Системные представления в технической эксплуатации ЛА. Основы системного анализа

Уважаемые студенты-бакалавры-заочники! Вот основной материал для изучения дисциплины МСиПр, кроме теории графов. Эта теория в отдельных файлах.. Предлагаемый материал собран из различных источников, поэтому нумерация разделов несколько хаотичная. В начале каждого раздела указано, какова требуется степень ознакомления с материалом. Желаю успехов Системные представления в технической эксплуатации ЛА. Основы системного анализа Читать обязательно! Техническая эксплуатация самолётов как область научной, инженерно-технической и производственно-хозяйственной деятельности, является специфической системой, состоящей из совокупности объектов и средств технической эксплуатации, летного и инженерно-технического состава и системы управления его деятельностью. Техническая эксплуатация призвана обеспечивать работоспособность и исправность авиационной техники, своевременную готовность её к использованию по назначению при наименьших трудовых и материальных затратах. Научной основой рассмотрения технической эксплуатации как специфической системы является системный анализ, представляющий собой совокупность методов, ориентированных на исследование сложных систем. Основным принципом системного подхода является принцип эмерджентности. Его сущность состоит в том, что свойства системы как целого не содержатся в частях этой системы, не сводятся к простой совокупности свойств частей, составляющих систему. Система как целое приобретает совершенно новое свойство, характерное ей как новому целостному образованию. Другими словами, целое обладает такими качествами, которых нет у его частей Примером может явиться самолет как система, состоящая из двух основных частей – планера и авиационного двигателя. Планер (да и то специально сконструированный, легкий и с крылом соответствующего аэродинамического качества) может летать только благодаря восходящим потокам воздуха и не может летать по произвольно назначенному маршруту. Авиационный двигатель, создающий тягу, самостоятельно не летает. Соединение же этих элементов приводит к новому свойству – способности аппарата тяжелее воздуха летать на значительные расстояния по заранее заданному маршруту. Такое «внезапное» появление новых качеств у систем стали обозначать термином эмерджентность. Английское слово emergence означает возникновение из ничего, внезапное появление, неожиданную случайность. 1.2.1. Понятие «система» и классификация систем На интуитивном и бытовом уровнях, у каждого человека понятие «система» складывается в результате ассоциаций, связанных с употреблением термина система в сочетании со словами солнечная, нервная, отопительная или уравнений, показателей и т.п. Приведем некоторые наиболее общие определения систем. Людвиг фон Берталанфи – основатель современной общей теории систем: «Система может быть определена как совокупность элементов, находящихся в определенных отношениях друг с другом и со средой». Флейшман Б.С. – современный специалист по теории экосистем: «Под системой понимается множество элементов со связями между ними». Приведенные определения могут быть отнесены к любым типам систем (солнечная система, система уравнений, транспортная система, система управления воздушным движением и т.п.). Техническая система – совокупность элементов, и их связей, созданная для достижения определенной цели. В качестве материальных систем можно выделить природные, искусственные и социальные. Природные системы – это неорганические и органические совокупности объектов: звёзды и планетные системы, географические и геологические образования, биологические (растительные и животные) совокупности. Искусственные (созданные человеком) - это объекты материальной культуры человечества. Здесь многообразие типов систем возрастает вместе с прогрессом науки, техники и производства. Некоторые из типов этих систем: организационные (управления), транспортные, информационные, технические системы, эксплуатационные, технологические и т.п. Наиболее развитой областью исследований и разработок является теория технических систем. Это направление исследований объединяется общим названием системотехника. Предметом нашего рассмотрения будут являться искусственные системы, в первую очередь технические и эксплуатационные системы, из которых можно выделить системы типов «объект» и «процесс». Кроме приведенной выше общей классификации систем, они могут быть классифицированы по другим признакам. По положению системы в иерархии: системы различных уровней подчиненности (линейной и «штатной» подчиненности, сферы полномочий и пр.). По связям с внешней средой: открытые (по крайней мере с одним входом и выходом), замкнутые (без связей с окружением). По изменениям состояния: динамическое (состояния изменяются со временем), статическое (состояния во времени не меняются). По характеру параметров системы и её поведения: детерминированные (параметры строго определены и поведение системы однозначно зависит от ее параметров и предсказуема), стохастические (параметры системы изменяются случайным образом, поведение системы неоднозначно и может быть определено только с определенной степенью вероятности). По характеристикам состава: подсистема, система, надсистема. По степени сложности системы: предельно сложные (народное хозяйство страны в целом), очень сложные (полностью автоматизированные предприятия; производственный комплекс), сложные (самолет, автомобиль), простые (болтовое соединение). По размерам системы: большая, небольшая. Под сложной системой понимают такую систему, в которой изменение значения какого-либо параметра влечет за собой изменение многих других параметров, причем зависимости между этими изменениями редко бывают линейными. Математическое описание функционирования такой системы является достаточно сложным. Под большой системой понимают систему, которая является большой как с точки зрения разнообразия составляющих её элементов, так и с точки зрения количества одинаковых частей, количества выполняемых функций и стоимости. Части системы, состоящие более чем из одного элемента, называют подсистемами. Например, в каком-нибудь механическом агрегате, рассматриваемом как система, болтовое соединение можно считать подсистемой, состоящей из болта и гайки. Но если тот же болт рассматривать с точки зрения структуры материала и его химического состава, то он, в свою очередь, будет системой, состоящей из различных веществ и элементов. Поэтому при рассмотрении материальных объектов, создаваемых человеком, целесообразно границы системы определить не по качествам составляющих её элементов, а целями или задачами, которые должна решать система. Поэтому аспект цели является одним из важнейших при характеристике системы. Этот же принцип применяется при подразделении системы на подсистемы, т.е. подсистемой следует называть такую часть системы, которая выполняет определенную задачу в интересах общей цели. Структурой системы называют совокупность необходимых и достаточных, для достижения цели, отношений между элементами системы. В ряде случаев вопрос о структуре становится главным, проблемным. Более того, вообще система не может быть без структуры, определяющей отношения между её элементами. Характерно также, что при конкретизации видов связей между элементами системы возникает необходимость выявления различных типов структур в одной и той же системе. Рассмотрим, какие могут быть типы структур технических систем (рис. 1.5) рис. 1.5 Функциональная структура – структура, отражающая функциональные связи и взаимодействия между элементами. Организационная структура – структура, определяющая административное деление и подчиненность в системе. Информационная структура – структура, раскрывающая пути потоков информации, взаимосвязь элементов системы, собирающих, обрабатывающих, передающих и использующих информацию. Геометрическая (топологическая) структура – структура, отражающая расположение элементов системы в пространстве, необходимое для выполнения её функций (например, радиотехнические системы местоопределения самолета). При подробном рассмотрении какой-либо конкретной системы могут быть выделены и другие типы структур. Для наглядности структуру системы часто изображают графически в виде элементов, взаимосвязи между которыми изображают соединительными линиями. При необходимости указывается стрелками направление взаимодействия (ориентированный граф). 