Случайные процессы и их основные характеристики

6. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 6.1. Общие понятия и определения В теории связи процесс передачи сообщения рассматривается как некоторый случайный процесс, развивающийся во времени. Случайность процесса проявляется в том, что невозможно предсказать точное протекание этого процесса. Действительно, если наблюдать напряжение на выходе приемного устройства, то мы не можем с полной определенностью сказать, каково будет его значение в последующие моменты времени. Это обусловлено тем, что параметра сигнала (амплитуда, частота, фаза), формируемого передатчиком, изменяются случайным образом в соответствие с передаваемым сообщением. Кроме того, в процессе передачи на сообщение накладываются различные аддитивные помехи, имеющие случайную природу. Таким образом, случайный процесс Х(t) – это особая функция, характеризующаяся тем, что в любой момент времени t принимаемые ею значения являются случайными величинами. Хотя случайный процесс меняется от опыта к опыту случайным образом, однако получаемая в результате каждого отдельного опыта величина x(t) не является случайной. Ее называют реализацией случайного процесса. Случайный процесс тогда можно представить как совокупность его реализаций, образующих статистический ансамбль: . Для непрерывного случайного процесса число таких реализации бесконечно. Простейшим примером случайного процесса может служить гармонический сигнал где, например, начальная фаза меняется случайным образом, т.е. невозможно предсказать его значение. В то же время при каждом его заданном значении функция x(t) имеет конкретное значение и является реализацией случайного процесса. При многократном наблюдении за одним и тем же случайным процессом можно увидеть, что средние результаты большого числа наблюдений устойчивы, т.е. такие средние результаты подчиняются определенным вероятностным закономерностям. 6.2. Основные характеристики случайных процессов На рисунке 6.1. приведены четыре возможные реализации одного и того же случайного процесса. Выберем на этом графике некоторое временное сечение при. Совокупность точек пересечения этого сечения с реализациями образует случайную величину Х(t1), значение которой заранее не известно. Однако существуют закономерности, по которым можно судить, что с некоторой вероятностью Р эта случайная величина будет принимать определенное значение в пределах . Рис.6.1. Реализации случайного процесса Эти закономерности описываются следующими параметрами: а) одномерной плотностью вероятности (ОПВ) (6.1) которая показывает отношение вероятности того, что случайная величина Х(t1) примет значения, лежащие в интервале к величине интервала . На рисунке 6.2,а приведен типовой график ОПВ; б) вероятностью того, что случайная величина Х(t1) примет значения, лежащие в интервале . (6.2) Интеграл в бесконечных пределах определяет условие нормировки для достоверного события; в) интегральная функция распределения , (6.3) которая показывает вероятность того, что случайная величина Х не превзойдет некоторое его значение х. ИФР имеет следующие свойства: а) ; б) в) - неубывающая функция, т.е. при; г) (6.4) График ИФРприведен на рисунке 6.2,б Рис.6.2. Типовой график одномерной ПВ (а) и одномерной ИФР (б). Обычно на практике ИФР являются дифференцируемыми функциями, поэтому ОПВ может быть определена как производная от ИФР . (6.5) ОПВ обычно бывает недостаточной, чтобы судить о характере развития реализации случайного процесса во времени. Гораздо больше сведений можно получить, рассматривая два сечения случайного процесса в моменты времени t1и t2 (см. рис. 6.1). В этом случае случайные величины Х(t1) и Х(t2) описываются двумерной плотностью вероятности. В общем случае можно ввести п-мерное сечение случайного процесса, приводящее к более полной п-мерной плотности вероятности, при этом может принимать бесконечное значение. На практике вместо вероятностных характеристик случайных величин рассматривают хотя и менее полных, но зато более простых и имеющих конкретный физический смысл числовых характеристик, называемых моментами. Числовой характеристикой случайного процесса служит момент к-того порядка, определяемый как , (6.6) где черта сверху означает усреднение по множеству реализаций. Прик=1 получаем момент первого порядка , (6.7) называемыйматематическим ожиданием (МО), который определяет среднее значение случайной величины. Физический смысл m1 – это постоянная составляющая случайного процесса. Прик=2 получаем момент второго порядка , (6.8) определяющий полную среднюю мощность случайного процесса на единичном сопротивлении. Разность между случайной величиной Х и ее МО (Х –m1=) характеризует отклонение случайной величины от его среднего значения и называется центрированным значением. Математическое ожидание квадрата этого отклонения называется дисперсией или центральным моментом второго порядка . (6.9) С учетом (6.7) и (6.8) можно получить . (6.10) Дисперсия характеризует разброс случайной величины относительно его среднего значения и определяет среднюю мощность переменной составляющей случайного процесса на единичном сопротивлении. Величину называют среднеквадратичным отклонением. При совместном изучении двух случайных величин Х(t1) и Х(t2) сечений t1и t2 (см. рис.6.1) вводится понятие смешанного момента второго порядка, называемого функцией корреляции (ФК): , (6.11) где - двумерная плотность вероятности. Функция корреляции характеризует степень статистической зависимости двух значений случайного процесса, разделенных интервалом времени . С ростом ФК обычно