Статистические распределения и их основные характеристики

НССУЗ НП «Региональный финансово-экономический техникум» СТАТИСТИКА (Вторая лекция) ________________________________ http://rfet.ru © РФЭТ © Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав. 2 СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛ 1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ..........................................................4 Глава 1.1. Ряды распределения .............................................................4 Глава 1.2. Графическое изображение вариационного ряда ...............8 Глава 1.3. Показатели вариации .........................................................11 Глава 1.4. Структурные средние .........................................................23 Глава 1.5. Показатели вариации качественных признаков...............28 РАЗДЕЛ 2. РЯДЫ ДИНАМИКИ.............................................................34 Глава 2.1. Характеристика и классификация динамических рядов..............................................................................34 Глава 2.2. Показатели изменения уровней ряда динамики...............36 Глава 2.3. Расчет среднего уровня ряда динамики............................39 Глава 2.4. Смыкание рядов динамики.................................................46 Глава 2.5. Анализ основной тенденции рядов динамики..................47 3 РАЗДЕЛ 1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Глава 1.1. Ряды распределения Мы уже упоминали, что составной частью сводной обработки данных статистического наблюдения является построение рядов распределения. С какой целью это делается? Естественно, чтобы выявить основные свойства и закономерности исследуемой статистической совокупности. Вы встретили новое понятие – ряды распределения. Выясним, что это означает? Это статистический ряд, который представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному варьирующему признаку. В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения, различают: атрибутивные (качественные) и вариационные (количественные – по возрастанию или убыванию) ряды. Например, распределение персонала предприятия по уровню образования – это атрибутивный ряд. Все другие ряды, содержащие числовые показатели называют вариационными. Вариационный ряд распределения состоит из двух элементов: вариант и частот. Количественные значения признака в вариационном ряду распределения называются вариантами и обозначаются x . Частоты – это числа, показывающие сколько раз в совокупности встречается данное значение признака, и обозначаются f . Например, зарплаты четырех сотрудников фирмы соответственно равны 300; 400; 300; 500 долл. Получается, что x принимает значения: 300; 400; 300; 500. А частота f соответственно принимает значения: 2;1;1. Сумма всех частот равна численности всей совокупности. В нашем случае численность всей совокупности – сотрудников фирмы равна четырем и она же равна сумме частот (2+1+1)=4. 4 В вариационных рядах используют понятие частости – это частоты, выраженные в процентах к итогу или в долях. Сумма всех частостей, выраженных в процентах, равна 100%, в долях она равна 1. В нашем примере частость 2 равна 50% или 1/2. В зависимости от характера вариации признака вариационные ряды распределения подразделяются на дискретные и интервальные. Дискретным называют такой вариационный ряд, который представлен целыми числами (например, число детей в семье). Когда значения признака выражены в виде интервалов – это интервальный ряд. Вариационные ряды распределения представляют в виде таблицы, состоящей из двух колонок. В первой колонке приводятся отдельные значения варьирующего признака, т. е. варианты. Во второй – числа, показывающие, сколько раз в совокупности встречается данная варианта, т. е. частоты. Например, проведя обследование 20 семей сотрудников фирмы, выяснялось, что количество детей в этих семьях представляет собой следующий ряд: 0 1 2 3 1 2 3 4 1 0 1 2 1 1 0 3 1 2 1 4. Какой вариационный ряд мы здесь можем построить, дискретный или интервальный? Поскольку значения признака представлены в виде целых чисел, построим дискретный ряд распределения. А мы ранее говорили, что это значит, нам необходимо построить таблицу, состоящую из двух колонок. В первой колонке будет число детей, а во второй мы подсчетом определяем сколько раз это число встречается, т. е. частоту этого числа. Например, подсчитав, в скольких семьях нет детей из всей рассматриваемой совокупности в 20 человек, мы определили, что это три семьи. Аналогично поступаем со всеми остальными количествами детей. В результате получаем такой дискретный ряд распределения, который задан таблицей 1.1. 5 Таблица 1.1. Распределение 20 семей по количеству детей Число детей Число семей 3 1 8 2 4 3 3 4 2 Итого: 20 Для графического изображения дискретного вариационного ряда применяется полигон распределения, который можно построить вручную, а лучше, если воспользоваться возможностями электронных таблиц Excel. Полигон (от греч. – «многоугольник») применяется для изображения как дискретных, так и интервальных рядов (если предварительно привести его к дискретному). При этом по оси абсцисс откладываются варианты, а по оси ординат – частоты или частости. Т.е., на плоскости необходимо построить точки с координатами (0;3), (1;8), (2;4), (3;3), (4;2) и соединить эти точки отрезками. В результате, полученная ломаная называется полигоном. Естественно, строить полигон вручную уже неэтично. Воспользуемся возможностями информационных технологий, в частности приложением Excel. После загрузки программы Excel, вводите последовательно все элементы предыдущей таблицы в ячейки программы Excel вместе с заголовком (не вводите строку «Итого»). Затем выделяете эту таблицу вместе с заголовком, и в меню Вставка программы Excel выбираете команду Диаграмма. В загрузившемся диалоговом окне Мастера диаграмм, на вкладке Нестандартные, выбираете Графики (2 оси) и, кликнув на команду Готово в этом диалоговом окне, получаете полигон, представленный на рис. 1.1. 6 Рисунок 1.1. Полигон распределения В качестве интервального вариационного ряда рассмотрим распределение 30 рабочих хлебокомбината по размеру зарплаты (см. табл. 1.2). В эту таблицу внесли зарплату рабочих с интервалом в 5 тыс. руб. и число таких рабочих для каждого интервала. Для графического изображения интервального вариационного ряда применяется гистограмма – график, на котором ряд распределения изображен в виде смежных друг с другом столбиков. Гистограмму можно построить как вручную, так и уже рассмотренным методом с помощью программы Excel. Только на этапе выбора типа диаграммы нужно указать Гистограмма. При ручном способе построения на оси Ox откладываются величины интервалов, а частоты изображаются прямоугольниками, построенными на соответствующих интервалах. В случае равных интервалов высота столбиков должна быть пропорциональна частотам. Гистограмма применяется для наглядности изображения. Обратите внимание на столбец (графу) «накопленные частоты». Накопление – добавление к тому, что было ранее того, что получили. Например, почему в строке с зарплатой от 5 до 10 тыс. руб. накопленная частота равна 15? Потому, что количество вариант со значением от 5 до 10 тыс. руб. равно 12, а предыдущая частота равна 3. Тогда накопленная частота и получается равной 15. Аналогично пройдитесь по всему столбцу «накопленные частоты» и увидите, что рассуждения ко всем 7 его остальным строкам аналогичны тем, что мы с вами только что провели. Построив гистограмму самостоятельно, вы убедитесь, что ее вид совпадает с тем, что представлен на рис. 1.2. Таблица 1.2. Распределение 30 рабочих по размеру месячной заработной платы Заработная плата, руб. в месяц, x До 5 000 5 000 – 10 000 10 000 – 15 000 15 000 – 20 000 Итого: Число рабочих, чел., f 3 12 10 5 30 Накопленные частоты, S 3 15 25 30 - 30 25 20 Число рабочих, чел., f 15 Накопленные частоты, S 10 5 До 5000 5000 – 10000 10000 – 15000 15000 – 20000 Рисунок 1.2. Гистограмма Глава 1.2. Графическое изображение вариационного ряда Естественно, для статистики наибольший интерес представляют вариационные ряды. Например, фирма занимается изготовлением модулей для мебели. Численность фирмы и выработка продукции за месяц представлена таблицей 1.3. 8 Таблица 1.3. Распределение рабочих по выработке Выработка, м (x) до 200 200 – 220 220 – 240 240 – 260 260 – 280 280 – 300 300 – 320 свыше 320 Итого: Число рабочих (f) 3 12 50 56 47 23 7 2 200 Накопленные частоты (S) 3 15 65 121 168 191 198 200 - Проанализируем эту таблицу, предлагая вам самостоятельно построить по ней гистограмму. Ее вид должен совпадать с тем, что представлен на рис. 1.3. Норма выработки рабочих 60 50 40 30 20 10 до 200 200 – 220 220 – 240 240 – 260 260 – 280 280 – 300 300 – 320 свыше 320 Рисунок 1.3. Гистограмма «Норма выработки рабочих» Если вы попытаетесь ее сравнить с предыдущей гистограммой, то последняя гистограмма имеет большую тенденцию перехода в плавную кривую, которую в статистике так и называют кривой распределения. Что характеризует кривая распределения? 