Свободное движение. Волновой пакет. Уравнение непрерывности. Расплывание волнового пакета

Зубков В.В. Лекции по квантовой механике Лекция 9 Свободное движение. Волновой пакет. Уравнение непрерывности. 1. Свободное движение. Мы видели, что для свободного движения оператор 2 pˆ 2   r коммутирует оператором импульса, что влечет за собой Гамильтона Hˆ  2m 2m существование общего набора собственных функций  E, p r   1  2  32 i  exp  pr  ,   (1) где p2 E . 2m (2) Спектры операторов Ĥ и p̂ непрерывные. Это значит, что дисперсия оператора Гамильтона не может быть равна нулю, т.е. гамильтониан не может принимать точных значений. Другими словами, стационарных состояний свободного движения нет. Волновая функция свободного движения может быть получена из уравнения Шредингера: 2  i   r, t     r  r, t  . t 2m (3) методом разделения переменных:   r, t    E , p  r    t  . (4) собственная   функция Hˆ  2   i  E , p  r    t     t   r  E , p  r      t  E E , p  r  . t  2m   E E , p  r    (5) Подставляя (4) в (5) получим Из (5) следует, что  i      t   exp   Et  . (6) Следовательно, волновая функция свободного движения частицы имеет вид:  p  r, t   1  2  32 i  exp   pr  Et   .   (7) Учитывая соотношения де Бройля k p выражение (7) можно представить в виде: ,  E , (8) 1 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике  k  r, t   Функция (9) соответствует 1  2  32 exp  i  kr  t   . (9) монохроматической плоской волне с частотой , распространяющейся в направлении волнового вектора k . Само уравнение Шредингера напоминает при этом волновое уравнение. Благодаря такому сходству с волновой оптикой квантовая механика в шредингеровском представлении называется волновой механикой. 2. Волновой пакет. Линейная суперпозиция функций (7) – это тоже волновая функция. Называется она волновым пакетом:   r, t    С  p  p  r, t  d 3p   A p  2  32 i  exp   pr  Et    p    d 3p.   (10) Здесь   pr  Et    p  (11) представляет собой фазу с размерностью действия. В формуле (10) комплексный коэффициент С p  разложения по волнам С  p   С  p  exp i  p   , в котором положили (7) мы представили в виде С  p   A  p  . Заметим также, что E  E  p  – некоторый закон дисперсии. Фронт волны задаётся поверхностью постоянной фазы   pr  Et    p   pr0    p   const  p  r  r0   Et  уравнение волнового фронта. (12) Скорость движения волнового фронта, как известно, называют фазовой скоростью vф  Ep . p2 (13) Задание 1. Получите (13) из (12). Для определения скорости движения волнового пакета как целого необходимо найти доминирующий вклад в суперпозиции (10) – ту область в конфигурационном пространстве, где волновая функция существенно отлична от нуля. На языке математики мы должны искать стационарную точку – ту точку, для которой   0. p Из (14) с учетом (12) имеем (14) 2 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике r   p  E E t  0  r t   t  r0  p p p Скорость движения волнового пакета как целого – групповая скорость – равна v гр  E . p (15) Задание 2. Получите выражения для фазовой и групповой скорости в случае закона дисперсии (2). 3. Минимизирующий волновой пакет. Мы помним, что согласно соотношению неопределенностей xpx  2 . Существуют такие состояния, для которых достигается нижняя граница этого неравенства. Волновой пакет, для которого выполняется соотношение xpx  2 , (16) называется минимизирующим. Найдем его. Для этого нужно вспомнить вывод соотношения неопределенностей. Напомню, что при его выводе мы использовали ˆ ˆ положительную определенность оператора F̂  A  i B :  Aˆ  i Bˆ  Aˆ  i Bˆ   0. Fˆ  Fˆ  Здесь самое время вспомнить соответствующий материал из прошлой лекции. Fˆ  Fˆ  0 , что в терминах операторов Â и B̂ Для нижней границы, разумеется, принимает следующий вид:     D Aˆ   2 D Bˆ   Cˆ  0 . (17) Т.е. парабола касается своей вершинкой оси абсцисс. Задание 3. О чем это я? Вспомните задание (12) из предыдущей лекции и поймете. Значит, с учетом равенства нулю детерминанта (в нашем случае один корень) Cˆ 2      4D Aˆ D Bˆ  0 получаем  Cˆ   2 D Bˆ . (18) 3 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике Но ведь для конкретного чистого состояния  условие Fˆ  Fˆ  0 означает, что  Fˆ  Fˆ   0 , т.е. то, что вектор F̂  является нулевым:  Aˆ  iBˆ   0   Aˆ     Aˆ Eˆ   i Bˆ  Bˆ Eˆ  . (19) Если Aˆ  xˆ и Bˆ  pˆ x , то Cˆ  Eˆ . Значит, в этом случае  2D  pˆ  . (20) Задание 4. Покажите, что условие (20) можно представить в виде  2D  xˆ  . (21) Задание 5. Убедитесь, что при этом значении  соотношение неопределенностей минимизируется: xpx  2 . Найдем волновую функцию, соответствующую минимизируещему волновому пакету. Для этого запишем (19) в координатном представлении:   d i  px  x  x    x   0 .   i dx 2D  x    (22) Задание 6. Решив полученное дифференциальное уравнение, найдите волновую функцию   x  x 2   exp  i x px  ,   x  exp   4 2 D x     4D  x    1 (23) описывающую минимизирующий волновой пакет. В дальнейшем для этого состояния будем использовать следующие обозначения: x0  x , p0  p , a 2  2 D  x  . (24) Задание 7. Пусть состояние системы описывается волновой функцией в координатном представлении 2 i 1 1 x    x  exp  p0 x     .  