Средние величины
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате docx
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Лекция 13. Средние величины
Цель: изучить виды среднеарифметических величин
Задачи: изучить методику расчета среднеарифметических величин.
План:
Виды среднеарифметических величин.
Механизм расчета.
Средние величины – это обобщающие показатели, выражающие типичные размеры количественно изменяющихся признаков качественно однородных явлений; характеризуют общий уровень этого признака,
отнесенный к единице совокупности. Она применяется в случаях перехода от конкретных значений признака к характеристике всей совокупности.
В зависимости от характера изучаемых явлений, от конкретных задач и целей статистического исследования различают следующие виды средних:
среднеарифметическая;
среднегармоническая;
среднеантигармоническая;
среднестепенная;
среднеквадратическая;
распределительные средние: - мода; - медиана;
среднехронологическая.
1. Средняя арифметическая простая ( Х )равна сумме произведений
значений признака, деленной на их количество.
X ∑ X i n
1
где Х1,Х2… Хn- значение признака; n – число значений признака.
Например, известна сменная выработка рабочих бригады токарей:
Табельный номер рабочего
1 2 3 4 5
Количество изготовленных деталей, шт.
21 19 20 18 21
Требуется определить среднюю выработку бригады.
Для ее нахождения используется формула средней арифметической простой:
X ∑ X i n
По приведенным данным необходимо определить среднюю выработку бригады. Для этого просуммируем количество всех изготовленных деталей
(значение признака) и разделим на количество рабочих (число значений
признака):
21 19 20 18 21
X 19,8 20шт 5
Среднеарифметическая взвешенная может быть определена двумя способами: прямым – отношением суммы произведений значений признака на их частоту, на сумму частот, и способом «От нуля».
1.Прямым способом среднерифметическая взвешенная ( х )
определяется по формуле:
∑ xi f i
∑ f i
где f i – частота, т. е. число случаев возникновения того или иного
значения признака.
Исходные данные для расчёта среднеарифметической взвешенной приведены в таблице 1
Таблица 1. Продажа акций на торгах условной фондовой биржи.
Сделка
Количество
Курс
продажи
проданных акций шт. fi
акций в руб. xi
1
500
1080
2
300
1050
3
1100
1145
Определим среднеарифметическую взвешенную прямым способом по формуле:
500 1080 300 1050 1100 1145
X 1112,9 руб 500 300 1100
Следует помнить. ! При расчете средней арифметической по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам.
Тогда зависимость для расчета среднеарифметической взвешенной имеет вид
∑ xi f i
∑ f i
где i х - середина i – го интервала.
2. Способом «от нуля» среднеарифметическая может быть
исчислена по формуле:
X Х0 Z ,
3
где Х0 – значение признака, принятого за «0». За «0» обычно принимается значение признака, расположенного в середине вариационного ряда (В нашем примере Х0 = 25 лет). Поэтому ряд необходимо стараться сделать нечётным. При чётном количестве значений ряда, за «0», может быть принято значение признака с наибольшей частотой.
Z – условная среднеарифметическая, определяемая отношением суммы отклонений значений признаков от значения признака, принятого за
«0», умноженной на соответствующие частоты, к сумме частот, по формуле:
∑( xi x0 ) f i
∑ f
Z =
= -3/20 = -0,15
руб.
Приведём пример расчета среднеарифметической способом «от 0» (табл. 2).
Таблица 2. Пример исчисления среднеарифметической
способом «от 0»
Возраст
Число
Хi fi
Отклонение
значений
(Х-Х0) f
посетителей
посетите
признака от
условной
лет
лей
средней (от 0)
Х
f
Х – Х0 = Zi
5
2
10
-20
-4
15
5
75
-10
-5
25
8
200
35
4
140
10
+4
45
1
45
20
+2
Итого
20
470
-
-3
1. Подставляя в вышеприведенную формулу
полученные значения, определим среднеарифметическую
прямым способом:
4
X = -0,15*10+25= 23,5 года,
Рассчитаем среднеарифметическую Способом «от нуля».
За «0» принимаем значение признака, расположенного в середине вариационного ряда ( В нашем примере Х0 = 25 лет).
