Средняя арифметическая величина. Другие формы средних величин.

Практическое занятие 19 Средняя арифметическая величина. Другие формы средних величин. Цель: решение задач на расчет средней величины с использованием рабочей формулы средней. Статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает общими для всей совокупности и индивидуальными свойствами. Различие между индивидуальными свойствами называется вариацией, а присущая массовым явлениям близость (похожесть) характеристик отдельных явлений определяется средними величинами. Важнейшее свойство средней заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности варьируют под влиянием множество факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Сущность средней в том в том и заключается, что в ней взаимопогашаются те отклонения значений признака, которые обусловлены действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием основных факторов. Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая, которая, и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной. Средняя арифметическая простая. Эта форма применяется в тех случаях, когда расчет осуществляется по не сгруппированным данным. Задание1: Пять торговых центров фирмы имеют следующий объем товарооборота за месяц (табл. 1): Таблица 1 Товарооборот торговых центров за месяц. Экономический показатель Торговый центр (i) Товарооборот (млн. руб.) 1 2 3 4 5 140 150 130 168 125 Определить средний месячный товарооборот (СМТ) в расчете на один торговый центр. Решение: Получим рабочую формулу данной средней: , где индивидуальные значения признака, которые называют вариантами, число единиц совокупности. С учетом имеющихся исходных данных получим: В этом примере мы использовали формулу средней арифметической простой (невзвешенной). Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными и интервальными. Задание 2: Таблица 2. Результаты торгов акциями АО Сделка Количество проданных акций, шт. Курс продажи, руб. 1 600 1100 2 400 1080 3 2500 1132 Определить по данному дискретному вариационному ряду средний курс продажи одной акции (СКА). Решение: Чтобы получить общую сумму сделок, необходимо по каждой сделке курс продажи умножить на количество проданных акций и полученные произведения сложить. Таким образом расчет среднего курса продажи произведен по формуле средней арифметической взвешенной: , где варианты; веса или частоты (т.е. число вариант, имеющих одинаковое значение признака). При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. Задание 3: Таблица 3 Распределение предприятий отрасли по объему годовой прибыли Прибыль, млн руб. Число предприятий 10- 20 20- 30 30- 40 40- 60 60- 80 80- 100 7 13 38 42 16 5 Итого 121 Определить среднюю прибыль в расчете на одно предприятие. Решение: Середины интервалов будут следующие: 15, 25, 35, 50, 70, 90. Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим среднюю прибыль предприятий отрасли: В статистических исследованиях используются и другие виды средних. Рассмотрим их: Степенная средняя и среднеквадратическая может быть простой и взвешенной и исчисляется соответственно по формулам: Задание 4: Имеется 10 квадратов с различной длиной сторон. Определить среднюю сторону одного квадрата (табл. 4). Таблица 4. Исходные данные для расчета среднеквадратической. : Сторона квадрата, см., (Х) Количество квадратов, (f) Х2 Х2  fi 4 6 8 10 1 3 5 1 16 36 64 100 16 108 320 100 Итого 10 - 544 Решение: Средняя сторона одного квадрата определится как среднеквадратическая взвешенная по формуле: см. Среднегеометрическая характеризует средний уровень относительных рядов динамики и исчисляется по формуле: где n – число относительных величин динамики; - относительная величина динамики цепная; - относительная величина динамики базисная. Исходные данные для расчета средней геометрической приведены в таблице 5. Задание 5: Определить среднегодовое увеличение товарной продукции за пятилетие. Таблица 5. Исходные данные для расчета средней геометрической Год Товарная продукция, тыс. руб. Относительные величины динамики (Темпы роста) % Цепные Базисные 1 2 3 4 5 381 386 396 396 404 - 101,3 102,6 100,0 100,5 100,0 101,3 103,9 103,9 106,0 Решение: или 1,5%. Распределительные средние включают моду и медиану. Мода характеризует центр распределения по «весу» статистических единиц. В дискретном ряду модой будет значение признака, частота которого наибольшая. В интервальном ряду мода (М0) находится в пределах того интервала, частота которого наибольшая (таблица 3). Моду находим по формуле: где xo – начало модального интервала; hm – величина модального интервала; fm – частота модального интервала; fm-1 – частота интервала, предшествующая модельному; fm+1 – частота интервала, следующего за модальным. Медиана – вариант, занимающий среднее место в вариационном ряду и делящий его на две равные части. В дискретном ряду медианным вариантом будет вариант, расположенный в середине вариационнного ряда и делящий его на две равные части. Для нахождения медианы необходимо предварительно определить номер медианного варианта (NMe). В дискретном ряду с нечетной суммой частот, (NMe) исчисляется следующим образом: , где – сумма частот. При четном числе частот имеют место два медианных варианта (NMe1 , NMe2 ), номера которых определяются следующим образом: Медианным вариантом будет тот вариант, с прибавлением частот которого сумма частот будет больше номера медианы. Следовательно, для определения медианного варианта необходимо последовательно суммировать частоты (таблица 6) Задание 6. Определить моду: Таблица 6. Группировка кредитных организаций региона по величине активов Активы, млн. руб. Число кредитных организаций Накопленная частота 105-115 4 4 115-125 9 13 125-135 21 34 135-145 49 83 145-155 28 111 155-165 18 129 165-175 11 140 итого 140 - Решение: Интервал с границами 135-145 в данном распределении будет модальным, так как он имеет наибольшую частоту. Медиана – вариант, занимающий среднее место в вариационном ряду и делящий его на две равные части. В дискретном ряду медианным вариантом будет вариант, расположенный в середине вариационнного ряда и делящий его на две равные части. Для нахождения медианы необходимо предварительно определить номер медианного варианта (NMe). В дискретном ряду с нечетной суммой частот, (NMe) исчисляется следующим образом: , где – сумма частот. При четном числе частот имеют место два медианных варианта (NMe1 , NMe2 ), номера которых определяются следующим образом: Медианным вариантом будет тот вариант, с прибавлением частот которого сумма частот будет больше номера медианы. Следовательно, для определения медианного варианта необходимо последовательно суммировать частот. Для определения медианного интервала необходимо определять накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит ½ суммы накопленных частот. Мы определили, что медианным является интервал с границами 135-145. Проведем расчет медианы: Наряду с медианой для более полной характеристики структуры изучаемой совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относятся квартили и децили. Квартили делят ряд по сумме частот на четыре равные части, а децили – на десять равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей – девять. Медиана и мода в отличие от средней арифметической не погашают индивидуальных различий в значениях варьирующего признака и поэтому являются дополнительными и очень важными характеристиками статистической совокупности. На практике они часто используются вместо средней либо наряду с ней. Особенно целесообразно вычислять медиану и моду в тех случаях, когда изучаемая совокупность содержит некоторое количество единиц с очень большим или очень малым значением варьирующего признака.