9 Она характеризует вариацию признака и закономерности распределения частот внутри однокачественной совокупности (речь идет о норме выработки модулей рабочими за один и тот же период). В ряде случаев для изображения вариационных рядов используется кумулятивная кривая (кумулята). Для ее построения необходимо вычислить накопленные частоты и частости. В нашем примере накопленные частоты уже вычислены (второй столбец табл. 1.3). Мы рассматриваем интервальный ряд, а при построении кумуляты интервального ряда распределения нижней границе первого интервала соответствует частота, равная нулю, а верхней – вся частота данного интервала (в нашем случае она равна 200). Верхней границе второго интервала соответствует накопленная частота, равная сумме частот первых двух интервалов, и т. д. Построим кумуляту, пользуясь приложением Еxcel по той же схеме, которой мы пользовались при построении гистограммы. Но только теперь нам ее надо строить по двум крайним столбцам таблицы 1.3. Загружаете Еxcel, вводите по двум соседним столбцам те данные, которые составляют первый и последний столбцы таблицы 1.3 без строки «Итого». Затем выделяете эту таблицу вместе с заголовком, и в меню Вставка программы Excel выбираете команду Диаграмма. В загрузившемся диалоговом окне Мастера диаграмм на вкладке Нестандартные выбираете Графики (2 оси) и, кликнув на команду Готово в этом диалоговом окне, получаете ту кривую, которую называют кумулята. Ее вид представлен на рис 1.4. Естественно у вас возник вопрос: «Как часто используют изображение вариационного ряда в виде кумуляты?» Ответ: «При необходимости анализа концентрации производства». 10 Кумулята 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 до 200 200 – 220 220 – 240 240 – 260 260 – 280 280 – 300 300 – 320 свыше 320 Рисунок 1.4. Кумулята Глава 1.3. Показатели вариации Читая и разбирая курс, у вас, возможно, возник вопрос: «Почему необходимо измерять вариацию, разве недостаточно тех средних, которые мы очень подробно рассмотрели?» В этой главе мы попытаемся на этот вопрос ответить. И хотим этот ответ проиллюстрировать с помощью рассказа Глеба Успенского «Четверть лошади». «В деревне Присухине школа имеет тридцать учеников, в деревне Засухине – 20, а в деревне Оплеухине – 2. Из этого изволите видеть, следует средний вывод, что средним числом на школу – по 17 человек. Это все равно, ежели бы я взял миллионщика Колотушкина, присоединил бы к нему просвирню Кукушкину, у которой в кармане гроши, – тогда в среднем выводе на каждого и вышло бы по полумиллиону». Из этого примера видно, как важно оценить типичность средней для изучаемых единиц совокупности. Средняя величина характеризу11 ет совокупность по изучаемому признаку и такой характеристики совокупности будет достаточно, если разброс индивидуальных значений невелик. Если же ряд характеризуется значительным рассеиванием индивидуальных значений, то применение средней величины ограничено. А как быть в таких ситуациях? При значительном рассеивании индивидуальных значений необходимо рассчитать специальную систему показателей, характеризующих средний размер отклонений индивидуальных значений от средней величины и степень колеблемости признака в совокупности, т. е. показателей вариации. И снова, как и для любых показателей статистики, показатели вариации используют двух типов (групп): абсолютные и относительные. Какие показатели относят к абсолютным показателям вариации? К абсолютным показателям вариации относят – размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Какие относят к относительным показателям вариации? Это – коэффициент осцилляции, линейный коэффициент и коэффициент вариации. Попытаемся разобраться с этими показателями. Начнем с рассмотрения абсолютных показателей, в частности – с размаха вариации. В самом названии этого показателя кроется его смысл. Ведь размах – это разность. Но разность между чем и чем? В случае показателей вариации – разность между экстремальными значениями признака в совокупности. Например, по таблице 1.3 размах вариации относительно выработки модулей равен 120, т.к. (320-200=120). А что собой представляет единица измерения этого показателя? Но и с этим должно быть все ясно. Ведь если из стульев вычитать стулья, то и в ответе получатся стулья. Т. е. единица измерения размаха вариации совпадает с единицей измерения признака у единиц совокупности. (В нашем примере, из модулей вычитаем модули, в ре- 12 зультате снова получим модули). И если мы запишем наши мысли в виде формулы, то она будет иметь вид: R= x max −x min , (1.1) где R – размах вариации; x max – максимальное значение признака в совокупности; x min – минимально значение признака в совокупности. Безусловным достоинством этого показателя является простота расчета. Однако размах вариации зависит от величины только крайних значений признака и не учитывает промежуточные значения, поэтому область его применения ограничена достаточно однородными совокупностями. В чем и заключается недостаток размаха вариации. В частности, на практике он находит применение в предупредительном контроле качества продукции. Недостаток размаха вариации устраняет показатель среднего линейного отклонения. Среднее линейное отклонение вычисляется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант x i и среднего x . Среднее линейное отклонение рассчитывается по двум формулам простой и взвешенной. Еще раз вспомним, когда мы пользуемся простой средней арифметической, а в каких случаях взвешенной? Если данные не сгруппированы, то используем простую среднюю арифметическую (сумму индивидуальных показателей делим на количество таких показателей), и тогда формула среднего линейного отклонения примет вид ∑ d = ∣x i−  x∣ . (1.2) n Если данные сгруппированы, то пользуемся средней арифметической взвешенной. ∑ d = ∣x i−  x ∣⋅ f i ∑ fi 13 . (1.3) Мы выяснили, что в числителе этих двух формул присутствует одно и то же общее выражение – разность конкретного индивидуального значения исследуемой величины и среднего значения этой совокупности. Но почему эта разность взята по модулю (вертикальные скобки)? Дело в том, что сумма отклонений значений признака от средней величины равна нулю. Поэтому вынуждены разность брать по модулю. По поводу значения f i – мы уже много раз говорили, что это вес i -ого варианта. Тогда знаменатель – сумма таких весов. У среднего линейного отклонения есть единица измерения, она совпадает с единицей измерения индивидуальных показателей – вариант. Значит, если мы из килограммов будем вычитать килограммы, то и среднее линейное отклонение будет измеряться в килограммах. Среднее линейное отклонение обладает серьезным недостатком: в числителе нет минуса, а сам показатель – положительное число. Эта проблема решается третьим и четвертым показателями вариации – дисперсией и среднеквадратическим отклонением. Переходим к рассмотрению третьего абсолютного показателя вариации – дисперсии. Слово это вам известно из курса школьной физики как рассеивание света, из высшей математики (теории вероятностей) – как числовая характеристика математического ожидания (среднего значения). И в статистике, как и в теории вероятностей, эта величина служит для характеристики показателя среднего значения. Остановимся на его рассмотрении. Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Она рассчитывается по простой и взвешенной формулам. Для ее обозначения используется греческая буква сигма. Но раз мы сказали, что дисперсия – это средний квадрат отклонений, то и берется сигма в квадрате. Простая дисперсия определяется формулой 1.4. ∑  x − x  σ = 2 i n 14 2 . (1.4) Взвешенная дисперсия определяется формулой 1.5. 2 ∑  x − x  ⋅f σ = ∑f 2 i i . (1.5) i Еще раз обращаем ваше внимание на совершенную простоту вычисления этого показателя – дисперсии. Мы разобрались с вычислением среднего линейного отклонения – это разность индивидуального и среднего значений. Но теперь вы каждую разность индивидуального и среднего значений возводите в квадрат. Суммируете все квадраты полученных разностей – это вы вычислили 2 ∑  x − x  i , т. е. числитель формулы (1.4), а теперь разделив получившееся число на количество показателей – вариант, мы найдем дисперсию. Для сгруппированных данных мы вычисляем дисперсию взвешенную, т.е. пользуемся формулой (1.5). А по этой формуле мы уже вычисленную 2 ∑  x − x  i умножаем на значение веса и делим результат на сумму та- ких весов. Чуть позже мы произведем расчет всех рассмотренных показателей на примере таблицы 1.3. Недостаток дисперсии состоит в том, что она имеет размерность вариант, возведенную в квадрат (рублей в квадрате, человек в квадрате). Чтобы устранить этот недостаток, используется среднее квадратическое отклонение. Итак, дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений. В данном случае варианты признака выражены в первой степени, значит, и мера их вариации должна быть взята в первой степени. Для этого достаточно извлечь из дисперсии корень второй степени, получится среднее квадратическое отклонение ( σ ) – сигма. А, значит, и формулы для вычисления среднего квадратического отклонения будут отличаться от формул (1.4) и (1.5) только тем, что извлекается из них корень квадратный. Естественно, что среднее квадратическое отклонение вычисляют простое и взвешенное, что задается соответственно формулами (1.6) и (1.7). Еще раз обращаем ваше внимание на тот 15 факт, что в расчетах эти формулы не столь «страшны», как в их написании. И Вы скоро в этом убедитесь. σ= σ=   2 ∑  x −x  i n . (1.6) 2 ∑  x −x  ⋅ f ∑f i i . (1.7) i Значит, для вычисления среднего квадратического отклонения необходимо извлечь квадратный корень из величины дисперсии, учитывая, по