Случайные события, классификация

Лекция 1 Случайные события, классификация Теория вероятностей (ТВ) изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах, раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям. Ее методы не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но позволяют предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений. Одна из важнейших задач любой науки – найти закономерности в водовороте «случайных» явлений окружающей нас жизни. Основатель теории вероятностей как строгой математической дисциплины – Колмогоров Андрей Николаевич (1903 –1988). В 1933г. он опубликовал аксиоматическое построение этой теории. Одно из основных понятий теории вероятностей – понятие случайного события. Его работа «Основные понятия теории вероятностей»(1933) новый этап в развитии теории вероятностей как науки. Для изучения физических явлений производят наблюдение и опыты, их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов обнаруживается разброс их результатов. Говорят, что результат измерения есть величина случайная. Математический аппарат для изучения таких случайностей и закономерностей в них дает теория вероятностей.  Определение Случайные события – любые события или факты, относящиеся к результату эксперимента, которые могут происходить или не происходить. Название объясняется тем, что именно случай определяет, произойдет данное событие или не произойдет. Отдельные случайные события в ТВ обозначают прописными латинскими буквами, например, A , B и т.д. Accident (французский) – случайность. Случайные события – результаты эксперимента, его исходы. Пример Компания Н занимает целый этаж. В конце коридора расположена комната отдыха, в ней аппарат для приготовления кофе. В среднем работник фирмы выпивает в день n чашек кофе. Спрашивается: Какова вероятность, что когда сотрудник идет с кофе к себе в комнату, он получит удар по лбу открывающейся дверью? Какова вероятность, что при резком открытии двери сотрудник даст по лбу коллеге, несущему кофе? И что же теперь, кофе не пить? Даже если до сих пор Вы не любили кофе, Вы полюбите его с нашими кофейными аппаратами Не все случайные явления можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях Основной числовой характеристикой случайного события является его вероятность. Пример Испытание – подбрасывание монеты; события – монета упала «орлом» или «решкой». Случайное событие – выпадение решки или орла.  Замечание Решка - лицевая сторона монеты (аверс), орел - обратная сторона монеты (реверс). Пример Игральная кость - маленький кубик, грани которого помечены цифрами 1,2,3,4,5,6 или точками. Бросание игральной кости - выпадение цифр 1,2,3,4,5,6. Пусть производится серия из n испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться событие A . Если в результате испытания наблюдалось (появилось) событие A , то такой исход испытания называется благоприятным исходом.  Определение Элементарное событие – событие или каждый отдельный возможный результат испытания.  Определение Набор элементарных событий - набор всех возможных отдельных результатов испытаний. Парадокс игры в кости Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1, 2, 3, 4, 5, 6. В случае бросания двух костей сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 из чисел 1, 2, ..., 6 можно получить двумя разными способами: 9=3+6= или 9=4+5 и 10=4+6 или 10=5+5. Почему 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10 - когда бросают три? Решение В случае двух костей 9 и 10 могут получиться следующим образом: =3+6, или 9=6+3, или 9=4+5, или =5+4 10=4+6, или 10=6+4, или 10=5+5. Это значит, что при двух костях 9 можно "выбросить" четырьмя способами, а 10 - лишь тремя. Следовательно, здесь шансы получить 9 предпочтительней. В случае трех костей ситуация меняется на противоположную: 9 можно "выбросить" 25 способами, а 10 - уже 26 способами. Потому 10 получается чаще, чем 9. (Проверьте!!!)  Определение Генератор случайных чисел - устройство для получения наборов случайных чисел. Различают три типа генераторов: урны, кости, рулетки.  Замечание Ящик с шарами представляет собой одну из разновидностей урн Теория вероятностей как наука раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям. Методы не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но позволяют предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений Классификация событий Различные события различают по степени возможности их проявления и бывают взаимно связаны. Типы событий: случайное, достоверное, невозможное.  Определение Достоверное событие – событие, которое в результате опыта обязательно должно произойти. Пример  Выпадение не менее одного очка при бросании игральной кости,  отказ радиоэлемента при работе долгого времени,  появление непрерывно действующей помехи в некотором заданном интервале времени.  Определение Невозможное событие – событие, которое не может иметь место в данном опыте. Пример  Выпадение более 6 очков при бросании игральной кости,  появление напряжения, большего порога ограничения, на выходе ограничителя.  В партии все изделия стандартны, извлечение из нее стандартного изделия – событие достоверное. Если событие в данном опыте невозможно, то говорят, что вероятность его равна P( A) 0 , если достоверно, т.е. обязательно должно появиться, то его вероятность равна P( A) 1 .Чем ближе вероятность события к 1, тем больше объективная возможность появления его в опыте.  Определение Два или несколько событий называются равновозможными, если нет оснований утверждать, что одно из них имеет больше данных появиться в итоге опыта по сравнению с другими. Равновозможность исходов – основная гипотеза классической теории вероятностей. Пример  Выпадение герба и цифры при однократном бросании монеты,  выход из строя любой из радиоламп, работающих в одинаковых условиях  извлечение туза, валета, короля или дамы из колоды карт. По характеру совместной связи события подразделяются на совместные и несовместные.  Определение События, называются несовместными, если появление какого-нибудь одного из них в данном опыте исключает возможность появления других. Пример Выпадение 3 и 5 вместе при однократном бросании монеты.  Определение События, называются совместными, если появление одного из них в данном опыте не исключает возможность появления других.  Замечание События несовместны, если они не могут произойти одновременно в одном и том же опыте. Пример Выпадение 3 и 5 вместе при двукратном бросании монеты, искажение различных знаков при передаче телеграмм. Получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок «5», «4»,»3» – события несовместные, а получение тех же оценок на экзамене по трем дисциплинам – события совместные.  Определение Полная группа событий – группа событий, сумма которых есть достоверное событие  Замечание Полная группа событий -группа событий, из которых хотя бы одно непременно должно произойти в данном опыте. Пример  Попадание и непопадание в мишень при выстреле,  выпадение 1,2,3,4,5,6 при бросании кости.  Подавление и неподавление радиоимпульса помехой,  искажение и неискажение какого-либо знака при передаче.  Определение Вероятность события – численная мера, принимающая значения между 0 и 1 и характеризующая степень возможности появления события в данном опыте. Обозначается: P ( A) , где А - случайное событие. Обозначение P происходит от первой буквы французского слова probabilite – вероятность.  Замечание Этим определением предполагается, что все элементарные события равновероятны (не всегда можно определить равновероятность наступления отдельных элементарных событий). Пример Какова вероятность выпадения четного числа очков при бросании кости P( A) 3 6 1 2  Определение Противоположные события - два единственно возможных и несовместных события, для которых справедливо, что А наступает, когда не наступает А и наоборот. q( A) 1 P( A)  Замечание Противоположные события – частный случай событий, образующих полную группу. Классическое определение вероятности Классическое определение вероятности дал еще Лаплас, но тогда ее приложение не выходило за сферу азартных игр. Пьер-Симон Лаплас (1749 1827) — французский математик; один из создателей теории вероятностей. Классическое определение вероятности несовершенно и имеет много недостатков. применимо лишь в тех случаях, когда число элементарных событий конечно, но на практике не всегда имеет место; предполагается, что все элементарные события равновероятны (не всегда можно определить равновероятность наступления отдельных элементарных событий).  