Сложное движение точки. Сложное движение твердого тела

11. Сложное движение точки Сложное движение точки – такое движение, при котором точка участвует одновременно в двух или нескольких движениях. Примеры сложного движения точки (тела): лодка, переплывающая реку; человек, идущий по движущемуся эскалатору; камень подвижной кулисы, поршень качающегося цилиндра; шары центробежного регулятора Уатта. 11. Сложное движение точки Для описания сложного движения точки или для представления движения в виде сложного используются неподвижная система отсчета O1, связанная с каким-либо условно неподвижным телом, например, с Землей, и подвижная система отсчета Oxyz, связанная с каким-либо движущимся телом. Абсолютное движение ( a ) - движение z точки, рассматриваемое относительно  M неподвижной системы отсчета. y j k O i  O1 x  Относительное движение ( отн., r ) движение точки, рассматриваемое относительно подвижной системы отсчета. Переносное движение ( пер.,e ) - движение подвижной системы отсчета, рассматриваемое относительно неподвижной системы отсчета. 11. Сложное движение точки Абсолютная скорость (ускорение) точки - скорость (ускорение) точки, вычисленная относительно неподвижной системы отсчета. Относительная скорость (ускорение) точки – скорость (ускорение) точки, вычисленная относительно подвижной системы отсчета. Переносная скорость (ускорение) точки – скорость (ускорение) точки, принадлежащей подвижной системе координат или твердому телу, с которым жестко связана подвижная система координат, совпадающей с рассматриваемой движущейся точкой в данный момент времени и вычисленная относительно неподвижной системы отсчета. 11. Сложное движение точки Сложение скоростей Теорема о сложении скоростей – абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей точки.   O  r z  M r k Oj  O i O x y  O1 x    O  xi  yj  zk . z Продифференцируем это соотношение по времени имея в виду, орты i, j, k изменяют свое направление в общем случае движения свободного тела, с которым связана подвижная система координат: d d O dr d O dx dy dz di dj dk     i j k x  y z . dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt 11. Сложное движение точки Сложение скоростей   z M ωe e rj O i O y x y vO  O1 x  dx dy dz i j  k  vr dt dt dt z k  d  d O dx dy dz di dj dk   i j k x  y z . dt dt dt dt dt dt dt dt vr va dO  vO  скорость полюса О  r dt ve di dj dk  ( e  i );  ( e  j );  ( e  k ) dt dt dt x( e  i )  y ( e  j )  z ( e  k )    e  ( xi  yj  zk )   e  r . v a  vO  v r  e  r v e  vO   e  r . v v v a r e 11. Сложное движение точки Сложение ускорений Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса): Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений точки. d d O di dj dk   xi  yj  zk  x  y  z . dt dt dt dt dt d 2  d 2 O di dj dk di dj dk d 2i d2 j d 2k   xi  yj  zk  x  y  z  x  y  z x 2 y 2 z 2 . 2 2 dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt a aO r ac d e d 2i d  (   i )   i   e  ( e  i ); e 2 dt dt dt d e d2 j d  (   j )   j   e  ( e  j ); e dt dt 2 dt d e d 2k d  (   k )   k   e  ( e  k ). e dt dt dt 2 a a a a a r e c d e  xi   e  ( e  xi )  dt d e   yj   e  ( e  yj )  dt d e   zk   e  ( e  zk )  dt   e  r   e  ( e  r ). a e  aO   e  r  e  (e  r ). 11. Сложное движение точки Кориолисово ускорение  di dj dk     a  2 x  y  z   2x ( e  i )  y ( e  j )  z( e  k )  2( e  v r ). dt dt   dt c a c  2(e  v r ). Модуль вектора кориолисова ускорения: a  2e v sin(e , v ). c r r Ускорение Кориолиса обращается в ноль в двух случаях: 1.Угловая скорость переносного движения равна 0 (поступательное переносное движение). 2.Вектор угловой скорости параллелен z вектору относительной скорости (синус угла между векторами обращается в 0). Ve Vr M Ve y M Ve K Vr x X e 11. Сложное движение точки Кориолисово ускорение a c  2(e  v r ). v r e Направление вектора кориолисова ускорения определяется по одному из правил: 1.По правилу векторного произведения. 2.По правилу Жуковского. e v1 r ac Правило Жуковского: a)Спроецировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную вектору угловой скорости. б) Повернуть проекцию вектора относительной скорости на прямой угол в сторону дуговой стрелки угловой скорости. 