Система автоматического управления

1 Основные понятия и определения курса. Технологическая операция (ТО) - простейшее физическое или физикохимическое превращение с сырьем (нагревание, проведение реакции, перемешивание и т.д.). Технологический процесс (ТП) - совокупность ТО, объединенных с целью получения готового продукта заданного качества. ТП характеризуется разнообразными параметрами, которые бывают входные, выходные и возмущающие. Выходные характеризуют интенсивность протекания ТО. Входные - параметры, изменением которых можно воздействовать на выходные (изменение расхода вещества или энергии, изменение концентрации вещества и т.д.). Возмущающие - неконтролируемые параметры, мешающие правильному протеканию процесса. Управление - любое воздействие на ТП с целью получения желаемого эффекта. Функции управления - контроль, анализ, принятие решения, управляющее воздействие. Под регулированием будем понимать частный случай управления, при котором технологические параметры поддерживаются на заданном значении с помощью специальных устройств – автоматических регуляторов. ТП бывают непрерывные, периодические и дискретные. Непрерывные - подача сырья, отбор готовой продукции и управление осуществляются в реальном времени – непрерывно. Периодические - подача сырья осуществляется в реальном времени, а отбор готового продукта и управление осуществляются в определенные промежутки времени. Дискретные - все осуществляется в дискретном времени (где есть сборочные процессы). Автоматика - это отрасль науки и техники, изучающая методы, способы и технические средства, с помощью которых осуществляется управление без участия человека. Базовыми для изучения этой дисциплины являются: ТАУ - теория автоматического управления; ТСА - теория средств автоматики и метрология. Автоматизация производства - это процесс в развитии машинного производства, при котором функции управления и контроля, ранее выполнявшиеся человеком, передаются приборам и автоматическим устройствам. Это энциклопедическое определение. Более простое определение: автоматизация - это внедрение в ТП технических средств, позволяющих осуществлять управление процессом без непосредственного участия человека в управлении. Разработка систем автоматизации заключается в решении трех основных задач: 1) определение методов эффективного изучения закономерностей объектов управления (ТП) при использовании физического или математического моделирования; 2) создание технически и экономически целесообразных методов управления и установление наиболее рациональных зависимостей между измеряемыми и управляющими параметрами ТП; 3) разработка инженерных методов эффективного воплощения автоматизации и внедрение технических средств контроля и управления. Автоматизация бывает начальная, комплексная, полная: - начальная - каждый ТП в пределах участка (цеха) автоматизируется отдельно независимо от других; комплексная - все ТП в пределах участка (цеха) автоматизируются как единое целое; полная – кроме того, что все производство есть единая автоматически работающая система, сюда еще включается автоматизация хозяйственной деятельности предприятия. Последнее время все шире применяются так называемые заводы-автоматы. 2 Простейшая система автоматического управления. Принципы построения различных систем управления в значительной мере оказываются общими, независимо от того, рассматриваются ли системы управления ТП, ракетой или биологическим процессом. Эта общность принципов построения систем управления позволяет использовать при их исследовании и разработке одни и те же методы. В автоматике системы регулирования принято изображать в виде структурных схем. Структурная схема (или блок-схема) это условное изображение, в котором отдельные элементы системы представляются прямоугольниками, а связи между элементами изображаются стрелками, показывающими направление передачи сигнала. Основными элементами простейшей системы управления являxв ются (рис.1): ОУ - объект управлехр y ния; ЧЭ - чувствительный элемент ОУ датчика, служащий для измерения текущего значения технологическоЧЭ РО го параметра y и выдачи информации о его состоянии; ПР - усилиДТ тельно-преобразовательное устройство, предназначенное для преобраПР ИМ зования одного вида сигнала в другой и усиления его по мощности, нехру y обходимой для передачи сигнала на РУ ЗД расстояние; ДТ – датчик регулируеyзд мого параметра, устройство объедиРис. 1. Простейшая САУ: няющее в себе конструктивно чувстОУ – объект управления; ЧЭ – чувствительный элемент; ПР – усилительно-преобразовательное устройство; ДТ вительный элемент и усилительно датчик; ЗД - задатчик; РУ – регулирующее устройство; ИМ преобразовательное устройство; ЗД – исполнительный механизм; РО – регулирующий орган. – задающее устройство (задатчик), в котором формируется сигнал, соответствующий заданному значению регулируемой величины yзд РУ - регулирующее устройство (регулятор), вырабатывающее командный сигнал в зависимости от сигнала разнохв сти между текущим и заданным сигналами (yy yзд); ИМ - исполнительный механизм, выполОбъект няющий роль преобразователя командного сигнала регулятора в перемещение регулихр руемого органа; РО – регулирующий орган, устройство, от положения которого зависит Регулятор значение регулирующего параметра (клапан, шибер, заслонка и др.). Рис. 2. Упрощенное изображение САУ. В дальнейшем будем использовать упрощенную структурную схему САУ (рис. 2): датчик, ИМ и РО будем относить к объекту. Это упрощение оправдывается, т.к. их характеристики (датчика, РО и ИМ, устанавливаемых непосредственно на технологическом оборудовании) не изменяются в процессе эксплуатации системы и могут быть учтены при проектировании САУ вместе с характеристиками объекта. 3 Классификация систем автоматического управления. Классификация систем автоматического управления (САУ) проводят по следующим признакам: по принципу управления; по функциональному назначению; по наличию информации о системе (процессе, объекте). Следует отметить, что основным признаком является наличие информации, причем начальной и рабочей, т.к. автоматизация основана на наличии информации об автоматизируемой системе (процессе, объекте). Существует два вида информации: - априорная (начальная) - исследователь обладает информацией о системе до начала управляемого процесса; - апостериорная (рабочая) – ЛПР получает эту информацию при эксплуатации системы. I. По принципу управления САУ делятся xв следующим образом. xоу хиу 1. Замкнутые системы. В таких системах ОУ (рис. 3) в основу регулирования положен хоу следующий принцип: регулятор изменяет реИУ ЧЭ гулирующее воздействие при отклонении регулируемой координаты от заданного значе- х хчэ ру РУ ния независимо от причин, вызвавших это отклонение. Таким образом, в зависимости от Рис. 3. Простейшая замкнутая САУ: выходного сигнала объекта регулятор измеОУ - объект управления; ЧЭ – чувствительный элемент; РУ – регулирующее устройство; ИУ – няет его входной сигнал. Передача сигнала с исполнительное устройство. выхода объекта на его вход называется обратной связью. Принцип управления (регулирования) в этом случае называется регулированием по обратной связи или регулированием по отклонению. 2. Разомкнутые системы. В таких системах (рис. 4) регулирующее воздействие вырабатывается регулятором в зависимости от величины возмущения, а не регулируемого параметра. Отсюда название этого принципа регулирования - регулирование по возмущению. Идея этого способа регулирования проста: если ЧЭ хчэ f(t) удастся компенсировать все возz q xвых мущения, то регулируемая велиРУ ИУ ОУ чина не будет отклоняться от заРис. 4. Простейшая разомкнутая САУ. данного значения. Недостаток z - командный сигнал РУ; q - расход вещества или энергии через ОУ; систем, построенных по принциf(t) - возмущающие воздействия. пу компенсации возмущений, очевиден: практически очень в крайних случаях удается компенсировать все возможные возмущения в объекте. Наличие нестабилизируемых возмущений (таких, как колебание атмосферных условий, старение катализатора, закоксовывание печей, отложение солей в теплообменниках и др.) приводит к отклонению регулируемого параметра от заданного значения. При анализе функционирования замкнутых систем становится очевидным, что системы, построенные по принципу обратной связи (замкнутые), не имеют этого недостатка. Т.