1.2.3 Модель системы Моделирование есть замена изучения интересующего нас объекта (явления, устройства, системы, процесса) в натуре изучением его на модели. Основной смысл моделирования заключается в том, чтобы по результатам исследований с моделями можно было бы давать необходимые ответы о характере эффектов и о различных параметрах, связанных с объектом, в натурных условиях. На практике применяются следующие виды моделирования: физическое, моделирование методами аналогии и математическое моделирование. Физическое моделирование – это такое моделирование, при котором сохраняется физическая природа исследуемых явлений. При этом используются критерии подобия – безразмерные величины, связывающие физические параметры исследуемых явлений. Примером физического моделирования является изучение аэродинамических характеристик самолёта в аэродинамической трубе. В случае моделирования аналогиями модель производит иное физическое явление, отличное по своей природе от исследуемого, но описываемое теми же уравнениями. Метод моделирования аналогиями основан на формальной аналогии дифференциальных уравнений, описывающих различные по физической сущности процессы. Примером аналогии является электродинамическая и электротепловая аналогии. Математическое моделирование основано на построении математических зависимостей или алгоритмов, отражающих отношения элементов системы или процессов в ней. Математические модели могут быть детерминированными и стохастическими. Первые математически однозначно описывают происходящие в объекте процессы. Стохастические модели учитывают вероятностные характеристики процессов, происходящих в системе. Методы исследования операций – это по сути дела различного рода математические модели. 1.3. Система типа «процесс» Рассматривая ранее классификацию систем, из группы технических систем мы выделили системы типа «объект», элементами которых являются предметы (двигатель, машина, строение, агрегат и т. п.), и системы типа «процесс», элементами которых являются операции (изготовление, транспортировка, обслуживание и т п) Процесс (лат processus -ход, прохождение, продвижение) - закономерная последовательность следующих друг за другом моментов развития чего-либо. Примеры: производственный процесс как последовательная смена трудовых операций, процесс роста, процесс мышления, болезнетворный воспалительный процесс, процесс обучения и т. п. Технический процесс – такое преобразование материи, энергии или информации, в котором роль операторов выполняют как люди, так и технические системы. Производственный процесс – совокупность действий людей и орудий производства, необходимых на данном предприятии для изготовления выпускаемых изделий. Технологический процесс – часть производственного процесса, содержащая совокупность действий, направленных на изменение состояния предмета производства. Системы типа «процесс», как и системы типа «объект» можно классифицировать по их особенностям, например: абстрактные процессы (процесс мышления); природные процессы (геологические процессы, процессы в растительном и животном мире); технологические процессы (процессы производства, процессы технического обслуживания и ремонта ЛА); общественно-политические процессы. Мы будем рассматривать искусственные технические и технологические процессы, которые организует человек с целью осуществления желательных для него изменений. В такого типа процессах, как и для систем типа «объект», существенным является аспект цели. Объект действия в процессе называют операндом. Процесс, при котором сам операнд или его свойства претерпевают изменения при участии людей и технических средств с целью достижения желаемого состояния операнда, называют преобразованиями. Преобразование есть следствие определенных воздействий, основанных на механических, химических, электрических и других воздействиях и описываемых некоторой инструкцией – рецептом , алгоритмом, технологией . Преобразование вызывается либо неудовлетворительным состоянием либо потребностью. Целенаправленное воздействие на операнд выполняется операторами. Это воздействие осуществляется в виде потоков материи, энергии и информации. Осуществляют же эти воздействия люди, технические средства систем и окружение. Технический процесс как сложная система может быть разбит на подпроцессы ,а последние на операции. Операцией называется элементарный процесс, соответствующий одному рабочему действию (обточка, нагрев, транспортировка, заправка топливом и пр.). Согласованная совокупность операций представляет собой технологический процесс. Для реализации технологического процесса одних рабочих операций, как правило, недостаточно. Возникает необходимость в ряде вспомогательных операций. Могут быть следующие виды вспомогательных операций: -подготовительные операции (набор инструмента, подведение суппорта и пр.); -операции обслуживания (заточка инструмента, смазка, удаление стружки и пр.); -операции управления и регулирования (изменение рабочего режима). В техническом процессе неизбежны также побочные входы и выходы. Примеры побочных входов: смазочные материалы, катализаторы; примеры побочных выходов: дым, стружка, помеха и пр. Учитывать побочные выходы необходимо, т. к. они могут быть вредными как для обслуживающего персонала, так и для окружающей среды. 5. Случайные процессы. Классификация случайных процессов Читать обязательно! 5.1. Процессы эксплуатации как случайные процессы Случайный процесс – это математическая абстракция реального процесса, течение которого управляется вероятностными законами. Кроме термина «случайный» применяются также термины «вероятностный» и «статистический». Эксплуатация авиационной техники – совокупность процессов использования авиационной техники, поддержания и восстановления качества на всех этапах ее существования. Техническая эксплуатация летательных аппаратов – это производственная деятельность организаций, авиапредприятий и работников гражданской авиации по инженерно-авиационному обеспечению полетов. Она включает: подготовку летательных аппаратов к полетам, техническое обслуживание в процессе использования летательных аппаратов, хранение и транспортирование, организацию и обеспечение технического обслуживания и других работ, выполняемых на авиационной технике. Эксплуатация авиационной техники определяется следующими компонентами: -эксплуатационными свойствами техники; -технологическими эксплуатационными процессами, которые необходимо вести на этой технике; -коллективами людей, осуществляющими эти процессы на технике; -внешними условиями (средой), в которых эксплуатируется техника. Все эти компоненты по своей сути являются случайными, или существенным образом подвержены случайным воздействиям. Так, элементы авиационной техники имеют разную степень надежности, поэтому эксплуатация АТ будет напрямую зависеть от характеристик ее надежности. Технологические эксплуатационные процессы строго регламентированы соответствующими документами технического обслуживания, которые разрабатываются на основании имеющихся стандартов. Несмотря на строгую регламентацию, процессы эксплуатации не являются детерминированными, а носят случайный характер. Это обусловлено свойствами самой техники, которые, как было выше отмечено, являются случайными, кроме этого эксплуатационные процессы осуществляются людьми, имеющими разный опыт работы, квалификацию и другие личностные свойства. И, наконец, процессы эксплуатации могут проводиться в различных климатических условиях, обусловленных как временем года, так и местом дислокации эксплуатационного предприятия. Таким образом, поскольку процессы эксплуатации летательных аппаратов являются случайными, то математическая модель процессов эксплуатации для описания реальных процессов неизбежно должна быть вероятностно-статистической. 