Теоретические основы построения центральных проекций

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ижевский государственный технический университет Конспект лекций По дисциплине «Перспектива» Для направления: 072500 «Дизайн» Форма обучения: заочная Ижевск 2016 Содержание Введение……………………………………………………………………………………………….. 1. Основные понятия………………………………………………………………………………….. 2. Проецирующий аппарат и элементы картины…………………………………………………… 3. Изображение точки и прямой в перспективе 3.1.Перспектива точки и отрезка прямой…………………………………………………………. 3.2.Перспектива бесконечно продолженной прямой……………………………………….......... 3.3.Перспектива прямой общего положения……………………………………………………… 3.4.Прямые частного и особого положения………………………………………………………. 4.Изображение плоскости в перспективе 4.1. Способы задания плоскости в перспективе……………………………………………......... 4.2 Предельная прямая плоскости………………………………………………………………… 4.3 Общее, особое и частное положение плоскости…………………………………………….. 5. Построение перспективных масштабов 5.1. Масштаб глубин……………………………………………………………………………….. 5.2. Масштаб широт………………………………………………………………………………… 5.3. Масштаб высот…………………………………………………………………………………. 5.5. Перспективный масштаб на произвольно направленной прямой………………………….. 5.6. Простейшие метрические задачи……………………………………………………………... 6. Построение в перспективе плоских фигур и геометрических тел 6.1.Построение геометрических фигур в простейшем положении …………………………….. 6.2.Построение в перспективе углов, произвольно расположенных в горизонтальной плоскости……………………………………………………………………………………………… 6.3.Построение в перспективе угла наклона прямой особого положения к предметной плоскости……………………………………………………………………………………………… 6.4.Построение в перспективе угла наклона прямой общего положения к предметной плоскости……………………………………………………………………………………………… 6.5.Построение окружности в перспективе………………………………………………………. 6.6.Построение в перспективе изображений круглых предметов………………………………. 7. Способы построения перспективных изображений 7.1.Способ перспективной сетки………………………………………………………………….. 7.2.Построение перспективы объекта по плану и фасаду……………………………………….. 7.3.Способ архитектора……………………………………………………………………….......... 8. Построение теней в перспективе 8.1.Общие сведения о теории теней……………………………………………………………….. 8.2.Построение теней при искусственном освещении…………………………………………… 8.3.Построение теней при солнечном освещении……………………………………………….. 9. Построение перспективы отражений 9.1.Общие понятия о построении отражений в плоском зеркале………………………….......... 9.2.Построение отражений в зеркальной плоскости…………………………………………….. Список литературы…………………………………………………………………………………… 3 4 ВВЕДЕНИЕ Во многих областях науки и техники, в изобразительном искусстве находят применение различные изображения – чертежи, схемы, рисунки, фотографические схемы и др. Для изображения предметов окружающей действительности на чертеже и рисунке необходимо хорошо владеть теорией построения изображений пространственных форм на плоскости. В данном конспекте лекций изложены теоретические основы построения центральных проекций, т.е. перспективы. Здесь даны общие положения этой науки, выводятся законы и правила перспективных изображений, а также приведены различные способы и приемы их построений на картине. Изложенные общие сведения могут служить основой для дальнейшего, более углубленного изучения перспективы как науки. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Слово «перспектива» французское (perspective) и означает «насквозь видеть», «внимательно рассматривать». Произошло оно от латинского глагола perspicere — «ясно вижу». Перспектива рассматривается как наука о построении изображений предметов на какой-либо поверхности такими, как их воспринимает глаз человека. В изобразительном искусстве перспектива рассматривается как изображение предметов, полученное на какой либо поверхности, в соответствии с кажущимися изменениями их величины, четкости очертания их формы и светотеневых отношений, которые можно наблюдать в натуре. Перспективное изображение в зависимости от его назначения может быть построено на любой проекционной поверхности. В связи с этим перспектива подразделяется на несколько видов. Линейная перспектива — это изображение, построенное на плоскости. В зависимости от назначения перспективных изображений плоскость может быть расположена вертикально, наклонно и горизонтально. Панорамная перспектива — это изображение, построенное на внутренней цилиндрической поверхности. Слово «панорама» греческого происхождения и означает «все вижу», т. е. в буквальном переводе это — перспективное изображение на картине всего того, что зритель видит вокруг себя. При рисовании панорам точку зрения располагают на оси цилиндра, а линию горизонта — на окружности, находящейся на высоте глаз зрителя. Поэтому при рассматривании панорам зритель должен находиться в центре круглого помещения, где, как правило, располагают смотровую площадку. Перспективные изображения на панораме объединяют с передним предметным планом, т. е. с находящимися перед ней реальными предметами. Купольная перспектива — это изображение, построенное на внутренней поверхности сферы или эллипсоида. Ее применяют при росписях на куполах в храмах, соборах, дворцовых постройках, круглых залах метро. Театральная перспектива — это изображения, построенные на нескольких вертикальных плоскостях, расположенных на различной глубине, и ее применяют при выполнении декораций на сцене театра. Часто она сочетает в себе линейную, рельефную и даже плафонную перспективу. Существуют и другие виды перспектив. Нами будет рассмотрена только линейная перспектива на вертикальной плоскости, которая связана с построением изображений на картине. В начертательной геометрии изображения пространственных фигур на плоскости, как и любой поверхности, строят по методу проекций. Сущность этого метода заключается в следующем. Если через точку S провести проецирующий луч в точку А', который пересечет заданную плоскость проекции К, то точка А их пересечения будет ее проекцией (рис. I). Проведя проецирующие лучи через точку S пространства и точки А'В'С' какой-либо фигуры, на плоскости получают ее центральную проекцию ABC (рис. 2). Построение изображений пространственных фигур на плоскости или какой-либо поверхности с помощью проецирующих лучей, про­веденных из одной точки, называют методом центральной проекции. Изображение, полученное методом центральной проекции, называют центральной проекцией предмета, или перспективным изображением, или кратко перспективой. Методом центральной проекции получают изображения при фото­графировании на фотопленке и фотопластинках, при проецировании кадров на экран. Отображения на сетчатке глаза человека рас­сматриваемых им окружающих предметов также соответствуют перспективным изображениям. Рис. 1 Рис. 2 2. ПРОЕЦИРУЮЩИЙ АППАРАТ И ЭЛЕМЕНТЫ КАРТИНЫ На известной гравюре Альбрехта Дюрера (рис. 3) показан процесс получения перспективного изображения на плоской прозрачной картине в том виде, как это представляли себе художники. Рис.3 В этом случае задается единая и неподвижная точка зрения (глаз человека), связанная с горизонтальной плоскостью, и прозрачная плоскость картины, через которую наблюдают пространство и предметы реальной действительности, расположенные за ней. По этому принципу разработана модель проецирующего аппарата, на которой удобно изучать законы и способы построения изображений фигур, заданных в предметном пространстве и полученных методом центральной проекции на плоскости картины. Рассмотрим основные элементы и конструктивные особенности проецирующего аппарата (рис. 4). Рис. 4 Предметная плоскость, П. Ее располагают горизонтально и подразумевают безграничной. На ней помещают картинную плоскость, зрителя и изображаемый предмет. Картинная плоскость, К — плоскость проекций, или картина. Ее располагают перпендикулярно предметной плоскости. На ней получают центральную проекцию, т. е. перспективное изображение, или перспективу предмета. Основание картины, кк — линия пересечения картинной и предметной плоскостей. Точка зрения, S — центр проекций, через который проходят проецирующие лучи ко всем точкам изображаемого предмета. Точка стояния, s —основание перпендикуляра, проведенного из точки зрения на предметную плоскость. Высота точки зрения, Ss — длина перпендикуляра, определяемая расстоянием от точки зрения до предметной плоскости. Нейтральная плоскость, N —плоскость зрителя, или плоскость исчезновения. Она проходит через высоту точки зрения параллельно картинной плоскости. Предметный след нейтральной плоскости, Nп — линия пересечения нейтральной и предметной плоскостей, или след плоскости зрителя. Предметное пространство — безграничное пространство за картинной плоскостью, в котором находятся предметы, изображаемые на картине. Промежуточное, или нейтральное, пространство — пространство между картинной и нейтральной плоскостью. Мнимое пространство — безграничное пространство от нейтральной плоскости, находящееся за зрителем. Элементы проецирующего аппарата взаимосвязаны с элементами картины. От правильности выбора положения элементов проецирующего аппарата зависит изображение на картине и степень соответствия его зрительному восприятию. Определим и назовем элементы картины, полученные при установлении взаимосвязи проецирующего аппарата с картинной плоскостью (рис. 5, а, б). Плоскость горизонта, H. Она проходит через точку зре­ния параллельно предметной плоскости. а) б) Рис. 5 Линия горизонта, hh. Она является пересечением плоскости горизонта с картиной. «Горизонт» происходит от греческого слова horizon, что означает «ограничивающий земную поверхность». Расстояние от основания картины до линии горизонта определяет высоту точки зрения. Нейтральная прямая, пп — линия пересечения плоскости горизонта с нейтральной плоскостью. Главный луч зрения, SP— перпендикуляр, проведенный из точки зрения к картине. Его длина определяет расстояние от зрителя до картины. Главный луч зрения расположен в плоскости горизонта. Главная точка картины, Р — точка пересечения главного луча зрения с картиной. Она всегда находится на линии горизонта. Плоскость главного луча зрения, sSPp0 — плоскость, проходящая через главный луч зрения и высоту точки зрения. Она перпендикулярна к предметной и картинной плоскостям. Главная линия картины, или линия главного вертикала, Рр0 — линия пересечения плоскости главного луча зрения с картиной. Она делит картину на правую и левую части. Дистанционные точки, или точки отдаления, D1 и D2 — Они находятся на линии горизонта по обе стороны от главной точки картины на расстоянии, равном длине главного луча зрения. Дистанционное, или зрительное, расстояние, PD1 и PD2 — расстояние от зрителя до картины, равное длине главного луча зрения. Для построения перспективных изображений задают основные элементы картины: форму и размеры картины с ее основанием, кк, исходя из композиционного замысла; линию горизонта, hh; главную точку картины, Р; положение дистанционных точек, D1 и D2. Элементы картины задаются художником в зависимости от содержания и замысла композиционного построения, раскрытия ее сюжета или определяются (устанавливаются) с учетом реального положения рисующего и изображаемого предмета при рисовании с натуры. Правильно заданные элементы картины служат опорой для точного построения перспективных изображений, соответствующих зрительному восприятию человека. 3. ИЗОБРАЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ В ПЕРСПЕКТИВЕ 3.1 ПЕРСПЕКТИВА ТОЧКИ И ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ Все предметы и явления окружающей нас действительности представляют собой совокупность точек, прямых, плоскостей. Точка является основным и простейшим геометрическим элементом пространства. С нее начинают изучение и построение перспективных изображений на картине. В предметной плоскости проецирующего аппарата зададим точку А' (рис. 6, а). Требуется построить ее перспективу. Сначала направляют в точку А' луч зрения SA' и находят точку пересечения его с картиной. Для этого через высоту точки зрения Ss и проецирующий луч SA' проводят вспомогательную плоскость, соединив точку стояния s с проекцией точки а' (А'≡а'). Затем строят линию пере­сечения вспомогательной плоскости с картиной. Для этого отмечают точку а0 пересечения оснований картины и вспомогательной плоскости. Вспомогательная плоскость горизонтально-проецирующая, так как она проходит через перпендикуляр Ss и картина перпендикулярна к предметной плоскости. Следовательно, линия их пересечения будет также перпендикулярна к предметной плоскости и к основанию картины. Поэтому через точку а0 проводят прямую, перпендикулярную к основанию картины. Этот перпендикуляр пересечет луч зрения SA' в точке а, которая и будет искомым перспективным изображением точки А', заданной в предметной плоскости. На картине (рис. 6, б) положение точки А≡а определяют расстоянием роао вправо от линии главного вертикала и перпендикуляром а0А к основанию картины. На этом же проецирующем аппарате задана точка В' (см. рис. 6, а). Ее пространственное положение определяется перпендикуляром В'b' к предметной плоскости, т. е. проекция b' является основанием точки В'. Сначала строят перспективу заданной точки. Для этого проводят лучи зрения в точку В' и ее проекцию b' и находят точки пересечений их с картиной. Заключив лучи зрения и высоту точки зрения в горизонтально-проецирующую плоскость, соединяют точку стояния s с проекцией точки b'. После этого строят линию пересечения вспомогательной и картинной плоскостей и отмечают точку b0 пересечения их оснований. Через полученную точку bо проводят в плоскости картины перпендикуляр к ее основанию Точки пересечения лучей зрения с перпендикуляром (линией пересечения плоскостей) определят перспективу точки В и ее основания b. Отрезок Вb является перспективой расстояния, на котором точка В' находится от предметной плоскости. а) б) Рис.6 На картине (см. рис 6, б) пространственное положение точки В определяют расстоянием pob0 влево от линии главного вертикала и перпендикуляром bаВ к основанию картины. Сопоставим положение двух заданных точек в предметном пространстве с перспективным изображением их на картине. На проецирующем аппарате точка А' расположена ближе к зрителю, чем точка В'. На картине это отражено расстоянием вторичных проекций а и b точек А и В до основания картины а0 и ba (aa0 1К—2К, 2К—З К, которые переносят на заданную прямую АПА∞ при помощи линий переноса с их точкой схода МВ. Для построения на картине перспективного масштаба на прямой особого положения ее заключают в глубинную плоскость и откладывают отрезки натурального масштаба на картинном следе. Затем переносят их линиями переноса с масштабной точкой схода, расположенной на линии главного вертикала. Перспективный масштаб на восходящую или нисходящую прямую особого положения можно перенести по-другому — способом, построения прямоугольного треугольника, вынесенного в плоскость картины (см. рис. 84). На картине (рис. 86) задан отрезок АВ нисходящей прямой особого положения. Требуется определить его натуральную величину. Заметим, что отрезок АВ и его проекция ab находятся в глубинной плоскости, которая на картине изображена в виде прямоугольного треугольника АаВ. Выносим его в картинную плоскость. Для определения натуральной величины горизонтального катета аВ применяют масштаб глубин, а для вертикального катета Аа— масштаб высот, при этом с общей точкой схода D для линий переноса. Тогда гипотенуза АКВ0 будет натуральной величиной заданного отрезка АВ нисходящей прямой особого положения. Рис. 86 Перспективный масштаб на прямой общего положения. Прямая, на которой необходимо построить перспективный масштаб, расположена произвольно в предметном пространстве и может быть восходящей или нисходящей. Рассмотрим этот случай только на картине без обоснования построений на проецирующем аппарате, поскольку он аналогичен предыдущим примерам. Зададим картину с ее элементами и произвольно направленную восходящую прямую АА∞ (рис. 87). Для переноса на нее натурального масштаба выполняют построения в следующей последовательности. Сначала проводят через заданную прямую вспомогательную проецирующую плоскость Q, перпендикулярную картине. Тогда предметный след Q0Q∞ этой плоскости пройдет через точку А≡АП (предметный след прямой) и главную точку картины Р как пре­дельную точку глубинной прямой. Затем отмечают точку Q0 пересечения предметного следа вспомогательной плоскости с основанием картины. Для построения картинного следа Q0QK плоскости Q проводят ее предельную прямую РА∞. Затем через точку Q0 параллельно предельной прямой РА∞ проводят картинный след Q0Qk вспомогатель­ной плоскости Q. Рис. 87 Рис. 88 Заметим, что линии переноса должны лежать в плоскости Q, а следовательно, масштабная точка М∞ должна находиться на предельной прямой РА∞ этой плоскости. Для определения положения масштабной точки М∞ строят на картине совмещенную точку зрения путем вращения точки зрения S вокруг предельной прямой РА∞. Аналогично предыдущим примерам совмещенная точка зрения будет находиться на перпендикуляре, проведенном из главной точки Р к предельной прямой РА∞ данной плоскости на расстоянии P=PD. Тогда масштабную точку М∞ определяют на предельной прямой РА∞ как конец отрезка А∞М∞= A∞S. Далее через конец А и масштабную точку М∞ проводят линию переноса, которая в пересечении с картинным следом Q0QK вспомогательной плоскости определит точку отсчета 0K. Отложив от точки 0K отрезки натурального масштаба на картинном следе плоскости (0K —1K, 1K—2К, 2К—ЗК, ЗК —4К), переносят их на заданную прямую линиями переноса с масштабной точкой схода М∞. Полученные отрезки А—1, 1—2, 2—3, 3—4 на восходящей прямой общего положения являются перспективным изображением натуральных отрезков, заданных в масштабе картины. Для построения перспективного масштаба на прямой общего положения ее заключают в проецирующую плоскость, перпендикулярную картине. Затем откладывают отрезки натурального масштаба на картинном следе плоскости и переносят их на заданную прямую линиями переноса с масштабной точкой схода, расположенной на предельной прямой этой плоскости. Перспективный масштаб на восходящей или нисходящей прямой общего положения можно построить способом прямоугольного треугольника, вынесенного в плоскость картины с помощью масштабной точки схода. Рассмотрим этот способ на некоторых примерах. На картине (рис. 88) задан отрезок АВ восходящей прямой общего положения. Требуется определить, его натуральную величину, применив способ построения прямоугольного треугольника. Сначала через отрезок АВ и его проекцию ab проводят горизонтально-проецирующую плоскость. Для этого продолжают проекцию отрезка ab, определяют ее предельную точку а∞ и строят для нее масштабную точку М∞. Затем находят натуральную величину катетов прямоугольного треугольника aobo и Ака0, пользуясь линиями переноса с масштабной точкой схода М∞ Гипотенуза AKB0 вынесенная в плоскость картины, будет натуральной величиной заданного отрезка АВ. На картине (рис. 89) задан отрезок АВ нисходящей прямой общего положения. Требуется определить его натуральную величину способом выноса его в плоскость картины без построения прямоугольного треугольника. Для этого находят предельную а∞ и масштабную М∞ точки для проекции данной прямой. Затем с помощью масштабной точки М∞ и линий переноса определяют натуральную величину проекции отрезка а0b0, а также размеры высот АKа0 и BKb0 точек А и В от предметной плоскости. Полученный в плоскости картины отрезок АКВК яв­ляется натуральной величиной заданного. Рис. 89 5.6 ПРОСТЕЙШИЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ Перспективный масштаб имеет широкое применение в решении метрических задач, но он не является единственным способом. В некоторых случаях бывает более удобен так называемый геометрический способ. В данном параграфе и будут рассмотрены элементарные метрические задачи, которые можно решать не только с помощью перспективного масштаба, но и геометрическим способом. При решении любой задачи метрического характера следует учитывать, что она будет метрически определенным только в том случае, если в условие входят конкретные данные, определяющие взаимное положение точки зрения и основных плоскостей проецирующего аппарата, т. е. заданы все элементы картины. Если эти условия не соблюдены, то задача может иметь несколько решений. Рассмотрим простейшие метрические задачи и способы их решения. Деление отрезка на равные части. Эти задачи особенно часто применяют в практике построения перспективных изображений. а) б) Рис. 90 Пример 1. На картине (рис. 90, а) задан в предметной плоскости произвольно расположенный отрезок АВ. Требуется разделить его на четыре равные части. Для решения задачи применяют геометрический способ, основанный на теореме Фалеса (рис. 90, б). Через конец А (или В) проводят горизонтальную прямую и на ней откладывают четыре произвольных, но равных между собой отрезка. Последнее деление (4) соединяют с концом отрезка В прямой, которую продолжают до пересечения с линией горизонта, и отмечают на ней точку схода В∞ линии переноса. Затем через все остальные деления 1, 2, 3 проводят линии переноса, которые разделят отрезок АВ при его пересечении на четыре равные части. Пример 2. На картине (рис. 91) задан произвольно расположенный в предметном пространстве отрезок АВ. Требуется разделить его на три равные части. Пользуясь теоремой Фалеса (см. рис. 90, б), делят проекцию отрезка аb на три равные части. Затем вертикальными линиями переносят деления на пространственный отрезок АВ. Увеличение отрезка в несколько раз. Решение этой метрической задачи аналогично предыдущим. Пример 3. На картине (рис. 92) дан отрезок АВ. Требуется увеличить его в четыре раза. Для этого через проекцию а точки А проводят горизонтальную прямую и с помощью произвольной точки схода B∞ выносят на нее проекцию аЬ отрезка. На горизонтальной прямой от точки 1 откладывают еще три равных отрезка 1—2, 2—3, 3—4. Конец с1 переносят на продолжение проекции ab заданного отрезка. В заключение, используя вертикальную прямую, находят положение точки С и определяют искомый отрезок АС=4АВ. Рис. 91 Рис. 92 Пример 4. На картине (рис. 93, а) даны два вертикальных столба. Требуется в пределах картины построить еще несколько таких же столбов на одинаковом расстоянии. Для решения этой задачи удобно применить геометрические построения в вертикальных прямоугольниках, в которых диагонали определят искомые расстояния (рис. 93, б). Эти же построения выполняют на картине. Оба заданных столба делят пополам и проводят через их середины горизонтальную прямую. Затем через верхний конец первого столба и середину второго проводят диагональ, конец которой отметит основание третьего столба, и т.д. а) б) Рис. 93 Этот же способ применяют для построения прямоугольников, лежащих в предметной или горизонтальной плоскости (рис. 94). Рис. 94 Деление отрезка пополам и его удвоение. При различных построениях в перспективе возникает необходимость уменьшить или увеличить отрезок вдвое. Существует много простейших геометрических способов решения таких метрических задач. Рассмотрим некоторые из них. Пример 5. На картине (рис. 95, а) дан отрезок АВ, произвольно лежащий в предметной плоскости. Требуется разделить его пополам. В этом случае можно применить геометрический способ построения параллелограмма, диагонали которого делятся пополам в точке их пересечения (рис. 95, б). Через концы отрезка АВ проводят параллельные прямые АА∞ и ВА∞, точка схода А∞, которых взята произвольно на линии горизонта, и две горизонтальные прямые, параллельные основанию картины. В построенном параллелограмме отрезок АВ является диагональю, который разделится пополам второй диагональю. а) б) Рис. 95 а) б) Рис. 96 Пример 6. На картине (рис. 96, а) задан отрезок АВ, произвольно лежащий в предметной плоскости. Требуется разделить его пополам. Здесь можно применить геометрический способ построения прямоугольника, расположенного вертикально. В нем вертикальная прямая, проведенная через точку пересечения его диагоналей, разделит сторону АВ пополам (рис. 96, б). Заметим, что на картине верхняя сторона прямоугольника выбрана совпадающей с линией горизонта. Вертикальная прямая, проведенная через точку пересечения диагоналей, определит середину С отрезка АВ. Пример 7. На картине (рис. 97) задан отрезок АВ, произвольно лежащий в предметной плоскости. Требуется его удвоить. Рис. 97 Решение этой задачи осуществляется предыдущим способом. Сначала через точки А и В проводят вертикальные стороны прямоугольника. Сторону с точкой В делят пополам. Через точку деления и верхний конец другой вертикальной стороны проводят диагональ, которая на продолжении отрезка АВ отметит точку С. Отрезок АС = 2АВ. Пример 8. На картине (рис. 98, а) задан отрезок АВ, произвольно лежащий в предметной плоскости. Требуется его удвоить. а) б) Рис. 98 Для этого применяют геометрический способ центральной сим­метрии (рис. 98, б). Через конец В проводят горизонтальную прямую и в обе стороны Е откладывают на ней произвольные, но равные отрезки В—1 и В—2, Дальнейшее построение ясно из чертежа. В перспективе через точки А и 1 проводят прямую и отмечают на линии горизонта ее предельную точку А∞. Прямая А∞2 отметит на продолжении отрезка АВ точку С. Отрезок АС равен удвоенному отрезку АВ, заданному на картине. 