Теоремы сложения и умножения вероятностей; сумма событий

Лекция 25. Теоремы сложения и умножения вероятностей Краткое содержание Сумма событий. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Произведение событий. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события. Теорема сложения совместных событий. 1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий Повторим определение суммы событий. Суммой А+В (или А∪В) двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. В частности, если события А и В — несовместные, то А+В — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Суммой нескольких событий называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Пусть события А и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В) = Р(А) + Р(В). Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий. Р( А1  A2    An )  P( A1 )  P( A2 )    P( An ) 1 Следствие 2. Сумма вероятностей событий А1, А2, … Аn, попарно несовместных и образующих полную группу, равна единице. P( A1 )  P( A2 )    P( An )  1 Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий А и Ā равна единице. Р(А) + Р(Ā) = 1. Пример 1. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Из урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот шар цветной? Решение. Обозначим А —событие, состоящее в извлечении цветного шара, В — событие, состоящее в извлечении красного шара, С — событие, состоящее в извлечении синего шара. Событие А состоит в появлении одного из событий В или С, безразлично какого, то есть представляет собой сумму двух несовместных событий: А=В+С. Поэтому для нахождения вероятности события А воспользуемся теоремой сложения для несовместных событий: Р(А+В) = Р(А)+Р(В) = 0,3+0,5=0,8. 2. Теорема умножения вероятностей Теперь вспомним, что произведением А∙В (или А∩В) двух событий А и В называют событие, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Условной вероятностью РА(В) события В называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Пример 2. В урне 5 белых и 7 красных шаров. Из урны вынимают наугад по одному шару, не возвращая их обратно. Если при первом испытании достали белый шар, то какова вероятность, что 2 а) второй шар будет белым; б) второй шар будет красным? Решение. а) Событие А – {первый шар белый}. Событие В – {второй шар белый}. После извлечения белого шара в урне осталось 11 шаров — 4 4 белых и 7 красных. Условная вероятность события В: РА(В) = . 11 б) Событие А – {первый шар белый}. Событие С – {второй шар 7 красный}. Условная вероятность события С: РА(С) = . 11 Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило. 𝑷(𝑨 ∙ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∙ 𝑷𝑨 (𝑩). Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: 𝑃(𝐴1 𝐴2 𝐴3 ∙ … ∙ 𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝐴1 ) ∙ 𝑃𝐴1 (𝐴2 ) ∙ 𝑃𝐴1𝐴2 (𝐴3 ) ∙ … ∙ 𝑃𝐴1𝐴2𝐴3… 𝐴𝑛−1 (𝐴𝑛 ). Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, то есть безразлично, какое событие считать первым, какое вторым и так далее. Пример 3. Среди ста лотерейных билетов имеется восемь выигрышных. Найти вероятность того, что три наудачу выбранные билета окажутся выигрышными. Решение. Пусть событие А – {первый билет выигрышный}, событие В – {второй билет выигрышный}, событие С – {третий билет выигрышный}. Вероятность того, что первый билет окажется выигрышным 3 𝑃(𝐴) = 8 . 100 Вероятность того, что второй билет окажется выигрышным, вычисляем в предположении, что в первом испытании был выбран выигрышный билет. То есть условная вероятность события В равна РА(В) = 7 . 99 Вероятность появления выигрышного билета в третьем испытании вычисляем в предположении что первый и второй билет оказались выигрышными. Таким образом условная вероятность события С равна РАВ (С) = 6 . 98 Искомую вероятность найдем на основании теоремы умножения: 𝑃(𝐴𝐵𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃𝐴 (𝐵) ∙ 𝑃𝐴𝐵 (𝐶) = 8 ∙ 7 ∙ 6 100 99 98 ≈ 0,00035. 3. Теорема умножения для независимых событий Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, то есть если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: РА(В)= Р(В). Несколько событий называют независимыми в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Для независимых событий теорема умножения имеет вид 𝑷(𝑨 ∙ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∙ 𝑷(𝑩). То есть вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. 4 Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: 𝑃(𝐴1 𝐴2 𝐴3 ∙ … ∙ 𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝐴1 ) ∙ 𝑃(𝐴2 ) ∙ 𝑃(𝐴3 ) ∙ … ∙ 𝑃(𝐴𝑛 ). Пример 4. Два стрелка стреляют одновременно в одну и ту же цель один раз. Вероятность поражения цели первым стрелком 0,8, вторым стрелком 0,5. Какова вероятность того, что оба стрелка попадут в цель? Решение. Событие А – {первый стрелок попал в цель}. Событие В – {второй стрелок попал в цель}. События А и В независимы, так как появление одного из них не изменяет вероятности другого. Поэтому вероятность совместного появления событий А и В найдем с помощью теоремы умножения для независимых событий: 𝑃(𝐴 ∙ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) = 0,8 ∙ 0,5 = 0,4. 4. Вероятность появления хотя бы одного события Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них. Вероятности появления каждого из этих событий известны. Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий 𝐴1 , 𝐴2, 𝐴3, … 𝐴𝑛 , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий A̅1, A̅2,…,A̅n: 𝑷(𝑨) = 𝟏 − 𝒒𝟏 ∙ 𝒒𝟐 ∙ 𝒒𝟑 ∙ … ∙ 𝒒𝒏 . Здесь 𝑞1 = 𝑃(A̅1), 𝑞2 = 𝑃(A̅2), …, 𝑞𝑛 = 𝑃(A̅n). Пример 5. Четыре спортсмена стреляют в одну и ту же цель, причем вероятность поражения цели первым – 0,8 (событие А1), вторым – 0,9 (событие А2), третьим – 0,7 (событие А3), четвертым – 0,6 (событие А4). Все стреляют 5 одновременно один раз. Какова вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним из спортсменов (событие А)? Решение. Найдем вероятности противоположных событий: 𝑞1 = 𝑃(A̅1) =1 − 0,8 = 0,2, 𝑞2 = 𝑃(A̅2)= 1 − 0,9 = 0,1, 𝑞3 = 𝑃(A̅3)= 1 − 0,7 = 0,3, 𝑞4 = 𝑃(A̅4)= 1 − 0,6 = 0,4. Теперь воспользуемся формулой для вычисления вероятности появления хотя бы одного события: 𝑃(𝐴) = 1 − 0,2 ∙ 0,1 ∙ 0,3 ∙ 0,4 = 1 − 0,0024 = 0,9976. 5. Теорема сложения вероятностей совместных событий Пусть события А и В —совместны, причем даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) — P(AB). Пример 6. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число, окажется кратным 2, либо 3, либо тому и другому одновременно. Решение. Событие А – {наудачу выбранное число делится на 2}, событие В – {число делится на 3}. Каждое второе число делится на 2, следовательно 1 1 2 3 𝑃(𝐴) = , аналогично 𝑃(𝐵) = . Вероятность того что наудачу выбранное 1 число делится на 2 и на 3 равна 𝑃(𝐴 ∙ 𝐵) = , тогда: 6 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∙ 𝐵) = 1 1 1 4 + − = ≈ 0,67 2 3 6 6 Более подробно решение задач с применением всех приведенных теорем мы рассмотрим на практическом занятии № 21. 6