Сопротивление материалов.Практические методы расчёта на прочность, жёсткость и устойчивость.

Ю. А. Куликов Лекции по курсу «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» УДК 539.3/.4(07) ББК 30.121я7 Куликов, Ю. А. Лекции по курсу «Сопротивление материалов»/ Ю. А. Куликов. 2016 – 268 с. Книга содержит материал 19 оригинальных лекций по курсу «Сопротивление материалов». Лекции отражают многолетний опыт работы автора и отвечают требованиям государственных образовательных стандартов для технических и технологических специальностей вузов и Университетов. В компактной и лаконичной форме изложены теоретические основы курса и представлены практические методы расчёта на прочность, жёсткость и устойчивость типовых элементов машин и конструкций. Для студентов технических и технологических специальностей высших учебных заведений и Университетов. ПРЕДИСЛОВИЕ Книга содержит материал 19 оригинальных авторских лекций. В сжатой и лаконичной форме изложены основные теоретические положения курса “Сопротивление материалов” и представлены практические методы расчёта на прочность, жёсткость и устойчивость. Наряду с базовыми сведениями в неё включены многочисленные примеры из истории науки и техники. С позиций прикладной механики дано описание ряда технологий и конструкций, приведены некоторые сведения о механике хрупкого разрушения, отражены физико-механические характеристики отдельных материалов, включая современные и перспективные композиционные материалы1. Представлены модели разрушения и упругого деформирования композитов. На основе опубликованных материалов2 дана сравнительная оценка весовых характеристик, показателей прочности, жёсткости и трещиностойкости металлов, керамики, пластмасс и композитов. С точки зрения прочности описаны рациональные конструкции: стержни равного сопротивления растяжению-сжатию, кручению и изгибу. Дан расчёт балок на упругом основании, а также балок, выполненных из железобетона с асимметричной схемой армирования. В конце книги приведён список основных терминов и их англоязычных эквивалентов. Последовательность изложения материала согласуется с традиционными классическими канонами: от простого – к сложному. Каждая лекция посвящена отдельной теме и начинается с оригинальной преамбулы – своего рода «визитной карточки» главы, а заканчивается ключевыми вопросами для контроля остаточных знаний. Такое построение курса облегчает самостоятельную работу над книгой, позволяет более эффективно изучать предмет. Стоит заметить, что содержание лекций отличается от учебника. Лекции, прежде всего, должны быть живыми, привлекательными для студентов. А для того чтобы заинтересовать, «зажечь» слушателя, приходится не ограничиваться изложением «сухой» теории, а уделять больше внимания практическим приложениям, связанным с будущей специальностью студента, включать наиболее яркие примеры и задачи из инженерной практики. Кроме того, в отличие от учебника, лекции должны быть сжатыми и лаконичными. А для этого порой, особенно при отборе теоретического материала, приходится менять традиционные акценты, жертвовать деталями, глубиной и строгостью изложения. Около 200 лет сопротивление материалов преподаётся в технических колледжах и университетах мира. Считается, что первые лекции были прочитаны К. Л. Навье в национальной школе мостов и дорог (Франция). За эти годы было написано немало хороших книг. Лишь некоторые из них приведены в конце настоящего издания. В течение многих лет на рабочем столе автора лежали замечательные учебники Н.М. Беляева, В.Л. Бидермана, И.В. Стасенко, С. П. Тимошенко, В.И. Феодосьева. Сегодня это – классика. По ним в свое время, учились мы, постигая предмет. Их содержание и содержание многих других источников нашло отражение в этой книге. Лекции подготовлены на основе переработанного конспекта [10]. Работа над ними заставила автора многое пересмотреть, исправить и дополнить. Эти изменения получили отражение в настоящем издании. Автор глубоко признателен Е. А. Ломакиной за оформление графических материалов и помощь в подготовке рукописи к печати. ЛЕКЦИЯ 1 ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДМЕТ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ • Значение и место курса «Сопротивление материалов» • Основные понятия: прочность, жёсткость, устойчивость • Расчётная схема (модель) конструкции • Геометрические модели: стержень, оболочка, пластинка, массив Сопротивление материалов – это учебная дисциплина о прочности, жёсткости и устойчивости типовых элементов машин и конструкций. Прочность – способность тела сопротивляться внешним воздействиям не разрушаясь (способность сопротивляться разрушению). Под разрушением в широком смысле понимается потеря функционального назначения, или работоспособности, конструкции; в узком – нарушение целостности, связанное с образованием трещин и разделением целого на отдельные части. Во многих случаях ещё на стадии проекта важно предвидеть сам процесс разрушения конструкции и сделать его безопасным. В связи с этим, важным качеством конструкционного материала является его способность сопротивляться растрескиванию, которая характеризуется трещиностойкостью, или вязкостью разрушения. Жёсткость – способность тела сопротивляться изменению геометрических размеров и формы (способность сопротивляться деформированию). В качестве меры жёсткости обычно используется податливость – величина, обратная жёсткости. Значительная податливость (малая жёсткость) характерна для мягких оболочек, амортизаторов, сильфонов, плоских и витых пружин. Следует подчеркнуть, что прочность и жёсткость, то есть сопротивление разрушению и сопротивление деформированию, – это разные понятия и их следует различать3. Устойчивость – способность системы сохранять своё состояние при внешних воздействиях. В сопротивлении материалов рассматривается устойчивость форм равновесия упругих систем. Определяются условия качественного изменения формы под действием нагрузки. Одной из главных задач, которые традиционно решаются при проектировании конструкций, является задача обеспечения прочности при максимальной эффективности (минимальных затратах труда, материала, энергии). Требования прочности и эффективности противоречат друг другу. Первое требует дополнительных материальных затрат, второе – снижения этих затрат. Правильное разрешение этого противоречия, то есть разумное сочетание прочности и эффективности, во многом определяет качество и конкурентоспособность изделий. С точки зрения потребителя, хорошие изделия – это прочные и лёгкие, и вместе с тем долговечные и дешёвые изделия. Человечество решало проблему прочности на протяжении всей истории своего существования. Вначале это делалось на ощупь, эмпирически. Так создавались древние жилища и одежда, орудия труда и охоты. Постепенно накапливался опыт, формировались знания. Накопленные знания и опыт систематизированы в курсе сопротивление материалов. Сопротивление материалов как наука развивается, начиная с XVI века. Первые опыты выполнены Леонардо да Винчи (1452-1519). Первая монография принадлежит перу Г. Галилея (1638). Первый учебник написан Л. Навье (1826). Большой вклад в науку о прочности внесли выдающиеся европейские ученые Л. Эйлер (1707-1783), Дж. К. Максвелл (1831-1879), Ж. Л. Лагранж (1736-1813), Я. Бернулли (1654-1705), Р. Гук (1635-1703), Б. Сен-Венан (1797-1886), а также отечественные ученые А. Н. Крылов (1863-1945), Н. М. Беляев (1890-1944), Д. И. Журавский (1821-1891), В. З. Власов (1906-1958), В. Г. Шухов (1853-1939), В. В. Болотин (1926-2008), В. В. Новожилов (1910-1987), В. И. Феодосьев (1916-1991) и многие другие. В России первый учебник (курс практической механики) написан Н. Ф. Ястржембским4 (1837). Создателем основ современного курса «Сопротивления материалов» (или «Механики материалов и конструкций») по праву считается С.П.Тимошенко5. Первоначально сопротивление материалов разрабатывалось главным образом для решения проблем строительства. В последние десятилетия большое внимание привлекли проблемы прочности объектов машиностроения, энергетики, транспорта. В наше время сопротивление материалов перестаёт быть чисто технической дисциплиной. Задачи, связанные с деформированием и прочностью, успешно ставятся и решаются в биологии и медицине. Большой интерес к сопротивлению материалов проявляют спортивные тренеры. Так, конструкции теннисной ракетки, спортивных лыж, фиберглассового шеста для прыжков в высоту сегодня проектируются индивидуально, с учетом характерных особенностей и возможностей того или иного спортсмена. Проблемы, связанные с обеспечением прочности, возникают у специалистов по гражданской обороне, с разрушением – у инженеров-сапёров. Одни хотят знать, как лучше защитить объект от поражения, другие – как проще разрушить ту или иную конструкцию. И тем и другим, очевидно, следует представлять «игру» внутренних сил, видеть сильные и слабые места несущей конструкции, осознавать последствия разрушений. С процессами деформирования и разрушения связаны многие технологические операции: резание, штамповка, гибка, навивка пружин. Точность этих операций, а значит, и качество изделий в решающей степени определяется жёсткостью системы «станок-приспособление-деталь». Наконец, с задачами сопротивления материалов приходится иметь дело в быту, домашнем хозяйстве. Как правильно нарезать мясо для лангетов и антрекотов, каким образом удалить клеща, как лучше упаковать посылку, какую выбрать модель одежды, обуви – во всех этих, да и во многих других случаях полезно иметь общие представления о прочности и жёсткости. Сопротивление материалов является одной из базовых общеинженерных дисциплин и представляет своеобразный «букварь» – «азбуку и грамматику» расчётов на прочность. Расчёты опираются на математические науки, откуда заимствуется математический аппарат исследования, а также на методы теоретической механики. Изучать сопротивление материалов, не зная законов механики (и прежде всего – статики), просто немыслимо. В расчётах используются данные о физико-механических свойствах конструкционных материалов. Поэтому расчетные модели и методы органически сочетаются с экспериментальными методами исследования, дополняя друг друга. В то же время сопротивление материалов примыкает к большой группе фундаментальных научных дисциплин, изучающих закономерности деформирования и разрушения твёрдых тел: математической теории упругости, теории пластичности и ползучести, механике разрушения. Эти дисциплины следует рассматривать как разделы механики твердого деформируемого тела. Из них черпаются общие методы исследования, более тонкие и точные методы решения отдельных задач. В свою очередь, общие положения и методы сопротивления материалов применяются во многих специальных технических дисциплинах – строительной механике, механике грунтов, основаниях и фундаментах, деталях машин. Решающее влияние на развитие науки о прочности сегодня оказывают ЭВМ. На базе расчётных моделей высокого уровня и систем автоматизированного проектирования (САПР) анализируется влияние геометрических размеров и формы, физико-механических свойств материалов на поведение конструкции. Моделируются предельные и запредельные режимы работы, имитируются экстремальные ситуации и устанавливаются границы возможного. Так, например, на основе цифрового проектирования разработаны последние модели магистральных пассажирских авиалайнеров ТУ-204, Боинг-787, А-380, что позволило сократить число многих натурных физических экспериментов. В то же время следует иметь в виду, что сегодня, как и раньше, решение прикладных задач механики с учетом всей совокупности свойств реального объекта получить невозможно. Поэтому успех любого расчета, включая расчеты на ЭВМ, лежит не столько в применении усложненных расчётных моделей, сколько в интуиции и здравом смысле: умении вникать в суть задачи, находить удачные упрощающие предположения и доводить расчёт до разумного результата. Интуитивное понимание возможных слабостей, присущих материалам и конструкциям, способность предвидеть и предвосхитить неблагоприятные ситуации – наиболее ценные качества специалиста, необходимое условие создания надежных и долговечных машин. Расчётная схема (или модель) конструкции. Путём многочисленных наблюдений и экспериментов установлено, что далеко не все физико-механические свойства и факторы в одинаковой степени влияют на прочность и жёсткость. Некоторые из них являются решающими (первичными), другие – вторичными, а третьи и вовсе не оказывают влияния на поведение конструкции под нагрузкой. Чтобы понять и выделить главные, наиболее существенные факторы, определяющие работу реальной конструкции, необходимо представить особенности её поведения, предвидеть возможные последствия разрушения. Расчёт любой конструкции начинается с обоснования её расчётной схемы. А для этого нужно формализовать проблему и тем самым схематизировать работу конструкции. Реальный объект, освобождённый от второстепенных, малосущественных особенностей, носит название расчётной схемы. Расчётная схема – это своеобразный «скелет» конструкции, отражающий характерные особенности её поведения. В качестве примера рассмотрим грузоподъёмное устройство на рис. 1.1, а и попытаемся построить расчётную схему, выделив при этом главное. Очевидно, что одним из наиболее уязвимых элементов подъёмника является канат. Канат, свитый из отдельных прядей и тонких проволочек, обычно представляется как однородный гибкий элемент, нагруженный сосредоточенной силой. При определении силы натяжения каната, в первую очередь, учитываются вес и сила инерции груза в начальный момент подъёма, а при большой высоте – и вес самого каната. Большое влияние на силу натяжения оказывает способ крепления каната. Так, при соединении конца каната непосредственно со стрелой подъёмника сила натяжения уменьшается в два раза (рис. 1.1, б). Все эти факторы, очевидно, будут решающими. В то же время сила аэродинамического сопротивления, разности давлений, температур, влажности воздуха на разных высотах, цвет, форма груза и другие факторы являются малосущественными, и при оценке прочности каната ими вполне можно пренебречь. Одна и та же конструкция может иметь различные расчётные схемы. В качестве примера рассмотрим два варианта конструкций колеса. Основные нагрузки – силы веса и центробежные силы инерции (на высоких скоростях вращения центробежные силы инерции достигают значительных величин и с ними приходится считаться). На рис. 1.2 показано спицевое колесо велосипеда. Колесо представляет собой предварительно напряжённую пространственную стержневую систему. Для передачи крутящего момента спицы устанавливаются с некоторым эксцентриситетом к оси вращения колеса. Втулка как бы висит на предварительно натянутых проволочных спицах. С учётом усилий начального натяжения при нагружении колеса спицы работают на растяжение, а обод – на сжатие и изгиб. Характерным дефектом спицевого колеса является «восьмёрка». Известно, что для устранения «восьмёрки» следует ослабить одни и подтянуть другие спицы, при этом лишь нужно знать – какие. А для этого следует хорошо представлять зависимость формы деформирования обода колеса от усилий натяжения спиц. Совершенно иначе ведёт себя колесо автомобиля, точнее колёсный диск (рис. 1.3). Ступица колеса связана с ободом при помощи пяти лопастей. При нагружении колеса как лопасти, так и обод испытывают не только деформации растяжения и изгиба, но и деформации сжатия. Передача крутящего момента сопровождается изгибом лопастей. Очевидно, что расчётные схемы, отражающие характерные особенности поведения колеса велосипеда и колеса автомобиля, будут различными. Геометрические модели, или модели формы. Построение расчётной схемы обычно начинается со схематизации геометрии конструкции. Из всего многообразия мыслимых геометрических форм выделяются наиболее характерные формы, которые приводятся к расчётным схемам стержня, оболочки и массива. Стержень, или брус – удлинённое тело, одно из измерений которого (длина) много больше двух других. Различают поперечное сечение и ось стержня (геометрическое место точек, являющихся центрами тяжести поперечных сечений). В зависимости от формы оси бывают прямые, кривые, пространственно изогнутые стержни (например, витые пружины). Стержень может иметь постоянное либо переменное вдоль оси сечение. Стержень, работающий на кручение, называется валом, на изгиб – балкой. На основании расчётной схемы стержня выполняется расчёт болтов, колонн, стоек, арок (рис. 1.4). Спиральное сверло, винт самолёта представляют собой естественно закрученный стержень. Оболочка – тело, одно из измерений которого (толщина) много меньше двух других (рис. 1.5). Оболочка, «развёрнутая» в плоскость, носит название пластинки. На основании расчётной схемы оболочки выполняется расчёт тонкостенных труб, сосудов давления, фюзеляжей летательных аппаратов, перекрытий зданий и сооружений, одежды, обуви, надувной мебели6. Массив – пространственное тело, три размера которого близки между собой. Расчёт массивных тел выполняется методами теории упругости либо численными методами. Одним из наиболее эффективных численных методов по праву считается метод конечных элементов (МКЭ)7. Следует подчеркнуть, что в основу представленной классификации положены не абсолютные, а относительные геометрические размеры тел. Поэтому к стержням можно отнести как элементы крупногабаритных строительных конструкций (например, телебашни, колонны зданий), так и мелкие бытовые предметы (скажем, карандаши, швейные иглы). К оболочкам, в свою очередь, относятся также и купола соборов, и пеналы для карандашей. В курсе «Сопротивление материалов» традиционно рассматриваются стержни и стержневые системы, а также простейшие пластинки и оболочки. Контрольные вопросы 1. Какие задачи решаются в курсе «Сопротивление материалов»? 2. Что такое прочность и жёсткость? Что такое податливость? 3. Покажите, как строится расчётная схема конструкции. ЛЕКЦИЯ 2 МОДЕЛИ МАТЕРИАЛА. СИЛЫ ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ • Основные гипотезы о деформируемом теле • Свойства упругости и пластичности • Классификация внешних сил • Внутренние силовые факторы • Напряжение полное, нормальное и касательное • Деформации линейные и угловые • Основные принципы сопротивления материалов Схематизация структуры и свойств материала. В качестве конструкционных материалов в технике широко используются металлы, керамики, пластмассы и композиты. Их внутренняя структура, физико-механические свойства весьма разнообразны. Однако в расчётах на прочность особенностями структуры материала обычно пренебрегают. Модель материала наделяется некоторыми осреднёнными идеализированными свойствами. Для этого вводится ряд гипотез. • Гипотеза сплошности (или непрерывности) – дискретная структура материала в виде атомов, молекул, кристаллов, а также дефекты структуры в виде пустот и трещин игнорируются. Независимо от микроструктуры считается, что материал непрерывным образом заполняет весь выделенный ему объём. • Гипотеза однородности – свойства материала в любой точке объёма считаются одинаковыми. По своим деформационным и прочностным свойствам материалы делятся на изотропные, механические свойства которых не зависят от направления, и анизотропные, имеющие разные механические свойства по разным направлениям. Изотропными материалами традиционно считаются металлы, кирпич, бетон, стекло. Анизотропными – древесина, бумага, ткани, биологические материалы. Под действием внешних сил любое тело деформируется. После снятия нагрузки геометрические размеры тела восстанавливаются полностью или частично. Способность тела восстанавливать первоначальные размеры и форму после снятия нагрузки называется упругостью. Способность тела приобретать остаточные деформации после снятия нагрузки называется пластичностью. В отличие от упругих деформаций пластические деформации носят необратимый характер8. При решении практических задач материал обычно схематизируется в виде непрерывной, однородной и изотропной среды с упругими свойствами. В ряде задач, помимо чисто упругих свойств, учитываются упруго-пластические свойства и анизотропия материала. Внешние силы и их классификация, модели нагружения. Сила (в механике) – это векторная величина, являющаяся мерой механического взаимодействия тел. Внешние силы, действующие на элементы конструкций, вне зависимости от их природы, делятся на объёмные и поверхностные. Объёмные, или массовые, силы приложены к каждой частице тела. К ним относятся силы тяжести, силы инерции, силы электромагнитного притяжения. Они характеризуются интенсивностью: силой, отнесённой к единице объёма. В системе СИ интенсивность объёмных сил измеряется в , в технической системе единиц измерения – в (). Поверхностные силы возникают в результате взаимодействия тел со средой (например, действие давления жидкости или газа на оболочку сосуда) либо с другими телами. В последнем случае говорят о контактных нагрузках. Если размеры площадки, на которой действует поверхностная нагрузка, сопоставимы с линейными размерами тела, то такая нагрузка трактуется как распределённая. Интенсивность распределённой нагрузки измеряется в или в (). Распределённые поверхностные силы, как правило, схематизируются в виде нагрузки, распределённой по линии, так называемой погонной нагрузки , где – ширина площадки (рис. 2.1, а). Измеряется в или в (). Если размеры площадки, по которой происходит передача нагрузки, малы по сравнению с характерными размерами тела, то такая площадка стягивается в точку, а распределённые силы заменяются их равнодействующей, и расчёт ведётся на действие сосредоточенной силы (рис. 2.1, б)9. По характеру приложения нагрузки делятся на статические, динамические и циклические. Статическими считаются медленно изменяющиеся во времени нагрузки. К ним можно отнести силы затяжки болтов при закручивании гаек, силы собственной тяжести по мере возведения зданий, силы давления на плотину в процессе наполнения водохранилища. Такая система в любой момент времени нагружения находится в равновесии. Динамические нагрузки – обычно это ударные, или «быстрые», нагрузки. Они характеризуются высокой скоростью приложения. Например, гидроудар в трубах, жёсткая посадка самолёта, ударная воздушная волна при взрыве. Циклическими нагрузками называются периодически изменяющиеся во времени нагрузки. Например, пульсации давления жидкости в трубопроводе или давления крови в аорте сердечно-сосудистой системы. Во многих случаях разрушение конструкций связано с каким-то одним наиболее характерным фактором. Например, корабли «ломаются» на высоких волнах во время шторма, трубопроводы – при «забросах» внутреннего давления, связанных с гидроударами. В этих условиях в расчёт берутся максимальные значения параметров, отвечающих экстремальным нагрузкам. В то же время для некоторых конструкций разрушение наступает лишь при неблагоприятном стечении нескольких обстоятельств. Скажем, для здания – это одновременное действие весовых, ветровых или сейсмических нагрузок. Причём и сами нагрузки и соотношения между ними изменяются во времени. В этих условиях модель нагружения должна отражать весь комплекс нагрузок, включая последовательность их приложения. Перемещения и деформации. В природе нет абсолютно жестких тел. Под действием внешних сил тело деформируется, то есть изменяет свои первоначальные форму и размеры. В результате чего его отдельные точки получают перемещения (рис. 2.2,а). Обозначим – вектор полного перемещения точки ; , , – проекции вектора на оси координат x, y, z. Заметим, что при деформировании тела перемещения его отдельных точек получаются различными. Как следствие – изменяются расстояния между точками. В качестве меры деформирования, характеризующей интенсивность изменения размеров и формы тела, используются величины деформаций10. Выделим внутри тела отрезок длиной (рис. 2.2,б). Пусть в результате деформирования точки и перемещаются в положения и , длина отрезка увеличивается на . Линейной деформацией в точке a в направлении ab называется предел отношения вида: . (2.1) Линейные деформации – величины безразмерные или выраженные в процентах. Рассмотрим прямой угол (рис. 2.2,в). После нагружения тела этот угол изменится и станет равным . Угловой деформацией, или углом сдвига, в точке между отрезками и называется предел разности углов: . (2.2) Угловые деформации измеряются в радианах или градусах. Линейные и угловые деформации в точке тела в различных направлениях и плоскостях, как правило, различные. Поэтому при анализе деформирования следует указывать не только координаты точки, но также ориентацию отрезков и плоскостей. Система линейных и угловых деформаций и по трём взаимно перпендикулярным направлениям и плоскостям, проходящим через заданную точку тела, определяет деформированное состояние в точке. Как правило, деформации – величины малые и составляют порядка 10-4–10-3. Напряжения. Существование заданной формы тела определяется внутренними связями между элементарными частицами. При изменении расстояния между частицами появляются дополнительные внутренние силы. В результате под действием внешних сил тело находится в напряжённом состоянии. Для того чтобы проанализировать распределение внутренних сил, нужно «заглянуть» внутрь тела. Для этого разрежем напряжённое тело на две части и рассмотрим левую часть (рис. 2.3, слева). В качестве меры интенсивности внутренних сил, возникающих при деформировании тела, принимается напряжение: , (2.3) где – равнодействующая внутренних сил, p – вектор полного напряжения в точке К на площадке . Напряжение – это внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади. Величина векторная, она «привязана» к некоторой точке тела и зависит от направления. Измеряется в МПа (в системе СИ) или в кГ/см2 (в технической системе). Известно, что . Раскладываем вектор полного напряжения p на составляющие (рис. 2.3, справа). Обозначим – нормальное напряжение, и – касательные напряжения. При этом . Для того чтобы зафиксировать положение площадки, на которой действует напряжение, используются подстрочные индексы. Нормальные напряжения обозначаются одним индексом - он указывает нормаль к площадке. В обозначениях касательных напряжений используются два индекса: первый фиксирует направление вектора напряжения, второй – направление нормали к площадке, на которой действует касательное напряжение. Если через ту же точку К провести площадки, перпендикулярные осям y и z, то и на этих площадках будут действовать как нормальные, так и касательные напряжения. Полная система напряжений и на любых трёх взаимно перпендикулярных площадках определяет напряжённое состояние в точке пересечения этих площадок. Следует подчеркнуть, что деформации и напряжения – это фундаментальные понятия механики, основные величины, характеризующие жёсткость и прочность конструкции. Не случайно изобретателю понятий «напряжение» и «деформация» французскому механику Коши11 в 1822 году был пожалован титул барона. Внутренние силовые факторы. Рассмотрим стержень, нагруженный равновесной системой внешних сил (рис. 2.4). Рис. 2.4 По заданным внешним силам определим внутренние силы – силы взаимодействия отдельных частей стержня. Для этого воспользуемся методом сечений. Мысленно разрежем стержень плоскостью, ортогональной его осевой линии. По принципу действия и противодействия распределённые по сечению силы, действующие на правую и левую части, равны по величине и противоположны по направлению. Выбрав точку приведения (обычно это центр тяжести поперечного сечения), представим силы взаимодействия в виде главного вектора и главного момента (рис. 2.4). Закон распределения внутренних сил по поперечному сечению не определяем. Далее проектируем вектор и вектор на оси ортогональной системы координат x, y, z (рис. 2.5). Ось x направляем по нормали к плоскости сечения, оси y и z совмещаем с сечением. Компоненты векторов и (2.4) носят название внутренних силовых факторов: • N – продольная, или нормальная, сила. • Qy и Qz – поперечные, или перерезывающие, силы. • – крутящий момент. • My и Mz – изгибающие моменты. Рассмотрим отсечённую часть стержня. Поскольку стержень целиком представляет собой равновесную систему, то, очевидно, и отсечённая часть, с учётом сил взаимодействия, будет в равновесии. То есть внутренние и внешние силы образуют самоуравновешенную пространственную систему сил. В этих условиях для определения шести внутренних силовых факторов необходимо и достаточно шести уравнений равновесия. Графики распределения внутренних силовых факторов по длине стержня называются эпюрами. В свою очередь, внутренние силовые факторы являются результирующими нормальных и касательных напряжений, действующих в поперечном сечении стержня, и выражаются при помощи интегральных зависимостей: , , , ,, . Здесь и – координаты элементарной площадки . Принципы сопротивления материалов. Известны три общих принципа, положенных в основу сопротивления материалов: принцип начальных размеров, принцип суперпозиции и принцип Сен-Венана. • Принцип начальных размеров. Подавляющее большинство реальных конструкций являются достаточно жёсткими. При деформировании перемещения их отдельных точек малы по сравнению с основными геометрическими размерами. Это обстоятельство позволяет при анализе равновесия упругими перемещениями пренебречь и составить уравнения равновесия для недеформированного состояния. Например, для схемы на рис. 2.6 условие равновесия моментов относительно точки имеет следующий вид: , . (2.6) Поскольку перемещение , то, очевидно, реактивный момент . Системы, которые подчиняются принципу начальных размеров, называются геометрически линейными системами. С другой стороны, если для стойки на рис. 2.7 величины e и f одного порядка (обе малые), то тогда . В этом случае внутренние усилия будут существенно зависеть от упругих перемещений, поэтому принцип начальных размеров здесь неприменим. Такие системы носят название геометрически нелинейных систем (перемещения связаны с внешней нагрузкой нелинейными зависимостями). Следует подчеркнуть, что порядок малости перемещений определяется относительно характерных геометрических размеров тела. Например, перемещения точек поверхности Земли в результате температурных воздействий могут составлять 50-100 км. Однако по сравнению с радиусом Земли R = 6400 км эти перемещения являются малыми. Поэтому при анализе процессов деформирования земной коры, так называемых тектонических движений, можно использовать принцип начальных размеров. Системы, для которых соблюдается условие пропорциональности между перемещениями и внешними силами, называются линейными системами. Линейные системы подчиняются принципу суперпозиции, или принципу наложения. • Принцип суперпозиции, или принцип независимости действия сил. Действие суммы сил равняется сумме их действий: . (2.7) Этот результат легко обобщить на случай любого числа внешних сил. Согласно принципу суперпозиции результирующий эффект не зависит от порядка приложения внешних сил. Заметим, не всякая система обладает линейными свойствами, поэтому далеко не всегда подчиняется принципу суперпозиции. Принцип Сен-Венана. Он справедлив для широкого класса задач, но не имеет доказательства в общем виде. Такие принципы называются эвристическими. Согласно принципу Сен-Венана12 особенности приложения внешних сил проявляются, как правило, в непосредственной близости от места их приложения. Эти особенности быстро затухают. На рис. 2.8 показаны формы деформирования резиновых полос в зависимости от схемы нагружения. Путём различного раскроя «законцовок» удаётся приложить три разные, но статически эквивалентные, то есть имеющие одинаковые равнодействующие, системы внешних сил. В первом случае (рис. 2.8, слева) нагрузка равномерно распределяется по ширине полосы. Во втором (рис. 2.8, в центре) – сосредоточена в центре, а в третьем (рис. 2.8, справа) – рассредоточена по краям. Из сравнительного анализа форм деформирования видно, что различия в картинах полос проявляются непосредственно в окрестности приложения внешних сил и не превышают характерных размеров поперечного сечения. Это значит, что при расчёте элементов конструкций достаточно учитывать равнодействующие внешних сил, абстрагируясь от особенностей их приложения. Контрольные вопросы 1. Сформулируйте основные гипотезы о деформируемом теле. 2. Какие материалы называются изотропными? 