Способы описания движения жидкости

Лекция № 3 «Способы описания движения жидкости» Материалы лекции обсуждены и одобрены на заседании кафедры “ 27 “ июля Санкт-Петербург 2020 2020 года, протокол №16 2 Тема лекции: Способы описания движения жидкости Учебные вопросы: 1. Поле скорости и примеры 2. Движения установившиеся и неустановившиеся 3. Траектории частиц жидкости 4. Линии тока Вопрос 1. Поле скорости и примеры Как было показано на предыдущей лекции поле скорости по методу Эйлера может быть представлено в аналитической форме, т.е. в виде векторной функции:   v  v( x , y, z, t ) или в виде трех скалярных функций v x  v x ( x , y, z, t ) , v y  v y ( x , y, z, t ) , v z  v z ( x , y, z, t ) . При рассмотрении вопросов кинематики будем всюду считать, что движение задано по методу Эйлера, поскольку это соответствует тому способу движения воздуха, который используется в службе погоды. Таким образом, мы будем полагать, что в результате непосредственных измерений, либо в результате решения уравнений динамики идеальной или вязкой жидкости, либо в результате упрощения наблюдаемой картины движения определено поле скорости. Нашей основной задачей является выяснение физического смысла различных характеристик поля скорости, поиск их аналитического выражения и установление их связи друг с другом и с полем плотности жидкости. Рассмотрим ряд примеров описания движения по методу Эйлера (т.е. будем изучать поля скоростей), причем поле скорости будем устанавливать в результате схематизации действительной картины движения. Пространственный источник (в противовес точечному). Представим себе, что в маленький полый шарик, в котором по направлению радиусов просверлены отверстия по тонкой трубке под давлением непрерывно подается несжимаемая жидкость в количестве Q единиц объема в единицу времени рис.1,а. Упрощая явление, будем полагать, что истечение происходит из одной точки и картина движения совершенно симметрична относительно этой точки, 3 рис.1,б. Такой поток называется пространственным источником, точка A , из которой происходит истечение, называется центром источника, величина Q называется интенсивностью источника. Задача: определить модуль скорости потока в зависимости от расстояния точки наблюдения от центра. Рис.3.1. Окружим источник сферической поверхностью радиуса . Очевидно, ее поверхность равна 4 . Объем жидкости, проходящей через единицу поверхности в единицу времени = 1 будет равен , где - скорость движения жидкости вблизи сферической поверхности. Объем жидкости, протекающий в единицу времени через всю сферическую поверхность равен 4 = . Отсюда скорость движения жидкости вблизи сферической поверхности = . Симметрия геометрии задачи позволяет сразу определить и векторное ⃗ ⃗ поле такого источника ⃗ = = ⃗, где - единичный вектор, направленный вдоль прямой линии, проходящей от центра источника до точки наблюдения. Если поток не вытекает из рассмотренного источника, а наоборот втекает, то такой поток называется пространственным стоком, в отличие от предыдущего случая, когда рассматривался исток. В этом случае векторное поле скорости определяется выражением ⃗=− ⃗, Плоский источник. Рассмотрим вначале важный класс движений, к которому мы будем часто обращаться при последующем изложении. Назовем плоскопараллельным, или плоским, такое движение, при котором 4 Рис.3.2 рис.3.3(а,б) 1) во всех точках потока векторы скорости параллельны некоторой плоскости, 2) во всех точках, лежащих на одном и том же перпендикуляре к этой плоскости, векторы скорости равны, т.е. во всех плоскостях, параллельных данной плоскости, картина движения совершенно одинакова (рис.3.2). Представим себе теперь тонкую прямую трубку, в которую под давлением подается несжимаемая жидкость, вытекающая из трубки через многочисленные отверстия (рис.3,3.