Современные методы расчета строительных конструкций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт горного дела и строительства Кафедра Строительства, строительных материалов и конструкций КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ учебной дисциплины «Современные методы расчета строительных конструкций» Уровень профессионального образования: высшее образование – бакалавриат Направление подготовки: 08.03.01 Строительство Профиль подготовки: Промышленное и гражданское строительство Квалификация выпускника: бакалавр Тула 2017 Конспект лекций составлен доцентом Судаковой И.А. и обсужден на заседании кафедры ССМиК института Горного дела и строительства (протокол заседания кафедры №_2А_ от «_11_» _октября_ 2017_ г.) Зав. кафедрой ____________________ А.А.Трещев СОДЕРЖАНИЕ 1. ЛЕКЦИЯ №1............................................................................................................................... 4 1.1 Введение............................................................................................................................... 4 1.2 Теория стержневого конечного элемента......................................................................... 8 1.3 Разрешающая система уравнений метода конечных элементов для стержневого ко- 12 нечного элемента................................................................................................................. 2. ЛЕКЦИЯ №2............................................................................................................................... 16 2.1 Теория балочного конечного элемента............................................................................. 16 2.2 Разрешающая система уравнений метода конечных элементов для балочного ко21 нечного элемента................................................................................................................. 3. Библиографический список...................................................................................................... 23 ЛЕКЦИЯ №1 1.1 ВВЕДЕНИЕ Дисциплина "Современные методы расчета строительных конструкций" посвящена практическому изучению метода конечных элементов (МКЭ) основного и самого эффективного численного метода, применяемого для расчета строительных конструкций на прочность, жесткость, устойчивость и колебания. Практические занятия проводятся на ЭВМ с применением пакета прикладных программ, реализующих МКЭ. 1. Понятие о методе конечных элементов Основная идея МКЭ - идея физической дискретизации конструкции. В качестве примера ее осуществления можно рассмотреть процесс замены окружности вписанным и описанным правильными многоугольниками с целью вычисления длины окружности с избытком (многоугольник описанный) и недостатком (многоугольник вписанный). Именно на этой основе греческий математик и физик Архимед вычислял значение числа Пи. МКЭ развился в середине XX века из работ по применению матричных форм методов сил и перемещений строительной механики (Аргирис, 1960-1966 г.). Название методу дал Клоуг (1960). Первые работы по МКЭ с простейшими элементами появились в 1960-1966 годах. Математическую теорию МКЭ развил в семидесятых годах в своих работах Оден. Программное обеспечение для реализации МКЭ на профессиональном уровне появилось в 1987 году. В частности, для мы будем применять пакет прикладных программ, известный под названием ИСПА Интерактивная Система Прочностного Анализа (1992). Применительно к стержневой конструкции физическая дискретизация заключается в разбиении конструкции на участки сравнительно небольшой длины (отношение длины к диаметру сечения стержня больше или равно четырем). Эти участки и называются одномерными конечными элементами (КЭ). Элементы объединяются в некоторых точках пространства, именуемых узлами дискретизации. В этих узлах элементы соединяются друг с другом и движутся совместно. Узлы пронумерованы, чтобы их можно было отличить друг от друга. В зависимости от типа, ориентации, и числа элементов, соединяющихся в узле, такой узел может противодействовать поступательным перемещениям и поворотам вдоль и относительно определенных направлений. Каждое отдельное возможное перемещение узла называется степенью свободы. Это перемещение является неизвестным и подлежит определению в рамках МКЭ. Важно обратить внимание на тот факт, что в рамках МКЭ оказывается возможным по найденным узловым перемещениям определить все характеристики напряженно-деформированного состояния (НДС) КЭ. Причем все необходимые для этого соотношения определяются до расчета по сравнительно простому алгоритму. Эта простота является следствием того, что КЭ являются объектами простой природы и для