3. Какие материалы называются анизотропными? 4. Дайте определение свойства упругости и пластичности. 5. Определите размерность объёмных и поверхностных сил. 6. Чем отличаются статические нагрузки от динамических? 7. Дайте определение погонной нагрузки. 8. Дайте определение линейных и угловых деформаций. 9. Что такое деформированное состояние в точке? 10. Что такое напряжение? Укажите размерность. 11. Определите нормальное и касательное напряжения. Как они обозначаются? 12. Что понимается под напряжённым состоянием в точке? 13. Дайте определение внутренних силовых факторов. 14. Что такое эпюра внутренних силовых факторов? 15. Назовите общие принципы, положенные в основу сопротивления материалов. 16. Сформулируйте принцип начальных размеров. 17. Какие системы называются линейными системами? 18. Сформулируйте принцип суперпозиции, или принцип независимости действия сил. 19. Сформулируйте принцип Сен-Венана. ЛЕКЦИЯ 3 РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ • Перемещения и деформации • Деформации продольные и поперечные • Коэффициент Пуассона • Напряжения в поперечных и наклонных сечениях • Закон Гука • Модуль упругости • Расчёт упругих перемещений • Жёсткость при растяжении-сжатии • Примеры расчета Растяжение-сжатие – это такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные, или продольные, силы. Положительные нормальные силы соответствуют растяжению, отрицательные – сжатию13. Перемещения и деформации. При растяжении-сжатии размеры стержня изменяются, его поперечные сечения получают перемещения в осевом направлении . Принято считать, что функция перемещений не зависит от координат y и z. То есть поперечные сечения, плоские до нагружения, остаются плоскими и ортогональными к оси стержня и после нагружения. Это положение известно как гипотеза плоских сечений (или гипотеза Бернулли14). Эта гипотеза подтверждается экспериментально. Линейная деформация связана с функцией перемещений следующей зависимостью (рис. 3.1): . (3.1) Здесь – абсолютное удлинение, или приращение длины отрезка dx. Коэффициент Пуассона. Следует иметь в виду, что при растяжении-сжатии изменяются и поперечные размеры стержня. При растяжении стержень не только удлиняется в продольном направлении, но и укорачивается в поперечном направлении, он становится длиннее и тоньше. При сжатии наоборот: стержень становится короче и толще (рис. 3.2). Это явление носит название эффекта Пуассона15. Вычислим продольную и поперечную деформации при растяжении стержня. Очевидно, что , . (3.2) Отношение поперечной деформации к продольной деформации носит название коэффициента Пуассона: или . (3.3) Коэффициент Пуассона является одной из основных характеристик упругих свойств материала. Для изотропных материалов (табл. 3.1). Для парафина, резины ; для коры пробкового дерева . Очевидно, этим и объясняется, почему резина применяется в качестве уплотнительных элементов (сальников) для герметизации сосудов под давлением; а пробка – для герметичной укупорки бутылок шампанского16. Напряжения в поперечных и наклонных сечениях. Следствием гипотезы плоских сечений является равномерное распределение нормальных напряжений в поперечном сечении. Поскольку , то . (3.4) Здесь A – площадь поперечного сечения. При растяжении-сжатии однородного стержня в каждой точке реализуется так называемое одноосное напряжённое состояние. При этом в одной и той же точке величины напряжений оказываются различными в зависимости от ориентации секущей площадки. В наклонной площадке, составляющей угол с поперечным сечением, наряду с нормальными напряжениями , действуют и касательные напряжения . Для определения напряжений и рассмотрим равновесие элемента стержня, вырезанного поперечным и наклонным под углом сечениями (рис. 3.3). Запишем уравнения равновесия: : , : . (3.5) Здесь – площадь наклонного сечения. Находим: и . (3.6) Откуда при получим: и . Таким образом, при одноосном напряжённом состоянии наибольшие касательные напряжения получаются на площадках с углами . Набольшие нормальные напряжения – на площадке с углом . На площадке с углом напряжения . Причём на взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по модулю и отличаются лишь знаком. Закон Гука. Эксперименты показывают, что в области малых деформаций подавляющее большинство материалов проявляют линейно упругие свойства. При растяжении-сжатии стержня нормальные напряжения прямо пропорциональны линейным деформациям: . (3.7) Здесь E – модуль упругости, или модуль Юнга17 первого рода. Он определяется экспериментально и измеряется в ГПа или кГ/см2 (1 ГПа = 103 МПа = 109 Н/м2). Модуль упругости является одной из важнейших физических констант материала, он характеризует его жёсткость. Чем больше величина E, тем более жёстким является материал. Как правило, при растяжении и при сжатии . Исключение составляют пористые материалы, для них Eр < Eс. Формально растяжение отличается от сжатия лишь знаком напряжения и деформации : при растяжении – плюс, при сжатии – минус. Зависимость (3.7) носит название закона Гук. Закон Гука обобщает результаты многочисленных экспериментов на пружинах и других упругих элементах, изготовленных из различных материалов18. На рис. 3.4 дано сравнение модулей упругости различных материалов, которые делятся на три основных класса: металлы, полимеры и керамики («керамос», греч. – глина). Композиты – это комбинация двух и более компонентов из этих трёх классов. Здесь SiC – карбид кремния (карборунд), Al2O3 – оксид алюминия (глинозём), Si3N4 – нитрид кремния, ZrO2 – диоксид циркония. Констатируем, что по характеристикам жёсткости керамики и композиты сопоставимы с металлами. Полимеры заметно уступают остальным материалам. Наиболее податливым («мягким») материалом является резина. В табл. 3.1 приведены значения упругих и массовых характеристик ( – модуль упругости, – коэффициент Пуассона, – плотность). Для сталей, в зависимости от марки, термической и механической обработки, разброс значений составляет 10%. Ещё в более широких пределах изменяются упругие характеристики полимеров, здесь указаны средние значения. Наиболее жёсткими искусственными материалами считаются полимерные фуллерены – композиты на основе углеродных нанотрубок. Таблица 3.1 Материал , ГПа Сталь Медь Алюминий и его сплавы Бетон Кирпичная кладка Стекло Полимеры Древесина (вдоль волокон) Резина Алмаз Фуллерены 200 110…120 70…80 4…40 0,1…7,8 50…60 10 8…15 (1…10) 10-3 1050 2000…3000 0,25…0,33 0,31…0,35 0,3 0,1…0,2 0,25 0,24…0,27 - 0,5 0,5 - - 7850 8500 2700 2000…2200 1800 2550 900…2700 550 900…2000 3500 1680 Расчёт упругих перемещений. Предварительно вычислим деформации, соответствующие действию нормальных напряжений и изменению температуры . Для этого воспользуемся принципом суперпозиции. Представим линейные деформации в виде алгебраической суммы силовой и температурной составляющих: . (3.8) Здесь – разность температур, – температурный коэффициент линейного расширения. В табл. 3.2 приведены приближённые значения коэффициентов . К материалам с низким значением относятся ситаллы, бетонокерамзиты, фарфор, гранит. Существуют материалы, у которых коэффициенты меньше нуля. К ним, в частности, относятся органические и углеродные волокна. Такие волокна при нагреве не увеличивают, а наоборот, уменьшают свою длину, что позволяет на базе этих волокон синтезировать однонаправленные структуры с ярко выраженной анизотропией термоупругих свойств. Так, например, для органопластика Kevlar49/pr-286 – вдоль волокон, – поперёк волокон. Такие однонаправленные структуры используются при создании многослойных волокнистых структур с размеростабильными и размероактивными в заданных направлениях свойствами. Они, в частности, находят применение при создании прецизионных конструкций и перспективных двигателей (termo-actuators). Таблица 3.2 Материал Сталь Медь Алюминий и его сплавы Титан Бетон Кирпичная кладка Стекло Древесина (вдоль волокон) Древесина (поперёк волокон) 10…15 16,7 20…25 8,5 7…11,5 5,5 8,5 2…6 50…60 Далее выражаем деформации через функцию перемещений , а напряжения через нормальную силу N(x). Для этого подставляем в уравнение (3.8) формулы (3.1) и (3.4). Получим . (3.9) Дифференциальное уравнение (3.9) решаем методом непосредственного интегрирования. Находим , (3.10) где C – постоянная интегрирования, которая определяется из граничных условий задачи. Граничные условия отражают особенности закрепления стержня. При и приращение длины (удлинение) стержня . (3.11) Здесь – жёсткость поперечного сечения на растяжение-сжатие. Пример 1. Стержень длиной (рис. 3.5) вращается относительно точки с постоянной угловой скоростью . Определить напряжения и перемещения, если известны – плотность материала, – модуль упругости. Для расчёта вращающегося стержня воспользуемся принципом Д′Аламбера19. Решаем задачу статики, предварительно приложив силы инерции. Обозначим массу единицы длины стержня , где A – площадь поперечного сечения. Центробежная сила инерции определяется как произведение массы на центростремительное ускорение . Интенсивность инерционной силы . Нормальная сила в поперечном сечении стержня определяется из уравнения равновесия отсечённой части стержня: . Максимальное нормальное напряжение , где – линейная скорость концевого сечения. Таким образом, нормальные напряжения зависят лишь от плотности материала и линейной скорости конца стержня. Сечение с координатой , в котором возникают максимальные нормальные напряжения, считается опасным сечением. Функция перемещений имеет вид Очевидно, что при x = 0 перемещение u = 0. Следовательно, С = 0. В результате перемещение конца стержня определяется формулой . Любопытная особенность: напряжения и перемещения не зависят от площади поперечного сечения A. Результаты решения используем для сравнительной оценки напряжений двухлопастного ротора ветровой электростанции. Рассмотрим два варианта конструкции ротора: из композита и из стали. Примем: длина лопасти L = 50 м, число оборотов n = 30 об/мин. Удельный вес стеклопластика , стали . Максимальные нормальные напряжения, обусловленные вращением ротора, равны: , . Констатируем, что максимальные напряжения в стальной лопасти почти в четыре раза больше, чем в композитной. Пример 2. Колонна переменного сечения (рис. 3.6) нагружена сосредоточенной силой и собственным весом , где – удельный вес. Из условия равенства нормальных напряжений по длине стержня требуется определить закон изменения площади поперечного сечения . Находим нормальную сжимающую силу. Для этого составляем уравнение равновесия отсечённой части стержня длиной . В результате получим . Нормальные напряжения в поперечном сечении равны Дифференцируя обе части равенства по , находим . После интегрирования получим или . Постоянную интегрирования находим из граничных условий: при площадь . Откуда . Итак, функция вида удовлетворяет условию равнонапряжённости – равенству напряжений в поперечных сечениях, расположенных по длине стержня . Такой стержень называется стержнем равного сопротивления растяжению-сжатию. Все элементы стержня имеют одинаковый коэффициент запаса прочности. С точки зрения материалоёмкости равнонапряжённые конструкции являются наиболее эффективными. Очевидно, что влияние собственного веса следует учитывать при расчёте длинных стержней (например, высотных зданий, дымовых труб, пилонов подвесных мостов, телебашен). На практике при аппроксимации геометрии стержня равного сопротивления обычно используются усечённая пирамида (усеченный конус) или ступенчатый профиль (рис. 3.6). Контрольные вопросы 1. Какой вид нагружения называется растяжением-сжатием? 2. Сформулируйте закон Гука при растяжении-сжатии. 3. Что такое коэффициент Пуассона? 4. Как изменяются размеры поперечного сечения при растяжении и при сжатии стержня? 5. Объясните физический смысл модуля упругости. 6. Сформулируйте гипотезу плоских сечений. 7. Какие напряжения возникают в поперечных и наклонных сечениях при растяжении и сжатии стержня? 8. Укажите ориентацию площадок, на которых действуют максимальные нормальные и касательные напряжения? 9. Что такое жесткость поперечного сечения на растяжение-сжатие? От чего она зависит? 10. Назовите материалы, обладающие наибольшей жесткостью. 11. Назовите материалы с отрицательными температурными коэффициентами линейного расширения. Как используются эти материалы? 12. Какой стержень называется стержнем равного сопротивления растяжению-сжатию? В чем достоинство такого стрежня? ЛЕКЦИЯ 4 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ • Механические характеристики • Характеристики прочности и пластичности • Диаграмма растяжения • Закон разгрузки и повторного нагружения • Влияние высоких и низких температур на механические свойства • Ползучесть и релаксация напряжений В четвёртой лекции рассматриваются механические характеристики, описывающие прочностные и деформационные свойства конструкционных материалов. Для определения характеристик прочности и деформативности проводятся испытания стандартных образцов при помощи специального оборудования. Основными видами испытаний являются статические испытания на растяжение и на сжатие. Для того чтобы результаты различных испытаний были сопоставимы друг с другом, условия испытаний строго регламентируются ГОСТом. На рис. 4.1 показан цилиндрический образец, предназначенный для испытаний на растяжение. Образец имеет рабочую часть длиной и утолщения (головки), предназначенные для крепления образца в захватах испытательной машины. Различают длинные образцы с отношением и короткие – , где – диаметр поперечного сечения. Для испытаний на сжатие используются короткие образцы, высота которых не более чем в два раза превышает диаметр. Диаграмма растяжения. В процессе испытаний одному из концов образца принудительно сообщается медленное движение со скоростью и фиксируется возникающая при этом растягивающая сила . График зависимости приращения длины рабочей части от силы носит название диаграммы растяжения образца. В качестве примера на рис 4.2 представлена диаграмма растяжения образца малоуглеродистой стали. На диаграмме различаются следующие характерные участки: ОА – участок упругости – это линейный участок, в пределах которого выполняется закон Гука; АВ – участок (или площадка) текучести, здесь удлинение образца происходит без заметного изменения нагрузки; ВС – участок упрочнения, образец оказывает дополнительное сопротивление увеличению нагрузки. Усилие снова растёт и достигает некоторого максимального значения. При в некоторой (наиболее слабой) части образца зарождается так называемая «шейка». Дальнейшее удлинение образца определяется местными деформациями в области шейки и сопровождается падением нагрузки. Падение нагрузки обусловлено уменьшением площади поперечного сечения в области шейки. В точке происходит разрыв образца. Если образец не доводить до разрушения и в некоторой точке диаграммы сбросить нагрузку, то график разгрузки отображается прямой параллельной . Разгрузка подчиняется закону упругости. Полное удлинение к моменту начала разгрузки складывается из упругой, исчезающей при разгрузке, и остаточной, или пластической составляющей: . (4.1) Очевидно, что при разгрузке в области линейно упругих деформаций (участок ) . При повторном нагружении образца график нагрузки идёт по прямой далее – по кривой . Материал «работает» упруго вплоть до точки , предел текучести увеличивается. Улучшение упругих свойств материала в результате предварительного пластического деформирования носит название наклёпа, или деформационного упрочнения20. Механические характеристики материала. Следует различать прочность образца и прочность материала. На рис. 4.2 представлена характеристика образца, построенная в координатах и . Характеристика образца зависит от его размеров и формы. Для того чтобы исключить влияние геометрических размеров образца и получить характеристику прочности материала, диаграмму растяжения (рис. 4.2) перестраивают в координатах и , где и – площадь поперечного сечения и длина рабочей части образца до испытания. Полученная диаграмма растяжения21 (рис. 4.3) является характеристикой материала. По ней определяются значения параметров, характеризующих его механические свойства: – предел пропорциональности – наибольшее напряжение, до которого выполняется закон Гука. В пределах закона Гука пропорционален отношению , где – модуль упругости. Следовательно, чем больше угол , тем больше величина , тем более жёстким является материал; – предел текучести – напряжение, при котором материал течёт. В тех случаях, когда на диаграмме отсутствует выраженная площадка текучести, за предел текучести принимается напряжение , соответствующее остаточной деформации , или , соответствующее . При растяжении предел текучести обозначается , при сжатии – ; – предел прочности, или временное сопротивление – отношение наибольшей силы, которую способен выдержать образец, к первоначальной площади поперечного сечения. При испытании на растяжение предел прочности обозначается , на сжатие – . Существенно, что для пластичных материалов не является напряжением, при котором разрушается образец. Напряжения и являются основными показателями прочности материала. Помимо прочности, важным качеством любого материала является его способность к пластическим деформациям. Мерой пластичности служат величины и . (4.2) Здесь и – соответственно относительные остаточные удлинение и сужение образца после разрыва, и – длина рабочей части и площадь поперечного сечения шейки после разрыва. Чем больше величины и , тем более пластичным считается материал. Одним из наиболее пластичных материалов является золото. К числу весьма пластичных материалов относятся малоуглеродистая сталь, отожженная медь, алюминий, латунь. Менее пластичными являются дюраль и бронза. К числу слабо пластичных материалов относятся многие легированные стали. Таблица 4.1 Материал Пределы текучести, МПа Пределы прочности, МПа ,% Сталь 3 Сталь 40ХНВ закалённая Чугун серый СЧ28 Титан технический Дюраль Бетон Кирпич Стекло 230 1720 - 520 340 - - - 230 2100 - 520 340 - - - 380…470 2050 280 600 540 0,14…2,5 0,7…3 30…1000 - - 640 - - 0,95…43 7,5…100 - 24…27 10 0,6 23 13 0,45 - - В табл. 4.1 приведены характеристики прочности и пластичности некоторых материалов. В зависимости от и различают так называемые пластичные и хрупкие материалы. В отличие от пластичных материалов хрупкие материалы сохраняют упругие свойства вплоть до момента разрушения. Такие материалы разрушаются без заметных остаточных деформаций. Величина не превышает 2…5%. К хрупким материалам относятся чугун, стекло, бетон, керамика. Для них, как правило, предел прочности на сжатие выше, чем на растяжение (). Так, для чугуна отношение = 0,2…0,4; для керамики 0,1…0,2. В свою очередь, пластичные материалы (малоуглеродистая сталь, титан, дюраль) имеют близкие значения пределов текучести на сжатие и на растяжение, поэтому считается, что . Довести образец пластичного материала при сжатии до разрушения обычно не удаётся (он просто сплющивается). На рис. 4.4 дано сопоставление пределов прочности металлов, полимеров, керамики и композитов. Видно, что прочность лучших сталей достигает МПа и более. В качестве альтернативы представлены новые конструкционные материалы. К ним, в частности, относятся стеклянные и углеродные волокна. Эти волокна используются в качестве арматуры в композитах. Современные композиты, армированные тонкими волокнами диаметром 5…200 мкм, имеют прочность на разрыв вдоль волокон примерно того же порядка, что и высоколегированные стали, а удельный вес – в 7...8 раз ниже (рис. 4.5). Это обстоятельство и способствовало их широкому распространению (прежде всего в авиации, ракетной и космической технике, судостроении). Рис. 4.5 При подборе подходящего конструкционного материала, особенно для облегчённых конструкций, приходится учитывать не только показатели прочности, но и весовые (массовые) характеристики. С этой целью на рис. 4.5 приведены сравнительные характеристики плотности основных материалов. Наряду с разрушающими методами исследования для оценки качества материала применяются и неразрушающие методы испытаний. Наибольшее распространение среди них получила проба твёрдости. Твёрдость – это способность материала сопротивляться проникновению в него посторонних тел. Число твёрдости является мерой качества поверхностного слоя, определяется по размерам отпечатка при вдавливании шарика (проба по Бринелю) или алмазного конуса (проба по Роквеллу). Влияние температуры на механические свойства материалов. Эксперименты показывают, что механические свойства материалов зависят от температуры. Нормальная температура считается 20 °С. В реальных условиях рабочие температуры отличаются от нормальных. Есть конструкции, которые работают в условиях криогенных температур (): например, резервуары и трубопроводы, заправленные жидкими газами. Есть конструкции, которые, напротив, работают в условиях высоких температур (до ). Это прежде всего детали газотурбинных и ракетных двигателей. Каждый материал по-своему реагирует на изменение температуры. Вместе с тем имеют место некоторые общие закономерности. Считается, что при повышении температуры характеристики пластичности ( и ) большинства материалов увеличиваются, а показатели прочности ( и ), наоборот, уменьшаются. С понижением температуры наблюдается обратное явление – «охрупчивание» материала, он становится хрупким и ломким. При этом показатели прочности несколько растут, а характеристики пластичности падают22. Следует иметь в виду, что при повышенных температурах и длительных нагрузках (например, вес конструкции или давление пара в силовых установках) конструкционные материалы проявляют качественно новые свойства, связанные с фактором времени. Это свойства ползучести и релаксации напряжений. Ползучестью называется рост деформаций во времени при постоянных напряжениях. Причём чем выше напряжения, тем интенсивней развивается процесс ползучести. Для большинства металлов с явлением ползучести приходится считаться лишь при повышенных температурах. Вместе с тем есть материалы, ползучесть которых проявляется уже при комнатных температурах: свинец, полимеры, древесина, бетон23. Релаксация напряжений – самопроизвольное уменьшение во времени напряжений при неизменной деформации24. Явление релаксации можно наблюдать на примере затяжки болтовых соединений. При затяжке болтов имеют место напряжения, обусловленные упругими деформациями. В результате релаксации эти напряжения постепенно уменьшаются. Следствием чего является ослабление усилий затяжки. Наиболее интенсивно это явление проявляется в соединениях «горячих» деталей. Например, в турбинах и в паропроводах в результате ослабления фланцевых соединений наблюдается утечка пара («пропаривание» фланцев). Контрольные вопросы 1. Постройте диаграмму растяжения образца малоуглеродистой стали и укажите её характерные участки. 2. Назовите характеристики прочности материала. 3. Какие величины характеризуют пластические свойства материала? Как они определяются? 4. Чем пластичные материалы отличаются от хрупких материалов? 5. Что такое ползучесть? 6. Что такое релаксация напряжений? 7. Что такое предел пропорциональности, предел текучести, предел прочности материала? 8. Чем диаграмма растяжения образца отличается от диаграммы растяжения материала? 9. Приведите примеры пластичных и хрупких материалов. 10. Сопоставьте весовые и прочностные характеристики металлов, керамики, полимеров и композитов. ЛЕКЦИЯ 5 ОСНОВЫ РАСЧЁТОВ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЁСТКОСТЬ • Условия прочности по допускаемым напряжениям и по предельным, или разрушающим, нагрузкам • Оценка жёсткости • Коэффициенты запаса • Расчёт стержневых систем • Статически определимые и статически неопределимые стержневые системы • Температурные и монтажные напряжения При проектировании новых образцов техники, а также при оценке работоспособности и модернизации существующих образцов выполняются расчёты на прочность и жёсткость. В настоящей лекции изложены основные методы расчёта. Рассмотрены особенности поведения под нагрузкой статически определимых и статически неопределимых стержневых систем. 1. Расчёт на прочность по допускаемым напряжениям. Условие прочности по напряжениям имеет следующий вид: , или . (5.1) Здесь – максимальное расчётное напряжение в некоторой наиболее напряжённой точке детали; – допускаемое напряжение; – предел текучести; – предел прочности; и – коэффициенты запаса по пределу текучести и по пределу прочности. Согласно (5.1) максимальное расчётное напряжение в одной единственной точке детали определяет её прочность. Для пластичных материалов оценка прочности выполняется по пределу текучести , Для хрупких и умеренно пластичных материалов – по пределу прочности . В одном случае разрушение детали связывают с началом текучести, в другом, – с образованием трещин. 2. Расчёт на прочность по предельным, или разрушающим, нагрузкам. В этом случае условие прочности выражается в виде следующего неравенства: , . (5.2) Здесь и – соответственно расчётная и предельная нагрузки, n – коэффициент запаса по предельной нагрузке. Расчёт на прочность по предельным нагрузкам применяется для деталей из пластичных материалов при статическом приложении постоянно действующей нагрузки (в частности, в строительстве, где основная нагрузка – собственный вес). Во многих случаях этот метод раскрывает дополнительные возможности материала и позволяет найти более эффективные решения, чем расчёт на прочность по допускаемым напряжениям в точке. 3. Оценка жёсткости. Жёсткость деталей оценивается по допускаемым перемещениям характерных точек. Условие жёсткости имеет вид: . (5.3) Здесь и – расчётное и допускаемое перемещения. Перемещения могут быть как линейными, так и угловыми (удлинения, прогибы, углы закручивания). Следует подчеркнуть: жёсткость – не менее важное качество конструкции, чем её прочность. Например, жёсткость является определяющим фактором при выборе подходящей мебели. Плохо, если шатается стол или стул, не закрываются дверцы шкафа. Жёсткость орудийных стволов, зеркал телескопов, струн и дек музыкальных инструментов в решающей степени определяет их качество25. В то же время некоторая податливость является полезным свойством многих конструкций26. Так, основой безопасности современного автомобиля служит система смягчения столкновений с препятствиями. Для этого, наряду с достаточно жёсткой кабиной, спереди и сзади автомобиля предусмотрены элементы повышенной податливости (энергопоглощающие элементы), включая пневматические подушки безопасности. Коэффициенты запаса. Значения коэффициентов запаса регламентируются техническими условиями и отраслевыми «Нормами прочности». При назначении коэффициентов запаса полезно иметь в виду следующие особенности: • прежде всего, степень ответственности элементов конструкции и масштабы последствий их разрушения (цена ошибки – мелочь или авария с человеческими жертвами). Очевидно, чем ответственнее элемент, тем больше коэффициент запаса. Одно дело, к примеру, если вышел из строя тросик спидометра, другое – если порвался трос рулевого управления или сломалась полуось автомобиля; • уровень технологической культуры проектирования, производства и эксплуатации изделий; • достоверность расчётной схемы, включая точность изготовления и монтажа элементов конструкций, разброс свойств материала, точность задания действующих нагрузок; • требования к весовому совершенству и габаритам конструкции. Так, в строительстве нормативные коэффициенты запаса =3-5 и более, в самолётостроении =1,5-2,5, в общем машиностроении =1,5-2 и =2,5-3. Кроме того, при выборе коэффициента запаса важно учитывать назначение, условия работы и свойства материала, использовать опыт создания и эксплуатации изделий-аналогов, отражать накопленные традиции и уровень развития техники. Правильность назначения коэффициента запаса имеет первостепенное значение и во многом определяется чутьём, опытом и искусством конструктора. В расчётах на прочность и жёсткость различают следующие три типа задач: • поверочный расчёт (он устанавливает приемлемость того или иного варианта конструкции). В этом случае расчётные, точнее – фактические запасы прочности или жёсткости сопоставляются с нормативными значениями . Проверка выполняется, если ; • обоснование геометрических размеров детали; • обоснование допускаемой величины внешней нагрузки. Расчёт стержневых систем. А. Статически определимые системы – это системы, количество неизвестных усилий в которых равно числу независимых уравнений равновесия. Рассмотрим систему, составленную из двух шарнирно закреплённых стержней (рис. 5.1). Материал стержней линейно упругий. Заданы: – длина стержня, – жёсткость поперечного сечения на растяжение. Определить внутренние усилия, напряжения и перемещение узла . На рис. 5.1, справа показана силовая схема. Из условия равновесия узла определяем нормальные силы. Очевидно: или . Откуда . (5.4) Равенство отражает условие симметрии. Уравнение равновесия (5.4) составляется без учёта деформаций стержней (используется принцип начальных размеров). Согласно (5.4) внутренние силы в стержнях определяются исключительно геометрией системы (точнее – углом ) и внешней нагрузкой. Далее находим напряжения и приращение длины стержня: , . (5.5) После чего определяем перемещение . С этой целью представим геометрию деформирования. Сплошной линией на рис. 5.1 показано начальное, а пунктиром – конечное положение стержней. Приращение длины стержня считаем как проекцию перемещения узла на направление оси стержня, обозначенное пунктиром. Как правило, , поэтому . С учётом малости перемещений запишем . Откуда находим . (5.6) Частные случаи. При из равенства (5.4) следует, что . В свою очередь, при из равенств (5.4)-(5.6) находим, что . В пределах бесконечно малых перемещений система геометрически изменяема. Такая система носит название мгновенно изменяемой системы, или мгновенного механизма. Одним из признаков мгновенного механизма являются «три шарнира на одной прямой». В результате «провиса», связанного с малыми перемещениями узла , и, как следствие, поворота стержней как жёсткого целого на угол она превращается в геометрически неизменяемую систему. Согласно (5.4) при углах , близких , в стержнях возникают большие внутренние усилия и напряжения. Так, если при усилия , то при почти в десять раз больше - . Стоит заметить, что при результаты, полученные для геометрически неизменяемой системы на основе линейного решения, являются приближёнными. Дело в том, что в области углов , близких , система становится геометрически нелинейной. При малых углах поворота , связанных с упругими деформациями стержней, принцип начальных размеров к ней неприменим. Поэтому в области уравнения равновесия составляются для деформированного положения. Б. Статически неопределимые системы. Общее число неизвестных, включая внутренние силовые факторы и реакции связей, в них превышает число независимых уравнений равновесия. Для решения подобных задач уравнений статики оказывается недостаточно. Рассмотрим систему, составленную из трёх шарнирно закреплённых стержней (рис. 5.2). Здесь количество неизвестных – три (,,), для системы сходящихся сил число независимых уравнений статики – два. Для раскрытия статической неопределимости, наряду с уравнениями равновесия и , (5.7) составляется уравнение совместности перемещений или в усилиях . (5.8) Уравнение (5.8) составляется на основе схемы деформирования27 (рис. 5.2, справа), учитывающей упругие деформации. Примем , обозначим . Тогда из решения системы алгебраических уравнений (5.7) и (5.8) находим , . (5.9) Согласно (5.9) распределение усилий