Средние величины

3. Средние величины 3.1. Определение средней величины В процессе обработки и обобщения статистических данных возникает необходимость определения средних величин. Как правило, индивидуальные значения одного и того же признака у различных единиц совокупности неодинаковы. Средняя величина - обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени. Например, при изучении доходов рабочих концерна обобщающей характеристикой служит средний доход одного рабочего. Для его определения общую сумму средств, направленных на потребление, в виде заработной платы, социальных и трудовых льгот, материальной помощи, дивидендов по акциям и процентам по вкладам в имущество концерна за рассматриваемый период (год, квартал, месяц) делят на численность рабочих концерна. Естественно, индивидуальные значения дохода отдельных рабочих отличаются от среднего уровня в силу ряда причин (квалификации, стажа работы, наличия акций, суммы вклада в имущества концерна и др.). Средний доход в свою очередь характеризует то общее, что свойственно всей совокупности рабочих предприятия, т.е. уровень дохода массы рабочих в конкретных условиях функционирования данного концерна в рассматриваемом периоде. Возможность перехода от единичного к общему, от случайного к закономерному объясняется важность метода средних величин и его широкое применение в статистических исследованиях. Большой вклад в разработку средних величин и расширение вопросов их практического применения внесли известные российские ученые: И.С. Пасхавер, А.Я. Боярский, Н.К. Дружинин и др. Средние величины применяются для оценки достигнутого уровня изучаемого показателя, при анализе и планировании производственно-хозяйственной деятельности предприятий (объединений), фирм, банков и других хозяйственных единиц; средние используются при выявлении взаимосвязей явлений, при прогнозировании, а также расчете нормативов. Средняя величина всегда именованная, имеет ту же размерность (единицу измерения), что и признак у отдельных единиц совокупности. Основным условием научного использования средней величины является качественная однородность совокупности, по которой исчислена средняя. Подумайте, можно ли назвать величину 500 руб. средней зарплатой трех лиц, индивидуальные заработки которых соответственно равны 1200, 200 и 100 руб. Ясно, что по уровню своей заработной платы обследованные лица относятся к разным категориям работников, и некорректным будет использование данной величины для характеристики средней заработной платы обследованных лиц. Или другой пример некорректного использования средней величины. Акционерный капитал компании с ограниченной ответственностью равен 1000 тыс. руб., количество акционеров компании 100 человек. Средний показатель участия в акционерном капитале – средняя величина пакета акций – равняется 10 тыс. руб. Эта средняя величина – 10 тыс. руб. показывает, что капитал компании находится преимущественно в руках мелких держателей акций. В действительности положение может быть следующим: 1 акционер имеет 1010 акций на сумму 505 тыс. руб., а 99 акционеров имеет по 10 акций на общую сумму 495 тыс. руб. Как видим существует две категории акционеров, к первой из них относится один акционер с величиной пакета акций, равной 505 тыс. руб.; ко второй – 99 акционеров со средней величиной пакета акций, равной 5 тыс. руб. Таким образом, один из акционеров владеет более чем 50% капитала и осуществляет контроль над всей компанией. Полученная же средняя, равна 10 тыс. руб., не может считаться надежной оценкой данной совокупности, так как она в два раза больше по своей величине, чем индивидуальные пакеты акций 99% акционеров компании. Поэтому очень важно правило – вычислять средние величины лишь по однородной совокупности единиц. Только при выполнении этого условия средняя как обобщающая характеристика отражает общее, типичное, закономерное, присущее всем единицам исследуемой совокупности . Прежде чем вычислять средние величины, необходимо произвести группировку единиц исследуемой совокупности, выделив качественно однородные группы. Каждая средняя величина характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков, в целом необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон. Существуют различные средние: средняя геометрическая; средняя арифметическая; средняя гармоническая; средняя квадратическая; средняя хронологическая. Рассмотрим некоторые виды средних, которые наиболее часто используются в статистике. 3.2. Средняя арифметическая Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Иначе можно сказать что средняя арифметическая величина – среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Например, средняя заработная плата или средний доход работников предприятия – это такая сумма денег, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь фонд оплаты труда был распределен между работниками поровну. Средняя арифметическая бывает простая и взвешенная. Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений. Отдельные значений признака называют вариантами и обозначают через х (х1, х2, х3, …хn), число единиц совокупности обозначают через n, среднее значение признака – через. Следовательно, средняя арифметическая простая равна: Пример 3.1. Известны значения месячной заработной платы рабочих бригады за октябрь 1998г. Табельный номер рабочего 15 16 27 30 20 41 25 32 18 49 Всего Месячная заработная плата рабочего 493 561 609 718 850 894 901 1070 1203 1251 8550 Требуется определить среднюю месячную заработную плату рабочих бригады . Простая средняя арифметическая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется иначе. руб. Пример 3.2. Имеются следующие данные о заработной плате рабочих – сдельщиков: Таблица 3.1. Месячная з/п (варианта –), тыс. руб. Число рабочих, хini = 1,1 = 2 2,2 = 1,3 = 6 7,8 = 16, = 16 25,6 = 1,9 = 12 22,8 = 2,2 = 14 30,8 ИТОГО 50 89,2 По данным дискретного ряда распределения видно, что одни и те же значения признака (варианты) повторяются несколько раз. Так, варианта х1 встречается в совокупности 2 раза, а варианта х3-16 раз и т.