Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Прикладная теория
вероятностей и
математическая статистика
Раздел 1. ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ТЕМА 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
(ПОВТОРЕНИЕ)
2
1.1. Пространство
элементарных событий.
Случайный эксперимент
Опр. 1. 1. 1. Под случайным
экспериментом понимается такой
эксперимент, результат которого нельзя
предсказать точно до его осуществления.
3
1.1. Пространство элементарных событий.
Элементарный исход с.э.
Опр. 1. 1. 2. Взаимоисключающие,
неразложимые ни на какие другие
результаты исходы случайного
эксперимента (с.э.), называются
элементарными исходами (э.и.) с.э.
Обозначение:
4
1.1. Пространство элементарных событий
Опр. 1. 1. 3. Совокупность (множество) всех
элементарных исходов , соответствующее
данному случайному эксперименту,
называют пространством элементарных
исходов. (п.э.и.)
Обозначение:
1 , 2 ,..., m
1 , 2 ,..., m ,...
5
1.1. Пространство элементарных событий.
Случайное событие
Опр. 1.1.4. Результат случайного
эксперимента – случайное событие.
Обозначение: А, В, С,…
Случайному событию можно поставить в
соответствие некоторое подмножество
п.э.и.:
A 1 , 2 ,..., M , i , i 1,..., M
6
1.1. Пространство элементарных событий.
Пример 1.
• А = «выпало 6 очков»
• В = «выпало чётное число очков»
• С = «выпало число очков меньше 3»
A 1 , 2 ,..., M , i , i 1,..., M
Если событие А состоит из М элементарных исходов, то
говорят, что событию А благоприятствует М
элементарных исходов
7
1.1. Пространство элементарных событий.
Опр. 1.1.5. Невозможное случайное событие - это
событие, которое не может произойти в данном
случайном эксперименте.
Обозначение:
Опр. 1.1.6. Достоверное случайное событие это событие, которое обязательно происходит
в данном случайном эксперименте.
Обозначение:
8
1.2. Действия со случайными событиями
Диаграмма Эйлера-Венна
А
В
9
1.2. Действия со случайными событиями
Опр. 1.2.1. Суммой двух случайных событий А и В
называется случайное событие, состоящее из
элементарных исходов, которые содержаться или
в А, или в В, или принадлежат им обоим.
Обозначение:
A B
или
A B
A B A или B или A и B
10
1.2. Действия со случайными событиями
Опр. 1.2.2. Произведением двух случайных
событий А и В называется случайное событие,
состоящее из элементарных исходов, которые
содержаться и в А, и в В.
Обозначение:
A B
или
AB
A B A и B
11
1.2. Действия со случайными событиями
Опр. 1.2.3. Два случайных события называются
несовместными, если их произведение есть
событие невозможное:
A B
12
1.2. Действия со случайными событиями
Опр. 1.2.4. Разностью двух случайных событий А
и В называется случайное событие, состоящее
из элементарных исходов, которые содержаться
в А, но не содержаться в В.
Обозначение:
A B
A B А и В
13
1.2. Действия со случайными событиями
Опр. 1.2.5. Случайное событие
А
называется
противоположным случайному событию А, если
множество, из которого оно состоит, включает в
себя все элементарные исходы п.э.и.
, но не
включает э.и., принадлежащие А.
Обозначение:
A и А
А
14
1.2. Действия со случайными событиями
Пример 2.
• А = «выпало 6 очков»
• В = «выпало чётное число очков»
1. А В
2. B \ A
3. А В
4. A
15
1.2. Действия со случайными событиями
Опр. 1.2.6. Случайное событие А влечет за собой
случайное событие В, если всегда, как только
происходит с.с. А, происходит и с.с. В.
Обозначение:
А В
Пример 3.
• А = «выпало 6 очков»
•В=
А В
16
1.2. Действия со случайными событиями
Опр. 1.2.7. Два случайных события А и В называются
тождественными (или эквивалентными), если
с.с. А влечет за собой с.с. В и наоборот, т.е. с.с. В
влечет за собой с.с. А.
Обозначение:
А В
А В, В А А В
17
1.2. Действия со случайными событиями
Пример 4.