простой или взвешенной мы считали дисперсию. Все не сложно, несмотря на величественность и кажущуюся непонятность расчетных формул. Итак, среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Среднее квадратическое отклонение выражается в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, рублях, процентах, модулях, как в таблице 1.3). Нужны ли эти показатели меры вариации и где они применяются? Да, они являются общепринятыми и часто используются в статистических исследованиях. Они широко используются в международной практике учета и статистического анализа, в частности в системе национального счетоводства. А теперь рассмотрим практически вычисление всех четырех рассмотренных абсолютных показателей вариации на примере задачи. Мы уже говорили, что в Курске действует предприятие по выпуску упаковочного материала: пленка, пакеты и т. д. При предприятии существует магазин по продаже его продукции и ряд торговых точек, которые есть во многих супермаркетах города. В бухгалтерию предприятия поступают сведения и деньги от этих торговых точек. Пусть таких предприятий будет 20. Выручка от каждого из них разная: от 3,7 до 8,2 млн. руб. за месяц (смотри первый столбец табл. 1.4). Эти сведения пришли в бухгалтерию, и вы пытаетесь с ними разобраться, чтобы доло16 жить на совещании о результатах работы этих торговых точек. Мы сказали, что выручки торговых точек разные, и первое, что вы сделали, это осуществили группировку предприятий по размерам выручки. Вы создаете сводную таблицу, в которую помещаете сгруппированные данные по размеру выручки и указываете столбец с числом торговых точек, у которых размер выручки из выбранного вами интервала. Теперь дополняете таблицу теми столбцами, которые нам помогут выполнить расчет всех рассмотренных нами показателей вариации. Зададим столбец 3, назовем ' его x i . В него мы поместим середины интервалов по исходным дан- ным. Так как для первой рабочей строки таблицы размер выручки в интервале от 3,7 до 4,6 млн. руб., то средина этого интервала найдется как сумма этих значений, деленная пополам, т.е. (3,7+4,6):2=4,15. Значение признака, совпадающее с верхней границей, включается в следующий интервал. Это связано с тем, что верхняя граница последнего интервала 5,5 больше максимального значения в данной совокупности. Аналогично вычислим середины всех остальных промежутков. В следующий столбец мы поместим произведение середины интервала на число вариант (торговых точек). Для первой рабочей строки это произведение найдется как 4,15х2=8,30. И заполним весь этот столбец по такой же схеме до конца. Теперь мы можем определить среднее значение выручки, пользуясь средней арифметической взвешенной. А значит, вам нужно просуммировать столбец 4, т. е. тот, где мы определяли произведения середин интервалов выручки на число торговых точек из этого интервала. А значит, вам понадобится строка «Итого» в вашей таблице. В результате суммирования мы получили значение x '⋅ f i=121 , 70 . Число вариант – количество торговых точек (у нас их i 20). Разделив по формуле (1.3) средней арифметической взвешенной 121,70 на 20 , получим среднюю выручку торговой точки за месяц. 121 ,70 =6, 085 млн. руб. В нашем случае x =20 Чтобы вычислить среднее линейное отклонение, нужно найти разность между значением каждого индивидуального признака и сред- 17 ним значением. А это означает, что нам необходим еще один столбец ' – пятый, в него мы и поместим x i −x . Для первой рабочей строки таблицы получим x ' −x =4, 15−6, 085=−1, 935 . i Аналогично вычисляем все остальные строки этого столбца. При вычислении среднего линейного отклонения по формуле 1.3 нужно взять получившиеся в пятом столбце разности по модулю, т. е. они все будут положительными, и умножить каждую строку пятого столбца на число вариант в соответствующей строке. Итак, необходим шестой столбец, в него мы будем заносить Теперь осталось просуммировать столбец ∣x ' −  x∣⋅f i . i ∣x ' −  x∣⋅f i и по формуi ле 1.3 разделить получившуюся сумму на число вариант, т. е. 20. В результате получилась величина среднего линейного отклонения 17 , 640 d = =0,882 млн. руб. 20 Что нам показывает эта величина? Она говорит нам, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности. В данном примере средняя величина колеблемости размера выручки по среднему линейному отклонению 0,882 млн. руб. Далее мы будем определять дисперсию. А это значит, нужно в таблицу добавить столбец  2  x ' − x ⋅ f i – появляется седьмой столi бец таблицы. Как мы уже говорили, здесь все просто. Нужно взять разность, которая нами уже определена по пятому столбцу, возвести ее в квадрат и умножить на число вариант этой строки, т. е. −1, 935 2⋅2=7, 489 – это значение получится в первой строке седьмого столбца. Аналогично вычисляем все остальные строки этого столбца. Вспоминаем, что дисперсия – это средняя из квадратов отклонений. Квадраты отклонений мы вычислили. А чтобы найти среднюю, мы 18 все значения столбца 7 суммируем и делим на число вариант, т. е. на число 20. В результате у нас получается значение дисперсии 23 , 126 =1, 156 млн. руб. в квадрате. 20 Значит, сама процедура вычислений не сложна. Нужно просто очень внимательно вчитываться в текст и работать на листе с карандашом, проводя все рассуждения вслед за нами. Ничего не будет сложного, если Вы хотя бы один раз вычислите самостоятельно все показатели вариации. А теперь все наши рассуждения оформим в таблицу 1.4. Для компактности заголовка таблицы столбцы 3 – 7 мы оформили под общим заголовком – расчетные показатели. σ 2= Таблица 1.4. Расчет показателей вариации Расчетные показатели Размер прибыли, млн. руб. Число торговых точек x' i x '⋅ f i i x ' − x i ∣x ' − x∣⋅ f i i 1 3,7 – 4,6 4,6 – 5,5 5,5 – 6,4 6,4 – 7,3 7,3 – 8,2 Итого: 2 2 4 6 5 3 20 3 4,15 5,05 5,95 6,85 7,75 - 4 8,30 20,20 35,70 34,25 23,25 121,70 5 -1,935 -1,035 -0,135 0,765 1,665 - 6 3,870 4,140 0,810 3,825 4,995 17,640   2 x ' − x ⋅ f i i 7 7,489 4,285 0,109 2,926 8,317 23,126 Но мы не вычислили еще один абсолютный показатель вариации – среднее квадратическое отклонение. Вычислим его извлечением квадратного корня из дисперсии, т. е. σ =  1, 156=1, 075 млн. руб. Среднее квадратическое, как и среднее линейное отклонение, показывает на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности – 1, 075 млн. руб. Среднее квадратическое отклонение показывает как расположена основная масса единиц совокупности относительно средней арифметической. Следует заметить, что среднее квадратическое отклонение всегда больше среднего линейного отклонения. Еще раз относительно нашего примера: средняя величина колеблемости размера выручки по среднему линейному отклонению составляет 19 0,882 млн. руб., а по среднему квадратическому отклонению она составляет 1, 075 млн. руб. Перейдем к рассмотрению относительных показателей вариации. В начале этой главы мы уже сказали о том, что к относительным показателям вариации относят коэффициент осцилляции, линейный коэффициент и коэффициент вариации. Относительные показатели вариации применяются для решения следующих задач: • сравнение степени вариации различных вариационных рядов; • характеристика степени однородности совокупности. Относительные показатели вариации вычисляются как отношение абсолютных показателей к среднему арифметическому. Итак, начнем с рассмотрения коэффициента осцилляции. Он равен отношению размаха вариации к среднему арифметическому и выражается в процентах. Если вспомнить, что размах вариации мы обозначали как R , среднее значение как x , то обозначив коэффициент осцилляции как K R , получим формулу для его вычисления. R K R= ⋅100 % . (1.8) x Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака относительно среднего значения. Относительное линейное отклонение представляет собой отношение среднего линейного отклонения к среднему значению и выражается в процентах. Так как среднее линейное отклонение мы обозначали через d , то формула относительного линейного отклонения примет вид: d K d = ⋅100 % . (1.9) x Наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости – коэффициент вариации. Он равен отношению среднего квадратического отклонения к среднему значению и выражается в 20 процентах. С учетом наших обозначений формула для подсчета коэффициента вариации примет вид: σ v= ⋅100 % . (1.10) x Коэффициент вариации характеризует долю усредненного значения отклонений от средней величины. Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Принято считать, совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. В противном случае либо исключаются крайние значения признака, либо разбивают совокупность на однородные группы. В случае рассмотренного нами примера с торговыми точками (табл. 1.4) по реализации упаковочных пакетов коэффициент вариа1, 075 ⋅100 %=17,7 % Основываясь на получен6, 085 ном значении коэффициента вариации можно сделать вывод, что по размеру выручки совокупность торговых точек является однородной. Вычислим и другие относительные показатели вариации на примере табл. 1.4. Коэффициент осцилляции будет равен R 8,2−3,7 K R= ⋅100 %= ⋅100 %=73,95 % . 6, 085 x Обратите внимание на выражение, стоящее в числителе коэффициента осцилляции – оно представляет собой размах вариации. Как мы его определяем в нашем случае (табл. 1.4)? Так как размах – это разность между экстремальными (максимальными и минимальными) значениями, то по табл. 1.4 максимальная выручка составила 8,2 млн. руб., а минимальная выручка составили 3,7 млн. руб. Относительное линейное отклонение будет равно d 0, 882 K d = ⋅100 %= ⋅100 %=14,5 % . 