д. Число одинаковых значений признака в рядах распределения называется частотой или весом и обозначается символом n. Вычислим среднюю заработную плату одного рабочего в тыс. руб.: Фонд заработной платы по каждой группе рабочих равен произведению варианты на частоту, а сумма этих произведений дает общий фонд заработной платы всех рабочих. В соответствии с этим расчеты можно представить в общем виде: Полученная формула называется средней арифметической взвешенной. Из нее видно, что средняя зависит не только от значений признака, но и от их частот, т.е. от состава совокупности, от ее структуры. Изменим в условии задачи состав рабочих и исчислим среднюю в измененной структуре. Статистический материал в результате обработки может быть представлен не только в виде дискретных рядов распределения, но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами. Рассмотрим расчет средней арифметической для таких рядов. Пример 3.3. Имеются следующие данные: Таблица 3.2. Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт. Число рабочих, ni Середина интервала, хi хini 3 – 5 10 4 40 5 – 7 30 6 180 7 – 9 40 8 320 9 – 11 15 10 150 11 – 13 5 12 60 ИТОГО 100 750 Исчислим среднюю выработку продукции одним рабочим за смену. В данном ряду варианты осредняемого признака (продукции за смену) представлены не одним числом, а в виде интервала «от – до». Рабочие первой группы производят продукцию от 3 до 5 шт., рабочие второй группы – от 5 до 7 шт. и т.д. Таким образом, каждая группа ряда распределения имеет нижнее и верхнее значения вариант, или закрытые интервалы. Исчисление средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной: Чтобы применить эту формулу, необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала. Так, для первой группы дискретная величина х будет равна: (3+5) / 2 =4 Дальнейший расчет производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной: . Итак, все рабочие произвели 750 шт. изделий за смену, а каждый в среднем произвел 7,5 шт. Преобразуем рассмотренный выше ряд распределения в ряд с открытыми интервалами. Пример 3.4. Имеются следующие данные о производстве продукции за смену: Таблица 3.3. Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт. Число рабочих, ni Середина интервала, хi хini До 5 10 4 40 5 – 7 30 6 180 7 – 9 40 8 320 9 – 11 15 10 150 Свыше 11 5 12 60 ИТОГО 100 750 В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы – величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше. В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная. Пример 3.5. Определим средний процент выполнения плана по выпуску продукции по группе заводов на основании следующих данных: Таблица 3.4. Номер завода Выпуск продукции по плану, тыс. руб. Выполнение плана, % 1 18 100 2 22 105 3 25 90 4 20 106 5 40 108 ИТОГО 125 - В этой задаче варианты (процент выполнения плана) являются не индивидуальными, а средними по заводу. Весами являются выпуск продукции по плану. При вычислении среднего процента выполнения плана следует использовать формулу средней арифметической взвешенной: где– фактически выпущенная продукция, получаемая путем умножения вариант (процент выполнения плана) на веса (выпуск продукции по плану). Производя вычисления, варианты (х) лучше брать в коэффициентах. или 102,4% Основные свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает рядом свойств: 1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака х в n раз величина средней арифметической не изменится. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится. 2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней: 2. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних: 3. Если х=с, где с - постоянная величина, то 4. Сумма отклонений значений признака x от средней арифметической равна нулю: 3.3. Средняя гармоническая Наряду со средней арифметической в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая она может быть простой и взвешенной. Пример 3.6. Бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течении 8-часового рабочего дня. Первый токарь обрабатывает одну деталь 12 мин., второй - 15 мин., третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали. На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой: Полученная средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий сделал по одной детали. Но в течении дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения среднего времени, воспользуемся следующим соотношением: Все время, = все затраченное время / число деталей затраченное на одну деталь Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно: Это же решение можно представить иначе: Таким образом, формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид: Пример 3.7. Издержки производства и себестоимость единицы продукции А по трем заводам характеризуется следующими данными: Таблица 3.5. Номер завода Издержки производства, тыс. руб. Себестоимость единицы продукции, руб. 1 200 2 000 2 460 2 300 3 110 2 200 Исчислим среднюю себестоимость изделия по трем заводам. Как и прежде, главным условием выбора формы средней является экономическое содержание показателя и исходные данные. Издержки производства Средняя себестоимость = _______________________ единицы продукции Количество продукции тыс. руб. Таким образом, формулу для расчета средней гармонической взвешенной можно представить в общем виде: 3.4. Мода и медиана К средним величинам относят также моду и медиану. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней (арифметической, гармонической и др.) невозможен или нецелесообразен. Например, выборочное обследование в г. Омске 12 коммерческих пунктов обмена валюты позволило зафиксировать различные цены за доллар при его продаже (данные на 10 октября 1995г. при биржевом курсе доллара -4493руб). № пункта обмена валюты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Цена за 1 дол., руб. 4500 4560 4540 4535 4550 4500 4560 4570 4560 4560 4570 4500 В силу того, что исследователь не располагает данными об объеме продаж в каждом обменном пункте, расчет средней арифметической с целью определения средней цены за доллар нецелесообразен. Однако можно определить то значение признака, которое носит название медиана (Ме). Медиана лежит в середине ранжированного ряда и делит его пополам. Расчет медианы по несгруппированным данным производится следующим образом: а) расположим индивидуальные значения признака в возрастающем порядке: 4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570 4570 б) определим порядковый номер медианы по формуле: в нашем примере это означает, что медиана в данном случае расположена между шестым и седьмым значениями признака в ранжированном ряду, так как ряд имеет четное число индивидуальных значений. Таким образом, Ме равна средней арифметической из соседних значений: 4550, 4560. в) рассмотрим порядок вычисления медианы в случае нечетного числа индивидуальных значений. Допустим, мы наблюдаем не 12, а 11 пунктов обмена валюты, тогда ранжированный ряд будет выглядеть следующим образом (отбрасываем 12-й пункт): 4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570 Номер медианы: №Ме = ; на шестом месте стоит = 4560, который и является медианой: Ме=4560. По обе стороны от нее находится одинаковое число пунктов. Мода - это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Она соответствует определенному значению признака. В нашем случае модальной ценой за доллар можно назвать 4560 руб.: это значение повторяется 4 раза, чаще, чем все другие. На практике моду и медиану находят, как правило, по сгруппированным данным. В результате группировки был получен ряд распределения банков по величине полученной прибыли за год (табл. 3.6.). Таблица 3.6. Группировка банков по величине полученной прибыли за год Размер прибыли, млн. руб. Число банков Накопительные частоты 3,7 - 4,6 2 2 4,6 - 5,5 4 6 (2+4) 5,5 - 6,4 6 12 (2+4+6) 6,4 - 7,3 5 - 7,3 - 8,1 3 - Итого 20 - Для определения медианы надо подсчитать сумму накопительных частот. Наращивание итого продолжается до получения накопительной суммы частот, превышающей половину суммы частот. В нашем примере сумма накопленных частот (12), превышающая половину всех значений (20:2). Этому значению соответствует медианный интервал, который содержит медиану (5,5 - 6,4). Определим ее значение по формуле: где начальное значение интервала, содержащего медиану; - величина медианного интервала; f - сумма частот ряда; - сумма накопительных частот, предшествующих медианному интервалу; - частота медианного интервала. Таким образом, 50% банков имеют прибыль 6,1 млн. руб., а 50% банков - более 6,1 млн. руб. Наибольшая частота соответствует также интервалу 5,5 - 6,4, т.е. мода должна находиться в этом интервале. Ее величину определим по формуле: где - начальное значение интервала, содержащего моду; - величина модального интервала; - частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, следующего за модальным. Приведенная формула моды может быть использована в вариационных рядах с равными интервалами. Таким образом, в данной совокупности наиболее часто встречается размер прибыли 6,10 млн. руб. Медиану и моду можно определить графически. Медиана определяется по кумуляте (рис. 3.1.). Для ее построения надо рассчитать накопительные частоты и частости. Накопительные частоты показывают, сколько единиц совокупности имеют значения признака не больше, чем рассматриваемое значение, и определяется последовательным суммированием частот интервалов. При построении кумулятыы интервального ряда распределения нижней границе первого интервала соответствует частота, равная нулю, а верхней границе - вся частота данного интервала. Верхней границе второго интервала соответствует накопительная частота, равная сумме частот первых двух интервалов, и т.д. Построим кумулятивную кривую по данным табл. 6 о распределении банков по размеру прибыли. S накопительные частоты 20_ _ 16_ _ 12_ _ 8 _ _ 4 _ 3,7-4,6 4,6-5,5 5,5-6,4 6,4-7,3 7,3-8,2 Х прибыль медиана Рис. 3.1. Кумулята ряда распределения банков по размеру прибыли: х - размер прибыли, млн. руб., S - накопленные частоты. Для определения медианы высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианой. Мода определяется по гистограмме распределения. Гистограмма строится так: на оси абсцисс откладываются равные отрезки, которые в принятом масштабе соответствуют величине интервалов вариационного ряда. На отрезках строятся прямоугольники, площади которых пропорциональны частотам (или частостям) интервала. На рис. 3.2. Изображена гистограмма ряда распределения банков по размеру прибыли (по данным табл. 3.6.). f 6 _ _ 4 _ _ 2 _ _ S S 3,7-4,6 4,6-5,5 5,5-6,4 6,4-7,3 7,3-8,2 Х мода Рис. 3.2. Распределение коммерческих банков по размеру прибыли: х - размер прибыли, млн. руб., f - число банков. Для определения моды правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника - с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.