них легко устанавливается зависимость между перемещениями узлов, перемещениями сечений внутри КЭ и усилиями. При этом внутри отдельного КЭ используются приближенные зависимости между узловыми и внутренними перемещениями. Такой подход основан на аппроксимации точных зависимостей более простыми, дающими точные значения в узлах дискретизации и с некоторой погрешностью - внутри КЭ (интерполяционные формулы). Обеспечение малой погрешности аппроксимации основано на малой же величине КЭ. Однако в этом процессе уменьшение длины КЭ имеет свои пределы, за которыми погрешность МКЭ начинает вновь возрастать. Естественно, что одномерными КЭ в виде балок, работающих на изгиб с кручением, и стержней ферм, работающих на растяжение-сжатие, не исчерпывается все многообразие способов физической дискретизации строительных конструкций. Применяются также плоские КЭ, оболочечные, мембранные, объемные, осесимметричные и т.д. Причем, каждый вид КЭ может обладать различными характеристиками в зависимости от числа узлов дискретизации, которыми он включен в конструкцию. Применении МКЭ к конкретной конструкции требует:  дискретизации конструкции;  выбора интерполяционных формул для узловых перемещений;  вычисления характеристик конечных элементов;  формирования разрешающей системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными узловыми перемещениями;  решения СЛАУ;  использования решения ешения СЛАУ для расчета требуемых эффектов работы констру конструкции (анализ прочности, жесткости, устойчивости и т.п.). 2. Дискретизация конструкции Дискретизация конструкции заключается в следующих операциях:  выбор глобальной системы координат (ГСК) для однозначного однозначного определения взаим взаиморасположения частей конструкции (ансамбля КЭ);  назначение узлов дискретизации с целью определения ансамбля КЭ;  введение для каждого КЭ локальных систем координат (ЛСК), которые позволяют провести описание геометрии поперечных сечений сечений КЭ и свойств напряженно напряженно-деформированного состояния (НДС) КЭ средствами механики деформируемого твердого тела в наиболее простом ввиде. ГСК определяется осями X, Y, Z (рис. 1). Рис. 1. "Плоская" конструкция обычно располагается в плоскости XY.. Начало ккоординат в этой плоскости располагается произвольно, но чаще "привязывается" к левому нижнему узлу КЭ КЭмодели по правилу: Y "смотрит" вверх, ось X вправо, ось Z на зрителя. Все системы координат являются прямоугольными декартовыми и "ПРАВЫМИ". Правило знак знаков векторов в этих системах универсальное:  вектор является положительным, если направлен в сторону положительной полуоси системы координат;  угол поворота является положительным, если направлен ПРОТИВ часовой стрелки, когда его наблюдают со стороны положительной положительной полуоси, относительно которой он совершен (рис. 2). Рис. 2 Ясно, что число ЛСК в КЭ-модели КЭ модели зависит от числа узлов дискретизации. Процедура н назначения узлов дискретизации должна учитывать, что: 1. Одномерный КЭ имеет НЕИЗМЕННОЕ или ЛИНЕЙНО изменяющееся вдоль оси поперечное сечение. 2. Приближенное описание свойств КЭ во внутренних сечениях приводит к простому (как правило, линейному) характеру изменения характеристик НДС между узлами. Поэтому число узлов дискретизации должно быть достаточным для кусочно-линейной кусочно нейной аппроксимации характера точного решения (например, парабола должна быть описана минимум двумя отрезками прямых). Каждый КЭ в ансамбле КЭ имеет свой номер (рис. 1). Правила нумерации произвольны, но одномерным КЭ рекомендуется назначать номера так, чтобы чтобы максимальное значение разности н номеров, определяющих КЭ, было наименьшим.Это позволяет уменьшить объем вычислительной работы ЭВМ. Для введения ЛСК (UVW) на данном КЭ следуют таким правилам (рис. 1, рис. 2):  начало ЛСК помещают в узел КЭ с меньшим номером номером в центре тяжести (ЦТ) сеч сечения;  ось U направляют вдоль оси КЭ к узлу с большим номером;  ось V направляют в сторону главной центральной оси инерции с Jmax;  ось W является главной центральной осью инерции Jmin. Для описания контура поперечного сечения и обозначения положения главных централ центральных осей инерции для одномерных КЭ вводится еще одна ЛСК параллельна плоскости XY,, а ось перпендикулярна плоскости U рону полуоси Z>0. Если КЭ лежит в плоскости XY, то ось (рис. 2), в которой ось и направлена в сто- ВСЕГДА направлена в сторону п по- луоси X < 0, а остальные оси образуют правую ЛСК. При задании геометрических характеристик поперечного сечения положение главных осей инерции V и W определяется относительно осей углом между осями и V). ПРИМЕЧАНИЕ: все свойства ЛСК изложены применительно к пакету прикладных пр программ ИСПА, реализующему МКЭ. и 3. Библиографический список литературы 1. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М., 1982. 2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике - М., 1975. 3. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. - М., 1984. 4. Сегерлинд И. Применение метода конечных элементов. - М., 1979. 5. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. - М., 1977. 6. Образцов И.Ф., Савельев Л.М. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. - М., 1975. 7. Секулович М. Метод конечных элементов. - М., 1993. 8. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конс конструкций. - Л.: Судостроение, 1974.. 9. Варвак П.М. и др.. Метод конечных элементов: Учебн. пособие. - К.: Вища школа, 1981 1.2 ТЕОРИЯ СТЕРЖНЕВОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА 1. Вычисление характеристик стержневого конечного элемента Стержневым КЭ будем называть элемент конструкции, который может находиться в одн одноосном ом напряженном состоянии, испытывая растяжение или сжатие. Примером таких элементов могут служить несущие элементы ферм. В плоских фермах узел включения такого элемента в конструкцию имеет две степени свободы в ЛСК (линейные перемещения узлов вдоль оси стержня), стержня), а положение локальной оси координат определяется углом между осью Х глобальной системы координат и осью стержня. Силовые факторы в сечениях стержневого КЭ сводятся только к продольным силам, дейс действующим в его узлах. 1.1. Постановка задачи Рассмотрим НДС стержневого КЭ длиной l в ЛСК под действием усилий, приложенных в узловых сечениях КЭ и обеспечивающих его равновесие (рис. 1). Рис. 1 Известно, что внутренние силы (усилия) являются следствием деформаций, которые в свою очередь возникают при наличии относительных перемещений сечений. В данном случае речь идет об относительных перемещениях узловых сечений КЭ вдоль его оси (см. рис. 1). Поставим задачу следующим образом: 1. Требуется предложить вид функции связи между осевым перемещением произвол произвольного сечения ения КЭ и перемещениями в узловых сечениях i и j. 2. На основе матричного аппарата и предложенных функций связи нужно построить матрицу интерполяционных функций для описания перемещений сечений, расположенных между узлами i и j КЭ. 3. Используя законы механики деформируемого деформируемого твердого тела, необходимо получить в матричном виде соотношения, описывающие напряженно-деформированное напряженно деформированное состояние КЭ в ЛСК. 1.2. Выбор интерполяционных формул В соответствии с определением стержневого КЭ узел дискретизации в ЛСК имеет две ст степени свободы – перемещения столбец) и . Исходя из этого, вектор узловых перемещений (матрица (матрицаимеет вид: . Поскольку КЭ имеет две степени свободы, перемещение произвольного сечения КЭ (см. рис. 1) можно предложить представлять полиномом второй степени по по осевой координате U: (1). Отсюда Таким образом, для матрицы узловых перемещений получим: Обращение матрицы [С]] проводится через матрицу алгебраических дополнений [ матрицы [С] по формуле: ] Нетрудно убедиться, что матрица действительно обратная матрице [C], поскольку их произведение дает единичную матрицу. Таким образом, матрица интерполяционных функций (функций формы) имеет следующие компоненты: (2) 1.3. Напряженно-деформированное деформированное состояние стержневого КЭ Имея зависимость относительных перемещений перемещений в произвольном сечении стержневого КЭ от узловых перемещений, нетрудно подсчитать деформации в этом сечении элемента по соотве соответствующим формулам механики деформируемого твердого тела (МДТТ): (3) Матрица [B]] называется матрицей податливости, поскольку определяет деформации, во возникающие в узловых сечениях стержневого КЭ, если в одном из узлов возникает единичное отн относительное перемещение. Например, если принять = 1, = 0, то из формулы (3) следует, что деформация в уузлах будет равна по (-1/l), /l), что соответствует соотв сжатию стержня – действительно (см. рис. 1), если узел i при закрепленном узле j перемещается вправо, то стержень сжимается. Для вычисления напряжений в сечениях стержневого КЭ применим формулу МДТТ, ссогласно которой (4) Следует отметить, что как деформации, так и напряжения, вдоль оси стержневого КЭ ра распределены равномерно, что является следствием гипотезы о характере взаимосвязи узловых и промежуточных перемещений (1.1). Усилия в сечениях стержня определяются по формулам МДТТ Здесь через F обозначена значена площадь поперечного сечения в предположении, что она не изм изменяется вдоль оси КЭ. Знак «минус» в значении усилия Ni связан с необходимостью удовлетворения условий