уменьшается, что говорит об ослаблении связи между двумя мгновенными значениями случайного процесса. Если две случайные величины статистически независимы, то их двумерные плотности вероятности равны произведению одномерных плотностей вероятности: и ФК между двумя такими величинами равна нулю. 6.3. Стационарные случайные процессы Случайные процессы можно разделить настационарные и нестационарные. Такое разделение можно пояснить на примере теплового шума на выходе усилителя электрических сигналов (рис. 6.3). Рис.6.3. К понятию стационарности случайного процесса В момент включения усилителя усилитель прогревается и амплитуда шумов растет – имеем дело с нестационарным процессом. После прогрева процесс становится стационарным. В дальнейшем мы будем иметь дело только со стационарными случайными процессами. Говорят, что случайный процесс стационарен в узком смысле, если любая его п-мерная плотность вероятности не зависит от сдвига процесса во времени на величину . Это означает, что для любых п и  справедливо равенство: . Случайный процесс стационарен в широком смысле, если его математическое ожидание m1 и дисперсия 2 не зависят от времени, а функция корреляции зависит только от разности : . Очевидно, что процессы стационарные в узком смысле, стационарны и в широком смысле, но не наоборот. Из определения стационарности случайного процесса в широком смысле следует, что его ФК является четной функцией: и справедливо равенство: . В дальнейшем мы будем рассматривать только стационарные в широком смысле случайные процессы. 6.4. Эргодические процессы Стационарные случайные процессы в большинстве практически важных ситуациях обладают так называемым свойством эргодичности: усреднение по множеству реализаций случайного процесса дает примерно тот же результат, что и усреднение по времени одной реализации , если время усреднения достаточно велико. Это свойство имеет большое значение на практике, т.к. усреднение по времени одной реализации технически реализовать проще. Поэтому доказательство эргодичности процесса позволяет существенно упростить нахождение его характеристик. Стационарный в широком смысле случайный процесс является эргодичным, если выполняется условие Слуцкого: . Математическое ожидание для эргодического случайного процесса определяется путем усреднения по времени (обозначено угловыми скобками) любой одной реализации , (6.12) следовательно, нахождение МО эргодического процесса сводится к простому интегрированию. Математическое ожидание для эргодического процесса равно постоянной составляющей выбранной реализации. Дисперсия эргодического процесса (6.13) Поскольку величина представляет собой среднюю мощность реализации, выделяемой на резисторе в один Ом, а - мощность его постоянной составляющей, то дисперсия определяет мощность переменной составляющей эргодического процесса. Аналогично можно найти функцию корреляции. Для этого обозначим (t) – переменную составляющую эргодического процесса, тогда . (6.14) Из сравнения (6.13) и (6.14) вытекает, что Для описания ФК эргодических случайных процессов часто пользуются понятиями: а) нормированная ФК ; б) интервал корреляции. Рассмотрим случайный процесс Z(t), образованный суммой двух стационарных эргодических процессов . ФК такого процесса определится соотношением: где и - КФ процессов Х(t) и , а - называется взаимно-корреляционной функцией, причем . Случайные процессы Х(t) и называют коррелированными при заданном, если их взаимно-корреляционная функция отлична от нуля. Если Вху() = 0, то процессы Х(t) и некоррелированы, т.е. статистически независимы. 6.5. Спектральная плотность мощности случайного процесса. Наряду с корреляционными функциями для описания случайных процессов широко используются спектральные характеристики, в частности, спектральная плотность мощности . Спектральная плотность мощности случайного процесса вводится аналогично, как и спектральная плотность мощности для детерминированных сигналов. Для этого рассмотрим мощность эргодического стационарного случайного процесса: , где - называется спектральной плотностью мощности эргодического процесса. Для эргодических процессов спектральная плотность мощности связана с ФК: Эти соотношения называются соотношениями Н.Винера и А.Я.Хинчина. Соотношения Винера-Хинчина аналогично преобразованиям Фурье для детерминированных процессов. Так как ФК связана с дисперсией, то дисперсию можно рассчитать через спектральную плотность мощности: (6.15) где - спектральная плотность мощности в положительной области частот. Для большинства применяющихся эргодических процессов: , где - верхняя частота в спектре случайного процесса, т.е. интервал корреляции и частотный диапазон связаны друг с другом. 6.6. Примеры случайных процессов 6.6.1.Нормальный случайный процесс( гауссов процесс) Процесс называется нормальным или гауссовым, если его одномерная ПВ имеет вид: , где 2 - дисперсия случайного процесса, m1 – математическое ожидание или среднее значение случайного процесса. На рис. 6.4. приведены графики ПВ такого нормального случайного процесса: Рис.6.4. Графики ПВ нормального случайного процесса Исходя из графиков, можно сформулировать основные свойства нормального случайного процесса: а)w(x)  0; б) кривая ПВ симметрична относительно x = m1; в) w(x) - max приx = m1; г) площадь под кривой w(x) равна 1; д) при изменении m1 форма кривой не меняется, но кривая смещается вдоль оси х; е) чем больше дисперсия 2, тем кривая ниже и шире; ж) можно показать, что с вероятностью близкой к 1 (Р0,997) мгновенные значения нормального случайного процесса лежат в пределах: m1 - 3