Структурная и приведенная формы модели. Два способа построения оценок и анализа их точности

Эконометрика (использование в стратегировании) Раздел 2. Применение системы одновременных уравнений при разработке стратегий Тема. Практическое применение точечного и интервального прогноза эндогенных переменных модели в стратегировании Власюк Людмила Ивановна, канд. экон. наук, доцент, E-mail: lvlasyuk@mail.ru 1 Список литературы: 1. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. М.: Дело, 2004. – 576 с. Глава 9. Системы одновременных уравнений, С. 220. 2. Прикладная Статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: в 2 т. Т.2: Айвазян С.А. Основы эконометрики. М., 2001. – 432 с. Глава 4. Системы одновременных линейный уравнений, С. 331 3. Эконометрика: Учебник/ Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2003. С. 344. Глава 4. Системы одновременных уравнений, С. 177 Можно использовать более поздние издания учебников, страницы приведены для электронных вариантов, которые Вам были разосланы. 2 Повторим понятие структурной и приведенной формы модели Структурная форма модели – система одновременных уравнений, описывающая структуру связей между переменными. Приведенная форма модели – система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы. Пример. Дана система уравнений. Это структурная форма модели 1. Эндогенные переменные: , ,. Экзогенная переменная: , лаговая переменная: . Предопределенные переменные (экзогенные+лаговые):, , 2. Составим приведенную форму модели. 3 Применение эконометрических моделей в виде систем одновременных уравнений 1. Получение сведений о структурных параметрах модели и/или коэффициентах приведенной формы модели. Обычно применяют, когда параметры модели имеют четкую экономическую интерпретацию (эластичности, мультипликаторы, «склонность к сбережению» и т.д.). Для анализа и прогнозирования внутренней и внешней среды объекта стратегирования. Для установления количественных характеристик и оценочных показателей производства, продаж, работников и всех других ресурсов, требуемых для внедрения стратегии на стадии определения задач. Для ресурсной оценки стратегии. 2. Условный прогноз эндогенных переменных (при определенных условиях, накладываемых на значения предопределенных переменных); многовариантные (в соответствии с различными вариантами условий) сценарные расчеты, показывающие, как меняются эндогенные переменные при различных условиях, касающихся значений предопределенных переменных. Для оценки последствий реализации приоритетов, сценариев. Для оценки результатов внедрения стратегии. 4 Точность оценок (точность прогнозов) 1. Если интерес сосредоточен на структурных параметрах, то следует воспользоваться состоятельными методами оценивания (ДМНК, ТМНК) и по той же исходной информации оценить точность примененных процедур (с помощью аналитических методов, т.е. выводя и статистически оценивая ковариационную матрицу используемых оценок параметров, с помощью компьютерно-имитационных методов). 2. Если мы используем коэффициенты приведенной формы (сами по себе или как средство получения точечного прогноза эндогенных переменных по формуле , где – заданные для момента времени n+τ значения предопределенных переменных, а τ – «глубина» прогноза), то анализ точности полученных оценок и/или прогноза можно проводить одним из двух способов: Первый способ (более сложный) – используются состоятельные оценки коэффициентов структурной формы и состоятельные оценки ковариационных матриц. Второй способ – непосредственное вычисление коэффициентов приведенной формы с помощью МНК, примененного к каждому уравнению системы. Состоятельность и несмещенность этих оценок обеспечивается стандартными модельными допущениями. 5 Два способа построения оценок и анализа их точности Первый способ основан на состоятельных оценках коэффициентов структурной формы и их ковариационных матриц (состоятельных оценок матриц). По ним строят оценки приведенной формы: , где В – коэффициенты при эндогенных переменных, С – коэффициенты при предопределенных переменных. Далее выводим общий вид состоятельной оценки ковариационной матрицы. Решение этой задачи составляет аналитическую базу для решения задачи построения интервального прогноза для эндогенных переменных и интервальных оценок для параметров приведенной формы. Этот путь анализа точности прогноза более предпочтителен, когда есть уверенность, что спецификация модели в ее структурной форме модели осуществлена правильно. 6 Два способа построения оценок и анализа их точности Второй способ основан на вычислении оценок коэффициентов приведенной формы с помощью МНК, примененного к каждому уравнению системы. Состоятельность и несмещенность этих оценок обеспечивается стандартными модельными допущениями. По статистическим данным, заданным представленном ниже виде ализируется приведенная форма СОУ (*) , В – невырожденная, – немультиколлинеарны (*) – вектор эндогенных переменных в момент времени t – вектор предопределенных переменных в момент времени t – коэффициенты приведенной формы – случайные остатки, они имеют нулевые средние значения, постоянные дисперсии 7 и не коррелированы с предопределенными переменными . Два способа построения оценок и анализа их точности Модель (*) состоит из m обобщенных моделей множественной регрессии – i-й столбец матрицы , а Х – матрица наблюдений предопределенных переменных. Применим формулу для вычисления МНК и получаем: Матрицу, составленную из столбцов , , можно записать в виде =, где матрица Y составлена из столбцов , т.е. является матрицей наблюденных значений эндогенной переменной. Матрица, стоящая в левой части, есть МНК-оценка для , следовательно Транспонируем обе части этого соотношения и получаем окончательный вариант формулы:8 Точечный прогноз эндогенных переменных Точечный прогноз эндогенных переменных на тактов времени вперед строится по формуле. Истинные значения эндогенных переменных в прогнозируемый период будут равны Ошибка прогноза может быть выражена в виде Применяя операцию усреднения Е к формуле ошибки убеждаемся в несмещенности прогноза, т.е. в том что . 9 Интервальный прогноз эндогенных переменных Интервальный прогноз эндогенных переменных или построение совместных доверительных интервалов для различных сочетаний компонент этого вектора на тактов времени вперед возможны, если мы оценим ковариационную матрицу ошибок прогноза , то есть матрицу Получим несмещенную оценку этой матрицы в условиях стандартных модельных допущений где является несмещенной оценкой ковариационной матрицы остатков приведенной формы и задается формулой Если дополнительно предполагаем нормальный характер распределения случайных возмущений структурной и приведенной формы анализируемой модели, то имеем все необходимое для построения интервальных прогнозов (совместных – одновременно по набору эндогенных переменных) и покоординатных – для каждой эндогенной переменной в отдельности. 10 Совместные доверительные интервалы для всех эндогенных переменных 1. Совместные доверительные интервалы для всех эндогенных переменных одновременно 1.1 Отклонения значений ( эндогенных переменных спрогнозированных на тактов времени вперед, от их истинных будущих значений с заданной вероятностью концентрируется внутри эллипсоида рассеяния, определяемого уравнением – заданные на прогнозный период предопределенные значения прогнозных переменных, – 100% точка F распределения 1.2 Гарантированные (одновременно для всех эндогенных переменных) пределы варьирования каждой из компонент обозначены на своей координатной оси OYi – i-й диагональный элемент матрицы . 11 Интервальный прогноз одной отдельно взятой эндогенной переменной Интервальный прогноз одной отдельно взятой эндогенной переменной yi , выполняется с заданной точностью 𝛼 точка распределения 𝑡 𝛼 ሺ 𝑛 − 𝑝ሻ = ඥ 𝐹𝛼 ሺ 1; 𝑛 − 𝑝ሻ − 100 % 2 2 Стьюдента с n – p степенями свободы. Ширина интервального прогноза для одной отдельно взятой эндогенной переменной всегда существенно меньше, чем ширина интервального прогноза для той же самой переменной, полученной в рамках задачи построения совместных доверительных интервалов. 12