к. в этом случае регулирующее устройство стремится компенсировать отклонение регулируемого параметра от заданного значения независимо от того, какими причинами вызвано это отклонение. Однако при регулировании по отклонению трудно одновременно выполнить условия точности, устойчивости и быстродействия системы. Так, повышение точности и быстродействия системы, часто при- 4 водит к тому, что система оказывается неработоспособной в силу неустойчивости. (Более подробно этот вопрос будет рассмотрен далее.) 3. Комбинированные сисf(t) ЭС темы (рис. 5). Это систеxзад z q xвых ε Задатчик мы, сочетающие в себе РУ ИУ ОУ оба рассмотренных ранее “-” принципа. В таких систехчэ ЧЭ мах основное, наиболее Рис. 5. Простейшая комбинированная САУ. сильное возмущение комЭС элемент сравнения; зад-xчэ - сигнал рассогласования; z - командный сигнал пенсируется регулирую- РУ; q - расход вещества илиε=xэнергии через ОУ; f(t) - возмущающие воздействия. щим устройством; кроме того, имеется контур регулирования по обратной связи, с помощью которого устраняется отклонение регулируемого параметра, вызванного другими возмущениями. II. По функциональному назначению различают САУ температуры, давления, расхода, вязкости, плотности и т.д. III. По наличию информации о системе управления подразделяют на: 1) Обыкновенные. Сюда относят те системы, которые обладают полной и начальной, и рабочей информацией. Различают три подкласса таких систем: - стабилизации - в таких системах используется принцип регулирования по отклонению, и служат они для поддержания какого-либо параметра в заданных пределах, т.е. yзад=const; - программные системы или САУ программного управления - параметр изменяется во времени по какому-либо закону (программе, алгоритму). Примером может служить светофор; - следящие САУ – системы, в которых задание регулятору изменяется в зависимости от какого-либо другого параметра, т.е. регулируемая координата “следит” за изменением этого параметра. Пример - соотношение двух расходов; 2) Самонастраивающиеся (адаптивные) САУ. Признаки таких систем: неполнота или полное отсутствие начальной информации и полная рабочая информация. Такие САУ бывают: - экстремальные САУ. Суть экстремальных САУ заключается в том, что недостаток начальной информации восполняется наличием рабочей информации. По текущей рабочей информации определяется экстремум некоторой функции или функционала, которые и являются целью управления; - САУ с самонастраивающейся коррекцией. Недостаток знаний в таких системах восполняется путем подачи дополнительного сигнала, затем изучается реакция на этот сигнал, и в соответствии с этой реакцией выдается корректирующий сигнал на процесс; - самооптимизирующиеся САУ. Это системы управления оптимальные в смысле выбранного критерия. Причем поиск оптимального значения критерия определяется автоматически. Такие САУ должны осуществлять управление за время меньшее, чем время поиска оптимального значения выбранного критерия; 3) Игровые САУ. Признаками таких систем является неполнота или полное отсутствие как начальной, так и рабочей информации. Для игровой системы характерно наличие одного критерия функционирования для альтернативных вариантов (например: игра в шахматы), имеется алгоритм функционирования системы (правила игры) и ограничения на параметры управления. Управление осуществляется следующим 5 образом: после выдачи одного из управляющих воздействий (или при поступлении на систему возмущающего воздействия) производится анализ ситуации в системе (или в каждой из альтернативных систем), рассматривается несколько возможных вариантов следующего управляющего воздействия и выбирается то из них, которое удовлетворяет некоторому “ малому” критерию функционирования системы. При этом предполагается, что сумма выполнения “малых” критериев приводит к выполнению основного критерия функционирования системы. Локальные системы управления. Служат для управления отдельным агрегатом, машиной, аппаратом. Локальные системы могут выполнять следующие функции: - автоматический контроль и сигнализация. Системы выполняют непрерывное или достаточно частое измерение и запись ряда технологических параметров, характеризующих состояние и работу технологического оборудования, а также подачу предупредительных сигналов при отклонении этих параметров от допустимых пределов; - автоматическое регулирование. Системы предназначены для поддержания постоянства (в заданных пределах) или закономерности (по какому-либо закону или алгоритму) изменения регулируемых величин, обеспечивающих безопасность, надежность и эффективность работы технологического оборудования; - автоматический пуск и остановка. Системы обеспечивают запуск в действие сложного технологического оборудования по одному сигналу при наличии определенной совокупности внешних воздействий (например, из пункта управления или по команде от какого-либо датчика). При этом соблюдается последовательность операций и координация их между собой; - автоматическая защита. Системы предохраняют действующее оборудование от аварий, т.е. эти системы выводят из действия все технологическое оборудование или его часть, которому непосредственно грозит авария из-за неисправности автоматического оборудования, порчи регуляторов или неправильных действий обслуживающего персонала. К автоматической защите также относятся устройства блокировки, допускающие выполнение операций по введению в действие или по отключению элементов оборудования только в заданной последовательности. Параметры управления. 1. Контролируемые параметры. Это параметры ТП, значения которых должны быть известны для нормального протекания технологического процесса, но которые не имеют для своего изменения регулирующего воздействия. Определяются заказчиком или разработчиком. 2. Сигнализирующие параметры. Это параметры ТП, значения которых необходимо сигнализировать при отклонении этих параметров от заданных пределов. 3. Регулируемые параметры. Это параметры, которые являются важнейшими для нормального протекания ТП и изменение которых возможно осуществить с помощью регулирующего воздействия. 4. Регулирующее воздействие. Это расходы вещества или энергии, которые позволяют поддерживать заданные значения регулируемых параметров. 5. Регулирующий параметр. Это параметр, который нужно изменить, чтобы получить благоприятные условия протекания ТП, т.е. правильно подобрать регулирующее воздействие. Отсюда вытекает задача выбора регулирующего воздействия. 6 6. Возмущающие параметры. Это параметры ТП, которые невозможно использовать в качестве управляющего (регулирующего) воздействия (регулирующего параметра), но, изменение которых влияет на ход ТП (например, влажность окружающего воздуха при сушке). Выбор управляющего воздействия. Рассмотрим простую повседневную задачу. Например, сладость чая можно регулировать двумя способами (или двумя регулирующими воздействиями): - расходом сахара; - расходом воды. Выбор управляющих (регулирующих) воздействия производят исходя из следующих соображений: 1) по аналогии с уже существующими схемами автоматизации; 2) сравнивая возможные варианты и оценивая их по различным критериям (например, по экономичности, по возможности технической реализации, по надежности, по интуиции); 3) используя объективные методы (например, метод экспертных оценок и др.). Рассмотрим алгоритм экспертного метода выбора управляющего воздействия. 1. Приглашаются N экспертов (профессионалы), j = 1, N . 2. Предлагается вопрос исследования (причем, чтобы было не менее двух вариантов ответов) и несколько ответов. Число ответов m, i = 1, m . 3. Оценивается каждым экспертом каждый вариант в выбранной системе оценок ( оцij ). Данные заносятся в таблицу (табл. 1). 4. После того, как проведена оценка, проводится ранжирование оценок экспертов – самой высокой оценке присваивается наименьший ранг ( xij ). 5. Суммируются ранжированные оценки каждого из N экспертов по каждому из m предложенных m ответов ( S i = ∑ xi ). i =1 Si ). Для этоN го сумму рангов по каждому варианту ответов (п. 5) делят на число экспертов N. 7. Определяют невязки ранжированных оценок ( d ij ) – это разность между средним значением (п. 6) каждой оценки и соответствующим рангом каждого эксперта. Затем определяют сумму полученных невязок ( ∑ d i ). 