между стержнями зависит не только от геометрии и внешней нагрузки, но и от упругих свойств отдельных стержней (точнее, от соотношения их жёсткостей на растяжение - сжатие). Причём чем больше жёсткость стержня (меньше его податливость), тем большую часть нагрузки он на себя «берёт». Пусть жёсткость первого стержня в три раза больше второго, то есть . Тогда при получим и . Усилие в первом стержне оказывается в три раза больше, чем во втором. Эта зависимость отражает одну из наиболее характерных особенностей статически неопределимых систем. Другой отличительной особенностью подобных систем является их реакция на изменение температуры и предварительное деформирование при сборке. При сборке элементов статически неопределимых систем, размеры которых отклоняются от номинальных значений, зазоры или натяги «закрываются» путём принудительного деформирования элементов системы. В результате чего в системе возникают монтажные усилия и напряжения. На рис. 5.3, слева показана статически определимая система. Сборка такой системы с отличающимися размерами стержней осуществляется без её деформирования, путём простого поворота каждого стержня. На рис. 5.3, справа изображена статически неопределимая система. Сборка такой системы возможна лишь за счет деформирования её элементов, в результате чего появляются монтажные усилия и напряжения. Для их определения составим уравнение равновесия узла после сборки системы. Получим . (5.10) Считается, что . Очевидно, что стержни 1 и 3 работают на сжатие, стержень 2 – на растяжение. Согласно (5.10) система монтажных усилий и является самоуравновешенной. Уравнение совместности перемещений имеет вид: или . (5.11) Обозначим , – соответственно жёсткости стержней 1 и 2 на сжатие и на растяжение. Из решения системы алгебраических уравнений (5.10) и (5.11) находим , . (5.12) Согласно (5.12) монтажные усилия прямо пропорциональны величине зазора и зависят от упругих свойств элементов системы. В частности, при и получим и . (5.13) Температурные напряжения. При изменении температуры размеры тела либо увеличиваются, либо уменьшаются. Соответствующие температурные деформации равны . (5.14) Здесь – разность температур, – температурный коэффициент линейного расширения. В случае статически определимой системы (рис. 5.4, вверху) температурные деформации не ограничены внешними связями. Поэтому изменение температуры не приводит к появлению внутренних усилий и напряжений. В случае статически неопределимой системы (рис. 5.4, внизу) температурные деформации стеснены внешними связями. Поэтому при нагреве стержня в нём появляются сжимающие усилия и напряжения. Выполним расчёт температурных усилий и напряжений при нагреве стержня на = 100 К. Материал – сталь: модуль упругости E = 200 ГПа, коэффициент =12,5 10-6 К-1, площадь поперечного сечения А = 25 см2. Запишем уравнение совместности перемещений: или . (5.15) Откуда нормальные напряжения сжатия равны . Примечательно, что температурные напряжения не зависят от площади поперечного сечения стержня. Далее вычисляем нормальную силу. Очевидно: . При анализе полученных результатов полезно иметь в виду, что в реальных условиях концы стержня нельзя закрепить абсолютно неподвижно. Очевидно, что за счёт собственной податливости опор температурные усилия и напряжения в стержне будут несколько меньше. На практике с целью снижения температурных усилий и напряжений используются специальные устройства: сильфонные и сальниковые компенсаторы в трубопроводах, плавающие подшипники валов в редукторах, зазоры между рельсами, температурные швы в зданиях и сооружениях28. С точки зрения прочности наибольшую опасность монтажные и температурные напряжения представляют для деталей из хрупких материалов. Поэтому монтаж и эксплуатация «хрупких» конструкций (скажем, конструкций из стекла) требуют повышенной точности и аккуратности. Аналогично изменению температуры действует изменение влажности, особенно на гигроскопичные материалы: древесину, бетон. Гигроскопичность – свойство материала поглощать атмосферную влагу. Поглощение влаги сопровождается деформациями набухания, потеря влаги – деформациями усадки. Если деформации усадки или набухания деталей стеснены внешними связями, то в них появляются внутренние усилия и напряжения. Вот почему усадка бетона в определённых условиях приводит к трещинам, а усадка древесины при сушке – к короблению и растрескиванию изделий. Для того чтобы избежать неблагоприятных последствий, связанных с этими явлениями, используются различные ухищрения. Так, например, деки скрипки, гитары делают не плоскими, а слегка выгнутыми. Это позволяет компенсировать деформации, связанные с усадкой, и тем самым уменьшить внутренние усилия и напряжения. Расчёт на усадку выполняется аналогично температурному расчёту. Контрольные вопросы 1. Сформулируйте условие прочности по допускаемым напряжениям. 2. Как определить допускаемое напряжение для пластичных и хрупких материалов? 3. Сформулируйте условие прочности по предельным, или разрушающим, нагрузкам. 4. Какие параметры характеризуют жёсткость деталей? Сформулируйте условия жесткости. 5. Что понимается под нормативным коэффициентом запаса? Какие факторы учитываются при назначении коэффициентов запаса? 6. Какие системы называются статически неопределимыми? 7. Как выполняется расчёт статически неопределимых систем? 8. Назовите отличительные особенности поведения статически неопределимых стержневых систем. 9. Какие усилия и напряжения называются монтажными? В каких случаях они возникают? 10. Как вычисляются температурные усилия и напряжения? 11. Объясните, что такое схема деформирования. 12. Как составляются уравнения совместности перемещений? 13. Какие материалы называются гигроскопичными? 14. Какое действие оказывает изменение влажности на гигроскопичные материалы? 15. Какие типы задач встречаются в расчетах на прочность и жесткость? ЛЕКЦИЯ 6 КРУЧЕНИЕ • Напряжённое состояние «чистый сдвиг» • Закон парности касательных напряжений • Закон Гука при сдвиге • Модуль сдвига • Кручение стержня круглого поперечного сечения • Формулы для касательных напряжений и углов закручивания • Условия прочности и жёсткости • Результаты теории кручения стержней некруглого сечения • Гидродинамическая и мембранная аналогии Кручение – такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает крутящий момент. Под действием крутящего момента стержень закручивается. На кручение работают вал редуктора, шпиндель станка, торсионный вал и рулевой вал автомобиля, бурильные трубы и даже отвёртка. Вращающийся стержень, передающий крутящий момент, называется валом. Кручение тонкостенной трубки. Рассмотрим кручение тонкостенной трубки со средним радиусом и толщиной стенки (рис. 6.1). В поперечном сечении трубки действует крутящий момент . Ему соответствуют касательные напряжения, равномерно распределённые по толщине стенки. Уравнение равновесия участка трубки длиной имеет вид: . Откуда . (6.1) Здесь – элементарная сила на площадке длиной , где - координата. Из трубки вырежем элемент в виде «кубика» (рис. 6.1, в центре). Обозначим и – касательные напряжения на площадках с нормалями и соответственно. Здесь , и – осевое, окружное и радиальное направления. Запишем уравнение равновесия: . Следовательно, . (6.2) Согласно (6.2) для равновесия «кубика» необходимо, чтобы на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения были равны по величине и направлены либо к общему ребру, либо от ребра. Равенство (6.2) выражает закон парности касательных напряжений. Соответствующее напряжённое состояние носит название «чистый сдвиг». Выполним анализ напряжённого состояния чистый сдвиг. Для этого вычислим напряжения и на площадке под углом к осевой линии (рис. 6.1, справа). Запишем уравнения равновесия: : , : . (6.3) Здесь – площадь. Из уравнений (6.3) находим: , . (6.4) Согласно (6.4) при нормальные напряжения , касательные напряжения (рис. 6.2). Следовательно, напряжённое состояние «чистый сдвиг» эквивалентно суперпозиции одноосного растяжения и одноосного сжатия по двум взаимно перпендикулярным направлениям . То есть «чистый сдвиг» обуславливает растяжение и сжатие под углами к направлению сдвига29. Рассмотрим деформации при сдвиге (рис. 6.3). Результаты экспериментов показывают, что в области малых деформаций выполняется равенство: . (6.5) Здесь – угол сдвига, – модуль сдвига, или модуль упругости второго рода. Он характеризует жёсткость материала на сдвиг30. Зависимость (6.5) выражает закон Гука при «чистом сдвиге». Можно доказать, что в случае изотропного тела модуль сдвига связан с модулем упругости и коэффициентом Пуассона следующей зависимостью: . (6.6) Откуда следует, что упругие свойства изотропного тела характеризуются двумя независимыми постоянными. При получим . Так, для стали ГПа и , поэтому G = 80 ГПа. Зависимость (6.6) получается расчётным путём и подтверждается экспериментально. Кручение стержня круглого поперечного сечения31. На рис. 6.4 показан стержень, нагруженный двумя концевыми моментами . Эксперименты показывают, что при кручении круглого стержня поперечные сечения остаются плоскими и поворачиваются вокруг осевой линии как жёсткое целое. Указанное положение о характере деформирования стержня известно как гипотеза плоских сечений. Выделим элемент стержня длиной dx, из него вырежем тонкостенный цилиндр с радиусом , толщиной и рассмотрим его деформирование. Под действием крутящего момента поперечные сечения цилиндра поворачиваются относительно друг друга (рис. 6.4, справа). Считая перемещения малыми, винтовую линию на отрезке dx заменим прямой. Обозначим – приращение угла закручивания, – угол сдвига. Кручение цилиндра происходит за счёт деформаций сдвига материала, заключённого между двумя смежными поперечными сечениями. Очевидно, что. Откуда , (6.7) где – координата (радиус), – относительный угол закручивания, или «крутка». Получается, чем больше радиус , тем больше угол сдвига . Далее, используя формулу закона Гука (6.5), с учётом (6.7) запишем . (6.8) Согласно (6.8) на рис. 6.5 построена эпюра напряжений. Касательные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону. Максимальные напряжения получаются в точках, наиболее удалённых от центра. Кроме того, из условия парности касательных напряжений следует, что такие же напряжения действуют и в продольных сечениях. Выразим крутящий момент. Для этого запишем условие равновесия моментов относительно оси стержня: . (6.9) Здесь – полярный момент инерции сечения. Внося в равенство (6.9) зависимость для (6.8), получим формулу для касательных напряжений: . (6.10) Откуда . (6.11) Здесь – момент сопротивления сечения кручению. Из формулы (6.9) находится угол закручивания в радианах или , (6.12) где – постоянная интегрирования, – жёсткость поперечного сечения стержня на кручение. Далее вычисляем геометрические характеристики. Для круглого сечения полярный момент инерции . (6.13) Здесь – площадь элементарного кольца радиусом и толщиной (рис. 6.6). В свою очередь, момент сопротивления сечения кручению . (6.14) Для кольца полярный момент и момент сопротивления кручению равны , . (6.15) Здесь и – внутренний и наружный диаметры. Для тонкостенного кольца и . (6.16) Здесь – средний диаметр, – толщина стенки (). Согласно (6.12) и (6.13) углы закручивания стержня обратно пропорциональны четвёртой степени диаметра. Согласно (6.11) и (6.14) максимальные касательные напряжения обратно пропорциональны кубу диаметра. Это означает, что при увеличении диаметра в два раза жёсткость круглого стержня на кручение увеличивается в шестнадцать раз, а прочность – в восемь раз. Результаты теории кручения стержней некруглого сечения. Для стержней некруглого сечения гипотеза плоских сечений оказывается неприемлемой. После деформации поперечные сечения не остаются плоскими, они депланируют, превращаются в искривлённые поверхности. Поэтому задача существенно усложняется и решается уже методами теории упругости. Рассмотрим основные результаты этих решений. Прежде всего отметим, что кручение, при котором депланация поперечного сечения стержня происходит без ограничений, называется свободным кручением. В этом случае все сечения стержня депланируют одинаково. При наличии ограничений на депланации одного или нескольких сечений поперечные сечения стержня будут искривляться, но по-разному. В результате возникают продольные деформации и, как следствие, – нормальные напряжения (наряду с касательными напряжениями). Кручение, при котором имеют место ограничения депланаций поперечных сечений, называется стеснённым, или изгибным кручением. Ограничимся анализом напряжений свободного кручения. Для этого воспользуемся методом аналогий. Гидродинамическая аналогия. Распределение касательных напряжений в поперечном сечении при кручении аналогично (точнее – математически тождественно) распределению скоростей жидкости, вращающейся внутри цилиндрического сосуда, стенки которого совпадают с контуром поперечного сечения. На основании гидродинамической аналогии на рис.6.7 построены картины напряжений для двух сечений. Во внутренних углах жидкость интенсивно «обтекает» препятствие, поэтому скорости течения, а значит и касательные напряжения, здесь резко возрастают. В вершинах наружных углов, наоборот, скорости течения (касательные напряжения) равняются нулю. Мембранная, или плёночная аналогия. Задача о кручении стержня сводится к тому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии мембраны (плёнки), закреплённой по контуру поперечного сечения и нагруженной «изнутри» давлением. Аналогом касательных напряжений здесь являются углы наклона, которые составляют касательные к деформированной поверхности плёнки с плоскостью контура. Кручение стержня прямоугольного сечения. Расчёт напряжений и деформаций при кручении стержня с прямоугольным поперечным сечением представляет собой достаточно сложную задачу. Воспользуемся отдельными результатами решений методами теории упругости, а также гидродинамической и мембранной аналогиями и представим общую картину. На рис. 6.8 показана эпюра касательных напряжений. Максимальные касательные напряжения возникают посередине длинных сторон, при этом . (6.17) Посередине коротких сторон касательные напряжения равны . (6.18) Угол закручивания участка стержня длиной l при и определяется формулой . (6.19) Здесь и – геометрические параметры. В табл. 6.1 в зависимости от соотношения сторон прямоугольника приводятся значения коэффициентов . Таблица 6.1 1 0,208 0,141 1 1,5 0,231 0,196 0,859 2 0,246 0,229 0,795 3 0,267 0,263 0,753 0,333 0,333 0,742 При выборе рациональной формы сечения следует иметь в виду, что прочность и жёсткость прямоугольного стержня при кручении заметно ниже, чем круглого стержня с равновеликой площадью. Из прямоугольных сечений наиболее эффективным является квадрат. Условия прочности и жёсткости вала при кручении. Условие прочности по допускаемым напряжениям имеет вид: , где или . (6.20) Для пластичных материалов в качестве предельного напряжения принимается предел текучести , для умеренно пластичных и хрупких – предел прочности . Показатели прочности и определяются экспериментально, путём испытания тонкостенных трубок на кручение. Эксперименты показывают, что для пластичных материалов предел текучести при сдвиге , где – предел текучести при растяжении. Условие жёсткости вала обычно накладывает ограничение на относительный угол закручивания . (6.21) Чаще всего допускаемое значение относительного угла закручивания = 0,25 – 1 град/м = (4,36 – 17,5)10-3 рад/м. Пример. Из условия равенства максимальных касательных напряжений и относительных углов закручивания сплошного (I) и полого (II) валов сопоставить расчётные значения крутящих моментов. Считать: диаметр сплошного вала , наружный диаметр полого вала и диаметр отверстия (). Оба вала имеют одинаковую длину, вес, изготовлены из одного материала (рис. 6.9). Запишем условие равенства максимальных касательных напряжений: . Откуда . (6.22) Равенство длин и весов означает, что площади поперечных сечений валов равны, то есть . Или . Откуда . (6.23) Подставляя (6.23) в выражение (6.22), получим . При имеем . Условие равенства относительных углов закручивания имеет вид: . Откуда . Далее, используя подстановку (6.23), находим . При имеем Таким образом, при прочих равных условиях, полый вал () по прочности на 44%, по жёсткости на 67% более эффективен, чем вал сплошного сечения. На рис. 6.10 построены графики зависимостей от параметра . Из графиков видно, что чем больше величина (чем тоньше стенка), тем выше эффективность полого вала. Очевидно, если важно снизить вес или сэкономить материал, то в этих случаях целесообразно использовать полые валы. Контрольные вопросы 1. Дайте определение напряжённого состояния «чистый сдвиг». 2. Запишите формулу закона Гука при «чистом сдвиге». 3. Какой вид нагружения называется кручением? 4. Постройте эпюру касательных напряжений в поперечном сечении при кручении круглого стержня. 5. Сформулируйте гидродинамическую и мембранную аналогии. 6. Запишите условия прочности и жёсткости вала при кручении. 7. Что такое полярный момент инерции? 8. Запишите формулы для полярных моментов инерции круглого и кольцевого сечений. 9. Что такое момент сопротивления сечения кручению? 10. Покажите, от каких факторов зависит жёсткость стержня на кручение. 11. Чем свободное кручение отличается от стеснённого? 12. Как распределяются касательные напряжения при кручении стержня прямоугольного поперечного сечения? Покажите наиболее напряженную точку сечения. ЛЕКЦИЯ 7 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ • Статические моменты площади • Центр тяжести сечения • Осевые, полярный и центробежный моменты инерции • Зависимость моментов инерции для параллельных осей • Изменение моментов инерции при повороте координатных осей • Главные оси и главные моменты инерции В седьмой лекции представлены геометрические характеристики сечений, которые в общем курсе геометрии не рассматриваются в силу их ограниченного применения. При первом знакомстве может показаться, что материал лекции носит несколько отвлечённый, абстрактный характер, далёкий от проблем прочности. Однако эти «абстракции» имеют ключевое значение для решения задач, связанных с изгибом. Статические моменты и центр тяжести сечения. Интегралы вида и (7.1) называются статическими моментами площади относительно координатных осей и . Имеют размерность , где – единица длины, и принимают как положительные, так и отрицательные значения. Рассмотрим, как изменяются статические моменты площади при параллельном переносе координатных осей (рис. 7.1). Очевидно, что и . Тогда , . (7.2) Таким образом, , . (7.3) Следовательно, при параллельном переносе координатных осей статические моменты изменяются на величину, равную произведению площади А на расстояние между осями или . Оси, относительно которых статические моменты площади обращаются в нуль, называются центральными осями. Точка пересечения центральных осей носит название центра тяжести сечения. Координаты центра тяжести определяются на основании формул (7.3). Считаем, что и – центральные оси, в этом случае . Откуда находим , . (7.4) Следует иметь в виду, что оси симметрии сечения всегда проходят через его центр тяжести, то есть являются центральными осями32. Согласно (7.4) статические моменты площади относительно координатных осей y и z определяются как произведения площади A на расстояния от осей до центра тяжести, то есть и . (7.5) При вычислении статических моментов площади сложной фигуры её разбивают на составные части, а операцию интегрирования заменяют суммированием. Статический момент площади составной фигуры вычисляется как сумма статических моментов её отдельных частей. Каждая часть обычно имеет простую геометрическую форму. В результате формулы (7.4), определяющие координаты центра тяжести сечения, принимают следующий вид: , . (7.6) Здесь – площадь простой фигуры с координатами центра тяжести и . Пример. Определить центр тяжести равнополочного уголка (рис. 7.2). Разобьём уголок на два прямоугольника I и II. Используя формулу (7.6), запишем: . Здесь и , где и – координаты центров тяжести С1 и С2. Заметим, что в случае, когда сечение составлено из двух частей, его центр тяжести С лежит на прямой, соединяющей центры тяжести С1 и С2. Расстояния между ними удовлетворяет пропорции . Для равнополочного уголка С – это точка пересечения прямой С1С2 с осью симметрии . Причём центр тяжести здесь оказывается за пределами сечения. Моменты инерции сечения. Интегралы вида , (7.7) называются осевыми моментами инерции. Интеграл вида (7.8) носит название центробежного момента инерции. Интеграл вида (7.9) называетсяполярным моментом инерции. Здесь – координата элементарной площадки dA в полярной системе координат (см. рис. 7.1). Очевидно, что . (7.10) То есть, сумма осевых моментов инерции равняется полярному моменту инерции сечения относительно начала координат. Моменты инерции характеризуют расположение площади сечения относительно осей координат. Размерность моментов инерции . Из (7.7) и (7.9) следует, что осевые и полярный моменты инерции , и являются величинами существенно положительными. В свою очередь, центробежный момент инерции , согласно (7.8), может быть как положительным, так и отрицательным или равным нулю, в зависимости от положения осей координат y и z относительно сечения (рис. 7.3). Рассмотрим, как изменятся моменты инерции при параллельном переносе координатных осей. Будем считать, что заданы осевые и центробежный моменты инерции произвольного сечения , , . Определить моменты инерции относительно новых осей , , . При этом оси координат и параллельны осям и (рис. 7.1). Используя преобразования параллельного переноса вида и , запишем: ,, . (7.11) Если оси y и z являются центральными, то тогда . В этом случае формулы (7.11) упрощаются и принимают вид: , , (7.12) . Из первых двух равенств (7.12) следует, что для семейства параллельных осей минимальный момент инерции получается относительно центральных осей (при a = 0 и b = 0). В этой связи легко запомнить следующее правило. При переходе от центральных осей к нецентральным осям моменты инерции увеличиваются, а при переходе от нецентральных осей к центральным, наоборот, – уменьшаются. При определении центробежного момента инерции сечения следует учитывать знак произведения , который зависит от расположения новой системы координат и отно сительно старой и . Изменение моментов инерции при повороте координатных осей. Будем считать, что заданы моменты инерции сечения , , . Определить моменты инерции , , (рис. 7.4). Преобразования поворота осей координат имеют вид: , , (7.13) Используя (7.13), запишем: , , (7.14) , где – угол поворота. Откуда находим , , (7.15) . Складывая два первых равенства (7.15), получим . Следовательно, при повороте осей координат сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей не изменяется. Согласно (7.15) осевые моменты инерции и являются непрерывными и периодическими функциями угла . Следовательно, можно найти их экстремальные значения. Для этого исследуем функцию на экстремум: . В результате получим . (7.16) Поскольку – функция периодическая с периодом , то это значит, что (7.16) определяет два взаимно перпендикулярных направления, относительно которых осевые моменты инерции принимают максимальное и минимальное значения (рис. 7.5). Можно доказать, что . (7.17) Сравнивая (7.16) с третьей формулой (7.15), видим, что при центробежный момент инерции обращается в нуль. Оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают максимальное или минимальное значения, а центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции сечения. Если главная ось проходит через центр тяжести сечения, то она называется главной центральной осью. Осевые моменты инерции и относительно главных осей называются главными моментами инерции. Ось симметрии сечения и любая ось, ей перпендикулярная, составляют пару главных осей. У сечений, имеющих более двух осей симметрии, все центральные оси являются главными осями. К таким сечениям относятся круг, квадрат, равносторонний треугольник, правильные многоугольники. Для этих сечений осевые моменты инерции относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, одинаковые. Моменты инерции простейших сечений. Для прямоугольника cо сторонами b и h (рис. 7.6) определить моменты инерции относительно осей симметрии и . Оси симметрии здесь являются главными центральными осями. Предварительно находим , где – элементарная площадь. Для нахождения воспользуемся преобразованиями параллельного переноса (7.12). При переходе от нецентральной оси к центральной оси имеем . Аналогично находим . Так как оси y и z – оси симметрии, то центробежный момент инерции . Для прямоугольного треугольника33 (рис. 7.7) определить моменты инерции относительно центральных осей y и z. Для этого выразим элементарную площадь . Очевидно, что . Тогда . Далее, используя преобразования параллельного переноса (7.12), запишем . Аналогично получим и . В свою очередь центробежные моменты инерции равны: При вычислении центробежного момента инерции использовалась третья формула (7.12). Знак зависит от ориентации осей и . Так, если направление оси изменить на противоположное, то получим . Для круга (рис. 7.8) имеем: и . Откуда, используя формулу (6.13), находим . Используя формулу (6.15), для кольца получим . Контрольные вопросы 1. Дайте определение статического момента площади. Укажите размерность. 2. Дайте определение осевого, полярного и центробежного моментов инерции сечения. Укажите размерность. 3. Что такое центр тяжести сечения? Как определяются координаты центра тяжести? 4. Чему равен статический момент площади относительно оси, проходящей через центр тяжести? 5. Какие оси называются главными центральными осями сечения? ЛЕКЦИЯ 8 ЧИСТЫЙ ИЗГИБ • Внутренние силовые факторы • Дифференциальные зависимости • Чистый изгиб • Формула для нормальных напряжений • Зависимость изменения кривизны от изгибающего момента • Жёсткость при изгибе • Расчёт балки из разнородных материалов • Рациональные балочные конструкции Классическая теория изгиба разработана в XVII-XVIII веках трудами выдающихся учёных Г. Галилея34, Э. Мариотта35, Я. Бернулли, Л. Эйлера, Л. Навье36, Б. Сен-Венана и др. Им потребовалось более двухсот лет, чтобы разобраться в проблеме и найти её решение. Теория изгиба сыграла чрезвычайно важную роль в обеспечении технического прогресса. Это один из наиболее оригинальных и интересных разделов, который по праву считается одной из жемчужин прикладной механики. Внутренние силовые факторы. Стержень, работающий на изгиб, носит название балки. Изгиб характеризуется наличием поперечной силы и изгибающего момента . Для определения и используется метод сечений. Предварительно вычисляются реакции опор, балка делится на участки. Границами участков служат точки приложения сосредоточенных сил и моментов, а также начала и окончания распределённых нагрузок. В пределах каждого участка мысленно проводится сечение. К отсечённой части прикладываются поперечная сила и изгибающий момент , которые отражают действие отброшенной части на оставшуюся часть балки. Сила считается положительной, если она вращает рассматриваемую часть балки по ходу часовой стрелки. Момент положительный, если он направлен в обход сечения вверх. Предполагается, что внизу – растяжение, а вверху – сжатие. На рис. 8.1 изображена балка, один конец которой защемлён, другой – свободен. Такие балки называются консолями37. Из условия равновесия балки целиком находятся реакции в заделке: и . Балка делится на два участка. В пределах каждого участка проводятся сечения с координатами и . Используется «встречная» система координат: отсчитывается справа налево, а , наоборот, – слева направо (так проще). Для отсечённых частей балки составляются уравнения равновесия, из которых находятся внутренние силовые факторы. Для участка 1 – и ; для участка 2 – и . На рис. 8.1 построены графики функций и (эпюры). На эпюре указывается знак – плюс или минус. При построении эпюры следует иметь в виду следующее. В машиностроении эпюра строится на сжатых слоях балки. Для этого положительные значения моментов откладываются вверх (выше нулевой линии), отрицательные – вниз. В строительстве, наоборот, эпюра строится на растянутых слоях. Поэтому положительные значения моментов откладываются вниз, отрицательные – вверх. Знак на эпюрах не ставится. Эпюры и иллюстрируют распределение внутренних силовых факторов по длине балки и позволяют установить опасные сечения. Обычно в опасных сечениях изгибающий момент принимает наибольшее по абсолютной величине значение. Заметим: если изгибающий момент по длине балки постоянный, а поперечная сила равна нулю, то такой изгиб называется чистым (участок 1 на рис. 8.1). Если поперечная сила и изгибающий момент не равняются нулю, то такой изгиб называется поперечным (участок 2 на рис. 8.1). Дифференциальные зависимости при изгибе. Рассмотрим балку на рис. 8.2, нагруженную распределённой нагрузкой . Выделим элемент длиной . Приложим изгибающие моменты и , а также поперечные силы и . Из условия равновесия элемента балки получим: , и . (8.1) Дифференциальные зависимости (8.1) устанавливают связь между интенсивностью распределённой нагрузки , поперечной силой и изгибающим моментом . Полученные зависимости используются для проверки правильности построения эпюр. Напряжения и деформации в условиях чистого изгиба. Эксперименты показывают, что при изгибе одна часть балки растягивается, другая – сжимается. Слой, разделяющий зону сжатия от зоны растяжения, носит название нейтрального слоя. В основу теории изгиба положены гипотезы Бернулли-Эйлера: ◦ гипотеза плоских сечений – при чистом изгибе поперечные сечения остаются плоскими и ортогональными (или нормальными) к осевой линии балки; ◦ гипотеза о ненадавливании продольных слоёв балки друг на друга. Рассмотрим элемент балки (рис. 8.3). Плоскость является плоскостью симметрии элемента, моменты приложены в этой плоскости. Очевидно, что под действием моментов ось балки изгибается по дуге окружности. Обозначим – радиус кривизны оси, – координата слоя . Слой считается нейтральным, – нейтральная линия. Тогда линейная деформация . Здесь используется равенство: . Откуда следует, что . В условиях одноосного напряжённого состояния на основании закона Гука выражаем напряжения . (8.2) Здесь – модуль упругости. Согласно (8.2) величина напряжения прямо пропорциональна изменению кривизны нейтрального слоя , модулю упругости и расстоянию 38. Далее рассмотрим равновесие элемента (рис. 8.4), соответствующие уравнения имеют вид: или , или , (8.3) или . Подставляя в уравнения (8.3) выражение для напряжений (8.2), получим: , , (8.4) Из первого и второго равенства (8.4) следует, что и (8.5) Это значит, что оси и являются главными центральными осями, то есть нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения. Перепишем третье равенство (8.4) в виде . (8.6) Откуда следует, что изменение кривизны осевой линии балки прямо пропорционально изгибающему моменту и обратно пропорционально жёсткости поперечного сечения балки на изгиб . Здесь – осевой момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной линии. Подставляя (8.6) в выражение (8.2), получим: . (8.7) Формула (8.7) определяет закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении балки (рис. 8.5). При чистом изгибе максимальные растягивающие и сжимающие напряжения получаются в точках, наиболее удалённых от нейтральной линии: и . (8.8) Здесь и – моменты сопротивления изгибу, и – максимальные расстояния от нейтральной линии до наиболее удалённых точек сечения, расположенных в зонах растяжения и сжатия соответственно. Стоит заметить, что формулы (8.6) и (8.7) получены для прямых стержней. Вместе с тем их можно использовать и для расчёта стержней малой кривизны, то есть при , где – высота сечения, – начальный радиус кривизны осевой линии. Пример. Вычислить напряжения при изгибе железобетонной балки с асимметричной схемой армирования (рис. 8.6). Известно, что бетон – хрупкий материал, он хорошо работает на сжатие, но плохо сопротивляется растяжению. Поэтому области растяжения усиливают стальной арматурой. Обозначим: ЕС и ЕБ – модули упругости стали и бетона на сжатие. Отношение (как правило, = 5…50). Будем считать, что жёсткость бетона на растяжение равняется нулю. Для балки, составленной из разнородных материалов, выражаем напряжения в металле и бетоне. На основании гипотезы плоских сечений и формулы (8.2) запишем: и , (8.9) где , (). Нормальные напряжения в стальных стержнях считаются постоянными, в бетоне (ниже оси ) – изменяются по линейному закону. С учётом (8.9) условия равновесия элемента примут вид: или или (8.10) Здесь и – площади сечений бетона и арматуры соответственно (где – число прутков, – диаметр). Статический момент и осевой момент инерции площади относительно оси равны: и . (8.11) С учётом (8.11) перепишем уравнения (8.10) в виде: , . (8.12) Из первого равенства находится положение нейтральной линии: . (8.13) Далее выражаем изменение кривизны оси балки через напряжения. Используя формулы (8.9), получим . (8.14) С учётом (8.14) из второго уравнения (8.12) выражаются напряжения: , . (8.15) Формула (8.14) определяет изменение кривизны оси, а (8.13) и (8.15) – нормальные напряжения. Соответствующие эпюры напряжений и построены на рис. 8.6. Очевидно, чем больше , тем меньше напряжения и . При увеличении параметра напряжения в арматуре увеличиваются, а в бетоне, наоборот, уменьшаются. При увеличении жёсткость балки на изгиб растёт. Очевидно, чем дальше арматура удалена от нейтральной линии, тем выше прочность и жёсткость балки на изгиб. Рациональные балочные конструкции. Под рациональными понимаются такие конструкции, которые обеспечивают заданную прочность и жёсткость в сочетании с малым весом. Один из путей снижения веса балки – использование эффективных форм сечений. Из эпюры нормальных напряжений на рис. 8.5 видно, что при изгибе балки наиболее активно работают лишь те её части, которые удалены от нейтральной линии. Вблизи нейтрального слоя напряжения малы. Поэтому эффективными формами сечений балок будут такие, у которых материал как можно дальше «разнесён» от нейтральной линии и которые при заданной площади сечения имеют наибольшие момент инерции и момент сопротивления . Отношения и являются мерой эффективности. Очевидно, чем больше отношения и , тем выше эффективность сечения. С точки зрения прочности и жёсткости к наиболее эффективным формам сечений относятся I, T, Z, П – образные профили (рис. 8.7), включая стандартные двутавр и швеллер, а также пустотелые профили, имеющие коробчатое сечение (рис. 8.8, слева), и трёхслойные панели типа «сэндвич»39 (рис. 8.8, справа). Трёхслойные панели имеют два тонких слоя, расположенных снаружи, – несущие слои, и толстый слой заполнителя между ними. Несущие слои изготавливаются из материала с высокой прочностью и жёсткостью (металл, армированный пластик, керамика). Заполнитель – из лёгкого материала с малой прочностью и жёсткостью (пенопласт, пробка, мягкая древесина, бумага)40. Он может быть выполнен и в виде сотовой конструкции из алюминия или пластика, а также в виде стержневой системы (фермы). Такие конструкции при малом весе обеспечивают высокую прочность и жёсткость балки. Универсальным приёмом повышения эффективности тонкостенных конструкций является гофрирование – формирование складок, волнистых поверхностей (рис. 8.9). Гофрированные профили обеспечивают более высокие характеристики эффективности сечения и . Одним из специальных приёмов снижения веса является баттинг – изменение толщины стенки по длине трубчатой балки. В слабо напряжённых зонах стенка трубы делается тоньше и наоборот. Такие трубы применяются, в частности, в конструкциях велосипедной рамы. Снижения веса можно достичь и путём применения балок переменного по длине сечения. Балки, у которых максимальные напряжения , где – осевая координата, по длине постоянные, называются балками равного сопротивления изгибу. Откуда следует . Закон изменения момента сопротивления по длине балки согласовывается с распределением изгибающего момента . В качестве примера на рис. 8.10 изображены две схемы нагружения, внизу показаны соответствующие им эпюры изгибающих моментов. Очевидно, что в случае прямоугольного поперечного сечения равенство выполняется при условии, если ширина сечения изменяется по длине балки по линейному закону. При этом высота сечения остаётся постоянной. Масса (или вес) такой балки, по сравнению с балкой постоянного сечения, снижается в два раза. Контрольные вопросы 1. Какой изгиб называется чистым изгибом? 