6, 085 x ции будет равен v= 21 В условиях нормального распределения существует зависимость между величиной σ и количеством наблюдений, эта зависимость выражается в статистике в правиле трех сигм. Рассмотрим его. Правило трех σ В пределах x ±σ располагается 68,3% наблюдений. В пределах x ±2σ располагается 94,5% наблюдений. В пределах x ±3σ располагается 99,7% наблюдений. На практике почти не встречаются отклонения, которые превышают 3σ . Отклонение в 3σ может считаться максимальным. При помощи этого правила можно получить примерную оценку σ . σ= x max −x min . (1.11) 6 Если статистическая совокупность разбита на группы по какому-либо признаку, то для оценки влияния различных факторов, определяющих колеблемость индивидуальных значений признака, можно воспользоваться разложением дисперсии на составляющие: на межгрупповую и внутригрупповую дисперсии. Если рассчитать дисперсию признака по всей изучаемой совокупности, т. е. общую дисперсию σ 2 , то полученный показатель будет характеризовать вариацию признака как результат влияния всех факторов, определяющих индивидуальные различия единиц совокупности. Если же поставить дальнейшую задачу – выделить в составе общей дисперсии ту ее часть, которая обусловлена влиянием какого-либо определенного фактора, то следует разбить изучаемую совокупность на группы, положив в основу группировки интересующий нас фактор. Затем нужно изучить раздельно вариацию признака внутри однородных в отношении данного фактора групп и изменения в величине признака от группы к группе. Выполнение такой группировки позволяет разложить общую дисперсию признака на две дисперсии, одна из которых будет характеризовать часть вариации, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, а вторая – вариацию, происходящую под влиянием прочих факторов (кроме фактора, положенного в основу группировки). 22 Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних или факторная дисперсия) характеризует систематическую вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием одного фактора, положенного в основание группировки. Межгрупповая дисперсия является мерой колеблемости частных средних по группам x j вокруг общей средней x 0 и вычисляется по формуле: 2 ∑  x − x  ⋅n σ = ∑n 2 j j , (1.12) j где n – число групп; n j – число единиц в j -й группе; x j – частная средняя по j -й группе; x 0 – общая средняя по совокупности единиц. Давайте поговорим по поводу формулы межгрупповой дисперсии. Она не сложна, если вы разобрались, как мы вычисляли взвешенную дисперсию по всей совокупности признака. В случае межгрупповой дисперсии находится разность между средней конкретной группы и средним значением совокупности. Для взвешенной дисперсии мы находили разности между конкретным значением совокупности и средним значением. В обоих случаях разности, найденные для каждой группы или для каждого индивидуального значения после возведения в квадрат, мы суммируем. Затем для взвешенной дисперсии мы получившуюся сумму умножаем на вес и делим на сумму весов всей совокупности. А для межгрупповой дисперсии мы получившиеся суммы умножаем на число единиц в конкретной группе и делим на сумму таких групп. Важно помнить, что ∑ n j =∑ f i . Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характе2 ризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия σ . j Внутригрупповая (средняя из групповых или остаточная) дисперсия характеризует случайную вариацию, т. е. ту часть вариации, которая вызвана действием других неучтенных факторов, и не зависящую от фактора, положенного в основание группировки. 23 2 σ 2 ∑  x − xi  = ij nj j . (1.13) Но если вести речь о совокупности в целом, то вариация значений признака под влиянием прочих факторов характеризуется средней из внутригрупповых дисперсий, которая находится по формуле средней взвешенной. ∑ σ ⋅n σ = ∑n 2 j − 2 j . (1.14) j 2 Между общей дисперсий σ , средней из внутригрупповых дис0 − персий σ 2 и межгрупповой σ 2 дисперсиями существует соотношение, определяемое правилом сложения дисперсий. Согласно этому правилу, общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий: − 2 2 σ =σ σ . (1.15) 2 Глава 1.4. Структурные средние Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду используются средняя арифметическая, мода и медиана. Мода и медиана – вспомогательные характеристики изучаемой статистической совокупности. Напомним, что для дискретного ряда распределения средняя арифметическая рассчитывается по формуле (1.3) x = ∑ x⋅f ∑f i i . i В интервальном вариационном ряду значение средней величины рассчитывается по формуле внешне мало отличающейся от формулы (1.3). В числителе формулы вместо x i – варианты значений признака берется середина соответствующего интервала. Вспомните пример с торговыми точками, сдающими разные выручки от реализации упако24 вочного материала. Рассмотрим расчет показателей центра распределения для вариационных рядов. Вычисляя среднюю арифметическую для дискретного или вариационного ряда, мы берем в рассмотрение все значения или середины всех интервалов. Мода и медиана – это характеристика исследуемой величины в конкретной ее точке. Мы неоднократно подчеркивали, что математика является инструментом исследования статистики. И в этом случае проведем параллель с математикой. В частности, медианой треугольника в математике называют отрезок, проведенный из вершины угла к середине противоположной стороны, т. е. ключевым словом здесь выступает середина стороны треугольника. А в статистике медиана (Me) соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Слово ранжированный вам должно быть понятно – расположены элементы ряда (варианты значений) по порядку (рангу), например, по возрастанию. Положение медианы определяется ее номером. N Me= n1 , 2 (1.16) где n – число единиц в совокупности. Например, в одном из цехов предприятия по выпуску упаковочного материала, трудится 190 человек – это рабочие разной квалификации, и соответственно, разных тарифных разрядов. Это распределение рабочих предприятия по тарифному разряду представлено табл. 1.5. Таблица 1.5. Распределение рабочих предприятия по тарифному разряду Численность человек 12 48 56 60 14 Всего: 190 Тарифный разряд 2 3 4 5 6 25 рабочих, Найдем номер медианной единицы ряда по формуле (1.16). В соответствии с табл. 1.5 получим n1 1901 N Me= = =95 ,5 . 2 2 Полученное дробное значение, которое всегда получается при четном числе вариант (единиц совокупности) указывает, что середина находится между 95 и 96 рабочими. Необходимо определить, к какой группе относятся рабочие с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты, очевидно, что рабочих с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 12 человек, нет их и во второй группе (12+48=60). Рабочие с номерами 95 и 96 находятся в третьей группе, т. к. 12+48+56=116, следовательно, медианным является 4 разряд. Если вернуться к понятию «мода» в том смысле, в каком мы привыкли его определять, то это что-то наиболее часто встречающееся. Аналогично и в статистике. Мода ( M o )– наиболее часто встречающееся (повторяющееся) значение признака в совокупности. Если вернуться к примеру в табл. 1.5, то наибольшая численность рабочих равна 60. Т.е. наибольшая частота равна 60, и она соответствует рабочим с пятым разрядом. Следовательно, пятый разряд и является модальным. В этих примерах мы показали, как найти моду и медиану для сгруппированных данных в дискретных вариационных рядах. Если ряд не является сгруппированным, то определяют в этом ряду, какое значение индивидуального признака чаще встречается. Это значение и будет модальным. Например, в одном из отделов фирмы трудится 7 человек. Стаж работы сотрудников этого отдела задается следующим рядом: 2; 4; 4; 5; 2; 4; 6. Так как в этом отделе больше всего сотрудников со стажем работы в 4 года, то это значение и будет модальным. Чтобы определить медиану в этом ряду необходимо ранжировать ряд: 2; 2; 4; 4; 4; 5; 6. Центральным в этом ряду будет сотрудник со стажем работы в 4 года. Этот ряд и будет медианным. 26 Если в ранжированном ряду четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений. Пусть, к примеру, уволился из отдела фирмы сотрудник со стажем работы в 4 года. Тогда, ранжированный ряд будет иметь вид: 2; 2; 4; 4; 5; 6. Вычислим медианное значение стажа, оно будет равно (4+4):2=4. В интервальном ряду мода и медиана рассчитываются на основе формул:  f M o − f M o−1  M o =x 0 i⋅ , (1.17)  f M o − f M o−1  f M o − f M o1  где x o – нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту); i – величина модального интервала; f M o – частота модального интервала; f M o −1 – частота интервала, предшествующего модальному; f M o 1 – частота интервала, следующего за модальным. 