Теоремы с доказательствами.Лекция 16.

Лекция 16 (20.12.2020) в конце файла. Лекция 14 (07.12.2020). 1. Гладкие многообразия. Для более подробного изучения множеств в топологических пространств хотелось бы иметь у точек координаты также, как и в обычном Rn . Далее обсуждаем эти вопросы. Определение 1.1. Пусть (X, τ ) – хаусдорфово топологическое пространство, удовлетворяющее 2-ой аксиоме счетности (со счетной базой). Картой размерности n на (X, τ ) называется пара (U, f ), где U ∈ τ и отображение f : (U, τU ) → (Rn , τ0 ) – гомеоморфизм U на открытое множество f (U ) ∈ Rn . Пример 1.1. В пространстве (Q, τ0 ) нет ни одной карты, т.к. ни одно открытое множество не гомеоморфно открытому множеству в Rn , поскольку у них разные мощности. Пример 1.2. В пространстве (R, τ[a,b) ) также нет ни одной карты. Как известно, при гомеоморфизме сохраняются компоненты связности. В то же время компонента связности каждой точки в (R, τ[a,b) ) состоит из одной этой точки. Напомним определение из курса матана. Определение  1.2. y1 =    2 y = f :U →V : ...    m y = будем обозначать Пусть U ⊂ Rn , V ⊂ Rm , U, V ∈ τ0 . Отображение f 1 (x1 , x2 , ..., xn ), f 2 (x1 , x2 , ..., xn ), которое далее для краткости ... f m (x1 , x2 , ..., xn ), y i = f i (xα ), α = 1, n, i = 1, m, называется гладким класса C k , если функции f i (xα ) являются дифференцируемыми порядка k. 1 Определение 1.3. Две карты (Ui , fi ), (Uj , fj ) размерности n на топологическом пространстве (M, τ ) называются k-согласованными, если выполнено ∩ одно из следующих условий: 1) Ui ∩ Uj = ∅; 2) Ui Uj ̸= ∅ ⇒ отображения ∩ ∩ fij = fj fi−1 : fi (Ui Uj ) → fj (Ui Uj , fji = fi fj−1 : fj (Ui ∩ Uj ) → fi (Ui ∩ Uj ) являются отображениями класса C k . Функции fij называются функциями перехода от карты (Ui , fi ) к карте (Uj , fj ). Определение 1.4. Пусть (Ui , fi ) – карта размерности n на (X, τ ). Гомеоморфизм fi называют координатным гомеоморфизмом, а набор чисел fi (M ) = (x1i , ...xni ) называются координатами точки M ∈ X относительно карты (Ui , fi ). Определение 1.5. Множество карт размерности n, покрывающих все пространство (X, τ ) называется атласом размерности n и класса C k , k ≥ 0, если каждая пара карт k-согласована. Определение 1.6. Два атласа класса C k на многообразии называются эквивалентными, если их объединение есть атлас класса C k . Определение 1.7. Топологическое хаусдорфово пространство (X, τ ), удовлетворяющее 2-ой аксиоме счетности (со счетной базой), называется n-мерным гладким многообразием класса C k , k ≥ 0, если на нем существует n-мерный атлас класса C k . Если для (X, τ ) существует атлас класса C ∞ , то (X, τ ) называется многообразием класса C ∞ . Многообразие класса C 0 называется топологическим многообразием. Пример построения гладкого атласа и функций перехода для окружности приведен в файле: Лекция 14. пример. Укажем достаточные условия многообразий, которые являются подмножествами в Rn . 2 Теорема 1.1. Пусть f : (R3 , τ0 ) → R : (x, y, z) → f (x, y, z), f ∈ C ∞ . Обозначим Mc = {(x, y, z) ∈ R3 |f (x, y, z) = c} – поверхность уровня функции f (x, y, z) = c. Пусть ∇f |Mc = (fx , fy , fz )|Mc ̸= 0. Тогда (Mc , τ0 ) – гладкое класса C ∞ многообразие размерности 2. Доказательство. Доказательство следует из теоремы о неявной функции. Приведем ее формулировку в нужной форме. Теорема 1.2 (О неявной функции). Пусть выполнены условия теоремы 1.1 и P0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ Mc и ∂f | ̸= 0. Пусть точка Q0 получена ∂z P0 проекцией точки P0 на подпространство R2 = {(x, y)}, т.