2. Сформулируйте гипотезы теории чистого изгиба. 3. Изобразите схему деформирования балки в условиях чистого изгиба. 4. Запишите зависимости между интенсивностью погонной нагрузки , поперечной силой и изгибающим моментом . 5. Запишите формулу для нормальных напряжений. 6. Постройте эпюру нормальных напряжений при чистом изгибе. Покажите наиболее напряженные точки поперечного сечения. 7. Что такое момент сопротивления сечения изгибу? В каких единицах он измеряется? 8. Что такое нейтральный слой? Что такое нейтральная ось? 9. Как определить изменение кривизны оси балки условиях чистого изгиба? 10. Какие формы сечений балок являются наиболее эффективными при работе на изгиб? ЛЕКЦИЯ 9 ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ • Касательные напряжения • Формула Журавского • Условия прочности • Изгиб тонкостенных стержней открытого профиля • Центр изгиба • Линейные и угловые перемещения • Дифференциальное уравнение упругой линии • Балки на упругом основании При поперечном изгибе (рис. 9.1) возникает не только изгибающий момент , но и поперечная сила , которая является результирующей касательных напряжений, действующих в поперечном сечении, . Действие касательных напряжений сопровождается угловыми деформациями, что приводит к депланации («искривлению») поперечных сечений. Гипотеза плоских сечений здесь оказывается несправедливой. Поперечный изгиб представляется как совместное действие изгибающего момента и поперечной силы (рис. 9.2). Считается, что моменту соответствуют нормальные напряжения, которые вычисляются по формуле чистого изгиба: . (9.1) В свою очередь, поперечной силе отвечают касательные напряжения, которые определяются формулой вида: . (9.2) Здесь – статический момент отсечённой части площади сечения, – ширина сечения на расстоянии от нейтральной линии, – осевой момент инерции поперечного сечения. Формула для касательных напряжений (9.2) носит название формулы Журавского41. Вычислим напряжения при поперечном изгибе балки прямоугольного сечения x (рис. 9.3). Очевидно, что статический момент отсечённой части площади сечения , лежащей выше координаты , равен: В свою очередь, осевой момент инерции . Используя формулу Журавского (9.2), запишем выражение для касательных напряжений: , (9.3) где – площадь прямоугольника. Из формулы (9.3) следует, что по высоте поперечного сечения касательные напряжения изменяются по закону квадратной параболы. Максимальное напряжение получается на нейтральной линии, при : . (9.4) Таким образом, в условиях поперечного изгиба максимальное касательное напряжение в полтора раза превышает величину среднего напряжения . Пример. Оценить усилие в клеевом соединении составной балки (рис.9.4). Заданы: – длина, – поперечный размер, – сила. Вычисляем максимальные касательные напряжения в поперечном сечении. Для этого используем формулу (9.4): . Касательные напряжения, парные , возникают и в продольных сечениях. Тогда результирующее усилие, действующее в клеевом соединении (усилие среза), равно: . Усилие T получается достаточно большим и может вызвать расслаивание балки. Заметим, что полученный результат касается клеевого соединения, расположенного вблизи нейтрального слоя. Очевидно, что в случае трёхслойной балки (рис. 8.8, справа), сила среза в соединении несущих слоёв с заполнителем получается значительно меньше (см. эпюру на рис. 9.3). Условия прочности при изгибе. Как правило, при изгибе образование пластических деформаций и разрушение балки начинается снаружи. В результате разрыва продольных слоёв образуются поперечные трещины (рис. 9.5). В этих условиях оценка прочности выполняется по максимальным нормальным напряжениям в наиболее напряжённой точке. Условие прочности имеет вид: . (9.5) Здесь – допускаемое напряжение. Если материал балки по-разному сопротивляется растяжению и сжатию (как правило, ), то в этом случае условие прочности (9.5) следует уточнить. Для симметричных сечений: . (9.6) Для сечений несимметричной формы расчёт выполняется как по растягивающим, так и по сжимающим напряжениям (здесь надо «глядеть в оба»): , . (9.7) При расчётные коэффициенты запаса прочности по растягивающим и по сжимающим напряжениям получаются одинаковыми (см. формулу (8.8)). Это условие можно использовать при определении рациональных размеров несимметричных сечений балок. Разрушение балок при изгибе может иметь место и за счёт продольных трещин, которые, как правило, образуются вблизи нейтрального слоя (рис. 9.6). Такая форма разрушения характерна, прежде всего, для коротких балок (). Для них оценка прочности выполняется как по нормальным, так и по касательным напряжениям: , . (9.8) Здесь – коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения: для прямоугольника , для круга . Касательные напряжения следует учитывать и при расчёте составных балок в виде пакетов листов, соединённых заклёпками или сваркой. С ними приходится считаться и при оценке прочности конструкций, изготовленных из материалов с малым сопротивлением сдвигу. К числу таких материалов относятся волокнистые композиционные материалы, включая древесину. Для них сдвиговая прочность вдоль волокон заметно ниже прочности на растяжение или на сжатие. Изгиб тонкостенных стержней. Центр изгиба. При поперечном изгибе тонкостенных стержней, помимо нормальных напряжений, в поперечных сечениях возникают и касательные напряжения. Причём если (где – толщина стенки,  – длина стержня, – максимальный размер поперечного сечения), то в этом случае величина касательных напряжений оказывается соизмерима с нормальными напряжениями. Для тонкостенных стержней открытого профиля (рис. 9.7) касательные напряжения изгиба определяются формулой Журавского - Власова42: . (9.9) Здесь – статический момент отсечённой части площади сечения относительно нейтральной линии, – координата, отсчитываемая вдоль средней линии поперечного сечения. Касательные напряжения равномерно распределены по толщине стенки и направлены по касательной к линии контура. Рис. 9.7 Рис. 9.8 Касательные напряжения в поперечном сечении образуют систему сил, которую можно представить в виде равнодействующей силы и момента, приложенными в произвольной точке. В качестве точки приведения сил примем центр тяжести поперечного сечения O (рис.9.8). Тогда в качестве равнодействующих касательных напряжений получим поперечную силу и крутящий момент . В этом случае тонкостенный стержень будет испытывать не только изгиб, но и кручение (рис. 9.9, слева). Следует иметь в виду, что величина момента зависит от точки приведения. Существует особая точка, относительно которой момент касательных напряжений изгиба равен нулю. Такая точка называется центром изгиба, или центром жёсткости. Если линия действия силы проходит через центр изгиба (рис. 9.9, справа), то такая сила вызывает поперечный изгиб стержня без его закручивания43. В некоторых случаях центр изгиба можно указать сразу. Например, для уголка и тавра на рис. 9.10 он находится в точке пересечения средних линий прямоугольников (полки и стенки). Очевидно, момент касательных напряжений относительно этих точек равен нулю. Для сечений, имеющих две оси симметрии, центр изгиба совпадает с центром тяжести поперечного сечения. Перемещения при изгибе. Дифференциальное уравнение упругой линии. Поперечные сечения балки при изгибе получают как линейные, так и угловые перемещения (прогибы и углы поворота на рис. 9.11). Для определения перемещений и воспользуемся формулой (8.6): . (9.10) Очевидно (рис. 9.11), что или (9.11) Считая, что прогибы и углы поворота – величины малые, примем и (9.12) На практике эти равенства выполняется при углах . С учётом подстановок (9.11) и (9.12) перепишем формулу (9.10) в следующем виде: . (9.13) Уравнение (9.13) носит название дифференциального уравнения упругой линии балки. Под упругой линией, или линией прогибов, понимается ось изогнутой балки – геометрическое место центров тяжести поперечных сечений. Форма упругой линии согласуется с условиями закрепления на опорах и условиями сплошности. Для решения (9.13) воспользуемся методом непосредственного интегрирования. Получим: (9.14) Таким образом, задача расчёта упругих перемещений при изгибе сводится к интегрированию дифференциального уравнения (9.13). В случае, когда и – простые аналитические функции, операция интегрирования (9.14) выполняется аналитически. Одним из наиболее универсальных методов интегрирования является метод начальных параметров (или метод Коши-Крылова44). Если интегралы не приводятся к элементарным функциям, то тогда следует использовать методы численного интегрирования, включая программы Mathcad и Mathlab. Заметим, что при интегрировании уравнений (9.14) появляются постоянные, или константы интегрирования и , для определения которых следует сформулировать граничные, или краевые, условия. Граничные условия отражают особенности закрепления балки, а также условия сплошности. Так, для консоли (рис. 9.12, вверху) граничные условия имеют вид: и . Для шарнирно-опёртой балки с подвижным и неподвижным шарнирами на концах (рис. 9.12, внизу): и . Пример. Для консоли длиной , нагруженной сосредоточенной силой , вычислить прогиб и угол поворота концевого сечения (рис. 9.11). Для этого, используя условие равновесия отсечённой части балки, определяем изгибающий момент: . Подставляя функцию в дифференциальное уравнение (9.13), получим . Дважды интегрируя полученное уравнение, последовательно определяем функции угла поворота и прогиба: , . Из граничных условий находим . В результате имеем и . Подставляя координату , определяем угол поворота и прогиб концевого сечения: и . Изгиб балки на упругом основании. Расчётная схема балки на упругом основании является достаточно универсальной и широко применяется при решении многих практических задач. В частности, при анализе напряжений и деформаций железнодорожных шпал и рельс, фундаментов зданий и сооружений, спицевых колёс велосипеда (в решении Н.Е. Жуковского45 спицевое колесо схематизируется в виде кольцевого бруса, опирающегося на упругое основание). Впервые задача об изгибе балок на упругом основании рассматривается в работе Э.Винклера46, опубликованной в 1867 году. Для решения задачи он использовал гипотезу о пропорциональности реакции основания прогибам балки: , (9.15) где – коэффициент пропорциональности в кН/м2, характеризующий жёсткость основания; – интенсивность погонной нагрузки, направленной навстречу прогибам. При этом упругое основание оказывает сопротивление прогибам балки как вниз, так и вверх. Для решения задачи воспользуемся дифференциальным уравнением упругой линии. Дифференцируя (9.13) дважды, с учётом (8.1) и (9.15) получим . (9.16) Обозначим и перепишем (9.16) в виде (9.17) Решение однородного дифференциального уравнения четвёртого порядка (9.17) имеет следующий вид: (9.18) Здесь , , и – постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий задачи. Величина , зависящая от соотношения жёсткостей балки и упругого основания, имеет размерность 1/м. Рассмотрим бесконечно длинную балку, нагруженную сосредоточенной силой (рис.9.13). Начало координат совместим с точкой приложения силы . Тогда с учётом симметрии граничные условия примут вид: при угол поворота , поперечная сила ; при прогиб , изгибающий момент . Откуда следует, что и . В результате решение (9.18) примет вид: , (9.19) , На рис. 9.13 показаны эпюры прогибов и изгибающих моментов . Констатируем, что максимальные значения прогиба и изгибающего момента получаются в сечении с координатой . При этом чем больше жёсткость поперечного сечения балки на изгиб , тем меньше прогиб и больше изгибающий момент . С увеличением жёсткости упругого основания прогиб и изгибающий момент уменьшаются. Эпюры и представляют собой волнообразные кривые с постепенно уменьшающимися амплитудами. По мере удаления от сечения прогибы и изгибающие моменты постепенно затухают. Очевидно, что при и деформациями изгиба можно практически пренебречь. В этом случае . Контрольные вопросы 1. В чём заключается отличие чистого изгиба от поперечного изгиба? Что такое балка? 2. Представьте дифференциальные зависимости между интенсивностью распределённой нагрузки , поперечной силой и изгибающим моментом . 3. Запишите формулу Журавского. Что такое статический момент отсеченной части площади сечения? Как он определяется? 4. Покажите эпюру касательных напряжений для прямоугольного поперечного сечения. 5. Что такое центр изгиба? 6. Запишите условия прочности балки при поперечном изгибе. 7. Запишите условия прочности балки, изготовленной из материала по-разному сопротивляющегося растяжению-сжатию. 8. В каких случаях выполняется расчёт балки на прочность по касательным напряжениям? 9. Какие перемещения получают поперечные сечения балки при её изгибе? Как они определяются? 10. Запишите дифференциальное уравнение упругой линии. 11. Определите зависимость прогиба от угла поворота балки. 12. Как находятся постоянные интегрирования дифференциального уравнения упругой линии? На примере консоли и шарнирно-опёртой балки сформулируйтее граничные условия. 13. Как определяются касательные напряжения при изгибе тонкостенных стержней открытого профиля? 14. Сформулируйте гипотезу Винклера при изгибе балки на упругом основании. 15. Запишите граничные условия при изгибе бесконечно длинной балки, нагруженной сосредоточенной силой и опирающейся на упругое основание. ЛЕКЦИЯ 10 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ • Косой изгиб • Уравнение нейтральной линии • Внецентренное растяжение-сжатие • Распределение нормальных напряжений в поперечном сечении • Ядро сечения В десятой лекции рассматривается комбинированное нагружение прямого стержня: косой изгиб и внецентренное растяжение-сжатие. Комбинации простейших случаев нагружения: растяжения-сжатия, кручения и изгиба принято называть сложным сопротивлением. Косой изгиб. Различают прямой и косой изгиб. При прямом изгибе плоскость действия изгибающего момента совпадает с одной из главных осей поперечного сечения. В этом случае балка изгибается в плоскости момента (рис.8.3). При косом изгибе плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из плоскостей, проходящих через ось балки и главные оси инерции поперечного сечения (рис. 10.1). Для расчёта напряжений в этом случае изгибающий момент раскладывается на составляющие: и . Здесь и – главные оси поперечного сечения. Составляющие и считаются положительными, если они вызывают растяжение в точках сечения с координатами и , расположенных в первом квадранте. Представляя косой изгиб как суперпозицию двух прямых изгибов в главных плоскостях, выражаем нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения: . (10.1) Из условия определяем положение нейтральной линии или . (10.2) Графиком функции (10.1) является прямая, проходящая через начало координат. Угловой коэффициент . (10.3) Очевидно, если или , то в этих случаях нейтральная линия будет перпендикулярна плоскости изгибающего момента. Известно, что условие перпендикулярности прямых имеет вид: , где угловые коэффициенты и (рис. 10.1). Равенство осевых моментов инерции относительно главных центральных осей и имеет место, в частности, для круга, квадрата, равностороннего треугольника и других правильных фигур. Для них все оси главные, поэтому независимо от ориентации плоскости изгибающего момента изгиб может быть только прямым. В общем случае , поэтому нейтральная линия не перпендикулярна плоскости, в которой действует изгибающий момент . Она отклоняется в сторону оси минимального момента инерции поперечного сечения. В свою очередь плоскость изгиба перпендикулярна нейтральной линии. Поэтому при косом изгибе балка изгибается не в плоскости момента М, а в некоторой другой плоскости, где жёсткость на изгиб меньше. Не случайно, такой изгиб называется «косым». На рис. 10.1 показана эпюра нормальных напряжений. Максимальные нормальные напряжения изгиба возникают в точках поперечного сечения, наиболее удалённых от нейтральной линии. Составляющие перемещений при косом изгибе определяются раздельно в направлении главных осей: и . Результирующее перемещение, направленное перпендикулярно нейтральной линии, определяется как геометрическая сумма . Пример. Консоль длиной нагружена сосредоточенной силой (рис. 10.2). Размер . Определить максимальное по абсолютной величине нормальное напряжение. Построим эпюру изгибающих моментов. Тогда в заделке Вычислим координаты центра тяжести поперечного сечения. Получим (рис. 10.3). Обозначим и – главные центральные оси ( – ось симметрии). Находим моменты инерции сечения относительно этих осей: и . Здесь I и II – квадраты со сторонами и (рис. 10.2). При вычислении момента инерции использовались преобразования параллельного переноса координатных осей. Определяем составляющие изгибающего момента. Очевидно, что . Для расчёта нормальных напряжений воспользуемся формулой (10.1): . Из условия получим уравнение нейтральной линии: или . Положение нейтральной линии и эпюра нормальных напряжений показаны на рис. 10.3. Наиболее напряжённой точкой сечения является точка с координатами , наиболее удаленная от нейтральной линии. Максимальное (по абсолютной величине) напряжение равно: . Внецентренное растяжение-сжатие. При внецентренном растяжении-сжатии линия действия равнодействующей внешних сил не совпадает с осевой линией стержня и ей параллельна. Обозначим и – координаты точки приложения силы (рис.10.4). Представляя напряжение как суперпозицию центрального растяжения и чистого изгиба в двух главных плоскостях, запишем: . (10.4) Здесь , и – нормальная сила и изгибающие моменты. Оси и являются главными центральными осями поперечного сечения. Согласно (10.4) напряжение является линейной функцией координат и . Уравнение нейтральной линии имеет вид , (10.5) или . (10.6) Графиком функции вида является прямая, не проходящая через начало координат. На рис. 10.5 построена эпюра нормальных напряжений, соответствующая выражению (10.4). Максимальные напряжения получаются в точках поперечного сечения, наиболее удалённых от нейтральной линии. Расстояние от начала координат до нейтральной линии равно . (10.7) Здесь OC – длина перпендикуляра. Согласно (10.7), чем ближе точка приложения силы к центру тяжести поперечного сечения, тем дальше от него отстоит нейтральная линия. В пределе, при отрезок . Откуда следует, что при центральном растяжении или сжатии напряжения равномерно распределяются по площади поперечного сечения47. С другой стороны, чем дальше точка приложения силы отстоит от центра тяжести, тем короче отрезок , тем ближе нейтральная линия к центру тяжести. В этом случае в поперечном сечении могут возникать как растягивающие, так и сжимающие напряжения48. В окрестности центра тяжести поперечного сечения существует область, называемая ядром сечения. Если точка приложения силы лежит внутри или на границе ядра, то во всех точках поперечного сечения нормальные напряжения имеют один знак. Если сила приложена за пределами ядра, то напряжения в поперечном сечении имеют разные знаки. Координаты границ ядра сечения определяются из уравнения (10.6). Так, при получим . В свою очередь, при – . Здесь и – радиусы инерции сечения; и – координаты нейтральной линии, направленной по касательной к контуру поперечного сечения. Ядро сечения строится путём последовательного задания положений нейтральной линии на контуре сечения. Для каждого положения, на основе заданных значений координат и , определяются координаты и . Для прямоугольника с размерами ядро сечения представляет собой ромб с диагоналями и (рис. 10.6, а), для круглого сечения – круг диаметром (рис. 10.6, б). Пример. Выполнить анализ внутренних сил и напряжений на участках AB, BC и CD ступенчатого стержня (рис. 10.7). На участках AB и CD имеет место центральное растяжение силой F. Соответствующие нормальные напряжения равны: . На участке BC линия действия силы F не проходит через центр тяжести поперечного сечения (рис. 10.8). Поэтому наряду с нормальной силой   возникает изгибающий момент , где – расстояние от линии действия силы F до центра тяжести поперечного сечения (до оси ). С учётом растяжения и изгиба находятся максимальное и минимальное значения нормальных напряжений: . Откуда следует, что и . Любопытно, что максимальные напряжения получаются не там, где «тонко», а там, где «толсто». На усиленном участке BC максимальные напряжения в 1,25 раза больше, чем на участках AB и CD49. Причём на участке BC наряду с напряжениями растяжения имеют место и напряжения сжатия. Контрольные вопросы 1. Какие виды нагружения стержня относятся к сложному сопротивлению? 2. Чем косой изгиб отличается от прямого изгиба? 3. Запишите формулу для нормальных напряжений косого изгиба. 4. Определите положение нейтральной линии при косом изгибе. 5. Постройте эпюру нормальных напряжений при косом изгибе. Покажите наиболее напряженные точки поперечного сечения. 6. Как определяются перемещения при косом изгибе? 7. Какие внутренние силовые факторы возникают при внецентренном растяжении-сжатии прямого стержня? 8. Запишите формулу для нормальных напряжений при внецентренном растяжении-сжатии. Определите положение нейтральной линии. 9. Что такое ядро сечения? Как определяются его границы? 10. Что такое радиус инерции поперечного сечения? ЛЕКЦИЯ 11 НАПРЯЖЁННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ • Напряжённое состояние в точке • Тензор напряжений • Главные площадки и главные напряжения • Инварианты напряжённого состояния • Деформированное состояние в точке • Тензор деформаций • Главные оси и главные деформации • Относительное изменение объёма • Обобщённый закон Гука • Упругие свойства композитов • Потенциальная энергия деформации Под действием системы внешних сил тело находится в напряжённом состоянии (рис.11.1). Выполним анализ напряжённого состояния в отдельной точке тела. Этот анализ имеет важное практическое значение при оценке прочности. Напряжённое состояние в точке – это совокупность напряжений на множестве площадок, проходящих через эту точку. Характеризуется нормальными и касательными напряжениями на любых трёх взаимно перпендикулярных площадках. В окрестности точки К напряжённого тела, выделим элементарный параллелепипед. Действие отброшенных частей тела заменим внутренними силами, интенсивность которых характеризуется системой напряжений (рис. 11.2). Эти напряжения, записанные в виде матрицы, образуют тензор напряжений . (11.1) Здесь – симметричный тензор, на основании закона парности касательных напряжений , и . Напряжённое состояние в точке полностью определяется шестью независимыми компонентами: . Величины напряжений зависят как от расположения точки в напряжённом теле, так и от выбора площадок, проведённых через эту точку. Из множества площадок можно выделить три особенные площадки, на которых касательные напряжения равняются нулю, а нормальные напряжения принимают экстремальные значения. Такие площадки называются главными площадками, соответствующие им напряжения – главными напряжениями50. Значения главных напряжений определяются решением кубического уравнения вида: . (11.2) Здесь – первый, второй и третий инварианты напряжённого состояния: , , (11.3) . Заметим, что численные значения , и не зависят от выбора направления осей координат x, y, z. Корни кубического уравнения (11.2) определяют три главных напряжения на трёх взаимно перпендикулярных площадках. Главные напряжения принято нумеровать с учётом следующего неравенства: . В свою очередь, ориентация главных площадок в системе координат x, y, z определяется из решения системы алгебраических уравнений вида: , , (11.4) . Здесь , и – направляющие косинусы нормали к главной площадке: , и . Направляющие косинусы подчиняются условию ортогональности: . (11.5) Подставляя в систему уравнений (11.4) значения главных напряжений , и , с учётом условия (11.5) последовательно определяем положение главных площадок. В зависимости от главных напряжений вычисляются максимальные касательные напряжения . (11.6) Максимальные касательные напряжения действуют на площадках под углами к главным площадкам с напряжениями и (рис. 11.3). Классификация напряжённых состояний. Различают три вида напряжённых состояний: одноосное (или линейное), двухосное (или плоское) и трехосное (или объёмное). • Одноосное растяжение, при котором , (рис. 11.4, а), и одноосное сжатие, при котором , (рис. 11.4, б). • Двухосное напряжённое состояние, при котором одно из главных напряжений равняется нулю (рис. 11.5, а). • Трехосное напряжённое состояние, при котором все три главных напряжения не равны нулю (рис. 11.5, б). Частный случай. Пусть одна из главных площадок с напряжением задана (рис. 11.6). Тогда значения главных напряжений и ориентация двух других главных площадок вычисляются по формулам , (11.7) . (11.8) Формула (11.8) определяет положение двух взаимно перпендикулярных главных площадок с углами и . Пример 1. Исследовать напряжённое состояние в точке. Вычислить главные напряжения и определить вид напряжённого состояния, если компоненты напряжений равны: ===== = 100 МПа. Определяем значения инвариантов напряжённого состояния: =300 МПа , 0. Подставляя значения , и в кубическое уравнение (11.2), получим или . Откуда находим: и . Следовательно, здесь имеет место одноосное растяжение. Пример 2. Исследовать напряжённое состояние в точке (рис.11.7). Определить главные напряжения и положение главных площадок. Оси x и y направляем параллельно и . Индексируем напряжения: = 80 МПа, = 0, = 30 МПа. Значения главных напряжений вычисляем по формуле (11.7) . Откуда, с учётом главного напряжения МПа, находим: МПа, МПа, МПа. Таким образом, здесь имеет место объёмное напряжённое состояние. В свою очередь, положение главных площадок, параллельных оси , определяется формулой (11.8): . Откуда и . Деформированное состояние в точке – это совокупность линейных и угловых деформаций для множества направлений и плоскостей, проходящих через заданную точку тела. По аналогии с напряжённым состоянием деформированное состояние в точке характеризуется шестью компонентами линейных и угловых деформаций: , , , , и . Эти компоненты, записанные в виде матрицы, образуют тензор деформаций: , (11.9) где – симметричный тензор (, , ). Здесь, как и для тензора напряжений, можно выделить три взаимно перпендикулярных направления, между которыми угловые деформации равны нулю, а линейные деформации принимают экстремальные значения. Такие направления носят название главных осей деформированного состояния. Линейные деформации вдоль главных осей называются главными деформациями. Между ними установлена следующая зависимость: . Определим объёмную деформацию – относительное изменение объёма в результате деформирования элемента. Для этого в окрестности произвольной точки тела (рис. 11.1) выделим элементарный параллелепипед объёмом . В результате деформирования тела имеет место изменение размеров сторон параллелепипеда. Очевидно, объём параллелепипеда в деформированном состоянии равен . Считается, что угловые деформации не влияют на изменение объёма. В свою очередь, относительное изменение объёма равно: .