5.2. Классификация случайных процессов Изменение во времени любой физической системы, обусловленное неконтролируемыми факторами, есть случайный процесс, который аналитически может быть выражен вещественной функцией . Значения этой функции при различных называют состояниями системы: , , …, . Совокупность всех значений состояний называют пространством состояний . В зависимости от того, дискретное или непрерывное множество состояний принимает случайная величина и ее параметр , различают следующие виды случайных процессов: 1. Дискретная случайная последовательность (дискретные состояния и дискретное время). Параметр принимает ряд дискретных значений , а дискретная случайная величина принимает дискретное множество значений . Множества значений и могут быть конечными или бесконечными в зависимости от физической сущности процесса. 2. Процесс с непрерывным множеством состояний и дискретным временем. В этом случае случайная величина может принимать континуум значений. Примером могут служить случайные выборки из непрерывного случайного процесса. 3. Процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. В этом случае величина принимает дискретные значения ( ), а время (, где Т – интервал на котором задан процесс) - континуум значений. Такой вид случайного процесса встречается довольно часто в инженерной практике. Например, отказ любого элемента технической системы (переход из исправного состояния в неисправное) может произойти в любой момент времени. Окончание ремонта (восстановление) элемента также происходит в заранее не фиксированный момент времени. 4. Непрерывнозначный случайный процесс. В данном случае как аргумент , так и сама случайная величина (состояние) изменяются непрерывно, причем траектории процесса не имеют больших вертикальных скачков. Кроме этих основных видов случайных процессов могут быть смешанные. В качестве таковых процессов могут быть дискретно-непрерывные процессы, когда непрерывный случайный процесс в некоторые моменты времени имеет скачки, а между скачками ведет себя как непрерывный процесс. 5.3. Марковские случайные процессы Читать обязательно! Среди множества видов случайных процессов большое теоретическое и практическое значение имеют процессы, обладающие следующим свойством: для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем (при ) зависит только от ее состояния в настоящем (при ) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом) . Впервые это свойство было сформулировано русским математиком Марковым А.А. в 1906 году, и впоследствии это свойство стало принято называть Марковским свойством, а случайные процессы, обладающие этим свойством, стали называть Марковскими процессами. В соответствии с приведенной в п.5.2 классификацией случайных процессов, применительно к случайным Марковским процессам различают: Марковские цепи, Марковские последовательности, Марковские процессы с конечным и бесконечным числом состояний, а также смешанные Марковские процессы. При анализе случайных Марковских процессов с дискретными пространствами состояний удобно пользоваться наглядной геометрической схемой – графом состояний. Граф состояний изображает возможные состояния системы с указанием (в виде стрелок) возможных переходов из состояния в состояние. При этом для случая дискретного пространства состояний и дискретного времени (цепь Маркова) у стрелок проставляются соответствующие вероятности переходов (рис. 5.1). Такой граф состояний называют размеченным , а величины означают вероятности переходов из -го состояния в -е состояние. Так, на рис.5.1 величина означает вероятность перехода из первого состояния во второе, величина - из третьего состояния в пятое и т.д. Рис. 5.1 Для случайных Марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем вместо переходных вероятностей у стрелок указываются плотности вероятностей переходов (рис. 5.2). Плотность вероятности перехода есть предел отношения вероятности перехода системы за время из состояния в состояние : . (5.1) С точностью до бесконечно малых больших порядков вероятность перехода за время равна: . (5.2) Рис. 5.2 Если плотности вероятностей переходов не зависят от времени , то такой Марковский процесс называется однородным, при наличии зависимости от времени, т.е. если , процесс называется неоднородным. 7. Однородные конечные цепи Маркова Для ознакомления! 7.1. Определение однородной конечной цепи Маркова Напомним, что Марковской цепью называется случайный Марковский процесс с дискретными состояниями и дискретным временем. Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага (не зависят от момента времени перехода). При зависимости переходных вероятностей от номера шага Марковская цепь называется неоднородной. Для однородной Марковской цепи для состояний системы переходные вероятности могут быть записаны в виде квадратной матрицы: (7.1) Характерной особенностью матрицы является то, что сумма членов, стоящих в каждой строчке, равна единице, т.е. . Квадратная матрица, элементы которой неотрицательны и сумма элементов в каждой строке (или столбце) равна единице, называется стохастической матрицей. 7.2. Графическое представление конечной цепи Маркова Наглядной геометрической схемой конечной цепи Маркова является размеченный граф состояний, в котором у стрелок, показывающих возможные переходы, представляются вероятности этих переходов. Сказанное проиллюстрируем примером для цепи Маркова применительно к объекту, который может находиться в шести состояниях: и (рис. 7.1). Переходы из некоторого -го состояния в -е состояние возможны в некоторые заранее определенные, фиксированные моменты времени . Рис. 7.1 В эти моменты времени может реализоваться любая последовательность дискретных состояний, например: На рис. 7.1 пунктирными стрелками изображена одна из возможных реализаций процесса, которая соответствует следующей пошаговой последовательности состояний: (7 шагов). На третьем шаге состояние не изменилось, что отражается пунктирной стрелкой, выходящей из и в то же состояние входящей. Стохастическая матрица переходов для размеченного графа, изображенного на рис. 7.1, будет иметь следующий вид: (7.2) 7.3. Эргодическая цепь Маркова Для ознакомления! Ранее было отмечено, что стационарный случайный процесс обладает эргодическим свойством, когда вместо множества реализаций для определения его характеристик достаточно одной реализации этого процесса при достаточно большом .Это означает замены средних значений, взятых по множеству реализаций, средними во времени для одной реализации стационарного случайного процесса. Свойство эргодичности однородной цепи Маркова означает, что переходные вероятности при достаточно большом стремятся независимо от -го состояния к некоторой стационарной величине. Другими словами, эргодическая цепь Маркова – это однородная по времени цепь Маркова , обладающая следующим свойством: существуют независимые от величины : . (7.3) Это означает, что матрица ( 7.1) превращена в матрицу из одной строки (7.4) Распределение на множестве состояний называется стационарным распределением, т.е. распределение для разных при достаточно большом заменено одним распределением. 8. Дискретные Марковские процессы с непрерывным временем 8.1. Потоки событий Для ознакомления! В отличие от Марковской цепи, при которой переходы из состояния в состояние происходят в определенные фиксированные моменты времени, Марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем характерен тем, что переходы между состояниями происходят в случайные моменты времени. Эти переходы образуют случайный поток событий, т.е. последовательность однородных событий, следующих один за другим в какие-то случайные моменты времени. Поток событий может быть охарактеризован интенсивностью . Интенсивность (или «плотность») потока событий – это среднее число событий в единицу времени. Если , то поток событий является стационарным , если , т.е. зависит от времени, то поток событий является нестационарным. Другой важнейшей характеристикой потока событий является закон распределения времени между отдельными событиями. Существенно, что для Марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем функция распределения времени между событиями есть экспоненциальный закон распределения, т.