е. Q0 (x0 , y0 , 0). Тогда ∃I = (z0 − δ, z0 + δ), Dε (Q0 ) ∈ R2 и функция g : Dε (Q0 ) 7→ R : (x, y) 7→ g(x, y) класса C ∞ такая, что: 1)∀(x, y) ∈ Dε (Q0 ) ⇒ f (x, y, g(x, y)) = c, 2) z0 = g(x0 , y0 ), 3) ∀x, y ∈ Dε (Q0 ) ⇒ |z0 − g(x, y)| < δ, 4) функция g(x, y) определена единственным образом. ∩ Другими словами, для точки P0 существует I ×Dε (Q0 ) | UP0 = Mc (I × Dε (Q0 )) совпадает с графиком функции z = g(x, y). Обозначим φP0 : UP0 → Dε : (x, y, z) 7→ (x, y) и докажем, что (UP0 , φP0 ) – карта на Mc . В силу единственности неявной функции g(x, y) отображение φP0 – биекция UP0 на Dε (Q0 ). Поскольку проекция (x, y, z) → (x, y, 0) непрерывное отображение, то и его ограничение на UP0 также непрерывно. Обратное отображение φ−1 P0 : (x, y, 0) 7→ (x, y, g(x, y)) также непрерывно, т.к. по теореме 1.2 оно является отображением класса C ∞ . Найдем функции ∩ перехода для разных карт. Пусть P0 ∈ UP0 VP0 . Если координатные гомеоморфизмы это проекции на одну и ту же координатную плоскость, то на пересечении окрестностей координатные функции совпадают, т.е. функциями перехода будут тождественные отображения. Поэтому они класса C ∞ . Пусть теперь координатные гомоморфизмы φ1 , φ2 – проекции на разные плоскости, XOY, XOZ, соответственно. Тогда φ1 : {u1 = x, u2 = y} ⇒ φ−1 (u1 , u2 ) = (u1 , u2 , g1 (u1 , u2 )), φ2 : {v1 = x, v2 = z} ⇒ φ2 φ−1 : {v1 = 1 u1 , v2 = g1 (u1 , u2 )} – гладкая функция.  Аналогичный результат справедлив и в случае пространства Rn . Теорема 1.3. Пусть f : Rn → R – функция класса C r и M = {(x1 , x2 , ∂f ..., xn ) ∈ Rn |f (x1 , x2 , ..., xn ) = c = const}, rang( ∂x i )|M = 1. 3 Тогда M – гладкое многообразие класса C r и dimM = n − 1. При этом в качестве локальных координат в каждой карте можно выбрать n − 1 декартовых координат. Пример 1.3. Рассмотрим f : R2 → R : f (x, y) = x2 − y 2 и поверхность уровня этой функции M : f (x, y) = 0. Множество M является парой пересекающихся прямых x + y = 0 и x − y = 0. Докажем, что точка (0, 0) в (M, τ0 ) не имеет окрестности гомеоморфной интервалу на обычной прямой. Рассуждаем методом от противного. Пусть такой гомеоморфизм существует для окрестности U . Тогда ограничение этого гомеоморфизма на множество U \ {(0, 0)} также является гомеоморфизмом, что невозможно, т.к. множество U \ {(0, 0)} имеет 4 компоненты связности, а интервал без точки – только 2 компоненты связности. Лекция 15 (13.12.2020). 2. Касательные векторы на многообразии Определение 2.1. Пусть M и N – гладкие многообразия класса C r . Отображение f : M → N называется гладким класса C r , если для любой точки P ∈ M и любой карты (U, φ) на многообразии M, содержащей точку P, и любой карты (V, ψ) на многообразии N, содержащей точку f (P ), отображение fe = ψf φ−1 (1) является гладким класса C r . Определение 2.2. Пусть (x1 , ..., xn ) – локальные координаты в карте (U, φ), содержащей точку P ∈ M, и (y 1 , ..., y m ) локальные координаты в карте (V, ψ), содержащей точку f (P ) ∈ N. Тогда отображение (1) записывают следующим образом {y i = f i (xα ), α = 1, m, i = 1, n} и называют представлением (т.е. записью) отображения f в локальных координатах (x), (y). Замечание 2.1. Если (U, φ) – карта на M , (V, ψ) – карта на ∩ N−1и P ∈ U, f (P ) ∈ V. Тогда отображение (1) определено на области U f (V ). 