а,б), равномерно расположенные на ее поверхности. Схематизируя явление, будем представлять себе в пространстве прямую линию, от которой по всем направлениям оттекает несжимаемая жидкость, причем все частицы движутся в плоскостях, перпендикулярных к прямой, и картина движения в каждой плоскости является симметричной относительно точки A пересечения плоскости с прямой (осью источника). Очевидно, что описанное движение удовлетворяет всем условиям плоскопараллельности. Такой поток мы будем называть плоским источником, точку A - центром источника на рассматриваемой плоскости, объем Q жидкости, оттекающей за единицу времени от каждой единицы длины прямой, - интенсивностью источника. Задача. Определить модуль скорости движения потока на расстоянии точки наблюдения от оси источника. Окружим источник цилиндрической поверхностью радиуса . Объем жидкости, протекающий через боковую поверхность цилиндра равен объему Q жидкости, оттекающей за единицу времени от каждой единицы длины оси во 5 все стороны умноженной на площадь 2 векторной форме ⃗ = = , откуда = . Или в ⃗. Если имеет место не отток жидкости от оси, а наоборот приток, то такой поток жидкости называется плоским стоком, и он определяется выражением ⃗=− ⃗. Вращение жидкости, как твердого тела. Допустим, что жидкость находится в цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ω. Благодаря силам вязкости жидкость сама будет приведена в состояние вращения и, когда процесс стационируется, она будет покоиться относительно сосуда, вращаясь вместе с ним, как твердое тело. Это движение также следует назвать плоско-параллельным. Скорость частицы жидкости, находящейся на расстоянии касательной к окружности радиуса от оси вращения, направлена по в ту или другую сторону, в зависимости от направления вращения, а по модулю равна = , т.е. растет пропорционально расстоянию от оси. В векторной форме ⃗ = ⃗ × ⃗. Безвихревое вращение жидкости. Допустим теперь, что, как и в предыдущем случае, частицы жидкости двигаются по круговым траекториям, но в отличие от него скорость частиц меняется обратно пропорционально расстоянию от оси по закону = , где С – константа. Такой тип движения приводит к безвихревому движению внутри цилиндра. Такой тип движения можно получить в очень длинном, по сравненю с радиусом, цилиндре. Поскольку частицы, прилегающие к стенке двигаются с нулевой скоростью, а сила вязкости задаст профиль скорости поперек цилиндра, при котором вблизи оси вращения жидкость вращается как твердое тело Изолированный вихрь. Такое вращательное движение жидкости, начиная с некоторого радиуса как = имеет место безвихревое вращение. Т.е. вначале растет , а начиная с убывает как = . В точке = скорости “справа» 6 и «слева» должны совпасть = . Откуда С= . Жидкость, вращающаяся как твердое тело называется ядром вихря. Подобное движение имеет место в тайфунах, торнадо, смерчах. Вопрос 2. Движения установившиеся и неустановившиеся В общем случае движения его скорость, плотность жидкости и другие характеристики являются функциями не только точки пространства, но и времени:   v  v ( x, y, z, t ) ,   ( x, y, z, t ) и т.п. Это значит, что в зафиксированной точке пространства, т.е. при зафиксированных x, y, z скорость, плотность и другие характеристики меняются во времени. Такое движение называется неустановившимся или нестационарным. Однако часто встречаются такие движения, при которых характеристик движения жидкости являются только функциями точки пространства, но не   зависят от времени: v  v ( x, y, z ) ,   ( x, y, z) . Это значит, что в любой зафиксированной точке пространства скорость, плотность и другие величины не меняются во времени. Такие движения называются установившимися, или стационарными. Очевидно, что это определение стационарности движения можно записать в виде:  v v   0 ( i  0 ),  0. t t t Таким образом, установившемуся движению воздуха соответствует постоянство во времени направления и силы ветра, отмечаемых на каждой метеостанции рассматриваемого района, хотя показания флюгера на разных станциях, вообще говоря, будут различны. Движения воздуха в атмосфере, строго рассуждая, всегда являются неустановившимися. Однако, если оценивать скорость ветра по его среднему значению за достаточно большой промежуток времени, то в ряде задач с 7 достаточной для практических целей точностью можно считать скорость ветра в данной точке в течение известного периода неизменной во времени. Если пренебречь также и изменениями давления, температуры и плотности воздуха, то движение в этих случаях можно считать установившимся. Одно и то же движение может оказаться установившимся или неустановившимся в зависимости от того, в какой системе координат оно рассматривается. Вопрос 3. Линии тока Пусть задано поле вектора a ( x, y, z ) . Выберем произвольную точку A1 , которой соответствует вектор a1 , и отложим в направлении этого вектора малый отрезок A1 A2 . Затем из точки A2 в направлении соответствующего этой точке вектора a2 , отложим малый отрезок A2 A3 , затем из точки A3 в направлении соответствующего этой точке вектора a3 , отложим малый отрезок A3 A4 и т.