Определение (классическое по Лапласу определение) Вероятность случайного события А - число элементарных событий, благоприятствующих появлению события А , деленному на все число элементов в наборе элементарных событий. P A m , n 0 P( A) 1 Пример Какова вероятность выпадения четного числа очков при бросании кости Решение n 3 6 6, m 3 , P A 1 2 Пример Петя забыл последнюю цифру номера телефона знакомой и набрал ее наугад. Какова вероятность того, что он поговорит с ней по телефону? Решение n 10 , m 1, P A 1 10 Пример Буквы, образующие слова «Теория вероятностей» перемешаны и наугад извлекается одна буква. Найти вероятность того, что эта буква гласная Решение Общее число исходов n 18 (число букв в словах). Число благоприятствующих исходов m 9 P A m n 9 18 1 2 Ошибка Даламбера Классическое определение вероятности справедлива только в случае с равновозможными исходами. Пренебрежение этим требованием приводит к ошибкам при решении простых вероятностных задач. Рассмотрим знаменитую задачу о бросании обычной монеты, связанную с именем знаменитого математика Ж.Даламбера. Жан Лерон Д’Аламбер (1717 —1783) — французский учѐный-энциклопедист. Широко известен как философ, математик и механик, вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами! Опыт. Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону? Решение Даламбера: Опыт имеет три равновозможных исхода: 1) обе монеты упадут на «орла»; 2) обе монеты упадут на «решку»; 3) одна из монет упадет на «орла», другая на «решку». Из них благоприятными будут два исхода. n 3, m m n 2, P A 2 3 Правильное решение: Опыт имеет четыре равновозможных исхода: 1) обе монеты упадут на «орла»; 2) обе монеты упадут на «решку»; 3) первая монета упадет на «орла», вторая на «решку»; 4) первая монета упадет на «решку», вторая на «орла». Из них благоприятными будут два исхода. n 4, m 2, P A m n 2 4 1 2  Замечание Классическое определение вероятности с 17 до 19 века было как определение, в настоящее время определение не дается, а используют понятие относительной частоты события.  Замечание События, вероятности которых малы или очень велики, называются практически невозможными или практически достоверны. Элементы комбинаторики Комбинаторика как раздел математики появилась в трудах Блеза Паскаля и Ферма по теории азартных игр. Эти труды, составив основу теории вероятностей, одновременно содержали принципы нахождения числа комбинаций элементов данного конечного множества. С появлением работы Лейбница и Бернулли «Искусство предположений» посвященной теории вероятностей комбинаторные схемы выделились в отдельную часть математики. Возрождение интересов к комбинаторике относится к 50 годам ХХ века. Этот интерес связан с развитием кибернетики. Большой развивающийся раздел комбинаторики это теория блок-схем. Основные проблемы этого раздела связаны с вопросами классификации, условиями существования и методами построения некоторых классов блок-схем.  Определение Комбинаторика - раздел математики, изучающий комбинации конечных множеств элементов различной природы. Предположим вначале, что все элементы рассматриваемых множеств различны и будем изучать комбинации этих элементов различающихся количеством и/или порядком. Будем рассматривать такие множества, в которых каждый элемент входит не более одного раза. Такие соединения называются без повторений. Предположим, что требуется подсчитать количество комбинаций из конечного числа элементов. Предположим, что построение этой комбинации мы разбили на k последовательных шагов, причем первой шаг можно осуществить b1 вариантами, независимо от результата действия на первом шаге 2-й шаг можно реализовать одним из b2 вариантов; независимо от результатов первых двух шагов третий шаг можно осуществить b3 способами и т.д.; наконец, независимо от решений принятых на предыдущих шагах имеется bk возможностей осуществить k -й шаг. Тогда общее количество комбинаций равно произведению b1 b2 b3 bk . Пример. Найти число делителей числа 64800 25 52 34 . Решение Общий вид делителя исходного числа: 2a3b5c . В состав делителя "2" -можно включить 6-ю вариантами a 0,1,2,3,4,5 ,"5" -3-мя способами b 0,1,2 ,"3" - 5-ю способами c 0,1,2,3,4 . В силу независимости включения каждой цифры 2, 5 и 3 общее число делителей равно 6 3 5 90 . При вычислении вероятности приходится использовать формулы комбинаторики. Рассмотрим основные.  Определение Размещения из n по m - соединения, различающиеся самими элементами или их порядком. Anm n! n m ! Пример Расписание состоят из 4 пар. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 предметов. Решение Каждый вариант расписания представляет набор 4 дисциплин из 11, отличающийся от других вариантов, как составом дисциплин, так и порядком их следования. Т.е. размещение из 11 по 4. 11! 7! 4 A 11 8 9 10 11 7920 Пример На четырех карточках написаны цифры 1,2,3,4. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно три карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что в результате получилось: число 123. Решение Исходами опыта являются все возможные размещения четырех карточек на трех местах (порядок расположения важен). Общее число исходов: n A 4! 2 3 4 4 3! 24 . Рассмотрим события и их вероятности: m 1 n 24 . Пример Пусть даны шесть цифр: 1;2;3;4;5;6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр. Решение Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных чисел будет m n k 63 216 . Если цифры не повторяются, то m A63 6 5 4 120 .  Определение Перестановками из n элементов - называются соединения, различающиеся только порядком входящих в них элементов. Pn Ann n!  Замечание Перестановки комбинации, отличающиеся порядком, но не составом входящих элементов. Пример Порядок выступления определяется жеребьевкой. 7 участников. Сколько вариантов возможно. Решение Событие А={из трех карточек образовано число 123}, P A Каждый вариант жеребьевки отличается порядком участников конкурса, т.е. перестановка из 7 элементов. P7 7! 5040 Пример На четырех карточках написаны буквы О, Т, К, Р. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно эти карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «КРОТ»? Решение Исходы – все возможные перестановки из четырех элементов (О, Т, К, Р); общее число исходов: n P 4! 24, m 1 . Событие А = {после открытия карточек получится слово «КРОТ»}: m 1 n 24  Замечание В комбинаторике факториал натурального числа n! 1 2 3 n интерпретируется как количество перестановок множества из n элементов.  Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4!=24 перестановок  Определение Сочетаниями из n элементов по m - называются соединения, различающиеся только своими элементами P A n! m! n m ! C nm Сочетания (выборки) из n по m различных элементов комбинации, отличающиеся лишь составом входящих элементов.  Замечание Число различных сочетаний (выборок) из n по m элементов C nm - число способов, которыми можно выбрать из n группу по m элементов (порядок выбора безразличен). Свойства сочетаний 1. 0!=1 2. Сn0 3. Сnm Cnn 4. Сnm Cnm 11 1 m Сnm 11  Замечание Числа Сn называют так же биномиальными коэффициентами по причине использования их в формуле разложения бинома Ньютона. m x y n n Cnm x m y n m m 0 Пример В ящике лежат 1 белый и три черных шара. Наугад вынимаются 2 шара. Какова вероятность того, что вынуты: 1) 2 черных шара; 2) белый и черный шар? Решение Исходы – все возможные пары шаров. Общее число исходов C 42 4! 2! 4 2 ! 1) Событие А={вынуты два черных шара}; 3! m C32 2! 1! 3; P A 3 4 1 2 m n 6 3 6 1 2 2) Событие В={вынуты белый и черный шары}; m 3 1 n 6 2 Пример Из урны, в которой K белых и N K чѐрных шаров, наудачу и без возвращения вынимают n шаров, n N . Термин «наудачу» означает, что появление любого набора из шаров равновозможно. Найти вероятность того, что будет выбрано k белых и n k чѐрных шаров. Решение CKk C Nn kK P A C Nn m C31 1 3 3, P B Формула Стирлинга Формула Стирлинга дает приближенное выражение произведения n первых натуральных чисел (факториала): n ! 1 2 3 n , когда число n сомножителей велико, получена Джеймсом. Стирлингом. Джеймс. Стирлинг(1692-1770) шотландский математик. Труды по теории рядов и исчислению конечных разностей, рассмотрел бесконечные произведения. По определению полагают 0! 1 . Факториал определѐн только для целых неотрицательных чисел. Эта функция часто используется в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе. Формула Стирлинга n! nn e n 2 n Приближенное равенство носит асимптотический характер, т.е. уточняется с ростом n .