(11.10) Заметим, что линейные деформации , , являются величинами малыми, порядка . Поэтому при определении относительного изменения объёма произведениями линейных деформаций, как величинами второго и третьего порядка малости, пренебрегаем. Очевидно, что с поворотом осей координат объёмная деформация не изменяется. То есть величина является одним из инвариантов деформированного состояния в точке. Обобщённый закон Гука. Между компонентами напряжённого состояния и компонентами деформированного состояния существуют определённые зависимости, отражающие механические свойства материала. Для подавляющего большинства материалов в пределах малых деформаций эти зависимости линейные. Рассмотрим изотропный материал, упругие свойства которого во всех направлениях одинаковые. Для вывода расчётных зависимостей воспользуемся принципом независимости действия сил. Действие нормальных и касательных напряжений на элемент рассматриваем раздельно. Линейные деформации вычисляем как сумму деформаций от действия каждого из трёх нормальных напряжений (рис. 11.8). Учитывая эффект Пуассона, находим: , , (11.11) . В свою очередь, действие касательных напряжений на элемент вызывает несвязанные друг с другом сдвиги в соответствующих плоскостях, которые равны: , , . (11.12) Зависимости (11.11) и (11.12), определяющие связь между напряжениями и деформациями при сложном напряжённом состоянии, являются выражением обобщённого закона Гука для изотропного тела. Здесь E, G и – упругие постоянные материала: модуль упругости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона. Три упругих постоянных связаны друг с другом функциональной зависимостью (6.6), поэтому упругие свойства изотропного материала определяются лишь двумя независимыми характеристиками. Из формул (11.12) следует, что при напряжениях угловые деформации . Следовательно, в случае изотропного материала главные оси напряжённого и деформированного состояний в каждой точке тела совпадают друг с другом. Используя формулы обобщённого закона Гука, выразим объёмную деформацию через напряжения. Подставляя зависимости (11.11) в равенство (11.10), получим . (11.13) Заметим, что при объёмная деформация равна нулю. Упругие свойства композитов. Среди современных конструкционных материалов широкое распространение получили двухкомпонентные волокнистые композиты51, которые представляют полимерную52, металлическую или керамическую матрицу, армированную высокопрочными и высокомодульными волокнами диаметром 5…200 мкм (рис. 11.9). Волокнистые композиционные материалы приобретают ярко выраженные свойства анизотропии упругих свойств. Ориентировочные значения упругих постоянных однонаправленных волокнистых композитов с эпоксидной матрицей, в сравнении с традиционными материалами, приводятся в табл. 11.1. В ней используются следующие обозначения: и – соответственно модули упругости вдоль осей и . Коэффициент Пуассона обозначается двумя индексами: первый индекс определяет направление, по которому действует напряжение, второй – направление, по которому фиксируется деформация. Из таблицы видно, что модули упругости композитов вдоль и поперёк волокон отличаются почти на порядок. Таблица 11.1 Материал , ГПа , ГПа , ГПа , кг/м3 Углепластик Органопластик Стеклопластик Сосна Сплавы алюминия 180 76 40 16 70 10 5,5 8,4 - 70 7,2 2,3 4,2 1,2 27 0,28 0,34 0,26 - 0,3 1600 1460 1800 590 2700 При описании упругих свойств однонаправленных композитов наибольшее распространение получила модель ортотропного тела. В условиях плоского напряжённого состояния (рис. 11.9) закон Гука для ортотропного тела имеет вид: , , (11.14) . Согласно свойству взаимности . Следовательно, упругие деформации ортотропного тела определяются четырьмя независимыми постоянными. Потенциальная энергия упругой деформации. В процессе нагружения внешние силы совершают работу. Работа внешних сил переходит в потенциальную энергию деформации. В результате упругое тело накапливает энергию. При разгрузке, наоборот, энергия деформации возвращается в виде работы. Упругое тело является своеобразным аккумулятором энергии. В качестве характеристики энергии, накопленной в результате упругого деформирования, используется плотность энергии, или удельная энергия деформации . Для единицы объёма в условиях сложного напряжённого состояния имеем: . (11.15) Используя формулы закона Гука для изотропного тела (11.11) и (11.12), выражаем деформации через напряжения. Тогда после подстановки и преобразований выражение (11.15) примет вид: . (11.16) Согласно (11.16) удельная энергия деформации зависит от напряжённого состояния в точке и упругих свойств материала. Очевидно, чем больше величины напряжений и меньше упругие постоянные и (чем податливее материал), тем больше величина удельной энергии деформации . В частном случае одноосного напряжённого состояния, то есть при и , получим . В свою очередь, при чистом сдвиге, то есть при и , находим . Потенциальная энергия, накопленная в объёме деформированного тела , определяется интегралом от плотности энергии: . (11.17) В свою очередь, удельная энергия деформации (11.16) делится на составляющие: энергию изменения объёма (11.18) и энергию изменения формы . (11.19) Контрольные вопросы 1. Дайте определение напряженного состояния в точке? 2. Какие напряжения называются главными? Как они обозначаются? 3. Что такое деформированное состояние в точке? 4. Какие оси называются главными осями деформированного состояния? 5. Назовите особенности упругих свойств композитов. 6. Что такое удельная энергия деформации? ЛЕКЦИЯ 12 КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ • Прочность при сложном напряжённом состоянии • Критерии пластичности • Критерий прочности Мора • Оценка прочности композитов • Расчёт пространственной рамы • Расчёт тонкостенных оболочек: сферический и цилиндрический сосуды под давлением • Уравнение Лапласа В предыдущих лекциях были представлены условия прочности при растяжении-сжатии, кручении и изгибе прямого стержня в условиях одноосного напряжённого состояния и чистого сдвига. Более сложную проблему представляет оценка прочности в условиях сложного напряжённого состояния. Для того чтобы решить эту достаточно сложную проблему, её стараются упростить и свести к расчёту на прочность при одноосном растяжении. Для этого используются так называемые критерии прочности, в основу которых заложено понятие «эталона». В качестве эталона, или эквивалента принимается одноосное напря- жённое состояние с напряжением (рис. 12.1). Эквивалентное напряжение – это напряжение одноосного растяжения, равноопасное сложному напряжённому состоянию. Напряжённые состояния считаются равноопасными, если они имеют одинаковые коэффициенты запаса прочности. Коэффициенты запаса при сложном напряжённом состоянии находятся по формулам: • для пластичных материалов , • для хрупких материалов . В свою очередь, характеристики прочности материала (предел текучести и предел прочности ) определяются экспериментально, путём испытаний стандартных образцов на растяжение в условиях одноосного напряжённого состояния. Существуют два принципиальных подхода к построению критериев прочности. Один из них – так называемый критериальный подход, определяющий эквивалентные напряжения на основе некоторых гипотез, или критериев. Для изотропных материалов наибольшее распространение получили два критерия. 1. Критерий прочности максимальных касательных напряжений. Впервые предложен в работах Кулона53, Треска54 и Сен-Венана (1868). Два напряжённых состояния считаются равноопасными, если равны их максимальные касательные напряжения. В таком случае для сложного напряжённого состояния получим . (12.1) Откуда для упрощенного плоского напряжённого состояния (рис. 12.2): . (12.2) Энергетический критерий прочности. Впервые предложен в работах Максвелла, Хубера55 и Мизеса56 (1904). Два напряжённых состояния считаются равноопасными, если равны их удельные потенциальные энергии изменения формы. Тогда для сложного напряжённого состояния получим . (12.3) Откуда для упрощенного плоского напряжённого состояния (рис. 12.2): . (12.4) Экспериментальная проверка формул (12.1) и (12.3) в целом показала их достоверность. Энергетический критерий прочности несколько лучше согласуется с опытом, чем критерий максимальных касательных напряжений. В то же время область применимости этих критериев ограничена только пластичными материалами с равными пределами текучести на растяжение и на сжатие (). Оба критерия определяют начало образования пластических деформаций, их нельзя применять для оценки условий разрушения. Критерий прочности Мора57. Этот критерий занимает особое положение. Он является более универсальным и применяется для оценки как начала пластичности, так и разрушения. Кроме того, критерий прочности Мора строится на основе так называемого феноменологического подхода, принципиально отличного от критериального. Феноменологический подход основан не на гипотезах, а на результатах экспериментальных исследований. В основу критерия положен экспериментальный факт – главные напряжения оказывают сравнительно слабое влияние на прочность. В таком случае эквивалентные напряжения в условиях сложного напряжённого состояния вычисляются в зависимости от главных напряжений и по формуле , где , либо . (12.5) В свою очередь, для упрощенного плоского напряжённого состояния (рис. 12.2) . (12.6) Критерий прочности Мора подтверждается экспериментально и рекомендуется как для пластичных, так и для хрупких материалов при и , при условии, если . В случае, когда главные напряжения имеют одинаковый знак, то есть , то тогда критерий прочности Мора (12.5) может привести к значительным погрешностям. В этих условиях целесообразно использовать обобщённый критерий прочности Мора: , (12.7) который предполагает, что наложение на заданное напряжённое состояние всестороннего равного растяжения либо сжатия не оказывает влияния на прочность. Заметим, что в частном случае, при , критерий прочности Мора (12.5) формально совпадает с критерием максимальных касательных напряжений (12.1). Оценка прочности композитов. Представленные выше критерии описывают изотропный материал, прочность которого не зависит от направления. В табл. 12.1 приведены результаты испытаний однонаправленных волокнистых композитов с эпоксидной матрицей. Здесь F+1 и F–1, F+2 и F–2 – пределы прочности при растяжении и сжатии вдоль и поперёк волокон, F12 – предел прочности при сдвиге в плоскости (см. рис. 11.9). Из таблицы видно, что прочность композитов вдоль и поперёк волокон отличается в десятки и даже сотни раз. Композит – это материал с ярко выраженной анизотропией не только упругих, но и прочностных свойств. Таблица 12.1 Материал Пределы прочности, МПа F+1 F+2 F–1 F–2 F12 Стеклопластик Углепластик Органопластик 1108 1494 1186 7,5 40 10,9 530 1702 289 78 246,1 64,8 22,4 67,6 27,6 Данные таблицы являются ориентировочными. Дело в том, что прочность волокон на разрыв на один-два порядка выше прочности связующего. Поэтому характеристики прочности заметно меняются в зависимости от объёмного содержания волокон и технологии изготовления композитов. Известен ряд критериев прочности однонаправленных волокнистых материалов. Одним из наиболее простых считается критерий прочности максимальных напряжений, который в условиях плоского напряжённого состояния выражается в виде следующих неравенств: , , (12.8) Здесь , и – нормальные вдоль и поперёк волокон и касательные в плоскости армирования напряжения (рис. 11.9). Согласно (12.8) для оценки прочности однонаправленных композитов нужно иметь пять характеристик прочности, которые определяются путём испытаний стандартных образцов на растяжение, сжатие и сдвиг. Очевидно, что разрушение композита наступает тогда, когда одно из действующих напряжений достигает своего предельного значения. Пример. Заданы три напряжённых состояния (рис. 12.3). Определить, какое из них наиболее опасное. Использовать критерий прочности Мора, считать . Подставляя значения главных напряжений в формулу (12.5), получим: , , . Откуда следует, что наиболее опасным является напряжённое состояние (в). Напряжённые состояния (а) и (б) равноопасны. Расчёт пространственной рамы. Заданы размеры рамы (рис. 12.4): 1 м, 25 мм, 3 мм. Коэффициент запаса 1,5. Материал – Ст. 20 с пределами текучести 260 МПа. Определить допускаемую силу . На рис. 12.5 показано сечение С участка ВС (см. рис. 12.4). В этом сечении максимальные напряжения изгиба равны: . Условие прочности . Откуда . На рис. 12.6 показано сечение D участок СD (см. рис. 12.4). Максимальные напряжения изгиба и кручения в этом сечении равны: , . Согласно энергетическому критерию прочности . Откуда получим . Таким образом, для рамы на рис. 12.4 наиболее опасным является сечение D участка СD. Допускаемое значение силы . Расчёт тонкостенных оболочек вращения. Напомним, оболочкой называется тело, одно из измерений которого (толщина) много меньше двух других. Оболочка считается тонкой, если . Здесь – толщина стенки, – минимальный радиус кривизны срединной поверхности. Срединной поверхностью оболочки называется поверхность, равноотстоящая от внешних (лицевых) поверхностей. В зависимости от формы срединной поверхности различают цилиндрические, сферические, конические, торообразные оболочки. Рассмотрим оболочку, срединная поверхность которой образована вращением некоторой кривой относительно оси вращения (рис. 12.7). Обозначим – радиус кривизны дуги меридиана, – радиус кривизны нормального сечения, перпендикулярного дуге меридиана. Оболочка нагружена давлением . Выделим элемент оболочки (рис. 12.8) и рассмотрим его равновесие. Проектируя силы на нормаль , запишем . Так как и , то после подстановки и преобразований получим: . (12.9) Уравнение (12.9) известно как уравнение Лапласа58. Считается, что стенка оболочки работает на растяжение (или сжатие) без изгиба. Нормальное давление уравновешивается за счёт начальной кривизны стенки. Очевидно, чем больше радиусы начальной кривизны и и чем тоньше стенка, тем больше нормальные напряжения и . Сферический сосуд под давлением. В силу полной симметрии (рис. 12.9), очевидно, что и . В результате подстановки, непосредственно из уравнения (12.9) находим: . (12.10) Для оценки прочности стенки в условиях плоского напряжённого состояния вычисляется эквивалентное напряжение. Согласно критерию прочности максимальных касательных напряжений: . (12.11) Радиальное перемещение (приращение радиуса) равно . (12.12) Полученные формулы применяются в расчётах воздушных шаров, газовых баллонов, батискафов. Сферическая форма сосуда позволяет при заданном внутреннем объёме получить наименьшую площадь поверхности. Цилиндрический сосуд под давлением. Расчётная схема тонкостенной цилиндрической оболочки (рис. 12.10) широко применяется при расчёте труб, котлов, а также фюзеляжей самолётов, подводных лодок. Цилиндр имеет прямую образующую, поэтому и . Из уравнения Лапласа (12.9) определяются лишь окружные напряжения: . (12.13) Для нахождения меридиональных напряжений воспользуемся методом сечений. Мысленно разрежем оболочку на две части. Уравнение равновесия отсечённой части (рис. 12.11) имеет вид: . Откуда . (12.14) Заметим, что окружные напряжения в стенке в два раза больше меридиональных (). Очевидно, по этой причине цилиндрические сосуды под действием внутреннего давления разрушаются чаще всего по образующим. Формулы (12.13) и (12.14) носят название котельных формул. Эти формулы постоянно «в ходу». Они используются не только в инженерном деле, но и в биологии, медицине59. При плоском напряжённом состоянии (рис. 12.12) эквивалентное напряжение находится по формуле . (12.15) Откуда следует, чем больше радиус кривизны и тоньше стенка, тем больше величина эквивалентного напряжения. В свою очередь, окружные деформации равны: . (12.16) Радиальные перемещения . (12.17) Осевые деформации . (12.18) Согласно (12.18) при осевые деформации . В этом случае под действием внутреннего давления длина цилиндрической оболочки не изменяется, оболочка приобретает размеростабильные в осевом направлении свойства. Стоит заметить, что отношение напряжений = 2. В то же время отношение деформаций при оказывается почти в два раза больше . Сравнивая зависимости (12.11) и (12.15), (12.12) и (12.17), заключаем, что при прочих равных условиях сосуд сферической формы оказывается в два раза более прочным и в два-три раза более жёстким, чем сосуд цилиндрической формы. Контрольные вопросы 1. В каких случаях применяются критерии прочности? 2. Как определить запас прочности при сложном напряжённом состоянии? Что такое эквивалентное напряжение? 3. Чем критерий прочности Мора отличается от критерия максимальных касательных напряжений? 4. Запишите условие прочности однонаправленных волокнистых композитов. 5. Определите область применимости критерия максимальных касательных напряжений и энергетического критерия прочности. 6. В каких случаях следует использовать критерий прочности Мора. 7. Какое напряженное состояние возникает в стенках сферического сосуда под давлением? 8. Объясните зависимость напряжений в стенке цилиндрического сосуда давления от его геометрических параметров. ЛЕКЦИЯ 13 О ХРУПКОМ РАЗРУШЕНИИ • Основные понятия • Теоретическая прочность • Масштабный эффект • Напряжённое состояние в окрестности трещины • Коэффициент интенсивности напряжений • Критическая длина трещины • Вязкость, или трещиностойкость материала • Способы повышения трещиностойкости Одной из основных задач, которые традиционно решаются в курсе «Сопротивление материалов», является задача прочности. Прочность деталей оценивается либо по напряжениям в точке, либо по предельным нагрузкам. Материал рассматривается как непрерывная сплошная среда – континуум. Трещины, надрезы, царапины и другие подобные им дефекты обычно не учитываются. Вместе с тем обследование ряда объектов показывает, что все реальные конструкции, включая самые уникальные, имеют многочисленные дефекты. Так, в стенке Останкинской телебашни длина продольных трещин достигает нескольких метров при ширине раскрытия 0,1-0,2 мм. Трещины можно обнаружить даже на крыльях и фюзеляжах самолётов. Они могут длительное время присутствовать в напряжённой конструкции и не проявлять стремления к заметному росту. Появление трещин далеко не всегда сопровождается разрушением. Целостность структуры во многом определяется тем, как материал «держит» трещину. С другой стороны, известны многочисленные примеры разрушений, связанные с трещинами. Разрушаются морские суда и летательные аппараты, взрываются паровые котлы и трубопроводы. Крупные аварии и даже катастрофы связаны с прорывами магистральных газопроводов. При определённых условиях едва заметные трещины в стенках труб стремительно растут, распространяясь на сотни и даже тысячи метров. Эти разрушения, как правило, носят внезапный характер. Таким образом, проблема оценки прочности конструкций с дефектами в виде трещин является актуальной. Особое значение эта проблема приобретает в связи с определением остаточного ресурса элементов уникальных конструкций, изготовленных из высокопрочных сталей и сплавов. Теоретическая прочность. Масштабный эффект. При оценке прочностных качеств материала полезно иметь некоторые представления о его потенциальных возможностях. Для этого следует обратиться к физике твёрдого тела и рассмотреть структуру материала на микроуровне. Представим идеальную кристаллическую решётку (рис. 13.1). Под действием внешних сил атомы решётки получают взаимные смещения , в результате чего изменяются силы сцепления атомов. Силы сцепления между атомными плоскостями, приходящиеся на единицу площади, определяют напряжение На рис. 13.1, справа показана зависимость . Максимальное напряжение , соответствующее разрыву межатомных связей, носит название теоретической прочности. Согласно приближённым оценкам теоретическая прочность материала , где – модуль упругости. Таким образом, чем выше модуль упругости материала, тем сильнее силы сцепления атомов. Очевидно, что потенциально высокопрочные материалы имеют структуры с высоким модулем упругости и с большой плотностью (бóльшим числом атомов на единицу объёма). Следует подчеркнуть, что такой вывод сделан исключительно на основе теоретического анализа. Результаты механических испытаний, как правило, противоречат данным теории. Реальная прочность материалов в десятки, сотни и даже тысячи раз ниже теоретической оценки. Так, для сталей модуль упругости , теоретическая прочность . В действительности предел прочности сталей . Это составляет примерно десятую часть от теоретической прочности. Вместе с тем в ряде специально поставленных экспериментов получены характеристики прочности, близкие к теоретическим оценкам. Первые эксперименты были выполнены в 1920 году английским исследователем Гриффитсом60. В результате опытов со стеклянными волокнами он обнаружил так называемый масштабный эффект – зависимость предела прочности от размеров образца. Оказалось, чем тоньше волокна, тем выше их прочность. Для самых тонких волокон 2,5 мкм ему удалось получить прочность, близкую к теоретическим оценкам61. Уже в своих первых работах Гриффитс подчёркивал, проблема состоит не столько в том, чтобы объяснить, почему тонкие волокна обладают высокой прочностью, сколько в том, чтобы понять, почему столь мала прочность толстых волокон. Роль трещин и надрезов. Напряжённое состояние в окрестности трещины. Рассмотрим пластинку с поперечной трещиной. В качестве приближённой модели трещины примем отверстие эллиптической формы (рис. 13.2, слева). Ширина пластинки значительно больше длины трещины . Для анализа напряжённого состояния в окрестности трещины воспользуемся результатами решений Г. В. Колосова62 (1909) и К. Е. Инглиса63 (1913), выполненными методами теории упругости. На рис. 13.2, справа представлены эпюры напряжений и . Из эпюр видно, что при растяжении пластинки у краёв отверстия возникают повышенные местные напряжения, которые быстро затухают по мере удаления от отверстия. Максимальное нормальное напряжение получается у вершины эллипса: . (13.1) Здесь – номинальное напряжение, – нормальная сила, – площадь поперечного сечения пластинки без отверстия, и – размеры большой и малой полуосей эллипса, – радиус кривизны у вершины эллипса. В области отверстия имеет место плоское напряжённое состояние. Помимо напряжений в сечении ВС возникают растягивающие напряжения , которые достигают максимального значения на расстоянии ~ от вершины. В этой точке – двухосное растяжение. При этом максимальное напряжение . Для круглого отверстия , поэтому . Согласно (13.1) величина зависит от размеров отверстия, с одной стороны, отношения , с другой – . При отверстие превращается в тонкую трещину. При этом, чем тоньше и длиннее трещина, чем острее её вершина, тем больше величина максимального напряжения. Таким образом, получается, что основная нагрузка, которую несли разорванные межатомные связи, падает на единственную связь у кончика трещины. Если такая «перегруженная» связь лопнет, то длина трещины увеличится. Как следствие – увеличится напряжение . Этим и объясняется, почему сравнительно слабая сила «рвёт» прочнейшие межатомные связи. Решение (13.1) позволяет достаточно логично толковать результаты ряда экспериментов. В табл.13.1 приведены характеристики прочности стеклянных образцов () в зависимости от состояния поверхности. Из таблицы видно, что травление поверхности кислотой существенно увеличивает предел прочности материала. Очевидно, что при травлении сглаживаются профили поверхностных дефектов. Острые края трещин становятся тупыми, их радиусы увеличиваются, что приводит к уменьшению уровня местных напряжений. Таблица 13.1 Состояние поверхности Предел прочности , МПа Состояние поставки Травление кислотой Пескоструйная обработка 46 1760 14 После пескоструйной обработки, наоборот, дополнительно создаётся множество «острых» поверхностных дефектов. Это приводит к увеличению уровня местных напряжений и, в свою очередь, – к уменьшению прочности материала. Итак, мы пришли к пониманию того, что в любом теле ещё до нагружения есть множество дефектов в виде затаившихся микротрещин. Не каждая трещина является опасной. Реальная прочность материала зависит не только и не столько от прочности межатомных связей, сколько от случайных дефектов и напряжённого состояния в области этих дефектов. Критическая длина трещины. Определим условия развития трещины. Для этого воспользуемся энергетической теорией Гриффитса. Рассмотрим пластинку единичной толщины со сквозной поперечной трещиной длиной в условиях одноосного растяжения (рис. 13.3). Понятно, что развитие трещины сопровождается разрывом сплошности и увеличением площади поверхности тела. А для того чтобы образовать свободную поверхность, надо произвести работу. Работа, затраченная на увеличение длины трещины на величину , равна . (13.2) Здесь – плотность поверхностной энергии разрушения. При раскрытии трещины образуются две новые поверхности – вверху и внизу, этим и объясняется «лишняя» двойка. В свою очередь, развитие трещины связано с разгрузкой областей, примыкающих к трещине. Эти области освобождаются от действия напряжений, что приводит к уменьшению энергии деформаций. Для тела с трещиной длиной . (13.3) Здесь – величина, пропорциональная плотности энергии упругих деформаций в условиях одноосного растяжения, – площадь круга радиусом (рис.13.3). Считается, что круг определяет область разгрузки, которая, в свою очередь, зависит от формы трещины и её расположения. Соотношение (13.3) получено при условии, что длина трещины мала по сравнению с поперечными размерами тела. При продвижении трещины на величину изменение энергии деформаций определяется разностью . (13.4) Критическая длина трещины находится из условия . Откуда . (13.5) Введя обозначение , получим . Здесь – критический коэффициент интенсивности напряжений размерности . Он характеризует вязкость разрушения, или трещиностойкость материала. Вязкость – это свойство структуры, её способность блокировать развитие трещин. Чем больше величина , тем лучше материал сопротивляется растрескиванию64. Значения коэффициента определяется экспериментально путём испытаний стандартных образцов, содержащих наперёд заданную острую трещину. Геометрия образца и условия испытаний строго регламентированы. Образец нагружается статически, и в момент «страгивания» трещины фиксируется напряжение . Это напряжение считается критическим. В зависимости от напряжения определяется критическое значение коэффициента . С учётом находится критическая длина трещины . Таким образом, при напряжении трещина развивается, если , и не развивается, если . Очевидно, что трещина длиной не представляет опасности для конструкции. На рис. 13.4 дано сопоставление характеристик вязкости разрушения металлов, керамики, полимеров и композитов. Видно, что трещиностойкость металлов и композитов заметно выше, чем керамики и полимеров. Если по прочности (рис.4.4) и по жёсткости (рис.3.4) керамика сопоставима с металлами, то по трещиностойкости наблюдается их существенное различие. Таблица 13.2 Материал , Дюраль Медь, титан Эпоксидная смола 110 90 2 В табл. 13.2 приведены ориентировочные значения коэффициентов некоторых материалов. Как видим, вязкость разрушения алюминиевых сплавов, сплавов меди, титана значительно превышает вязкость эпоксидной смолы. Пример. Для пластинки с поперечным сечением = 400 мм,  = 4,2 мм и сквозной трещиной длиной 2a = 40 мм выполнить поверочный расчёт: определить коэффициенты запаса прочности по текучести и по трещиностойкости . Пластинка нагружена сосредоточенной силой = 281 кН. Материал Ст.3: предел текучести =250 МПа, характеристика трещиностойкости = 60. Предварительно определяем номинальные напряжения и находим коэффициент запаса прочности по пределу текучести . Затем вычисляем критическое напряжение . Очевидно, что или . Откуда находим = 239 МПа. В результате коэффициент запаса по трещиностойкости . Заметим, что напряжению соответствует критическая длина трещины , а напряжению – длина . То есть, чем ниже уровень напряжений, тем больше критический размер трещины. Следует подчеркнуть, что минимальный размер трещины не может быть больше характерного размера тела. Вот почему критические напряжения для малоразмерных тел, в частности тонких волокон, получаются значительно больше, чем для массивных тел и толстых волокон. Этим, очевидно, и объясняется масштабный эффект. Способы повышения трещиностойкости. При поиске подходящего конструкционного материала главное внимание, обычно, обращают на характеристики прочности. Принято считать, что высокий предел прочности – это хорошо. Однако на практике использование высокопрочных материалов часто не приводит к ожидаемым результатам. Высокопрочные материалы, как правило, являются относительно хрупкими, по этой причине они плохо «держат» трещину. В процессе эксплуатации в них достаточно быстро развиваются начальные дефекты. Вместе с тем материалы с относительно низкими характеристиками прочности, но более пластичные, лучше сопротивляются растрескиванию. И чем выше характеристики пластичности материалов, тем выше их трещиностойкость. В связи с этим, репутацию относительно «безопасного» материала имеет малоуглеродистая мягкая сталь. Исключение из этого правила составляют волокнистые композиционные материалы. Такие материалы способны сочетать в себе высокую статическую прочность и высокую трещиностойкость. Хорошо сопротивляются трещине ткани, биологические материалы, плетёные деревянные конструкции. Для повышения трещиностойкости материалов и конструкций, имеющих склонность к хрупкому разрушению, используются различные конструктивные и технологические приёмы. Условно их можно разбить на две большие группы. 1. Создание поля начальных напряжений сжатия. Этот приём, в частности, используется в предварительно напряжённых монолитных железобетонных конструкциях, где благоприятное поле напряжений сжатия бетона создаётся путём натяжения стальной арматуры65. А также в многослойных конструкциях стволов артиллерийских орудий и сосудов высокого давления. Обжатие наиболее напряжённых внутренних слоёв обеспечивается за счёт натяжения наружных слоёв. Для этого при сборке используется напряжённая посадка с натягом. 2. Создание препятствий (ловушек) на пути трещин. В связи с этим отметим стопорные отверстия у кончиков трещин66 (трещина упирается в круглый край отверстия и останавливается), стопорные кольца и рёбра жёсткости, а также вставки, сварные швы, полосы повышенной трещиностойкости. Препятствиями на пути трещин также могут служить структурные неоднородности материала (дислокации или твердые включения), либо поверхности раздела двух сред (многослойные структуры, биметаллы, триметаллы, а также пенометаллы)67. В качестве примера рассмотрим некоторые особенности разрушения однонаправленных композитов. Заметим, что сопротивление волокнистых композитов развитию трещин в значительной степени зависит от направления68. Так, например, характеристики трещиностойкости углепластика КС вдоль и поперек волокон составляют примерно 2 и 105 МПам½. Причём поперечная вязкость разрушения композита КС=105 МПам½ намного выше вязкости разрушения составляющих его компонентов (волокон углерода и эпоксидного связующего) и своим высоким значением обязана созданной неоднородной структуре. В зависимости от соотношения прочности связующего и прочности сцепления волокон с матрицей наблюдаются две характерные формы разрушения композита. При высокой прочности сцепления волокон с матрицей поперечная трещина разрывает волокна. При ограниченной прочности сцепления на границе раздела «волокно – матрица» под действием растягивающего напряжения x (рис. 13.2, справа) перед кончиком трещины образуется отслоение волокон от матрицы – продольное растрескивание. Продольные трещины увеличивают радиусы кривизны кончиков трещин. Благодаря этому уменьшается концентрация напряжений, что останавливает развитие поперечных трещин и определяет высокую поперечную вязкость разрушения композита. Композиция в целом обладает механическими свойствами, не присущими ни одному из составных компонентов. Композитная структура (именно структура) уже сама по себе действует как своеобразный механизм торможения и остановки трещин. При ограниченной прочности сцепления волокон с матрицей поверхности раздела блокируют развитие поперечных трещин. Контрольные вопросы 1. Сформулируйте понятия «теоретическая прочность» и «реальная прочность» материала. 