6. Определяется среднее значение по каждому варианту ответов ( M i = 8. Определяется квадратичная сумма невязок ( (∑ d i ) 2 ). 9. Определяют коэффициент конкордации для каждого варианта ответов ( Фi ). Коэффициент конкордации характеризует степень согласованности мнений экспертов. 12 ⋅ (∑ d i ) 2 Коэффициент коркордации определяют по формуле Фi = , i = 1, N . N ⋅ m ⋅ (m 2 − 1) Чем меньше коэффициент конкордации Ф, тем выше степень согласованности мнений экспертов. 10.Определяют степень достоверности результатов расчета и значимость коэффициента конкордации. Это выполняют по критерию Стьюдента χ 2 . Расчетное значение критерия определяют по формуле χ 2расч. = N ⋅ (m − 1) ⋅ Ф . Табличное значение крите- 7 рия Стьюдента χ γ ) определяют по статистическим таблицам для заданного значения вероятности ошибки p=0,95 и числа степеней свободы γ=m-1. Если 2 2 χ расч . > χ табл. , то коэффициент конкордации Фi значим с вероятностью p. Если 2 табл. ( p, 2 χ 2расч. < χ табл . , то коэффициент согласованности мнений экспертов не значим, ре- зультаты всей работы неверны и эксперимент проводят заново. Пример. Проверить согласованность экспертов (N=5), при трех возможных вариантах ответов на решаемый вопрос. Таблица 1. Оценки экспертов ( оцij ) Ранжированные оценки экспертов ( xij ) Эксперты (N) Ответ 1 Ответ 2 Ответ 3 Ответ 1 Ответ 2 Ответ 3 1 7 4 2 3 6 8 2 2 5 10 8 5 3 5 6 8 5 4 2 4 9 6 2 1 4 8 5 8 6 2 4 10 Оценка проводилась по 10ти бальной шкале m S i = ∑ xi 19 23 28 Si N 3,8 4,6 5,6 i =1 Mi = ∑ di (∑ d i ) 2 (3-3,8)+ (8-3,8)+ (5-3,8)+ (1-3,8)+ (2-3,8)=0 (6-4,6)+ (5-4,6)+ (4-4,6)+ (4-4,6)+ (4-4,6)=0 (8-5,6)+ (0-5,6)+ (2-5,6)+ (8-5,6)+ (10-5,6)=0 12 ⋅ (∑ d i ) 2 Фi = , i = 1, N N ⋅ m ⋅ (m 2 − 1) Так как коэффициент конкордации по каждому из вариантов ответа равен 0, то мнения экспертов согласованы, и исследовать достоверность результатов расчета и значимость коэффициента конкордации по критерию Стьюдента не имеет смысла. Составление уравнений объектов управления. Уравнения статики и динамики. Различные по физической природе системы могу описываться однотипными математическими зависимостями. Эта особенность систем управления положена в основу так называемого метода математических аналогий, широко используемого в теории автоматического управления. Построение любой системы управления начинается с изучения объекта исследования и составления его математического описания. Рассмотрим, из каких урав- 8 нений складывается математическое описание, какими особенностями обладают уравнения различных объектов, каким образом составляются эти уравнения. Математическое описание объектов управления может быть получено следующим образом: 1) экспериментальным путем. В данном случае уравнения объекта получают путем либо постановки специальных экспериментов на объекте (метод активного эксперимента), либо статистической обработкой результатов длительной регистрации координат объекта в условиях его нормальной эксплуатации (метод пассивного эксперимента); 2) аналитическим путем. В данном случае уравнения объекта получают на основании анализа физико-химических закономерностей протекания изучаемого процесса; 3) комбинированным (экспериментально-аналитическим) путем. В данном случае математическое описание процесса подразумевает обычно составление уравнений аналитическим методом с последующим уточнением коэффициентов этих уравнений экспериментальным путем. Уравнения объектов автоматического управления различаются в зависимости от описываемого ими режима работы. САУ может находиться в равновесном состоянии (статика) и неравновесном состоянии (динамика). Уравнения статики описывают установившийся режим, при котором все координаты объекта остаются неизменными во времени, то есть объект находится в состоянии равновесия. Уравнения статики представляют собой алгебраические (трансцендентные) уравнения или дифференциальные уравнения, содержащие произведение по какому-либо параметру, кроме времени. Существенной особенностью уравнений статики является неизменность координат во времени. Статическая характеристика, связывающая входной объект с выходным, имеет вид xвых = f ( xвх ) t → ∞ . Уравнения динамики описывают неустановившийся, или переходный режим в объекте: при этом выходная координата объекта является функцией времени и в общем виде уравнение динамики будет дифференциальным уравнением, содержащим производные по времени. Динамическая характеристика, связывающая входной объект с выходным, имеет вид xвых = f ( xвх , t ) . Линейные системы автоматического управления. Линейными называются объекты (системы), подчиняющиеся принципу суперпозиции, который заключается в том, что реакция объекта на сумму входных сигналов ∑ xi (t ) равна сумме реакций на каждый сигнал х1 ОУ в отдельности для любых xi(t) (рис. 6). Линейными х2 y являются объекты, описываемые линейными диф... ференциальными уравнениями, то есть уравненияхi ... ми, в которых искомая функция и все ее производхn ные содержатся в первой степени. Важным является то, что выполнение принципа суперпозиции неРис. 6. К понятию линейной системы обходимо не только в установившихся режимах, но и в переходных процессах. Поэтому линейность статических характеристик является необходимым, но не достаточным условием линейности объекта. 9 Иллюстрацией принципа суперпозиции служит эксперимент, который может быть проведен на реальном объекте для проверки его линейности (рис. 7). Этот эксперимент должен состоять, по крайней мере, из трех опытов. 1 опыт: на вход объекта подается сигнал x1(t) и определяется изменение выходной а) x1(t) y1(t) координаты под действием этого сигнала объект y1(t) (рис. 7а); 2 опыт: на вход объекта подается сигнал б) x2(t) y2(t) объект x2(t) и определяется изменение выходной координаты под действием этого сигнала в) x3(t)=x1(t)+x2(t) y2(t) (рис. 7б); y3(t) объект 3 опыт: на вход объекта подается сигнал x3 (t ) = x1 (t ) + x2 (t ) и записывается реакция Рис. 7. К понятию принципа суперпозиций. объекта на этот сигнал y3(t) (рис. 7в). Если для любого момента времени t (при любых x1(t) и x2(t)) соблюдается равенство y3 (t ) = y1 (t ) + y2 (t ) , то принцип суперпозиции выполняется и, следовательно, объект линеен. Большинство реальных объектов управления являются нелинейными объектами. Однако в том случае, если нелинейность объекта проявляется в статических режимах, и статические характеристики описываются аналитическими функциями, то при определенных условиях, нелинейные характеристики объекта могут быть заменены приближенными линейными характеристиками, т.е. производится линеаризация нелинейных зависимостей. Одним из наиболее распространенных способов линеаризации является разложение нелинейной функции Y=f(X) в ряд Тейлора в окрестности заданной точки (X0,Y0) и переход к новой системе координат x, y, причем линеаризация функции содержит лишь первые члены ряда Тейлора, линейные относительно новых координат. Линейная статическая характеристика задается в алгебраическом виде выражеdy нием y = k ⋅ x t →∞ , где k – коэффициент пропорциональности k = x . dx 0 Линейные объекты описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые в общем случае записываются в виде полинома производных во времени от выхода (y) и входа (х) объекта: d n y (t ) d n −1 y (t ) dy (t ) An + An −1 + K + A1 + A0 y (t ) = n n −1 dt dt dt , (1) m m −1 d x (t ) d x (t ) dx(t ) = Bm + Bm −1 + K + B1 + B0 x(t ) m m −1 dt dt dt где А0, А1, …, Аn-1, Аn; В0, В1, …, Вm-1, Вm – постоянные коэффициенты, характеризуют конструктивные параметры объекта, физические и химические свойства веществ, а также различные гидродинамические и тепловые константы; n, m – показатели степени (n>m). Правая часть уравнения (1) характеризует влияние возмущающих воздействий. При х=0 имеет место однородное характеристическое уравнение, которое характеризует поведение системы в равновесном состоянии. 