Для краткости удовлетворимся правдоподобным рассуждением (не выдавая его однако за строгое доказательство), но удобное для запоминания. По определению факториал n! 1 2 3 n Заменим произведением такого ж количества одинаковых сомножителей: n! n! x x x x x n ,где x - своего рода "среднее факториальное" первых n натуральных чисел. Оно разумеется растет вместе с n . Сделаем простейшее предположение, что при больших n это среднее факториальное приблизительно пропорционально n : n , x a где a - почти постоянная величина. Тогда n n!~ a n и характерное тождество для факториала n 1 ! n 1 n! запишется в виде n 1 a 1 Поскольку известно, что 1 n n 1 n 1 n a n . n e при n так, что среднее факториальное близко к n . Ясно, что формула Стирлинга приближенная и нужна поправка, учитывающая не постоянство e a при малых n . Поправка 2 n t n эта зависит от n , но далеко не так сильно как сам факториал, 2 n t n , величина t n заключена в пределах 0 tn 1 . 12n Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. 5. 6. Кто основатель теории вероятностей как строгой математической дисциплины? Основная числовая характеристика случайного события. Как определяются случайное, достоверное и невозможное события? В чем недостатки классического определения вероятностей? Как подразделяются события по характеру совместной связи? Классификация событий по степени возможности их проявления 7. Что такое генератор случайный чисел? 8. Приведите классификацию генераторов случайных чисел. 9. Приведите примеры полной группы событий. 10. С какой вероятностью монета, брошенная дважды, по крайней мере один раз выпадет гербом? 11. Докажите, что события A, B, A B образуют полную группу. Лекция 2 Геометрическая вероятность Паскаль впервые употребил слово вероятность. Он был математик, философ, писатель, физик (1623-1662). В письме к Ферма он писал: «Я буду пользоваться термином вероятность для обозначения числа, обозначающего степень уверенности». Одним из недостатков классического определения вероятности, ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания. Этот недостаток преодолен в классическом геометрическом определении вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.д.) Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G . На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания туда брошенной случайной точки. Фигуру g называют благоприятствующей событию A . Sg P A SG Геометрическая вероятность имеет различное значение в зависимости от определения элементарных событий и от метода отбора в случайном порядке. Имеется отрезок ОА. Разделим его пополам в точке В и найдем вероятность того, что точка отрезка ОА, выбранная в случайном порядке находится на ОВ. Р длинаОВ ДлинаОА 1 2 на практике может быть меры длины, площади, объемы. Область, на которую распространятся понятие геометрической вероятности, может быть одномерной (прямая, отрезок), двумерной и трехмерной. Пример В некоторой ограниченной области случайно выбирается точка. Какова вероятность, что точка попадет в область А? На прямую L? Решение S A P A L SΩ A S ( L) 0 ; P L S Ω Ω Область, на которую распространятся понятие геометрической вероятности, может быть одномерной (прямая, отрезок), двумерной и трехмерной.  Определение Геометрическая вероятность события A - отношение меры области, благоприятствующей появлению события A к мере всей области mes g P A mesG Пример В квадрат со стороной 4см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см? Решение Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1см. Площадь закрашенной части квадрата 12 3 0.75 16 4 Обобщением классического определения вероятности на случайный эксперимент с бесконечным числом равновозможных случайных исходов, изображаемых точками, прямой, плоскостью, пространством и т.д. служит геометрическое определение вероятности. 16см 2 4см 2 12см 2 . Значит, P A Пример Два лица A и B условились встретиться в определенном месте между 11 и 12 ч. и ждать друг друга 30 мин. Если партнер к этому времени не пришел или уже ушел встреча не состоится. Найти вероятность того, что встреча состоится. Решение Обозначим моменты прихода в определенное место лиц A и B - соответственно через x и y . За начало отсчета возьмем 11 ч., а за единицу измерения 1 ч. По условию 0 x 1 , 0 y 1 . Это квадрат со стороной 1. Событие C - встреча двух лиц произойдет, если разность между x и y не превзойдет 0.5 ч, т.е. y x 0.5 . PC 1 2 1 / 2 0.52 0.75 12 ( площадь области g равна площади квадрата G без суммы площадей двух угловых треугольников). Статическая вероятность Недостатком классического определения вероятности является то, что не всегда удается узнать, являются исходы испытания равновозможными или не являются. Число равновозможных исходов конечно. Результат испытаний не всегда можно представить в виде совокупности элементарных событий. Введем понятие статической вероятности. Если производить многократно повторение одного и того же опыта, то относительное число появлений данного события во всей серии опытов, или частота его появления, будет близка к значению его вероятности. Оказывается, что при большом числе испытаний n, относительная частота появления события А в различных сериях отличается друг от друга мало и это отличие тем меньше, чем больше испытаний в сериях. Пример Выпадение герба. При небольшом количестве опытов относительное число появлений герба будет отличаться от 0.5, но если увеличить число до несколько десятков тысяч, то небольшие отклонения не могут оказать влияния на общий результат. Такие опыты проводились Бюффоном (Франция), и Пирсоном (Англия), при этом получены следующие результаты. Число бросаний 4040 12000 24000 Частота появления герба 0,50693 0,5016 0,5005 Французский естествоиспытатель Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз, и при этом герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна 2048 0,50693 4040 Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету 24000 раз, причем герб выпал 12012 раз. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна: 12012 0,5005 24000 Расхождение с математической вероятностью в четвертом знаке после запятой. Это закон больших чисел.  Определение Абсолютной частотой случайного события A в серии из N случайных опытов называется число N A , которое показывает, сколько раз в этой серии произошло событие A.  Определение Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов: NA N где A – случайное событие по отношению к некоторому испытанию, N - раз проведено испытание и при этом событие A наступило в N A случаях. Замечено, что будучи числом неотрицательным, относительная частота обладает определенной устойчивостью, то есть ее значение, изменяясь, колеблется около некоторого неотрицательного числа, к которому она стремится при n→ ∞, (неограниченном возрастании числа испытаний).  Определение При статистическом определении вероятностью события называют относительную частоту события при большом числе испытаний или число близкое к ней: P( A) lim W ( A) . W A n Вероятность P A выражает количественную меру появления события в данных сериях испытаний. Пример Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Какова частота рождения мальчика в такой серии наблюдений? Решение W A 515 1000 0.515 Пример Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов равна 0,012. В скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появление близнецов? Решение P( A) 0.012, N 10000 NA P( A) 0.012 , N 0.012 10000 120 N Ответ в 120 случаях можно ожидать появление близнецов. Пример За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней? Решение 67 0.728 частота солнечных дней на побережье за лето, W B 92 частота пасмурных дней. 1. W A 25 92 0.272 - Условная вероятность Пусть имеем два последовательных случайных событий, то какова вероятность наступления второго события, если первое событие уже произошло. Пример Пусть в урне было 5 шаров, (2 белых+ 3 черных). Найти вероятность извлечь белый шар во втором испытании. Решение После извлечения первого шара в ней останется 4 шара  и один белый в их числе (если извлекли белый)  или 2 белых (если в первый раз извлечен не белый шар). В первом случае вероятность извлечь белый шар во второй раз будет 1 1 , во втором . 4 2 Таким образом вероятность извлечь белый шар во втором испытании зависит от результата первого испытания. Понятия условной вероятности и независимости введены А.Муавром в 1718 г. Абрахам де Муавр (1667 -1754) — английский математик французского происхождения. Провѐл вероятностное исследование азартных игр.  