Современная математика. Общий метод математики. Математические модели

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (СКФУ) Институт математики и информационных технологий имени профессора Н.И. Червякова Кафедра математического анализа, алгебры и геометрии ЛЕКЦИЯ по учебной дисциплине «Математика» для студентов направления: 21.03.01 Нефтегазовое дело Математика зародилась в глубокой древности и к настоящему времени проникла в той или иной степени во многие сферы человеческой деятельности. Математические методы давно и успешно использовались в таких точных науках, как механика, физика, астрономия, находили широкое применение в технике. В последнее время существенно расширилось приложение математики к экономике, химии, биологии, медицине, психологии, лингвистике, социологии и другим гуманитарным наукам. Стали привычными неожиданные на первый взгляд сочетания слов: „математическая, экономика", „математическая биология", „математическая лингвистика", но экспансия математики продолжается, и это теперь уже не вызывает удивления. Деятельность же современного инженера просто немыслима без прочного и всестороннего союза с математикой. Чем же объяснить такую большую роль, которую играет в жизни человеческого общества столь абстрактная и, казалось бы, оторванная от реальности наука? Проявление человеческого интеллекта в любой конкретной области обычно связано не только с рассмотрением качественных особенностей различных объектов, явлений и процессов, но и с анализом их пространственных и количественных характеристик, для описания и изучения которых необходим общий метод. Именно такой метод, пригодный для самых разнообразных приложений, дает математика. Это достаточно четко сформулировал Фридрих Энгельс: „Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира". Надо сказать, что современная математика уже переступила через эту формулировку: она может оперировать такими объектами и отношениями между ними, которые нельзя представить ни числами, ни геометрическими образами. „Чистые" математики, движимые внутренней логикой развития своей науки, нередко приходили к теоретическим построениям, которые не сразу обретали практическую интерпретацию. Так, греческие математики изучали свойства эллипса почти за две тысячи лет до того, как немецкий астроном Иоганн Кеплер использовал эти свойства в законах движения планет. В теории относительности Альберт Эйнштейн нашел первое применение результатам, которые были получены математиками примерно за полстолетия до него. Русский ученый Б.С. Федоров и немецкий математик А. Шенфлнс на основе представлявшейся чисто умозрительной теории групп решили задачу классификации всех возможных кристаллических решеток. Суть общего метода математики состоит в том, что для конкретного изучаемого объекта строят или используют готовую математическую модель в виде формул, уравнений, геометрических образов или логических соотношений и затем средствами математического аппарата анализируют ее. Результаты такого анализа проверяют сопоставлением с реальностью и в случае расхождения уточняют математическую модель или отказываются от нее и строят новую. Этапы развития многих естественно-научных направлений в познании законов природы и в совершенствовании техники — это, по существу, построение последовательности все более точных и более полных математических моделей изучаемых явлений. В связи с этим интересны как высказывание Чарлза Дарвина: „У людей, усвоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных", так и замечание Карла Маркса о том, что любая наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой. Отвечающая реальности (адекватная) математическая модель — большое научное достижение. Она позволяет провести детальный анализ изучаемого объекта и дать надежный прогноз его поведения в различных условиях. Но за адекватность математической модели нередко приходится расплачиваться ее усложнением, что вызывает трудности при ее использовании. В этом случае на помощь математике приходит современная вычислительная техника, существенно расширившая класс математических моделей, допускающих исчерпывающий количественный анализ. Одни и те же математические модели находят подчас совершенно различные приложения. Известно, что закон взаимодействия двух электрических зарядов и закон притяжения двух масс выражаются формулами с одинаковой структурой. При помощи одной и той же математической модели можно изучать течение жидкости, распространение теплоты, распределение электрического потенциала, деформацию мембраны, напряжения при кручении бруса, фильтрацию нефти в нефтеносном слое или влаги в почве, распространение какой-либо примеси в воздухе или эпидемии в регионе. Благодаря общности математических моделей возникает „родство" между различными отраслями знаний, что ускоряет их совместное развитие. Такая общность объясняется тем, что в математике используют абстрактные основополагающие понятия, немногочисленные, но весьма емкие по содержанию. Это позволяет конкретные факты из самых различных областей знаний рассматривать как проявление этих понятий и отношений между ними. Совокупность таких понятий и отношений, выраженных при помощи системы символов и обозначений, образует, по существу, универсальный язык науки. Его универсальность французский математик Анри Пуанкаре выразил одной фразой: „Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем". Вместе с тем именно абстрактность математики создает определенные трудности при ее изучении и использовании, хотя эти трудности часто преувеличивают. А.