• А = «выпало максимальное число очков»
• В = «выпало число очков больше 5»
18
1.2. Действия со случайными событиями
• Частные случаи:
1. А
2. А А
3. А А
4. А
19
1.2. Действия со случайными событиями
Опр. 1.2.8. Случайные события
А1 , А2 ,..., Аn
образуют полную группу событий, если
выполняются следующие условия:
1. А1 А2 ... Аn
2. Ai Aj
для i j; i, j 1,..., n
20
1.3. Определение вероятности
случайного события
I. Статистический подход
Опр.1.3.1. Число появлений с.с. А в серии из
n испытаний называют частотой и
обозначают: , а относительной частотой
с.с. А называют отношение вида:
Р A
*
n
n
21
1.3. Определение вероятности случайного события
Пример 5. Монету подбросили 1024 раза и
наблюдают за тем, сколько раз на верхней грани
выпал герб (с.с.А). В результате эксперимента герб
выпал 605 раз. Найдите относительную частоту
выпадения герба.
Опыт Бюффона: 4040 подбрасываний, герб –
2048 раз.
Опыты Пирсона:
12000 подбрасываний, герб – 6019 раз;
24000 подбрасываний, герб – 12012 раз
22
1.3. Определение вероятности случайного события
Свойства относительной частоты
1. 0 Р A 1
*
n
2. Р 1
*
n
3. Пусть АВ
, тогда
P A B P A P B
*
n
*
n
*
n
Относительная частота – статистический подход,
который является оценкой для вероятности случайного
события.
23
1.3. Определение вероятности случайного события
II. Классический подход
Предположения.
1. П.э.и. содержит конечное число исходов – N.
2. Шансы появиться в случайном эксперименте у
каждого элементарного исхода равны, т.е. все
исходы равновозможны.
В данном случае мера возможности появления
каждого элементарного исхода равна 1 .
N
Пусть М – число элементарных исходов с.с. А
24
1.3. Определение вероятности случайного события
Формула классической вероятности
В качестве меры возможности появления
случайного события А при соблюдении
предположений 1, 2 можно выбрать
соотношение вида:
M
P A
N
25
1.3. Определение вероятности случайного события
Пример 6. Монету подбросили 1 раз и наблюдают
за тем, выпал ли герб на верхней грани (с.с.А). С
какой вероятностью может выпасть герб?
Пример 7. В коробке 43 шара, из них 18 белых, а
остальные – синие. Из коробки, не глядя,
вынимают шар и фиксируют его цвет. Какова
вероятность, что вынутый шар белого цвета?
26
1.3. Определение вероятности случайного события
Свойства классической вероятности.
1. 0 Р A 1
2. Р 1
3. Пусть АВ , тогда
P A B P A PB
Формула классической вероятности – способ вычисления
вероятности при выполнении условий классической
схемы.
27
1.3. Определение вероятности случайного события
III. Геометрический подход
D
В качестве оценки возможности появления
события используется соотношение вида:
mes ( D)
P( A)
mes ()
28
1.3. Определение вероятности случайного события
IV. Аксиоматический подход
Академик Колмогоров А. Н.
Пусть задано пространство э.и. Ω
некоторого случайного эксперимента.
Опр.1.3.2. (Аксиоматическое)
Каждому с.с. А соответствует некоторое число Р(А),
называемое вероятностью, и такое, что
выполняются следующие аксиомы:
29
1.3. Определение вероятности случайного события
Аксиомы Колмогорова
• Аксиома 1. 0 Р ( А) 1
• Аксиома 2.
Р () 1
• Аксиома 3. Если АВ ∅ , то
Р ( A В ) Р ( А) Р ( В )
Аксиоматическое определение
вероятности – единственное
формальное определение понятия
«вероятность с.с.».
30
1.3. Определение вероятности случайного события
Следствия из аксиом Колмогорова
(Свойства вероятности)
Следствие 1.3.1. Если с.с. А1 , А2 ,..., Аn ,
образуют полную группу, то
Р А1 А2 ... Аn 1
Следствие 1.3.2.
Р А Р А 1
31
1.3. Определение вероятности случайного события
Следствия из аксиом Колмогорова
(Свойства вероятности)
Следствие 1.3.3. Вероятность невозможного
события равна 0: Р ∅ = 0.
Следствие 1.3.4. Если А
следующие соотношения:
В , то имеют место
1. Р А РВ
2. РВ \ А РВ Р А
32
1.4. Условная вероятность
Пусть в с.э. могут произойти с.с. А и В.
Пусть РВ 0.