6. ПОСТРОЕНИЕ В ПЕРСПЕКТИВЕ ПЛОСКИХ ФИГУР И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ Окружающие нас предметы имеют в основе форму простейших геометрических тел, плоскогранных (куб, параллелепипед, призма, пирамида) и круглых (цилиндр, конус, шар, различные виды тора). Их поверхности могут быть наклонены к предметной и картинной плоскостям под различным углом, по-разному расположены относительно друг друга. При изображении на картине предметов различной формы возникает необходимость строить в перспективе плоские углы {в том числе прямые), простейшие фигуры и геометрические тела. Все эти построения выполняют по определенным правилам перспективы, кото­рые и будут рассмотрены в этой главе, 6.1 ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР В ПРОСТЕЙШЕМ ПОЛОЖЕНИИ Используя материал, изложенный в предыдущих параграфах, можно построить перспективные изображения плоских углов 90° и 45°, расположенных в горизонтальной и вертикальной плоскостях. А на основе позиционных и метрических свойств — квадрат и прямоугольник с заданной стороной, расположенные горизонтально и вертикально. Заметим, что в данных примерах определение размеров изображаемых фигур не предусматривается. Пример 1. На картине (рис. 99) параллельно ее основанию задана сторона АВ квадрата. Требуется построить квадрат, расположенный в предметной плоскости. Сначала при вершинах А и В строят прямые углы, для чего проводят глубинные прямые АР и ВР. Затем через вершину В (или А) — диагональ, предельной точкой которой является дистанционная. Точка С на прямой АР определит положение стороны СЕ искомого квадрата. Пример 2. На картине (рис. 100) задана сторона АВ квадрата вертикально. Требуется построить квадрат, расположенный перпендикулярно картинной и предметной плоскостям. Направлением сторон прямого угла при вершинах А и В будут глубинные прямые АР и ВР. Чтобы отложить на них стороны квадрата, приводят АВ в горизонтальное положение АВ1 и переносят его величину при помощи дистанционной точки на глубинную прямую АР. Точка С определит конец стороны СЕ квадрата. Рис. 99 Рис. 100 Рис. 101 Пример 3. На картине (рис. 101) сторона квадрата АВ лежит на глубинной прямой. Требуется построить квадрат, расположенный перпендикулярно картинной и предметной плоскостям. Сначала проводят через концы А и В вертикальные прямые, образующие с заданной стороной квадрата прямые углы. Затем через точку А проводят диагональ квадрата, предельной точкой которой будет совмещенная точка зрения . Через точки Р и С проводят верхнюю сторону СЕ квадрата, параллельную стороне АВ. Пример 4. На картине (рис. 102) сторона АВ квадрата вертикальная. Требуется построить квадрат, расположенный перпендикулярно к предметной плоскости и под произвольным углом к картине. Стороны квадрата, перпендикулярные к АВ, лежат на прямых, предельной точкой которых может быть любая на линии горизонта, например А∞. Величину стороны АС квадрата определяют при помощи масштабной точки М∞. Затем через точку С проводят вертикальную сторону СЕ искомого квадрата. Пример 5. На картине (рис 103) сторона АВ квадрата лежит в предметной плоскости. Ее предельной точкой является дистанционная точка D2. Требуется построить квадрат, лежащий в предметной плоскости. Стороны прямых углов при вершинах А и В лежат на прямых с точкой схода D1. Чтобы определить положение четвертой стороны квадрата, находят вершину С. Заметим, что она лежит на диагонали квадрата с предельной точкой Р. Рис. 102 Рис. 103 Пример 6. На картине (рис. 1104) задана большая сторона АВ прямоугольника с предельной точкой D2. Требуется построить прямоугольник, лежащий в предметной плоскости. Построение прямоугольника аналогично выполнению квадрата в предыдущем примере. Здесь предельной точкой диагонали квадрата будет любая точка А∞ на линии горизонта и справа от главной точки Р. Этим построением можно воспользоваться при изображении паркета, выложенного квадратными плитами или елочкой. Рис. 104 Рис. 105 Пример 7. На основании картины (рис. 105) заданы стороны О—10, 10—20, 20—30, 30—40 квадратных плит. Требуется построить перспективное изображение части пола, выложенного такими плитами. Сначала строят глубинные прямые сторон квадрата с главной точкой схода Р. Затем через точки 0 и D проводят диагональ квадратов, которая в пересечении с каждой глубинной прямой отметит точки 1, 2, 3, 4. Через отмеченные точки проводят горизонтальные прямые, параллельные основанию картины. Они определят перспективу квадратных плит, расположенных в плоскости пола. Пример 8. На картине (рис. 106) положение квадратных паркетных плит соответствует изображению, данному на рисунке 103, где точками схода их сторон являются дистанционные точки D1, и D2, a диагоналей — главная точка Р. Пример 9. Используя предыдущие построения, требуется изобразить в перспективе комнату с фронтальной стеной по заданным размерам и при высоте линии горизонта 1,5 м. Размеры комнаты: ширина 4 м, глубина 5 м, высота 3 м. (Здесь и далее в тексте линии пересечения стен с полом и потолком будем условно называть плинтусом и карнизом.) Построение комнаты в перспективе выполняют в такой последовательности (рис. 107). Рис. 106 Рис. 107 Сначала изображают горизонтальную плоскость пола шириной 4 м, которая (по условию) соответствует длине рамки картины. Его боковые плинтусы перпендикулярны основанию картины и имеют точку схода Р. Отложив высоту комнаты 3 м на рамке картины, строят боковые карнизы с точкой схода Р. Пользуясь масштабом глубин с дистанционной точкой D1 или D2, отмечают глубину комнаты (5 м). Точка А определит положение горизонтального плинтуса и всей фронтальной стены. Пользуясь масштабами глубин, широт и высот, строят оконный и дверной проемы, а также предметы обстановки (на рисунке они не показаны), имеющие призматическую форму и простейшее положение относительно стен комнаты. Если требуется построить квадрат, произвольно лежащий в предметной или горизонтальной плоскости, то его вписывают в другой квадрат (рис. 108, а). Заметим, что вершины 1, 2, 3, 4 вписанного квадрата находятся на одинаковом расстоянии от вершин А, В, С, Е. Следовательно, их можно найти с помощью точек пересечения диагонали и вспомогательных прямых, проведенных параллельно сторонам описанного квадрата. Построения на картине (рис. 108, б) выполняют в следующей последовательности. Сначала задают на основании картины размер стороны А0Е0 описанного квадрата, положение на ней вершины 10, искомого квадрата и точку 30, отложив E030 — A010. Затем параллельно основанию картины на произвольной (или заданной) глубине строят перспективу стороны АЕ квадрата и точку 1 с помощью глубинных прямых. Далее через вершину Е (или А) и дистанционную точку проводят диагональ, которая в пересечении с глубинной прямой А0Р определит вершину В. Через нее проводят сторону ВС квадрата и находят на ней точку 3 (30Р×ВС). Глубинные прямые 10Р и 30Р в пересечении с диагональю квадрата определят положение вершины 2 на стороне АВ и вершины 4 на стороне СЕ. Соединив последовательно точки 1, 2, 3, 4, получают искомый квадрат, произвольно лежащий в предметной плоскости. а) б) Рис. 108 Если задан размер стороны 1—4 или 1—2 вписанного квадрата с наклоном к основанию картины, то сначала строят его во фронтальном положении (см. рис. 108, а) и вписывают его в другой квадрат АВСЕ простейшего положения. Затем, перенеся натуральные размеры сторон квадрата на основание картины, выполняют его перспективное изображение. 6.2 ПОСТРОЕНИЕ В ПЕРСПЕКТИВЕ УГЛОВ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ Положение любого угла (особенно прямого), лежащего в предметной или в параллельной ей плоскости имеет широкое применение при построении окружающих нас предметов и взаимного их расположения. Рассмотрим способы их построения в перспективе. Зададим для упрощения доказательства лежащий в предметной плоскости проецирующего аппарата некоторый произвольный угол В'∞А0А'∞ = ' (рис. 109, а). Для построения перспективы этого угла проводят лучи зрения параллельно его сторонам А0В'∞ и А0А'∞. В пересечении с картиной на линии горизонта они определят предельные точки B∞ и А∞ сторон заданного угла. Соединив точку А0 с предельными точками В∞ и А∞, получают в перспективе угол В∞А0А∞, соответствующий заданному натуральному углу '. Угол B∞SA∞, образованный в плоскости горизонта, равен заданному ' вследствие параллельности их сторон (по построению). Далее выполняют преобразования, повернув плоскость угла B∞SA∞ вокруг линии горизонта до совмещения с плоскостью картины. Тогда на картине совмещенное положение угла B∞A∞ изобразится в натуральную величину, и он будет равен заданному углу '. Его вершина совпадет с совмещенной точкой зрения , а стороны искомого угла будут опираться на линию горизонта в их предельных точках В∞ и A ∞. а) б) Рис. 109 Для построения перспективы угла, лежащего в горизонтальной плоскости, задают его натуральную величину при совмещенной точке зрения и продолжают стороны до пересечения с линией горизонта. Полученные точки пересечения будут предельными точками сторон искомого угла, вершина которого может быть задана в любом месте. На основе этого правила строят заданный угол на картине (рис. 109, б). Для этого при совмещенной точке зрения задают натуральную величину угла и продолжают его стороны до пересечения с линией горизонта, Полученные точки A∞ и В∞ являются предельными точками сторон заданного угла с вершиной A0 в перспективе. Заметим, что всякий угол на картине (рис. 110) с произвольно выбранной вершиной A0, A1, A2, A3,... и сторонами, имеющими одни и те же предельные точки А∞ и В∞, равен по величине углу , заданному при совмещенной точке зрения S. Равенство углов на картине определяется параллельностью сторон, имеющих в перспективе общие предельные точки, т. е. точки схода A∞ и В∞. По изображению на картине видно, что углы при вершине А0 и А1 лежат в предметной плоскости, А2 и А3 — в плоскостях, параллельных ей, при этом угол А2 —ниже линии горизонта, а угол A3 — выше. На картине (рис. 111) в предметной плоскости заданы вершина А и направление одной из сторон угла. Требуется построить перспективу угла, лежащего в предметной плоскости и равного в натуре 60°. Построение выполняют в такой последовательности. Сначала определяют положение совмещенной точки зрения . Для этого из главной точки картины Р проводят перпендикуляр к линии горизонта и откладывают на нем дистанционное расстояние P = PD. Затем отмечают предельную точку A∞ заданной стороны угла. Для этого продолжают заданную сторону угла до пересечения с линией горизонта. Рис. 110 Рис. 111 Далее строят натуральную величину угла 60° при совмещенной точке зрения и заданной стороне A∞. Для этого соединяют предельную точку A∞ с совмещенной точкой зрения . Откладывают натуральный угол 60° с вершиной и стороной A∞. Затем продолжают вторую сторону угла до пересечения с линией горизонта и определяют ее предельную точку B∞. Соединив заданную вершину А с полученной предельной точкой B∞, проводят вторую сторону угла АB∞. Угол B∞АА∞ является перспективой заданного угла 60е. Для определения натуральной величины угла, лежащего в горизонтальной плоскости, по его изображению на картине строят предельные точки сторон угла, продолжив их до пересечения с линией горизонта. Полученные предельные точки соединяют с совмещенной точкой зрения. Угол при совмещенной точке зрения будет натуральной величиной угла, заданного на картине. На картине (рис. 112) изображены две пересекающиеся дороги. Требуется определить натуральную величину угла между ними. Продолжив стороны угла, определяют их предельные точки A∞ и B∞. Отложив на перпендикуляре дистанционное расстояние P — PD, находят совмещенную точку зрения . Далее соединяют ее с предельными точками A∞ и B∞ сторон заданного угла. Угол A∞B∞ с вершиной в совмещенной точке зрения является нату­ральной величиной заданного в перспективе угла . Рис. 112 Построение в перспективе угла наклона горизонтальной прямой к картинной плоскости. Зададим на проецирующем