1 ∑ f i −S Me −1 2 Me= x 0 i⋅ , f Me (1.18) где x o – нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот); i – величина медианного интервала; S Me −1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному; f Me – частота медианного интервала. Вычислим медиану и моду для интервального ряда, задаваемого таблицей 1.4 – «Расчет показателей вариации». Так как наибольшая частота равна 6, и она соответствует интервалу 5,5 – 6,4, то, рассуждая по формуле (1.18), замечаем, что нижняя граница медианного интервала x o =5,5 . Величина интервала равна 27 разности 6,4, и 5,5, т. е. 0,9. Подставив значения в формулу (1.18), получим: 201 −6 2 . Me=5,50,9⋅ =6, 175 6 Какой вывод мы можем сделать по вычисленному значению медианы? Вывод такой: 50% торговых точек имеют выручку менее 6,175 млн. руб., а 50% торговых точек имеет выручку более 6,175 млн. руб. Пользуясь формулой (1.17) вычислим моду по таблице 1.4 – «Расчет показателей вариации». 6−4 M o =5,50,9⋅ =6, 10 млн. руб .  6−4  6−5 Итак, в данной совокупности торговых точек, наиболее часто встречается размер выручки в 6,10 млн. руб. Но помимо аналитических способов определения медианы и моды существует и графический способ. Медиана определяется по кумуляте. Для ее определения высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианой. Мы строили кумуляту на рис. 1.4, определите самостоятельно значение медианы. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения. Гистограмму мы строили на рис. 1.3, определите значение моды по рисунку. Итак, подводя итог, можно заключить, что основной характеристикой центра распределения является средняя арифметическая, опирающаяся на всю информацию об изучаемой совокупности единиц. 28 Однако в ряде случаев средняя арифметическая должна быть дополнена и даже заменена модальным значением или медианой. Например, в статистическом контроле качества продукции удобнее пользоваться медианой, а не средней арифметической, так как определение медианы для ранжированного ряда данных не требует специального расчета. Кроме того, она не чувствительна к крайним значениям взятой контрольной пробы. В рядах с открытыми интервалами также целесообразнее пользоваться в качестве характеристики центра распределения модой и медианой. Мода применяется при изучении спроса населения на товары народного потребления (например, на обувь, одежду и т. д.), когда интерес представляет определение модального размера, т.е. размера, пользующегося наибольшим спросом. Если сформулировать общие правила для выбора средней арифметической, моды или медианы в качестве показателя центpa распределения, то можно сказать, что в симметричных рядах все названные показатели равноправны, поскольку x =Me=M o , но предпочтение отдается средней арифметической. Для асимметричных рядов распределения медиана часто является предпочтительной характеристикой центра распределения, поскольку занимает положение между средней арифметической и модой. Итак, в отличие от средней арифметической, рассчитываемой на основе использования всех вариантов значений признака, мода и медиана характеризуют величину варианта, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду. Глава 1.5. Показатели вариации качественных признаков Выше был рассмотрен расчет показателей вариации для количественных признаков. Но наряду с вариацией количественных признаков может ставиться задача оценки вариации качественных признаков. При наличии двух взаимоисключающих вариантов значений признака говорят о наличии альтернативной изменчивости качественных признаков. Например, при изучении качества изготовлен29 ной продукции можно разделить ее на две группы: годную и бракованную. В таком случае будем иметь дело с альтернативным признаком. Можно считать, что эквивалентом качественного признака будет переменная, которая принимает значение 1 или 0, причем значение 1 она принимает в том случае, когда обследуемая единица обладает данным признаком, а значение 0, когда не обладает им. Итак, признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие, называются альтернативными. Допустим, общее число единиц совокупности равно n . Число единиц, обладающих данным признаком будет f , тогда число единиц, не обладающих данным признаком, будет равно n− f . Учитывая изложенное, построим ряд распределения по качественному признаку. Таблица 1.6. Ряд распределения по качественному признаку Значение переменной 1 Итого: Частота повторений f n− f n Средняя арифметическая такого ряда равна 1⋅f 0⋅ n− f  f = , x = n n т. е. равна относительной частоте (частости), которую можно обозначить через p , тогда x = p . Таким образом, доля единиц, обладающих данным признаком, равна p ; соответственно доля единиц, не обладающих данным признаком, равна q ; pq=1 . Тогда дисперсия альтернативного признака определяется по формуле 2 ∑  x − x  ⋅f σ = ∑f i 2 2 = i 2 i 2 2  0− p  ⋅q 1− p ⋅p = = pq p ⋅qq ⋅p = pq⋅ pq = pq⋅1= pq . 1 Мы получили, что дисперсия альтернативного признака равна σ 2 =pq . (1.19) 30 Обратите внимание, что для вычисления дисперсии альтернативного признака мы пользовались формулой взвешенной дисперсии (1.5). Но так как среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии, то и для альтернативного признака мы получим формулу среднего квадратического отклонения альтернативного признака. σ =  pq . (1.20) Максимальное значение дисперсии альтернативного признака 0,25. Например, в результате контроля качества при приемке из 1 000 готовых изделий (пусть это будут упаковочные пакеты) 20 оказались бракованными. Применяя вышеуказанную символику, строим ряд распределения (1 соответствует бракованным изделиям, а 0 – годной продукции) с помощью таблицы 1.7. Таблица 1.7. Ряд распределения по качественному признаку Значение переменной 1 Итого: Частота повторений 20 980 1 000 Чтобы найти долю брака по данным примера, нужно количество бракованных изделий разделить на общее количество изделий и умножить на 100. Тогда доля брака равна 20 ⋅100 %=2 % (или 0,02). 1000 Найдем величину дисперсии, пользуясь формулой (1.16). Для этого необходимо найти долю продукции, относящейся к годным изделиям. А для этого из единицы вычтем долю брака, получим 0,98. Теперь, перемножив по формуле (1.9) найденные доли, определим дисперсию σ 2 =pq=0, 02⋅0, 98=0, 0196 . Для вычисления среднего квадратического отклонения извлечем из результата дисперсии квадратный корень (по формуле 1.17) и 31 σ=  pq= 0, 0196=0, 14 . Нужны ли практически показатели вариации альтернативных признаков? Да, они широко используются в статистике, в частности при проектировании выборочного наблюдения, т. е. когда из совокупности выбирается некоторая группа (выборка) и подвергается статистическому обследованию. Показатели вариации широко используют при обработке данных социологических обследований, статистическом контроле качества продукции и в ряде других случаев. Например, возвращаясь к таблице 1.4, из 20 торговых точек, занимающихся реализацией упаковочного материала, в 5 из них налоговой инспекцией обнаружены финансовые нарушения. Тогда 5 1 = – доля торговых точек, в которых обнаружены финансо20 4 вые нарушения, а доля торговых точек, в которых финансовых нарушений не обнаружено равна: 1 3 q=1− p=1− = . 4 4 Найдем дисперсию для торговых точек, в которых обнаружены финансовые нарушения 1 3 3 σ 2 =pq= ⋅ = =0, 1875 , 4 4 16 и найдем среднее квадратическое отклонение для этого же случая σ =  pq= 0, 1875=0, 433 . Обобщенной характеристикой различий внутри ряда может cлужить энтропия распределения. Применительно к статистике – энтропия – это мера неопределенности данных наблюдения, которая может иметь различные результаты. Энтропия зависит от числа градаций признака и от вероятности каждой из них. Онa показывает, имеет ли закономерность в сосредоточении отдельных градаций наименьшее количество позиций или, напротив, заполненность распределения одинаковая. При этом сумма 32 p= вероятностей всех возможных исходов равна единице. Энтропия измеряется в битах. Из курса информатики вы помните, что бит – наименьшая единица измерения информации. Как же характеризуется энтропия? Показатель энтропии H x представляет собой отрицательную сумму произведения вероятностей различных значений случайной величины p i на логарифмы по основанию два этих вероятностей, т.е. H x =−∑  p i⋅log 2 p i  . (1.21) Если все варианты равновероятны, то энтропия максимальна. Если же все варианты, за исключением одного, равны нулю, то энтропия равна нулю. Энтропия альтернативного признака ( n=2 ) при равновероятном 1 ) равна единице. Давайте убедимся в этом пу2 тем вычислений по формуле (1.21). 1 1 1 1 H x =−∑  p i⋅log 2 p i =− ⋅log 2  ⋅log2 = 2 2 2 2 1 1 1 =−2⋅ ⋅log 2 =−log2 =−1⋅−1=1. 