычитания, умножения), которую полезно провести сразу после первичного закрепления изучаемого алгоритма. 5. Составьте итоговую контрольную работу по каждому виду письменных вычислений. Обоснуйте ее содержание, форму проведения, технологию оценивания и обработки результатов. Продумайте возможные варианты работы над ошибками. Сделайте вывод по пройденному практическому занятию. 9. Задания для самостоятельной контрольной работы по теме «Письменное умножение и деление» 1. .Какие упражнения должны предшествовать решению следующих примеров: 408*7; 6088*4; 80 509*7? (Табличные случаи умножения, умножение нуля на число и числа на нуль, определение числа цифр в значении частного.) 2. При проверке самостоятельной работы по теме «Умножение на однозначное число» учитель обнаружил следующие ошибки: 5009 907 8452 80503 х 6 х. 6 х. 6 х. 6 30554 5342 50412 489078 Проанализируйте допущенные учащимися ошибки. Каковы их причины? Как организовать работу над ошибками? (1- запись. Вторая пятерка справа в результате появляется по аналогии с первой пятеркой. 2- запись. Ошибка табличного характера. 3-запись. Вместо 4-ки должна быть 7-ка. Забыл, что запоминал трисотни. 4- запись не умеет умножать нуль на число. ) 3. На какие знания учащихся может опираться учитель при знакомстве с умножением однозначного числа на многозначное? Какой метод обучения целесообразно при этом использовать? Конкретизируйте свой ответ фрагментом урока по данной теме. (Переместительное свойство умножения. Проблемные методы – проблемно - диалогического обучения. ) 4. На этапе подготовки к изучению алгоритма письменного умножения на двузначное число необходимо повторить: табличное и внетабличное умножение; умножение числа на сумму; умножение на однозначное число. Дополните план, составьте (подберите из методической литературы) упражнения соответственно каждому пункту плана. (Сложение многозначных чисел, особенно разноименных, 126ед.+105 дес.) 5. На каком этапе обучения учащимся можно показать образец записи? Почему? 1) 94*37 = 94*(30 + 7) = 94*30 + 94*7 2) Х 94 94 2820 30 х 7 + 658 2820 658 3478 3) 94 х 37 658 282 3478 Опишите методику работы с каждой записью. (На этапе восприятия нового материала. Методику можно свести к рассмотрению учащимися записей, сделанных на доске или в учебнике, объяснению этих записей и выводу правила умножения двузначного числа на двузначное. Работу полезно организовать по группам) 6. Почему целесообразно сопоставить умножение на двузначное и трехзначное числа? Что общего в алгоритмах умножения? Подберите соответствующие упражнения для сопоставления. (Правила сходны по структуре и теоретической основе. Во втором случае увеличивается число неполных значений произведений. Упр № 1. Сопоставить результаты, умножения 45*24 и 145*24 Упр №2. Умножить в столбик 248*536 и по этой записи определить: сколько получиться, если : 248*6; 248*30; 248*500. Упр №3. Можно сделать через задачу: « В одной упаковке 248 ластиков. Сколько ластиков в 536 упаковках? Найди ответ в данной записи примера Можно ли по этой записи узнать, сколько ластиков в 6-ти упаковках? В 30 упаковках? В 500 упаковках? В 5360 упаковках? ») 7. Могут ли учащиеся сами объяснить целесообразность данной записи умножения чисел, оканчивающихся нулями? 18000 23400 х 3 х 2 Какие подготовительные упражнения необходимы, чтобы подвести детей к самостоятельному объяснению записи? (Повторить базовые знания данных вычислительных приемов) 8. Объясните ошибки в умножении: 2400 3245 Х 13 х 203 72 9735 24 6490 9600 74635 Как предупредить эти ошибки? (Не учитывается, на единицы какого разряда умножается первый множитель. Предлагать умножать именованные числа вида: 7 дес * 436, Определять число цифр в значении частного) 9. Приведите возможные рассуждения учащихся при выполнении вычислений: 780:30, 910:70, 360:45, 60:4, 30:15, 600:24, 280:35, 48:24, 80:5. При вычислении значений, каких выражений целесообразно использовать приемы устных вычислений? 10. Какова дидактическая цель заданий? Выпишите примеры, для решения которых делитель нужно представить в виде произведения однозначных чисел, и решите их: 600 : 30 = , 800 : 16 = , 600 : 15 = , 800 : 40 = , 240 : 60 = , 1800 : 36 = , 240 : 48 = ,18 000 : 300=. Решите оставшиеся примеры. Сравните решения примеров. В чем их сходство? В чем различие? (Прием деления на круглые числа перенести на деление двузначных чисел, которые можно разложить на произведение двух чисел, на каждое из которых делится данное делимое. ) 11. Перед изучением алгоритма письменного деления учитель запланировал повторить: связь умножения и деления; нумерацию многозначных чисел; табличное умножение и деление. Дополните план учителя. Подберите соответствующие упражнения к каждому пункту плана. (Вопросы нумерации чисел, а именно, см. следующее задание а, б, в, деление с остатком, правило