аппарате в предметной (для простоты построения) плоскости произвольно направленную прямую А0А'∞ (рис. 113, а) и определим перспективу угла ее наклона к основанию картины. Вначале строят перспективу А0А∞ заданной прямой, определив положение ее предельной точки А∞. Для этого направляют луч зрения SА∞ параллельно заданной прямой и находят точку А∞ его пересечения с линией горизонта. Далее через точку зрения проводят нейтральную плоскость N и определяют нейтральную прямую п — линию пересечения ее с плоскостью горизонта (n||hh). Заметим, что в плоскости горизонта углы между лучом SА∞ и нейтральной прямой п и этого же луча с линией горизонта равны между собой как накрест лежащие. В то же время они равны заданному углу ' наклона прямой А0А'∞ к основанию картины, так как их сходственные стороны параллельны. а) б) в) Рис. 113 Произведем преобразования, повернув плоскость горизонта вокруг линии горизонта до совмещения с плоскостью картины. Заметим, что на совмещенной плоскости натуральная величина заданного угла определяется наклоном прямой А∞, к линии горизонта или к совмещенному положению нейтральной прямой. На этой основе строят угол наклона прямой, лежащей в предметной плоскости, к основанию картины в перспективе (рис. 113, б). Построение выполняют в такой последовательности. Сначала строят заданный угол с вершиной в совмещенной точке зрения, приняв нейтральную прямую за одну из его сторон. Далее продолжают вторую сторону угла до пересечения с линией горизонта. Получен­ная точка А∞ будет предельной точкой прямой А0А∞, проведенной через точку А0 под углом к основанию картины. Для построения перспективы угла наклона прямой к основанию картины задают его при совмещенном положении точки зрения, приняв нейтральную прямую за одну из сторон, и продолжают вторую сторону до пересечения с линией горизонта. Полученная точка пересечения будет предельной точкой любой прямой, составляющей с основанием картины заданный угол наклона. В перспективе любые горизонтальные прямые А0А∞, А1А∞, А2А∞, АКА∞, заданные в предметном пространстве и имеющие общую предельную точку А∞, наклонены к картине под одинаковым углом (рис. 113, в). Заметим, что в натуре заданный угол острый. Однако на картине изображение этого угла может быть острым (при вершинах А0 и А2), прямым (при вершине АК) или тупым (при вершине А1). На картине (рис. 114) задана точка А. Требуется провести через точку А прямую, лежащую в предметной плоскости и под углом 60° к основанию картины. Построение выполняют в такой последовательности. Сначала совмещают с картиной точку зрения и нейтральную прямую и при них строят заданный угол 60°. Затем определяют положение предельной точки А∞ прямой как пересечение стороны заданного угла с линией горизонта. Угол между прямой АА∞ и основанием картины является перспективой заданного в натуре угла 60°. Для определения натуральной величины угла наклона прямой к основанию картины по его перспективному изображению строят предельную точку этой прямой на линии горизонта и соединяют ее с совмещенной точкой зрения. Угол между проведенной прямой и линией горизонта определит натуральную величину угла наклона заданной прямой к основанию картины. Рис. 114 Рис. 115 На картине (рис. 115) в предметной плоскости задана произвольно направленная прямая с точкой А. Требуется определить угол наклона этой прямой к основанию картины. Построение выполняют в такой последовательности. Сначала строят совмещенное положение точки зрения (P=PD1). Продолжив отрезок прямой до пересечения с линией горизонта, определяют ее предельную точку А∞, которую соединяют с совмещенной точкой зрения . Положение А∞ к линии горизонта определит натуральный угол наклона заданной прямой АА∞ к основанию картины. Особенно часто при изображении предметов возникает необходимость построения в перспективе прямого угла, лежащего в предметной или горизонтальной плоскости. Руководствуясь изученным правилом, любой заданный угол, в том числе и 90°, строят при совмещенной точке зрения. Продолжив стороны угла до пересечения с линией горизонта, определяют предельные точки его сторон (рис. 116). Задав любую точку А в предметной плоскости и соединив ее с предельными точками сторон прямого угла, получают перспективу угла 90°. Условимся предельные точки сторон прямого угла как главные направления предмета, определяющие его ширину и длину, отмечать латинскими буквами F1 и F2, F3 и F4 и т. д. Рис. 116 Рис. 117 В данном примере прямой угол построен при совмещенной точке зрения произвольно. Следовательно, в перспективе наклон сторон прямого угла к основанию картины также произволен. Если нужно построить прямой угол в определенном положении, то задают наклон одной из его сторон к основанию картины, например 40° (рис. 117). Сначала определяют совмещенное положение точки зрения и нейтральной прямой и строят при них заданный угол 40°. Затем продолжают эту сторону до пересечения с линией горизонта и определяют предельную точку F2 одной стороны прямого угла. При совмещенной точке зрения и стороне F2 строят прямой угол и определяют предельную точку F1 второй стороны прямого угла. Соединив заданную точку А с предельными точками F1 и F2, определяют положение прямого угла в перспективе с учетом указанных условий. Проведя через точку А вертикальную прямую заданной высоты и направив через ее верхний конец в точки схода F1 и F2 еще одну пару прямых под углом 90°, получают прямой угол, образованный двумя вертикальными плоскостями. Продолжив эти плоскости до пересечения с картиной, строят изображение внутреннего угла комнаты. Если в углу комнаты находятся предметы обстановки (стол, шкаф, стенка, тумба для телевизора и др.), расположенные вдоль стены, то стороны прямых углов будут иметь те же точки схода F1 и F2, что и угол комнаты. Если предмет, например кресло, стоит в комнате произвольно, то точками схода его ребер, составляющими прямой угол, будет другая пара точек F3 и F4. Их строят также при совмещенной точке зрения под углом 90°. Для построения паркетных плит в углу комнаты используют предельную точку f диагоналей квадратов, которую определяют путем деления прямого угла при совмещенной точке зрения пополам и проведения биссектрисы f до пересечения с линией горизонта (рис. 118). С помощью масштабной точки М1 размеры сторон квадрата переносят на одну из сторон угла комнаты и проводят параллель­ные линии. В пересечении этих линий с диагональю Sf определяют точки, через которые проводят параллельные линии другой стороне угла комнаты. По такому же принципу строят паркет пола елочкой, используя предельную точку / биссектрисы прямого угла при совмещенной точке зрения (рис. 119). Рис. 118 Рис. 119 6.3 ПОСТРОЕНИЕ В ПЕРСПЕКТИВЕ УГЛА НАКЛОНА ПРЯМОЙ ОСОБОГО ПОЛОЖЕНИЯ к предметной плоскости Зададим в предметном пространстве восходящую прямую А'А'∞ с проекцией А'а'∞ на предметную плоскость, перпендикулярной основанию картины (рис. 120, а). Это условие определяет положение глубинной прямой, предельной точкой которой является главная точка картины (Р≡а∞). Предельную точку А∞ восходящей прямой особого положения на картине находят в пересечении луча зрения SA∞, проведенного параллельно заданной прямой, с линией главного вертикала, т.е. с перпендикуляром P. а) б) Рис. 120 Заметим, что угол A∞SP находится в плоскости главного луча зрения и равен заданному углу А'∞А'а'∞ наклона восходящей прямой к предметной плоскости, так как их сходственные стороны параллельны (по построению). Полученный прямоугольный треугольник A∞SP совместим с плоскостью картины, вращая его вокруг катета PA∞. На картине он займет совмещенное положение A∞DP (SP = DP), и угол при дистанционной точке будет натуральным углом наклона восходящей прямой к предметной плоскости. Пользуясь этим положением, строят на картине заданный угол наклона восходящей прямой особого положения к предметной плоскости (рис. 120, б). Для построения в перспективе угла наклона восходящей прямой особого положения к предметной плоскости его задают при дистанционной точке над линией горизонта. Продолжив сторону угла до пересечения с линией главного вертикала, получают предельную точку восходящей прямой особого положения, наклоненной к предметной плоскости под заданным углом. Построение угла наклона нисходящей прямой особого положения к предметной плоскости выполняют аналогично. Но для нахождения предельной точки нисходящей прямой заданный угол строят при дистанционной точке подлинней горизонта (рис. 121). Рис. 121 Если восходящая или нисходящая прямая особого положения задана на картине, то определение натуральной величины угла ее наклона к предметной плоскости будет обратной задачей. Сначала продолжают отрезок прямой до пересечения с линией главного вертикала и определяют ее предельную точку A∞. Затем предельную точку восходящей или нисходящей прямой особого положения соединяют с дистанционной точкой. Полученный при ней угол является натуральной величиной угла наклона заданного отрезка к предметной плоскости. В данном примере прямая АA∞ является нисходящей прямой особого положения. Для определения угла наклона восходящей или нисходящей прямой особого положения к предметной плоскости по изображению ее на картине находят предельную точку заданной прямой, продолжив ее до пересечения с линией главного вертикала, и соединяют найденную точку с дистанционной. Угол между проведенной прямой и линией горизонта при дистанционной точке будет натуральным углом наклона восходящей или нисходящей прямой особого положения к предметной плоскости. Условимся далее в тексте и на рисунках обозначать предельные точки восходящей прямой особого положения РВ (A∞ ≡ РВ), а нисходящей — РН (A∞ ≡ РН), так как они находятся на линии главного вертикала и их проекцией на предметную плоскость является главная точка Р. 6.4 ПОСТРОЕНИЕ В ПЕРСПЕКТИВЕ УГЛА НАКЛОНА ПРЯМОЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ К ПРЕДМЕТНОЙ ПЛОСКОСТИ Зададим в предметном пространстве проецирующего аппарата произвольно направленную восходящую прямую A'A'∞ под углом ' к предметной плоскости (рис. 122, а). Для построения перспективы восходящей прямой общего положения и определения величины угла наклона ее к предметной плоскости сначала находят на картине конец А. Затем строят предельные точки A∞ и а∞ восходящей прямой и ее проекции. В нейтральном пространстве образовался прямоугольный треугольник, у которого прямая А∞а∞ является линией пересечения плоскости a∞SA∞ с картиной, поэтому предельные точки будут находиться на перпендикуляре, проведенном к линии горизонта через точку а∞. Отрезок АА∞ — это перспектива восходящей прямой общего положения и Аа∞ — ее проекция на предметную плоскость. Заметим, что угол A∞Sa∞ при точке зрения равен углу наклона восходящей прямой к предметной плоскости, так как параллельны их сходственные стороны, а также по построению. Данный угол находится в плоскости прямоугольного треугольника (A∞a∞S = 90°). Повернув этот треугольник вокруг катета A∞a∞, его совмещают с плоскостью картины. В совмещенном треугольнике угол А∞М∞а∞ = . Из построения видно, что натуральная величина угла наклона восходящей прямой к предметной плоскости определяется при масштабной точке М∞ на линии горизонта, вертикальный катет А∞а∞ вращаемого треугольника совпадет с картиной, а горизонтальный катет а∞М∞ равен величине a∞S. Величину горизонтального катета a∞S можно определить на картине вращением треугольника PSa∞, в котором он является гипотенузой, и совмещением его с плоскостью картины (PА∞). Тогда a∞S = а∞М∞. а) б) Рис. 122 Построение на картине восходящей прямой общего положения, заданной под углом к предметной плоскости, показано на рисунке 122, б. Для построения в перспективе угла наклона восходящей прямой общего положения к предметной плоскости его задают на линии горизонта при масштабной точке проекции данной прямой. Продолжив сторону этого угла до пересечения с перпендикуляром, проведенным через предельную точку ее проекции, получают предельную точку восходящей прямой общего положения, направленной к предметной плоскости под заданным углом. Для построения перспективы угла наклона нисходящей прямой общего положения к предметной плоскости задают натуральный угол при масштабной точке этой прямой под линией горизонта. Для определения угла наклона восходящей или нисходящей прямой общего положения к предметной плоскости, заданной на картине, находят масштабную точку ее проекции и предельную точку этой прямой. Прямая, проведенная через масштабную