X = 470/20 = 23,5 года., то есть получили ту же величину, что и
«прямым способом».
2. Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Используется в тех случаях, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным значениям признака, а
представлена произведением значения признака на частоту.
Средняя гармоническая взвешенная используется в тех случаях, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен знаменатель.
1), применяется среднегармоническая простая, определяемая по
формуле:
n
X n
∑
1
xi
Рассмотрим пример использования средней гармонической простой:
Три предприятия производят микроволновые печи.
Себестоимость их производства на 1-ом предприятии составила
4000 руб., на 2-ом -3000 руб., на 3-ем – 5000 руб. Необходимо определить среднюю себестоимость производства микроволновой печи при условии, что на каждом предприятии общие затраты на ее изготовление составляют 600 тыс. руб.
Применять среднюю арифметическую в данном случае нельзя, так как предприятия выпускают разное количество
5
микроволновых печей:
первое –150 шт. (600000/4000);
второе – 200 шт. (600000/3000);
третье – 120 шт. (600000/5000).
Среднюю себестоимость микроволновой печи можно получить, если общие затраты трех предприятий разделить на общий выпуск:
X n 600 600 600 3,830 руб. 150 200 120
2) Для исчисления среднегармонической Хifi обозначим Mi
, т.е.
Хifi = Mi, отсюда fi = Mi/Хi .
Преобразуем формулу среднеарифметической – вместо Хifi
подставим Mi и получим среднеарифметическую взвешенную,
исчисленную гармоническим способом:
∑ M i
X n
∑
1
М
xi
В случаях, когда произведение Xifi одинаково или равно единице (Mi = 1), применяется среднегармоническая простая,
определяемая по формуле:
n
X n
∑
1
xi
6
При работе со сгруппированными данными используется средняя гармоническая взвешенная:
Таблица 2 - Валовой сбор и урожайность подсолнечника по Центрально – Черноземному району ( в хозяйствах всех категорий)
Область
Валовой
Урожайность,
Валовой
сбор, тыс. т
ц\га
сбор, тыс. т
Белгородская
97,0
16,1
Воронежская
204,0
9,5
Курская
0,5
4,8
Тамбовская
16,0
10,9
Липецкая
69,0
7,0
В общем случае средняя урожайность любой сельскохозяйственной культуры по нескольким территориям, агрофирмам, крестьянским хозяйствам и. т. п. может быть определена только на основе следующего исходного соотношения.
Общий валовой сбор,тыс.ц
ИСС=
Общая посевная площадь,тыс.га.
Общий валовой сбор определяется суммированием валового сбора по областям. Однако данные о посевных площадях в явном виде в таблице отсутствуют. Их косвенно можно рассчитать разделив валовой сбор по каждой области на урожайность. Тогда, определим искомую среднюю,
предварительно переведя тоны в центнеры
7
970 2040 5 160 690
9,9
ц/ га
X n
970
2040
5
160
690
9,5
4,8
16,1
10,9
7,0
3. Для характеристики некоторых процессов подходит еще одна
своеобразного вида средняя, так называемая антигармоническая. Формула
ее такова:
∑ x 2
f
x
i
i
(взвешенная)
∑ xi fi
∑ x 2
x
i
(невзвешенная)
∑ xi
Приведем примеры ее использования.
1, Имеется п учителей, и каждый подготовил ki, учеников. Если каждый ученик подготовит столько же учеников, сколько подготовил его учитель, то среднее соотношение учеников и учителей (т. е. как бы производительность работы учителя или темп распространения знаний) выразится средней антигармонической. Пусть 6 учителей подготовили соответственно 8, 7, 14, 23, 15, 11 учеников. Тогда
82 7 2 142
232 152 112
15,4
x
23 15 11
8 7 14
2. Имеется п отраслей, ki, – эффективность вложений в отрасль i, т. е. 1
руб. вложений в текущем году дает доход ki рублей в следующем году. Если ki – неизменны, то эффективность вложений Е выразится средней антигармонической, т. е.
n
∑ ki2 Е i n1
∑ ki
i 1 .
8
Допустим, имеются три отрасли. Пусть вложения в них имеют
эффективность соответственно k1 = 1,1; k2 = 1,2 и k3 = 1,4. Тогда
Е 1,12 1,22 1,42
1,246
1,1 1,2 1,4
.
