Структура объемного поляритона

Лекция N 5 Структура объемного поляритона 1.Плотность энергии для поляритонов. На прошлой лекции мы получили следующее выражение для плотности энергии объемного поляритона: = + 4 Ω − ) ( (1) Преобразуем данное выражение. На Лекции N 2 мы вывели следующее выражение для диэлектрической проницаемости среды вблизи фононного резонанса: ( )= Ω − + (2) Для дальнейших преобразований формулы (1) нам понадобится значение производной ( ) по . Получим эту производную (Д.З.N 1): ( = Ω ) = −Ω =Ω 2 − − ( 1 − ( (− ) )= ) Следовательно, для производной получаем результат =Ω 2 − ( Рассмотрим далее выражение ( ) + ( )+ 1 2 = + (3) ) . Имеем, Ω − +Ω ( − ) = = + Ω − 1+ = − = + Ω − + − ⋅ + = − Ω − ) ( Следовательно, мы доказали справедливость формулы: ( )+ 1 2 = + Ω − ) ( (4) ⟹ Поэтому выражение для плотности энергии объемного поляритона можно представить в следующем виде: = + ( )+ = (5) − С учетом полученной на Лекции (4) формулы = 1 ⋅ 4 ( Ω − (6) ) мы можем выразить плотность энергии через квадрат относительного смещения = 4 ( )+ 1 2 = 1 4 ( − ) 4 Ω ( )+ 1 2 ⟹ Следовательно, выражение плотности энергии поляритона через квадрат относительного смещения элементарной ячейки имеет вид: = ( )+ − (7) Как показывает строгий квантово-механический анализ, выражения (5) и (7) справедливы и при квантовом рассмотрении, только величины меняются на средние значения 〈 〉 и 〈 〉 соответственно. и за- Переходим теперь, как при рассмотрении квантового гармонического осциллятора, к поляритонным квантам – считаем, что энергия единицы объема среды выражается формулой для плотности энергии квантового гармонического осциллятора: = ℏ + Здесь V - объем кристалла, 1 2 (8) - число поляритонных квантов. С учетом вы- ражения (8) для плотности энергии поляритона, выразим средние квадраты смещения и поля через число квантов. Имеем, 〈 1 1 ( )+ 2 〉=4 = 2 ℏ 1+2 1 ( )+ 2 (9) ⟹ Следовательно, средний квадрат электрического поля в поляритоне выражается через число квантов 〈 〉= с помощью формулы: ℏ + (10) ( )+ Получим аналогичную формулу для 〈 〈 〉= = ⋅ ℏ 2 ⋅ ( Ω − ( Ω − 〉. Имеем из (7): ) ) ⋅ 1 1 ( )+ 2 ⋅ 1+2 1 ( )+ 2 = ⟹ Следовательно, средний квадрат относительного смещения в поляритоне выражается через число квантов 〈 〉= ℏ ⋅ с помощью формулы: ⋅ − + ( )+ (11) В этой формуле мы ввели обозначение = (12) 2.Фононные и фотонные силовые функции Мы сейчас введем базовые характеристики, выражающие количественное содержание фонона и фотона в поляритоне. → Рассмотрим предельный случай формулы (11) при = начает значение среднего квадрата смещения при . Пусть 〈 〉 оз- . Из формулы (11) следует 〈 〉 = lim 〈 → ℏ 2 〉 = lim → ⋅ ( ⊛ 1+2 ⋅ 1 ) ( )+ 2 Ω − = ⏞ Преобразуем выражение в скобке с помощью формулы (4): ℏ 2 ⋅ Ω − ( 1+2 ⋅ + ( Ω − ) ) = ⋅ 1+2 1 ( )+ 2 ℏ 2 ⋅ = ℏ 2 Ω (1 + 2 ) ⋅ ( − ) ⋅ ( ( ( Ω − ) − ) − ) + ⋅ Ω (13) Тогда (Д.З.N 2): ⊛ = ⏞ ℏ 2 ⋅ Ω (1 + 2 ) Ω = ℏ 2 ⋅ (1 + 2 ) ⟹ Следовательно, 〈 〉 = ℏ ⋅( + ) (14) ( ) с помощью формулы: ▀ Введем фононную силовую функцию ( )= 〈 〉 〈 〉 (15) ⟹ Эта функция дает меру содержания фонона в поляритоне. Подставляя выражения для 〈 жение для 〉и 〈 〉 , из (15) получаем следующее выра- ( ) (Д.З.N 3): ( )= ⋅ − (16) ( )+ С учетом полученной ранее формулы (4), получаем для ( ) еще одно представление: ( )= ⋅ − (16) ( )+ Рассмотрим далее введение электрической силовой функцией, как меры содержания фотона в поляритоне. Для этого рассмотрим распространение в среде с фоновой диэлектрической проницаемостью . Пусть 〈 ской электромагнитной волны с частотой плоской гармониче〉 - есть среднее зна- чение квадрата электрического поля фотона, распространяющегося в этой среде. Тогда плотность энергии единицы объема поля выражается известной формулой оптики = 4 〈 〉 (17) Тогда из (8) имеем = Откуда получаем ℏ + 1 〈 = 2 4 〉 〈 〉 = 2 ℏ ⋅ (1 + 2 ) (18) ▀ Введем, по определению, электрическую (фотонную) силовую функцию по формуле: = 〈 〉 〈 〉 (19) С учетом формул (10) и (18) легко получить выражение для фотонной силовой функции (Д.З.N 4): = (20) ( )+ Еще одно представление для этой функции получится при замене знаменателя этой формулы с помощью (4): = (20) + −