и предельную точки, с линией горизонта определит натуральную величину угла наклона ее к предметной плоскости. На картине (рис. 123) заданы нисходящая прямая АВ общего положения и ее проекция аb. Требуется определить натуральную величину угла наклона нисходящей прямой общего положения к предметной плоскости. Построение выполняют в следующей последовательности. Сначала продолжают проекцию заданной нисходящей прямой до пересечения с линией горизонта и отмечают ее предельную точку a∞. Затем продолжают нисходящую прямую до пересечения с перпендикуляром, проведенным к линии горизонта вниз через точку a∞, и определяют предельную точку А∞ данной прямой. Далее, построив совмещенную точку зрения (P = PD) и отложив а∞М∞ = а∞ на линии горизонта, отмечают масштабную точку М∞. Прямая М∞А∞, соединяющая масштабную и предельную точки, образует с линией горизонта угол наклона нисходящей прямой общего положения к предметной плоскости, заданной на картине. Рис. 123 Рис. 124 Натуральную величину отрезка восходящей или нисходящей прямой общего положения и угла наклона к предметной плоскости можно определить способом выноса его в плоскость картины при помощи масштабной точки. Этот способ подробно рассмотрен в п.5.5 (см. рис. 88, 89). Заметим, что его можно применять для построения или определения натуральных углов и линейных размеров какой-либо плоской фигуры. На картине (рис. 124) задана фигура в вертикальной плоскости. Требуется определить ее натуральную величину. Для этого продолжают ее основание до пересечения с линией горизонта и определяют предельную точку А∞. Масштабную точку М∞ для этой прямой строят, отложив А∞=А∞М∞. Через масштабную точку и углы фигуры проводят пучок параллельных прямых до пересечения с плоскостью картины. Соединив последовательно все точки пересечения прямых с картиной, получают совмещенную фигуру с натуральными углами и линейными размерами. 6.5 ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ В ПЕРСПЕКТИВЕ Общие понятия. Умение строить в перспективе окружность нужно не только для изображения на картине круглых предметов, но и для показа различных положений между отдельными элементами предметов, например полуоткрытого окна или двери, наклонной картины или зеркала, очертания теней от круглых предметов и др. В перспективе изображение окружности может иметь различное начертание. Это зависит от того, как расположена плоскость окружности относительно картины и точки зрения. В частном случае перспективой окружности будет окружность, если она расположена в плоскости, параллельной картине, и ее геометрический центр совпадает с точкой Р. Другой частный случай перспективы окружности — прямолинейный отрезок. Такое изображение получается тогда, когда все лучи зрения, направленные к точкам изображаемой окружности, расположены в одной лучевой плоскости (например, окружность в плоскости горизонта или плоскости главного луча зрения). Во всех других положениях окружность на картине изобразится лекальной кривой. Перспективой окружности может быть эллипс, парабола и гипербола, если нейтральная прямая соответственно не имеет общих точек с данной окружностью, касается или пересекает ее. Примером изображения окружности в виде различных лекальных кривых может быть картина арены цирка с амфитеатром для зрителей. Например, рисующий сидит в пятом ряду с точкой зрения на уровне шестого ряда. Тогда арена и первые четыре ряда изобразятся эллипсами или его частями; окружность пятого ряда — параболой; окружность шестого ряда, находящаяся в плоскости горизонта, — отрезком прямой, совпадающим с линией горизонта; окружности седьмого и последующих рядов — гиперболами. а) б) в) Рис. 129 В практике построения перспективы окружности наиболее часто встречается эллипс. Из геометрии известно, что это замкнутая плоская кривая, симметричная относительно двух взаимно перпендикулярных осей (рис. 129, а). Большая и малая оси эллипса, пересекаясь в центре, делятся пополам. Заметим, что эллипсы — изображения окружности в перспективе — теряют эти свойства (рис. 129, б). Чтобы построить изображение окружности в перспективе, находят отдельные точки, принадлежащие кривой, и плавно соединяют их от руки. Плавность очертания линий достигается достаточным числом близко расположенных друг к другу точек, принадлежащих этой кривой. Чем длиннее участок кривой линии, тем большее число точек надо построить для ее проведения. Причем в местах, где кривизна линии больше, точки должны быть расположены ближе друг к другу. Нужно помнить, что, каким бы узким эллипс ни был, он не будет иметь острых углов и прорисовывается с четко видимыми закруглениями (рис. 129, в). Способы построения изображений окружности в перспективе. Известно несколько способов построения окружности в перспективе. Основным, наиболее простым и удобным, является способ описанного квадрата. Сущность его заключается в том, что сначала строят в перспективе квадрат, а затем в него вписывают окружность, определив восемь точек — середины сторон квадрата и пересечения окружности с его диагоналями. Этот способ удобно применять при изображении в перспективе окружности небольших размеров. Выполним такое построение окружности, лежащей в предметной плоскости. Для этого задают натуральную величину окружности, вписанной в квадрат и совмещенной с плоскостью картины. Для упрощения построения одну из сторон квадрата совмещают с основанием картины (рис. 130). Рис. 130 Рис. 131 Построение выполняют в следующей последовательности. Сначала строят перспективу квадрата и отмечают на нем четыре точки, лежащие на серединах его сторон. В окружности эти точки будут концами вертикального (—) и горизонтального (—) диаметров. Для их нахождения проводят глубинные прямые, соответствующие направлениям вертикальных сторон квадрата и диаметра окружности. Через правый (или левый) угол квадрата проводят его диагональ с точкой схода D1 (или D2). Пересечение диагонали с левой стороной квадрата определит в перспективе его вершину и дальнюю сторону. Пересечение диагонали с глубинной прямой — изображением вертикального диаметра окружности — определит ее центр и горизонтальный диаметр. Концы диаметров окружности лежат на серединах сторон квадрата. В перспективе они определят четыре точки эллипса: 1, 2, 3, 4. Затем строят еще четыре точки пересечения диагоналей квадрата с окружностью (5, 6, 7, 8). Для этого в совмещенном фронтальном положении квадрата проводят две вспомогательные прямые через точки и , и , параллельные вертикальному диаметру окружности. В перспективе они будут глубинными прямыми, которые в пересечении с диагоналями квадрата определят еще четыре точки эллипса: 5, 6, 7, 8. Соединив последовательно все построенные точки плавной линией, получают изображение окружности в перспективе — эллипс. При использовании способа описанного квадрата можно упростить построение. Для этого в совмещенном положении с картиной строят половину квадрата (рис. 131) или его четверть и вписывают в них соответственно половину или четверть окружности. Если расстояние между некоторыми точками очень велико, то применяют промежуточные, дополнительные точки. Их находят в пересечении окружности со вспомогательной прямой, проходящей через центр . Так (см. рис. 131) на окружности найдена точка 9 в пересечении глубинной прямой со вспомогательной, проведенной через центр эллипса. Таким же образом построена точка 10. Определив в перспективе точки 9 и 10, можно построить симметрично им еще пару точек: 11 и 12, отложив на горизонтальных прямых соответствующую половину хорды. Если окружность расположена в вертикальной плоскости, то применяют тот же способ описанного квадрата и выполняют построения, аналогичные предыдущим примерам. Так, сначала на картине (рис. 132) в вертикальной плоскости строят перспективу квадрата с заданной стороной А0ВК и определяют лежащие на его сторонах четыре точки эллипса (1, 2, 3, 4). Затем находят точки пересечения диагоналей квадрата с окружностью, для чего используют вспомогательные прямые, которые на картине являются глубинными. Совмещенный квадрат, в который вписана окружность (в данном примере взята его 1/4 часть), располагают сбоку при картинном следе А0ВК плоскости. Для построения точек, расположенных на диагоналях, применяют фронтальное положение квадрата, заданного при ближней или дальней его стороне. Заметим, что можно строить только 1/8 часть окружности, как это показано на рисунке 133. Рис. 132 Рис. 133 Для построения перспективы какой-либо кривой применяют аналогично способ описанного прямоугольника. Этим способом строят, например, арку моста (рис. 134). Определив с помощью перспективного масштаба ширину и высоту пролета арочной части моста (рис. 135), строят прямоугольник и находят крайние точки 1 и 2 кривой. Затем проводят в нем диагонали, точка пересечения которых определит с помощью вертикальной прямой по­ложение вершины кривой арочного моста (3). Перспективу точек 4 и 5 пересечения диагоналей с кривой определяют с помощью горизонтальной прямой и точки схода F∞ . Для точности построения кривой находят дополнительно точки, проведя диагонали в полученных двух прямоугольниках через центр О1 и точки 6 и 7, лежащие в пересечении вертикальной прямой с кривой арки моста. Рис. 134 Рис. 135 При построении круглых предметов следует иметь в виду одно очень важное условие — их следует располагать ближе к середине и главной точке картины. Заметим, что эллипсы — изображения окружности, расположенные ближе к боковым краям картины, принимают сильно искаженную форму (рис. 136, а). Если все же на основе композиционного замысла художника необходимо расположить круглый предмет далеко от главной точки, то делают корректировку эллипса или заменяют главную точку Р другой точкой схода, например А∞, расположенной на линии горизонта над этой окружностью (рис. 136, б). Рис. 136 Следует помнить, что шар в перспективе принимает очертание окружности только в том случае, если его геометрический центр совпадает с главной точкой картины. В других положениях изображение формы шара искажается. Поэтому на картине в изображения предметов шаровой (сферической) формы вносят коррективы (поправку). Для придания объемности в линейном рисунке шара применяют параллели, расположенные в горизонтальных плоскостях и построенные в перспективе способом описанного квадрата. 6.6 ПОСТРОЕНИЕ В ПЕРСПЕКТИВЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ КРУГЛЫХ ПРЕДМЕТОВ Рассмотренные в предыдущем параграфе построения позволяют изображать на картине достаточно точно предметы, имеющие круглые очертания форм (стол, ваза, арки мостов, цилиндрические своды перекрытий и др.), а также предметы полуоткрытые и наклонные (дверь, окно, крышка коробки, картина и др.). Рассмотрим примеры изображения предметов в перспективе с применением построения окружности, лежащей в различно расположенных плоскостях. Плоскость окружности горизонтальная. На картине (рис. 137) показано построение вертикального цилиндра, у которого заданы диаметр основания и высота. Для этого отмечают в предметной плоскости произвольно центр окружности О, на основании картины — натуральную величину радиуса окружности, а на боковой стороне рамки картины — высоту цилиндра. Рис. 137 Сначала задают совмещенное положение четверти квадрата в соответствии с размером радиуса основания цилиндра и строят окружность в перспективе способом описанного квадрата по восьми точкам. Для построения высоты и верхнего основания цилиндра применяют вертикальную масштабную шкалу. Точки эллипса видимой части нижнего основания переносят с помощью горизонтальных прямых на масштабную шкалу. На ней определяют величину образующих цилиндра и отмечают точки эллипса, принадлежащие видимой части верхнего основания цилиндра. На картине (рис. 139) показано построение полуоткрытых дверей на фронтальной и боковой стенах комнаты. С помощью масштабной шкалы определяют ширину дверного проема 0,9 м на фронтальной стене. Чтобы изобразить полуоткрытую дверь на заданный угол 60°, строят 1/4часть окружности в плоскости пола. Для этого применяют способ описанного квадрата при заданном радиусе окружности, равном ширине дверного проема. Затем строят четвертую часть квадрата во фронтальном положении, задав угол 60°, и конец радиуса переносят на перспективное изображение окружности (эллипс) с помощью глубинной прямой. Направление нижнего края двери в пересечении с линией горизонта определит точку схода F2. После этого строят линию верхнего края двери, соединив его конец с той же точкой схода F2. Чтобы определить направление торцевой стороны двери, строят прямой угол при совмещенной точке зрения и находят точку схода F1. Рис. 139 Для построения изображения полуоткрытой двери на боковой стене определяют ширину проема с помощью масштаба глубин. Дальнейшие построения выполняют, как в предыдущем примере. Плоскость окружности вертикальная. На картине (рис. 140) показано построение арочного моста с полуцилиндрическим очертанием при заданном радиусе окружности. Заметим, что его окружности расположены в глубинных плоскостях с точкой схода Р. Отсюда ширину арки (диаметр окружности) определяют при помощи масштаба глубин с точкой схода D для линий переноса. Высота арки соответствует радиусу окружности. Этот размер определяют с помощью масштаба высот. Способом описанного квадрата строят точки эллипса и очертание арки моста. Заметим, что толщина арки определяется горизонтальным отрезком прямой, параллельной основанию картины, с помощью масштаба широт. Рис. 140 На картине (рис. 141) требуется построить изображение арочного пролета дома по заданным размерам. Цилиндрическая арка находится в произвольно направленной вертикальной плоскости дома, имеющей точку схода F2. Размер по ширине пролета, равный диаметру окружности, определяют с помощью масштабной точки М2. Направление отрезка, определяющего толщину пролета, имеет точку схода F1, которая получена после построения прямого угла при совмещенной точке зрения. Рис. 141 7. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРСПЕКТИВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ Художники и архитекторы в своей практике часто используют способы упрощенного графического построения перспективных изображений, которые сокращают время на их выполнение и удобны тем, что линии построения не выходят за пределы рамки картины. К таким способам относятся построение перспективной сетки, уменьшение и увеличение картины. Кратко перечислим некоторые из существующих способов. Заметим, что их применяют в тех случаях, когда не требуется большая точность построения. 7.1 СПОСОБ ПЕРСПЕКТИВНОЙ СЕТКИ Сущность этого способа заключается в том, что на картине строят с помощью масштабов широт, высот и глубин перспективную сетку из квадратов (или прямоугольников), расположенных в простейшем положении: две его стороны параллельны, а две перпендикулярны основанию картины. На сетку переносят изображения, заданные в такой же сетке, но расположенной фронтально. Перспективные сетки могут быть построены в горизонтальных, вертикальных и наклонных плоскостях, когда нужно перенести на них какой-либо плоский рисунок орнамента или изображение на картине, висящей в интерьере комнаты. Для более точного построения орнамента число квадратов увеличивают, а следовательно, уменьшают величину их сторон (рис. 142, рис. 143, рис. 144). рис. 142 рис. 143 рис. 144 7.2 ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВЫ ОБЪЕКТА ПО ПЛАНУ И ФАСАДУ Метод центральных проекций (перспектива) широко используется в архитектурно-строительном черчении. Обычно чертежи архитектурного объекта выполняют в системе ортогональных проекций и каждое изображение имеет свое название: фасад, план, разрез и т. д. Как правило, архитектурно-строительные чертежи сопровождаются наглядными изображениями проектируемых сооружений, которые выполняются в перспективе. Перспективное изображение по заданному архитектурно-строительному чертежу может быть выполнено различными способами, но во всех случаях в основе лежит общий метод. Сущность его заключается в том, что на заданном чертеже объекта (сооружения) отображают процесс построения его перспективы вместе с проецирующим аппаратом, на котором он выполняется. На основе графических данных чертежа строят перспективное изображение объекта на картине (рис. 145). Рис. 145 7.3 СПОСОБ АРХИТЕКТОРА Способ архитектора — это построение перспективы объекта по плану и фасаду с учетом положения точки зрения. Он очень прост и удобен тем, что при построении перспективы объекта можно заранее выбрать положение точки зрения и картины, чтобы обеспечить определенные условия наглядности изображения. На плане положение зрителя задают точкой стояния s и основанием картины kk. На фасаде задают высоту точки зрения Ss, т. е. положение линии горизонта с учетом определенных условий и места рассматривания объекта в натуре (рис.146). Рис.146 8. ПОСТРОЕНИЕ ТЕНЕЙ В ПЕРСПЕКТИВЕ Глаз человека воспринимает предметы в окружающем нас пространстве благодаря их освещенности каким-либо источником света, который может быть расположен относительно зрителя и изображаемых предметов по-разному. 8.1 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕОРИИ ТЕНЕЙ Рассматривая окружающие предметы, легко заметить, что степень освещенности их частей неодинакова. Наиболее освещенными бывают те поверхности, на которые лучи света падают под прямым углом, и яркость их усиливается при более близком расположении источника света к объекту. С уменьшением угла наклона световых лучей к поверхности яркость освещенности ее ослабевает. Наиболее темной является та часть поверхности предмета, на которую лучи света не попадают совсем (рис. 147, а, б). Различная освещенность частей предмета позволяет судить о его пространственной форме и рельефе поверхности. Художники выражают зависимость освещенности от рельефа поверхности посредством штрихов, тушевки или наложения тоновых и цветовых пятен на соответствующие его части. Для правильной передачи формы изображаемого предмета, построенного по представлению, а не по оригиналу, или при составлении композиции необходимо знать некоторые закономерности распределения светотеней и способы их построения. Этими вопросами занимается так называемая тональная перспектива. Рис. 147 Известно, что, рисуя с натуры, художник наносит светотени по непосредственному наблюдению и восприятию. Однако и в этом случае необходимо знание законов их построения, для того чтобы проверять и корректировать правильность выполнения изображений. Светотень на предмете в окружающем пространстве и падающую тень от него строят следующим образом: от источника света С исходят световые лучи и надают на какую-либо плоскость (экран), но на их пути находится непрозрачный предмет, который задерживает их. В результате часть экрана остается неосвещенной. Эта часть называется падающей тенью предмета (рис.148). Поверхность предмета разделяется на освещенную и затемненную части. Последняя называется собственной тенью предмета. Граница, разделяющая освещенную и неосвещенную части предмета, является контуром собственной тени или линией раздела света и тени. Линия светораздела представляет собой множество точек, в которых световые лучи касаются поверхности предмета. Касательные лучи, попадая на экран, образуют линию контура падающей тени и ограничивают между предметом и экраном затемненное пространство, которое называется конусом тени. Если освещен многогранный предмет, то затемненное пространство будет иметь форму пирамиды тени, которая усечена поверхностью предмета и экрана. Рис. 148 Рис. 149 Построение падающей и собственной тени предмета связано с условием его освещения. Различают два основных источника освещения: искусственный и естественный. Искусственный источник света, как правило, расположен на небольшом расстоянии от предмета, и его называют светящейся точкой или факелом. Примерами искусственного точечного источника света могут быть электрическая лампочка в комнате, настольная лампа, фонарь на улице, пламя свечи или спички и др. При точечном освещении на экран падает пучок расходящихся лучей (см. рис. 148). Естественный источник света (Солнце или Луна) условно предполагается расположенным в бесконечности. Такое освещение называют солнечным. При солнечном освещении лучи, падающие на экран, считают параллельными (рис. 149). Если предмет многогранный, то при солнечном освещении затемненное пространство будет иметь форму призмы тени, а при освещении круглого предмета — цилиндр тени. Насыщенность (густота) падающей и собственной тени предмета зависит от многих факторов. Существенную роль здесь играет расстояние между предметом и источником света, яркость света, цвет и тональность окружающих предметов в пространстве, чистота воздуха, время дня и пр. В реальных условиях собственная тень никогда не бывает абсолютно черной, так как в этой части поверхность освещается отраженным светом от других предметов. Некоторое влияние на освещенность оказывает окружающий воздух, насыщенный пылинками, рассеивающими лучи света во всех направлениях. Отраженный свет в теневой части предмета называется рефлексом. Интенсивность освещенности поверхности предмета, обращенной к источнику света, также зависит от разных условий, например от угла наклона световых лучей к поверхности, от насыщенности слоя воздуха, от физических свойств освещаемой поверхности (матовая или блестящая), от материала, из которого сделан предмет, и др. Практически невозможно полностью учесть все явления, влияющие на интенсивность света и тени. Можно лишь выделить ряд общих положений (правил) в изображении светотени и падающей тени предмета, которые следует учитывать при рисовании с натуры или по представлению, при составлении композиции и т. д. Собственные тени на предметах обычно изображают более светлыми, чем падающие, из-за отражений (рефлексов) от земли и окружающих предметов. По той же причине верхняя часть собственной тени немного светлее, чем нижняя. Если предмет плоскогранный, то переход от света к тени четко разграничен ребрами (рис. 150). Рис. 150 Рис. 151 У предметов круглой формы переход от света к тени осуществляется постепенно (рис. 151). Предметы с блестящими поверхностями в освещенной части имеют особенно ярко высветленное место — блик. Падающая тень ослабевает по мере удаления от предмета и источника света. Граница тени тем четче, чем ближе источник света и чем меньше сама тень. Если тень велика, то границы удаленной от предмета части становятся менее четкими, расплывчатыми. В практике возможны построения теней при освещении предмета несколькими источниками света. В этом случае образуются две падающие тени, которые могут быть наложенными. Общая часть двух падающих теней, полностью затененная от двух источников света, называется полной тенью предмета. Несовпадающие части теней называются падающими полутенями. Они менее интенсивны по освещенности, чем полная тень, так как лучи каждого из двух источников света освещают тень, образуемую другим источником (рис. 152). Таким же путем образуется полная тень и полутень от предмета, освещенного некоторой светящейся поверхностью, расположенной на близком расстоянии, например лампа с матовым плафоном. При светящейся поверхности контур тени не имеет резких очертаний. Рис. 152 8.2 ПОСТРОЕНИЕ ТЕНЕЙ ПРИ ИСКУССТВЕННОМ ОСВЕЩЕНИИ Для построения падающих теней от какого-либо предмета необходимо, чтобы на картине или недалеко за ее пределами были заданы проекции светящейся точки и всех точек предмета, определяющих контур падающей тени на предметной плоскости. Построение теней в перспективе является позиционной задачей, которая сводится к нахождению или линии пересечения «теневой поверхности», или точки пересечения светового луча с поверхностью, на которую падает тень. Построение падающей тени при искусственном точечном освещении основано на следующих действиях. На картине (рис. 153) задан вертикальный предмет в виде прямолинейного отрезка АВ, перпендикулярного к предметной плоскости, и светящаяся точка С с основанием с. Для построения падающей тени на предметную плоскость направляют световые лучи ко всем точками предмета. В данном случае предмет прямолинейный и световые лучи образуют «теневую плоскость», которая в пересечении с предметной плоскостью определяет прямую линию, являющуюся его тенью. Следовательно, здесь достаточно найти падающую тень от верхнего А и нижнего В концов предмета. Тень от точки, определяющей нижний конец, совпадает с ней самой (В ≡ В*). Тень от верхнего конца А находится в точке А* пересечения светового луча с предметной плоскостью. Ее находят в пересечении светового луча со своей проекцией. Для определения контура падающей тени от предмета строят тень от всех характерных его точек. Для этого проводят световые лучи и их проекции через светящуюся точку и точки предмета. Точка пересечения луча и его проекции определит падающую тень от каждой вершины предмета, а линия, соединяющая их,— очертание контура всей тени. Рассмотрим ряд