е.: (8.1) Поскольку Марковский процесс по определению является процессом без последействия, то и поток событий, образующий этот процесс, является потоком без последействия. Это означает, что события, образующие поток, появляются независимо друг от друга. Как правило, потоки событий, образующие Марковский процесс, являются ординарными. Ординарность потока означает, что события в потоке происходят поодиночке, а не группами. Стационарный, без последействия, и ординарный поток событий называется простейшим, или стационарным пуассоновским потоком. Термин пуассоновский поток означает, что число событий, попадающих на участок (рис. 8.1), распределено по закону Пуассона . (8.2) Здесь - вероятность попадания на участок равно событий. Рис. 8.1 8.2. Дифференциальные уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний Читать обязательно! Для случайных Марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем в графе состояний у стрелок переходов из состояния в состояние указываются плотности вероятности переходов . Потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, являются пуассоновскими. Пусть система имеет конечное число дискретных состояний . Схема случайного процесса представляет собой ступенчатую кривую (рис. 8.2), причем на рис. 8.2 изображен один из возможных вариантов, одна из возможных реализаций процесса. Рис. 8.2. Смена состояний в процессе происходит в некоторые случайные моменты времени, распределение которых подчиняется экспоненциальному закону. Для любого момента времени вероятность обозначенных выше состояний есть , при этом, для любого момента времени соблюдается условие нормировки . Чтобы найти все вероятности состояний , необходимо решить систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Дифференциальные уравнения Колмогорова составляются в соответствие с размеченным графом состояний и переходов описываемого процесса, в соответствие с мнемоническим правилом: 1. Производная вероятности пребывания системы в состоянии равна алгебраической сумме, число слагаемых которой равно числу ребер на графе состояний, соединяющих состояние с другими состояниями. 2. Если ребро направлено в состояние , то слагаемое берется со знаком «плюс»; если направлено из состояния – со знаком «минус». 3. Каждое слагаемое равно произведению вероятности того состояния, из которого направлено ребро, на интенсивность потока событий, переводящего систему по данному направлению. 4. Число отрицательных слагаемых равно числу ребер направленных из состояния , число положительных – числу ребер, направленных в состояние . Тогда дифференциальное уравнение для каждой из вероятностей будет иметь вид . (8.3) Здесь сумма первых чисел означает сумму потоков вероятностей, идущих в данное состояние, а второй – сумму потоков вероятностей, идущих из данного состояния. Если помимо однородности процесса каждое состояние является транзитивным, т.е. имеет хотя бы по одному входящему и выходящему ребру, то по истечении времени, вероятности состояний процесса не будут зависеть от состояния в начальный момент t=0, и от промежутка времени до рассматриваемого момента. Это свойство эргодичности марковских процессов. Поэтому для стационарного процесса имеет место , а сами вероятности имеют финальные значения . Тогда система дифференциальных уравнений (8.3) вырождается в систему алгебраических уравнений вида . Если предельные вероятности состояний системы существуют, то имеет место установившийся режим, для которого производные будут равны нулю. В этом случае система дифференциальных уравнений Колмогорова превращается в систему алгебраических уравнений. Совместно с нормированным условием эти уравнения дают возможность вычислить все предельные вероятности состояний . 3. Анализ типовых моделей систем ТО. Материал позволяет лучше понять возможности использования математического аппарата марковских процессов при анализе систем. Полистать обязательно. 3.1. Модель необслуживаемых нерезервированых агрегатов и систем ЛА Для необслуживаемых нерезервированных агрегатов характерными состояниями будут: 1– готовность к работе (Г); 2– отказ (о/нк). 2 1 Рис. 3.1. Граф состояний необслуживаемых нерезервированных агрегатов. В связи с невозможностью выявления и устранения возникших в процессе эксплуатации отказов, будет иметь место лишь одно направление перехода из 1 в 2. Состояние 2 является поглощающим, в связи, с чем поведение этих агрегатов описывается следующей системой дифференциальных уравнений: (3.1) . Интенсивность перехода по своей физической сущности представляет собой интенсивность отказов  необслуживаемого агрегата: . Используя преобразования Лапласа, от системы дифференциальных уравнений (3.1) перейдем к системе алгебраических уравнений: ; , из которой найдем выражение для P1(S) . Перейдя к оригиналу, окончательно получим (3.2) P1 0,8 =10-6 1/ч 0,6 =10-5 1/ч 00,4 00,2 =10-4 1/ч 0 1 2 t(год) Рис. 3.2 Зависимость вероятности P1 от времени эксплуатации. 3.2. Модель непрерывно контролируемых нерезервированных агрегатов и систем ЛА В любой произвольный момент времени такие агрегаты могут находиться в одном из двух состояний: 1 – готовности к работе (Г) 2 – отказа (о/нп). Наличие непрерывного контроля технического состояния агрегата дает возможность в случае его отказа (переход 1-2) немедленно приступить к восстановлению его готовности (переход 2-1). 2 1 Рис. 3.3. Граф состояний непрерывно контролируемых нерезервированных агрегатов. Система дифференциальных уравнений для этой модели будет: ; (3.3) , где:; ; - параметр потока отказов непрерывно контролируемых нерезервированных агрегатов; - среднее время устранения отказов;  - интенсивность восстановления. Используя преобразования Лапласа, перейдем к системе алгебраических уравнений, что дает возможность получить выражение для вероятности P1(t) нахождения агрегата в состоянии готовности (при условии P1(t)=0); (3.4) В стационарном режиме эксплуатации (t ) система уравнений (3.3) выражается в систему алгебраических уравнений: , , (3.5) из которой, с учетом условий нормирования P1+P2=1, получим . (3.6) В рассматриваемой модели вектор эксплуатационных характеристик (ЭХ) включает две характеристики: и (или ). Для примера на рис.3.4 приведен график P1 в функции . P1 10-5 1/ч 0.8 10-4 1/ч 0.6 0.4 =10-3 1/ч 0.2 0 50 ч Рис.3.4 Зависимость вероятности P1 от времени устранения отказов. Из рассмотрения рис.3.4 видно, что при  10-5 1/ч вероятность P1 практически не зависит от времени устранения отказов в реальном диапазоне его изменения. Однако при 1/ч картина меняется. Вероятность готовности агрегата становится зависимой от . 3.3. Модель нерезервированных агрегатов и систем с регламентированным ТО Рассмотрим нерезервированные агрегаты и системы ЛА, на которых проводится ТО с определенной постоянной периодичностью. Модель такой системы приведена на рис.3.5 и имеет следующие характерные состояния: 1 - готовность к работе (Г); 2 - регламентированное ТО (ТО); 3 – скрытый отказ (СО/ТО) 1 2 3 3 Рис.3.5. Граф состояний нерезервированных агрегатов с регламентированным ТО. Заметим, что состояние 2 может соответствовать проведению других видов ТО, однако граф от этого не изменится. Из состояния 1 в процессе эксплуатации агрегат может перейти в состояние 3 скрытого отказа (переход 1-3). Эти отказы будут выявлены при очередном РТО (переход 3-2). В состояние 2 агрегат переходит с определенной периодичностью (переход 1-2).