равновесия в узлах отдельного КЭ (см. рис. 1, на котором усилие направлено против ос оси U ЛСК). Таким образом, окончательно получаем следующее соотношение для определения усилий в произвол произвольном сечении: (5) 1.4. Матрица жесткости стержневого КЭ В теории МКЭ важную роль играет матрица [k] связи узловых усилий и узловых перем перемещений, которая называется называется матрицей жесткости. Как следует из формулы (5), эта матрица для КЭ имеет вид: (6) Следует напомнить, что соотношения (1)-(6) (1) (6) выведены в локальной системе координат для конкретного стержня. Поэтому для дальнейших рассуждений необходимо отличать ввеличины в ЛСК и ГСК. В частности условимся о том, что верхний индекс Л относится к величинам в ЛСК, а верхний индекс Г – к величинам в ГСК. 1.5. Связь величин, заданных в локальной и глобальной системах координат Поскольку значения элементов матриц, определяющих определяющих НДС стержневого КЭ в ЛСК, пр приходится использовать и в ГСК, требуется установить форму преобразования величин матричной природы из ЛСК в ГСК и обратно. Для этого используется представление матрицы матрицы-столбца в виде вектора, и изучается преобразование его его компонент при повороте осей системы координат (рис. 2). Рис. 2. Связь компонетов вектора в глобальной и локальной системах координат Данные рис. 2, а позволяют записать следующие выражения в узле i:: Аналогичные выражения справедливы и для компонент локального перемещения в узле j: Собирая компоненты перемещений в матрицу, получим: (7) где матрица (p) – матрица преобразования из ЛСК в ГСК. На рис. 2, б представлена информация для обратного преобразования, когда требуется из компонентов вектора образом: получить учить компоненты . Решение задачи записывается следующим Откуда аналогично (1.6) получаем: (8) где в качестве матрицы преобразования из ГСК в ЛСК выступает транспонированная ма матрица (p). Имея соотношения (7), несложно получить выражения всех характеристик НДС стержнев стержневого КЭ в ГСК, что потребуется при формировании разрешающей СЛАУ МКЭ. А обратный переход на базе формул (8) будет нужен при вычислении характеристик НДС в ЛСК для построения эпюр этих характеристик на осях КЭ, как это принято в строительной ст механике. 1.3 Разрешающая система уравнений метода конечных элементов для стержневого конечного элемента Разрешающая система уравнений МКЭ отображает основные свойства расчетной схемы строительной конструкции: ее равновесие и неразрывность (совместность) перемещений под де действием нагрузок на узлы дискретизации. Важным моментом при выводе уравнений является учет того, что равновесие конструкции обеспечивается как за счет равновесия собственно КЭ (что уже учтено при построении его матр матрицы жесткости), кости), так и за счет равновесия сил в узлах дискретизации, куда через узловые сечения КЭ, включенных в конкретный узел, передаются (со сменой знака) усилия, возникающие в конц концевых сечениях КЭ вследствие перемещений узлов дискретизации. Следует также обратить ить внимание на то, что в расчетной схеме при выполнении условия совместности перемещений сечений, входящих в один и тот же узел, может не исполняться усл условие совместности деформаций. Именно эта ситуация имеет место в опорных сечениях, когда сеч сечение, принадлежащее длежащее опоре, может иметь абсолютную жесткость. 2.1. Характеристики стержневого конечного элемента в глобальной системе координат Основой для пересчета характеристик КЭ из ЛСК в ГСК является матрица поворота ((р). В соответствии с формулами (7) узловые перемещения перемещения в ЛСК преобразуются по формуле = (p) . Аналогичное преобразование происходит и с другими двухкомпонентными матрицами матрицамистолбцами . Наибольший интерес представляет выражение для усилий в ГСК, поскольку именно в ус усилиях формируются условия равновесия равновесия узлов дискретизации. Из теоретической механики извес известно, что система твердых тел находится в равновесии тогда и только тогда, когда находится в ра равновесии каждая точка этой системы. А из курса МДТТ к этим условиям добавилось требование совместности перемещений мещений и деформаций точек сплошной деформируемой среды. При вычислении характеристик стержневого КЭ в ЛСК мы удовлетворили требованиям равновесия собственно КЭ, когда учли знаки продольных усилий в формуле (5), а также требов требованию совместности перемещений, когда воспользовались законами МДТТ в форме (3), (4). Однако у нас остались неудовлетворенными соответствующие требования по отношению к узлам дискретизации и сечениям КЭ, которые входят в эти узлы. Именно поэтому нам и требую требуются выражения для усилий в узловых ловых сечениях КЭ, так это позволит сформулировать условия ра равновесия этих узлов в ГСК. Рассмотрим связь между усилиями в стержневом КЭ, записанную в ГСК, взяв за основу формулу (6). Умножив обе части этой формулы на матрицу (p) ( ) слева (напомним, что перемножение матриц не обладает свойством перестановочности), получим: Теперь воспользуемся связью (7) ЛСК с ГСК для матрицы и получим далее: (9) где в качестве обозначена матрица жесткости стержневого КЭ в ГСК, которая, ттаким образом, вычисляется по формуле: (10) Эта формула важна тем, что отображает соотношение между узловыми усилиями и узл узловыми перемещения в одной и той же форме, как в ЛСК (см. формулу (6)), так и ГСК – по формуле (9). 