д. В итоге получим ломаную линию A1 A2 A3 A4 ... Предельное положение этой ломаной при уменьшении составляющих ее отрезков представляет собой кривую, называемую векторной линией данного поля (рис.3.4). Рис.3.4 Основное свойство векторной линии вытекает из способа ее построения и заключается в следующем: в каждой точке векторной линии вектор поля совпадает по направлению с касательной к этой линии или, иначе, в каждой своей точке векторная линия касается векторов поля, т.е. является огибающей векторов. 8 Проводя векторные линии через различные точки поля, получаем бесконечное множество векторных линий. Запишем дифференциальные уравнения семейства векторных линий. В соответствии с основным свойством векторной линии вектор элементарного перемещения вдоль нее dr(dx, dy, dz ) является коллинеарным с вектором a (a x , a y , a z ) поля: dr || a . Отсюда следует равенство dx dy dz   , a x ( x, y , z ) a y ( x, y , z ) a z ( x, y , z ) Которое равносильно системе двух дифференциальных уравнений dy a y ( x, y, z ) dz a z ( x, y, z )  ,  . dx a x ( x, y, z ) dx a x ( x, y, z ) Решение этих уравнений дает общий интеграл системы в виде двух равенств: f1 ( x, y, z )  C1 , f 2 ( x, y , z )  C 2 , определяющих собой семейство векторных линий. Действительно, каждому из равенств соответствует семейство поверхностей. Пересечение любых двух поверхностей, принадлежащих к разным семействам, дает ту или иную векторную линию. Линией тока называется векторная линия поля скорости в зафиксированный момент времени, т.е. линия, касательная в каждой точке которой по направлению совпадает с вектором скорости в данный момент времени. Система дифференциальных уравнений семейства линий тока имеет вид: dx dy dz   , v x ( x, y, z, t ) v y ( x, y, z, t ) v z ( x, y, z, t ) где t надо рассматривать как зафиксированный параметр. Поле скорости, а значит и конфигурация линий тока существенным образом зависят от того, в какой системе координат рассматривается движение. Зависимость от системы координат. 9 Линия тока в неподвижной системе координат Рис.3.5 Поле скорости координат, в системе связанной с движущимся телом. Рис.3.5 Приведем схематическую картину линий тока в слое трения в циклоне (а) и антициклоне(б). Изобары представлены в виде концентрических окружностей; стрелки обозначают скорости ветра, так как они даны на синоптической карте. Очевидно, что скорость ветра – это скорость горизонтального движения частиц воздуха относительно поверхности земли, и мы имеем перед собой картину линий тока в неподвижной системе, связанной с поверхностью земли. 10 Вопрос 4. Траектории частиц жидкости Траектория частицы жидкости представляет собой линию, проходимую этой частицей при ее движении. Таким образом, если линия тока характеризует собой направление скорости разных частиц в один и тот же момент времени, то траектория характеризует собой направление скорости одной и той же частицы в разные моменты времени. Очевидно, что вектор элементарного перемещения частицы по ее траектории определяется выражением dr  v  dt или  dr   v . Поэтому система dt дифференциальных уравнений траектории имеет вид: dx dy dz  v x ( x, y , z , t ) ,  v y ( x, y, z, t ) ,  v z ( x, y , z , t ) . dt dt dt В этих уравнениях независимой переменной является время t , а координаты x, y, z суть неизвестные функции времени. Решение получается в виде трех равенств: f 1 ( x, y, z , t )  C1 , f 2 ( x, y, z, t )  C 2 , f 3 ( x, y, z, t )  C3 . Исключая из них t , получаем два уравнения, представляющие собой уравнения семейства траектории. Это семейство, очевидно, зависит от трех произвольных постоянных.