2. Что такое масштабный эффект? Почему реальная прочность материала значительно ниже теоретической прочности? 3. Что такое концентрация напряжений? Какое влияние оказывает концентрация напряжений на прочность материала? 4. Назовите характеристики трещиностойкости, или вязкости разрушения, материала. Как они определяются? 5. Как определяется критическая длина трещины? 6. Запишите условие развития трещин. 7. Перечислите конструктивные и технологические приёмы повышения трещиностойкости материалов и конструкций. 8. Опишите характерные формы разрушения композитов. Почему вязкость разрушения однонаправленного волокнистого композита в поперечном направлении значительно выше продольной вязкости? ЛЕКЦИЯ 14 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ • Обобщённая сила и обобщённое перемещение • Работа внешних сил • Теорема взаимности работ • Свойство взаимности перемещений • Потенциальная энергия деформации пространственного стержня • Формула Кастильяно • Интегралы Максвелла-Мора • Правило Верещагина • Расчёт витых цилиндрических пружин Обобщённая сила и обобщённое перемещение. Под обобщённой силой условимся понимать любую силу: сосредоточенную, распределённую по линии, по площади, по объёму, а также момент пары сил. Под обобщённым перемещением – любое перемещение, на котором обобщённая сила совершает работу. На рис.14.1 показано, что сосредоточенной силе отвечает линейное перемещение , сосредоточенному моменту – угол поворота , погонной нагрузке – площадь эпюры прогибов . Заметим, что обобщённые перемещения могут быть как абсолютными, так и относительными (взаимными). Относительному линейному перемещению соответствуют две равные навстречу направленные сосредоточенные силы, аналогично относительному угловому перемещению – два сосредоточенных момента. Работа внешних сил. Процесс нагружения упругого тела сопровождается его деформированием, в результате чего точки приложения внешних сил получают перемещения, на которых внешние силы сами производят работу. Известно, что элементарная работа обобщённой силы на бесконечно малом обобщённом перемещении вычисляется как скалярное произведение векторов , (14.1) где – угол между векторами и . Полная работа силы на конечном перемещении определяется интегралом вида: (14.2) Рассмотрим статическое приложение силы . В процессе нагружения направление вектора силы остаётся неизменным и совпадает с направлением перемещения . Тогда интеграл (14.2) зависит лишь от закона изменения силы на перемещении . Предположим, что внешняя сила изменяется по линейному закону. В этом случае интеграл (14.2) равен . (14.3) Таким образом, работа обобщённой силы на обобщённом перемещении равна половине произведения конечного значения силы на конечное перемещение . Множитель 1/2 обусловлен тем, что в процессе статического нагружения внешняя сила не остаётся постоянной, она изменяется по линейному закону от 0 до . Теорема взаимности работ. Рассмотрим балку (рис. 14.2), нагруженную силами и , как линейно упругую систему. Используя принцип суперпозиции, подсчитаем работу внешних сил в процессе прямого и обратного статического нагружения. Прямое нагружение. Вначале прикладываем силу , затем, к деформированному состоянию, – силу (рис. 14.2, а). Справа построены графики зависимостей перемещений от нагрузки: и . Сумма работ внешних сил равна сумме площадей заштрихованных фигур. Очевидно: . (14.4) Заметим, что в процессе приложения силы сила остаётся постоянной, поэтому работа силы на дополнительном перемещении равна . Обратное нагружение. Вначале прикладываем силу , затем – силу (рис. 14.2, б). В этом случае . (14.5) Здесь () – перемещение точки под действием силы . Очевидно, что работа внешних сил не зависит от порядка их приложения. Тогда, приравнивая (14.4) и (14.5), получим . (14.6) Равенство (14.6) выражает теорему взаимности работ, или теорему Максвелла69. Работа сил первого состояния на перемещениях, вызванных силами второго состояния, равняется работе сил второго состояния на перемещениях, вызванных силами первого состояния. Здесь под и понимаются обобщённые силы, а под и – обобщённые перемещения. Теорема носит общий характер, она справедлива для любых деформируемых систем с линейно упругими свойствами. Свойство взаимности перемещений. В частном случае, если , то тогда равенство (14.6) принимает следующий вид: . (14.7) Здесь и – обобщённые перемещения от единичных сил, называемые податливостями. Равенство (14.7) выражает свойство взаимности перемещений, или теорему Бетти70. Потенциальная энергия деформации пространственного стержня. Рассмотрим стержень длиной под действием произвольной системы внешних сил. В результате деформирования стержень накапливает потенциальную энергию деформации71. Заметим, что любая упругая система обладает не только свойством аккумулировать энергию, но и отдавать накопленную энергию при снятии нагрузки. Это свойство упругих систем используется как источник энергии в заводных пружинах часов, катапультах, приводах авиационных моделей и многих другие. Определим величину потенциальной энергии деформации элемента стержня длиной (рис. 14.3). Координатные оси и совместим с направлением главных центральных осей поперечного сечения, ось направим по нормали к сечению. В общем случае нагружения в поперечном сечении стержня имеют место шесть внутренних силовых факторов: три силы – , , и три момента – , , . Энергию деформации элемента , накопленную при нагружении стержня, приравняем к работе внутренних силовых факторов на обобщённых перемещениях. Считая одно из сечений элемента неподвижным, на основании принципа суперпозиции запишем: (14.8) Здесь обобщённые перемещения определяются известными формулами: • при растяжении-сжатии ; (14.9) • при кручении ; (14.10) • при чистом изгибе и ; (14.11) • при поперечном сдвиге перемещения и , определяющие смещение одной грани элемента относительно другой, связаны с угловыми деформациями (углами сдвига) и следующими зависимостями: , , (14.12) где и – поперечные силы, – модуль сдвига, – площадь поперечного сечения, – поправочный коэффициент, который учитывает неравномерное распределение касательных напряжений и по координатам и . Коэффициент зависит от формы поперечного сечения: для прямоугольника , для круга , для тонкостенного кольца . Подставляя (14.9) – (14.12) в выражение (14.8) и интегрируя по длине стержня , получим . (14.13) Здесь , , , и – жёсткости поперечного сечения стержня на растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб в плоскостях и соответственно. Согласно зависимости (14.13) накопленная энергия деформации определяется в зависимости от внутренних силовых факторов и жёсткости поперечного сечения стержня. Формула Кастильяно72. Частная производная от потенциальной энергии деформации по обобщённой силе равна обобщённому перемещению, или перемещению точки приложения силы в направлении действия силы: . (14.14) Формула (14.14) справедлива для произвольных линейно упругих систем. Интегралы Максвелла-Мора получили широкое распространение при решении многих практических задач. Рассмотрим пространственный стержень под действием произвольной системы внешних сил (рис. 14.4). Требуется определить перемещение сечения в направлении . Для этого приложим в сечении в направлении фиктивную силу . Очевидно, внутренние силовые факторы в произвольном сечении стержня будут прямо пропорциональны внешним силам, включая силу : , , , , (14.15) , . Здесь – внутренние силовые факторы от заданных внешних сил. Для определения искомого перемещения воспользуемся формулой Кастильяно (14.14). Подставляя выражения (14.15) под знаки интегралов (14.13), после дифференцирования подинтегральных функций находим: (14.16) Здесь ,… – нормальная сила от единичной силы . В результате чего после замены производных и подстановки получим следующие формулы: (14.17) Интегралы (14.17) носят название интегралов Максвелла-Мора73. При вычислении перемещений с помощью интегралов Максвелла-Мора следует выполнить следующие действия: 1) составить выражения внутренних силовых факторов от заданных внешних сил; 2) в направлении искомого перемещения приложить обобщённую силу и определить внутренние силовые факторы от единичной силы ; 3) вычислить интегралы (14.17). На практике, при расчёте перемещений, во многих случаях достаточно учесть деформации изгиба и кручения, полагая . В обычных условиях это обеспечивает достаточную точность решения. Пример 1. Определить вертикальное перемещение сечения (рис. 14.5). Ось стержня очерчена дугой окружности радиуса . Жёсткость поперечного сечения на изгиб . Положение произвольного сечения стержня определяется угловой координатой , длина элемента . Для решения задачи воспользуемся интегралами (14.17). Предварительно в сечении K приложим силу . Разделим стержень на два участка. Границами участков служат точки приложения внешних сил, включая единичную силу. В пределах каждого участка запишем выражения изгибающих моментов от заданной силы и силы . Участок 1 (): , . Участок 2 (): , . Изгибающий момент считаем положительным, если он увеличивает начальную кривизну стержня. Влиянием продольных и поперечных сил пренебрегаем. Подставляя функции и в интеграл (14.17), получим . Знак плюс свидетельствует, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы. Пример 2. Для кольца, нагруженного сосредоточенной силой (рис. 14.6), определить вертикальное перемещение концевого сечения . Сила действует перпендикулярно плоскости кольца. Рис. 14.6 Рис. 14.7 Из уравнения равновесия отсечённой части кольца (рис. 14.7) находим изгибающий и крутящий моменты: и . В сечении в вертикальном направлении приложим силу . Соответствующие ей внутренние силовые факторы равны: и . Подставляя полученные выражения в интегралы (14.17), запишем: или . Здесь и – жёсткости поперечного сечения на кручение и изгиб соответственно. Правило Верещагина74. В тех случаях, когда ось стержня в пределах участка прямая, а поперечное сечение по длине постоянное, для вычисления интегралов Максвелла-Мора удобно воспользоваться правилом Верещагина. Заметим, что при постоянной жёсткости поперечного сечения вычисление интегралов (14.17) сводится к интегрированию скалярного произведения двух функций на участке длиной : . (14.18) Здесь – произвольная, знакопостоянная функция; – линейная функция, где и – константы. Тогда , (14.19) где – площадь, ограниченная кривой ; – статический момент площади, ограниченной кривой . После подстановки и преобразований получим . (14.20) Итак, для того чтобы взять интеграл от произведения двух функций вида (14.18), следует площадь, ограниченную первой функцией, умножить на ординату второй, взятую под центром тяжести площади первой. Расчёт перемещений по правилу Верещагина выполняется в определенной последовательности. 1. Вначале строится эпюра от заданных внешних сил («грузовая эпюра»). 2. Затем в направлении искомого перемещения прикладывается единичная обобщённая сила и строится «единичная эпюра». 3. Эпюры перемножаются: площадь грузовой эпюры умножается на ординату единичной эпюры, взятую под центром тяжести грузовой. Результат делится на соответствующую жёсткость поперечного сечения. Таким образом, операция интегрирования (14.18) заменяется операцией «перемножения» эпюр внутренних силовых факторов. В общем случае операция перемножения некоммутативна: результат зависит от порядка сомножителей, то есть . В частном случае, когда и грузовая, и единичная эпюры описываются линейными функциями, операция перемножения становится коммутативной, то есть . На рис. 14.8 приведены значения площадей элементарных фигур (прямоугольника; прямоугольного треугольника; треугольников, очерченных квадратными параболами) и показаны положения их центров тяжести. Пример 1. Используя правило Верещагина, вычислить линейное перемещение концевого сечения балки (рис. 14.9). Жёсткость поперечного сечения на изгиб . Вначале строим эпюру изгибающих моментов от силы (грузовую эпюру). Затем в направлении искомого перемещения прикладываем силу и строим единичную эпюру. Далее перемножаем эпюры: . Заметим, участок балки здесь нельзя рассматривать целиком, поскольку грузовая эпюра не является непрерывной. Поэтому перемножение эпюр выполняется раздельно на каждом участке длиной . На участке справа результат перемножения равен нулю. Для левого участка ордината единичной эпюры под центром тяжести грузовой складывается из двух отрезков: и . Предварительно трапеция делится на два треугольника. Пример 2. Для ступенчатого стержня на рис. 14.10 вычислить взаимный угол поворота . Строим эпюру крутящих моментов от заданных внешних сил. Для определения угла поворота сечения относительно прикладываем единичные моменты и строим единичную эпюру. Перемножая эпюры, получим: . Здесь на участке длиной обе эпюры, грузовая и единичная, являются непрерывными. Однако жёсткость поперечного сечения ступенчатого стержня терпит разрыв. Поэтому перемножение эпюр выполняется раздельно по участкам диаметром и . Для участка диаметром полярный момент инерции поперечного сечения равен . Интегралы Максвелла-Мора и правило Верещагина – классические методы сопротивления материалов. Возможно, на фоне современных вычислительных методов они покажутся несколько старомодными. Однако при решении многих практических задач оба метода по-прежнему остаются достаточно универсальным и незаменимым средством вычисления перемещений. Расчёт витых цилиндрических пружин. Такие пружины широко применяются в технике в качестве аккумуляторов энергии и амортизаторов. Они изготовляются путём навивки пружинной проволоки или ленты на оправку. В зависимости от назначения витые пружины делятся на пружины растяжения, пружины сжатия и пружины кручения. Рассмотрим витую пружину как пространственно-изогнутый стержень, осевая линия которого представляет собой винтовую линию (рис. 14.11). Обозначим – средний диаметр витка, – диаметр проволоки, – число рабочих витков. Угол подъёма витка считается малым (обычно ). Пружина сжатия нагружена силами, равнодействующая которых направлена вдоль её оси (рис. 14.11, слева). В этих условиях основное влияние на упругие перемещения оказывает крутящий момент (рис. 14.12, слева): . (14.21) При малых углах подъёма витка , поэтому изгибающим моментом ввиду малости, как и поперечной силой , пренебрегаем. Для расчёта осадки пружины воспользуемся интегралом Максвелла-Мора: , (14.22) где – жёсткость поперечного сечения на кручение, – крутящий момент от единичной силы , – длина витков рабочей части пружины. Если пружина навита из круглой проволоки, то тогда . В этом случае получим: . (14.23) Следует иметь в виду, что в формуле (14.23) диаметры и «стоят» в третьей и четвёртой степени соответственно. Поэтому достаточно малые отклонения размеров и от номинальных значений оказывают заметное влияние на жёсткость пружины. В свою очередь, максимальные касательные напряжения при кручении витков определяются формулой , (14.24) где – момент сопротивления сечения кручению. Пружина кручения нагружена двумя моментами в плоскости, перпендикулярной её оси (см. рис. 14.11, справа). В этих условиях основное влияние на упругие перемещения оказывает изгибающий момент (см. рис. 14.12, справа). При малых углах крутящим моментом ввиду малости пренебрегаем. Угол поворота одного конца пружины относительно другого определяется интегралом Максвелла-Мора , (14.25) где – изгибающий момент от момента . Для сечения круглой формы . В этом случае (14.26) Максимальные напряжения изгиба будут равны . (14.28) Здесь – момент сопротивления сечения изгибу. В заключение стоит ещё раз отметить характерную, в чём-то даже парадоксальную особенность: витки пружины сжатия и пружины растяжения работают в основном на кручение, а витки пружины кручения – на изгиб. Контрольные вопросы 1. Сформулируйте понятия «обобщённая сила» и «обобщённое перемещение». 2. Как определяется работа обобщённой силы при статическом нагружении? 3. Сформулируйте теорему взаимности работ. Объясните свойство взаимности перемещений. 4. Запишите формулу потенциальной энергии деформации пространственного стержня. 5. Сформулируйте теорему Кастильяно. 6. Объясните процедуру расчёта перемещений при помощи интегралов Максвелла-Мора. 7. В каких случаях при вычислении интегралов Максвелла-Мора следует использовать правило Верещагина? 8. Опишите процедуру вычисления интегралов Максвелла-Мора по правилу Верещагина. 9. Какие внутренние силовые факторы возникают при сжатии и кручении витой пружины? 10. На сколько изменится жесткость витой пружины при увеличении диаметра проволоки в два раза? ЛЕКЦИЯ 15 СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ • Фермы и рамы • Степень статической неопределимости • Метод сил • Основная система • Канонические уравнения метода сил • Свойство симметрии • Особенности расчёта многопролётных неразрезных балок Стержневые системы широко применяются в качестве несущих элементов подъёмно-транспортных машин, станков, велосипедов, автомобилей, летательных аппаратов, а также промышленных зданий и сооружений. Настоящая лекция посвящена расчёту простейших статически неопределимых стержневых систем75. Методы расчёта и характерные расчётные схемы реальных конструкций – зданий и сооружений, самолётов, ракет, кораблей, традиционно рассматриваются в курсах «Строительная механика». Стержневые системы делятся на фермы и рамы. Ферма – геометрически неизменяемая стержневая система, элементы которой работают в основном на растяжение или сжатие. Расчётная схема фермы предполагает передачу нагрузки через узлы и шарнирные соединения элементов в узлах (рис. 15.1). Для фермы чаще всего характерна треугольная решётка – простейшая геометрически неизменяемая конфигурация с идеальными шарнирами в узлах. Наклонные элементы фермы называются раскосами, вертикальные элементы – стойками, горизонтальные – перекладинами (или траверсами, ригелями). Расстояние между опорами фермы носит название пролёта. Рама – геометрически неизменяемая стержневая система, элементы которой работают преимущественно на изгиб и кручение. Рамой может быть та же ферма, только с жёсткими соединениями стержней в узлах. В отличие от фермы концевые сечения элементов рамы лишены не только относительных линейных, но и угловых смещений. Рамы делятся на плоские (рис. 15.2, а), плоскопространственные (рис. 15.2, б) и пространственные (рис. 15.2, в). У плоскопространственной рамы плоскость действия нагрузки перпендикулярна плоскости рамы. Различают статически определимые и статически неопределимые системы. В статически определимых системах реакции опор и внутренние силовые факторы находятся из уравнений равновесия. Обычно это сравнительно простые системы. Распределение внутренних усилий и напряжений в них определяется в зависимости от геометрических факторов. Такие системы обладают ограниченной живучестью76, как правило, разрушение одного из элементов системы приводит к разрушению всей конструкции (система превращается в механизм). Статически неопределимыми системами называются системы, у которых реакции опор и внутренние силовые факторы не могут быть определены из уравнений статического равновесия. Такие системы оказываются более сложными. Распределение внутренних усилий и напряжений в них зависит не только от геометрических факторов, но и от упругих свойств отдельных элементов. Достоинством статически неопределимых систем является их повышенная живучесть. Разрушение отдельного элемента системы, как правило, не приводит к разрушению конструкции целиком. Действующая нагрузка просто перераспределяется между остальными элементами, и система продолжает работать, оказывая сопротивление нагрузке. Степень статической неопределимости. Любое абсолютно жёсткое тело в пространстве имеет 6 степеней свободы, на плоскости – 3 степени свободы. Напомним, число степеней свободы – это число обобщённых координат, определяющих пространственное положение тела. Для того чтобы зафиксировать положение тела в пространстве (или на плоскости) и обеспечить его геометрическую неизменяемость, нужно наложить связи (ограничения на перемещения). Количество связей при этом должно соответствовать числу степеней свободы. В этих условиях изменение положения тела в пространстве возможно лишь за счёт его деформирования, а не за счёт движений как жёсткого целого. Минимальное число связей, фиксирующее положение тела в пространстве (или на плоскости), носит название необходимого числа связей (рис. 115.3). Всякая связь, наложенная сверх необходимого числа, носит название дополнительной («лишней», или «избыточной») связи. Число дополнительных связей определяет степень статической неопределимости (рис. 15.4). Введение дополнительных связей, как правило, делает систему более прочной и жёсткой. Удаление дополнительных связей превращает статически неопределимую систему в статически определимую систему, но не превращает её в механизм. Связи в стержневых системах делятся на внешние и на внутренние. Внешние связи ограничивают абсолютные перемещения (рис. 15.4), внутренние связи – относительные (или взаимные) перемещения сечений друг относительно друга (рис. 15.5). Для определения степени статической неопределимости плоских рам используется формула: , (15.1) где – число внешних связей, – число замкнутых контуров, – число врезанных одиночных шарниров. Одиночный шарнир связывает два стержня (), двойной шарнир – три стержня () и т. д. (рис. 15.6). Врезанный одиночный шарнир уменьшает степень статической неопределимости на единицу, так как устраняет связь на взаимный угол поворота двух смежных сечений (рис.15.5). Замкнутый контур плоской рамы содержит три дополнительные внутренние связи, он три раза статически неопределим. В случае пространственной рамы в формуле (15.1) вместо числа 3 следует подставить 6 – необходимое число связей, фиксирующих равновесие, а заменить на (замкнутый контур пространственной рамы содержит 6 дополнительных связей). Пример. Определить степень статической неопределимости плоских рам, расчётные схемы которых изображены на рис. 15.7. Схема а. Рама имеет две дополнительные внешние связи, степень статической неопределимости определяется формулой . Схема б. Рама имеет дополнительные три внешние и две внутренние связи, степень статической неопределимости равняется . Схема в. Шарнир – двойной (он связывает три стержня), степень статической неопределимости . Схема г. Стойки – сплошные, каждый шарнир связывает только два стержня, имеется замкнутый контур, степень статической неопределимости . Метод сил. Существуют два фундаментальных метода расчёта статически неопределимых систем: метод сил (или метод податливостей) и метод перемещений (или метод жёсткостей). В одном случае в качестве основных неизвестных принимаются силы, в другом – перемещения. Метод перемещений лучше подходит для программирования на ЭВМ, чем метод сил. Поэтому он стал основой машинных методов расчёта. На базе метода перемещений разработан метод конечных элементов (МКЭ) – основа современных вычислительных систем: ANSYS, NASTRAN, COSMOS, SAP и многих других. Эти системы широко применяются для численного исследования разнообразных физических явлений и процессов, включая анализ прочности и жёсткости сложных конструкций. Более простым считается метод сил. Он стал основой «ручных» методов расчёта и традиционно рассматривается в курсе «Сопротивление материалов». При расчёте конструкций методом сил заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей. Действие отброшенных связей на систему заменяется реакциями (обычно силами или моментами). Эти реакции являются основными неизвестными, которые находятся из уравнений совместности перемещений. Расчёт выполняется в определенной последовательности. Вначале по формуле (15.1) устанавливается степень статической неопределимости. Так, для плоской рамы на рис. 15.8 степень статической неопределимости . Затем формируется основная система. Она образуется из заданной системы путём исключения дополнительных внешних и/или внутренних связей. Основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой. Для каждой статически неопределимой системы можно составить неограниченное число основных систем. Так, например, для рамы на рис. 15.8 показаны три возможных варианта. Они получены из заданной системы путём отбрасывания пяти внешних и внутренних связей. Далее на базе выбранной основной системы (рис. 15.9) формируется система, эквивалентная заданной. Для этого основную систему нагружают внешними силами и реакциями отброшенных связей. Поведение статически определимой основной системы и заданной статически неопределимой системы под нагрузкой должно быть тождественным. Условия тождественности (или эквивалентности) предполагают, что обобщённые перемещения основной системы в направлении отброшенных связей равны нулю (связи считаются абсолютно жёсткими), то есть , (). (15.2) Каждое уравнение выражает условие совместности: равенство нулю абсолютного или относительного перемещения в направлении отброшенной связи. Число таких уравнений равняется степени статической неопределимости системы. На основании принципа суперпозиции уравнения (15.2) представляются в виде суммы: . (15.3) В линейных системах упругие перемещения прямо пропорциональны внешним силам. С учётом этого уравнения (15.3) переписываются к виду: . (15.4) Коэффициенты – это обобщённые перемещения в направлении от единичных сил (являются характеристиками податливости основной системы); – обобщённые перемещения в направлении от внешней нагрузки . Внешними нагрузками могут служить как силовые, так и температурные и кинематические воздействия. Кинематические воздействия отражают заданные смещения отдельных точек конструкции. Таким образом, условие эквивалентности основной и заданной статически неопределимой системы выражается в виде линейных алгебраических уравнений: , , (15.5) .……………………………… . Уравнения (15.5) получили название канонических уравнений метода сил. Каждое уравнение выражает равенство нулю абсолютного или относительного линейного либо углового перемещения в направлении отброшенной дополнительной связи. Для нахождения коэффициентов и используются интегралы Максвелла-Мора: (15.6) где , и , – соответственно крутящие и изгибающие моменты под действием -ого и -ого единичных факторов, и – крутящий и изгибающий моменты от внешней нагрузки. Продольные и поперечные силы имеют второстепенное значение, поэтому обычно не учитываются. В случае, если рама составлена из прямолинейных участков, для определения коэффициентов и пользуются правилом Верещагина. Канонические уравнения метода сил (15.5) удобно представить в матричной форме: , (15.7) где – квадратная симметричная матрица податливости размерности (), – вектор основных неизвестных, – вектор перемещений от внешней нагрузки. При изменении внешней нагрузки меняется лишь правая часть уравнения (15.7). Область применимости канонических уравнений метода сил ограничена линейно упругими системами и малыми перемещениями. Свойство симметрии. Учёт симметрии, особенно при расчёте рам, позволяет уменьшить размерность задачи и получить более простое решение Различают симметрию геометрическую, когда геометрия одной части рамы является зеркальным отражением другой (рис. 15.10, а), и симметрию силовую, при которой система внешних сил, приложенных к одной части рамы, является зеркальным отражением системы сил, приложенных к другой части (рис. 15.10, б). Помимо прямой симметрии существует косая, или обратная, симметрия. В этом случае одна часть рамы служит зеркальным отражением другой, взятой с обратным знаком (рис. 15.10, в). В свою очередь, и внутренние силовые факторы делятся на симметричные (рис. 15.11, а) и кососимметричные (рис. 15.11, б). Очевидно, что симметричная рама при симметричной нагрузке имеет симметричную форму деформирования, а при кососимметричной нагрузке – кососимметричную. Поэтому в случае симметричной нагрузки в плоскости симметрии рамы имеют место исключительно симметричные внутренние силовые факторы, а при кососимметричной нагрузке – кососимметричные внутренние силовые факторы. Пример. Построить эпюру изгибающих моментов и схему деформирования рамы, схема которой показана на рис. 15.12. Система три раза статически неопределима. При раскрытии статической неопределимости воспользуемся свойством симметрии. Рама является симметричной, а внешняя нагрузка – кососимметричной (ось симметрии обозначена пунктиром). Поэтому в поперечном сечении, расположенном в плоскости симметрии рамы, симметричные внутренние силовые факторы – продольная сила и изгибающий момент, равны нулю. Отличной от нуля остаётся поперечная сила. Рис. 15.12 Рис. 15.13 Разрежем раму по оси симметрии и приложим поперечные силы (рис. 15.12, внизу). В результате чего вместо трёх уравнений метода сил останется одно: . Для определения коэффициентов и воспользуемся правилом Верещагина. Перемножая единичную эпюру «саму на себя» и грузовую эпюру на единичную (рис. 15.13), находим: , . Из решения уравнения метода сил получим . Эпюра изгибающих моментов и форма деформирования рамы показаны на рис. 15.14. Расчёт многопролётных неразрезных балок. Рассмотрим многопролётную неразрезную над опорами балку постоянного поперечного сечения. Расчётная схема балки показана на рис. 15.15. Построить эпюру изгибающих моментов. Балка имеет четыре пролёта и одну консоль. Система три раза статически неопределима. Основную систему представим в виде четырёх изолированных друг от друга шарнирно опёртых участков (пролётов). Для того чтобы изолировать участки неразрезной балки, достаточно врезать шарниры над промежуточными опорами, отбросив тем самым внутренние связи на взаимные углы поворота смежных сечений. В качестве основных неизвестных примем моменты , и . Система уравнений метода сил имеет вид: , , (15.8) . Каждое уравнение выражает условие совместности перемещений: равенство нулю взаимных углов поворота двух смежных с промежуточными опорами сечений. При этих условиях основная система будет эквивалентна заданной статически неопределимой системе. Далее строим эпюры от единичных моментов и внешней нагрузки (рис. 15.15). Используя правило Верещагина, определяем коэффициенты , , . При нахождении коэффициентов , и , отражающих влияние единичной нагрузки, каждая единичная эпюра перемножалась «сама на себя». Коэффициенты и . После подстановки и преобразований система уравнений (15.8) принимает следующий вид: , , . Откуда , , . В результате представления основной системы в виде ряда отдельных шарнирно опёртых участков (пролётов) канонические уравнения метода сил приобретают ленточную трёхдиагональную структуру. Подобные системы алгебраических уравнений, даже при большом числе неизвестных, имеют сравнительно простые алгоритмы решений, удобные для расчётов на ЭВМ. Полученные значения , , откладываем на результирующей эпюре изгибающих моментов . Определяем реакции опор и в зависимости от строим упругую линию балки (обозначена пунктиром на рис. 15.15). Анализ результатов показывает, что в случае многопролётной статически неопределимой неразрезной балки изгибающие моменты и реакции опор по мере удаления от точки приложения силы достаточно быстро убывают по абсолютной величине. Так, момент в пятнадцать раз меньше момента . На предпоследней левой опоре он равен . Реакция левой опоры в 127 раз меньше реакции правой опоры. Качественно иное распределение внутренних усилий получим в случае многопролётной статически определимой балки с шарнирами, врезанными в середине пролётов (рис. 15.16). По мере удаления от точки приложения силы изгибающие моменты над промежуточными опорами не изменяются и, независимо от числа пролётов, равняются . Реакции опор и сила образуют кососимметричную систему внешних сил. Представленная методика расчёта многопролётных статически неопределимых неразрезных балок известна под названием «теоремы, или уравнений, трёх моментов», впервые сформулированной Клапейроном77 ещё в 1857 году. Контрольные вопросы 1. Какие системы называются статически неопределимыми? 