10 Переходные характеристики. Различают следующие типы систем: стационарные линейные объекты, которые описываются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и нестационарные объекты, описываемые дифференциальными уравнениями, коэффициенты которых являются функциями времени. Большинство объектов регулирования являются нестационарными объектами, однако скорость изменения их свойств намного меньше, чем скорость процессов регулирования этих объектов. Например, время регулирования температуры в контактном аппарате производства слабой азотной кислоты составляет несколько минут, а время одного цикла работы катализатора – несколько месяцев. Такие объекты при расчете САУ можно приближенно рассматривать как стационарные в течение определенного промежутка времени, за который свойства объекта не успевают существенно измениться. Поэтому изучение САУ обычно начинается со стационарных объектов. В дальнейшем остановимся на стационарных объектах. Помимо общей записи линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в виде (1) в автоматике применяются и другие формы записи. Разделим обе части уравнения (1) на коэффициент A0, получим: Bm d m x(t ) Bm−1 d m−1 x(t ) d n y (t ) d n−1 y (t ) dy (t ) Tn + Tn −1 + K + T1 + y (t ) = + +K+ dt A0 dt m A0 dt m−1 dt n dt n −1 A A B B dx(t ) B0 A + 1 + x(t ), где Tn = n ; Tn−1 = n−1 ; K; T1 = 1 ; k = 0 . A0 dt A0 A0 A0 A0 A0 Коэффициенты Tn, Tn-1, …, T1 – называются постоянными времени объекта и имеют размерность времени ([Tn]=(время)n, [Tn-1]=(время)n-1, …, [T1]=время); k - коэффициент усиления объекта. Дифференциальное уравнение объекта описывает его поведение в неустановившихся (переходных) режимах при любой форме входного сигнала x(t). Уравнение переходного процесса, соответствующее определенному виду функции x(t), можно получить как решение неоднородного дифференциального уравнения при соответствующей правой части и заданных начальных условиях. Под начальными условиями переходного процесса понимается его состояние в момент времени, принятый за начало процесса при t=0. Начальные условия задаются совокупностью значений выходной координаты и ее производных до (n-1)-го порядка включительно y (0) = y0 ; y ′(0) = y0′ ; K; y ( n −1) (0) = y0( n−1) . Начальные условия называются нулевыми, если начальные значения выходной координаты и ее производных порознь равны нулю y (0) = 0; y ′(0) = 0; K; y ( n−1) (0) = 0 . Для характеристики динамических свойств объектов широко используются переходные процессы, соответствующие типовым входным сигналам. Наиболее распространенными переходными характеристиками являются кривая разгона, импульсная переходная характеристика и гармоническая переходная характеристика. 11 Единичная ступенчатая функция. Кривая разгона. Единичную ступенчатую функцию 1(t) называют функцией Хевисайда. Математически единичная ступенчатая функция записывается следующим образом: x(t) 1, при t ≥ 0; 1 x(t ) = 1(t ) =  , при t < .  Графически функция 1(t) показана на рис. 8. t Переходную характеристику, показывающую Рис. 8. изменение выходной координаты объекта при по- 0 даче на его вход сигнала в виде единичной ступенчатой функции 1(t) называют кривая разгона и обозначают h(t). Уравнение кривой разгона может быть получено как решение дифференциального уравнения при постоянной правой части An y ( n ) (t ) + An −1 y ( n −1) (t )K + A1 y ′(t ) + A0 y (t ) = B0 и нулевых начальных условиях y (0) = 0; y ′(0) = 0; K; y ( n−1) (0) = 0 . Обычно кривая разгона объекта определяется экспериментальным путем и используется как исходные данные для расчета САУ данного объекта. Единичная импульсная функция. Импульсная переходная характеристика. Единичная импульсная функция (δ-функция) называют функцией Дирака. Математически она записывается следующим образом: ∞, при t = 0; x(t) x(t ) = δ (t ) =  , при t ≠ .  Графически δ-функция показана на рис. 9. Дельта-функция представляет собой импульс бесконечно t малой длительности и бесконечно большой амплитуды. Такую функцию можно представить как предел, к которому стремится 0 Рис. 9. импульс с основанием ∆t и с площадью, равной единице, если основание импульса уменьшать (∆t→0) так, чтобы площадь импульса сохранялась ∞ равной единице S = ∫ δ (t )dt = 1 . Переходную характеристику, показывающую изменение выходной координаты объекта при подаче на его вход сигнала в виде единичной дельта-функции называют переходной импульсной характеристикой и обозначают w(t). Гармоническая переходная характеристика. Гармоническое входное воздействие. Это воздействие не бывает единичным и математически записывается следующим образом: x(t ) = Aвх sin(ωt + ϕ вх ) , где ω - частота, Aвх, ϕвх, - амплитуда и фаза входной координаты соответственно. При подаче на вход объекта такого входного сигнала на выходе также будет гармонический сигнал, только со своими значениями амплитуды (Aвых), фазы (ϕвых), т.е. y (t ) = Aвых sin(ωt + ϕ вых ) . 12 Преобразование Лапласа. В теории автоматического регулирования широко используется специальный метод прикладного анализа, в основе которого лежит функциональное преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа служит для перехода от функции вещественного переменного – время, к функции комплексного переменного. Преобразованной по Лапласу функцией называется функция комплексного переменного, определяемого соотношением: ∞ F ( p ) = ∫ f (t )e − pt dt , (2) где f(t) – исходная функция действительного переменного t, называемая оригиналом; p – комплексная переменная, p=α+jω; α, ω - действительные переменные; j = − 1 ; F(p) – функция комплексного переменного, называемая изображением по Лапласу функции f(t). Иначе это можно записать в виде: L{ f (t )} = F ( p ) , где L – символ преобразования Лапласа. Обратный переход от изображения к оригиналу осуществляется по формуле 1 c + j∞ f (t ) = F ( p )e pt dp , (3) ∫ 2πj c − j∞ где c – абсцисса сходимости функции f(t). Широкое использование преобразования Лапласа объясняется рядом преимуществ этого метода перед прямым решением задач в области действительного переменного. В частности, изображения некоторых функций f(t) оказываются проще их оригиналов. Проиллюстрируем это на примере. 1 Пример. Пусть f(t) – единичная ступенчатая функция (рис. 10). t 1, при t ≥ 0; f ( t ) = 1 ( t ) =  Рис. 10. 0, при t < 0. Т.е. оригинал является разрывной функцией времени. Найдем ее изображение. ∞ ∞ 1 1 1 − pt F ( p ) = ∫ f (t )e dt = ∫ 1(t )e − pt dt = − e − pt dt ∞0 = − (0 − 1) = . (4) p p p Т.е. изображение оказывается непрерывной функцией от p. Для нахождения изображения от производных используют правило дифференцирования: операция дифференцирования функции вещественного переменного соответствует операция умножения изображения функции на комплексную переменную в соответствующей степени. f (t ) = F ( p ), f / (t ) = F ( p ) p1 , f // (t ) = F ( p ) p 2 , K, f (n ) (t ) = F ( p ) p n . (5) 13 Подставляя (5) в (1) получим следующее: An p n y ( p ) + An −1 p n −1 y ( p ) + K + A1 py ( p ) + A0 y ( p ) = , (6) = Bm p m x( p) + Bm −1 p m −1 x( p ) + K + B1 px( p ) + B0 x( p ) После преобразования получим: y ( p )( An p n + An −1 p n −1 + K + A1 p + A0 ) = , (7) = x( p )( Bm p m + Bm −1 p m −1 + K + B1 p + B0 ) Использование преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений упрощает решение благодаря тому, что в области комплексного переменного дифференциальное уравнение преобразуется в алгебраическое (7), а оригиналы найденного решения легко находятся по таблицам. Решение дифференциального уравнения с применением преобразования Лапласа складывается из трех этапов: 1) преобразование уравнения по Лапласу с использованием правила дифференцирования; 2) отыскание решения в области комплексного переменного; 3) переход в область действительного переменного путем обратного преобразования по Лапласу функции и отыскание ее оригинала. Проиллюстрируем указанный метод на примерах решения неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Пример 1. Решить дифференциальное уравнение dy (t ) d 2 y (t ) dy (t ) A2 + A + A y ( t ) = B 1 ( t ) , с начальным условием y ( ) = = 0. 