примеров построения падающей тени от предметов при точечном источнике света. Пример 1. На картине (рис. 154) задана вертикальная пластина прямоугольной формы, поставленная на предметную плоскость, а также точечный источник света. Требуется построить тень от пластины. Рис. 153 Рис. 154 Сначала строят падающие тени от двух вертикальных ребер пластины и, соединив полученные точки, определяют контур искомой тени. Заметим, что верхняя сторона АВ пластины параллельна предметной плоскости. Отсюда падающая тень А*В* от нее должна быть параллельна этой стороне и поэтому в перспективе имеет с ней общую точку схода А∞ Это положение дает возможность упрощать сложные построения, а также проверять и уточнять правильность определения контура тени в перспективе всего предмета. Пример 2. На картине (рис. 155) заданы вертикальные плоскость и предмет в виде прямолинейного отрезка АВ, от которого падает тень. Для построения тени от этого отрезка находят линии пересечения «теневой плоскости» с вертикальной и предметной плоскостями. Построение тени на предметной плоскости известно. Вертикальный участок тени определяют как линию пересечения двух горизонтально-проецирующих плоскостей, проведя ее через точку пересечения их оснований. Пример 3. На картине (рис. 156) заданы вертикальная пластина и опирающийся на ее верхний край прямолинейный стержень. Требуется построить падающую тень от пластины и стержня. Тень от пластины строят по одной ближней ее вершине (см. рис. 154), помня, что параллельные линий имеют общую точку схода. Для построения тени от стержня вначале определяют его проекцию на предметную плоскость. Для этого находят проекцию b точки опоры В стержня на основании пластины. Затем строят проекцию стержня, соединив нижний его конец Е с проекцией Ь опорной точки. После этого находят проекцию а свободного конца А и строят от него тень А* на предметную плоскость (см. рис. 153), которая определит тень Е*А* от всего стержня. Тень на пластине находят как линию пересечения ее с «теневой плоскостью» стержня. Для этого соединяют две имеющиеся точки тени на верхней В и нижней стороне пластины. Рис. 155 Рис. 156 Пример 4. На картине (рис. 157) заданы спичечная коробка и опирающаяся на ее ребро спичка. Требуется построить от них тень при точечном источнике света. Рис. 157 Сначала строят тень от коробки (см. рис. 156) .Для построения тени от спички определяют ее проекцию на предметную плоскость, проходящую через опорную точку на ребре, как в предыдущем примере. Затем строят тень от спички на предметной плоскости и на вертикальной грани коробки. Чтобы построить тень от спички на верхней горизонтальной грани коробки, находят принадлежащие ей две точки. Одна из них — точка опоры. Вторую находят по ее тени на предметную плоскость (пересечение теней верхнего ребра коробки и спички). Если через данную точку провести световой луч, то в пересечении с ребром он определит вторую точку тени от спички на верхней грани коробки. Заметим, что тени от спички на предметной плоскости и на верхней грани коробки параллельны между собой, поэтому в перспективе они имеют общую точку схода. Это правило используют при построении, когда предельная точка тени не выходит за пределы картины. Пример 5. На картине (рис. 158) заданы треугольная призма, лежащая на боковой грани, и конус с вертикальной осью. Требуется построить от них тень при точечном источнике света. Построение падающей тени от призмы известно (см. рис. 157). Таким же образом строят тень от конуса на предметную плоскость. Для этого определяют сначала тень А* от вершины А и через нее проводят две касательные к эллипсу — основанию конуса. Для построения тени от конуса на боковой наклонной грани призмы определяют две пары точек, принадлежащих ей. На нижнем боковом ребре призмы точки определены в пересечении с тенями 1 образующих конуса. На верхнем ребре точки находят при построении тени от конуса на вертикальную плоскость, проведенную I через это ребро. Построенный треугольник тени в пересечении с верхним ребром призмы определит вторую пару точек, а затем и всю тень от конуса на боковой грани. Рис. 158 Пример 6. На картине (рис. 159, а) в углу комнаты висит лампа с круглым абажуром, освещающая часть пола и стену. Требуется построить световое пятно от лампы. В данном примере задача сводится к построению светового пятна, полученного в результате пересечения светового конуса горизонтальной плоскостью пола и вертикальной плоскостью стены. Нетрудно понять, что в первом случае очертанием контура светового пятна будет в натуре окружность, которая на картине примет форму эллипса, а во втором — гипербола, поскольку плоскость стены параллельна оси конуса. Для решения данной задачи задают диаметр окружности светового пятна, полученного на плоскости пола. Если световое пятно играет композиционную роль на картине, то размер диаметра окружности зависит от некоторых заданных условий. Например, световое пятно должно покрывать почти всю поверхность пола и частично падать на левую стену, а лампа должна висеть тоже на определенной высоте над линией горизонта. Построение светового пятна выполняют в следующей последовательности. Строят угол комнаты, отметив точки схода сторон прямого угла F1 и F2, и положение лампы С с абажуром, задав место прикрепления ее шнура к потолку в точке с1. Рис. 159 Затем определяют основание светящейся точки на полу с2, для чего через светящуюся точку С проводят любую горизонтально-проецирующую плоскость. На рисунке 159, а она перпендикулярна левой стене. Линии пересечения ее с потолком и полом будут иметь с правой стеной общую точку схода F1. Сначала проводят линию пересечения проецирующей плоскости с потолком и стеной, а затем с полом, на которой определяют проекцию с2 — основание светящейся точки. На рисунке 159, б через светящуюся точку проведена фронтальная плоскость. Найдены линии, параллельные основанию картины, пересечения ее с плоскостями потолка и пола, а вертикальная — с левой стеной. Затем определена проекция с2 светящейся точки С на плоскости пола. Приняв основание с2 светящейся точки за центр окружности светового пятна, задают ее горизонтальный диаметр, расположенный параллельно основанию картины с учетом композиционного замысла рисующего и заданных условий. Для этого от центра окружности (эллипса) влево откладывают произвольной величины радиус так, чтобы конец его находился за пределами стены. Этот радиус откладывают и вправо. Зная центр и диаметр окружности светового пятна, можно построить его перспективу, т. е. эллипс, способом описанного квадрата. Для определения положения светящейся точки (лампочки) внутри абажура проводят световые лучи через концы горизонтальных диаметров светового пятна и отверстия абажура. В точке пересечения лучей отмечают положение лампочки. Если световые лучи пересекутся за пределами абажура, то уменьшают его отверстие с учетом заданного условия — величины светового пятна. Можно выполнить построение иначе: сначала задать лампочку внутри абажура и, проведя лучи в концы диаметра светового пятна, определить диаметр отверстия абажура. Световое пятно на стене, как уже было сказано, представляет собой очертание гиперболы. Концы 1 и 2 ветви гиперболы находятся в пересечении эллипса с плинтусом стены. Вершина 3 гиперболы расположена на линии пересечения левой стены с пер­пендикулярной к ней горизонтально-проецирующей плоскостью F1с1с2, проведенной через светящуюся точку. Для ее построения через точку пересечения основания этой плоскости с линией эллипса проводят луч, который в пересечении с перпендикуляром в плоскости стены определит вершину 3 гиперболы. Для определения промежуточных точек гиперболы проводят через произвольно взятые за пределами стены точки эллипса световые лучи и их проекции. Они определят вспомогательные го­ризонтально-проецирующие плоскости, которые, пересекаясь со стеной, образуют линии пересечения, где расположены искомые точки гиперболы. Пример 7. На картине (рис. 160) задан угол комнаты с предметами обстановки, освещенными лампой. Требуется построить от них тени. Рис. 160 Поскольку тени от предметов падают на пол и две стены, то строят проекции с2, с3, с4 светящейся точки С на все три плоскости, а также с1 на потолке, для чего опускают на них перпендикуляры. Тень от полки строят, начиная с переднего нижнего угла. Для этого через него и светящуюся точку С проводят световой луч, а через проекции угла и светящейся точки с4 — проекцию луча. По тени вершины угла легко определить тени от вертикального и горизонтального ребер полки, а затем и очертание всей тени от полки, помня об общих точках схода. Для письменного стола строят сначала тень от правой боковой плоскости, проведя световой луч через переднее ребро, а его проекцию — через точку с2. Соединив полученную точку с основанием переднего ребра, а также построив линию пересечения теневой плоскости с полом и со стеной, определяют очертание падающей тени от боковой плоскости. Таким же образом строят тень от шкафа, падающую на левую стену. Для этого используют проекцию с3 светящейся точки С. Тень на потолке от абажура лампы строят так же, как световое пятно на полу в углу комнаты (см. рис. 159, а). 8.3 ПОСТРОЕНИЕ ТЕНЕЙ ПРИ СОЛНЕЧНОМ ОСВЕЩЕНИИ При рисовании с натуры в помещении или на пленэре солнечное освещение объекта, а следовательно, и очертание падающей тени от него постоянно меняются в отличие от искусственного источника света, при котором тени остаются неподвижными. Солнечное освещение — это частный случай точечного освещения, когда источник света удален на бесконечно большое расстояние. Поэтому принцип построения теней один и тот же. Лучи света при солнечном или лунном освещении принимают за параллельные, так как светящаяся точка (Солнце или Луна) находится условно в бесконечности. На картине задают точку схода С∞ лучей в соответствии с выбранным направлением и ее проекцию с∞. Относительно зрителя солнце может иметь три положения, в соответствии с этим возможны три основных направления солнечных лучей: 1. Солнце расположено в предметном пространстве, т. е. перед зрителем. В этом случае солнечные лучи — восходящие параллельные прямые. Точка схода С∞ солнечных лучей находится над линией горизонта в произвольно выбранном или заданном месте, а ее проекция с∞ — на линии горизонта. При таком положении солнца падающая от предмета тень В*А* направлена на зрителя, а сам предмет обращен к нему теневой стороной (рис. 161). Чем выше точка схода солнечных лучей, тем ближе солнце к зениту. В зените солнце бывает только на экваторе, и тогда тени, падающие от предметов, совпадают с их основанием. В полдень тень короче, на восходе или закате солнца она длинней, и точка схода солнечных лучей находится близко к горизонту. 2. Солнце расположено в мнимом пространстве, т. е. сзади зрителя. В этом случае солнечные лучи — нисходящие параллельные прямые. Точка схода С∞ солнечных лучей находится под линией горизонта и в направлении, противоположном солнцу, а ее проекция с∞ — на линии горизонта. При таком положении солнца падающая от предмета тень А*В* направлена от зрителя, а сам предмет обращен к нему своей освещенной стороной (рис. 162). Чем дальше от линии горизонта удалена точка схода солнечных лучей, тем положение солнца больше соответствует полуденному времени. Если она расположена близко к горизонту, то это время заката или восхода солнца. 3. Солнце расположено в промежуточном пространстве, т. е. сбоку от зрителя (слева или справа). В этом случае солнечные лучи параллельны плоскости картины и наклонены к предметной плоскости под произвольным или заданным углом, т. е. они являются фронтальными прямыми. По законам перспективы они не имеют точки схода и остаются параллельными между собой, а их проекции на предметную плоскость параллельны основанию картины. Тень А*В*, падающая от предметов, будет горизонтальной и параллельной основанию картины. Предмет к зрителю будет обращен частично освещенной и теневой стороной. Направление солнечных лучей на картине указывается заданным углом наклона к ее основанию. Чем угол наклона больше, тем солнце ближе к полуденному времени и тени от предметов будут короткие. Если угол наклона солнечных лучей небольшой, то это время заката или восхода солнца и тени от предметов будут длинными (рис. 163). Рис. 161 Рис. 162 Рис. 163 При создании картины художник задает точку схода солнечных лучей произвольно в зависимости от композиционного замысла. При изображении архитектурных сооружений выбор направления солнечных лучей согласуется с действительными условиями предполагаемого расположения зданий относительно сторон света, с географической широтой места и наибольшей обозреваемостью с определенной точки зрения. С учетом этих условий можно правильно выбрать наклон солнечных лучей к предметной плоскости и направление их проекций. Наиболее простым является направление, параллельное плоскости картины. Угол наклона лучей к предметной плоскости для средних широт нашей страны выбирают в пределах от 30° до 45°. Удобней всего принять промежуточное значение этого угла, например 35°. Оно приблизительно соответствует углу наклона диагонали куба к его основанию (35°16'). При рисовании с натуры объектов солнечное освещение и падающие тени выбирают в процессе работы. Увидев наиболее удачное положение падающей тени от предмета, фиксируют тень от какой-либо одной его характерной точки. Затем по ней определяют точки схода солнечных лучей и их проекций и строят тень от всего предмета. Таким же путем определяют положение светового пятна в комнате при солнечном освещении. 9. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВЫ ОТРАЖЕНИЙ В ПЛОСКОМ ЗЕРКАЛЕ 9.1 ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О ПОСТРОЕНИИ ОТРАЖЕНИЙ В ПЛОСКОМ ЗЕРКАЛЕ Сущность процесса отражения от зеркала заключается в том, что лучи света, попадая на ее поверхность, изменяют свое направление. Построение изображений лучей света, отраженных от плоского зеркала, основано на следующих законах оптики (рис. 164): 1) лучи падающий (АВ1) и отраженный (В1А1) расположены в одной плоскости с перпендикуляром (ВВ1), проведенным к зер­калу через точку падения (В1); 2) угол падения (α) равен углу отражения (α1). Рассмотрим закономерность образования отражений в, плоском зеркале (рис. 165). Из точки С на зеркало АВ падает пучок лучей, ограниченный лучами СА и СВ, проходящими через его крайние точки А и В. По законам оптики (=и =) лучи отражаются от зеркала в направлении АА1 и ВВ1 расходящимся пучком. Если в поле отраженных лучей А1АВВ1 будет находиться глаз зрителя, он увидит точку С* в том месте пространства, где пересекутся в продолжении отраженные лучи. Точка С* является зеркальным отражением данной точки С. Из построения (равенства треугольников САс и С*Ас) следует, что точка С и ее отражение С* расположены на одном перпендикуляре к плоскости зеркала и на равном расстоянии от него. Иначе говоря, заданная точка и ее отражение симметричны относительно плоскости зеркала (Сс = С*с, СС*AB). Из данного доказательства можно вывести правило построения отражений в плоском зеркале. Для построения отражения предмета в зеркальной плоскости надо из всех характерных точек предмета опустить перпендикуляры к плоскости зеркала, найти точки их пересечения и продолжить перпендикуляры за плоскость зеркала на такое расстояние, на котором соответствующие точки предмета находятся перед ним. Рис. 164 Рис. 165 9.2 ПОСТРОЕНИЕ ОТРАЖЕНИЙ В ЗЕРКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ Рассмотрим пример построения в перспективе отражений при различных положениях зеркала относительно картинной и предметной плоскостей. Можно выделить семь основных положений зеркальной плоскости: 1) горизонтальное — зеркало параллельно предметной и перпендикулярно к картинной плоскостям; 2) фронтальное — зеркало параллельно картинной и перпендикулярно к предметной плоскостям; 3) вертикальное — зеркало перпендикулярно к картинной и предметной плоскостям; 4) вертикальное — зеркало перпендикулярно к предметной плоскости и под произвольным углом наклонено к картине; 5) наклонное — зеркало перпендикулярно к картине и расположено под произвольным углом к предметной плоскости; 6) наклонное — зеркало расположено под произвольным углом к предметной и картинной плоскостям (плоскость особого положения); 7) наклонное — зеркало расположено под произвольным углом к предметной и картинной плоскостям (плоскость общего положения). Рассмотрим примеры перечисленных положений зеркальной плоскости и способы построения на пей отражений предметов. Пример 1. Плоскость зеркала расположена горизонтально. Это отражение предметов в спокойной глади воды, в плоскости лакированного пола, полированной крышки стола, мокрого асфальта улиц и т.д. На картине (рис. 166) изображена (схематично) набережная. Требуется построить ее отражение в воде. Если предмет непосредственно соприкасается с водой, то отражение любой точки или отрезка Аа определяют на перпендикуляре, проведенном к плоскости зеркала, и откладывают от точки а пересечения его с водой равный по величине отрезок (Аа = аА*). Затем, пользуясь точкой схода А∞, строят отражение вертикальной плоскости набережной, проведя прямую А*А∞. Рис. 166 Рис. 167 Если предмет находится на горизонтальной плоскости земли, то пользуются дополнительными построениями. В данном примере вдоль набережной расположены фонари, удаленные от ее края на некоторое расстояние. Для построения их отражения в воде используют положение одного из фонарей Вb. В начале проводят перпендикуляр к плоскости зеркала, продолжив линию фонарного столба вниз под поверхность воды. Затем определяют точку пересечения этого перпендикуляра с поверхностью воды. Для этого через него проводят дополнительную (фронтальную или произвольно направленную вертикальную) плоскость и строят линию пересечения ее с поверхностью земли и воды. Если провести через отрезок Вb фронтальную плоскость, то линия А2b пересечения ее с поверхностью земли пройдет через основание b параллельно горизонту. Затем фронтальная плоскость пересечет край набережной по вертикальной прямой А2а2. И наконец, фронтальная плоскость пересечет поверхность воды по прямой а2b1, параллельной линии горизонта (А2b|| а2b1). Пересечение прямой а2b1 с перпендикуляром Вb определит точку касания фонарного столба при его продолжении с поверхностью воды. Заметим, что в воде будет видно отражение только верхней части фонарного столба. Если через отрезок Вb (фонарь) провести произвольно направленную вертикальную плоскость, то линия пересечения ее с поверхностью земли пройдет через его основание b и любую точку схода В∞, взятую на линии горизонта. Край набережной она пересечет по линии А3а3, а поверхность воды — по линии а3В∞, которая в пересечении с перпендикуляром также определит искомую точку b1. Заметим, что основания и вершины всех фонарных столбов (см. рис. 166) находятся на прямых, параллельных краю набережной, и, следовательно, имеют с ней общую точку схода А∞. Если вдоль набережной будут находиться здания, то их отражения в воде строят этим же способом. По тем же правилам построено отражение в воде арочного мостика с наклонным берегом реки (рис. 167). Пример 2. Зеркало расположено на фронтальной стене комнаты (рис. 168, а). Требуется построить в нем отражение тумбочки. Сначала из всех характерных точек предмета проводят перпендикуляры к плоскости зеркала. Заметим, что они являются глубинными прямыми и точкой схода их будет главная точка картины Р. Затем строят точки пересечении этих перпендикуляров с плоскостью зеркала, проведя через них вспомогательные глубинные плоскости. На рисунке показано построение отражения передней грани тумбочки. Через нее проведена глубинная плоскость и построена линия пересечения с зеркалом. Сначала определена точка 1 пересечения плинтуса стены с основанием глубинной плоскости, а затем прямая 1—2. На завершающем этапе откладывают от точек 1 и 2 на перпендикулярах за плоскость зеркала такое же расстояние, на котором находятся точки А и а ребра тумбы перед ним. Задача, по существу, сводится к удвоению глубинного отрезка, поэтому здесь удобно применить способ построения диагонали прямоугольника (см. рис. 97). Для этого через верхний угол А тумбочки и середину отрезка 1—2 (линии пересечения) проводят диагональ Аа* прямоугольника, которая на его основании отметит положение ножки тумбочки а* и отражение всего ребра А*а*. Таким же способом строят отражения всех остальных точек предмета. Для удвоения отрезка (а—1 = 1— а*) применяют и другой способ построения, используя масштаб глубин с дистанционной точкой схода линий переноса. На основе применения теоремы Фалеса точку схода А∞ линий переноса можно задать произвольно (рис. 168, б). Заметим, что в зеркале (см. рис. 168, а) отражается стена, которая находится сзади зрителя. а) б) Рис. 168 Рис. 169 Пример 3. Зеркало расположено на боковой стене комнаты, являющейся глубинной плоскостью (рис. 169). Требуется построить отражение. Перед зеркалом находится условный вертикальный предмет Аа. Для построения его отражения сначала проводят через все точки предмета перпендикуляры к плоскости зеркала, которые будут параллельны плинтусу фронтальной стены, а следовательно, и основанию картины. Затем через отрезок Аа проводят фронтальную плоскость, которая пересечет стену с висящим зеркалом по прямой 1—2. Отложив на перпендикулярах равные отрезки за зеркало (а—1 = 1—а* и А—2 = 2—А*), строят отражение предмета, стоящего перед зеркалом. Аналогично построено отражение в зеркале картины, висящей на фронтальной стене. Пример 4. Зеркало висит на боковой стене комнаты. Плинтусы стен имеют точки схода F1 и F2 (рис. 170, а). В углу комнаты стоит стул, плоскости которого параллельны стенам и полу. Требуется построить его отражение. Сначала из всех точек предмета проводят к плоскости зеркала перпендикуляры, точкой схода которых является F1 (на рисунке показано построение только одной ножки стула Аа). Для определения точек пересечения перпендикуляров с зеркалом проводят через них вспомогательную вертикальную плоскость. Она пересечет плоскость стены по прямой 1—2. Следовательно, точки 1 и 2 будут точками пересечения перпендикуляров с плоскостью зеркала. Затем на продолжении перпендикуляров за плоскость зеркала откладывают отрезки А—2 = 2—А* и а—1 = 1—а*. Для этого здесь также применен способ удвоения отрезка с помощью диагонали прямоугольника, проведенного через середину линии пересечения 1—2 и вершину А. Точка а* определит отражение основания и вертикальное положение ножки стула А*а*. Таким же образом строят отражение всех других точек предмета и картины, висящей на правой стене комнаты. Отражение второго угла комнаты в зеркале художник задает по своему усмотрению, так как на картине его нет. Отражение точек предмета при данном положении зеркала можно построить другим способом, как показано на рисунке 170, б, В этом случае использован прием построения, рассмотренный ранее в решении метрических задач (см. рис. 98, а, б). а) б) Рис. 170 Пример 5. Зеркало наклонено к предметной плоскости и перпендикулярно к картине. Следовательно, горизонтальные его края будут глубинными прямыми с главной точкой схода Р (рис. 171). На картине изображена комната с фронтальной стеной. На правой боковой стене висит наклоненное зеркало, а у левой стены оно стоит на полу с упором на нее. Перед каждым зеркалом на полу стоит условный вертикальный предмет Аа и Вb. Требуется построить их отражение в зеркале. Рис. 171 Сначала через заданные вертикальные отрезки проводят вспомогательные плоскости, перпендикулярные зеркалу. Так как по условию плоскости зеркала и картины взаимно перпендикулярны, вспомогательные плоскости должны быть фронтальными. Через концы а и b отрезков проводят линии а—1 и b—1 пересечения вспомогательных фронтальных плоскостей с предметной параллельно основанию картины. Заметим, что точка 1 является пересечением оснований зеркала и вспомогательной фронтальной плоскости. Через точку 1 параллельно боковым краям зеркала проводят линию 1—2 пересечения этих плоскостей. Поскольку через отрезки Аа и Вb проведены фронтальные плоскости, то прямые углы между перпендикулярами и прямой 1—2 будут натуральными (без искажения). За плоскость зеркала откладывают соответственно равные отрезки, как показано на рисунке 171. Можно отметить, что точка 2 на линии пересечения плоскостей является и точкой пересечения продолжения заданных отрезков и их отражений. отрезок и его отражение в зеркале симметричны относительно линии пересечения. Сначала находят точки 1 и 2, продолжив заданный отрезок Аа (Вb). Затем строят отраженные точки а* и b* основания предмета. Соединив их с точкой 2, определяют концы А* и В* отрезков, отраженных в наклонном зеркале. Список литературы 1. Макарова М.Н. Перспектива: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по худож.-граф. спец. – М.: Просвещение, 1989.- 191 с.: ил. 2. Соловьев С.А. Перспектива. – М.: Просвещение, 1981. – с.144.