Табличная функция. Интерполирование функций

Лекция 1. Интерполирование функций. Любому специалисту в своей практической деятельности приходится изучать зависимости между различными параметрами исследуемых объектов, процессов и систем. Например, зависимость объема спроса на продукцию предприятия от цены, зависимость скорости химической реакции от температуры, и т.д. Из всех способов задания зависимостей наиболее удобным является аналитический способ задания зависимости в виде функции y = f (x). Однако на практике специалист чаще всего получает зависимости между исследуемыми параметрами экспериментально. В этом случае ставится натурный эксперимент, изменяются значения параметров на входе системы, измеряются значения параметров на выходе системы. Результаты измерений заносятся в таблицу. Таким образом, в результате проведения натурного эксперимента получаем зависимости между исследуемыми параметрами в виде таблицы, т.е. получаем, так называемую, табличную функцию. Далее с этой табличной функцией необходимо вести научно-исследовательские расчеты. Например, необходимо проинтегрировать или продифференцировать табличную функцию и т.д. Рассмотрим две задачи по обработке опытных данных: 1) задачу интерполирования, 2) задачу аппроксимации. Пусть дана табличная функция, т.е. таблица, в которой для некоторых дискретных значений аргумента xi , расположенных в порядке возрастания, заданы соответствующие значения функции yi , i = 0, 1, . . . , n: i 1 ... n xi x0 x1 . . . xn yi y0 y1 . . . yn или yi = f (xi ), i = 0, 1, . . . , n. Точки с координатами (xi , yi ), i = 0, 1, . . . , n, называются узловыми точками или узлами. На графике табличная функция представляется в виде совокупности узловых точек (рис. 1). 1 y 6 (x1 , y1s) s s (xn , yn ) s (xsi , yi ) (x0 , y0 )s s s O x0 x1 s xi xn - x Рис. 1: В расчетной практике инженера часто возникают задачи найти значение функции для аргументов, которые отсутствуют в таблице. Такие задачи называются задачами интерполирования или экстраполирования. Задача интерполирования функции (или задача интерполяции) – найти значение y ∗ табличной функции в точке x∗ интервала [x0 , xn ], отличной от узловых точек x0 , x1 . . . , xn . Задача экстраполирования функции (или задача экстраполяции) – найти значения y ∗ табличной функции в точке x∗ , которая не входит в интервал [x0 , xn ]. Такую задачу часто называют задачей прогноза. Обе эти задачи решаются при помощи нахождения аналитического выражения интерполирующей функции F (x), принадлежащей некоторому заданному классу функций и принимающей в узловых точках значение табличной функции: F (xi ) = yi , i = 0, 1, . . . , n. Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = F (x) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек (xi , yi ), i = 0, 1, . . . , n. В такой общей постановке задача может иметь бесконечное множество решений или совсем не иметь решений. Задача становится однозначной, если вместо произвольной функции F (x) искать многочлен степени не выше n Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , 2 (1) удовлетворяющий условиям Pn (xi ) = yi , i = 0, 1, . . . , n. (2) Такой многочлен Pn (x) называется интерполяционным многочленом. В любой промежуточной точке x∗ , расположенной внутри отрезка [x0 , xn ], выполняется приближенное равенство f (x∗ ) ≈ Pn (x∗ ) = y ∗ (рис. 2). y 6 y s s s ∗ y = Pn (x) s s s s O x0 x∗ x1 s s xn - x Рис. 2: Для построения интерполяционного многочлена вида (1) необходимо определить его коэффициенты a0 , a1 , . . . , an . Для нахождения этих коэффициентов используем условия (2): Pn (x0 ) = an xn0 + an−1 xn−1 ...  + . . . + a1 x 0 + a0 = y 0 ,    (3)   n−1 n Pn (xn ) = an xn + an−1 xn + . . . + a1 xn + a0 = yn .  Из полученной системы n + 1 уравнений находим n + 1 неизвестные коэффициенты a0 , a1 , . . . , an . Есть и другие, более эффективные способы построения интерполяционного многочлена. 3