2  a   a   Найти для данного состояния волновую функцию в импульсном представлении. 4. Расплывание волнового пакета. 4 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике Пусть в начальный момент времени t  0 состояние является минимизирущим волновым пакетом (23):   x  x0 2  i    x  exp    exp  p0 x  . 2   2a   a    1 (25) Найдем, что с ним будет происходить со временем. Для ответа на этот вопрос нужно решить уравнение Шредингера с начальным условием (25). Решать можно разными способами. Один из самых мощных методов решения дифференциального уравнения – метод функций Грина. Мы фактически говорили о нем в лекции 7. Только функцию Грина мы назвали пропагатором, отмечая тем самым ее физический смысл. Итак, согласно методу Грина   x, t   x   t    d 3 xK  x, t ; x, 0   x . (26)  Найдем пропагатор K  x, t; x,0  x Uˆ  t ,0  x . (27) В лекции 7 мы получили выражения для пропагатора в случае дискретного спектра. Сейчас же нам нужно найти пропагатор для непрерывного спектра. Для этого вспомним, что в случае независящего явно от времени гамильтониана оператор эволюции имеет вид:  Uˆ  t , 0   e i ˆ Ht . Далее используем полноту базиса, составленного из собственных векторов (1) операторов операторов Ĥ и pˆ , представим Uˆ  t , 0  в виде x  Uˆ  t , 0   e i ˆ Ht  Eˆ  e i ˆ Ht  dp x px px . (28) Подставив (28) в (27), получим K  x, t ; x, 0   x e i  Et  dp x px p x x  (29)   dpx p  x  *p  x  e Здесь,  p  x   x px  и pˆ x . 1  2  32 i px2  t 2m . i  exp  px x  – общие собственные функции операторов Ĥ   5 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике Задание 8. Вычислите интеграл (29) и покажите, что пропагатор для свободного движения имеет вид K  x, t ; x, 0   m 2 i m exp   x  x  . 2 i t  2t  (30) Внимательный читатель скажет: где-то это уже было. Полезно взглянуть на формулу (26) из лекции 7. Задание 9. Подставив (30) и (25) в (26), получите явное выражение для волнового пакета спустя время t :   x, t   4  1  a 2 1   t ma 2  2    2 i   x  x0  p0t m   exp   1  i t ma 2   exp   2 2 2   2a 1   t ma        p02t   p x   0  2m    .(31) Задание 10. Показать, что в состоянии (31) средние значения координаты и импульса равны x  x0  p0t , m p  p0 , (32) а их дисперсии a2   t  D  x   1   2  2   ma  2 2   , D  px   2 . 2a  (33) Мы видим, что в среднем волновой пакет движется как классическая частица с постоянной скоростью p0 m . Но сама координата в любой момент времени не имеет определенного значения (потому что ее дисперсия не нулевая), что говорит о некоторой степени ее размазанности около среднего значения x . Рост дисперсии координаты (33) говорит о расплывании волнового пакета (31) с течением времени. Задание 11. Покажите, что плотность вероятности обнаружения частицы в некоторой малой области от x до x  dx равна   x, t     x, t  2   x  x 2  .  exp   2 D x     2 D  x    1 Обратите внимание, что дисперсия импульса при этом не изменяется. (34) 6 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике Итак, мы показали, что в общем случае во время эволюции состояния системы  , дисперсии изменяются. Но если все-таки минимизированные дисперсия и средние значения сохраняются, то говорят, что имеет место когерентное состояние. 5. Уравнение непрерывности. Покажем, что волновой механике присущ закон сохранения плотности вероятности   r,t  . Для этого продифференцируем   r, t     r, t  *  r, t  по времени:   r, t    r, t  *  *  r, t  .    r, t    r, t  t t t (35) Из уравнения Шредингера следует, что   r, t  i i    r, t   V  r, t   r, t  , t 2m *   r, t  i i   *  r, t   V  r, t  *  r, t  . t 2m (36) Подставляя (36) в (35), получим   r, t  i  *  r, t    r, t    *  r, t   r, t     t 2m i    *  r, t    r, t    r, t   *  r, t   . 2m (37) Если введем вектор плотности потока вероятности j  r, t   i   r, t   *  r, t   *  r, t    r, t  , 2m (38) то получим в итоге уравнение непрерывности, отражающее закон сохранения плотности вероятности:   r, t   divj  r, t   0 . t (39) Представим волновую функцию в виде:   r, t   A r, t  eir ,t  . (40) Это соответствует, например, волновому пакету или волне де-Бройля. Тогда вектор плотности потока вероятности равен j  r, t   A  r, t    r, t  . 2 m Задание 12. Получите выражение (41). (41) 7 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике Из (41) следует, что если фаза не зависит от координат, то вектор плотности потока вероятности равен нулю. Для волны де-Бройля или для волнового пакета   r   p . Поэтому вектор плотности потока вероятности принимает вид: j  r,t   Если учесть, что при этом p 2 k 2 A  A . m m p 2  v и A    r, t  , то j  r,t    v , что совпадает с m вектором плотности тока из гидродинамики. Для волны де-Бройля плотность вероятности постоянна, т.е. свободная частица как бы «размазана» по всему пространству равномерно: в каждой точке вероятность обнаружения частицы одинакова. При измерении положения частицы детектором волновая функция, как говорят, коллапсирует. Т.е. акт измерения стягивает волну деБройля в точку. Задание 13. Покажите, что в общем случае вектор плотности потока вероятности (38) представим в следующем виде: pˆ   j  r, t   Re  *  r, t    r, t  . m   (42) 8