Опр. 1.4.1. Условной вероятностью с.с. А, при
условии, что с.с. В произошло, называется
отношение:
Р АВ
Р А / В
Р В
33
1.4. Условная вероятность
Аксиомы Колмогорова и функция Р(А/В)
Аксиома 1.
Аксиома 2.
0 Р А / В 1
Р / В 1
Аксиома 3. Если А1 А2 ∅, то
Р А1 А2 / В Р А1 / В Р А2 / В
34
1.4. Условная вероятность
Пример 8. Кубик бросают 1 раз. Найти вероятность
того, что выпала «6» , если известно, что выпало
чётное число очков.
35
1.4. Условная вероятность
Опр. 1.4.2. Говорят, что с.с. А не зависит от с.с. В, если имеет
место равенство:
Р А / В Р А
Замечание. Если с.с. А не зависит от с.с. В, то и с.с. В не
зависит от с.с. А. Свойство независимости случайных
событий является взаимным.
Опр. 1.4.3. Говорят, что с.с. А не зависит от с.с. В, если имеет
место равенство:
Р АВ Р АР В
36
1.4. Условная вероятность
Утверждение. Если с.с. А и В, независимы, то и
следующие пары случайных событий будут независимы:
Аи В
АиВ
АиВ
37
1.5. Теоремы о вероятности суммы и
произведения случайных событий
Теорема 1.5.1. (о вероятности произведения двух
случайных событий).
Если известна вероятность Р А и условная
вероятность РВ / А, то вероятность произведения с.с.
А и В вычисляется по формуле:
Р А В Р АРВ / А,
или по формуле:
Р А В РВ Р А / В ,
если известны вероятности РВ и Р А / В .
38
1.5. Теоремы о вероятности суммы и произведения случайных событий
Теорема 1.5.2. (О вероятности суммы двух
случайных событий).
Вероятность суммы двух совместных случайных
событий А и В равна сумме вероятностей этих
событий без вероятности их произведения:
Р А В Р А РВ Р АВ
39
1.6. Формула полной вероятности. Формула
Байеса.
Теорема 1.6.1. (формула полной вероятности).
Пусть случайные события 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 образуют полную
группу событий и пусть известны 𝑃(𝐴𝑖 ) и 𝑃(𝐵/𝐴𝑖 ), 𝑖 =
1, … , 𝑛, а с.с. В происходит вместе с одним из с.с. 𝐴𝑖 .
Тогда вероятность случайного события 𝐵 можно вычислить
по формуле:
𝑛
𝑃 𝐵 =
𝑃(𝐴𝑖 ) 𝑃(𝐵/𝐴𝑖 )
𝑖=1
= 𝑃(𝐴1 ) 𝑃(𝐵/𝐴1 )+ … + 𝑃(𝐴𝑛 ) 𝑃(𝐵/𝐴𝑛 )
называемой формулой полной вероятности.
40
1.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Замечание. Случайные события 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛
называют гипотезами, а вероятности 𝑃(𝐴𝑖 ) –
априорными вероятностями.
Априорные (от лат. а priori, букв. –
из предшествующего) вероятности –
вероятности, вычисленные «до опыта»
41
1.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Теорема 1.6.2. (формула Байеса).
Пусть случайное событие 𝐴𝑚 , 𝑚 = 1, … , 𝑛 - это некоторая
фиксированная гипотеза и пусть выполняются все условия
теоремы 1.6.1, т.е. 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 образуют полную группу
событий и известны 𝑃(𝐴𝑖 ) и 𝑃(𝐵/𝐴𝑖 ) , 𝑖 = 1, … , 𝑛.
Тогда вероятность гипотезы 𝐴𝑚 , при условии, что с.с. В
произошло, находится по формуле :
𝑃(𝐴𝑚 ) 𝑃(𝐵/𝐴𝑚 )
𝑃(𝐴𝑚 ) 𝑃(𝐵/𝐴𝑚 )
𝑃 𝐴𝑚 /𝐵 = 𝑛
=
𝑃(𝐵)
𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 )𝑃(𝐵/𝐴𝑖 )
называемой формулой Байеса.
42
1.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Замечание. Вероятности 𝑃 𝐴𝑚 /𝐵
апостериорными вероятностями.
называют
Апостериорные (от лат. а posteriori, букв. –
из последующего) вероятности – вероятности,
вычисленные «после опыта».
43