Спецификация и построение модели нелинейной множественной линейной регрессии

Лекция 11. СПЕЦИФИКАЦИЯ И ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНОЙ МНОЖЕСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ к.э.н., доцент Просвирина Мария Евгеньевна  Спецификация модели регрессии  Методы выбора аналитической формы модели регрессии  Статистические методы отбора факторов в модель множественной нелинейной регрессии  Отбор факторов в нелинейную модель множественной регрессии 2 Определение аналитической формы связи между переменными, включенными в модель – определение конкретной математической формы функции, связывающей исследуемую переменную и факторы Качественный анализ - выбор формы модели на основе теоретических знаний о возможном поведении изучаемого процесса (явления, системы) Количественный анализ - выбор формы модели на основе статистического анализа собранных данных методами математической статистики (корреляционнорегрессионный анализ) 3 Если на основе имеющихся знаний об исследуемых зависимостях известно, что приросты объясняемой переменной Y относительно объясняющих переменных X1, X2, … , Xm постоянны, то делается предположение о линейной форме модели: В линейной множественной регрессии параметры при X называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне Пример. Уравнение зависимости расходов семьи на продукты питания (Y, тыс. руб.) от месячного дохода на одного члена семьи (Х1, тыс. руб.) и размера семьи (Х2, чел.): Пример. При изучении вопросов потребления коэффициенты регрессии рассматриваются как характеристики предельной склонности к потреблению. Например, если функция потребления Ct имеет вид , то потребление в период времени t зависит от дохода того же периода Rt и от дохода предшествующего периода Rt-1. Соответственно коэффициент b1 характеризует эффект единичного возрастания дохода при неизменном уровне предыдущего дохода. Коэффициент b1 обычно называют краткосрочной предельной склонностью к потреблению. Общим эффектом возрастания как текущего, так и предыдущего дохода будет рост потребления на b = b1 + b2. Коэффициент b рассматривается здесь как долгосрочная склонность к потреблению. Т.к. коэффициенты b1 и b2 >0, то долгосрочная склонность к потреблению должна превосходить краткосрочную b1 4 Если из экономической теории известно, что эластичность объясняемой переменной Y относительно объясняющих переменных X1, X2, … , Xm постоянна, то делается предположение о степенной форме модели: В степенной модели коэффициенты bk являются коэффициентами эластичности. Они показывают на сколько процентов изменяется в среднем результат с изменением соответствующего фактора на 1% при неизменности действия других факторов. Этот вид уравнения регрессии получил большее распространение в производственных функциях, в исследованиях спроса и потребления. Пример. При исследовании спроса на мясо (Y) получено уравнение: где X1 – цена; X2 – доход. , Пример. В производственных функциях вида , где Р – количество продукта, изготавливаемого с помощью m производственных факторов (F1, F2,…,Fm); b – параметр, являющийся эластичностью количества продукции по отношению к количеству соответствующих производственных факторов. Экономический смысл имеют не только коэффициенты bj каждого фактора, но и их сумма, т.е. сумма эластичностей: b=b1+b2+…+bm. Эта величина фиксирует обобщенную характеристику эластичности производства. Т.е. с ростом значений каждого фактора производства на 1% выпуск продукции в целом возрастает приблизительно на b%. 5 Если знания об исследуемом явлении указывают на то, что единичному приросту объясняющей переменной X сопутствуют все меньшие приросты объясняемой переменной Y, то делается предположение о логарифмической форме модели: Пример. Влияние стажа работы на данном предприятии (X) на индивидуальную производительность труда работников (Y). Как известно, очень часто прирост производительности труда по мере увеличения трудового стажа уменьшается. В случае множественной регрессии логарифмическая форма модели имеет вид: 6 Если известно, что единичному приросту объясняющей переменной X сопутствуют все большие приросты объясняемой переменной Y, то делается предположение о показательной форме модели: Пример. Исследование зависимости совокупных производственных издержек (Y) от объема продукции (X) В случае множественной регрессии показательная форма модели имеет вид: Частный случай показательной регрессии экспоненциальная регрессия: 7 