11. Сложное движение точки Кориолисово ускорение e Z ac O r Ось переносного вращения лежит в плоскости доски: правило векторного произведения. M x e x a  2( e  v ) c v y r За доску 11. Сложное движение точки Кориолисово ускорение a  2( e  v ) c y a c 90 r Vr x e z Ось переносного вращения перпендикулярна плоскости доски: правило Жуковского. 11. Сложное движение точки Кориолисово ускорение Причины возникновения. v e  const  r v  const a  0  r a  0 ve ve vr vr e ωe ωe 1) относительная скорость изменится по направлению из-за наличия переносной угловой скорости; 2) переносная линейная скорость изменится по величине из-за наличия относительной скорости, изменяющей расстояние точки до оси вращения. 11. Сложное движение точки Эффект Бэра vr a vr c ac vr ac vr vr e В северном полушарии у рек подмывается правый берег. 11. Сложное движение точки vr M при t  1c OM (1)  3 м v (1)  2  0 r φ(t) O Относительное движение – прямолинейное движение вдоль ОМ ω V  v e Дано: ОМ = s(t) = 4t - t (м); 2  (t) = t 2  3t (рад); t1 = 1c . _______________ Найти: V(t1 )  ? , a (t1 ) = ? a r (1)  2  0 Переносное движение – вращение стержня вокруг т.О. (t )  2t  3 (t )  2 (1)  1 (1)  2  0 vе (1)  (1)  ОМ (1)  3 v e  OM в сторону . v(1)  (v r ) 2  (v e ) 2  13 11. Сложное движение точки a a a a a y x M aen ε Vr a O ω r ac ae r e c a r (1)  2  0 ae (1)  (1)  ОМ (1)  2  3  6 ae  OM в сторону . aen (1)  2 (1)  ОМ (1)  3; M  O ac (1)  2(1)  V r (1) sin   2 1 2 1  4 axa  a r  aen  5 a ay  a c  ae  10 aa  125  5 5 11. Сложное движение точки O2 (t )  3t 2  8t  s (t )  AM  R (2t 2  t 3 ) 3 R  0,6; L  0,8; t  1 L M  C  A R O1 Относительное движение – криволинейное движение по окружности от А к М.  при t  1c АM (1)  R 3 2R  360     60   R 3 11. Сложное движение точки Относительное движение – криволинейное движение по окружности от А к М.   r v r (t )  R(4t  2t 2 ) v (1)   0,6  0,628  0 3 3 O2 r r v (1)  v ( t )  r vr r 2  (1)   0  (4t  3t ); M  (t )  R 3 R 3 arn  2 r r r r   ( t )    ( 4  6 t );  ( 1 )   0  3 3    r C O1 (t )  3t 2  8t  s (t )  AM  R (2t 2  t 3 ) 3 R  0,6; L  0,8; t  1 a A r R a r  arn  ar arn (1)   (1)   R  0,66; M  C r 2 ar (1)  r (1)  R  0,66; ar  CM в сторону r 11. Сложное движение точки Переносное движение – вращение стержня вокруг оси О1О2. Радиус вращения КМ: O2 К  е KM  L  Rcos  0.8  0.6  0.5  1.1 м aen ae е е (1)  1 е е (1)  2  0 v е  (t )  2 M  C  O1 (t )  3t  8t  s (t )  AM  R (2t 2  t 3 ) 3 R  0,6; L  0,8; t  1 2 е  (t )  2t  3 L ve (1)  е (1)  KM  2,2 A v е (1)  KM в сторону e R a e  aen  ae aen (1)   2   (1)  KM  1,1; M  K e ae (1)  e (1)  KM  2,2; ae  KM в сторону e 11. Сложное движение точки O2 К е е vr a L aen ae vе v a  (v e ) 2  (v r ) 2  2,28 c aa  ar  ae  ac M arn  C  O1 (t )  3t 2  8t  s (t )  AM  R (2t 2  t 3 ) 3 R  0,6; L  0,8; t  1  е  a r A ac  2e  v r  sin(e , v r )   2  1  0,628  sin 120 0  2,18 axa  arn cos   aen  ar sin   3,64 a ay  arn sin   ar cos   1,2 aza  ae  a c  4,42 a a  (axa ) 2  (a ay ) 2  (aza ) 2  5,85 12. Сложное движение твердого тела Сложное движение твердого тела – такое движение, при котором тело участвует одновременно в двух или нескольких движениях. Все определения, касающиеся составляющих движения, данные для сложного движения точки, остаются справедливыми для твердых тел. Основная задача кинематики сложного движения твердого тела состоит в определении вида и кинематических характеристик результирующего движения тела по заданному виду и кинематическим характеристикам составляющих движений. 