деления суммы на число ) 12. Подумайте, как применяются следующие умения (связанные со знанием нумерации многозначных чисел) в алгоритме письменного деления. а. Умение назвать число отдельных единиц каждого разряда, общее число единиц, десятков, сотен и т. д. в числе, назвать единицы высшего разряда. б. Умение по названию единиц высшего разряда числа установить количество цифр, которыми оно записывается. в. Умение переводить единицы любого разряда в единицы любого низшего разряда. Составьте упражнения, с помощью которых вы проверите сформированность этих умений у учащихся перед изучением деления многозначных чисел. (а: Запишите числа в котором 3 десятка Дать характеристику числам; и т д Б. Сколько цифр будет в числе, если в старшем разряде этого числа 8десятков тысяч и т д 10. Тестовый материал по изученной теме 1. Какой из критериев не относят к отличиям письменных вычислений от устных вычислений? Ответы: 1) Запись (в столбик или в строчку) 2) Выполнение действий с помощью определенных приемов или по алгоритму 3) Осознание вычислительной деятельности 4) В устных вычислениях действия начинают выполнять со старших разрядов, а в письменных (кроме деления) – с младших 1. Сколько групп вычислительных навыков вы знаете? Ответы: a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 3. Сколько можно придумать приемов вычитания на каждый пример сложения? Ответы: e. 2 f. 3 g. 4 h. 0 4. Восстановите порядок этапов формирования вычислительного навыка. 1) Выработка навыка 2) Выработка навыка под руководством учителя 3) Подготовка к ознакомлению с вычислительным приемом 4) Ознакомление с вычислительным приемом 5) Применение навыка 6) Итоговый контроль сформированности навыка Ответы: i. 3,4,1,2,6,5 j. 4,3,2,1,6,5 k. 3,4,2,1,5,6 l. 1,2,3,4,5,6 5. Целью какого этапа формирования навыка является обеспечение необходимых условий для успешного понимания и усвоения учащимися нового вычислительного приема? Ответы: m. Выработка навыков n. Применение навыков o. Подготовка к ознакомлению с вычислительным приемом p. Ознакомление с вычислительным приемом 6. Высокая степень овладения вычислительными приемами – это… Ответы: q. Вычислительный навык r. Умения s. Вычислительные методы t. Счет Проверь свои знания Ответь на следующие вопросы. 1.Перечислите виды вычислений, охарактеризуйте каждый из них. 2.Что вы понимаете под вычислительным приемом? 3.Перечислите номенклатуру знаний, связанную с понятием вычислительный прием, охарактеризуйте ее. Например, каждый ВП имеет название. Чтобы назвать ВП достаточно назвать …………………………………………………………………………….. 4.Запишите полный алгоритм рассуждений для вычислительного приема вида 47-12 5.Назовите теоретическую основу следующих ВП. 30+20-_________________________________________________ 24+5-______________________________________________________ 72-14-______________________________________________________ 48:2-________________________________________________________ Теоретическое обоснование темы «Методика изучения табличных случаев умножения и соответствующих им случаев деления « 1. Дайте название каждой таблице умножения 2*2 2*2 2*3 3*2 2*4 4*2 ….. …… 2*9 9*2 1-ый столбик:____________________________________________ 2-ой столбик ________________________________________________ Для каждого столбика на умножение составьте соответствующие случаи деления 2. Прочитайте выражение 2*5 разными способами. Прочитайте выражение (вычислительное упражнение) 10:5 разными способами Какие сопутствующие темы могут изучаться при изучении табличных случаев умножения и деления? 3. Какие подходы к определению действия умножения вы изучали в курсе математики? 1-ый подход:___________________________________________ 2-ой подход: ____________________________________________ 4. . Какие подходы к определению действия деления вы изучали в курсе математики? 1-ый подход:___________________________________________ 2-ой подход: ____________________________________________ 5. Который из них используется в курсе математики начальной школы? 6. Как называют действие деления по отношению к действию умножения? Где используется эта взаимосвязь между данными действиями при изучении темы «Табличное умножение и деление» 7. Перечислите и запишите в обобщенном виде свойства действий. Умножение. Деление 1. 1. 2. _3.________________________________________________________ 4._________________________________________________________ _5.___________________________________________________________ Какие из этих свойств используются при составлении таблиц умножения и соответствующих им случаев деления? 