4 На самом деле проверять условие гладкости в окрестности данной точке достаточно только для одной пары карт, содержащихся в данных атласах. Теорема 2.1. Пусть M, N – гладкие многообразия, A = {(U a , φa )}, A′ = {(V b , ψ b )} – атласы, соответственно, на многообразиях M, N. Пусть f : M → N и f (P ) = Q, P, Q принадлежат, соответственно, областям карт (U, φ), (V, ψ). Если для отображения f функции (1) являются гладкими класса C r для данных карт (U, φ), (V, ψ), то оно является гладким окрестности данной точки. Доказательство. Проверим гладкость отображения для пары ∩ других ∩ a b карт в эквивалентных атласах. Пусть P ∈ (U U ), f (P ) ∈ (V V) и a a b b (U , φ ), (V , ψ ) – карты эквивалентных атласов. Тогда ψ b f (φa )−1 = ψ b ψ −1 ψf φ−1 φ(φa )−1 . Поскольку атласы эквивалентны, | {z } | {z } то подчеркнутые множители являются гладкими класса C r . По условию ψf φ−1 также является отображением класса C r . Тем самым теорема доказана.  Определение 2.3. Отображение f многообразий называется C r -диффеоморфиз или диффеоморфизмом класса C r , если f – гомеоморфизм и f, f −1 являются отображениями класса C r . Далее, не будем указывать класс гладкости. Определение 2.4. Гладкой кривой γ на многообразии M n называется гладкое отображение интервала в многообразие Iε = (−ε, ε) → M n . Если (U, φ) – карта с локальными координатами (x1 , x2 , ..., xn ) то кривую γ, заданную в этой карте, будем записывать γ : xi = (xi (t)), t ∈ Iε . Определение 2.5. Пусть на многообразии в одной карте с локальными координатами (xi ) заданы две кривые γ1 : {xi = xi1 (t)}, γ2 : {xi = xi2 (t)} проходящие через точку P, при t = 0, т.е. (xi )(P ) = (xi1 (0)) = dxi (xi2 (0)). Кривые γ1 , γ2 называются касающимися в точке P, если dt1 (0) = dxi2 (0) dt ∀i = 1, n. Теорема 2.2. Условие касания двух кривых в точке не зависит от выбора карты. 5 Доказательство. Пусть (x), (y) два набора локальных координат и функции перехода имеют вид y i = y i (x1 , x2 , ..., xn ). Пусть кривая γ в этих координатах задана уравнениями: xj = xj (t), j = 1, n. Тогда в локальных координатах (y) выполнены равенства γ : y i (t) = y i (xj (t)). Касательный вектор к γ в точке P, которая соответствует t = 0, имеет вид dy i (t) dy i (xj (t) ∂y i (xj ) dxj (t) |t=0 = |t=0 = (P ) |t=0 . (2) dt dt ∂xj dt Здесь используются обозначения из курса дифференциальной геометрии. Если один и тот же индекс встречается в формуле дважды, причем один раз как верхний, второй – как нижний, то по этому индексу предполагается суммирование. Поэтому dxi1 (t) dxi2 (t) dy1i (t) dy2i (t) | = | ⇒ | = |t=0 .  t=0 t=0 t=0 dt dt dt dt Замечание 2.2. Очевидно, что отношение касания двух кривых в точке является отношением эквивалентности. Определение 2.6. Касательным вектором в точке на многообразии называется класс касающихся в данной точке кривых. Касательный вектор в точке в локальных координатах (x) определяется набором чисел i − → a = ( dxdt(t) |t1 ) = (ai ), i = 1, n, где γ : {xi = xi (t)} – одна из кривых данного класса. Коэффициенты (ai ) называются координатами касательного вектора относительно локальных координат (x). Множество касательных векторов к многообразию M в точке P обозначается TP M. Замечание 2.3. Из теоремы 2.2 следует, что при заменах локальных координат координаты координаты касательного вектора в точке преобразуются по формулам (2). Оказывается, что эти формулы можно выбрать в качестве нового определения касательного вектора. Определение 2.7 (Второе определение касательного вектора). Касательным вектором к n-мерному гладкому многообразию M в точке P называется соответствие, которое каждой локальной системе координат (x), содержащей