Определение Условная вероятность- вероятность одного события, вычисленная в предположении, что другое событие произошло. Вероятность события A1 в предположении, что произошло событие A 2 обозначаем P A1 / A2  Определение Два события называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, имели ли место другие.  Определение Два события называются зависимыми, если появление одного из них влияет на вероятность наступления другого P A1 , то говорят, что A1 независимо от A 2 , т.к. его вероятность не зависит Если P A1 / A2 от того, произошло ли событие A 2 или нет. Аналогично, если P A2 / A1 P A2 , то говорят, что A 2 независимо от A1 Независимость двух событий – свойство симметричное. Пример A – извлечение из колоды туза, B – то, что и вторая вынутая из колоды карта туз. Тогда, если после первого раза карта была возвращена в колоду, то вероятность вынуть вторично туз не меняется: 4 1 PB P A 0.125 32 8 Если же первая карта в колоду не возвращается, то осуществление события A приводит к тому, что в колоде осталась 31 карта, из которых только 3 туза. Поэтому B 3 P 0.097 . A 31 Пример К экзамену надо подготовить 25 вопросов. Студент пришел на экзамен, зная 20. Какова вероятность того, что студент ответит на все три вопроса билета? Решение Пусть события: A – студент знает первый вопрос; B – студент знает второй вопрос; C – студент знает третий вопрос. Тогда нужная вероятность будет P ABC P AP B P C.AB A 20 19 18 25 24 23 57 . 115 Парадокс Монти Холла Задача формулируется как описание гипотетической игры, основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Вы стали участником игры, в которой нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. Вопрос: не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор? Решение Когда игрок сначала выбрал дверь, за которой находится коза, изменение выбора приводит к выигрышу. В двух последних случаях, когда игрок сначала выбрал дверь с автомобилем, изменение выбора приводит к проигрышу. Суммарная вероятность того, что изменение выбора приведѐт к выигрышу, эквивалентна сумме вероятностей первых двух исходов, то есть 1 3 1 3 2 . 3 Построим дерево принятия решений. Соответственно, вероятность того, что отказ от изменения выбора приведѐт к выигрышу, равна 1 6 1 6 1 3 Вывод Изменение первоначального выбора приводит к выигрышу в двух случаях из трѐх в среднем!!!! Контрольные вопросы 1. Дайте статическое определение вероятности. 2. В чем отличие от классического определения вероятности 3. В чем разница абсолютной и относительной частоты? Задачи для самостоятельно решения 1. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной. Отв. p 0.1 . 2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выйдет четное число очков. Отв. p 0.5 . 3. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого, наудачу извлеченного жетона, не "содержит цифры 5. Отв. p 0.81 . 4. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному из расположен- 1 . 120 5. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны, Найти вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках, можно будет прочесть слово «трос» Отв. `p = 1/А_6^4=1/360. 6. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три. Отв. а) 0,384; б) 0,096; в) 0,008. ных «в одну линию» кубиках можно будет прочесть слово «спорт». Отв. p 7. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если 2 4 (б) 9 9 8. В замке на общей оси пять дисков, каждый из которых разделен на шесть секторов с различными написанными на них буквами. Замок открывается, только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть Отв. `р =1/6^5. 9. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом. Отв. 0.25 10. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги — по одному рублю и две книги — по 3 рубля Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей. Отв. 5 /12 11. В партии из 100 детален отдел технического контроля обнаружил 6 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей? Отв. w 0.06 . 12. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85 Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов. Отв. 102 попадания. первая кость: а) оказалась дублем, б) не есть дубль. Отв. (а) Лекция 3 Алгебра событий - сумма двух событий  Определение Суммой двух событий A1 и A2 - называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. A A1 A2 Теорема Вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме их вероятностей. P A1 A2 P A1 P A2 Если события A1 и A2 взаимно не исключают друг друга, то теорема будет другая. Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий: n P n Ai i 1 P Ai i 1  Следствие теоремы сложения Сумма вероятностей полной группы несовместимых событий равна единице. Доказательство Пусть несовместимые события A, B, C ,, N - образуют полную группу событий, следовательно они единственно возможные и несовместные. При испытании хотя бы одно их этих событий появится, т.к. оно достоверно P A 1 или Р B 1 , или  Р N 1 но события по условию являются несовместимыми и следовательно, на основании теоремы сложения что и т.д. Алгебра событий – произведение двух событий  Определение Произведением нескольких событий называется событие, состоящие в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания. Обозначают A B, A B, A и B  Замечание Произведение означает союз «и» (АВС, это означает, что наступило событие A и B и C ). Пример A – «из колоды карт вынута дама», B – «из колоды карт вынута карта пиковой масти». A B означает «вынута дама пик». Пример A – « число выпавших очков < 5», B – «число выпавших очков > 2», C – «число выпавших очков четное». Тогда A B C – «выпало 4 очка». Теорема Вероятность суммы двух совместных событий равняется сумме их вероятностей, уменьшенная на вероятность произведения этих событий. P A1 A2 P A1 P A2 P A1 A2 Теорема Вероятность произведения взаимно независимых событий равна произведению их вероятностей. P A1 A2 P A1 P A2 . Теорема Вероятность произведения зависимых событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого события, вычисленную в предположении, что первое случайное событие уже произошло P A1 A 2 P A1 P A2 P A1 A 2 Свойства операций сложения и умножения 1. 2. A B B A коммутативность сложения. A B C A B C - ассоциативность сложения. 3. 4. 5. A B B A коммутативность умножения. A B C A B C ассоциативность умножения A B C A B A C закон дистрибутивности. Вероятность появления хотя бы одного из событий Теорема Вероятность появления хотя бы одного из событий A1 , A 2 ,  , A n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий PA 1 P A1 P A 2  P A n 1 q1 q2  qn  Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события A появляется с вероятностью p , вероятность появления события A хотя бы один раз равна P A 1 1 p n Пример В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Решение Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие A ) P A 10 30 1 3 Вероятность появления синего шара (событие B ) 5 30 PB 1 6 События A и B несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность P A B P A PB 1 3 1 6 1 2 Пример На стеллаже в библиотеке стоит 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете. Решение Первый способ. Пусть события A – хотя бы один учебник в переплете; B – один из взятых учебников в переплете, два – без переплета; C – два в переплете, один без переплета; D – все три учебника в переплете. Очевидно, A B C D . Найдем вероятности событий B , C , и D . P( B ) Тогда C 51C102 C153 P( A) 45 , 91 P( B ) C 52 C101 C153 P (C ) P (C ) P( D ) 20 , 91 P( D ) C 53 C153 2 . 91 67 . 91 Второй способ. Вновь A – хотя бы один учебник в переплете; A - ни один из взятых учебников не имеет переплета. Так как события A и A противоположные, то P( A) 1 P( A) 1 C103 C153 1 24 91 67 . 91 Диаграммы Эйлера-Венна Основные действия над событиями можно интерпретировать с помощью диаграмм Венна. Леонард Эйлер (1707-1783) — российский и швейцарский математик, внѐсший значительный вклад в развитие теории вероятностей и ряда прикладных наук. Эйлер — автор более чем 800 работ. Почти полжизни провѐл в России, где внѐс существенный вклад в становление российской науки. Диаграммы Венна- Эйлера используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях, обычно изображается в виде кругов одинакового радиуса. Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843—1923). Он подробно изложил метод в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют диаграммы Эйлера — Венна. На диаграмме ЭйлераВенна сумму событий можно изобразить в виде кругов (прямоугольник – изображение множества всех возможных исходов опыта). Диаграммы Венна нашли применение в современной логикоматематической теории «формальных нейронных сетей». Диаграмма, иллюстрирующая сумму совместных событий. Диаграмма, иллюстрирующая сумму несовместных событий Диаграмма, иллюстрирующая сумму трех совместных событий. Диаграмма, иллюстрирующая произведение совместных событий. Принцип практической невозможности При решении многих практических задач приходится иметь дело с событиями, вероятность которых весьма мала, т. е. близка к нулю. Можно ли считать, что маловероятное событие A в единичном испытании не произойдет? Такого заключения сделать нельзя, так как не исключено, хотя и мало вероятно, что событие A наступит. Казалось бы, появление или не появление маловероятного события в единичном испытании предсказать невозможно. Однако длительный опыт показывает, что маловероятное событие в единичном испытании в подавляющем большинстве случаев не наступает. На основании этого факта принимают следующий «принцип практической невозможности маловероятных событий»: если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит. Естественно возникает вопрос: насколько малой должна быть вероятность события, чтобы можно было считать невозможным его появление в одном испытании? На этот вопрос нельзя ответить однозначно. Для задач, различных по существу, ответы будут разными. Например, если вероятность того, что парашют при прыжке не раскроется, равна 0,01, то было бы недопустимым применять такие парашюты. Если же вероятность того, что поезд дальнего следования прибудет с опозданием, равна 0,01, то можно практически быть уверенным, что поезд прибудет вовремя.  Определение Достаточно малую вероятность, при которой событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимости, заключенные между 0,01 и 0,05. Уровень значимости, равный 0,01 называют однопроцентным; уровень значимости, равный 0,02 называют двухпроцентным и т. д. Подчеркнем, что рассмотренный здесь принцип позволяет делать предсказания не только о событиях, имеющих малую вероятность, но и о событиях, вероятность которых близка к единице. Действительно, если событие A имеет вероятность близкую к нулю, то вероятность противоположного события близка к единице. С другой стороны, не появление события A означает наступление противоположного события A . Таким образом, из принципа невозможности маловероятных событии вытекает следующее важное для приложении следствие: если случайное событие имеет вероятность очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит. Разумеется, и здесь ответ на вопрос о том, какую вероятность считать близкой к единице, зависит от существа задачи. Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Что относится к основным понятиям теории вероятностей? Назовите действия над событиями. Виды случайных событий. Дайте классическое определение вероятности. Дайте статистическое определение вероятности. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий? Дайте определение произведения двух событий Как определяется вероятность появления хотя бы одного события Как определяется условная вероятность? Сформулируйте теорему совместного появления двух событий. Следствием двух основных теорем теории вероятностей – теоремы сложения и умножения – являются формула полной вероятности и формула Бейеса. Формула Байеса, дает возможность оценить вероятность событий эмпирическим путѐм, играет важную роль в современной математической статистике и теории вероятностей. Томас Байес (Бейес, Reverend Thomas Bayes 1702 —1761) — английский математик. Математические интересы Байеса относились к теории вероятностей. Он сформулировал и решил одну из основных задач этого раздела математики (теорема Байеса). Работа, посвящѐнная этой задаче, была опубликована в 1763 году, уже после его смерти. Формула Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза), имея на руках лишь косвенные тому подтверждения (данные), которые могут быть неточны. Названа в честь ее автора, преп. Томаса Байеса (посвященная ей работа впервые опубликована в 1763 году, уже после его смерти). Полученную по формуле вероятность можно далее уточнять, принимая во внимание данные новых наблюдений. Изучение какого-либо объекта исследователь начинает с предположений (версии, гипотезы).Например: экзаменатор, предлагающий студенту билет, выдвигает гипотезы, что студент учил материал и т.д.  Определение Гипотезы Н1, Н 2 ,  Н s - события, в условиях которых только и может появиться событие A , обозначим Н1, Н 2 ,  Н s Вычисляя вероятность A , выдвигаем различные предположения (гипотезы) относительно обстоятельств, которые могут привести к событию A .  Определение Априорные гипотезы – гипотезы, полученные до предстоящего опыта, апостериорные - после. Формула Бейеса После выдвижения гипотезы исследователь ставит опыты, результат опыта фиксируют. На их основании надо высказать новое мнение о первоначальной гипотезе. Какая из них подтвердилась, какая нет. Стоит ли продолжать опыты? Как долго? Томас Бейес изложил свой подход к решению таких задач. Томас Бейес (1702-1761) – английский математик, был священником. Его формула позволяет эмпирически оценить вероятность события, работа была опубликована после его смерти. Она применяется, когда событие А , которое может появиться только с одной из гипотез A1, A2  An образующих полную группу событий, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез, т.е. найти апостериорные условные вероятности . Рассмотрим полную группу несовместных событий, вероятности появления которых P H1 , P H 2 ,…, P H s . Считаем, что они известны. Событие А может наступить только вместе с каким-либо из событий H1 , H 2 ,  H s Вероятность появления события А по формуле полной вероятности будет P A P H1 P A H1 P H2 P A H2  P Hs P A Hs Пусть событие произошло, А P H1 , P H 2 ,, P H s . тогда это изменит вероятности гипотез Тогда определим условные вероятности осуществления этих гипотез в предположении, что событие А произошло, т.е определим Р Н A 1 , Р Н 2 A ,  Р Н s A Тогда P A H1 P H1 P A H1 P A P H1 A P H1 A или P Hi A P H1 P A H1 P A P Hi P A Hi P A Формула называется – формулой Бейеса Значение формулы Бейеса состоит в том, что при наступлении события А , т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход, называемый бейесовским, дает возможность корректировать управленческие решения в экономике, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе.  Замечание Формула Бейеса предназначена для вычисления апостериорных вероятностей гипотез после проведения опыта с учетом полученной информации (событие А уже произошло).  Замечание Психологические эксперименты показали, что люди при оценках вероятности игнорируют различие априорных вероятностей (ошибка базовой оценки), и потому правильные результаты, получаемые по теореме Бейеса, могут очень отличаться от ожидаемых. Пример Студент подготовил к экзамену 20 билетов из 25. В каком случае шансы взять известный билет больше - когда студент пришел на экзамен первым или вторым? Решение P1 20 25 4 5 Найдем вероятность P2 взять известный билет, придя на экзамен вторым, учитывая, что первый может взять как известный, так и неизвестный второму билет. P2 20 19 25 24 5 20 25 24 4 5 Пример Студент приходит в медпункт и жалуется на плохое самочувствие. У медсестры две гипотезы H1 - он действительно болен, H 2 - он здоров, но хочет получить справку. По 0,7 и ставит ему внешнему виду она оценивает априорные вероятности P H1 0,3 , P H 2 градусник. Измеренная температура 37.5 (событие А ). A A Предположим, P 0,9 (не при всякой болезни повышается температура), P 0,05 (у H1 H2 некоторых здоровых людей нормальная температура немного повышена или студент мог незаметно натереть градусник). Теперь апостериорная вероятность того, что студент болен: H 0.3 0.9 P 1 0.885 A 0.3 0.9 0.7 0.05 и у медсестры есть все основания направить студента к врачу. Физический смысл и терминология формулы Бейеса Формула Бейеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной. События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, так как они — предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной, а условную - с учетом факта произошедшего события — апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии). Можно также уточнять вероятность гипотезы, учитывая другие имеющиеся данные (другие произошедшие события). Для учета каждого следующего события нужно в качестве априорной вероятности гипотезы подставлять ее апостериорную вероятность с предыдущего шага. Формулу Бейеса иногда называют формулой переоценки гипотез. Она позволяет дать оценку вероятности гипотез после того, как произошло событие. Томас Бейес формулу не выводил, она названа в честь признания его работ по теории вероятностей. Формула полной вероятности события Важным следствием формулы Байеса является формула полной вероятности события, зависящего от нескольких несовместных гипотез (и только от них!). Следствием двух основных теорем теории вероятностей – теоремы сложения и умножения – являются формула полной вероятности. Теорема Полная вероятность события A равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные соответственно при каждой из гипотез. i s PA P Hi P A Hi i 1 Доказательство Пусть А - событие, вероятность которого надо вычислить. Полагаем, что это события несовместимы, а их совокупность охватывает всевозможные события, которые могут привести к А , т.