2 2 2 В процессе предыдущих расчетов мы пользовались логарифмом числа по основанию 2. Напомним, что логарифмом называют показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить распределении ( p= 1 подлогарифмическое выражение, т. е. 2 . Так как основание логарифма равно двум, то в какую степень его 1 надо возвести, чтобы получить 2 ? Естественно, в минус первую сте1 пень. Ведь два в минус первой степени равно 2 . Вот почему логарифм числа 1 2 по основанию два равен минус единице. Произведем вычисление энтропии на примере выпуска продукции различных сортов на одном из предприятий, занимающихся выпус33 ком электротоваров. Продукция, выпускаемая предприятием, трех сортов, среди продукции возможен брак. В таблице 1.8 указаны вероятности каждого из сортов и вероятность брака. Таблица 1.8. Вероятность различных сортов продукции Сорт 1-й 2-й 3-й Брак Итого: Вероятность 0,90 0,04 0,05 0,01 1,00 Энтропия данного распределения равна: H x =−∑  p i⋅log2 pi =−0,9⋅log 2 0,90, 04⋅log 2 0, 04 0,05⋅log 2 0, 050, 01⋅log 2 0,01 =0, 6051 . Показатель энтропии позволяет также измерять количество информации. Чем больше информации о случайном событии, тем определеннее его состояние. Чем больше вероятность случайного события p a , тем меньше информации несет его осуществление. В случае p a =1 энтропия равна нулю, т. к. логарифм единицы по любому основанию равен нулю. Что это означает? Это значит, что данное испытание не содержит никакой информации. Энтропия распределения интерпретируется как мера рассредоточенности вариантов случайной переменной по ее возможным значениям или как мера неопределенности значения реализации. Неопределенность значений реализации случайной переменной предусматривает наличие некоторого наблюдателя, находящегося в том или ином отношении к источнику неопределенности. Очевидно, можно представить ситуацию, когда для двух наблюдений степени неопределенности результатов одного и того же наблюдения со случайными исходами существенно различаются. Например, результаты голосования при экспертных опросах для наблюдателя – участника голосования и наблюдателя, не участвующего в голосовании. В связи с тем, что верхнего предела энтропия распределения не имеет, целесообразно вычислять наряду с абсолютной и относительную величину неопределенности, т. е. относительную энтропию. 34 Как она определяется? Относительная энтропия определяется как отношение ее фактической величины к максимальной. Это отношение изменяется от нуля до единицы и может быть интерпретировано. Чем меньше относительная энтропия, тем меньше неопределенность и выше однородность. Итак, мы познакомились в этой главе со статистическими распределениями, их характеристиками. Выяснили, как они вычисляются. В следующей главе мы переходим к рассмотрению рядов динамики, т. е. к тому вопросу, о котором мы частично уже говорили. 35 РАЗДЕЛ 2. РЯДЫ ДИНАМИКИ Глава 2.1. Характеристика и классификация динамических рядов В предыдущих главах мы вели разговор о показателях, способах их определения, типах показателей. В этой главе мы попытаемся выяснить, как можно отслеживать изменения тех или иных показателей во времени, т. е. динамично. Ведь мы уже объясняли, что такое название связано с разделом физики (динамики), занимающейся изучением движения. Для отображения изменений показателей во времени строят ряды динамики. Итак, ряды динамики (временные ряды) применяются для изучения изменения явлений во времени. Что представляет собой ряд динамики? Это ряд числовых значений определенного статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени (годы, кварталы, месяцы). Значит, ряды динамики задаются столбцами и строками. Обычно уровни ряда обозначают через y , моменты или периоды времени, к которым относятся уровни – через t . Например, таблицей 2.1 задается выпуск продукции предприятием по годам. Это и есть ряд динамики. Таблица 2.1. Выпуск продукции предприятием по годам 2003 Выпуск продукции, yi (млн.т.) 15 2004 17 2005 18,5 2006 19 2007 21 Год, t В статистике различают два вида временных рядов: моментные и интервальные. 36 Моментным называется ряд, который отражает значение исследуемого признака на какой-то момент времени. Например, численность работников фирмы или уровни товарных остатков на складе на какой-то момент времени. Можно привести множество примеров моментного ряда, но посмотрим, какими особенностями обладает моментный ряд. Дело в том, что для моментного ряда нельзя суммированием получить общее значение показателя за весь период. А происходит это потому, что значения анализируемого показателя, относящиеся к разным датам, пересекаются между собой. Например, отслеживая остатки какой-то марки печенья на складе по месяцам года, нельзя суммированием определить остаток этого печенья в целом за весь год. Ведь то печенье, которое было остатком в январе месяце, станет составляющей продукции склада в феврале месяце и будет входить в остаток печенья на складе в феврале и т. д. Что же касается интервального ряда, то им называется такой ряд, абсолютные уровни которого представляют собой итоговые величины за некоторые интервалы времени (например, производство продукции за месяц; число родившихся за месяц, год). Или объем выпущенной продукции за 2007 г. (табл. 2.1). Какова особенность интервальных рядов? В отличие от моментных рядов их уровни можно дробить и складывать. Например, мы можем узнать, какой объем продукции выпущен предприятием (табл. 2.1) за весь рассматриваемый период. Это означает, что мы должны сложить значения уровней второго столбца и получим 90,5 млн.т. продукции. Можно определить не только итоговый показатель, но и показатели за какие-то промежутки всего полного периода. Это как раз и будет дроблением ряда, т.е. мы разбиваем ряд на более мелкие промежутки времени. Например, за два первых года исследуемого показателя (табл. 2.1) выпуск продукции предприятием составил 32 млн.т., а за два последних года – 40 млн.т. Как мы это определили? Мы просто сложили соответствующие уровни. 37 Итак, главный вывод по моментным и интервальным рядам: сумма уровней интервального ряда – вполне реальный показатель (мы только, что в этом убеждались), сумма уровней моментного ряда не имеет смысла. Глава 2.2. Показатели изменения уровней ряда динамики В статистике выделяют также производные ряды динамики, которые состоят из средних или относительных величин. Они рассчитываются на основе моментных или интервальных рядов. Например, среднегодовая численность населения. Для анализа скорости и интенсивности развития исследуемого явления используют следующие статистические показатели: абсолютный прирост, темп роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста. При этом принято сравниваемый уровень называть отчетным, а уровень, с которым производят сравнение, – базисным. Но абсолютные приросты делят на цепные и базисные. Абсолютный прирост показывает, на сколько изменился изучаемый показатель по сравнению с предыдущим или базисным периодом времени. Он равен разности двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную скорость роста. Итак, формула для базисного абсолютного прироста имеет вид: Δyb= y i − y 0 , (2.1) где y 0 – базисный уровень ряда. Когда сравниваются абсолютные показатели двух любых соседних рядов, то следует говорить о цепном абсолютном приросте, который задается формулой (2.2). Δ yц = y i − y i-1 . (2.2) С понятием темп роста мы уже встречались. Этот показатель характеризует интенсивность изменения уровня. И задается отношением отчетного уровня к базисному. Интенсивность изменения уровня ряда оценивается отношением отчетного уровня к базисному, которое все38 гда представляет собой положительное число. Показатель интенсивности изменения уровня ряда в зависимости от того, выражается ли он в виде коэффициента или в процентах, принято называть коэффициентом роста или темпом роста. Это фактически одно и то же отношение, только коэффициент роста безразмерная величина – число, а темп роста – это то же самое число, только умноженное на сто процентов. Значит, темп роста измеряется в процентах. Пусть фирма занимающаяся реализацией школьных товаров имела за июль месяц 2007 г. выручку 4 млн. руб., а за август месяц 2007 г. этот объем достиг 6 млн. руб. Тогда коэффициент роста объема выручки будет равен 6 : 4 = 1,5. Темп роста объема выручки фирмы составит (6 : 4) х 100% = 150%. Коэффициент роста показывает, во сколько раз изменился изучаемый показатель по сравнению с предыдущим периодом времени или с базисным периодом времени. Соответственно коэффициент роста может быть цепным и базисным. Введем формулу для цепного коэффициента роста. ц K Рi = yi . (2.3) y i −1 Базисный коэффициент роста позволяет сравнивать отчетный уровень с начальным: Б K Рi = yi . (2.4) y0 Из предыдущих рассуждений можно заключить, что темпы роста – это коэффициенты роста, выраженные в процентах (они также могут быть цепными, базисными и средними). А значит, их можно вычислять по формуле T P= K P⋅100 % . (2.5) Следующим показателем ряда динамики является темп прироста. Темп прироста показывает, на сколько процентов изменился изу39 чаемый показатель по сравнению с предыдущим периодом времени или с базисным периодом времени. Аналогично различают цепной и базисный темп прироста. Темп прироста – это разность между темпом роста и 100. Формула цепного темпа прироста задается так: T цпрi = y i − y i−1 ⋅100 % . (2.6) y i−1 Базисный темп прироста задается такой формулой Б T прi = y i− y 0 ⋅100 % . (2.7) y0 В практике статистики часто вместо темпов роста и прироста используют абсолютное значение одного процента прироста. Оно представляет собой одну сотую часть базисного уровня и в то же время – отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу прироста. ∣%∣= y i − y i−1 y i − y i −1 . (2.8) ⋅100 % yi Абсолютное значение одного процента прироста служит косвенной мерой базисного уровня и вместе с темпом прироста позволяет рассчитать абсолютный прирост уровня за рассматриваемый период. А теперь, чтобы реанимировать формулы, которые мы сейчас с вами получили, исходя из определений того или другого показателя рядов динамики, вернемся к табл. 2.1 и вычислим для нее все возможные показатели ряда динамики. Начнем свои рассуждения с 2004 г., т. к. для 2003 г. большинство из показателей нельзя вычислить, ввиду того, что не с чем его сравнивать (исходя из нашей таблицы). Находим абсолютный прирост, как разность показателя выработки продукции 2004 и 2003 гг. Она равна Δ yц = y i − y i-1=17−15=2 . В этом случае значение цепного и базисного приростов совпадают, т.