Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция №6. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов План: 1. Скалярное произведение векторов и его свойства. 2. Векторное произведение векторов и его свойства. 3. Смешанное произведение векторов. 1. Скалярное произведение векторов и его свойства. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. рис. 6.1. Обозначается или . Итак, по определению, (6.1) где . Свойства скалярного произведения: 1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: . 2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя: 3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством: . 4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: . Но если вектор возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль , т. Е. (). Пример 6.1. Найти длину вектора , если , , . Решение: . 4. Если векторы и (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.е. если , то . Справедливо и обратное утверждение: если и , то . Выражение скалярного произведения через координаты. Пусть заданы два вектора и . Тогда скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат, т.е. Некоторые приложения скалярного произведения. 1. Угол между векторами. Определение угла φ между ненулевыми векторами и : . Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и : . 2. Проекция вектора на заданное направление. Нахождение проекции вектора на направление, заданное вектором , может осуществляться по формуле . 3. Работа переменной силы. Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы , образующей угол φ с перемещением (см. рис. 2). Рис. 2. Из физики известно, что работа силы при перемещении равна т.е. . Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения. Пример 6.2. Вычислить работу, произведенную силой , если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А(2;4;6) в положение В(4;2;7). Под каким углом к АВ направлена сила ? Решение: Находим . Тогда (ед. работы) Угол φ между и находим по формуле , т. е. , . 2. Векторное произведение векторов и его свойства. Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 3). рис. 3. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который 1) перпендикулярен векторам и , т.е. и ; 2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (см. рис. 4), т. е. , где ; 3) векторы , и образуют правую тройку. рис.4. Векторное произведение обозначается или . Свойства векторного произведения 1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т. е. . 2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. . 3. Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. . 4. Векторное произведение обладает распределительным свойством: . Выражение векторного произведения через координаты Пусть заданы два вектора и . Тогда векторное произведение этих векторов в координатах имеет вид: . Пример 6.3. Найти векторное произведение векторов и Решение: . Т.о., координаты вектора . Некоторые приложения векторного произведения. 1. Установление коллинеарности векторов. Если , то (и наоборот), т.е. . 2. Нахождение площади параллелограмма и треугольника. Согласно определению векторного произведения векторов и , т. е. . И, значит, . 3. Смешанное произведение векторов. Рассмотрим произведение векторов , и , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число. рис.5. Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов: Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образую правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку. Свойства смешанного произведения. 1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. . 2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т.е. . 3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е. . 4. Смешанное произведение ненулевых векторов , и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны. Выражение смешанного произведения через координаты Пусть заданы векторы , , . Тогда смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов. . Некоторые приложения смешанного произведения. 1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве. Определение взаимной ориентации векторов , и основано на следующих соображениях. Если , то , , - правая тройка; если , то , , - левая тройка. 2. Установление компланарности векторов. Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (): векторы , , компланарны. 3. Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды. Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и вычисляется как , а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен . Пример 6.4. Вершинами пирамиды служат точки А(1; 2; 3), В(0; -1; 1), С(2;5;2) и D(3;0; -2). Найти объем пирамиды. Решение: Находим векторы , и : , , . Находим : . Следовательно, куб.ед.