е. они образуют полную группу несовместимых событий. Вероятности их обозначим P H 1 , P H 2 ,, P H s На основании следствия из теоремы сложения P H1 Введем условные вероятности P Hs P H2 осуществления 1 А при каждой из гипотез P A H1 , P A H 2 ,, P A H s Найдем полную вероятность события А Событие А может наступить, если наступит событие H 1 . Вероятность наступления H 1 и затем А на основании теоремы умножения равна P H1 и A P H1 P A H1 Но событие А может наступить, если наступит событие H 2 . и т.д. Для определения полной вероятности события А безразлично каким образом появится А . На основании теоремы сложения о несовместных событиях получим P A P H1 и A P H2 и A  P Hs и A Заменяя слагаемые их значениями, имеем P A  P H 1 P A | H1 P H 2 P A | H 2 P Hs P A | Hs i s Или PA P Hi P A Hi . i 1 Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез. Пример Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных, в третьей – 10 черных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый. Решение Будем считать гипотезами H1 , H 2 и H 3 выбор урны с соответствующим номером. Так как по условию задачи все гипотезы равновозможны, то 1 P H1 P H 2 P H 3 3 Найдем условную вероятность А при реализации каждой гипотезы: P A H1 A 3 , P H2 7 2 A , P 7 H3 1 3 1 2 1 0 0.238 . 3 7 3 7 3  Замечание Пусть имеется группа событий H1 , H 2 свойствами: 1) все события попарно несовместны: H i H j Тогда 0. P A H n , обладающая следующими 2) их объединение образует пространство элементарных исходов В этом случае будем говорить, что H1 , H 2 : H n образуют полную группу событий.  Замечание Психологические эксперименты показали, что люди при оценках вероятности игнорируют различие априорных вероятностей (ошибка базовой оценки), и потому правильные результаты, получаемые по теореме Байеса, могут очень отличаться от ожидаемых. Метод фильтрации спама При проверке письма вычисляется вероятность того, что оно — спам для множества гипотез. «гипотезы» — это слова, и для каждого слова «достоверность гипотезы» — % этого слова в письме, а «зависимость события от гипотезы» P B Ai — вычисленный ранее «вес» слова. То есть «вес» письма - усредненный «вес» всех его слов. Отнесение письма к «спаму» или «не-спаму» производится по тому, превышает ли его «вес» планку, заданную пользователем (60-80 %). После принятия решения по письму в базе данных обновляются «веса» для вошедших в него слов. Недостаток метода:базируется на том, что одни слова чаще встречаются в спаме, а другие — в обычных письмах, и неэффективен, если данное предположение неверно  Замечание если 80% писем, содержащих словосочетание "разговорный английский", являлись спамом, то и следующее письмо с этим словосочетанием - спам, причем с большой долей вероятности. Контрольные вопросы 1. Как определяется условная вероятность? 2. При каких условиях применяется формула Байеса? 3. В каких случаях применяется формула полной вероятности? Каким свойствам должны удовлетворять гипотезы? 4. Что такое априорные и апостериорные вероятности? 5. Если все априорные вероятности гипотез одинаковы, то остаются ли их апостериорные вероятности также всегда одинаковыми? Задачи для самостоятельно решения 1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10 000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета? Отв. p 0.02 . 2. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0.3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков. Отв. p 0.4 . 3. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хоти бы одна стандартная Отв. p 44 . 45 В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали. Отв.р = 2/3. 5. События A , B , C и D образуют полную систему. Вероятности событий таковы: P A 0.1 ; P B 0.4 ; P C 0.3 . Чему равна вероятность события D ? Отв. P D 0.2 6. По статистическим данным ремонтной мастерской в среднем на 20 остановок токарного станка приходится: 10—для смены резца; 3 — из-за неисправности привода; 2 — из-за несвоевременной подачи заготовок. Остальные остановки происходят по другим причинам. Найти вероятность остановки станка по другим причинам. Отв.р = 0,25. 7. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна р = 0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание. Отв. 0,729. 4. 8. Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: «появился герб», «появилось 6 очков» Отв.1/12. 9. В двух ящиках находятся детали: в первом — 10 (из них 3 стандартных), во втором — 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными. Отв. 0,12. 10. В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна р= 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера (событие А) Отв. 0,936 11. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится 91 216 12. Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причем из них 86%— первого сорта. Найти вероятность того что взятое наудачу изделие изготовленное на этом предприятии окажется первого сорта. Отв. 0,817 13. Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятность следующих событий: а) опыт окончится до шестого бросания. б) потребуется 2 15 четное число бросания. Отв. а) б) 3 16 14. Из цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех — вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны Найти вероятность того, 3 3 что будет выбрана нечетная цифра: а) в первый раз; б) во второй раз; в) в оба раза Отв. а) б) 5 5 3 в) 7 15. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8. он попал в десятку хотя бы один раз? Отв. n 2 . 16. Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет разрыва. Отв. 0,936 17. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же). Отв. 0,5. 18. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, а вторым стрелком — 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком. Отв. 0,44 . 21. Для проверки усвоения лекционного материала в студенческой группе был случайным образом выбран студент, и ему был предложен тест по теме лекции. В этой студенческой группе 6 отличников, 7 хороших студентов и три средних студента (по результатам прошедшей сессии). Было известно, что отличник справляется с тестом с вероятностью 0,85, хороший студент справляется с тестом с вероятностью 0,6, а средний студент справляется с тестом с вероятностью 0,3. а) вычислить априорную вероятность того, что был протестирован хороший студент; в) вычислить вероятность того, что студент не справился с тестом; с) вычислить вероятность того, что был выбран хороший студент, если известно, что студент с тестом не справился. 22. В упаковке находилось 7 изделий первого сорта и 5 изделий второго сорта, внешне неразличимых. При транспортировке два изделия были похищены. После этого из упаковки было извлечено наудачу изделие и подвергнуто проверке на качество. а) вычислить вероятность того, что были похищены изделия второго сорта; в) вычислить вероятность того, что среди похищенных изделий одно было первого сорта, другое второго сорта; с) вычислить вероятность того, подвергнутое проверке изделие было второго сорта; d) вычислить вероятность того, что похищенные изделия были второсортными, если хотя бы на одной из костей (событие А)? Отв. Отв. а) 7/16 = 0,4375; в) 0,3625 с) 0,482759. Лекция 4 Случайные величины, классификация Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что случайные величины являются существенным элементом любой модели, предназначенной для описания условий и результатов многих экспериментов. Пусть в результате опыта могут наступать различные сл. события, причем наступлению каждого из них можно поставить в соответствие однозначное число. Случайные события - это качественная характеристика случайного результата опыта, но случайный результат можно характеризовать и количественно.  