е. Δ yб = y i − y 0 =17−15=2 . Для вычисления коэффициента роста цепного (он снова будет совпадать с базисным) найдем отношение числа 17 к 40 ц yi числу 15, тогда K Рi = y i −1 =K БР i = 17 =1, 133 . Для вычисления темпа роста 15 будем умножать коэффициент роста на 100%. Получим, что цепной и базисный темпы роста совпали и равны 113,3%. Переходим к вычислению цепного темпа прироста y −y T цпрi = i i−1⋅100 %=17−15 ⋅100 %=13,3 % . 15 y i−1 Он будет в нашем случае равен базисному темпу прироста. Последний показатель, который мы вычислим в этом примере – абсолютное значение одного процента прироста. 17−15 2 ∣%∣= = =0, 17 . 17−15 200 ⋅100 % 17 17 Аналогично можно вычислить эти же показатели только для других уровней. Сделайте это самостоятельно, это будет хорошей практикой и позволит убедиться вам в том, что расчеты не представляют никаких сложностей. Глава 2.3. Расчет среднего уровня ряда динамики Мы выяснили, что ряды динамики можно анализировать с помощью различных абсолютных показателей и рассмотрели способы вычисления этих показателей. Но мы не раз с вами подчеркивали, что средние одни из важнейших понятий в статистике. И мы снова прибегаем к ним за помощью. В рядах динамики они необходимы для обобщающей характеристики исследуемого явления за ряд периодов. Рассмотрим две категории этих показателей: • средние уровни ряда; • средние показатели изменения уровней ряда. Метод расчета среднего уровня ряда динамики зависит от вида временного ряда. Если ряд динамики является интервальным, то расчет среднего уровня ведется по формуле простой средней арифметической: 41 n ∑y i=1 y = n i . (2.9) Например (табл. 2.2), имеются следующие данные о динамике производства продукции предприятием по выпуску модулей для сборки офисной мебели за 2006-2010 гг., тыс. шт. Таблица 2.2. Производство продукции (тыс. шт.) предприятием за 2006 – 2010 гг. Год Объем продукции (тыс.шт.) 2006 201 2007 215 2008 234 2009 236 2010 241 Чтобы определить среднегодовое производство продукции за 2006-2010 гг. достаточно воспользоваться формулой простой средней арифметической: n ∑y i 201215234236241 =225 , 40 . n 5 Итак, среднегодовой выпуск модулей для сборки офисной мебели за пять последних лет на данном предприятии составил 225,40 тыс. шт. Средний уровень моментного динамического ряда определяется несколько иначе. Рассмотрим вычисление среднего уровня для такого моментного динамического ряда, когда промежутки между датами одинаковы. Например, определим средний месячный остаток материалов на складе предприятия по выпуску модулей для сборки офисной мебели в течение первого квартала текущего года. Известно, что остаток материалов на складе на 1 января текущего года составил 242 млн. руб., на 1 февраля – 251 млн. руб., на 1 апреля – 186 млн. руб. При вычислении среднего уровня моментного ряда условно предполагается непрерывное, равномерное изменение уровня в промежутках между двумя датами. Основываясь на этом предположении, определяем средние остатки материалов на складе за каждый месяц как полусумму остатy = i=1 = 42 ков на начало и конец месяца. Средние остатки за месяц соответственно будут равны: 242251 =246 ,5 млн . руб . , за январь y = 2 251214 =232 ,5 млн. руб . , за февраль y = 2 214186 =200 ,0 млн . руб . за март y = 2 Естественно возникает вопрос, как получили число 214? Это средняя между остатками крайних месяцев, т. к. в нашем случае динамический ряд состоит из нечетного числа значений, т. е. 242186 . А теперь средний остаток за квартал определяется 2 как простая средняя арифметическая, т. е. 246 ,5232 ,5200 =226 , 333 млн . руб . y = 3 Приведенный расчет среднего уровня можно представить формулой средней хронологической 214= y1 y  y 2  y 3 .. . y n−1  n 2 2 . y хр .= n−1 (2.10) В этой формуле n – число дат, y 1 , y 2 , .. . , y n – уровни ряда в последовательные моменты времени. В нашем примере средние остатки на складе будут равны 242 186 251214 2 2 =226 , 333 млн . руб . y хр .= 4−1 В этом примере мы рассмотрели моментный ряд с равными промежутками между временными датами (один месяц). А как быть в том случае, если рассматриваемый моментный ряд с неравными промежутками между временными датами? В таком случае для определения среднего уровня применяется формула средней хронологической взвешенной 43 y =  y 1 y 2 t 1  y 2  y 3 t 2 . .. y n−1  y n t n−1 2∑ ti . (2.11), где t i - длина временного периода между двумя соседними датами. В качестве примера рассмотрим такую ситуацию. По данным о запасах товаров на складе на начало месяца определим средний размер товарных запасов в 2010 г. (табл. 2.3) Таблица 2.3. Данные о запасах товаров (тыс. руб.) Дата Запасы товаров (тыс. руб.) 01.01.10 01.02.10 01.03.10 01.07.10 01.09.10 01.12.10 01.01.11 1320 1472 1518 1300 1100 1105 920 Еще раз подчеркнем, что рассматривается моментный ряд с неравными промежутками между временными датами, а потому воспользуемся формулой 2.11. 13201472⋅114721518⋅115181300⋅413001100⋅2 11001005⋅31005920⋅1 = 2⋅12 =1253,9тыс . руб . y = Мы определили средний размер товарных запасов на складе в 2010 г. Он составил 1253,9 тыс. руб. Обратите внимание на первое, второе и последнее слагаемые числителя наших расчетов. Они в качестве сомножителя содержат единицу, т. к расстояния между датами равно одному месяцу. Третье слагаемое умножается на 4, т. к. расстояние между датами равно 4 месяцам. Аналогично 4-ое и 5-ое слагаемые, соответственно умножаются на 2 и на 3. В знаменателе число 2 умножается на число 12, т. к. речь идет о среднем размере за год (12 месяцев). Если имеется полная информация о значениях моментного статистического показателя на каждую дату, то среднее значение этого показателя за весь период вычисляется по средней арифметической взвешенной. В качестве весов принимается продолжительность промежутков времени между моментами, в которые происходят изменения в уровнях динамического ряда: 44 n ∑yt i i i=1 y = n ∑t (2.12), i i=1 где t i - количество дней (месяцев) между смежными датами. Мы говорили в начале рассматриваемого раздела, что ряды динамики имеют большое практическое значение и уметь их исследовать важно для специалиста любой отрасли. Т. е., это не только важно экономисту, но и кадровику, менеджеру. Поэтому рассмотрим применение формулы (2.12) еще на примере следующей ситуации. Пусть на 1 января отчетного года стоимость основных средств предприятий составляла 75 млрд. руб. В марте были приобретены основные средства на сумму 2 млрд. руб., в мае выбыло основных средств на 7 млрд. руб., а в сентябре было приобретено еще основных средств на 8 млрд. руб. Вычислим среднюю годовую стоимость основных средств основных средств предприятия. Для удобства расчетов данные представим в таблице 2.4. Таблица 2.4. Стоимость фондов предприятия (млрд. руб.) Даты времени Стоимость основных средств, млрд. руб. 1/I 1/IV 1/VI 1/X Итого: 75 77 70 78 Число месяцев, в течение которых стоимость не изменялась 3 2 4 3 12 yi t i 225 154 280 234 893 Среднегодовая стоимость основных средств предприятия по данным приводимого примера составит 74,417 млрд. руб., мы получили это с помощью формулы средней арифметической взвешенной n ∑yt i i y = i=1 n ∑t = 893 =74 , 417 млрд . руб . 12 i i=1 Если же ориентироваться на стоимость основных средств предприятия на начало и конец отчетного года, т. е., например, использо45 вать показатели балансового отчета предприятия, то получим иной показатель среднегодовой стоимости основных средств предприятия: 7578 =76,5 млрд . руб . y = 2 В этой формуле 78 млрд. руб. стоимость основных средств на конец года (78=75+2-7+8). Вот почему для анализа деятельности предприятия следует пользоваться данными внутренней отчетности, что позволяет получить более достоверную оценку результатов. При определении средних уровней временного ряда нужно иметь в виду, что средняя будет достаточно надежной характеристикой ряда динамики, если она характеризует период с более или менее стабильными условиями развития. Если же за исследуемый период можно выделить этапы, в течение которых условия развития существенно менялись, то пользоваться общей средней не всегда целесообразно, а предпочтение нужно отдать средним, рассчитанным по отдельным этапам. Итак, мы рассмотрели одну из категорий средних показателей ряда динамики – средние уровни ряда. Далее мы выясним, как вычисляются средние показатели изменений уровней ряда. Начнем с рассмотрения среднего абсолютного прироста или средней скорости роста. Этот показатель рассчитывается как средняя арифметическая из показателей скорости роста за отдельные промежутки времени. n−1 ∑Δ i y − y , (2.13) Δ= i=1 = n 1 n−1 n−1 где n – число уровней ряда, Δi – абсолютные изменения по сравнению с предшествующим уровнем. Если вернуться к таблице 2.2, в которой отражена динамика производства продукции предприятием по выпуску модулей для сборки офисной мебели за 2006-2010 гг., (тыс. шт.), то в соответствии с формулой (2.13) средняя скорость роста будет равна 46 n−1 ∑Δ i тыс. шт. 241−201  Δ= i=1 = =10 n−1 5−1 Что означает этот показатель – 10 тыс. шт.? Это означает, что в среднем за 2006 – 2010 гг. выпуск продукции увеличивался на 10 тыс. шт. Следующим показателем рядов динамики является средний коэффициент роста. Он вычисляется по формуле средней геометрической из показателей коэффициентов роста за отдельные периоды:  = n−1 K 1⋅K 2⋅.. .