3. Имеется некоторая совокупность людей. Среди них п женщин. Пусть ki – число детей у женщины. Предположим, что каждая дочь имеет столько же детей, сколько имела ее мать. Предположим, что число девочек равно числу мальчиков. Тогда соотношение численности между поколениями
выразится средней антигармонической:
n
1
2
n
∑
ki
∑ ki2
2
Т 2
i 1
i 1
n
1
n
∑
ki
∑ ki
i1 2
i1.
Пусть у десяти женщин соответственно по 1, 2, 3, 2, 3, 5, 1, 1, 2, 4
детей. Тогда
Т
12 22 32 22 32
5
2 12 12 22 42
3,083
1 2 3 2 3 5 1 1 2 4
Таким образом, на каждого человека первого поколения будет приходиться в среднем 3,083 человека следующего поколения.
Таким образом, выбор вида среднего показателя оказывает существенное влияние на его численную величину. Выбор вида средней определяется в каждом отдельном случае путем анализа исследуемой совокупности, изучения содержания явления.
4. Степенная средняя ( хс ) используется в случаях, когда определяется среднее значение, выраженное функцией к-го порядка.
Частным случаем ее является среднеквадратическая.
5. Среднеквадратическая X k применяется в случае, когда осредняемое
значение признака выражено в виде квадратных функций.
9
Степенная средняя и среднеквадратическая может быть простой и
взвешенной и исчисляется соответственно по формулам:
∑ хik
∑ xi2
хс к
X k
n
n
∑ хik f
∑ xi2
fi
хс к
X k
∑ fi
∑ fi
Имеется 10 квадратов с различной длиной сторон. Необходимо определить среднюю сторону одного квадрата (табл. 3).
Таблица 3. Исходные данные для расчета среднеквадратической. :
Сторона
Количество
Х2
Х2 fi
квадрата, см., (Х)
квадратов, (f)
4
1
16
16
6
3
36
108
8
5
64
320
10
1
100
100
Итого
10
-
544
Средняя сторона одного квадрата определится как среднеквадратическая взвешенная по формуле:
544
7,4
Х K
54,4
10
см.
6. Распределительные средние включают моду и медиану.
Мода характеризует центр распределения по «весу» статистических
единиц.
дискретном ряду модой будет значение признака, частота которого наибольшая.
интервальном ряду мода (М0) находится в пределах того интервала,
частота которого наибольшая.
Моду находим по формуле:
М
0 x0 hm
f m f m1
( f m f m1 ) ( f m f m1 )
10
где :
xo – начало модального интервала; hm – величина модального интервала; fm – частота модального интервала;
fm-1 – частота интервала, предшествующая модельному; fm+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Медиана – вариант, занимающий среднее место в вариационном ряду
делящий его на две равные части.
дискретном ряду медианным вариантом будет вариант,
расположенный в середине вариационнного ряда и делящий его на две
равные части. Для нахождения медианы необходимо предварительно
определить номер медианного варианта (NMe). В дискретном ряду с нечетной
суммой частот, (NMe) исчисляется следующим образом:
NM e
∑ f i
0,5
2
где ∑ f i – сумма частот.
При четном числе частот имеют место два медианных варианта (NMe1 , NMe2 ), номера которых определяются следующим образом:
NM e1
∑ f i
NM e2
∑ f i
1 NM 1 1
2
2
Медианным вариантом будет тот вариант, с прибавлением частот которого сумма частот будет больше номера медианы. Следовательно, для определения медианного варианта необходимо последовательно суммировать частоты.
11
7. Средняя хронологическая - это средний уровень ряда динамики, т. е.
средняя, исчисленная по совокупности значений показателя в разные моменты или периоды времени.
В зависимости от вида ряда динамики применяются различные способы ее расчета, а именно расчет средней хронологической интервального ряда и средней хронологической моментного ряда.
Средней хронологической интервального (более распространённого)
ряда является средняя величина из уровней интервального ряда динамики,
которая исчисляется по формуле:
где - средний уровень ряда;
- уровень ряда динамики;
- число членов ряда
12