1 dt d (t ) dt 2 Преобразуем по Лапласу левую и правую части уравнения с учетом линейности этой операции, правил преобразования производных (5) и изображения единичной 1 функции (4) L{1(t )} = . После преобразования получим: p B A2 p 2 y ( p ) + A1 py( p ) + A0 y ( p) = 0 . p Решение этого уравнения y C1e p1t B0 C0 y( p) = . (8) 2 p( A2 p + A1 p + A0 ) 2 Разложив y(p) на простейшие дроби y(t) t C0 C1 C2 y( p) = + + , p − p0 p − p1 p − p2 где p0, p1, p2 - корни полинома стоящего в знаменаp2t C2 e теле (7) -4 Рис. 11. p0 = 0; p1, 2 − A1 ± A12 − 4 A0 A2 = , 2 A2 а C0, C1, C2 - находим по методу неопределенных коэффициентов: C0 = C1 = B0 B0 ; C2 = . p1 ( p1 − p2 ) p2 ( p2 − p1 ) B0 ; p1 p2 14 По таблицам обратного преобразования Лапласа находим оригинал: y( t ) = C 0 + C1e p1t + C 2 e p 2 t . Общий вид графика y(t) показан на рис. 11 . Здесь p1=-1; p2=-0,5; C0=C1=2; C2= -4. d 2 y (t ) dy (t ) Пример 2. Решить дифференциальное уравнение A2 + A = B01(t ) , с на1 dt dt 2 dy (t ) чальным условием y (0) = = 0. dt B После преобразования по Лапласу получим: A2 p 2 y ( p ) + A1 py ( p ) = 0 , откуда p B0 y( p) = 2 . Представим уравнение y(p) в виде суммы: p ( A2 p + A1 ) C C1 C y ( p ) = 02 + + 2; p − p1 p p y C0t y(t) B0 B0 A22 B0 B0 A2 A1 где p1 = − ; C0 = =− ; C1 = 2 = ; A2 p1 A1 p1 A12 C1e p1t t C2 Рис. 12. B2 A22 C 2 = −C1 = − 2 . A1 По таблицам оригиналов и изображений найдем y(t). График y(t) показан на рис.12. y (t ) = C0t + C1e p1t + C2 . … Передаточная функция. Одной из основных динамических характеристик объекта, широко используемых в теории автоматического регулирования, является передаточная функция. Передаточной функцией объекта называется отношение преобразованного по Лапласу выхода объекта y(p) к преобразованному по Лапласу входу x(p) при нулевых начальных условиях. Передаточная функция является функцией комплексного y( p ) переменного, обозначается W(p): W ( p ) = . Передаточная функция характеризует x( p ) динамику объекта по определенному каналу, связывающему конкретный вход объекта с выx1 ходом. Если в объекте имеется несколько вхоW1 дов, то каждому каналу связи входа с выходом xi Wi y будет соответствовать своя передаточная функция (рис. 13). xn Пример. Предположим, что при подаче на вход объекта сигнала x(t)=1(t), реакция на выхоWn де описывается уравнением y(t)=kt. Необходимо Рис. 13. определить передаточную функцию объекта. … 15 Найдем изображение по Лапласу для входного и выходного сигналов: y( p ) = x( p) = 1 , p k . p2 y( p ) k = . x( p ) p Так же как и дифференциальное уравнение, передаточная функция полностью характеризует динамику объекта. Если задано дифференциальное уравнение объекта, то для получения передаточной функции необходимо преобразовать дифференциальное уравнение по Лапласу и из полученного алгебраического уравнения найти y( p ) отношение . x( p ) Как уже указывалось, в общем случае дифференциальное уравнение линейного объекта может быть представлено в виде: d n y (t ) d n −1 y (t ) dy(t ) + An −1 + K + A1 + A0 y (t ) = An n n −1 dt dt dt , d m x(t ) d m −1 x(t ) dx(t ) = Bm + Bm −1 + K + B1 + B0 x(t ) dt dt m dt m −1 где А0, А1, …, Аn-1, Аn; В0, В1, …, Вm-1, Вm – постоянные коэффициенты, определяемые исходя из особенностей АСР. После преобразования по Лапласу при нулевых начальных условиях получим: An p n y ( p ) + An −1 p n −1 y ( p) + K + A1 py ( p ) + A0 y ( p ) = Передаточная функция будет равна W ( p ) = = Bm p m x( p ) + Bm −1 p m −1 x( p) + K + B1 px( p ) + B0 x( p ) или ( An p n + An −1 p n −1 + K + A1 p + A0 ) y ( p ) = . = ( Bm p m + Bm −1 p m −1 + K + B1 p + B0 ) x( p ) y( p ) Из последнего выражения найдем отношение : x( p ) y( p ) Bm p m + Bm −1 p m −1 + K + B1 p + B0 W ( p) = = . (9) x( p ) An p n + An −1 p n −1 + K + A1 p + A0 Если известна передаточная функция объекта, то из (8) изображение выхода объекта y(p) равно произведению передаточной функции на изображение входа x(p): y ( p ) = W ( p ) ⋅ x( p ) . (10) Соотношение (9) есть не что иное, как общая форма записи решения дифференциального уравнения в операторной форме. Таким образом, передаточная функция равна отношению двух полиномов: B( p ) W ( p) = , где B( p ) = Bm p m + Bm −1 p m −1 + K + B1 p + B0 - характеристический поA( p ) лином возмущающих воздействий, A( p ) = An p n + An −1 p n −1 + K + A1 p + A0 - полином, характеризующий устойчивость объекта к возмущениям. Для реальных физических объектов можно отметить как характерную особенность тот факт, что степень поли- 16 нома, стоящего в числителе B(p), всегда меньше (или равна) степени полинома в знаменателе (m≤n), так что lim W ( p ) = 0 . p →∞ Знаменатель передаточной функции является характеристическим уравнением системы. Структурные схемы. Одной из областей применения передаточной функции является структурный анализ сложных объектов. Структурная схема является графическим изображением дифференциального уравнения объекта и обладает главным достоинством любого графического представления - наглядностью. Составление структурной схемы является первым этапом исследования сложных объектов управления с большим числом взаимосвязанных параметров. Структурные схемы строят по функциональным . При составлении структурной схемы объект условно разбивается на отдельные элементы, которые описываются достаточно простыми зависимостями. Для каждого элемента схемы определяют входную (x) и выходную (y) координату и определяют уравнение связи между ними. По уравнению связи определяют передаточную функцию. На структурной схеме элементы, называемые звеньями, изображаются в виде прямоугольников, внутри которых записывается передаточная функция звена. Звено – это составной элемент структурной схемы, имеющий один вход и один выход и описываемый дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Взаимосвязь между звеньями изображается линиями связи со стрелками, указывающими направление передачи сигнала. Над линией связи ставится условное обозначение передаваемого сигнала. Точка на линии связи, в которой происходит разветвление линии (т.е. один и тот же сигнал подается на входы различных звеньев), называется узлом. Алгебраическое сложение нескольких сигналов изображается в виде круга на линии связи, называемого сумматором. Условные обозначения основных элементов структурных схем приведены на рис.14. W - звено; x2 - линия связи; x2 x x x1+x2 x1 x - сумматор. x2 x - узел; x1 “−” x1-x2 x1 x1-x2 Рис. 14. Условные обозначения основных элементов структурных схем. Любая самая сложная структурная схема может быть изображена с помощью трех основных типов соединения: - параллельное соединение; - последовательное соединение; - соединение с обратной связью. 17 Параллельное соединение звеньев. x W1 x y2 W2 y … x Структурная схема представлена на рис.15. При параллельном соединении входные сигналы всех звеньев одинаковы и равны входу системы x(p), а выход системы y(p) равен сумме выходов звеньев. Запишем уравнения выходных координат каждого звена: y1 ( p ) = x( p ) ⋅ W1 ( p ); y1 x yn Wn y 2 ( p ) = x( p ) ⋅ W2 ( p ); Wс M Рис. 15. y n ( p ) = x( p ) ⋅ Wn ( p ). Выход всей системы будет равен n y ( p ) = y1 ( p ) + y 2 ( p ) + K + y n ( p ) = x( p )[W1 ( p ) + W2 ( p ) + K + Wn ( p )] = x( p ) ⋅ ∑Wi ( p ). i =1 y( p ) = ∑ Wi ( p ) . x( p ) i =1 Таким образом, передаточная функция системы параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев. n Передаточная функция системы: Wc ( p ) = Последовательное соединение звеньев. x W1 y1 W2 y2 … yn Wn Wc Рис. 16 При последовательном соединении выход предыдущего звена подается на вход последующего (рис. 16). Уравнения выходных сигналов отдельных звеньев имеют вид: y1 ( p ) = x( p ) ⋅ W1 ( p ); y2 ( p ) = y1 ( p ) ⋅ W2 ( p ); M (11) yn ( p ) = yn −1 ( p ) ⋅ Wn ( p ). Выходной сигнал последнего звена является выходом всей системы y(p)=yn(p), передаточная функция системы y( p ) yn ( p ) Wc ( p ) = = (12) x( p ) x ( p ) После подстановки (10) в (11) получим Wc ( p ) = W1 ( p ) ⋅ W2 ( p ) ⋅ K ⋅ Wn ( p ) . Таким образом, передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев. Необходимо отметить, что это соотношение справедливо лишь в том случае, если передаточная функция каждого звена не изменяется от его включения последовательно с другим звеном, т.е. выход каждого звена зависит только от его входа и не 18 зависит от выходной координаты последующего звена. Такие звенья называются детектирующими, т.