точку P, ставит в соответствие набор чисел (aix ), i = 1, n. При этом выполнено условие: для любой другой локальной системы координат (y i ) числа (aiy ), i = 1, n связаны формулами: ∂y i = (3) (P )ajx . ∂xj Формулы (2.7) называются тензорным законом преобразования координат касательного вектора. aiy 6 Задача 1. Пусть в локальных координатах (x), (y) координаты касательного вектора в точке удовлетворяют (3). Пусть аналогичным условиям удовлетворяют координаты вектора относительно систем координат (y), (z). Проверить справедливость формулы (3) для систем координат (x), (z). Отсюда следует корректность определения 2.7. Теорема 2.3. Определения 2.6 и 2.7 касательного вектора эквивалентны. Доказательство. Из замечания 2.3 следует, что каждый класс кривых касающихся в точке определяет касательный вектор в смысле определения 2.7. Осталось проверить, что каждый касательный вектор в смысле определения 2.7 является касательным вектором в смысле определения 2.6. Пусть (aix ) – некоторый набор чисел, соответствующий касательному вектору в локальной системе координат (x) в точке P (x10 , x20 , ..., xn0 ). Определим кривую γ : xi = aix t+xi0 . Очевидно, что касательный вектор к кривой γ в точке P имеет координаты (aix ), т.е. является касательным вектором в смысле определения 2.6.  В касательном пространстве TP M имеется структура векторного пространства. Определение 2.8. Пусть (ai ), (bi ) ∈ TP M. Определим линейные операции в TP M равенствами: def (ai ) + (bi ) = (ai + bi ), def λ(ai ) = (λai ), λ ∈ R. Задача 2. а) Доказать, корректность определенных выше операций над касательными векторами с точки зрения определения 2.6, т.е. проверить, что найдется кривая, для которой сумма векторов и произведение вектора на число являются касательными векторами. б) Доказать, корректность операций над касательными векторами с точки зрения определения 2.7, т.е. проверить, что формулы преобразования для суммы векторов и произведения вектора на число совпадают с формулами (3). Замечание 2.4. Из определения 2.7 и задачи 2 следует, что относительно операций, указанных в определении 2.8, векторное пространство TP M изоморфно Rn , где n = dimM. 7 Пусть в локальных координатах (x) точка P (x10 , x20 , ..., xn0 ). Тогда в качестве базиса в TP M можно выбрать векторы, касательные к координатным кривым: − → 1 (t) e 1 = (1, 0, ..., 0) = dγdt |t=0 , γ1 (t) : {x1 = t + x10 , x2 = x20 , ..., xn = xn0 }; − → 2 (t) |t=0 , γ2 (t) : {x1 = x10 , x2 = t + x20 , x3 = x30 , ..., xn = e 2 = (0, 1, 0, ..., 0) = dγdt xn0 }, ..., − → n (t) e n = (0, 0, ...0, 1) = dγdt |t=0 , γ2 (t) : {x1 = x10 , x2 = x20 , ..., xn−1 = x0n−1 , xn0 = t + xn0 }. Определение 2.9. Пусть на многообразии M точка P принадлежит области с локальными координатами (x). Векторы, заданные в локальной → → → системе (x) координатами − e 1 = (1, 0, ..., 0), − e 2 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., − en = (0, 0, ..., 0, 1), называются векторами голономного базиса в точке P относительно локальной системы координат (x). Следующая интерпретация касательного вектора – производная по направлению. → Определение 2.10. Пусть M – многообразие, P ∈ M, − a ∈ TP M и γ(t) : − → (−ε, ε) → M – гладкая кривая в M, γ(0) = P, a – касательный вектор к γ в точке P. Пусть f : M → R – гладкая функция на M. Производной по направле→ нию вектора − a от функции f в точке P называется число d − → a (f )|P0 = |t=0 f (γ(t)). dt (4) Теорема 2.4. Определение производной по направлению корректно, т.