После окончания РТО продолжительностью , в ходе которого устраняются все отказы и выполняются профилактические работы и проверки, агрегат возвращается в состояние 1 (переход 2-1). Анализ возможных переходов показывает, что если интенсивности переходов , и могут быть получены из статистической информации, то интенсивность перехода так получить не удается. Составим систему дифференциальных уравнений для графа, приведенного на рис.3.5: ; ; (3.7) . Решение системы (3.7) можно получить, использовав преобразование Лапласа, однако окончательные выражения для вероятностей Pi (t) будут громоздкими и проведение их анализа вызовет трудности. Поэтому целесообразно (3.7) и последующие системы дифференциальных уравнений решать численно. Вектор ЭХ включает для рассматриваемой модели три характеристики: , , , которые определяют, с одной стороны – продолжительность переходных процессов в модели, с другой – границы применимости для исследования стационарной модели. Исследования показывают, что для агрегатов с параметром потока отказов 1/ч переходные процессы практически отсутствуют. Исследование стационарных режимов рассматриваемой модели осуществляются с помощью системы алгебраических уравнений, получаемой из системы (3.7): (3.8) Добавив в (3.8) условие нормирования P1+P2+P3=1 и исключив избыточное уравнение, получим следующие выражения для P1, P2 и P3: ; (3.9) (3.10) . (3.11) Модель чувствительна к параметрам , и . Характерно наличие ярко выраженного максимума вероятности P1 нахождения агрегата в состоянии готовности, отвечающего, в зависимости от значения и , различным значениям периодичности. Существенное влияние на P1 оказывает значение параметров потока отказов. При высокой надежности < 10-6 1/ч, максимум P1 сдвигается далеко вправо, что указывает на целесообразность рассмотрения предложений по эксплуатации агрегатов и систем ЛА по фактическому состоянию. 3.4 Модель нерезервированных агрегатов и систем ЛА с периодическим контролем их технического состояния Процесс периодического контроля технического состояния, в том числе автоматизированных периодических проверок, имеет некоторые отличия от РТО. Процесс контроля технического состояния включает две составляющие: непосредственно проверки и устранение выявленных неисправностей, приводящее к снижению готовности агрегата. При проведении же РТО время на устранение неисправностей планируется заранее. Важное место в проведении исследования систем с периодическим контролем технического состояния занимает достоверность его результатов. В процессе контроля имеет место вероятность принятия неисправного агрегата за исправный (вероятность ложного пропуска отказов  - вероятность ошибки второго рода) и вероятность принятия исправной системы за неисправную (вероятность ложного выявления отказа  - вероятность ошибки первого рода). В процессе эксплуатации возникают не только отказы, но и неисправности, которые не приводят к потере готовности, однако требуют ее снижения для их устранения. Долю отказов в суммарном потоке отказов и неисправностей обозначим через , тогда доля неисправностей соответственно будет 1 -  . 1 2 4 3 5 6 Рис. 3.8. Граф состояний нерезервированных агрегатов с периодическим контролем состояния. Агрегат либо система, ТО, которой представлено графом на рис. 3.8, имеет следующие состояния: 1 – агрегат в состоянии готовности (Г); 2 – на готовом к работе агрегате проводится контроль состояния (ПК); 3– агрегат находится в состоянии скрытого отказа (СО/ПК); 4– агрегат находится в состоянии скрытой неисправности, требующей для устранения потери готовности (СН/ПК); 5– производится периодический контроль неготового к работе агрегата (О/ПК); 6 – агрегат находится в состоянии ложного отказа или неготовности и на нем проводятся восстановительные работы (ЛО/ПК). В рассматриваемой модели ТО возможны следующие переходы: 1-2 – перевод из состояния готовности на периодический контроль; 1-3 – отказ агрегата; 1-4 – неисправность; 2-1 – перевод агрегата после контроля в состояние готовности; 2-6 – ложный отказ; 3-5 – перевод отказавшего агрегата на контроль; 4-5 – перевод неисправного агрегата на контроль; 5-2 – перевод агрегата на подтверждающий контроль 5-3 – переход в состояние скрытого отказа из-за ложного пропуска отказа; 6-2 – перевод агрегата на подтверждающий контроль. Система дифференциальных уравнений для рассматриваемого графа состояний (рис.3.8) имеет следующий вид: ; ; ; ; ; . Разрабатываемая модель дает возможность учесть семь ЭХ ,образующих вектор параметров системы ТО, а именно: -параметр потока отказов и неисправностей периодически контролируемых агрегатов; • - доля отказов в потоке ;  - вероятность ошибки первого рода;  - вероятность ошибки второго рода; - периодичность проведения контроля; - продолжительность контроля; - продолжительность устранения отказов и неисправностей. Для исследования стационарного режима ТО ЛА необходимо перейти от системы (3.12) к системе алгебраических уравнений: ; ; (3.13) ; ; ; 3.5 Модели резервированных агрегатов и систем ЛА с периодическим контролем технического состояния Для дублированных систем граф состояний приведен на рис.3.9 и 3.10 Рис. 3.9 Граф состояний дублированного агрегата с периодическим контролем технического состояния Рис. 3.10 Граф состояний дублированного агрегата с периодическим контролем технического состояния и восстановлением, не требующим понижения готовности. 9. ПОЛУМАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ ЭКСПЛУАТАЦИИ 9.1. Определение и основные свойства полумарковских процессов эксплуатации . Читать обязательно. Напомним определение и основные свойства Марковских процессов [9,12]. Случайный процесс является Марковским, если он обладает следующим свойством. Для каждого момента времени вероятность любого состояния какой-либо системы (или ее элемента) в будущем (при ) зависит только от ее состояния в настоящем (при ) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом). Если - случайный процесс, то для марковского процесса справедливо следующее соотношение: (9.1) Марковский процесс является процессом без последействия, т.е. будущее развитие марковского случайного процесса не зависит от “предыстории” процесса. В зависимости от значений аргумента (времени) и характера пространства состояний различают четыре основных вида марковских процессов: цепь Маркова, дискретный процесс с непрерывным временем, марковские последовательности и непрерывный марковский процесс. Основной моделью технической эксплуатации является марковский процесс с непрерывным временем. Изобразим этот процесс наглядно в виде схемы последовательных переходов различных состояний системы (рис.1.1). На рис.9.1 изображена одна из возможных реализаций процесса. Система одновременно может находиться в одном и только в одном состоянии Пусть в начальный момент времени система находится в одном из возможных состояний проводит в нем случайное время и в момент времени система мгновенно переходит в новое состояние с вероятностью В состоянии система пребывает случайное время , затем с вероятностью переходит в состояние и так далее. Характерной особенностью Марковского процесса с непрерывным временем является то, что распределение времени перехода из любого состояния в состояние является экспоненциальным со своим параметром распределения . В этом случае справедливы дифференциальные уравнения Колмогорова и системыалгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний [9]. Рис.9.1 Если же распределение времени пребывания в любом из состояний представляет собой произвольную функцию распределения (кроме экспоненциальной) и может быть даже постоянной величиной, то процесс не является марковским в чистом виде. Марковский процесс проявляется только и только в моменты переходов; при этом вероятности переходов между состояниями определяются матрицей вероятностей переходов как и для случая Марковской цепи [6]. В этом случае «предыстория» процесса до попадания в состояние не влияет на его дальнейшее поведение. Случайный процесс, при котором переходы между состояниями являются марковскими, а время нахождения в любом из состояний описывается произвольной функцией распределения (кроме экспоненциальной), называют полумарковским процессом. В литературе [6, 9] применяется также термин «вложенная цепь Маркова» или «вложенный марковский процесс». Смысл этих терминов состоит в том, что марковский процесс перехода между состояниями системы происходит внутри другого, немарковского процесса, в который вложен другой процесс. Характерный вид реализации полумарковского процесса показан на рис. 9.2, где по оси ординат отложены возможные состояния а по оси абсцисс - неслучайное, равное единице, время пребывания в каждом состоянии. Если длина каждой ступеньки, изображающей время пребывания в состоянии, будет случайной с произвольной функцией распределения, то мы получим новую реализацию полумарковского процесса, а при экспоненциальном распределении времени пребывания в каждом состоянии – Марковский процесс непрерывным временем. Рис. 9.2 Таким образом, можно выделить два основных свойства полумарковского процесса : переходы между состояниями являются марковскими, как для марковской цепи; распределение времени нахождения в любом из состояний является произвольной функцией времени (кроме экспоненциальной), в том числе она может быть постоянной величиной. Для описания полумарковского процесса необходимо задать [6, 10]: - граф состояний и переходов, т.