2.2. Формулировка разрешающей системы уравнений метода конечных элементов Условия равновесия узлов дискретизации сформулируем на основе данных рис. 3. Рис. 3. Равновесие узла дискретизации Ясно, что в узел i передаются усилия с нескольких КЭ, причем каждое из передаваемых с конкретного КЭ усилия, приходя в узел, меняет меняет свой знак на противоположный. Кроме усилий с КЭ, в узел могут быть приложены и сосредоточенные силы нагрузки. Под действием этих сил и формируется равновесие узла. Запишем условия равновесия отдельного узла дискретизации под действием указанных сил с учетом четом того, что условия равновесия будут формулироваться в ГСК. Поскольку вектор внешних сил в узле i всегда можно представить в виде столбца из его проекций на оси ГСК, то, объединяя столбцы проекции усилий от каждого КЭ в узле i в общую матрицу-столбец и таким же образом поступая с проекциями внешних сил в этом узле, нетрудно записать уравнения равновесия узла в проекциях на оси ГСК: где суммирование ведется по всем усилиям, которые передаются в этот узел с КЭ, объед объединенных в нем, и по всем нагрузкам, приложенным приложенным к этому узлу. Располагая формулой (9) для вектора усилий в узле i,, а также учитывая тот факт, что усилия должны быть вычислены только в одном узле КЭ (т.е. будет использована только часть матрицы жесткости КЭ – подматрица, которая соответствует вектору перемещений в узле i), уравнение равновесия этого узла можно переписать в виде: Если учесть, что перемещения всех КЭ в узле i должны происходить совместно, т.е. у ка каждого КЭ они одинаковые, то суммирование в первой части формулы следует распростр распространять только на компоненты подматриц жесткости КЭ, так что из условия совместности перемещений узл узловых сечений, входящих в данный узел, можно записать следующее матричное выражение: Поскольку используемые подматрицы жесткости всех КЭ имеют один размер (2 (2х2), то их суммирование приводит к матрице того же размера. Обозначим ее . Аналогичное замечание отн относится и к вектору нагрузки – после суммирования всех внешних сил в узле мы получим матрицу размером (2х1), с компонентами и . Тогда для одного узла i систему систему линейных алгебраических уравнений относительно двух узловых перемещений в ГСК и можно записать в следующей форме: . (11) Если все неизвестные узловые перемещения объединить в одну матрицу матрицу-столбец, и все узловые силы объединить таким же образом, то из условия условия получения для каждого узла соотнош соотноше- ния типа (11) матрица жесткости образованной таким способом системы, должна иметь блочно блочнодиагональную структуру, как это показано в формуле ниже: Полученная система уравнений относительно узловых перемещений и яв является разрешающей СЛАУ МКЭ. Для формирования ее окончательного вида следует учесть, что часть перемещ перемещений опорных узлов может отсутствовать. Кроме того, следует учесть, что сечения разных КЭ в оодном узле имеют одинаковые компоненты векторов перемещений вследствие вследствие совместности пер перемещений этих сечений в составе одного узла. Так что окончательно получаем СЛАУ в виде: (12) где обозначения для компонентов СЛАУ (12) введены с учетом замечания о закрепления конструкции. Здесь [K] – квадратная симметричная матрица матрица жесткости конструкции (ансамбля КЭ), – матрица-столбец столбец неизвестных узловых перемещений узлов дискретизации, {{P} – матрица-столбец столбец внешних узловых сосредоточенных сил. Элементы всех матриц (12) вычисляются в ГСК. Порядок системы уравнений определяется суммарным числом деформирующих степеней свободы узлов дискретизации ЗРС. 2.3. Автоматизация составления системы разрешающих уравнений Для автоматизации учета отмеченных выше особенностей разрешающей системы уравн уравнений (12) применяется таблица индексов, которая определяет систему деформирующих степеней свободы ЗРС. Суть работы с таблицей состоит в том, что каждая деформирующая глобальная степень свободы узла дискретизации (узловое перемещение ) отмечается в поле та таблицы без повторения (т.