е. они пропускают сигнал по цепочке звеньев только в одном направлении: от входа к выходу. Звено, выход которого зависит не только от его входа, но и от выходной координаты последующего звена, называется недетектирующим. Очевидно, что уравнение такого звена будут различными в зависимости от того, рассматривается оно изолированно или в последовательном соединении с другими звеньями. При соединении звенья не находятся в статическом состоянии, а взаимодействуют между собой, т.е. входная координата последующего звена связана с выходной координатой предшествующего звена некоторыми уравнениями связи. Связи показывают путь, направление и силу взаимодействия между звеньями. Различают связи жесткие и гибкие: - жесткие – уравнения связей которых имеют вид xi = kyi ; dx dy - гибкие – уравнения связей которых имеют вид T i + xi = k i −1 . dt dt Связи бывают прямые и дополнительные. Прямые – показывают взаимодействия между звеньями основной цепи. Дополнительные – показывают взаимодействия между звеньями, параллельными основной цепи. Дополнительные связи бывают прямые и обратные. Прямые связи передают сигнал в том же направлении, что и основная связь. Передача сигнала с выхода объекта (звена) на его W3 вход называются обратной связью. W4 Пример. Пусть структурная схема некоторой системы имеет вид как на рис. 17. Рассмотрим y связи, представленные на этой x W1 W2 схеме: - основная связь между звеньями W1 и W2; - дополнительная прямая W5 W6 связь между звеньями W3 и W4; - дополнительная обратная Рис. 17. связь между звеньями W5 и W6. Соединение звеньев с обратной связью. Обратной связью называют передачу сигx x1 y Wn(p) нала с выхода звена на его вход (рис. 18), где сигнал обратной связи xос суммируется с внешxос ним сигналом x. Причем, если суммарный сигWос(p) нал x1 определяется соотношением x1 = x + xос , то обратная связь называется положительной, Рис. 18. если x1 = x − xос , т.е. сигнал обратной связи вычитают из внешнего сигнала, то обратная связь называется отрицательной. В линии обратной связи в общем случае может быть включено звено, в котором выходной сигнал y преобразуется в соответствии с передаточной функцией Wос(p) в сигнал xос. Иногда это звено может отсутствовать, т.е. Wос(p)=1 и xос=y. 19 Найдем соотношение между передаточной функцией замкнутой системы Wзс(p) и передаточными функциями отдельных звеньев Wn(p) и Wос(p). Запишем формулы выходных сигналов каждого звена y ( p ) = x1 ( p ) ⋅ Wn ( p ); x1 ( p ) = x( p ) + xос ( p ); xос ( p ) = y ( p ) ⋅ Wос ( p ). Последовательно подставив соответствующие математические зависимости друг в друга, получим x1 ( p ) = x( p ) + y ( p ) ⋅ Wос ( p ); y ( p ) = ( x( p ) + y ( p ) ⋅ Wос ( p )) ⋅ Wn ( p ); y ( p ) − y ( p ) ⋅ Wос ( p ) ⋅ Wn ( p ) = x( p ) ⋅ Wn ( p ); (1 − Wос ( p) ⋅ Wn ( p )) ⋅ y ( p ) = x( p ) ⋅ Wn ( p ). Откуда передаточная функция замкнутой системы Wn ( p ) y( p ) Wзс ( p ) = = . x( p ) 1 − Wn ( p ) ⋅ Wос ( p ) Полученная формула выведена для случая положительной обратной связи. Аналогичный вывод при наличии отрицательной обратной связи дает: Wn ( p ) y( p ) Wзс ( p ) = = . x( p ) 1 + Wn ( p ) ⋅ Wос ( p ) Частотные характеристики. Ранее было отмечено, что при подаче на вход объекта гармонического сигнала x(t ) = Aвх sin(ωt + ϕ вх ) на выходе тоже будет гармонический сигнал, только со своими значениями амплитуды (Aвых) и фазы (ϕвых): y (t ) = Aвых sin(ωt + ϕ вых ) (рис. 19). x(t ) = Aвх sin(ωt + ϕ вх ) y (t ) = Aвых sin(ωt + ϕ вых ) Объект Рис. 19. Различия между параметрами входных и выходных гармонических сигналов не зависят от амплитуды и фазы входного A(ω) сигнала, а определяется только динамическими свойствами самого объекта и частотой колебаний. В качестве динамических характеристик объекта используют следующие частотные характеристики: ω - амплитудно-частотная характеристика 0 Рис.20. Графики АЧХ. (АЧХ) - A(ω) – определяется отношением амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала при изменении частоты A (ω ) ω ∈ [0; ∞[ , т.е. A(ω ) = вых ω ∈[0; ∞[ . Примеры амплитудно-частотных характериAвх (ω ) стик реальных объектов показаны на рис. 20; 20 - фазочастотная характеристика (ФЧХ) - ϕ(ω) – есть разность фаз выходного и входного сигналов при изменении частоты ω ∈ [0; ∞[ , т.е. ϕ (ω ) = ϕ вых (ω ) − ϕ вх (ω )ω ∈ [0; ∞[ . При- ϕ(ω) меры фазочастотных характеристик ω реальных объектов показаны на рис. 21; - амплитудно-фазочастотная характеристика (АФЧХ) - W(jω) – комплексная характеристика, для которой АЧХ является модулем, а ФЧХ – аргументом, т.е. W ( jω ) = A(ω ) ⋅ e jϕ (ω ) . Рис.21. Графики ФЧХ. Амплитудно-фазочастотная характеристика W(jω) может быть получена из дифференциального уравнения, если рассмотреть реакцию объекта на гармоничесий сигнал вида e jωt . Действительно, входной сигнал x(t ) = 2 Aвх sin(ωt ) можно представить по формуле Эйлера: x(t ) = 2 Aвх sin(ωt ) = Ae jωt + Ae − jωt = x1 (t ) + x2 (t ) . (13) Пусть поведение объекта описывается линейным дифференциальным уравнением nго порядка An y (n ) (t ) + An −1 y (n −1) (t ) + K + A1 y / (t ) + A0 y (t ) = . (14) (m ) (m −1) / = Bm x (t ) + Bm −1 x (t ) + K + B1x (t ) + B0 x(t ) Найдем уравнение вынужденного колебания системы y(t) при условии, что x(t) определяется по формуле (13). Согласно принципу суперпозиций выходной сигнал y(t) будет иметь вид y (t ) = y1 (t ) + y2 (t ) = A ⋅ W ( jω ) ⋅ e jωt + A ⋅ W (− jω ) ⋅ e − jωt , где W(jω) и W(-jω) - некоторые комплексные функции, не зависящие от t, j - комплексная переменная, j = − 1 . Обозначим: y1 (t ) = A ⋅ W ( jω ) ⋅ e jωt (15) y 2 (t ) = A ⋅ W (− jω ) ⋅ e Для нахождения W(jω) в соответствии с обычной процедурой решения дифференциальных уравнений продифференцируем y1(t) n раз и x1(t) m раз и подставим их в уравнение (14). Получим: AW ( jω ) ⋅ e jωt [ An ( jω ) (n ) + An−1 ( jω ) (n−1) + K + A1 ( jω ) + A0 ] = , jωt ( m) ( m−1) = A ⋅ e [ Bm ( jω ) + Bm−1 ( jω ) + K + B1 ( jω ) + B0 ] откуда B ( jω ) (m ) + Bm −1 ( jω ) (m −1) + K + B1 ( jω ) + B0 W ( jω ) = m . (16) ( n) ( n −1) An ( jω ) + An −1 ( jω ) + K + A1 ( jω ) + A0 Сравнивая формулы (9) и (16) для W(p) и W(jω) видно, что амплитуднофазочастотная характеристика может быть получена из передаточной функции заменой p на jω. Как всякая функция комплексного переменного W(jω)может быть представлена двояко: jωt 21 W ( jω ) = A(ω ) ⋅ e или W ( jω ) = Re(ω ) + j Im(ω ) . (17) Здесь A(ω) - модуль W(jω), ϕ(ω) - аргумент W(jω), Re(ω) действительная часть W(jω), Im(ω) - мнимая часть W(jω) W связаны между собой известными соотношениями (рис. 22): jϕ (ω ) Im A ϕ Re A(ω ) = Re 2 (ω ) + Im 2 (ω ) ; Im(ω ) ϕ (ω ) = arctg ; Re(ω ) Re(ω ) = A(ω ) ⋅ cosϕ (ω ) ; Im(ω ) = A(ω ) ⋅ sin ϕ (ω ) . Амплитудно-фазочастотная характеристика W(jω) строится в плоскости комплексного переменного. При Im( ω) определенном значении ωк это будет вектор, длина которого W(j ω) равна модулю A(ω), а аргумент (т.е. угол, образованный ω=0 Re( ω) этим вектором с положительной частью действительной A(ω2) оси) - ϕ(ω). Кривую, которую ϕ(ω2) описывает конец этого вектора A(ω2) при изменении частоты ϕ(ω2) ω ∈ [0; ∞[ (иногда ω ∈ [−∞; ∞[ ), ω= ω1 называют годографом вектора. АФЧХ называют годограω= ω2 фом вектора передаточной функции. Рис. 23. Годограф вектора передаточной функции. На рис. 23 показана амплитудно-фазочастотная характеристика реального объекта. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Алгоритм построения частотных характеристик. Получить выражение для передаточной функции исследуемого объекта. В передаточной функции заменить p на jω. Освобождаемся от старших степеней j, используя следующие правила: j = j; j 2 = −1; j 3 = j 2 ⋅ j = − j; j 4 = 1; j 5 = j 4 ⋅ j = j и т. д. В знаменателе передаточной функции сгруппировать члены содержащие и не содержащие j. Освободиться от иррациональности в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножить на выражение, сопряженное выражению в знаменателе относительно j. В числителе передаточной функции сгруппировать члены содержащие и не содержащие j. Выделить Re(ω) и Im(ω). 22 8. Рассчитать все частотные характеристики и построить их графики. Пример. Пусть передаточная функция объекта имеет вид W ( p ) = 2p . 