е. не зависит от выбора кривой, которая является представителем касательного вектора, а только от класса касающихся в точке кривых. Доказательство. В локальных координатах (x) функцию f запишем в виде f = f (x1 , x2 , ..., xn ) и пусть кривая γ : {xi = xi (t)} является пред→ ставителем вектора − a = (ai ) в точке P . Тогда d d − → a (f )|P0 = |t=0 f (γ(t)) = |t=0 f (x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)) dt dt ∑ ∂f ∑ ∂f dxj (t) = |t=0 = (P ) (P )aj . j j ∂x dt ∂x i i (5) Поэтому производная по направлению зависит только от касательного вектора и от функции.  8 Замечание 2.5. Из свойств дифференцирования следуют свойства производной по направлению: 1) линейность − → → → a (αf + βg)(P ) = α− a (f )(P ) + β − a (g)(P ), ∀α, β ∈ R; (6) 2) правило Лейбница − → → → a (f g)(P ) = − a (f )(P )g(P ) + f (P )− a (g)(P ). (7) Определение 2.11. Отображение алгебры функций в R, удовлетворяющее условиям (6), (7), называется дифференцированием множества функций в точке P. Замечание 2.6. Из теоремы 2.4 следует, что каждый касательный вектор в точке определяет дифференцирование множества функций. Оказывается, что справедливо и обратное утверждение. Теорема 2.5. Для каждого дифференцирования A алгебры функций в точке P на многообразии существует единственный касательный вектор − → a ∈ TP такой, что → A(f ) = − a (f )|P , ∀f. (8) Другими словами, каждое дифференцирование множества функций в точке является производной по направлению для некоторого касательного вектора в этой точке. Доказательство. Зафиксируем локальные координаты (x) в окрестности точки P и выберем произвольную гладкую функцию f на многообразии. Из формулы Тейлора с остаточным в окрестности точки P (xi0 ) ∑n членом ∂f i i 1 n i i получим равенство: f (x) = f (P )+ i=1 ∂x i (P )(x −x0 )+gi (x , ..., x )(x −x0 ), где gi (x1 , ..., xn )|P = 0. Применяя к обеим частям предыдущего равенства дифференцирование A в точке P и учитывая линейность и правило Лейбница, получим: n ∑ ∂f A(f )|P = f (P )A(1) + (P )A|P (xi − xi0 ). i ∂x i=1 (9) Докажем, что A(1) = 0. Действительно, по правилу Лейбница A(1) = A(1 × 1) = A(1) × 1 + 1 × A(1) = 2A(1) ⇒ A(1) = 0. 9 → Теперь, обозначая − a = (ai ) = (A|P (xi − xi0 )), приходим к равенству n ∑ ∂f → A(f )|P = (P )ai = − a (f )P . i ∂x i=1 (10) Существование вектора доказано. Единственность. Доказательство методом от противного. Пусть суще− → → ствуют 2 вектора − a = (ai ), b = (bi ), для которых выполнены равенства − → − → a (f )P = b (f )P для любой гладкой функции f. Тогда они выполнены, в − → → частности, для координатных функций xi , т.е. − a (xi − xi0 ) = b (xi − xi0 ) ⇒ ai = b i .  Таким образом, доказано, что два определения касательного вектора эквивалентны следующему определению. Определение 2.12 (Третье определение касательного вектора). Касательным вектором к многообразию M в точке P называется дифференцирование множества функций в точке P. Лекция 16 (20.12.2020) Определение 2.13. Если каждой точке на многообразии сопоставлен касательный вектор в этой точке, то говорят, что на многообразии задано векторное поле. Обозначения 2.1. Зафиксируем карту с локальными координатами (x) на многообразии M n . Определим набор из n кривых γi : {xi = t + xi0 , xj = xj0 , i ̸= j}, i = 1, n, проходящих через точку P (xi0 ) при t = 0. Касательный → → вектор − e i к γi в точке P (xi0 ) задан набором чисел − e i = {0, 0, ..., 0,, 1, 0, }. | {z } i−1 По теореме 2.4 ему соответствует дифференцирование ∂f − → − → ∂ e i (f )|P = df (γdti (t)) |0 = ∂x i (P ). Поэтому обычно e i обозначают как ∂xi . → Векторы − e i = ∂x∂ i |P образуют базис в касательном пространстве и каждый касательный вектор из TP M можно разложить по этому базису: ∑ i ∂ − → a = i a ∂xi . Теорема 2.6. Пусть M и N – гладкие многообразия и f : M → N – глад→ кое отображение. Пусть − a ∈ TP M, и кривая γ(t) (γ(0) = P ) является − → → представителем вектора a . Обозначим f∗P (− a ) класс кривых в точке f (P ), касающихся кривой f (γ(t)) в точке f (P ). → Тогда вектор f∗P (− a ) определен корректно, т.е. не зависит от выбора → кривой из класса, определяющего вектор − a . Отображение f∗P : TP M → Tf (P ) N является линейным отображением векторных пространств. 10 Доказательство. Пусть в окрестности точки P заданы локальные координаты (x), и γ(t) : {xi = xi (t)}, i = 1, m – кривая, проходящая че→ рез точку P = γ(0) и являющаяся представителем вектора − a ∈ TP M. − → Тогда касательный к кривой в точке P вектор a в голономном базисе ∑m i ∂ dxi (t) → i { ∂x∂ i }, i = 1, m имеет вид − | . Пусть в a = a , где a = i=1 ∂xi dt t=0 окрестности точки f (P ) заданы локальные координаты (y) = (y j ), j = 1, n и отображение f задано уравнениями: f : {y j = y j (x1 , x2 , ..., xm )} j = 1, n. Тогда кривая f (γ) в координатах (y) имеет уравнения f (γ) : {y j = → y j (x1 (t), x2 (t), ..., xm (t))}, поэтому для координат вектора f∗P (− a ) получим: dy j (x1 (t), x2 (t), ..., xm (t)) → (f∗P (− a ))j = |t=0 dt = n ∑ ∂y j (x1 , x2 , ..., xm ) i=1 ∂xi ∑ ∂y j dxi (t) |t=0 (P )ai . |t=0 = i dt ∂x i=1 n (11) j (P ) и координаты вектора ai в точке P не Поскольку матрица Якоби ∂y ∂xi → зависят от выбора кривой, то и вектор f∗P (− a ) не зависит от выбора кривой. Линейность отображения f∗P следует из формулы (11).  Определение 2.14. Линейное отображение f∗P называется дифференциалом отображения в точке P. 3. Гомотопные отображения Определение 3.1. Непрерывные отображения f, g : (X, τ ) → (Y, ω) называются связно гомотопными относительно подмножества A ⊂ X, если существует непрерывное отображение F : (X, τ ) × I → Y (I = [0, 1] ⊂ R) такое, что выполнены условия: 1)F (x, 0) = f (x), F (x, 1) = g(x), 2)F (x, t) = f0 (x) ∀x ∈ A, ∀t ∈ I. Отображение F называется гомотопией между f и g. Обозначение f ∼ g|A . Если A = ∅, то отображения называются гомотопными или свободно гомотопными. Обозначение f ∼ g. Пример 3.1. Докажем, что два непрерывных отображения f, g : (X, τ ) → (R, τ0 ) гомотопны. 11 Пусть H(x, t) : (X, τ ) × I → (R, τ ) : H(x, t) = f (x)t + (t − 1)g(x). Непрерывность H следует из неравенства |H(x0 , t0 )−H(x, t)| = |f (x0 )t0 − f (x0 )t + f (x0 )t − f (x)t + t0 g(x0 ) − tg(x0 ) + tg(x0 ) − tg(x) − g(x0 ) + g(x)| ≤ |f (x0 )||t0 −t|+|f (x0 )−f (x))||t|+|g(x0 )||t0 −t|+|g(x0 )−g(x)||t|+|g(x)−g(x0 )| ≤ |f (x0 ) + g(x0 )||t0 − t| + |f (x0 ) − f (x))| + 2|g(x) − g(x0 )|. Условия гомотопии очевидны: H(x, 0) = g(x), H(x, 1) = f (x). Теорема 3.1. Отношение гомотопности на множестве непрерывных отображений из (X, τ ) в (Y, ω) является отношением эквивалентности. Доказательство. 1. Рефлексивность. Полагая F (x, t) = f (x) ∀t ∈ I, получим f ∼ f. 2. Симметричность. Пусть f ∼ g, т.е. существует гомотопия H : (X, τ )× I → (Y, ω) | H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x). Тогда из гомотопии H1 (x, t) = H(x, 1 − t) следует, что g ∼ f . 