е., если она встречается у другого КЭ в этом же узле, то ей приписывается уже существу существующий номер). Зафиксированная в таблице нумерация используется для формирования матрицы ж жесткости конструкции [K]] путем суммирования элементов матриц матриц жесткости отдельных элементов, находящихся в столбцах, номера которых соответствуют одним и тем же глобальным степеням свободы узлов дискретизации. Степени свободы узлов, отсутствующие из-за из за наличия связей, помечаются как нулевые и нумерации не подлежат.. Тем самым из СЛАУ исключаются уравнения, соответствующие реа реактивным силам. В основе работы по заполнению таблицы лежит изображение стандартного стержневого КЭ с принятым порядком нумерации деформирующих степеней свободы в ГСК. Нумерация собстве собственно КЭ остается ается за исполнителем, точно так же, как и нумерация узлов дискретизации. Хотя для узлов можно применять рекомендацию о минимальной разности номеров узлов, определяющих КЭ данной расчетной схемы. Таблица индексов имеет вид, представленный на рис. 4. Рис. 4. Таблица для автоматизации составления матрицы индексов ЛЕКЦИЯ №2 2.2 Теория балочного конечного элемента Вычисление характеристик балочного конечного элемента Балочный конечный элемент обладает свойствами, которые характерны для балки – элементарной расчетной схемы, сопротивляющейся изгибанию и сдвигу в плоскости поперечного ссечения. При этом балка полагается недеформируемой вдоль своей оси, а также имеющей недефо недеформируемое поперечное сечения, геометрические характеристики которого вдоль оси также не изменяются. Перемещения и деформации такой балки при плоском изгибе определены как малые (рис. 21), а НДС балки полностью определяется величиной поперечного прогиба оси балки, проходящей через центры тяжести ее сечений. Расчет при этом ведется по недеформированной схеме. Рис. 5. Балочный конечный элемент Отметим, наконец, что все последующие построения для балочного конечного элемента по последовательности и характеру действий не отличаются от построений для стержневого КЭ. 4.1. Построение матрицы ицы интерполяционных функций прогиба в сечениях балочного кконечного элемента Рассмотрим НДС стержневого КЭ в ЛСК под действием усилий, приложенных в узловых сечениях КЭ и обеспечивающих его равновесие (см. рис. 5). Деформированное состояние балки однозначно однозначно определено её поперечными прогибами и углами поворота сечений , которые, будучи малыми, вычисляются как . Предложим форму функции связи между осевым перемещением произвольного сечения КЭ и перемещениями в узловых сечениях в виде полинома третьей степени, степени, поскольку он определяе определяется 4-яя параметрами, что соответствует 4-м 4 м степеням свободы балочного КЭ в его узлах дискрет дискретизации. Сравните, при построении этой функции для стерневого элемента нам потребовался пол полином 2-й й степени, что соответствовало двум деформирующим деформирующим осевым перемещениям на концах стержня. (22) Применяя (22) в узлах дискретизации, получим: (23) Запишем (23) в матричном виде и используем его для определения столбца параметров {{a} через столбец узловых перемещений КЭ в локальной системе координат : Обращение матрицы [С]] проводится через матрицу алгебраических дополнений рицы [С] по формуле: мат- Обратите внимание на соотношение индексов элементов обратной матрицы и элементов матрицы алгебраических дополнений – i j и j i соответственно. Таким образом, согласно (22), имеем: (24) Здесь F(U) – матрица интерполяционных функций (функций формы) балочно балочного конечного элемента, преобразованная заменой переменных к зависимости от безразмерной переменной x = U/l. 4.2. Матрица жесткости балочного конечного элемента Получение матрицы усилий в узлах конечного элемента проведем на основании формул механики материалов, алов, связывающих функцию поперечного прогиба с изгибающим моментом и изгибающий момент с поперечным усилием, учитывая, что : Символ здесь подчеркивает, что усилия возникают вследствие деформирующих пер перемещений. Из этих соотношений, используя формулы (24), (24), нетрудно получить соответствующие компоненты матрицы узловых усилий. При этом следует обратить внимание на то, что подобная матрица содержит усилия, которые не отражают условия равновесия балочного КЭ, а потому не может быть окончательным выражением. Выполняя, тем не менее, предписанные упомянутыми формулами преобразования, получ получаем: (25) Полученное выражение позволяет дать интерпретацию матрицы связи векторов и : каждый столбец этой матрицы содержит реакции в опорных узлах КЭ при нагружении элементаа единичным