11. Итоговое тестирование по теме «Обучение вычислениям в начальной школе» 1 вариант .1. Заполните таблицу. Таблица Название вычислительного приема и теоретическая основа вычислит. приема Базовые знания выч. приема Последовательность операций, входящих в алгоритм Схематические модели выч. приема 245-163 6*7 2. Обведите кружком те операции, которые характеризуют алгоритм письменного сложения: а) определение числа цифр в результате; б) определение первого неполного делимого; в) определение разряда с которого начинается выполнение действия; г) оформление записи при письменных вычислениях д) определение второго неполного произведения. 3. Назови известные тебе виды вычислений. 1. 2. 3. 4. 4. Перечислите операции входящие в состав алгоритма письменного деления многозначного числа на однозначное. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 5. Даны выражения: 84-24 34+6 42+4 43-2 43+20 23+17 25-15 630+300 46+12 470-30 Запишите данные выражения в столбик так, чтобы в каждом из них были выражения на один и тот же вычислительный прием, Ниже каждого столбика запишите правило, которое вы использовали бы при вычислении значения выражения в каждом столбике. ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ 6. Не вычисляя, сравните значения выражений. 1456 · 28 + 1512 · 28 (1456 + 1512) · 28 Какое математическое положение помогло вам сравнить выражения? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 7. Отметь кружком номер выражения, теоретической основой которого может быть сочетательное свойство суммы. a. 6*2 b. 28*3 c. 16+9 8.Что вы понимаете под вычислительным приемом? 9.Перечислите номенклатуру знаний, связанную с понятием вычислительный прием, охарактеризуйте ее. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 10. Какие подходы к определению действия деления вы изучали в курсе математики: . Который из них используется в курсе математики начальной школы? Приведите пример задания (ий) с помощью которых в начальных классах раскрывается смысл действия деления. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 11. Дайте название каждой таблице умножения 2*2 2*2 2*3 3*2 2*4 4*2 ….. …… 2*9 9*2 1-ый столбик:____________________________________________ 2-ой столбик ________________________________________________ Для каждого столбика на умножение составьте соответствующие случаи деления Назовите теоретические положения позволяющие по первому столбику составить 2-ой и 3-ий. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 12. Прочитайте выражение 2*5 разными способами. _______________________________________________________________________ Итоговое тестирование по теме «Обучение вычислениям в начальной школе» 2 вариант 1. Заполните таблицу. Таблица Название вычислительного приема и теоретическая основа вычислит. приема Базовые знания выч. приема Последовательность операций, входящих в алгоритм Схематические модели выч. приема 145+124 63:9 2. Обведите кружочком те операции, которые характеризуют алгоритм письменного умножения: а) определение числа цифр в результате; б) определение первого неполного делимого; в) определение разряда с которого начинается выполнение действия; г) оформление записи при письменных вычислениях д) определение второго неполного произведения. 3. Даны выражения: 84-24 34+6 42+4 43-2 43+20 23+17 25-15 630+300 46+12 470-30 Запишите данные выражения в столбик так, чтобы в каждом из них были выражения на один и тот же вычислительный прием, Ниже каждого столбика запишите правило, которое вы использовали бы при вычислении значения выражения в каждом столбике. ________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ 4. Отметь кружком номер выражения, теоретической основой которого может быть распределительное свойство умножения. d. 38-5 e. 12*5 f. 7*14 5. Не вычисляя, сравните значения выражений. 8*3+8*4…………8*7 Какое математическое положение помогло вам сравнить выражения? __________________________________________________________________ 6. Перечислите операции, входящие в состав алгоритма письменного деления многозначного числа на однозначное. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 7.Запишите определение вычислительного навыка 8. Перечислите качества вычислительного навыка и охарактеризуйте каждое из них. _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 9. Перечислите и запишите в обобщенном виде свойства действия деления. 10. Какие подходы к определению действия деления вы изучали в курсе математики? Который из них используется в курсе математики начальной школы? 11. Дайте название каждой таблице умножения 4*2 2*4 4*3 3*4 4*4 4*4 ….. …… 4*9 9*4 1-ый столбик:____________________________________________ 2-ой столбик ________________________________________________ Для каждого столбика на умножение составьте соответствующие случаи деления Назовите теоретические положения позволяющие по первому столбику составить 2-ой и 3-ий. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 12. Прочитайте выражение 10:5 разными способами. ______________________________________________________________________