Определение Случайная величина (СВ) – величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, но неизвестно заранее какое именно. Случайная величина – числовая функция от случайного события, определенное обобщение понятия случайного события. Принятие случайной величиной конкретного значения представляет собой событие, все теоремы можно применять для случайных величин. Пример Случайная величина - число выпадения герба про бросании монеты, ошибка при измерении, количество транзисторов, отказывающих за некоторый промежуток времени Случайные величины обозначают заглавными буквами X , Y , Z  , а их всевозможные значения, соответственно малыми x, y, z Фундаментальные условия определения СС – непредсказуемость исхода, – и устойчивая относительная частота СС. Среди случайных величин можно выделить два основных класса: дискретные случайные величины непрерывные случайные величины.  Определение Дискретная случайная величина – величина, возможные значения которой отделимы друг от друга, принимающая конечное или счетное множество значений.  Определение Непрерывная случайная величина – величина, возможные значения которой неотделимы друг от друга и непрерывно заполняют некоторый интервал. Законы распределения случайной величины Полное описание случайной величины дает закон ее распределения.  Определение Закон распределения вероятностей случайной величины – соотношение, устанавливающее связь между вероятностями, с которыми случайная величина принимает различные значения и самими возможными значениями случайной величины.. Закон распределения может быть представлен в виде: таблицы, аналитической зависимости графика. Пусть X некоторая случайная величина, которая принимает значения x1, x2 ,  , xs Вероятность того, что случайная величина X примет конкретное значение x i , обозначим P X xi Пример Случайная величина X число очков, выпадающих при бросании игральной кости. 1 P X xi 6 Пример Вероятности того, что студент сдаст экзамен в сессию по дисциплинам А и Б равны 0.7 и 0.9. Составить закон распределения числа экзаменов, которые сдаст студент. Решение Случайная величина x – число сданных экзаменов 0,1, 2. P x P A1 A2 P x 1 P A1 A2 P x 2 P A1 A2 0.3 0.1 A2 A1 0.7 0.9 0.03 0.7 0.1 0.3 0.9 0.34 0.63  Определение Ряд распределения - закон распределения вероятностей дискретной случайной величины, заданный в виде таблицы, в первой строке даны значения СВ, а во второй – соответствующие им вероятности. Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий после двух выстрелов. Решение Очевидно, что Х может принимать три значения: 0, 1 и 2. Их вероятности найдены в примере, рассмотренном в лекции 3. Следовательно, ряд распределения имеет вид: xi 1 2 pi 0,12 0,46 0,42 Простейшая форма закона распределения дискретной случайной величины – ряд, может быть гистограмма, диаграмма.  Определение Многоугольник распределения (полигон распределения)– график, по оси абсцисс всевозможные значения случайной величины, по оси ординаты вероятности и ординаты соединены непрерывной кривой. При построении многоугольника распределения надо помнить, что соединение полученных точек носит условный характер. В промежутках между значениями 0,7 случайной величины вероятность не принимает никакого значения. 0,6 Точки соединены только для наглядности. 0,5 0,4  Замечание Сумма все ординат многоугольника распределения 0,3 вероятность всех значений случайной величины, и, следовательно, 0,2 0,1 равна 1.  Замечание При построении многоугольника распределения 1 2 3 4 надо помнить, что соединение полученных точек носит условный характер. В промежутках между значениями случайной величины вероятность не принимает никакого значения. Точки соединены только для наглядности.  Определение Многомодальное распределение (двухмодальное) – распределение, имеющее два или несколько максимумов у многоугольника распределения для дискретной случайной величины или на кривой распределения для непрерывной случайной величины. Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным Теорема (характерное свойство многоугольника распределения) Сумма ординат многоугольника распределения или сумма всех возможных значений случайной величины всегда равна 1 i s P xi 1 i 1 Доказательство Значения, которые может принимать сл.величина, являются событиями несовместными(в одном опыте может выпасть только одно какое-либо значение) и в совокупности составляют полную группу событий.  Замечание i s P xi 1 - говорят единица распределена между значениями случайной величины, отсюда i 1 и термин «распределение». Интегральный закон распределения Большую информативность для инженера дает закон распределения вероятности случайной величины X. В производстве и технике часто такие законы распределения заданы по условию задачи.  Определение Функцией распределения F ( x) случайной величины X называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее x : F ( x) F x P1 x x1 x1 x x2 P1 P2 x2 x x3 P( X x)  P1 P2  Pn 1 xn 1 x xn x xn 1 В теории вероятностей функция распределения однозначно задаѐт распределение случайной величины или случайного вектора. Свойства функции распределения 1) 0 F x 1 . Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может принимать только те значения, которые принимает вероятность. 2)Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F x2 F x1 при x2 x1 . Это следует из того, что F x2 P X x2 P X x1 P x1 X x2 F x1 . 3) lim F x x 0, lim F x 1. x В частности, если все возможные значения Х лежат на интервале a, b , то F ( x) 0 при x и F ( x) 1 при x b . Действительно, X a – событие невозможное, а X b – достоверное. a 4) Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала a, b , равна разности значений функции распределения на концах интервала: Pa X b Fb Fa Справедливость этого утверждения следует из определения функции распределения. Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции. Функция распределения дискретной случайной величины ступенчата, со скачками в точках возможных значений случайной величины. Высоты ступени равны в каждой точке вероятности соответствующего значения случайной величины.  Замечание Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.  Замечание Функция распределения связана с законом распределения и является одной из форм его выражения, а именно функция распределения есть интегральный закон распределения. Пример Пусть X -случайное число очков, выпавших при одном бросании игральной кости. Написать интегральный закон распределения случайной величины. Решение Функция распределения (интегральный закон распределения случайной величины) имеет вид: 0, F x 1 , 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1, x 1 1 , 6 1 6 1 6 1 6 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4 x 5 1 6 5 x x 6 1 , 6 1 6 1 6 1 6 1 6 6 . Числовые характеристики дискретной случайной величины В теории вероятностей для общей характеристики случайной величины используются числовые характеристики. Они выражают наиболее существенные особенности того или иного распределения. Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение). Характеристики положения Характеристики положения дают представление о положении случайной величины на числовой оси. К ним относятся: Математическое ожидание Мода Медиана  Определение Математическое ожидание – величина, равная сумме произведений отдельных значений, которые может принимать переменная на соответствующие им вероятности: i s x М X xi p xi . i 1  Замечание Если X - дискретная случайная величина, принимающая счетное количество значений, то математическое ожидание существует тогда и только тогда, когда ряд сходится и при том абсолютно. Математическое ожидание – основная характеристика распределения. Она информирует о том, каков средний уровень значений, принимаемых случайной величиной. Математическое ожидание – число, около которого колеблются значения случайных величин и их средние значения по сериям опытов. Среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины, при неограниченном возрастании числа испытаний, стремится к математическому ожиданию.  Определение Отклонение – - центрированная случайная величина: xi M X .  Замечание Отклонения противоположных знаков в среднем взаимно погашаются. Поэтому в качестве меры рассеивания берут математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины. Свойства математического ожидания Математическое ожидание - взвешенное среднее, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов. 2. Математическое ожидание не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольшего. 