перемещением в одном из концевых узлов. На рис. 6 показаны реакции балочного КЭ, нагруженного положительными единичными перемещениями в узле i и находящегося в равновесии. Эпюры при нагружении единичными пер перемещениями концевых сечений балки нами нами использовались при изучении метода перемещений. Сравнение знаков концевых усилий на эпюре рис. 6, а,, которая соответствует первому столбцу в матрице (25), и усилий на эпюре рис. 6, б,, которая соответствует второму столбцу в матрице, показывает, что знаки аки усилий во 2-й 2 и 3-й й строках полученной матрицы связи следует поменять на противоположные. Поскольку эпюры рис. 6 получены для балки, находящейся в равновесии. Таким образом, – матрица жесткости балочного КЭ в локальной системе координат – приобретаетт вид симметричной матрицы: (26) 4.3. Связь величин, заданных в локальной и глобальной системах координат На рис. 7 представлена исходная информация для получения формул перехода для из ЛСК в ГСК (рис. 7, а)) и наоборот (рис. 7, б) для вектора, направленного нного вдоль оси V в ЛСК. Рис. 7. Связь компонентов вектора в локальной и глобальной системах координат В соответствии с обозначениями на рис. 7, а можно записать: Аналогичные соотношения по рис. 7, б имеют вид: Поскольку повороты в узлах КЭ совершаются вокруг оси Z ГСК, которая совпадает с осью ЛСК, и обе оси ортогональны плоскости расчетной схемы, то при переходе из одной системы в другую эти углы не претерпевают никаких изменений. С учетом сделанного замечания матрицы преобразования из ЛСК в ГСК и обратно могут быть записаны в форме: (27) Как следует из вида соотношения (27), они не отличаются от формул аналогичного назн назначения, которые были получены для стержневого КЭ. Таким образом, имеет место независимость матричных соотношений, определяющих связь компонент матриц в локальной и глобальной си системах координат, от размера матриц. По этой же причине справедливы и формулы для вычисления характеристик НДС при переходе из одной системы координат в другую. Наконец, уравнения разрешающей системы уравнений МКЭ в окончательном виде также не содержат ссылок на размеры матриц, которые связаны этими соотношениями. Поэтому для балочного элемента эти уравнения можно использовать так же, как мы это делали для стержневого КЭ. 2.2 Система разрешающих уравнений МКЭ для балочного конечного элемента 5.1. Особенности формулировки разрешающей системы уравнений МКЭ для балочных КЭ Итак, имеется возможность распространить форму основных соотношений стержневого КЭ на матрицы, определяющие балочный КЭ, которые соответствуют по смыслу аналогичным матр матрицам стержневого элемента. Такими матрицами являются матрица жесткости КЭ , матрица преобразований (p)) и матрица внешних сил {Р}. { }. Элементы первых двух матриц представлены формулами (26) и (27). Естественно, что система разрешающих уравнений МКЭ для балочного КЭ также выражает условия равновесия узлов дискретизации, а потому и путь построения ее матричной формы для ансамбля узлов дискретизации не претерпевает изменений. Вместе с тем,, анализ сил, действующих на узел дискретизации обнаруживает еще одну группу, возникновение которой невозможно в стержневом КЭ, – это усилия, возникающие от внутрипролетной нагрузки на балочный КЭ. Действительно, под действием узловой нагрузки ссовместность перемещений сечений КЭ, объединенных в конкретном узле, обеспечивается дефо деформированием соответствующих элементов. А это, в свою очередь, порождает осевые усилия и в стержневых и в балочных КЭ. Но балочный КЭ может деформироваться и не за счет узловой н нагрузки! узки! Более того, для балочных систем более характерными является как раз нагрузки, дейс действующие между узлами опирания. Конечно, можно так назначить узлы дискретизации, чтобы внутрипролетная нагрузка в ввиде сосредоточенных сил и моментов пришлась именно в эти эти узлы. Однако с распределенной вдоль оси балки нагрузкой такой вариант не проходит, если только не смоделировать такую нагрузку системой сосредоточенных сил, что породило бы дополнительные проблемы, связанные с п погрешностью моделирования распределенной нагрузки. н Учет внутрипролетной нагрузки проводится по той же схеме, что и учет нагрузки от см смещения опорных узлов: 1. В ЛСК вычисляются реакции в опорных узлах от нагрузки, приложенной внутри пролета, каждого балочного КЭ. 2. Векторы преобразуется в векторы в ГСК с помощью матриц (p). 3. вектор Из компонент векторов с компонентами, омпонентами, определенными , построенных для всех КЭ ансамбля, формируется по тем же принципам, что и вектор узловых нагрузок: учитываются только те ко ком- поненты векторов , которые действуют вдоль эффективных эффективных степеней свободы. 