3p +1 В передаточной функции заменить p на jω: 2 jω 2 jω ⋅ (1 − 3 jω ) 2 jω − 6 j 2ω 2 6ω 2 + j ⋅ 2ω W ( jω ) = = = = 3 jω + 1 (3 jω + 1) ⋅ (1 − 3 jω ) 1 − 9 j 2ω 2 1 + 9ω 2 6ω 2 2ω 6ω 2 2ω W ( jω ) = + j ⋅ . Получили : Re( ) = , Im ( ω ) = . ω 1 + 9ω 2 1 + 9ω 2 1 + 9ω 2 1 + 9ω 2 Амплитудно-частотная характеристика имеет вид: 2  6ω 2   2ω  2 2ω  + A(ω ) = Re (ω ) + Im (ω ) =  = . 2  2  1 + 9ω 2  1 + 9ω   1 + 9ω  2 2 Задаваясь значениями ω из интервала [0; +∞[, строим амплитудную частотную характеристику (рис. 24). Таблица 2. Значения амплитуды при изменении частоты ω в интервале [0; +∞[. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 2 3 5 10 ω A(ω) 0 0.19 0.34 0.45 0.51 0.55 0.58 0.6 0.63 0.66 0.66 0.66 0.66 A(ω) 0.6 1 2 3 ω Рис. 24. Амплитудно-частотная характеристика. Фазочастотная характеристика имеет вид:  2ω Im(ω ) 1 + 9ω 2   1   ϕ (ω ) = arctg = arctg  ⋅ = arctg  . 2 2  Re(ω ) 1 9 6 + ω ω  3ω    Задаваясь значениями ω из интервала [0; +∞[, строим фазочастотную характеристику (рис. 25). Таблица 3. Значения фазы при изменении частоты ω в интервале [0; +∞[. 0 0.1 0.2 0.3 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5 6 10 15 ω 0.002 0.033 0.042 0.067 0.08 0.11 0.13 0.17 0.22 0.32 0.59 0.84 1.03 1.28 ϕ(ω) 23 ϕ(ω) π/2 ω -π/2 Рис. 25. Фазочастотная характеристика. Амплитудно-фазочастотная характеристика W(jω) строится в плоскости комплексного переменного и представляет собой годограф вектора, модуль и аргумент которого A(ω) и ϕ(ω) изменяются в зависимости от частоты (рис.24 и рис.25). Зная выражения для действительной Re(ω ) = 6ω 2 1 + 9ω 2 и мнимой Im(ω ) = 2ω частей, 1 + 9ω 2 строим АФЧХ (рис. 26). Таблица 4. Im( ω) ω=1/3 ω=0 ω=∞ 1/3 2/3 Re( ω) ω Re(ω) Im(ω) 13 13 13 1 35 15 ∞ 23 Рис. 26. Амплитудно-фазочастотная характеристика. Связь между динамическими характеристиками. Выше были рассмотрены различные способы описания динамических характеристик, каждый из которых имеет свои достоинства, определяющие область применения: - возможность и относительная простота экспериментального определения одних характеристик; - общность и удобство использования для математических выкладок и расчетов других. Основными формами представления динамических характеристик являются: 1) передаточная функция; 2) частотные характеристики (АЧХ, ФЧХ, АФЧХ); 3) переходные характеристики (кривая разгона и импульсная характеристика). 24 Любая из рассмотренных характеристик может быть определена, если известно дифференциальное уравнение объекта: передаточная функция рассчитывается по формуле (9); амплитудно-фазочастотная характеристика по формуле (16); уравнение кривой разгона является решением неоднородного дифференциального уравнения при постоянной правой части. В свою очередь существуют методы, позволяющие определить коэффициенты дифференциального уравнения по экспериментальным динамическим характеристикам, например по кривой разгона. Из рассмотренных характеристик экспериментальным путем можно определить АЧХ, ФЧХ и кривую разгона. Существует взаимосвязь между переходными характеристиками. Дельтафункция δ(t) есть производная от единичного ступенчатого воздействия, т.е. δ (t ) = 1′(t ) . Тогда, вследствии линейности объекта, импульсная переходная характеристика является производной от кривой разгона, т.е. t w(t ) = h′(t ) или h(t ) = ∫ w(t )dt . Таблица 5. Иллюстрация связи между основными динамическими характеристиками. d n y (t ) d n −1 y (t ) dy (t ) An A A + + K + + A0 y (t ) = 1 1 n − dt dt n dt n −1 Дифференциальное уравнение = Bm d m x (t ) dt m или + Bm −1 d m −1 x(t ) + K + B1 dt m −1 A( p) y ( p ) = B( p ) x( p ), dx(t ) + B0 x(t ) dt где A( p ) = An p n + An −1 p n −1 + K + A1 p + A0 ; B( p) = Bm p m + Bm −1 p m −1 + K + B1 p + B0 при нулевых начальных условиях dy(t ) y (0) = 0; dt Дифференциальное уравнение 1 2 Передаточная W ( p) = функция (W(p)) Амплитуднофазочастотная W ( jω ) = характеристика (W(jω)) 1 2 B( p ) A( p ) B ( jω ) A( jω ) t =0 = 0; K; d n −1 y (t ) dt n −1 Передаточная функция (W(p)) Кривая разгона (h(t)) 3 4 - Подстановка p ↔ jω t =0 W ( p ) = p ⋅ h( p ) W ( p) = = jω ⋅ h ( jω ) =0 Импульсная переходная характеристика (w(t)) 5 W ( p ) = w( p ) W ( jω ) = ∞ = ∫ w(t ) ⋅ e − jωt dt 3 4 5 25 h(t ) = Кривая разгона (h(t)) Решение при x(t)=1(t) Импульсная переходная характеристика (w(t)) Решение при x(t)=δ(t) W ( p )  = L−1    p  w(t ) = = L−1{W ( P)} t - h(t ) = ∫ w(t )dt w(t ) = h′(t ) - Типовые элементарные звенья. Реальные промышленные объекты управления обычно являются весьма сложными системами. Однако, в ряде случаев при их исследовании можно не учитывать нелинейные свойства этих объектов и распределенность параметров, т.е. рассматривать их как линейные динамические системы с сосредоточенными параметрами. При таком упрощении любой объект может быть представлен как сочетание определенным образом связанных между собой простейших детектирующих звеньев (т.е. таких что, выход каждого звена зависит только от его входа и не зависит от выходной координаты последующего звена). Элементарное звено – это составной элемент структурной схемы, имеющий один вход и один выход и описываемый дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Выделяют следующие типовые звенья: 1) усилительное (безинерционное) звено; 2) интегрирующее звено; 3) дифференцирующее звено (выделяют идеальное и реальное); 4) апериодическое звено I-го порядка или инерционное звено I-го порядка; 5) апериодическое звено II-го порядка (выделяют инерционное звено II-го порядка и колебательное); 6) звено чистого запаздывания. При рассмотрении характеристик звеньев придерживаются следующей последовательности: 1) уравнение связи звена; 2) передаточная функция; 3) частотные характеристики; 4) переходные характеристики; 5) пример физической реализации. Понятие устойчивости. Под устойчивостью понимают способность системы восстанавливать исходное состояние равновесия после снятия внешнего возмущения. Различают три типа систем: 1) устойчивые система - это системы, которые, будучи выведены из состояния равновесия каким-либо внешним возмущением, после снятия этого возмущения возвращаются в исходное состояние равновесия (рис. 27 а); 2) нейтральные системы - системы, которые после снятия возмущения приходят в состояние равновесия, отличное от исходного; 26 3) неустойчивые системы - такие системы, в которых не устанавливается равновесия после снятия возмущения (рис. 27 а) б) б). Пусть система находилась в равновесии (рис. 28). В момент времени t1 под действием внешнего возмущения система была выведена из этого состояния. Движение системы под действием возРис. 27. а - пример устойчивой системы; б – неустойчивая система мущения называют вынужденным (xB(t)). Затем, в некоторый момент времени t=0 (принятое за начало отсчета), возмущение было снято или скомпенсировано. Начинается свободное движение системы (xC(t)). Переходный процесс h(t)=xB(t)+xC(t). Причем, если lim xc (t ) = 0 - система устойчивая, lim xc (t ) = const t →∞ система нейтральная, lim xc (t ) = ∞ - система неустойчивая. t →∞ t →∞ h(t) h(t) неустойчивая система xB(t) xC(t) нейтральная система t t1 устойчивая система Рис. 28. К понятию устойчивость систем. t1 - время нанесения возмущения; xB(t) - вынужденное движение системы; xC(t) - свободное движение системы. • x3 • xk • xk −1 • x1 Im • x2 • xi Re • x4 Рис. 29. К критерию Ляпунова: xi - корни характеристического уравнения. Критерии устойчивости. Критерии устойчивости бывают алгебраические и частотные. Все они базируются на обобщенном критерии Ляпунова. Критерий Ляпунова. Формулировка критерия. Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы является условие, когда все вещественные корни характеристического уравнения системы, а также действительные части комплексных корней, отрицательны. Если хотя бы один из кор- 27 ней положителен - система неустойчива; если равен 0 - система находится на границе устойчивости (рис. 29). Мнимая ось Im является границей устойчивости. Однако пользоваться этим условием на практике для оценки устойчивости реальных систем оказывается достаточно сложно. Это связано с тем, что реальные промышленные системы описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка или содержат звенья чистого запаздывания, так что нахождение корней характеристического уравнения представляет трудную задачу. Для таких систем применяются следующие критерии устойчивости: - алгебраический критерий Рауса-Гурвица; - частотный критерий Михайлова; - амплитудно-фазочастотный критерий Найквиста. Алгебраический критерий устойчивости (Критерий Рауса-Гурвица). Критерий Рауса-Гурвица применяется для определения устойчивости системы, когда известно характеристическое уравнением. Характеристическое уравнение - знаменатель передаточной функции. Формулировка критерия. Необходимым условием устойчивости линейной системы является условие - все коэффициенты характеристического уравнения положительны или 0; достаточным условием устойчивости линейной системы является условие - все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения, положительны. Если хотя бы один из определителей равен 0 - система находится на границе устойчивости. Если какой-либо из определителей меньше 0 - система не устойчива. Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид: A0 p n + A1 p n −1 + K + An −1 p + An = 0 Необходимое условие устойчивости: A0 > 0, A1 > 0, …, An-1 > 0, An > 0. Достаточное условие устойчивости: A1 A3 A5 A1 A3 ∆1 = A1 > 0; ∆ 2 = > 0; ∆ 3 = A0 A2 A4 > 0; K; ∆ n > 0. A0 A2 0 A1 A3 Правило составления определителей. В главную диагональ определителя n-го порядка записываются все коэффициенты, начиная с первого. Столбцы матрицы вверх от главной диагонали заполняются коэффициентами с порядковыми номерами по возрастанию индексов, вниз - по убыванию индексов. Все элементы определителя, индексы которых больше порядка характеристического уравнения и меньше 0, заполняют нолями. Пример 1. Исследовать устойчивость системы, характеристическое уравнение которой имеет вид: 3 p 4 + 4 p 3 + 4 p 2 + 2 p + 1 = 0 . Необходимое условие устойчивости: A0 = 3 > 0, A1 = 4 > 0, A2 = 4 > 0, A3 = 2 > 0, A4 = 1 > 0 . Достаточное условие устойчивости: ∆1 = 4 > 0; A1 A3 42 ∆2 = = = 16 − 6 = 10 > 0; A0 A2 3 4 28 A1 A3 0 420 ∆ 3 = A0 A2 A4 = 3 4 1 = 32 + 0 + 0 − 0 − 12 − 16 = 4 > 0; 0 A1 A3 0 4 2 A1 A3 0 ∆4 = 4200 A0 A2 A4 0 3 410 = 1 ⋅ ∆ 3 = 4 > 0. 0420 = A1 A3 0 A0 A2 A4 0 3 41 Вывод: все условия выполнены, система устойчива. Пример 2. Исследовать устойчивость системы, характеристическое уравнение которой имеет вид: 3 p 4 + 4 p 3 + 4 p 2 + 2 p = 0 . Необходимое условие устойчивости: A0 = 3 > 0, A1 = 4 > 0, A2 = 4 > 0, A3 = 2 > 0, A4 = 0 . Достаточное условие устойчивости: ∆1 = 4 > 0; ∆2 = A1 A3 A0 A2 = 42 34 A1 A3 0 = 16 − 6 = 10 > 0; 420 ∆ 3 = A0 A2 A4 = 3 4 0 = 32 + 0 + 0 − 0 − 12 − 0 = 20 > 0; A1 A3 0 ∆4 = 042 A1 A3 A0 A2 A4 0 A1 A3 0 4200 = 3400 0420 = 0 ⋅ ∆ 3 = 0. 0 A0 A2 A4 0 3 4 0 Вывод. Так как один из определителей ∆ 4 = 0 , а все остальные определители положительны, система находится на границе устойчивости. Пример 3. Исследовать устойчивость системы, характеристическое уравнение которой имеет вид: 3 p 4 + 4 p 3 + 4 p 2 + 1 = 0 . Необходимое условие устойчивости: A0 = 3 > 0, A1 = 4 > 0, A2 = 4 > 0, A3 = 0, A4 = 1 > 0 . Достаточное условие устойчивости: ∆1 = 4 > 0; A1 A3 40 ∆2 = = = 16 − 0 = 16 > 0 ; A0 A2 3 4 29 A1 A3 0 400 ∆ 3 = A0 A2 A4 = 3 4 1 = −16 =< 0. 0 A1 A3 0 4 0 Вывод. Система неустойчива, так как ∆ 3 < 0 . Дальнейшее исследование не имеет смысла, так как независимо от знака остальных определителей, система будет неустойчивой. Частотный критерий Михайлова. Так же как и алгебраический критерий, частотный критерий применяется в тех случаях, когда задано характеристическое уравнение системы A0 p n + A1 p n −1 + K + An −1 p + An = f ( p ) . Обозначим полином, стоящий в левой части характеристического уравнения, через D(p), т.е. D( p ) = A0 p n + A1 p n −1 + K + An −1 p + An . Заменим p на jω. Получим вектор характеристического полинома: D( jω ) = A0 ( jω ) n + A1 ( jω ) n−1 + K + An−1 ( jω ) + An = Re( D( jω )) + j Im( D ( jω )) . При изменении ω от 0 до ∞ вектор D(jω) опишет кривую, называемую годограф Михайлова. Формулировка критерия. Система будет устойчива в том случае, если годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ∞ начинается на положительной части действительной оси комплексной плоскости, проходит последовательно против часовой стрелки n квандрантов плоскости, нигде не обращается в 0 и не проходит через начало координат (n - порядок характеристического уравнения системы). Если годограф проходит через начало координат комплексной плоскости, то система находится на границе устойчивости, если нарушается хотя бы одно из условий критерия - система неустойчива. На рис. 30 приведены примеры годографов Михайлова D(jω). Im Im D(jω) n=2 б) n=1 a) n=3 n=2 Re Re n=3 n=4 ω=0 ω=0 Рис. 30. Годограф Михайлова: а) системы устойчивые, б) системы неустойчивые. Пример. Определить устойчивость системы, характеристический полином которой имеет вид: D(p)=2p3+9p2+13p+6. Заменяем p на jω, избавляемся от старших степеней j и группируем слагаемые, содержащие и не содержащие j: 30 D(jω) = 2(jω) +9(jω) +13 jω+6 = -2 jω -9ω +13 jω+6 = (6-9ω2)+j(13ω-2ω3). Выделяем действительную и мнимую части: Re = 6-9ω2; Im = 13ω-2ω3. Задаваясь частотой ω из интервала [0; ∞[, строим годограф Михайлова (рис. 31): 1) ω=0 Re=6 Im=0 (годограф начинается на Im положительной части действительной оси Re); 9.2 ω=0.82 2) Re = 0 ⇒ 6-9ω2 = 0 ⇒ ω = 0.67 = 0.82 ; Im ω =0.82 = 13 ⋅ 0.82 − 2 ⋅ (0.82) 3 = 9.2 > 0 (годо-52.5 ω=2.52 ω=0 граф начинает поворачиваться против часовой стрелки и пересекает мнимую ось Im); 3 2 6 Re 3) Im=0 ⇒ 13ω-2ω = 0; ω(13-2ω ) = 0; ω1=0; ω 2,3 = 6.5 = ±2.52 ; ω→∞ при ω=2.52 Re = 6-9⋅(2.52)2 = -52.5 < 0 (годоРис. 31. Годограф Михайлова. граф продолжает поворачиваться против часовой стрелки, пересекает действительную ось Re, проходит 3 квадранта и при ω → ∞ остается в третьем квадранте, что соответствует порядку характеристического полинома, т.е. ω→∞, Re → - ∞, Im → ∞). Вывод. Все условия критерия Михайлова соблюдены, система устойчива. Амплитудно-фазовый критерий x y W(p) Найквиста. Амплитудно-фазовый критерий Место разрыва Найквиста служит для определения “-” системы ≈ устойчивости замкнутой системы, охваченной отрицательной статической Wос(p) обратной связью, по АФЧХ разомкну3 2 3 2 Рис. 32. Пример системы с обратной связью. Im W(ωj) той системы (рис. 32). Статическая отрицательная обратная связь имеет передаточную функцию WОС=-1. Re Формулировка критерия. Если разомкнутая система устойчива, -1 Устойчива то замкнутая система будет устойчива, если амплитуднофазочастотная характеристика разомкнутой системы не охваНа границе Неустойчивая тывает на комплексной плоскости точку с координатами (-1; устойчивости j0). Если АФЧХ проходит через точку (-1; j0), то система нахоРис. 33. Амплитудно-фазовый критерий Найквиста. дится на границе устойчивости, если охватывает - то система неустойчивая (рис. 33). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 31 Литература. Под редакцией Е.Б.Карнина «Автоматизация технологических процессов пищевых производств». 2-е издание. «Агропромиздат», - 1985г. Под редакцией Л.Н.Плужникова «Автоматизация технологических процессов легкой промышленности». из-во «Высшая школа». Москва.: - 1991г. Под редакцией .Е.Г.Дуринкова. «Автоматическое управление в химической промышленности». из-во «Химия». Москва:- 1987г. Балахирев В.С., Володин В.М., Цирлин А.М. Оптимальное управление процессами химической технологии. «Химия». Москва:-1978г. Ануфриев В.В., Демидов Е.Я., Сербулов Ю.С. Автоматика и автоматизация производственных процессов пищевой промышленности: Уч. Пособие. - Воронеж: изд-во Воронеж. гос. ун-та, 1983. - 176 с. Полоцкий Л.М., Лапшенков Г.И. Автоматизация химических производств. Теория, расчет и проектирование систем автоматизации. - М.: Химия, 1982.-296 с. Теория автоматического управления: Учеб. для вузов. В 2-х ч. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления / Бабаков Н.А., Воронов А.А., Воронова А.А и др.; Под ред. Воронова А.А. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1986. - 367 с. Промышленные приборы и средства автоматизации: Справочник / Под. ред. В.В. Черенкова - Л.: Машиностроение, 1987. - 847 с. Емельянов А.И., Каплин О.В. Проектирование автоматизированных систем управления технологическими процессами. - М.: Энергия, 1983. - 547 с. Патрикеев В.В., Сербулов Ю.С. Специальные исполнительные устройства химической промышленности. - Воронеж: изд-во Воронеж. Гос. ун-та, 1982.-276с.