е. все возможные состояния и все возможные переходы внутри графа с указанием их направлений, что эквивалентно заданию матрицы переходных вероятностей ; - матрицу независимых функцией распределения времени пребывания в -м состоянии перед переходом в -е состояние; - начальное состояние в момент . - На основании этих исходных данных определяются вероятности перехода из состояния в состояние в момент скачка и математические ожидания времени пребывания в -м состоянии. 9.2. Основные соотношения для полумарковских моделей Вероятности перехода из состояния в состояние в момент скачка характеризуют “Марковскую” часть рассматриваемого полумарковского процесса, поскольку этот процесс, рассматриваемый только в моменты перехода, сводится к Марковской цепи. Эти переходы определяются матрицей , а при изображении процесса в виде графа величины могут проставляться у соответствующих стрелок, показывающих направления переходов. Величины при рассмотрении конкретного процесса определяются из физической сущности процесса с использованием статистических данных. Определение математического ожидания времени пребывания элемента в -м состоянии требует учета независимых функций распределения времени пребывания системы в состоянии перед переходом в -е состояние. Выражение для имеет, с учетом этого обстоятельства, следующий вид [6, 9] : . (9.2) Для рассматриваемого нами класса инженерных задач, связанных с эксплуатацией авиационной техники, практическое значение имеют стационарные (финальные) состояния. Важной характеристикой вложенной Марковской цепи являются стационарные вероятности состояний. Возникает вопрос, существуют ли предельные стационарные вероятности для цепи Маркова? В теории цепей Маркова [2, 5] доказывается, что для цепи Маркова с конечным числом состояний при выполнении условия при , начиная с некоторого , существуют предельные (финальные) вероятности , причем эти финальные вероятности не зависят от начального распределения . Для полумарковского процесса стационарная вероятностьi-го состояния может быть найдена как отношение среднего времени пребывания в -м состоянии к среднему времени τ между последовательными попаданиями в это состояние: . (9.3) Значения величин в прикладных задачах эксплуатации означают, например, средние сроки эксплуатации между ремонтами, обслуживаниями, неисправностями и тому подобное. Величина связана со средними временами пребывания в -м состоянии и стационарными вероятностями состояний марковской цепи, вложенной в рассматриваемый полумарковский процесс, следующим соотношением: . (9.4) Величина есть усредненное по всем -м состояниям среднее время пребывания в -м состоянии. Поэтому вместо (9.4) можно записать: , (9.5) подставив это значение в формулу (1.3), получим: . (9.6) Если все одинаковы, т.е. среднее время во всех состояниях одинаково, то получим и выражение (9.6) превращается в равенство: . (9.7) Финальные вероятности вложенной марковской цепи являются решением системы алгебраических уравнений: . (9.8) Эту систему уравнений необходимо дополнить нормировочным условием: . (9.9) Выражения (9.8) и (9.9) образуют систему уравнений с неизвестными, которыми являются величины , поэтому из системы (9.8) одно уравнение, например, наиболее сложное, можно исключить. Составление линейных алгебраических уравнений может быть выполнено по аналогии с уравнениями финальных вероятностей состояний для Марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем [6, 9, 17], только вместо ставится , а вместо ставится . При этом можно пользоваться тем же мнемоническим правилом: если стрелка перехода выходит из состояния - ставится знак минус, если входит в данное состояние - ставится знак плюс. Система (9.8) решается сравнительно легко методом последовательных подстановок, если число Рассмотрим примеры составления алгебраических уравнений для некоторых моделей полумарковских процессов эксплуатации. 9.3. Примеры моделей полумарковских процессов эксплуатации Это основной материал для изучения!!! В практике эксплуатации часто встречается такая операция как замена агрегата. Наиболее характерные причины замены следующие [15]: - замена после отработки установленного ресурса (замена по наработке); - замена при отказе агрегата (в какой-то момент времени параметр агрегата выходит за предельно допустимое значение , т. е. ); - замена при достижении допустимого значения некоторого параметра при непрерывном контроле, т.е (профилактическая замена); - замена при достижении допустимого значения некоторого параметра при непрерывном контроле (профилактическая замена при очередном техническом обслуживании). Возможные операции замены могут быть представлены как процесс нахождения агрегата в следующих состояниях: И – исправное (использование на самолете); Н – неработоспособное (параметр в некоторый момент времени превысил предельное значение ); В – восстановление (параметр приводится в нормальное состояние); З – профилактическая замена (в случае, когда ); П – проверка исправности; С – хранение на складе. Составим графы состояний для перечисленных выше причин замены и алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний. Для случая замены по наработке граф состояний приведен на рис. 9.3. Заметим, что состояние Н в этом случае возможно, так как до истечения срока наработки агрегат может отказать. Рис. 9.3 Установим значения вероятностей переходов в обозначенном графе. Из физической сущности рассматриваемой модели следует, что (если агрегат неисправен, то он обязательно пойдет на восстановление), (после восстановления - на склад), (исправный агрегат – на борт). Что касается величины (вероятности отказа до отработки установленного ресурса ) и величины, то о них ничего определенного сказать нельзя, во всяком случае для их определения требуется статистическая обработка данных об отказах. Составим теперь алгебраические уравнения для стационарных вероятностей состояний: для состояния И: ; (9.10) для состояния Н: ; (9.11) для состояния В: ; (9.12) для состояния С: . (913) Добавляем нормировочное условие: . (9.14) Покажем возможный путь решения для определения величин . Не будем учитывать уравнение (9.13), из которого прямо следует . Из уравнения (9.10) следует: , так как , то , так как . Из уравнения (9.11) получаем: . Из уравнения (9.12) можно определить . Подставляем получаемые значения в нормировочное условие: В результате получаем следующие выражения для стационарных вероятностей: ; (9.15) ; (9.16) ; (9.17) . (9.18) Для определения числовых значений величин необходимо знать Оно должно быть задано или определено из статистических данных по отказам. Замена после отказа. Граф состояний приведен на рис. 9.4 Перехода И-В нет, так как восстановление и замена идет только после отказа агрегата. Значения вероятностей перехода следующие: (замена идет только при отказе агрегата), (как и в предыдущем случае). Алгебраические уравнения для стационарных вероятностей состояний: для состояния И: ; (9.19) для состояния Н: ; (9.20) для состояния В: ; (9.21) для состояния С: . (9.22) Рис. 9.4 Из этих уравнений следует: , т.