При обратных связях между объясняемой переменной Y и объясняющей переменной X делается предположение о гиперболической форме модели: Пример. Классическим примером применения модели является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между уровнем инфляции Y и уровнем безработицы X в краткосрочном периоде Пример. Характеристика связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции В случае множественной регрессии гиперболическая форма модели имеет вид: 8 Полиномиальная форма модели: Среди нелинейной полиномиальной регрессии чаще всего используется полином второго порядка; в отдельных случаях – полином третьего порядка. Ограничения в использовании полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и соответственно менее однородна совокупность по результативному признаку Полином второй степени целесообразен к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. Пример. Полином третей степени используется при анализе издержек Y от объема выпуска продукции Х 9 Выбор аналитической формы модели можно выполнять на основе анализа графика разброса эмпирических точек (т.е. на основе анализа поля корреляции) Форма модели подбирается на основе визуальной оценки разброса эмпирических точек с координатами (Хi, Yi), i=1, … , n, соответствующих результатам наблюдений переменных Y и Х, представленных в прямоугольной системе координат Для построения модели множественной регрессии: Шаг 1. Строятся m графиков, отображающих зависимости объясняемой переменной Y от каждой объясняющей переменной X1, X2, … , Xm. Шаг 2. Выявляются аналитические формы функций регрессии объясняемой переменной относительно конкретных объясняющих переменных, причем особое внимание уделяется тому, чтобы эти функции были линейными относительно структурных параметров при возможной нелинейности относительно объясняющих переменных. Этому требованию удовлетворяют линейная, гиперболическая, логарифмическая и полиномиальная функции. Шаг 3. Эконометрическая модель строится путем суммирования частных функций регрессии, стоящих при объясняющих переменных, и их свободных членов: Результирующая модель линейна относительно структурных параметров и возможно, нелинейная относительно объясняющих переменных 10 Показательная, экспоненциальная и степенная функции Логарифмическая функция Y Y X X Гиперболическая функция Полином 2-ой степени Y Y X X 11 Шаг 1. Для зависимой переменной Y и каждой объясняющей переменной X1, X2, … , Xm попарно устанавливается форма взаимосвязи между переменными (на основе анализа графика разброса эмпирических точек или на основе имеющихся знаний о взаимосвязи между изучаемыми величинами). Шаг 2. Строится эконометрическая модель путем суммирования частных функций регрессии так, чтобы она при возможной нелинейности относительно включенных в анализ объясняющих переменных была линейна относительно параметров уравнения регрессии. Шаг 3. Полученная модель приводится к линейному виду путем замены переменных. Шаг 4. Для включенных в полученную линейную модель переменных строятся вектор и матрица коэффициентов корреляции. Шаг 5. Выполняется статистическая процедура отбора факторов в модель с применением существующих методов отбора потенциальных объясняющих переменных для линейной модели множественной регрессии. Шаг 6. С отобранными факторами строится линейная модель и выполняется обратная замена переменных 12 Что означает термин «спецификация» модели регрессии Перечислите, известные Вам методы выбора аналитической формы модели регрессии. В каких случаях применяется линейная форма модели? Запишите уравнение модели. Приведите пример. 4. В каких случаях применяется гиперболическая форма модели? Запишите уравнение модели. Приведите пример. 5. В каких случаях применяется логарифмическая форма модели? Запишите уравнение модели. Приведите пример. 6. В каких случаях применяется степенная форма модели? Запишите уравнение модели. Приведите пример. 7. В каких случаях применяется показательная форма модели? Запишите уравнение модели. Приведите пример 8. В каких случаях применяется полиномиальная форма модели? Запишите уравнение модели. Приведите пример 9. Перечислите этапы построения нелинейной модели множественной регрессии на основе анализа графиков разброса эмпирических точек. 10. Изобразите схематично график линейной, логарифмической, показательной, гиперболической функции и полинома 2-ой степени. 11. Перечислите этапы отбора факторов в модель нелинейной множественной регрессии. 1. 2. 3. 13