Теорема Коши-Ковалевской; классификация уравнений с частными производными 2-го порядка

Лекция 2. Теорема Коши-Ковалевской. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка 1. Теорема Коши-Ковалевской. Напомним, что задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка, , называется следующая задача: Одной из основных теорем теории обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности решения задачи Коши, причем условиями существования и единственности являются условия непрерывности функции по совокупности переменных и липшицевости ее по переменным (отметим, что даже эти весьма необременительные условия могут быть ослаблены). Сформулируем аналог задачи Коши и теоремы существования и единственности решения для уравнения с частными производными. Введем сначала некоторые удобные обозначения: 1) , – мультииндекс; 2) , где ; 3) , где – n-мерный вектор. Используя введенные обозначения, запишем общий вид линейного уравнения с частными производными m-го порядка: где – коэффициенты, – правая часть уравнения, . Отметим, что при . Выделим одну из переменных , пусть, для определенности, , и переобозначим ее . Предположим, что в нашем уравнении коэффициент при производной отличен от нуля, и разрешим уравнение относительно этой производной: где . Задача Коши для полученного уравнения ставится по аналогии с задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения: Сформулируем теорему об однозначной разрешимости этой задачи. Определение. Функция , называется аналитической в окрестности точки , если для некоторого (напомним, что – мультииндекс, ). Теорема Коши-Ковалевской. Пусть функции и – аналитические в окрестности точки , а – аналитические в окрестности точки . Тогда в некоторой окрестности точки существует аналитическое решение задачи Коши, причём это решение единственно в классе аналитических функций. Отметим, что ослабить условия аналитичности в теореме Коши-Ковалевской не удается. Даже при бесконечной дифференцируемости коэффициентов, правой части уравнения и функций, задающих начальные условия, решение может не существовать ни в одной окрестности точки . 2. Классификация линейных уравнений второго порядка. Линейное уравнение с частными производными 2-го порядка имеет вид: Сумма слагаемых содержащих частные производные второго порядка, называется главной частью уравнения. С главной частью связана квадратичная форма от переменных . Зафиксировав точку , приведем квадратичную форму к нормальному виду где . В зависимости от принимаемых коэффициентами значений выделяют 3 основных типа линейных уравнений с частными производными 2-го порядка: 1) или – уравнение эллиптического типа (в точке ); 2) или – уравнение гиперболического типа; 3) или – уравнение параболического типа. Заметим, что уравнение может иметь различный тип в разных точках. Уравнение с постоянными коэффициентами при производных второго порядка имеет один и тот же тип во всех точках пространства. Как уже отмечалось, представителем уравнений эллиптического типа является уравнение Лапласа, уравнений параболического типа – уравнение теплопроводности. Типичным представителем гиперболических уравнений является волновое уравнение Подробно волновые уравнения будут изучаться в курсе "Уравнения математической физики". Очевидно, для определения типа уравнения в рассматриваемой точке достаточно привести построенную по его главной части квадратичную форму к нормальному виду любым из известных нам из курса линейной алгебры способом. Определение. Будем говорить, что линейное уравнение 2-го порядка имеет канонический вид в точке , если его главная часть в этой точке где . Понятно, что задачи приведения уравнения и соответствующей ему квадратичной формы к каноническому виду в фиксированной точке тесно связаны. Более точно: если – матрица перехода к базису, в котором квадратичная форма имеет нормальный вид, то замена переменных , где – матрица, транспонированная к , приводит уравнение к каноническому виду в точке (проверьте это!).