4. Вектор вносится в разрешающую систему уравнений с обратным знаком. В результате указанных операций разрешающая СЛАУ МКЭ для схемы дискретизации ЗРС из балочных КЭ принимает вид: (28) 5.2. Внутрипролетная нагрузка на балочный конечный элемент и ее учет в разрешающей системе уравнений Под внутрипролетной нагрузкой мы будем понимать любую систему внешних сил, расп расположенную между узлами (и, возможно, в узлах!) дискретизации. Реакции на такую нагрузку во возникаютт при неподвижных узлах дискретизации, когда деформирующие поперечные перемещения и углы поворота концевых сечений отсутствуют. Такое закрепление известно как жесткое. Эта схема опирания и является опиранием стандартного балочного КЭ. Определение вектора реакций еакций балочного КЭ на внутрипролетную нагрузку начнем с и использования принципа независимости наложения воздействий (принципа суперпозиции), разделив любую комбинацию нагрузок на ее основные виды: распределенную по некоторому участку, ссосредоточенную силу или сосредоточенный момент. Определение матрицы-столбца столбца реакций элемента в ЛСК проводится как решение статически неопределимой задачи о равновесии соответствующей балки, причем все определя определяющие характеристики (длина, жесткость, величина нагрузки) задаются задаются параметрически через уже известную систему масштабов нагрузки q и линейного размера a. Решение такой задачи выполнено в методе перемещений в форме табличных эпюр метода перемещений для изогнутых стержней с внутрипролетной нагрузкой. Следует принять во внимание, нимание, что аналогия между воздействием внутрипролетной нагру нагрузки и нагрузки концевыми перемещениями распространяется только на способ воздействия на КЭ – непосредственно на элемент. А вот в направлении векторов воздействий имеется разница. Она ззаключается в том, единичные перемещения всегда положительно направлены, а внутрипролетная нагрузка, которая нам задана, может иметь любой знак в ЛСК. Поэтому нужно соотносить факт фактическое направление нагрузки и табличное, помещая табличную эпюру в ту же ЛСК, что мы и имеем для данного КЭ на схеме дискретизации. 5.3. Автоматизация составления разрешающей системы уравнений Для автоматизации составления СЛАУ типа (28) применяется таблица индексов. Для ббалочного КЭ таблица имеет вид, который по смыслу ее компонентов не отли отличается от таблицы индексов для стержневого КЭ. Но число деформирующих степеней свободы возрастает до шести за счет учета углов поворота концевых сечений балочного КЭ. Таким образом, технология использования таблицы индексов полностью совпадает с уже изложенной нной на примере стержневого КЭ. Вид таблицы индексов для балочного КЭ приведен на рис. 8. Рис. 8. Таблица индексов для ансамбля балочных конечных элементов 3. Библиографический список используемой литературы 1 Основная литература 1. Теличко, Г.Н.Основы строительной механики плоских стержневых систем: учебник для вузов и сузов / Г. Н. Теличко .– 3-е изд., стер. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2010 .– 440 с.– ISBN 9785-7679-1533-0. 2. Трушин, С. И. Метод конечных элементов. Теория и задачи: учеб.пособие для вузов / С. И. Трушин.–М.: АСВ, 2008 .– 256 с. –ISBN 978-5-93093-539-4. 2 Дополнительная литература 1. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд; пер. с англ. А. А. Шестакова; под ред. Б.Е. Победри.– М.: Мир, 1979.– 392с. 2. Зенкевич, О.К. Метод конечных элементов в теории сооружений и механике сплошных сред / О.К. Зенкевич, И. Чанг; под ред. Ю.К. Зарецкого; пер. с англ. О.П. Троицкого, С.В. Соловьева.–М.: Недра, 1974. – 239 с. 3. Победря, Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: учеб.пособие для ун-тов / Б.Е.Победря.– М.: Изд-во МГУ, 1981.– 344с. 3. Периодические издания 1. Строительная механика и расчёт сооружений 2. Механика деформируемого твердого тела 3. Промышленное и гражданское строительство 4. Интернет-ресурсы  http://www.nsu.ru/matlab/Exponenta_RUОбразовательный математический сайт  http://cadprograms.ru/Сайт для архитекторов, проектировщиков, строителей и студентов, которые хотят узнать больше о своей профессии  http://www.scadgroup.com/news.shtmlОфициальный сайт группы компаний "СКАД Софт"  http://djvu-inf.narod.ru/tslib.htmDjVu БИБЛИОТЕКИ - Строительство и инженерные системы  http://publ.lib.ru/Универсальная библиотека, портал создателей электронных книг, авторов произведений и переводов  http://www.litportal.kiev.uaЭлектронная библиотека LitPortal  http://diminex.ru/Строительство-библиотека строительства  http://www.unilib.neva.ru/rus/lib/resources/elib/Фундаментальная библиотека СПбГПУ  http://stroimech-journal.narod.ru/