е. все стационарные вероятности одинаковы. Из нормировочного условия: , следует . Профилактическая замена при непрерывном контроле параметра. Граф состояний приведен на рис. 9.5. Рис.9.5 Из состояния И производится сразу переход в состояние З, так как замена производится сразу после выполнения условия . Из физической сущности рассматриваемого случая следует, что. Что касается величины , то о ней определенного ничего сказать нельзя без предварительной обработки статистических данных о достижении параметра допустимого значения . Алгебраические уравнения для стационарных вероятностей состояний: для состояния И: ; (9.23) для состояния С: ; (9.24) для состояния В: ; (9.25) для состояния З: . (9.26) Из этих уравнений можно получить: , , , . Поставив эти значения в нормировочное условие , получаем . Определив из статистических данных, можем рассчитать все вероятности . Профилактическая замена при дискретном контроле параметра. Граф состояний приведен на рис. 9.6. Относительно величин можно определенно сказать, что . Что касается величин и , то они должны быть или заданы, или определены из статистических данных. Рис. 9.6 Алгебраические уравнения для стационарных вероятностей состояний: для состояния И: ; (9.27) для состояния Н: ; (9.28) для состояния В: ; (9.29) для состояния С: ; (9.30) для состояния З: ; (9.31) для состояния П: . (9.32) Нормировочное условие: . (9.33) Исключив уравнение (9.27), из остальных уравнений получаем: из уравнения (9.28): ; (9.34) из (9.29): ; (9.35) из (9.30): ; (9.36) из (9.31): ; (9.37) из (9.32): откуда: . (9.38) Подставив (9.38) в (9.37) и далее (9.37) в (9.35), получим: . (9.39) Используя нормировочное условие (9.33), получаем: . (9.40) Отсюда при известных (или заданных) и можно определить а затем и остальные значения . В рассмотренных примерах моделей предполагалась одна неисправность агрегата. В реальных объектах может быть не одна, а несколько исправностей. Например, в топливном насосе могут быть следующие неисправности: Н - неисправность регулятора; Н- неисправность блока подачи; Н- неисправность шарнирных соединений поршневых пар; Н- неисправность подшипника; Н- неисправность корпуса насоса. На рис. 9.7 приведен граф состояний для случая замены по наработке для приведенных неисправностей насоса. Рис. 9.7 Подобно случаю с одной неисправностью величины вероятностей переходов будут иметь следующие значения: . Что касается значений и всех вероятностей то они должны быть заданы или определены из статистических данных по отказам. Принцип составления алгебраических уравнений остается тем же, естественно, в данном случае количество уравнений будет больше. В нашем случае их будет восемь, нормировочное условие также будет содержать восемь членов. 11. АНАЛИЗ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 11.1. Компоненты систем массового обслуживания Это основной материал для изучения Системы массового обслуживания можно изобразить обобщенной условной схемой, приведённой на рис.11.1. Основными компонентами системы являются следующие элементы: • Входящий поток заявок, который может быть охарактеризован интенсивностью потока — l . • Приборы (каналы) обслуживания, которых в системе может быть один (одноканальная система) или несколько (многоканальная система). • Накопители (устройства для обеспечения ожидания обслуживания), которые могут располагаться как перед всей системой, так и перед каждым каналом обслуживания. • Выходящий поток обслуженных заявок, который может быть охарактеризован интенсивностью обслуживания —m . Рис. 11.1 Структура системы массового обслуживания определяется количеством и типом обслуживающих приборов, а также наличием накопителей. Характер обслуживания состоит в порядке обслуживания, который принято называть дисциплиной обслуживания, и величиной m — интенсивностью обслуживания. 11.2. Классификация систем массового обслуживания Система массового обслуживания классифицируется по характеру входящего потока требований Пвх, распределению времени обслуживания Воб, по числу обслуживающих приборов Nпр, и ёмкости накопителя (длине очереди) Енак. В соответствии с наиболее распространённой и общепринятой классификацией Кендалла любая система массового обслуживания характеризуется этими четырьмя параметрами в виде следующей записи Пвх / Воб / Nпр/ Енак Характер входящего потока требований принято обозначать следующими символами: М (Маrkоvian) – входящий поток требований является Пуассоновским, т.е. распределение времени между поступающими заявками подчинено экспоненциальному закону; Е (Егlangian) – входящий поток является Эрланговским; D (Determenistic) – детерминированный постоянный поток; G (General) – произвольный рекуррентный поток. Те же символы применяются и для обозначения распределения времени обслуживания: М – распределение по экспоненциальному закону; Е – распределение по закону Эрланга; D – время обслуживания постоянная величина; G – произвольное распределение времени обслуживания. Число обслуживающих приборов – равно или больше единицы. При Nпр = 1 систему принято называть одноканальной СМО; при Nпр > 1 –многоканальной. Ёмкость накопителя может варьироваться от Енак = 0 до Енак =.∞. При Енак = 0, поступившая заявка в случае, если все каналы заняты, теряется (получает отказ в обслуживании). Такие системы принято называть – система с потерями (с отказами). При Енак > 1 система является системой с ожиданием (с очередью). В таких системах заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, отправляется в накопитель (становится в очередь) и ожидает освобождения хотя бы одного канала. Обслуживание в системе с ожиданием может быть самым разнообразным. Заявки могут обслуживаться в порядке поступления или в случайном порядке. В некоторых СМО применяется «обслуживание с приоритетом», при котором некоторые заявки имеют «льготы» и по тем или иным признакам обслуживаются в первую очередь. В системах, в которых входящий поток является пуассоновским, а распределение времени обслуживания – экспоненциальное, процессы обслуживания являются Марковскими процессами. Анализ таких систем может быть сделан методами, изложенными в предыдущей главе. Приведём условие обозначения наиболее распространенных систем этого типа. • М/М/1/0 – одноканальная СМО с отказами; • М/М/n/0 – многоканальная СМО с отказами; • M/M/1/m – одноканальная СМО с ожиданием (ёмкость накопителя равна m); • М/М/n/m – многоканальная СМО с ожиданием, но с возможностью отказа (число каналов – n, ёмкость накопителя равна m); • М/М/1/.∞ - одноканальная СМО с ожиданием без отказа (ёмкость накопителя равна ∞.). 11.3. Показатели качества обслуживания СМО В зависимости от типа СМО при оценке качества её функционирования могут применяться различные показатели. В основном – это те показатели, которые представляют интерес для пользователя. Рассмотрим основные показатели качества работы СМО. Вероятность потери заявки (вероятность отказа) – Ротк. Заявка получает отказ, когда все каналы обслуживания заняты, а свободных мест ожидания (если есть накопитель) нет. Вероятность простоя – Ро, это вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет обслужена, другими словами – это есть то, что СМО свободна. Приведённая интенсивность потока заявок - Величина ρ представляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки. А – абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, которое может обслужить СМО за единицу времени. q – относительная пропускная способность – средняя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой. Другими словами это отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок. Величины А и q связаны соотношением: А= λ·q (11.1) Для СМО с неограниченным ожиданием каждая поступившая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому q=l и, следовательно, А=λ . - для многоканальной системы её характеристикой может быть среднее число занятых каналов. - среднее число заявок под обслуживанием. Для многоканальной системы без очереди или с ограниченной длиной очереди, совпадает со средним значением занятых каналов. Для СМО с m=∞. при ρ >1 = ρ . Для СМО с очередью важным параметром для пользователя может быть среднее время ожидания в очереди – tож. Для любой системы существенное значение имеет общее время пребывания в системе –tсист (в очереди и под обслуживанием). Таблица 11.1 – Основные характеристики СМО № n/n Характеристики СМО Типы СМО M/M/1/m M/M/1/∞ M/M/n/m M/M/n/0 1 2 3 4 5 6 1 Вероятность простоя (СМО свободна) – Po 2 Вероятность отказа – Pотк При 3 Относительная пропускная способность – q 1 1 – Pотк 1 – Pотк 4 Абсолютная пропускная способность – А λq λ λq λq Продолжение таблицы 3.1 1 2 3 4 5 6 5 Среднее число занятых каналов – - - 6 Длина очереди – 7 Среднее число заявок под обслуживание – 8 Общее число заявок в системе – k 9 Средне время ожидания в системе – 10 Общее время пребывания в системе – tсис 12. МЕТОД СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ Просто познакомиться! Среди большого многообразия различных систем имеются такие системы, в которых существенную роль играют последовательность отдельных этапов работ и их взаимосвязей. Примерами таких систем являются системы технического обслуживания, строительство большого промышленного объекта и т.