2. Как определяется степень статической неопределимости? 3. Какие связи называются необходимыми, а какие – дополнительными? 4. Поясните термины: «одиночный шарнир», «двойной шарнир». 5. Опишите процедуру расчёта статически неопределимой системы методом сил. 6. Какая система называется основной системой? 7. Объясните физический смысл канонических уравнений метода сил и коэффициентов и . 8. Как учитывается свойство симметрии при расчёте статически неопределимых стержневых систем? 9. Объясните особенности выбора основной системы метода сил при расчёте многопролётных неразрезных балок. ЛЕКЦИЯ 16 РАСЧЁТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ • Упругопластическое растяжение-сжатие и изгиб • Модель идеального упругопластического тела • Предельный изгибающий момент • Пластический шарнир • Расчёт балок по предельным, или разрушающим, нагрузкам С расчётами за пределами упругости приходится иметь дело при решении ряда технологических задач, связанных с изготовлением деталей путём прокатки, штамповки, вытяжки, гибки, а также при моделировании процессов формования изделий. Например, выдавливание или вытягивание длинномерных профилированных труб, сайдингов путём экструзии78 или пултрузии79. Эти расчеты необходимы и при разработке технологических процессов, связанных с повышением несущей способности деталей путём их предварительного пластического деформирования: заневоливание пружин, автофретирование80. Но чаще всего, с ними приходится иметь дело при обосновании прочности деталей из пластичных материалов по предельным, или разрушающим, нагрузкам. В отличие от упругих деформаций, за пределами упругости имеют место необратимые пластические деформации. Соотношения между напряжениями и деформациями не подчиняются линейным зависимостям, закон Гука не применим. Ограничимся расчётом стержневых систем. Считаем, что стержни изготовлены из пластичного материала, диаграмма растяжения которого изображена на рис. 16.1, а. Для описания поведения материала за пределами упругости воспользуемся схематизированной диаграммой идеального упругопластического тела, или диаграммой Прандтля81 (рис. 16.1, б). Диаграмма включает два участка: первый описывает линейно упругое поведение (), второй – идеально пластическое (). Влиянием упрочнения материала пренебрегаем. Упругопластическое растяжение-сжатие А. Статически определимая система. Рассмотрим систему, составленную из двух стержней (рис. 16.2, слева). Определить предельную, или разрушающую, нагрузку, при которой стержни «текут», то есть . Здесь – предел текучести материала, – площадь поперечного сечения стержня. Для решения задачи используем силовую схему на рис. 16.2, справа, на основании которой запишем: или . (16.1) Откуда предельная нагрузка . Очевидно, что при система перестаёт сопротивляться нагрузке и превращается в механизм. Б. Статически неопределимая система. Рассмотрим систему, составленную из трёх стержней (рис. 16.3). Выделим характерные стадии деформирования. Упругое деформирование (). Воспользуемся результатами упругого решения (5.9). Тогда , . (16.2) Если , то и . В свою очередь, упругое перемещение узла B равно: . (16.3) При получим . Здесь и – длины и жёсткости поперечных сечений стержней на растяжение-сжатие. Упругое решение ограничено условием или . Откуда – нагрузка, соответствующая началу текучести центрального стержня. Соответствующее перемещение . Упругопластическое деформирование (). Представим, что центральный стержень «течёт», он перестаёт сопротивляться нагрузке, а боковые стержни (раскосы) работают упруго. На этой стадии усилие в центральном стержне . Усилия в раскосах находятся из условия равновесия узла В (рис. 16.3, а): или . Откуда . (16.4) Перемещение определяется упругими деформациями боковых стержней: . (16.5) Если принять , то получим и По мере дальнейшего увеличения силы пластическое течение развивается и в раскосах. В пределе . В этом случае из уравнения (16.4) определяется предельная нагрузка . (16.6) Если , то и . Заметим, что предельная нагрузка легко находится и при помощи схемы предельного равновесия (рис. 16.3, б). График зависимости показан на рис. 16.4. Видно, что по мере роста нагрузки жёсткость подвески уменьшается и при обращается в нуль, система превращается в механизм. Разгрузка. Остаточные напряжения. Характерной особенностью упругопластического деформирования являются различные зависимости между напряжениями и деформациями при прямом нагружении и последующей разгрузке (рис. 16.1). Если процесс нагрузки описывается нелинейной зависимостью, то разгрузка подчиняется линейному закону упругости. С учётом этого определим остаточные усилия и перемещения при сбросе нагрузки на стадии упругопластического деформирования (). Используя принцип суперпозиции, запишем: , , (16.7) . Здесь , и – усилия (16.4) и перемещение (16.5), соответствующие упругопластическим деформациям при прямом нагружении; , и – усилия (16.2) и перемещение (16.3), соответствующие упругим деформациям при сбросе нагрузки. Заметим, что после разгрузки система получает остаточные перемещения . При этом линия разгрузки параллельна линии упругого нагружения (рис. 16.4). Остаточные усилия представляют собой самоуравновешенную систему внутренних сил82, поэтому . (16.8) Упругопластический изгиб. Рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения в условиях чистого изгиба (рис. 16.5). Воспользуемся диаграммой Прандтля. Будем считать, что при растяжении и при сжатии и . Выделим характерные стадии процесса деформирования. Упругое деформирование (). Используем решение упругой задачи (лекция 8). В этом случае зависимости для деформаций и напряжений имеют вид: , , , . (16.9) Обозначим и – изгибающий момент и радиус кривизны оси прогибов балки, соответствующие началу пластических деформаций (началу текучести). Используя соотношения (16.9), запишем и . (16.10) Упругопластическое деформирование ( и ). На этой стадии поперечное сечение делится на части (рис. 16.6). Наружные части балки находятся в пластическом состоянии, центральное «ядро» остаётся упругим. Неравенство определяет область упругих деформаций, где , а – область пластических деформаций, где . Используя гипотезу плоских сечений и формулу закона Гука (для области упругих деформаций), установим границу областей. Очевидно, . Откуда . (16.11) Каждому значению радиуса соответствует координата . Из соотношения (16.11) видно, что по мере уменьшения радиуса (увеличения кривизны оси балки ) координата уменьшается (область упругости сокращается). В пределе, при или , получим . Определим изгибающий момент . Для этого запишем уравнение равновесия . Получим . (16.12) Откуда . (16.13) Из формулы (16.13), считая , находим предельный изгибающий момент . (16.14) При сечение перестаёт сопротивляться изгибу. Говорят, сечение «течёт», оно целиком охватывается пластическими деформациями. Разгрузка. Остаточные напряжения. Определим остаточные напряжения, которые возникают после нагружения и последующей разгрузки на стадии упругопластического деформирования балки (). Очевидно, , где . (16.15) Здесь – напряжение, соответствующее упругопластическим деформациям, – напряжение, соответствующее упругим деформациям. Разгрузка балки эквивалентна её нагружению отрицательным изгибающим моментом, равным . При разгрузке материал ведёт себя упруго и подчиняется закону Гука. На рис. 16.7 показана эпюра остаточных напряжений . Она получена путём алгебраического суммирования напряжений прямого нагружения и напряжений разгрузки . Остаточные напряжения представляют собой самоуравновешенную систему внутренних сил. Соответствующие им внутренние силовые факторы – продольная сила и изгибающий момент, равняются нулю, то есть и . (16.16) После разгрузки сохраняется остаточная кривизна (рис. 16.8): . (16.17) Здесь – изменение кривизны в результате прямого нагружения, – упругая отдача. Формула (16.17) применяется, в частности, для расчёта размеров оправки калиброванных витых пружин. Витая пружина получается путём навивки проволоки на цилиндрическую оправку. Остаточная кривизна определяет радиус пружины, снятой с оправки; а – радиус оправки. Радиус пружины и радиус оправки отличаются на величину упругой отдачи83. Предельный изгибающий момент. Представим, что при изгибе во всех точках поперечного сечения балки напряжения достигают предела текучести (рис. 16.9). Сечение имеет ось симметрии . Составим уравнение равновесия. Очевидно, что : . (16.18) Откуда – площади растянутой и сжатой частей поперечного сечения. Таким образом, если в области упругих деформаций нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения, то за пределами упругости она изменяет своё положение. В предельном состоянии, когда всё сечение пластически течёт, нейтральная линия делит сечение на две равновеликие по площади части. В частном случае, когда сечение обладает двойной симметрией (например, прямоугольник, двутавр), на всех стадиях деформирования нейтральная линия совпадает с одной из осей симметрии и проходит через центр тяжести поперечного сечения. Предельный изгибающий момент находится из условия равновесия: : . Откуда . (16.19) Здесь – пластический момент сопротивления (геометрическая характеристика поперечного сечения), и – расстояния от центров тяжести площадей и до нейтральной оси. Очевидно, что (рис. 16.9). Пластический шарнир. По мере роста нагрузки в наиболее напряжённых сечениях балки развиваются пластические деформации. Они зарождаются снаружи и проникают вглубь сечения. В пределе всё сечение охватывается пластическими деформациями. Им соответствует предельный изгибающий момент . В результате чего сечение перестаёт сопротивляться изгибу, превращаясь в своеобразный шарнир с моментом «трения» . Поворачиваясь вокруг шарниров, балка превращается в механизм (рис. 16.10). При этом моменты направлены навстречу вращению, они как бы препятствуют взаимному повороту двух смежных сечений. Такие односторонние шарниры получили название пластических шарниров (или шарниров текучести). Расчёт балок по предельным, или разрушающим, нагрузкам. В определённых условиях балка с врезанными шарнирами «складывается» как механизм. Состояние, при котором происходит образование механизма, называется предельным. Соответствующая кинематическая схема носит название схемы предельного равновесия (или формы разрушения), а соответствующая нагрузка – предельной, или разрушающей, нагрузки. Предельная нагрузка находится на основе предельного анализа при помощи уравнений статики либо принципа возможных перемещений. Для того чтобы статически определимая система превратилась в механизм, достаточно одного пластического шарнира. В случае статически неопределимой системы число пластических шарниров, превращающих её в механизм, увеличивается и может достигать , где – степень статической неопределимости. Пример 1. Выполнить расчёт на прочность по предельной нагрузке статически неопределимой балки, схема которой изображена на рис. 16.10. Предварительно выполним упругий расчёт. Раскроем статическую неопределимость и построим эпюру изгибающих моментов. Очевидно, что пластические шарниры возникают в наиболее напряжённых сечениях с изгибающими моментами и . При двух пластических шарнирах балка «складывается» и превращается в механизм. Для определения предельной нагрузки воспользуемся принципом возможных перемещений. Работу внешних и внутренних сил на малых возможных перемещениях приравниваем нулю: . Здесь работа моментов отрицательна, поскольку они направлены против вращения стержней. В результате находим . Условие прочности по предельной нагрузке имеет вид: , где n – коэффициент запаса. Пример 2. Рассчитать предельную нагрузку для статически неопределимой балки (рис. 16.11). Очевидно, что схема предельного равновесия должна учитывать характер предполагаемого разрушения. При изгибе балки наибольшие изгибающие моменты обычно возникают в местах приложения сосредоточенных сил и , а также в опорах. Здесь, для того чтобы получить механизм, нужно врезать три пластических шарнира. Последовательно врезая шарниры в наиболее напряжённых сечениях, представим возможные формы разрушения. Для каждой формы находим соответствующую ей предельную нагрузку. Очевидно, , , . В качестве расчётной предельной нагрузки принимаем минимальное значение . Откуда . Таким образом, реализуется первая форма разрушения. Балка «ломается» наиболее естественным образом, требующим наименьших усилий. Расчёты по предельной нагрузке рекомендуются для оценки прочности деталей, изготовленных из пластичных материалов, включая алюминий, латунь, конструкционные стали, в условиях статического нагружения. В результате за счёт более полного использования ресурсов прочности конструкции находятся более экономные и в то же время более рискованные решения по сравнению с расчётами по допускаемым напряжениям. Контрольные вопросы 1. Постройте диаграмму растяжения идеального упругопластического тела (диаграмму Прандтля). 2. Какая нагрузка называется предельной, или разрушающей, нагрузкой? 3. На примере стержневой системы (фермы) покажите, что такое схема предельного равновесия. 4. Как определяются остаточные напряжения в стержневой системе при сбросе нагрузки? 5. На стадии упругопластического деформирования покажите зависимость между напряжениями и деформациями при нагрузке и последующей разгрузке. 6. Постройте эпюру остаточных напряжений для балки при сбросе нагрузки на стадии упругопластического деформирования. 7. Что такое упругая отдача? Как она определяется? 8. Как определяется предельный изгибающий момент? Покажите положение нейтральной линии. 9. Что такое пластический момент сопротивления сечения? Как он определяется? 10. Что такое пластический шарнир? Где он образуется? 11. Как составляется схема предельного равновесия балки при её изгибе? 12. Объясните, как выполняется расчет балок по предельной, или разрушающей, нагрузке. ЛЕКЦИЯ 17 ДЕЙСТВИЕ УДАРНОЙ НАГРУЗКИ • Элементарная теория удара • Энергетический метод расчёта • Горизонтальный и вертикальный удары • Удар через промежуточную массу • Испытания на удар • Ударная вязкость Работа многих машин сопровождается ударами: столкновения транспортных средств при ДТП, гидроудары в трубах, удар шасси самолёта при посадке о землю, удары в кинематических парах с зазорами. Очевидно, что эти удары являются нежелательными, их следует, по возможности, избегать. Вместе с тем удары используются во многих ремёслах для выполнения различных технологических операций: ковка, штамповка, чеканка, обрубка металла, забивка гвоздей, свай. Здесь они обязательны. Для механического удара характерно малое время приложения нагрузки (порядка с), большие ускорения и, как следствие, большие динамические усилия и напряжения. Существуют разные подходы к описанию ударных явлений. Так, в курсе «Теоретическая механика» удар рассматривается как процесс соударения материальных точек и абсолютно твёрдых тел со сравнительно малыми относительными скоростями. Более полная картина удара строится на основе физической теории, согласно которой удар рассматривается как волновой процесс развития во времени местных деформаций. При этом используются уравнения теории упругости, теории пластичности и волновой механики. А при повышенных скоростях удара (до нескольких километров в секунду) применяется специальная теория на основе уравнений гидродинамики. В рамках курса «Сопротивление материалов» рассматривается элементарная теория удара, которая хотя и не описывает процесс соударения во времени, однако позволяет правильно оценить порядок величин максимальных деформаций и напряжений. Энергетический метод расчёта. А. Горизонтальный удар. Рассмотрим поведение упругого элемента (рис. 17.1) при ударе его грузом массой , движущегося горизонтально со скоростью . Упругий элемент представим в виде пружины с жёсткостью . Собственной массой пружины пренебрегаем. За начальный момент удара примем момент соприкосновения груза с пружиной. Считаем, что в процессе соударения груз движется совместно с пружиной без отскоков. Рис. 17.1 Рис. 17.2 На рис. 17.2 показан график зависимости перемещений от времени. Момент максимального отклонения пружины соответствует моменту остановки груза () и началу его обратного движения. Ограничимся расчётом амплитуд динамических перемещений и напряжений . Развитие процесса во времени не отслеживаем. Для вывода расчётных зависимостей воспользуемся законом сохранения энергии. Пренебрегая потерями энергии, считаем, что кинетическая энергия движущегося груза полностью преобразуется в энергию деформации упругого элемента, то есть или . (17.1) Здесь – потенциальная энергия деформации, соответствующая максимальному динамическому перемещению . Обозначим – перемещение точки удара упругого элемента в направлении удара под действием силы тяжести , приложенной статически (рис. 17.1). В результате подстановки равенство (17.1) примет вид: . (17.2) Откуда или . (17.3) Здесь – ускорение свободного падения, – динамический коэффициент. Он показывает, во сколько раз амплитуды динамических параметров напряжённо-деформированного состояния (НДС) при ударе упругого элемента больше соответствующих статических значений. При этом максимальная сила удара определяется формулой . Обобщая результат, для произвольной динамической системы с линейными свойствами запишем следующие равенства: , . (17.4) Таким образом, расчёт амплитуд параметров НДС при ударе сводится к статическому расчёту. Максимальные динамические напряжения и перемещения пропорциональны соответствующим статическим напряжениям и перемещениям. Величина коэффициента зависит от кинетической энергии движущегося груза и жёсткости упругой системы. Чем больше кинетическая энергия (больше величины и ) и больше жёсткость упругой системы (меньше величина ), тем больше амплитуды динамических напряжений и перемещений. Б. Вертикальный удар. Груз массой падает с высоты (рис. 17.3). В этом случае динамический коэффициент определяется на основании уравнения энергетического баланса: . (17.5) Здесь – кинетическая энергия движения груза массой к моменту удара; – потенциальная энергия положения груза (или работа силы тяжести); – максимальное значение потенциальной энергии деформации. Обозначим – скорость груза к началу удара при свободном падении с высоты . Тогда . (17.6) Отношение – перемещение, которое получает упругий элемент под действием статически приложенной силы тяжести . В результате подстановки уравнение (17.6) примет следующий вид: . (17.7) Откуда , где , (17.8) или . (17.9) Анализ формул (17.8) и (17.9) показывает, что при уменьшении жёсткости системы (при увеличении ) коэффициент уменьшается. Следовательно, для снижения напряжений при ударе следует уменьшать жёсткость (увеличивать податливость) системы. Вот почему для «смягчения» ударов широко применяются амортизаторы в виде пружин, рессор, надувных оболочек84. Примечательно, что при транспортировке морских буровых платформ длина буксировочных тросов достигает 1500 м и более. Это обусловлено тем, что длинный трос при растяжении менее жёсткий, чем короткий. Он смягчает резкие рывки (удары), поэтому оказывается «крепче» короткого. Частный случай – мгновенное приложение нагрузки, или удар «с нулевой» высоты (без свободного падения). Согласно (17.9) при получим . Амплитуды динамических параметров НДС оказываются вдвое больше их статических значений. В. Удар через промежуточную массу (рис. 17.4). Процесс удара делим на две фазы. 1. Первая фаза предполагает ударное взаимодействие масс и , в результате чего обе массы соединяются в единое целое. При этом скорость движения массы уменьшается от до , а скорость массы увеличивается от 0 до . Используя закон сохранения количества движения, запишем: . Откуда . (17.10) В том случае, когда массы груза и упругого элемента сопоставимы друг с другом, под в формуле (17.10) понимается приведённая к месту удара распределённая масса упругого элемента: , . (17.11) Здесь – коэффициент приведения; – масса упругого элемента; – статическое перемещение; – функция перемещений, описывающая форму упругого деформирования. Считается, что в статике и динамике формы деформирования системы подобны друг другу. 2. Вторая фаза предполагает удар упругого элемента совместной массой (), движущейся со скоростью . В этом случае с учётом (17.10) кинетическая энергия равна . (17.12) Подставляя (17.12) в уравнение энергетического баланса (17.5), после преобразований находим: , (17.13) или . (17.14) Очевидно, что чем больше величина , тем меньше коэффициент , тем меньше перемещения и напряжения при ударе85. Пример. Груз массой падает с высоты на балку длиной (рис. 17.5). Поперечное сечение балки – прямоугольник , где . Характеристики сечения: площадь , момент инерции , момент сопротивления . Материал – сталь: модуль упругости , плотность , масса балки . Оценить влияние распределённой массы балки на динамические параметры. Поскольку массы балки и груза сопоставимы друг с другом, то для расчёта динамического коэффициента воспользуемся формулой (17.14), а при определении формы деформирования – дифференциальным уравнением упругой линии (9.11). Тогда, при получим: и . Подставляя в формулу (17.11) уравнение прогибов и интегрируя, находим приведённую в точку удара массу балки: . Здесь прогиб . Далее вычисляем максимальное статическое напряжение: . Учитывая массу , по формуле (17.14) находим: . В этом случае амплитуды динамических параметров равны: , . Далее вычисляем динамический коэффициент, амплитуды динамических напряжений и перемещений без учёта массы балки: ; ; . Таким образом, результаты двух расчётов отличаются на 22,5%. Учёт массы балки «смягчает» удар. Испытания на удар. Ударная вязкость. При ударе изменяется не только уровень напряжений, сам материал иначе «реагирует» на динамическую нагрузку. Механические испытания образцов показывают, что при увеличении скорости нагружения (скорости деформирования) наблюдается повышение предела прочности и одновременно понижение относительного остаточного удлинения и относительного поперечного сужения . Материал становится более прочным, но менее пластичным. В результате повышается склонность материала к хрупкому разрушению. Модуль упругости при этом практически не изменяется. Диаграммы растяжения образца при медленном (статическом) и быстром (динамическом) нагружении показаны на рис. 17.6. Для сравнительной оценки сопротивления различных материалов ударным нагрузкам широкое распространение получила ударная проба – испытание стандартных образцов до разрушения при помощи маятникового копра (рис.17.7). Геометрические параметры образцов и условия испытаний строго регламентированы ГОСТом. Образец имеет односторонний надрез (выточку), который инициирует хрупкое разрушение (рис. 17.8). Зная разность высот подъёма маятника до удара и после удара (), определяем работу , затраченную на разрушение образца. Отношение , (17.15) носит название ударной вязкости. Здесь – площадь поперечного сечения образца в ослабленном месте. Очевидно, чем больше величина , тем лучше материал сопротивляется ударным нагрузкам. Для деталей, предназначенных для работы на удар, как правило, . Известно, что пластичный материал лучше сопротивляется действию удара, чем хрупкий материал. Поэтому на величину ударной вязкости сильное влияние оказывает температура. С понижением температуры материал охрупчивается, ударная вязкость падает. Контрольные вопросы 1. Запишите энергетические соотношения для горизонтального и вертикального ударов. Объясните различие. 2. Запишите формулу для максимальной силы удара. От чего зависит эта сила? 3. Как выполняется расчёт динамических параметров НДС при ударном приложении нагрузки? 4. Объясните, каким образом можно уменьшить динамические перемещения и напряжения при ударе. 5. Какое влияние оказывает жёсткость упругой системы на уровень напряжений и деформаций при ударе? 6. Какое влияние оказывает промежуточная масса на динамические напряжения при ударе? 7. Поясните, что такое удар с «нулевой» высоты. 8. Как влияет скорость приложения нагрузки на механические свойства материала? 9. Изложите методику испытаний на удар. Что такое ударная вязкость? ЛЕКЦИЯ 18 УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ • Устойчивые и неустойчивые формы равновесия • Критическая сила • Устойчивость прямолинейной формы равновесия • Задача Эйлера • Зависимость критической силы от условий закрепления стержня • Рациональные стержневые конструкции • Понятие об устойчивости колец и труб • Устойчивость плоской формы изгиба Устойчивые и неустойчивые формы равновесия. Под устойчивостью, в широком смысле 86, понимается свойство системы сохранять своё состояние под действием малых возмущений. Одно из первых определений устойчивости механических систем дал Л. Эйлер87: «тела равновесное положение будет устойчиво, ежели оное тело, будучи несколько наклонено, опять справится». Классический пример устойчивости твёрдого тела – ролик на вогнутой и выпуклой гладких поверхностях (рис. 18.1). Если отклонить ролик от начального положения равновесия I и предоставить его самому себе, то в случае он будет возвращаться в положение I; в случае , наоборот, – удаляться от положения I. Равновесие считается устойчивым, если после устранения внешнего воздействия тело возвращается в исходное положение. И наоборот. В состоянии устойчивого равновесия центр тяжести тела находится в наиболее низком возможном положении. Чем ниже центр тяжести тела, тем выше его устойчивость88. В рамках курса сопротивления материалов рассматривается устойчивость равновесия упругих систем при их сжатии. Дело в том, что поведение системы при сжатии кардинально отличается от растяжения. Если при растяжении разрушение происходит путём разрыва межатомных связей, то при сжатии возможна принципиально иная форма «разрушения», связанная с потерей устойчивости равновесия. Так, прямой длинный стержень при сжатии выпучивается (рис. 18.2, а). При этом он, как правило, не «ломается», а только упруго изгибается, пытаясь как бы «выскользнуть» из-под нагрузки. При сбросе нагрузки стержень пружинит, возвращаясь в исходное состояние. Явление изгиба прямого стержня под действием продольной сжимающей силы называется продольным изгибом. Потеря устойчивости возможна не только при сжатии прямого длинного стержня, но и при «обжатии» тонкостенной оболочки или кольца 89. Так, круговое кольцо под действием радиальной нагрузки сплющивается, приобретая эллиптическую форму (рис. 18.2, б). Тонкостенная цилиндрическая оболочка (труба) при сжатии выпучивается, образуются волны (рис. 18.2, в). Для всех разобранных выше примеров характерно следующее. Вначале, до потери устойчивости, тонкостенные упругие элементы работают на сжатие. Потеря устойчивости сопровождается образованием качественно новой формы равновесия, связанной с деформациями изгиба. Критическая сила. Сила, при которой система теряет устойчивость, называется критической силой . При прямолинейная форма равновесия устойчива. При прямолинейная форма равновесия неустойчива. Потеря устойчивости сопровождается большими перемещениями и напряжениями изгиба. В связи с этим тонкостенные элементы конструкций, работающие на сжатие, следует считать не только на прочность, но и на устойчивость. Задачей расчёта на устойчивость является определение критической силы , либо вычисление допускаемых геометрических размеров, либо определение коэффициента запаса устойчивости , где – заданная сила. Устойчивость прямолинейной формы равновесия. Задача Эйлера. Воспользуемся расчётной схемой идеального стержня. Считаем, стержень – идеально прямой, материал – однородный и линейно упругий, силы (включая реакции связей) приложены строго центрально: линия действия продольной сжимающей силы проходит через центр тяжести поперечного сечения. Пусть под действием сжимающей силы стержень слегка изогнётся (рис. 18.3). Дифференциальное уравнение упругой линии стержня имеет вид: . (18.1) Здесь – прогиб, – жёсткость поперечного сечения на изгиб. Стержень «предпочитает» изгибаться в плоскости минимальной жёсткости. Определяем изгибающий момент . Для этого составляем уравнение равновесия. Задача геометрически нелинейная, поэтому принцип начальных размеров здесь не применим. Уравнения равновесия составляются для деформированного положения стержня (рис. 18.3). Очевидно, и . (18.2) Причём , поскольку сжатые слои при изгибе стержня располагаются с противоположной стороны от положительного направления оси прогибов y. Подставляя (18.2) в уравнение (18.1), находим: . (18.3) Считая жёсткость стержня по длине постоянной, обозначим . (18.4) Тогда . (18.5) Решение однородного дифференциального уравнения (18.5) имеет вид: . (18.6) Решение (18.6) подчиняем граничным условиям, заданных на концах стержня. Очевидно, что при , и при , . Откуда и . Последнее равенство выполняется при условии, если либо . Равенства и отвечают тривиальному (нулевому) решению, которое описывает прямолинейную форму равновесия. Это решение нас не интересует. Остаётся , откуда (n = 1,2,3,…). (18.7) С учётом подстановки (18.4) из решения (18.7) находим . (18.8) Таким образом, установлен спектр критических сил, каждой из которых соответствует своя форма потери устойчивости: . (18.9) Здесь – число полуволн синусоиды на участке стержня длиной (рис. 18.4). Постоянная , определяющая максимальные прогибы, остаётся неопределённой. На практике важное значение имеет наименьшая критическая сила (при ): . (18.10) Здесь – так называемая эйлерова сила. Согласно (18.10) величина критической силы прямо пропорциональна жёсткости поперечного сечения на изгиб и обратно пропорциональна квадрату длины . Примечательно, что критическая сила не зависит от характеристик прочности материала. График зависимости прогибов от сжимающей силы показан на рис. 18.5. При прогибы , при прогибы растут. Характерной особенностью задачи устойчивости является чрезвычайная чувствительность к начальным несовершенствам системы. На поведение стержня при сжатии значительное влияние оказывают его начальная кривизна, эксцентриситет приложения нагрузки, несовершенства граничных условий. И чем длиннее стержень, тем сильнее сказывается это влияние. Поэтому в реальных условиях наблюдается значительный разброс результатов экспериментов и заметное отличие их от теории (рис. 18.5). Только в уникальных, наиболее тонких экспериментах, удаётся достичь согласованности теоретических и экспериментальных данных. При этом чем ближе реальный стержень к идеальному, тем ближе экспериментальная кривая к теоретической кривой. Зависимость критической силы от условий закрепления. Условия закрепления стержня влияют на форму потери устойчивости и на величину критической силы (рис. 18.6). Для определения критической силы с учётом условий закрепления стержня применяется обобщённая формула Эйлера: . (18.11) Здесь – коэффициент приведения длины, – приведённая длина (длина полуволны синусоиды, по которой изгибается стержень при потере устойчивости), – число полуволн. Таким образом, изменяя условия закрепления стержня можно регулировать критическую нагрузку. Следует иметь в виду, что устойчивость равновесия определяется не только условиями закрепления стержня и величиной сжимающей силы, но и поведением вектора силы при потере устойчивости. В случае так называемой «мёртвой» силы (например, силы веса) вектор нагрузки не изменяет своего начального направления (рис. 18.7, слева). В этом случае проявляется статическая неустойчивость, связанная с образованием смежной формы равновесия. На практике встречаются задачи, в которых вектор силы поворачивается вместе с сечением стержня, оставаясь направленным по касательной к упругой кривой (рис. 18.7, справа). Это – так называемая «следящая» сила. Например, реакция струи жидкости или реактивного двигателя, связанная с истечением потока. В этом случае при потере устойчивости наблюдаются нарастающие колебательные движения – флаттер. Например, колебания конца садового шланга при подаче воды. Здесь смежных форм равновесия, связанных