3. Транзитивность. Пусть f ∼ g, g ∼ h. Тогда существуют гомотопии H1 (x, t) : (X, τ ) × I → (Y, ω) | H1 (x, 0) = f (x), H1 (x, 1) = g(x), H2 (x, t) : (X, τ ) × I → (Y, ω) | H2 (x, 0) = g(x), H2 (x, 1) = h(x). Составим { гомотопию H1 (x, 2t), t ∈ [0, 12 ], . Поскольку H1 (x, 2t)|t= 1 H(x, t) = 2 H2 (x, 2t − 1), t ∈ [ 21 , 1] = H2 (x, 2t − 1)|t= 1 , то из теоремы о фундаментальности конечного за2 мкнутого покрытия следует, что H(x, t) непрерывное отображение. Теперь условия H(x, 0) = H1 (x, 0) = f (x), H(x, 1) = H2 (x, 1) = h(x) означают, что f ∼ h.  Определение 3.2. Непрерывное отображение f : (X, τ ) → (Y, ω) называется гомотопической эквивалентностью, если существует непрерывное отображение g : (Y, ω) → (X, τ ) такое, что gf ∼ idX , f g ∼ idY , где idX – тождественное отображение множесва X, т.е. idX (x) = x ∀x ∈ X. В этом случае пространства X, Y называются гомотопически эквивалентными. Также говорят, что гомотопически эквивалентные имеют один гомотопический тип. Обозначение (X, τ ) ∼ (Y, ω). Замечание 3.1. Если пространства гомеоморфны, то они гомотопически эквивалентны, т.к. в качестве гомотопически обратного можно выбрать обратный гомеоморфизм. Оказывается, что обратное утверждение неверно, т.е. из гомотоптческой эквивалентности пространств не следует гомеморфность. 12 Пример 3.2. Очевидно, что открытый диск (D1 (0), τ0 ) на плоскости и точка {a} не гомеоморфны. Докажем, что они гомотопически эквивалентны. Обозначим f – включение, т.е. f : a → 0 ∈ D1 (0), и g : D1 (0) → a – постоянное отображение. Очевидно, что gf = ida . Осталось доказать, что f g : D1 (0) → 0 гомотопно idD1 (0) . Пусть H : (D1 (0), τ0 )×I → (D1 (0), τ0 ) : (x, t) → x(1−t), где x = (a1 , a2 ) ∈ D1 (0). Отображение H непрерывно, т.к. непрерывно в смысле матана и, очевидно, что H(x, 1) = 0, H(x, 0) = x. Определение 3.3. Пространство называется стягиваемым, если тождественное отображение гомотопно отображению в точку, т.е. постоянному отображению. Теорема 3.2. Пространство стягиваемо тогда и только тогда, когда оно имеет тип одноточечного пространства. Доказательство. 1. ⇒ . Пусть (X, τ ) стягиваемо и P – пространство, состоящее из одной точки p ∈ X, и H : (X, τ ) × I → (X, τ ) – гомотопия H(x, 0) = idX , H(x, 1) = p. Обозначим f (x) = H(x, 1) = p, g : P → P ⇒ gf ∼ idX , f g = idp . 2. Пусть (X, τ ) имеет гомотопический тип одноточечного пространства и P – одноточечное пространство состоящее из точки p ∈ X. Обозначим f : (X, τ ) → P, g : P → P ∈ X. Тогда f g ∼ idP , gf ∼ idX . Поскольку gf = f, то все доказано.  Задача 1. Пусть два пространства стягиваемы. Доказать, что их произведение стягиваемо. Теорема 3.3. Пусть f : (S n , τ0 ) → (Y, ω) непрерывно. Тогда следующие условия эквивалентны: 1. f гомотопно постоянному; n+1 2. f можно непрерывно продолжить на весь шар D , т.е. построить отображение fe такое, что fe|S n = f. Доказательство. 1 → 2. Пусть f ∼ c, где c обозначает постоянное отображение c : n S → p ∈ Y и F : (S n , τ0 ) × I → (Y, ω) – соответствующая гомотопия, т.е. − → − → x x F ( |− , 0) = f, F ( |− , 1) = p. → → x| x| − → x Здесь для точек из S n используется обозначение |− . → x| n+1 Определим продолжение fe отображения f на D следующей формулой: 13 → fe(− x)= { p, − → → x F ( |− , 2 − 2|− x |), → x| → 0 ≤ |− x | ≤ 12 ; → 1 ≤ |− x | ≤ 1. 2 Тогда fe|S n = f. Отображение fe непрерывно, т.к. непрерывны его ограниn+1 → → чения на каждое из замкнутых множеств F1 = {− x ∈D | |− x | ≤ 12 } F2 = n+1 1 → → {− x ∈D | 2 ≤ |− x | ≤ 1}. n+1 → 2 → 1. Пусть fe – продолжение f на D и− p ∈ S n . Определим гомо→ → → топию равенством: H : (S n , τ0 ) × I → (Y, ω) : (− x , t) = fe((1 − t)− x + t− p ).  14