п. Характерным для таких систем является то, что этапы работ, которые выполняются как бы независимо друг от друга, фактически взаимно обуславливают друг друга, так что выполнение некоторых работ не может быть начато раньше, чем будут завершены некоторые другие. Для решения задач планирования работ в таких системах используют метод сетевого планирования или сетевое планирование управления. 12.1. Структурные таблицы и сетевые графики Основным исходным материалом для сетевого планирования является список или перечень работ, в котором указана их взаимная обусловленность. Если в такой таблице перечень работ не упорядочен, то производится его упорядочение. Работы подразделяются на ранги. Работы первого ранга - это такие работы, для выполнения которых не требуется выполнение никаких работ (имеется в виду данный комплекс работ). Работы второго ранга - это такие работы, которые выполняются, которые обусловлены (опираются) одной или несколькими работами первого ранга, и т.д. Пусть задана некоторая упорядоченная структурная таблица (таблица 12.1). В ней обозначено, что работа а4 опирается на работы a1 и а2 ; работа а5 на работы a1 и а2 и т.п. В этой же таблице указана продолжительность работ tai, в некоторых условных единицах. Более наглядное представление о взаимозависимости всех работ дают сетевые графики. На рис 12.1 изображен сетевой график, отображающий взаимосвязь работ, перечисленных в таблице (12.1) Таблица 12.1 При построении сетевого графика применяют два основных понятия: работа и событие. Работа - это процесс, приводящий к определённому результату. Событие - означает факт завершения предшествующего комплекса работ. Событие в отличие от работы не имеет продолжительности и не требует затрат материальных ресурсов. Различают следующие виды работ: • действительные работы, которые сопровождаются затратами времени и ресурсов (на рис. 12.1 изображены сплошными линиями); • фиктивные работы, которые не требуют затрат ресурсов, но показывают взаимосвязь начала какой-либо работы от окончания другой (на рис. 12.1 изображены пунктирными линиями). Основными характеристиками каждой работы являются ресурсы, необходимые для её выполнения: время, количество специалистов, материальные ресурсы (оборудование, запчасти, сырьё и т.п.). Разновидностью действительной работы является ожидание - процесс, требующий только затрат времени (например, простой специалистов в ожидании освобождения салона самолёта). На рис. 12 1 приняты следующие обозначения: А0- исходное событие; а1, а2, а3 - работы первого ранга; А1, А2, А3 , - события, означающие завершение работ а1, а2, а3; А12 - событие, означающее завершение работ и А1 и А2 (а4 опирается на работы а1 и a2); А23 - событие, означающее завершение работ и А2 и А3 (а5 опирается на работы а2 и а3); А56 - событие, означающее завершение работ и А5 и А6 (а5 опирается на работы а2 и а3); А - событие, означающее завершение всех работ. Основные правила составления сетевого графика: • на графике не должно быть событий, кроме завершающего, с которых не начинается ни одной работы; • не должно быть событий, кроме исходного, в которое не входит ни одной работы; • не должно быть замкнутых контуров работы; • при наличии между двумя событиями нескольких работ, выполняемых параллельно, для определённости вводят дополнительные события и фиктивные работы (фиктивные работы вводят также для обозначения зависимости отдельных работ в сети). 12.2. Временные сетевые графики В рассмотренном выше сетевом графике нет указаний на время начала и окончания работ. Если соединить сетевой график с осью времени, то мы получим временной сетевой график (рис.12.2). На этом графике проекция длины каждой стрелки будет соответствовать времени выполнения этой работы, условные значения времён tai взяты из таблицы 12.1. Общее время выполнения работ - время от события А0 до события А9 = А соответствуют Т = 84 единицам. Это время представляет собой сумму времён исполнения не всех работ, а только некоторых из них: Т – ta1 + ta4 + ta6 + ta7 + ta9 = 10 + 18 + 18 + 8 + 30 = 84 Работы а1, а4, а6,а7 и а9 называются критическими работами, а цепочка, обозначенная двойными стрелками, является критическим путём. Особенность критических работ состоит в следующем. Для того, чтобы было соблюдено минимальное время комплекса работ, каждая из работ должна начинаться точно в момент, когда закончена последняя из работ, на которые она опирается, и продолжаться не более того времени, которое отведено ей по плану. Малейшее запаздывание в выполнении каждой из критических работ приводит к задержке выполнения плана в целом. Таким образом, критический путь на сетевом графике - это совокупность наиболее уязвимых "слабых мест" плана, которые должны укладываться во временной план с наибольшей чёткостью. Что касается остальных ("некритических") работ (в нашем случае это а2, а3, а5,а8 и а10), то с ними дело обстоит не так плохо. Каждая из этих работ имеет известные временные резервы и может быть закончена с некоторым запозданием без ущерба для срока выполнения всего комплекса работ. По временному сетевому графику могут быть определены резервы, соответствующие некритическим работам. Рассмотрим "некритические дуги" - совокупность некритических работ, начинающихся и кончающихся на критическом пути. В нашем случае это следующие "некритические дуги": 1 . А0 - а2 - А2- А1 (одна некритическая работа а2); 2. А0 - а3 - А3 - а5 - А5 - А6 (две некритические работы а3 и а5); 3. А0 - а2 - А2 - А3- а5 - А5 - А6 (две некритические работы а2 и а5); 4. А6 - а8 - А8 - а10 - А10 (две некритические работы а8 и а10). На первой некритической дуге некритическая работа а2; на замыкающем отрезке одна некритическая работа а1. Резерв времени, приходящийся на работу а2, равен R2 =t1- t2=10-5=5, т.е. без ущерба для общего срока выполнения работы, работа а2 может быть задержана на 5 единиц времени. Для второй некритической дуги имеем две некритические работы а3 и а5 , a на замыкающем участке три некритические работы а1, а4 и а6. Резерв времени на работы а3 и а5 R3,5 = t1 + t4 + t6 - (t3 + t5) = 10+18+18-(5+19) = 22. Но уже известно, что R2 =5, а для 3s не больше 15, так что третья некритическая дуга не даёт ничего нового. На четвёртой некритической дуге резерв времени равен R8,10 = t7 + t9 - (t8 + t10) =8+30-(25+8) = 5. Этот резерв может быть распределён между а8 и а10. Из изложенного выше следует, что знание критического пути полезно в двух отношениях. Во-первых, оно позволяет выявить совокупность наиболее " угрожаемых" работ, наблюдать за ними и, в случае необходимости, их форсировать. Во-вторых, это значение даёт возможность ускорить выполнение всего комплекса работ за счёт привлечения ресурсов, скрытых в некритических работах, если удаётся за счёт их "безвредного" замедления перебросить часть сил и средств на более важные критические работы. 12.3. Пример составления сетевого графика Имеется структурная таблица обслуживания кратковременной стоянки в аэропорту (таблица 12.2). На рис 12.3 показан временной сетевой график рассматриваемых работ. Критический путь: А0- а1- А1- а2- А2– а6–А6- а8- А8- а9 - А9 - а10- А10 Общая продолжительность работ равна сумме критических работ. Т= ta1+ta2+ta6 + ta6 + ta9 + ta10 = 80 + 50 + 29 + 60 + 10 + 10 = 113 мин. Некритические дуги: 1. А1 – a3 – А3- а5 – A5 – А6; Некритические работы а3 и а5. Резерв времени (а2 + аб) - (а3 + а5) = (50 + 29) - (30 + 20) = 20 мин. Этот резерв может быть использован между выходом пассажиров из самолёта (работа а3) и заправкой самолёта (работа а5). 2. А1 – а4-А4 – А6; Некритическая работа а4. Резерв времени (а2 + аб+ а8) - а4 = (50 + 29 + б) -42 = 43 мин. Это время может быть использовано для технического обслуживания самолёта (работа а4). 3. А6-а7-А78 –а9; Некритическая работа а7 . Резерв времени (а8+ а9) - а9 = (б + 10) - 15 = 1 мин. Этот резерв может быть использован для посадки пассажиров в самолёт (работа а7).