12. Сложное движение твердого тела 12.1. Сложение поступательных движений твердого тела. При поступательных движениях все точки твердого тела имеют одинаковые скорости, что позволяет использовать теорему о сложении скоростей точки для сложного движения: v v v . a r e Абсолютная скорость тела, равная скорости одной из точек этого тела, равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этого тела. 12. Сложное движение твердого тела 12.2. Сложение вращательных движений твердого тела Сложение вращательных движений твердого тела оси вращений параллельны Если оси вращения тела параллельны, то результирующим движением тела будет плоское движение в плоскости, перпендикулярной осям. оси вращений пересекаются 12. Сложное движение твердого тела 12.2. Сложение вращательных движений твердого тела 2 Оси вращений параллельны а) вращения направлены в одну сторону VA   1 AB , VA  AB ; VА  VB VB   2 AB , VB  AB , VA  VB Точка С – МЦС, поэтому 1 2 VA    AC , VB    BC   VA AC VA    1 AB AC  1 AB ,   VB BC   2 AB BC  1 ( AC  BC ) AC AC AC   1 (1   2  1)   1  2   A  2 BC   1 AC   1 (1  BC AC )  1 C B VB 2 A  C VA  2  1  BC AC ,    1  2 . 1 B 12. Сложное движение твердого тела 12.2. Сложение вращательных движений твердого тела Оси вращений параллельны б) вращения направлены в противоположные стороны. VA   2 AB , VA  AB ; VА  VB VB   1 AB , VB  AB VA  VB Точка С – МЦС, поэтому   VA AC VB    2 AB  AC ,    2  AC BC BC  1 BC  1 AB VB   1 AB  1 ( BC  AC ) BC BC BC   1 (1   2  1)   1  2 1 2 VA    AC , VB    BC 1   2 B   1 (1  AC BC )  B  C A A 1 2 V A VB  2  1  AC BC ;    1  2 . C  12. Сложное движение твердого тела 12.2. Сложение вращательных движений твердого тела Оси вращений параллельны в) вращения направлены в противоположные стороны. VA   2 AB , VA  AB ; V А  VB VB   1 AB , VB  AB V A  VB МЦС   1  2 1 B 2 A V Тело совершает мгновенно-поступательное движение B со скоростью V    AB , направленной 2 перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы угловых скоростей  1 ,  2 в ту сторону, откуда VB поворот, на который указывают векторы угловых скоростей, кажется происходящим против хода часовой стрелки. A 1 VA D Пример. Движение велосипедной педали относительно рамы велосипеда. Е А О 12. Сложное движение твердого тела 12.3. Сложение поступательного и вращательного движений твердого тела а) Случай V  z   1 V О A y x 1 Заменим скорость поступательного движения V парой вращений ( 1,  1), расположенной в плоскости, перпендику лярной вектору скорости V , выбрав 1   . Тогда плечо пары вращений OA  d  V  . Результирующим движением твердого тела является вращательное движение вокруг мгновенной оси АΩ, параллельной оси ОZ и отстоящей от нее на расстояние d  V  с такой же по модулю и направлению угловой скоростью  . 12. Сложное движение твердого тела б) Случай V  / 12.3. Сложение поступательного и вращательного движений твердого тела  A Тело совершает винтовое движение. АА – ось винта; h – шаг винта – расстояние, проходимое точками тела, лежащими на оси винта за время одного оборота. Если   consn , V  const , h  2 V   const , то любая точка тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию.  V V h M  VM V1 A Абсолютная скорость точки М, отстоящей от оси винта на расстоянии r равна VM  V1  V , где V1    r , V1  V , Скорость VM направлена по касательной к винтовой линии, по которой движется точка М, и составляет с плоскостью основания цилиндра угол V tg   r 12. Сложное движение твердого тела 12.3. Сложение поступательного и вращательного движений твердого тела в) скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения тела V  V1  Vx , V1  V  cos  , z A Vx  V  sin  Скорость Vx заменим парой вращений ( 1,  1), выбирая  1   .  1 V1 О V1 A y У тела остается вращение вокруг оси АА с угловой скоростью  1 и поступательное движение со скоростью V1 , направленной параллельно оси АА. Это соответствует мгновенному винтовому движению. V x  Vx 1 Движение свободного твердого тела можно рассматривать как совокупность мгновенных винтовых движений вокруг непрерывно изменяющих свое положение и направление в пространстве винтовых осей. 12. Сложное движение твердого тела 12.4. Расчет планетарных передач ОА - водило 12. Сложное движение твердого тела 12.4. Расчет планетарных передач Метод Виллиса (остановка водила) 1 1 AC A r1 3 2 B r2 C r3 AC  1   АC r2  2   АC r3  ,   2   АC r1  3   АC r2 12. Сложное движение твердого тела 12.4. Расчет планетарных передач Метод Виллиса (остановка водила) 12. Сложное движение твердого тела 12.4. Расчет планетарных передач Метод Виллиса (остановка водила)