⋅K n−1 , (2.14) K где K 1⋅K 2⋅.. .⋅K n−1 – коэффициенты роста по сравнению с уровнем предшествующего периода; n – число уровней ряда. Эту формулу можно записать иначе, если использовать взаимосвязь между коэффициентами роста, вычисленными с переменной базой, и коэффициентами роста, рассчитанными с постоянной базой, т. е. учитывая, что K 1⋅K 2⋅.. .⋅K n−1 = yn , средний коэффициент роста y1 можно определить по формуле:   = n−1 K yn . (2.15) y1 По данным примера таблицы 2.2, средний коэффициент роста будет равен:     = n−1 K y n 5−1 241 4 241 = = =1, 046 . y1 201 201 Вы замечаете, что формула (2.13) позволяет определить средний коэффициент роста на основе данных о начальном и конечном уровнях ряда динамики. Средний коэффициент роста показывает, во сколько раз в среднем за отдельные составляющие рассматриваемого периода изменялись уровни динамического ряда. 47 С понятием темп роста мы уже встречались ранее. Средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выраженный в процентах.  T = K⋅100 % , (2.16)  – средний годовой коэффициент роста. где K Для приводимого примера T =1, 046⋅100 %=104,6 % , а это означает, что в среднем ежегодно выпуск модулей по сборке офисной мебели составлял 104,6% к уровню предыдущего года. Или так можно сказать, что в среднем ежегодно выпуск модулей по сборке офисной мебели за 2006 – 2010 гг. увеличивался на 4,6%. Для практического применения средний темп роста, рассчитанный по данным о конечном и начальном уровнях временного ряда, можно использовать только в случае более или менее равномерного изменения уровней. В случае сильной колеблемости уровней ряда использование средней геометрической может дать искаженное выражение средней интенсивности изменения их уровней. В таких случаях предлагается средний коэффициент роста рассчитывать как параболический средний темп роста, средний геометрический темп роста выравненного ряда показательной функции и т.д. Особую осторожность при применении средних абсолютных приростов или средних темпов роста (прироста) следует соблюдать в тех случаях, когда появляется перелом в имевшей место тенденции изменения уровней динамического ряда. Например, резкое снижение выпуска производства в последнем месяце полугодия, если все предыдущие месяцы был рост. Причины резкого снижения производства могут быть самыми различными. В таких ситуациях лучше ориентироваться на средний темп роста за первые пять месяцев. Итак, мы рассмотрели расчет среднего уровня ряда динамики и перейдем к рассмотрению проблемы сопоставимости уровней рядов динамики. 48 Глава 2.4. Смыкание рядов динамики Важнейшим условием правильного построения ряда динамики является сопоставимость всех входящих в него уровней. Поскольку ряды динамики формируются на протяжении длительных периодов времени, их уровни часто оказываются несопоставимыми. Причины могут быть самыми различными: изменение цен, изменение методики расчета показателей, изменение «границ» (организационных, административных). Несопоставимость уровней ряда может возникнуть вследствие изменения единиц измерения или единиц счета. Нельзя, например, сравнивать и анализировать цифры о производстве молочных продуктов, если за один год они даны в тоннах, а в другой год в литрах. На сопоставимость уровней ряда динамики непосредственно влияет методология учета или расчета показателей. Например, если в одни годы урожайность считали с засеянной площади, а в другие – с убранной, то такие уровни будут несопоставимы. Для обеспечения сопоставимости данных часто применяется метод смыкания рядов динамики. Под смыканием понимают объединение в один ряд (более длинный) двух или несколько рядов динамики, уровни которых исчислены по разной методологии или разным территориальным границам. Для смыкания ряда динамики необходимо иметь переходное звено. Переходное звено – это период времени, для которого изучаемый показатель рассчитан как по старой методике (в старых границах), так и по новой методике (в новых границах). Для переходного звена рассчитывается коэффициент, действие которого распространяется на все предшествующие периоды времени. Например, несколько мелких предприятий по выпуску молочной продукции были объединены в комбинат. Выпуск продукции в млн.т. задается таблицей 2.5. Таблица 2.5. Выпуск молочной продукции (млн. т.) Выпуск молочной продукции До слияния После слияния 2003 6 600 - 49 2004 6 700 - 2005 6 900 7 500 2006 7 800 2007 7 900 7500 =1, 087 . 6 900 Мы его можем вычислить только по 2005 году, т. к. для него есть объемы продукции до и после слияния предприятий. Далее вычисляем значения объемов выпускаемой продукции с учетом вычисленного коэффициента для всех рассматриваемых периодов, т. е. 2003 и 2004 гг. y 03=6600⋅1, 087=7174 и y 04=6 700⋅1, 087=7283 . Вычислим коэффициент K = Теперь в табл. 2.5 вводим сопоставимый ряд, и таблица принимает вид таблицы 2.6. Таблица 2.6. Выпуск молочной продукции (млн. т.) Выпуск молочной продукции До слияния После слияния Сопоставимый ряд 2003 6 600 7 174 2004 6 700 7 283 2005 6 900 7 500 7 500 2006 7 800 7 800 2007 7 900 7 900 Глава 2.5. Анализ основной тенденции рядов динамики Итак, одной из задач, возникающих при анализе рядов динамики, является установление закономерности изменения уровней изучаемого показателя во времени. В некоторых случаях эта закономерность – общая тенденция развития объекта. Она вполне ясно отображается уровнями динамического ряда. Либо это увеличение показателя, либо уменьшение на всем исследуемом временном интервале. Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, когда уровни ряда претерпевают самые различные изменения (то возрастают, то убывают) и можно говорить лишь об общей тенденции развития явления, либо о тенденции к росту, либо к снижению. В этих случаях для определения основной тенденции развития явления, достаточно устойчивой на протяжении данного периода, используют особые приемы обработки рядов динамики. Рассмотрим, в чем они заключаются. Один из наиболее простых приемов обнаружения общей тенденции развития явления – укрупнение интервала динамического ряда. Смысл приема заключается в том, что первоначальный ряд динамики преобразуется и заменяется другим, показатели которого относятся к 50 большим по продолжительности периодам времени. Например, ряд, содержащий данные о месячном выпуске продукции, может быть преобразован в ряд квартальных данных. Вновь образованный ряд может содержать либо абсолютные величины за укрупненные по продолжительности промежутки времени (эти величины получают путем простого суммирования уровней первоначального ряда абсолютных величин), либо средние величины. При суммировании уровней или при выведении средних по укрупненным интервалам отклонения в уровнях, обусловленные случайными причинами, взаимопогашаются, сглаживаются и более четко обнаруживается действие основных факторов изменения уровней (общая тенденция). Выявление основной тенденции может быть осуществлено также методом скользящей средней. Для определения скользящей средней формируем укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Каждый последующий интервал получаем, постепенно сдвигаясь от начального уровня динамического ряда на один уровень. Таким образом, интервал сглаживания как бы скользит по динамическому ряду с шагом, равным единице. По сформированным укрупненным интервалам определяем сумму значений уровней, на основе которых рассчитываем скользящие средние. Полученная средняя относится к середине укрупненного интервала. Поэтому при сглаживании скользящей средней технически удобнее укрупненный интервал составлять из нечетного числа уровней ряда. Нахождение скользящей средней по четному числу уровней создает неудобство, вызываемое тем, что средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами. В этом случае необходима дополнительная процедура центрирования средних. В целом можно сказать, что метод скользящей средней – это замена исходных уровней ряда средними величинами, которые рассчитываются для последовательно смещающихся интервалов времени. Уточним еще раз, под воздействием каких факторов формируются уровни рядов динамики? 51 Эти факторы можно разделить на 3 группы: определяющие, сезонные, случайные. Выясним, что относят к каждому из этих типов факторов. Определяющие факторы – факторы, которые оказывают постоянное и сильное воздействие на изучаемый показатель. Они определяют основную тенденцию (тренд) ряда динамики. Сезонные факторы – факторы, которые вызывают сезонные колебания относительно основной тенденции. Случайные факторы – факторы, которые вызывают случайные колебания уровней ряда (например, погодный фактор). После того как установлено наличие тенденции в ряду динамики, производится ее описание с помощью метода сглаживаний. Наиболее широко применяемые методы сглаживаний: метод укрупнения интервалов и метод скользящей средней, что мы и рассмотрели в общем виде. Итак, мы завершили рассмотрение важного вопроса статистики – ряды динамики. Выяснили, что в статистике различают два вида рядов: моментные и интервальные. Чем характеризуется каждый из видов рядов. Выяснили, как осуществляется расчет среднего уровня ряда, и в чем состоит несопоставимость уровней ряда. В следующем разделе рассмотрим важное статистическое понятие – индекс. Конец второй лекции Все замечания и предложения отсылайте по адресу:feedback@rfet.ru 52