И. Герцен считал, что трудных наук нет, есть только трудные изложения. Есть две крайние точки зрения на то, как лучше осваивать математику. Они связаны с двумя основными аспектами этой науки. В процессе своего становления математика накапливала разрозненные факты и обобщала их в виде все более полных теорий, двигаясь по индукции (латинское слово inductio — наведение) от частного к общему. Но уже сформировавшиеся разделы математики строят по дедукции (от латинского deductio — выведение), начиная с общих понятий и положений и строго логически выводя из них следствия. Можно изучать математику индуктивным путем, следуя ее основным этапам развития. Такой пологий подъем легче и очень увлекателен, так как позволяет пережить драму и столкновение идей, которые послужили зародышем многих математических открытий и прорывов в новые области математики. Но это путь изучения скорее не математики, а ее истории. Он не рационален для будущего инженера, да и нереален по затратам времени даже для будущего профессионального математика. Дедуктивный путь изучения сложнее и требует значительных интеллектуальных усилий, чтобы воспринять уже сложившуюся систему абстрактных понятий и положений и следовать дорогой логически безупречных доказательств. Но зато, взобравшись по крутому склону, можно быстрее обозреть обширные владения математики. Надо прямо сказать, что такой путь не каждому по плечу и предполагает определенный склад мышления. Склонные к инженерной деятельности люди, как правило, абстрактным построениям предпочитают конкретную информацию и нередко утонченную строгость доказательств воспринимают как „торжество науки над здравым смыслом" (по саркастическому замечанию Алексея Николаевича Крылова (1863-1945), русского инженера-кораблестроителя, механика и математика, первого переводчика с латинского на русский язык „Математических начал натуральной философии" Ньютона). Ясно, что оба пути в своих крайних проявлениях не годятся для классического университета. Рациональный путь лежит где-то между ними. Но стоит помнить, что в математике нет „царских путей". Математика является плодом интеллектуальной деятельности всего человеческого общества, но вместе с тем ее многие достижения и открытия связаны с именами конкретных ученых. История математики поучительна и позволяет глубже понять ее содержание и взаимосвязь отдельных разделов. Математика (как и любая наука) непрерывно развивается. Облик некоторых разделов математики менялся за время жизни одного поколения. Поэтому выучить математику раз и навсегда невозможно. Инженер должен расширять свои познания в математике всю свою творческую жизнь. Но основы следует заложить в молодые годы. Девизом для студентов и преподавателей должны стать прекрасные слова французского математика, физика и механика С.Д. Пуассона: „Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием". Одним из условий успешного развития современной техники и ведущих отраслей промышленности является математизация научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ в перспективных классических направлениях. Основным проявлением этой математизации становится широкое использование методов математического моделирования и вычислительного эксперимента. Они состоят в адекватной замене реального классического объекта или процесса соответствующей математической моделью и в ее последующем изучении (экспериментировании с нею) на ЭВМ с помощью вычислительно-логических алгоритмов. Для решения таких задач необходимы специалисты высокой квалификации, профессионально владеющие как инженерными знаниями и навыками, так и математическими методами, и их реализацией средствами современной вычислительной техники. Другими словами, качественно нового эффекта можно достичь лишь при комплексной подготовке специалистов по всем звеньям замкнутого цикла вычислительного эксперимента: объект — его математическая модель — алгоритм — его реализация на ЭВМ — инженерная интерпретация результатов математического моделирования и их использование при совершенствовании классического объекта. Подготовка таких специалистов должна стать одной из основных задач классических университетов, сформировавшихся в последнее время на базе ведущих вузов страны. Отличительной чертой университетов должно быть, прежде всего, рациональное сочетание университетского уровня обучения с передовыми достижениями традиционного инженерного образования. Такое сочетание может быть реализовано лишь путем приоритетного усиления цикла общенаучных дисциплин, и в первую очередь математической подготовки студентов. Качество усвоения общенаучных дисциплин определяет глубину и логическую завершенность естественно-научного образования специалистов, их научное мировоззрение, умение работать с литературой, самостоятельно пополнять свои знания, а также вести успешный поиск новых и перспективных классических решений. Именно эти факторы характеризуют фундаментальность высшего классического образования. Отмеченные особенности подготовки специалистов в университетах выдвигают ряд специфических требований к курсу высшей математики как к основе непрерывного и углубленного математического образования. Этому курсу должны быть присущи общность математических понятий и конструкций, точность формулировок и логическая строгость изложения материала в сочетании с прикладной направленностью. Постановку курса высшей математики в классическом университете и разработку соответствующего учебно-методического обеспечения целесообразно ориентировать на достижение трех основных целей: развитие у студентов культуры мышления (особенно его логического и алгоритмического аспектов); освоение математики как универсального языка науки, необходимого для изучения всех последующих дисциплин; владение математикой как рабочим инструментом анализа и исследования математических моделей.