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина. 4. Математическое ожидание дискретной случайной величины X может не совпадать ни с одним из ее возможных значений. 5. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной 1. M C C Математическое ожидание случайной величины определяет положение центра распределения вероятностей. 7. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий 6. M (X Y) M ( X ) M (Y ) Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или независимых) равно сумме математических ожиданий слагаемых: 8. M X 9. Y M X MY Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания M C x C M x  Замечание Одному и тому же заданному математическому ожиданию может соответствовать бесчисленное множество случайных величин, различных не только по своей природе, но и по характеру. Математическое ожидание СВ определяет положение центра распределения вероятностей.  Определение Мода – значение случайной величины xi , имеющее наибольшую вероятность или наиболее вероятное значение. Обозначается m0 .  Определение Число называется наивероятнейшее, если вероятность осуществления этого события не меньше вероятности других событий (мода) np q m0 np p  Определение Медиана - такое значение случайной величины, что выполняется условие. Обозначается медиана ME . 1 P( X x1 ) P( X x1 ) 2 2 2 Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.  Замечание Все три характеристики (математическое ожидание, мода и медиана) не совпадают. Если распределение симметрично и модальное (имеет одну моду), то все три характеристики (математическое ожидание, мода и медиана) характеризуются одним положением и совпадают. Пример Если ряд распределения дискретной случайной величины Х имеет вид: x p 1 0.1 2 0.7 3 0.15 4 0.05 то мода M 0 вида 2. Пример Рассмотрим две случайные величины: X и Y , заданные рядами распределения Y p X p 49 0.1 50 0.8 0.5 100 0.5 51 0.1 Найти математическое ожидание дискретных случайных величин. Решение M X MY M X 49 0.1 50 0.8 51 0.1 50 , 0 0.5 100 0.5 50 . M Y , но, если для случайной величины X математическое ожидание M x хорошо описывает поведение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением, то значения Y существенно отстоят от M y . Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, насколько значения случайной величины отклоняются от него, т.е. дисперсию. Характеристики рассеивания Значения наблюдаемых в практике с.в. всегда колеблются около среднего значения. Это явление называется рассеиванием величины около ее среднего значения. Числовые характеристики, описывающие это явление называются характеристиками рассеивания и основные из них дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Само слово дисперсия – «рассеивание».  Определение Дисперсией– называется математическое ожидание квадрата разности с.в. и ее мат.ожидания D X M x mx 2 i s xi mx 2 p xi i 1 Дисперсия – сумма квадратов возможных отклонений СВ от ее среднего значения, взятых с «весовыми» коэффициентами, равными вероятностям соответствующих отклонений. Дисперсия – математическое ожидание квадратов отклонений СВ от ее среднего значения, количественная характеристика распределения СВ. Дисперсия, как и математическое ожидание, является величиной не случайной. Таким образом, дисперсия – характеристика возможных отклонений СВ от ее среднего значения. Чем большие отклонения в обе стороны от среднего значения возможны у данной СВ и чем больше вероятности таких отклонений, тем больше дисперсия СВ. В частном случае, когда среднее значение равно нулю, дисперсия характеризует разброс значений СВ в обе стороны от нуля. Теорема Дисперсия разность математического ожидания квадрата сл.в. и квадрата математического ожидания СВ. M X2 D X n D x xk m x n 2 pk k 1 n x 2k p k 2 k 1 n x 2k p k 2 m x k 1 M2 X n n xk m x pk k 1 x k p k m 2k k 1 n m 2k p k k 1 pk M x 2 2m x m x m x2 M x 2 m 2x k 1 Доказательство  Теорема Дисперсия постоянной величины равна нулю: D (c ) 0 Доказательство Dc M c c 2 M 0 Теорема Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат D cX c2D X Доказательство D cX M cX M c2 X M cX M X 2 2 M cX cM x c2M x M x 2 2 c2D X Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: DX Y DX DY Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: DX Y DX DY  Замечание В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.  Замечание Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.  Замечание Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии D X M X2 M2 X Пример Известны законы распределения сл.в. X , Y - числа очков выбиваемых 1, 2 стрелком. Какой из стрелков стреляет лучше. Решение 1 – имеет большие вероятности при крайних случаях, у 2 – промежуточные значения. Стреляет лучше тот, кто в среднем выбивает большее количество очков. Это среднее количество и есть математическое ожидание. Но, если среднее число выбиваемых очков одинаково, тогда лучше стреляет тот, у кого меньше отклонения (разброс, вариация, рассеяние) этого числа относительно среднего значения. А это и есть дисперсия. В нашем примере D( X ) D(Y ) , следовательно 2 стрелку нужно сместить «центр» распределения числа выбиваемых очков, научиться лучше целиться в мишень.  Определение Среднеквадратическое отклонение – числовая характеристика, равная корню квадратному из дисперсии D( X ) . Пользоваться среднеквадратичном отклонением удобнее, т.к. это величина имеет размерность самой СВ.  Замечание Чем меньше рассеиваются значения СВ, тем точнее можно их предсказать.  Замечание В финансовом анализе имеют большое значение характеристики математическое ожидание и дисперсия. Например, X - распределение доходности некоторого актива (акции), тогда M ( X ) - средняя (прогнозная) доходность актива, а D( X ) - мера отклонения, колебания доходности от ожидаемого среднего значения, т.е. риск данного актива  Определение Начальным моментом k - порядка сл.величины Х называется математическое ожидание k степени этой величины. n k M Xk xik pi i 1  Определение Центральным моментом k - порядка сл.величины Х математическое ожидание k степени отклонение сл.величины Х от ее мат.ожидания. k M X M X n k xi a k называется pi i 1  Замечание k 1 - первый начальный момент – мат.ожидание, k 2 - второй центральный момент – дисперсия. Параметры формы Если распределение не является симметричным, то можно оценить асимметрию кривой распределения с помощью центрального момента 3-го порядка. Действительно, для симметричного распределения все нечетные центральные моменты равны 0 (как интегралы от нечетных функций в симметричных пределах), поэтому выбран нечетный момент наименьшего порядка, не тождественно равный 0.  Определение Коэффициент ассиметрии случайной .величины -числовая характеристика ассиметрии распределения 3 3 A Если A 0 , то распределение симметрично относительно мат.ожидания.  Замечание Третий центральный момент – служит для характеристики ассиметрии распределения. Для оценки поведения кривой распределения вблизи точки максимума (для определения того, насколько «крутой» будет его вершина) применяется центральный момент 4-го порядка  Определение Эксцесс - числовая характеристика крутости распределения E 4 4 3 . Эксцесс — показатель, который используется для характеристики островершинности фактического распределения по отношению к нормальному распределению. Для оценки эксцесса распределения используется четвертый центральный момент для двух типов данных  Замечание Четвертый центральный момент – служит для характеристики крутости распределения. E Вероятность дискретной величины интервал в Пусть задан закон некоторой случайной X .Определим случайная величина E E попадания случайной заданный распределения величины вероятность того, что попадет в интервал a, b i Pa X b P xi i где - выбирается так, чтобы x a , x - равное или ближайшее после a значение случайной величины, - выбирается так, чтобы x b , x ближайшее значение сл.величины слева от b . Контрольные вопросы Дайте определение дискретной случайной величины. Какими способами можно задать дискретную случайную величину? Функция распределения. Свойства функции распределения. График функции распределения. 4. Плотность распределения. Свойства плотности распределения 5. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения. 6. .Дайте определение математического ожидания дискретной случайной величины. Назовите свойства математического ожидания. 7. Определение дисперсии дискретной случайной величины. Формула для вычисления дисперсии. Свойства дисперсии. 1. 2. 3.