с потерей устойчивости, в принципе не существует. Устойчивость стержней средней и малой гибкости. Оценка устойчивости прямого стержня обычно выполняется не по величине критической силы, а по величине критического напряжения: . (18.12) Обозначим – минимальный радиус инерции поперечного сечения, – гибкость стержня (величина безразмерная). Величина определяется в зависимости от геометрии и условий закрепления стержня и не зависит от механических свойств материала. С учётом принятых обозначений формула (18.12) примет вид . (18.13) Таким образом, по мере увеличения гибкости стержня критические напряжения уменьшаются по закону гиперболы (рис.18.8). Критические напряжения получаются тем больше, чем больше модуль упругости материала . Отметим, что формула Эйлера справедлива лишь при напряжениях ниже предела пропорциональности материала90, то есть при условии . Откуда , (18.14) где – гибкость стержня, для которого . Неравенство (18.14) определяет область применимости формулы Эйлера. Очевидно, что формула Эйлера применима для прямых стержней большой гибкости, то есть для длинных и тонких стержней. Для стержней средней гибкости () критические напряжения оказываются выше предела пропорциональности . Здесь – гибкость стержня, для которого в случае пластичного материала , а в случае хрупкого материала , где и – предел текучести и предел прочности материала. Для оценки устойчивости стержней средней гибкости можно воспользоваться формулой Тетмайера91 - Ясинского92: . (18.15) Здесь – эмпирические коэффициенты, которые выбираются по таблицам в зависимости от материала. В частности, для Ст.3: = 310 МПа, = 1,14 МПа и = 0. При проектировании коротких стержней (), разрушение которых связано с разрушением самого материала (при сжатии материал крошится или образуются пластические деформации), достаточно ограничиться оценкой прочности по коэффициенту запаса или . Ломаная кривая на рис. 18.8 носит название диаграммы устойчивости. На ней указаны области применимости формул (18.13) и (18.15). Расчёт допускаемых размеров сжатых стержней. В отличие от критических параметров допускаемые размеры поперечных сечений сжатых стержней определяются из условия устойчивости: , , (18.16) где – допускаемое напряжение сжатия, – коэффициент допускаемого напряжения сжатия (). Коэффициент выбирается по таблицам в зависимости от материала и гибкости стержня . С увеличением коэффициент уменьшается. То есть, чем больше гибкость стержня , тем меньше получается величина допускаемого напряжения устойчивости 93. Таким образом, допускаемые размеры сжатых стержней определяются из условия прочности и условия устойчивости. При этом для гибких стержней допускаемые напряжения устойчивости назначаются с учётом коэффициента (18.16) и получаются меньше допускаемых напряжений сжатия . Поэтому с увеличением длины сжатых стержней допускаемые размеры поперечных сечений увеличиваются. В то же время допускаемые размеры сечений растянутых стержней назначаются из условия прочности по допускаемым напряжениям и от длины не зависят. По этой причине удлинённые элементы конструкций (колонны зданий, пилоны висячих мостов), работающие на сжатие, имеют более «мощные» сечения, чем растянутые. Рациональные стержневые конструкции. Такие конструкции обеспечивают заданную устойчивость при минимальном весе. Очевидно, к рациональным конструкциям, прежде всего, следует отнести стержни, равноустойчивые во всех направлениях. Этим свойством обладают стержни с поперечным сечением в форме квадрата, круга, равностороннего треугольника и других правильных фигур. Для этих сечений осевые моменты инерции относительно главных центральных осей одинаковые. Кроме того, устойчивость стержня увеличивается, если материал «распределяется» как можно дальше от центра тяжести поперечного сечения. В этом случае при неизменной массе увеличивается момент инерции , а вместе с ним – и жёсткость поперечного сечения на изгиб. По этой причине пустотелые трубчатые стержни более эффективны, чем сплошные. Однако стенки таких стержней не должны быть излишне тонкими. Иначе сама стенка становится неустойчивой. Вместо выпучивания всего стержня целиком проявляется локальная форма потери устойчивости, на стенках образуются вмятины в виде мелких волн. Обычный способ борьбы с локальной неустойчивостью состоит в подкреплении тонких стенок рёбрами жёсткости94. Понятие об устойчивости колец и труб. Для кольца критическое наружное давление определяется формулой . (16.17) При получим: . (16.18) Это нижнее значение , ему соответствуют четыре полуволны синусоиды, такая форма потери устойчивости близка к эллипсу (рис. 18.2, б) Если кольцо подкрепить при помощи () равноотстоящих опор, то изгибная форма равновесия будет иметь полуволны синусоиды. Так, например, при (рис. 18.9) получим . (16.19) Результаты, полученные для кольца, распространяются и на тонкостенные цилиндрические оболочки. Для них критическое наружное давление находится по формуле , (16.20) где – цилиндрическая жёсткость стенки. Чем больше жёсткость , тем выше устойчивость оболочки. Для повышения жёсткости стенки на изгиб применяются подкрепления в виде рёбер жёсткости95. Кроме того, используются оболочки с гофрированными стенками96 или применяется «наддув»97. Устойчивость плоской формы изгиба. Потеря устойчивости плоской формы изгиба сопровождается изгибом из плоскости и закручиванием стержня (рис. 18.10). Критическая сила определяется формулой . (16.21) Здесь и – жёсткость поперечного сечения на изгиб и кручение соответственно. Контрольные вопросы 1. Дайте определение понятия «устойчивость». 2. Приведите характерные формы потери устойчивости упругих систем. 3. Какая нагрузка называется критической? 4. Запишите формулу Эйлера для критической силы. 5. Установите пределы применимости формулы Эйлера. 6. Перечислите параметры, определяющие величину критической силы? 7. Что такое коэффициент приведения длины? От чего он зависит? 8. Что такое гибкость стержня? 9. Запишите формулу Тетмайера – Ясинского и установите область её применимости. 10. Запишите условие устойчивости сжатого стержня. 11. Что такое коэффициент допускаемого напряжения сжатия? От чего он зависит? 12. С точки зрения устойчивости определите рациональные формы сечений сжатых стержней. ЛЕКЦИЯ 19 ПРОЧНОСТЬ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ • Характеристики стационарного цикла • Механизм усталостного разрушения • Кривая усталости и предел выносливости • Влияние концентрации напряжений, размеров деталей и качества обработки поверхностей на предел выносливости • Коэффициенты запаса выносливости • Оценка усталостной прочности при нестационарном циклическом нагружении Многие детали машин и конструкций работают при напряжениях, циклически меняющихся во времени. Чаще всего источником переменных напряжений служат упругие вибрации. Так, например, десять часов работы двигателя автомобиля соответствуют почти миллиону циклов изменения напряжений. За десять лет эксплуатации нефтяная платформа выдерживает около 25 миллионов ударов морских волн. В течение жизни человека (в среднем ~70 лет) стенка аорты сердца периодически растягивается почти 2,5 миллиарда раз. Переменные напряжения могут иметь место и при постоянных нагрузках. Например, при движении железнодорожного состава ось вагона, вращающаяся вместе с колёсами, испытывает переменные напряжения изгиба (рис. 19.3). Напряжения изменяют не только свою величину, но и знак. При этом внешние силы (собственный вес вагона) остаются практически неизменными. Характеристики стационарного цикла. Рассмотрим циклически изменяющиеся во времени напряжения (рис. 19.1). Обозначим и – минимальное и максимальное напряжения цикла. Напряжения представим как сумму постоянной составляющей (19.1) и переменной составляющей с амплитудой . (19.2) Здесь и – среднее напряжение и амплитуда цикла. Отношение  носит название коэффициента асимметрии цикла. Для симметричных циклов () коэффициент асимметрии . Для пульсационных, или «отнулевых» положительных () и «отнулевых» отрицательных () циклов коэффициенты соответственно равны и (рис. 19.2). Для постоянных во времени напряжений () коэффициент асимметрии . Механизм усталостного разрушения. Усталость материала – одна из основных причин разрушений машин и конструкций. По некоторым оценкам около 80% всех разрушений деталей машин происходит по причине усталости98. Впервые с подобным явлением столкнулись на железнодорожном транспорте. В конце XIX века имели место постоянные поломки осей вагонов и паровозов. Как правило, разрушения происходили внезапно, после некоторого времени эксплуатации, при напряжениях значительно ниже предела прочности материала. При этом пластичные материалы разрушались мгновенно, как хрупкие. Почему? Традиционно, если проблема не находит разумного объяснения, она окружается домыслами и предрассудками. Так и здесь, было высказано предположение, что от длительной эксплуатации металл изменяет свою кристаллическую структуру – металл «устаёт». Отсюда и появилось это мистическое название – усталость материала. Последующие исследования помогли понять природу разрушений от усталости. Результаты экспериментов с образцами, вырезанными из деталей до и после разрушения, показали, что механические свойства и структура материала при циклическом нагружении не изменяются. Оказалось, что разрушение связано не с изменениями структуры материала, а целиком обязано процессам накопления усталостных повреждений на каждом цикле нагружения и развития трещин. Вначале в наиболее слабом месте детали, обычно в области дефекта, зарождается невидимая глазом крошечная трещина (микротрещина). Под действием переменных во времени напряжений трещина начинает расти. В зоне растяжения трещина раскрывается, в зоне сжатия, наоборот, – закрывается (рис. 19.3). В результате развития трещины сечение ослабляется до тех пор, пока не произойдёт мгновенное разрушение. При этом разрушение носит хрупкий характер, заметные пластические деформации практически отсутствуют. Рис. 19.3 Рис. 19.4 После разрушения усталостную трещину сравнительно легко распознать. В изломе различаются две выраженные характерные зоны (рис. 19.4): I – зона зарождения и постепенного развития трещины. Это гладкая притёртая поверхность, на которой различимы линии торможения («отдыха») трещины; II – зона окончательного излома. Это свежая кристаллическая поверхность, образованная на последнем цикле нагружения. Таким образом, усталостное разрушение – это процесс зарождения и постепенного развития трещины, в котором выделяются три характерные стадии: • зарождение микротрещины, так называемый инкубационный период; • развитие макротрещины; • мгновенное разрушение. Для выявления усталостных трещин применяются методы рентгеновской томографии и магнитной дефектоскопии, ультразвуковые и акустические методы99. Наличие скрытых трещин акустическим методом определяется по изменению спектра собственных частот колебаний деталей (по звуку). При визуальном осмотре начало процесса разрушения обнаружить практически невозможно. Кривая усталости и предел выносливости. Выносливость – это способность системы сопротивляться действию циклических нагрузок (или способность сопротивляться усталости). Одно из первых, наиболее полных исследований явления усталости было выполнено в условиях знакопеременного изгиба с вращением металлических образцов А. Вёлером100. На основе экспериментов им было установлено, что число циклов до разрушения зависит от амплитуды цикла. При высоких напряжениях для разрушения образца достаточно 5…10 циклов. При понижении напряжений число циклов до разрушения увеличивается и может достигать миллионов и даже миллиардов циклов. Стоит заметить, что особенности процесса разрушения металла от усталости знает каждый, кто ломал проволоку путём её многократного «гиба с перегибами» (рис. 19.5). Результаты испытаний на выносливость представляются в виде зависимости , где – число циклов до разрушения. График зависимости на рис. 19.6 носит название кривой усталости, или кривой Вёлера. Число циклов, до которого проводится испытание на выносливость, называется базой испытания (). База испытаний назначается в зависимости от материала и срока службы детали. Так, для углеродистых сталей , для легированных сталей и цветных металлов . Рис. 19.5 Рис. 19.6 Предел выносливости – это максимальное напряжение, при котором образец выдерживает число циклов, равное базе испытаний. Обозначается , где индекс характеризует цикл нагружения: , и – пределы выносливости при симметричном и пульсационных циклах соответственно. На практике результаты испытаний на выносливость имеют значительный разброс. Поэтому кривую усталости строят по осреднённым характеристикам. ГОСТ предусматривает: • испытания на 5 уровнях напряжений; • число образцов – не менее 50 (10 образцов на каждом уровне напряжений). Между характеристиками выносливости и характеристиками статической прочности существуют определенные связи, которые выражаются при помощи эмпирических формул. Так, для сталей предел выносливости при изгибе , для цветных металлов . Здесь – предел прочности. Влияние различных факторов на предел выносливости. Многочисленные исследования показывают, что существенное влияние на усталостную прочность оказывают концентрация напряжений, размеры деталей и качество обработки поверхностей. В настоящее время теория усталостной прочности носит полуэмпирический характер. Влияние отдельных факторов на выносливость деталей учитывается при помощи эмпирических коэффициентов. Концентрация напряжений. Как правило, трещины усталости зарождаются в местах резкого изменения размеров и формы деталей (галтелей, отверстий, выточек, шпоночных канавок)101. Объясняется это тем, что именно в этих местах возникает концентрация напряжений – повышенные местные напряжения (рис. 19.7). Для учёта влияния местных напряжений на усталостную прочность деталей используются следующие характеристики: • Теоретические коэффициенты концентрации напряжений и , (19.3) где и – максимальные местные напряжения (определяются методами теории упругости); и – номинальные напряжения (вычисляются по формулам сопротивления материалов без учёта эффекта концентрации). • Эффективные коэффициенты концентрации напряжений и , (19.4) где и – пределы выносливости гладкого образца, и – пределы выносливости образца с заданной концентрацией напряжений. Величины и определяются экспериментально на основе усталостных испытаний образцов. Существует эмпирическая формула, которая связывает теоретический и эффективный коэффициенты концентрации: . (19.5) Здесь – коэффициент чувствительности материала к местным напряжениям: • – для высокопрочных легированных сталей, • – для конструкционных сталей, • – для серого чугуна. Как правило, более пластичный материал менее подвержен влиянию концентрации напряжений. Чугун, в силу особенностей внутренней структуры, обладает иммунитетом к концентрации напряжений. Значения коэффициентов концентрации подчиняются неравенствам: , . При этом . Масштабный эффект – снижение предела выносливости с увеличением размеров детали. Объясняется это тем, что с увеличением объёма материала увеличивается вероятность появления случайных дефектов. Для учёта влияния размеров детали на усталостную прочность используются коэффициенты масштабного фактора: и . (19.6) Здесь и – пределы выносливости стандартного образца (), и – пределы выносливости образца диаметром d. Коэффициенты . Качество обработки поверхности. Зарождение усталостных трещин обычно связано с дефектами поверхности деталей. Поэтому чем выше качество поверхности, тем лучше деталь сопротивляется действию циклических напряжений. В свою очередь, качество поверхности зависит от вида механической обработки, от технологии поверхностного упрочнения и от коррозии. Особенности, связанные с механической обработкой поверхности, учитываются коэффициентами качества поверхности: и , (19.7) где и – пределы выносливости полированного образца (эталона), и – пределы выносливости образца с заданной обработкой поверхности. При этом . Негативное влияние на предел выносливости деталей оказывает коррозия. При наличии коррозии коэффициенты и уменьшаются. Широкое распространение на практике получили технологические методы поверхностного упрочнения деталей. К числу таких методов относятся финишные упрочняющие технологии: химико-термические методы (азотирование, цементация, поверхностная закалка токами высокой частоты), а также наклёп поверхностного слоя путём холодной обкатки его роликами или обдувкой струёй дроби. В результате пластического деформирования поверхностного слоя создаётся поле остаточных напряжений сжатия, блокирующих раскрытие усталостных трещин. В результате усталостная прочность деталей повышается102. Эффект поверхностного упрочнения учитывается коэффициентом . Оценка усталостной прочности при стационарном циклическом нагружении. Для этого используется диаграмма предельных амплитуд (рис. 19.8). Диаграмма строится по результатам испытаний на выносливость стандартных образцов при асимметричных циклах нагружения. В ходе испытаний фиксируется значение среднего напряжения и по базовому числу циклов определяется предельная амплитуда . Эксперименты показывают, что с увеличением среднего растягивающего напряжения предельная амплитуда уменьшается и при напряжении равняется нулю. Для вывода расчётных формул воспользуемся схематизированной диаграммой предельных амплитуд. Простейшая, наиболее грубая, схематизация – замена предельной кривой прямой . Обозначим А (,) – точка, координаты которой характеризуют рабочий цикл; В (,) – точка пересечения прямых CBD и OAB. Прямая OAB характеризует подобные циклы, для которых . Отношение отрезков и определяет коэффициент запаса усталостной прочности, или запаса выносливости . Из подобия треугольников и следует, что и . Очевидно, что при образец способен выдержать число циклов до или выше базы испытания. При разрушение происходит при ограниченном числе циклов, меньше базы испытания. Уравнение прямой в отрезках имеет вид: . (19.8) Откуда после подстановки предельных напряжений и находим коэффициент запаса стандартного образца . (19.9) Для учёта концентрации напряжений, качества поверхности и размеров детали расчётная амплитуда умножается на поправочный коэффициент . (19.10) С учётом поправки на переменную часть цикла напряжений формула для коэффициента запаса (19.9) примет вид: . (19.11) Аналогично одноосному напряжённому состоянию, для напряжённого состояния «чистый сдвиг» коэффициент запаса определяется формулой . (19.12) Для упрощенного плоского напряжённого состояния (рис.19.9) общепринятой является эмпирическая формула Гафа и Полларда: . (19.13) Здесь и – запасы выносливости по нормальным и касательным напряжениям, рассчитанные по формулам (19.11) и (19.12). В частности, формула (19.13) используется для оценки усталостной прочности при изгибе и кручении валов. Оценка усталостной прочности при нестационарном циклическом нагружении. На практике в большинстве случаев приходится иметь дело с нестационарными циклами напряжений. В этих условиях предварительно снимается осциллограмма напряжений (рис. 19.10), отражающая характерный режим работы детали. Затем производится обработка осциллограммы: разметка точек max и min, вычисление амплитуд напряжений как полуразностей напряжений и в соседних точках. После чего выполняется статистическая обработка данных (рис. 19.11). В координатах и строятся гистограмма и спектр амплитуд. Здесь – число замеренных амплитуд (или блок амплитуд), – число амплитуд для -го уровня напряжений Далее решается вопрос о долговечности. С этой целью используется кривая усталости (рис. 19.12). Отношение характеризует усталостное повреждение. Здесь – предельное число циклов нагружения до разрушения на уровне напряжений . Считается, что усталость связана с накоплением повреждений на каждом цикле нагружения. Для оценки усталостной прочности воспользуемся гипотезой линейного суммирования усталостных повреждений (гипотезой Пальмгрена, 1924), согласно которой накопленное усталостное повреждение . (19.14) Здесь – число уровней напряжений. Считается, что разрушение деталей происходит при . Формула (19.14) позволяет оценить выносливость деталей при заданном режиме нагружения. Очевидно, что при переходе к более интенсивному режиму (при увеличении амплитуд напряжений ) интенсивность накопления повреждений увеличивается. Следует иметь в виду, что гипотеза линейного суммирования усталостных повреждений является приближённой. Поэтому условие усталостного разрушения следует рассматривать как ориентировочное. В реальных условиях разрушение деталей наступает в более широких пределах, при . Контрольные вопросы 1. Что такое усталость материала? 2. Опишите механизм усталостного разрушения. 3. Что понимается под пределом выносливости материала? Как он определяется? 4. Какие факторы оказывают влияние на усталостную прочность? 5. Что такое концентрация напряжений? 6. Как уменьшить влияние концентрации напряжений на выносливость детали? 7. Что такое масштабный эффект? 8. Какое влияние оказывает качество обработки поверхности детали на выносливость? 9. Как построить диаграмму предельных амплитуд? 10. Как определяется коэффициент запаса усталостной прочности при стационарном циклическом нагружении? 11. Как выполняется оценка усталостной прочности при нестационарном циклическом нагружении? ЗАКЛЮЧЕНИЕ Природа и техника. Длительная эволюция и естественный отбор привели к созданию технически совершенных природных изделий, в которых нужные запасы прочности и жёсткости обеспечиваются без излишних материальных и энергетических затрат. Так, волокна паутины сочетают в себе высокую прочность и эластичность, и в то же время являются удивительно лёгкими. Ствол дерева, стебель травы, лист кувшинки, панцирь черепахи – это шедевры природы, которые одновременно являются образцами конструктивной эффективности и эстетичности. Распределение материала в «живых конструкциях», как правило, согласуется с распределением внутренних усилий и напряжений. Для более напряжённых элементов природа использует более качественный материал, усиленное сечение. В изделиях живой природы баланс между прочностью и эффективностью поддерживается путём естественного отбора. Ненапряженные элементы растений и животных не развиваются и постепенно отмирают. Погибают также конструкции, выросшие в тепличных условиях, имеющие излишний вес и, как следствие, недостаточную подвижность, плавучесть, излишнюю парусность. В условиях суровой конкуренции слабые конструкции в первую очередь оказываются «съеденными» более сильными и умными. Многие изобретения человека имеют аналоги в живой природе. У неё он многое перенял, скопировал. Ярким примером служат современные композиты, созданные по образцу и подобию древесины. Армирование высокопрочными волокнами, гофрирование (создание волнообразных складок, «гнутых» поверхностей), многослойные и сотовые структуры, предварительно напряженные, тонкостенные и равнопрочные конструкции – эти технические приемы и решения подсказаны нам живой природой. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Александров, А. В. Сопротивление материалов / А. В. Александров, А. Д. Потапов, Б. П. Державин; под ред. А. В. Александрова – М.: Высшая школа, 2009 – 560 с. 2. Беляев, Н. М. Сопротивление материалов / Н. М. Беляев – М.: Наука, 1976. – 607 с. 3. Бидерман, В. Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика / В. Л. Бидерман – М.: Машиностроение, 1977. – 488 с. 4. Биргер, И. А. Сопротивление материалов / И. А. Биргер, Р. Р. Мавлютов. – М.: Наука, 1986 – 560 с. 5. Гафаров, Р. Х. Что нужно знать о сопротивлении материалов / Р. Х. Гафаров, В. С. Жернаков. – М.: Машиностроение, 2001. – 276 с. 6. Гордон, Дж. Конструкции, или почему не ломаются вещи / Дж. Гордон. – М.: Мир, 1980. – 390 с. 7. Зиновьев, П. А. Расчёт конструкций из композиционных материалов/ П. А. Зиновьев; под ред. Н. А. Алфутова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э Баумана, 1982. – 52 с. 8. Кагаев, В. П. Расчёты деталей машин и конструкций на прочность и долговечность: справочник / В. П. Кагаев, Н. А. Махутов, А. П. Гусенков. – М.: Машиностроение, 1985. –224 с. 9. Куликов, Ю. А. Избранные лекции по курсу «Сопротивление материалов» / Ю. А. Куликов. – Йошкар-Ола: Изд-во МарГТУ, 1997. – 68 с. 10. Куликов, Ю. А. Сопротивление материалов: конспект лекций / Ю. А. Куликов. – Йошкар-Ола: Изд-во ПГТУ, 2013. – 248 с. 11. Малинин, Н. Н. Кто есть кто в сопротивлении материалов / Н. Н. Малинин; под ред. В. Л. Данилова. – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 248 с. 12. Практический курс сопротивления материалов / И. В. Стасенко, Н. Т. Гаврюшина, А. Д. Панов и др.; под ред. И. В. Стасенко. – М.: МГТУ им. А. Н. Косыгина, 2004. – 246 с. 13. Тимошенко, С. П. История сопротивления материалов с краткими сведениями из истории теории упругости и теории сооружений / М.: Гостехиздат, 1957. – 536 с. 14. Тимошенко, С. П. Механика материалов / С. П. Тимошенко, Дж. Гере. – М.: Мир, 1976. – 669 с. 15. Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 592 с. ПРИЛОЖЕНИЕ Основные термины и их англоязычные эквиваленты Анизотропный – anisotropic Арка – arch Армированный – reinforced Балка – beam Балка трёхслойная – sandwich beam Вал – shaft Волокна стеклянные, органические, бора – fibers of glass, organic, boron Выносливость – endurance Вязкость – viscosity, ductility, toughness Вязкость ударная – impact toughness Вязкоупругость – viscoelasticity Гука закон (зависимость между напряжениями и деформациями) – Hooke's law (stress - strain relationships) Гибкость стержня – slenderness ratio of a column Гипотеза плоских сечений – flat cross-section hypothesis Граничные условия – boundary conditions Давление – pressure Деформирование– deforming Деформация линейная – direct strain Деформация угловая – shear strain Деформация объёмная – volume strain Диаграмма растяжения – stress-strain curve in a tensile Динамическая нагрузка – dynamic load Жёсткость – stiffness, rigidity Жёсткость на растяжение – extensional rigidity Жёсткость на изгиб – flexural rigidity Заделка – fixing, built-in support Запас прочности – margins of safety Изгиб – bending Изгиб косой – skew (asymmetrical) bending Изгиб поперечный – lateral bending Изгиб продольный – longitudinal bending Изгиб чистый – pure bending Изотропный – isotropic Концентрация напряжений – stress concentration Кривая усталости – stress-number (S-N) curve Критическая нагрузка – buckling load Кручение – torsion Конечноэлементная модель – finite element model Консоль – cantilever Коэффициент интенсивности напряжений – stress intensity factor Коэффициент линейного температурного расширения – coefficient of linear thermal expansion Коэффициент Пуассона–Poisson’s ratio Критерий наибольших касательных напряжений – maximum shear-stress criterion Критерий энергии формоизменения – shear-strain energy criterion Материал композиционный – composite material Материал высокопрочный – strong (high-strength) material Модуль упругости (модуль Юнга) – modulus of elasticity (Young's modulus) Модуль сдвига – modulus of shear Момент инерции осевой – second moment of area Момент инерции полярный – polar second moment of area Момент инерции центробежный – product moment of area Момент изгибающий – bending moment Момент крутящий – torque Момент площади статический – first moment of area Момент сопротивления при изгибе – section moduli Момент сопротивления пластический – plastic section modulus  Многослойный композит – multilayer composite Нагрузка – load Нагрузка критическая – critical load Напряжение нормальное – normal (direct) stress Напряжение касательное – shear stress Напряжение остаточное – residual stress Напряжение главное – principal stress Напряженно-деформирован-ное состояние – state of stress and strain Напряженное состояние плоское – state of plane stress Напряжённое состояние «чистый» сдвиг – state of stress «uniaxial shear« Оболочка – shell Однородный–uniform, similar Опасное сечение – critical section Опора – support Опора шарнирно неподвижная – pin connection Опора шарнирно-подвижная – roller support Ось главная – principal axes Ось нейтральная–neutral axis Ось центральная – centroidal axes Перемещение – displacement Петля гистерезиса – hysteresis loop Пластичность – plasticity Пластинка (панель, плита) – plate (panel, slab) Пластический шарнир – plastic hinge Плотность – density Площадка главная – principal plane Площадь поперечного сечения – cross-section area Податливость – flexibility, compliance Ползучесть – creep Потеря устойчивости – buckling Предельный – ultimate, limit Предел выносливости – endurance limit Предел прочности (временное сопротивление) – tensile strength (limit resistance) Предел пропорциональности – limit of proportionality Предел текучести – yield strength Предел упругости – elastic limit Прогиб – deflection Прочность – strength Пружина витая – springs helical Работа – work Радиус инерции сечения– radius of gyration of the section Растяжение – tension Растяжка (стержень, работающий на растяжение) – tie Расчётная схема – calculation model Рама – frame Разнородный – dissimilar Разрушение–breaking, failure Разрывная машина – breaking machine Сжатие – compression Сила – force Сила поперечная – shear force Сила продольная – longitudinal force Сопротивление материалов – strength (resistance) of materials Статически неопределимая система – statically indeterminate system Стеклопластик – glass reinforced plastic Степень свободы – degree of freedom Стержень, брус – bar, rod Стержневая система – framed structure (framework) Стойка – strut Твёрдость – hardness Твёрдости число – hardness number Текучесть – yielding Тензодатчик – electrical resistance strain gauge Теорема взаимности (работ, перемещений) – reciprocal theorem (work, displacement) Трещина – crack Трещиностойкость, или вязкость разрушения – fracture toughness Труба – pipe (tube) Уголок – angle Угол поворота (при изгибе) – slope Упругость – еlasticity Упругое основание – elastic foundation Уравнение совместимости деформаций – equation deformation compatibility Уравнение равновесия – equilibrium equation Усталость – fatigue Усталостная долговечность – fatigue life Усталостная трещина – fatigue crack Усталостное разрушение – fatigue failure Устойчивость равновесия – stability of equilibrium Упругая кривая (кривая прогибов) – deflection curve Ферма – truss, pin–jointed frame Ферма пространственная – space truss Хрупкий – brittle Хрупкое разрушение – brittle fracture Центр изгиба – shear center Центр тяжести сечения – center (centroid) of section Швеллер – сhannel Энергия упругой деформации – elastic strain energy Эпюра внутренних силовых факторов – diagram of the internal force factors ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Лекция 1. Введение. Предмет и основные понятия 5 Лекция 2. Модели материала. Силы внешние и внутренние 15 Лекция 3. Растяжение-сжатие 28 Лекция 4. Механические свойства материалов 41 Лекция 5. Основы расчётов на прочность и жёсткость 51 Лекция 6. Кручение 64 Лекция 7. Геометрические характеристики сечений 77 Лекция 8. Чистый изгиб 87 Лекция 9. Поперечный изгиб 99 Лекция 10. Сложное сопротивление 113 Лекция 11. Напряжённое и деформированное состояния 122 Лекция 12. Критерии пластичности и разрушения 134 Лекция 13. О хрупком разрушении 147 Лекция 14. Энергетические методы 161 Лекция 15. Статически неопределимые стержневые системы 178 Лекция 16. Расчёты за пределами упругости 193 Лекция 17. Действие ударной нагрузки 207 Лекция 18. Устойчивость упругих систем 218 Лекция 19. Прочность при циклическом нагружении 232 Заключение 247 Список литературы 248 Приложение. Основные термины и их англоязычные эквиваленты 249 КУЛИКОВ Юрий Александрович ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» Оформление графических материалов Е. А. Ломакина Поволжский государственный технологический университет 424000 Йошкар-Ола, пл. Ленина, 3