Ряды Фурье; скалярное произведение функций

1 IV. Ряды Фурье 4.1. Скалярное произведение функций Для функций, заданных на отрезке [ ] и принимающих веществен- ные значения, определим скалярное произведение ( ) ∫ ( ) ( ) В случае комплекснозначных функций над вторым множителем в интеграле ставится знак комплексного сопряжения ( ( ) Напомним, что если ( ) ( ) ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ), то ( ) ( ) ( ). Здесь ( ). Свойства (аксиомы) скалярного произведения: 1) ( ) 2) ( 3) ( 4) ( ( ) (в комплексном случае ( ) ( ) ) ) ( ), ( ) ( (̅̅̅̅̅̅̅) ), ) ), . Покажем, исходя из этих аксиом, что ( ) ( ) ( ) Вещественный случай: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) Комплексный случай: ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) Здесь, помимо аксиом, использовался тот факт, что комплексное сопряжение суммы равно сумме комплексных сопряжений. С числовым множителем в аксиоме 3) ситуация другая. Вещественный случай: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Комплексный случай: ( (̅̅̅̅̅̅̅̅̅) ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) (̅̅̅̅̅̅̅) ( ) Здесь использовался тот факт, что комплексное сопряжение произведения равно произведению комплексных сопряжений. Наличие скалярного произведения позволяет ввести понятие нормы функции ‖ ‖ √( ( ). Запишем норму с помощью интеграла ) ∫ ( ) ( ) ‖ ‖ ∫ | ( )| (∫ | ( )| ) Наличие в формуле для нормы модуля функции позволяет писать её одинаково как в вещественном, так и в комплексном случае. Для данной нормы используется название среднеквадратичная норма. Есть и другие способы задания нормы функции, например, равномерная норма для непрерывных функций: ‖ ‖ [ | ( )| ] При записи среднеквадратичной нормы используется обозначение ‖ ‖ , но мы будем писать просто ‖ ‖, поскольку при изучении рядов Фурье нам понадобится только среднеквадратичная норма. В курсе линейной алгебры с помощью аксиом скалярного произведения доказывается неравенство Коши – Буняковского |( )| ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ и неравенство треугольника ‖ ‖ ‖ Скалярное произведение и норма в конечномерных пространствах задаются следующим образом: и 3 ( ) ( ‖ ‖ ∑ ) (∑ ̅̅̅̅ ‖ ‖ ∑ ) (∑ | | ) Упражнение. Выписать неравенства Коши – Буняковского и треугольника с помощью интегралов и сумм. В квантовой механике комплексное сопряжение к функции ( ) записывается в виде ( ), а скалярное произведение для функций, заданных на всей числовой оси, – с помощью скобок Дирака ⟨ | ⟩ ( ) ( ) ∫ Здесь также используется следующая терминология: ⟨ | – бра-вектор и | ⟩ – кет-вектор (левая и правая части слова bracket – скобка). 4.2. Ортогональные системы функций Говорят, что функции ( ) и ( ) ортогональны, если ( дем также использовать обозначение ( ) Определение. Система функций ( Если, кроме того, ( ) ) . Бу- ( ). ( ) называется ортогональной, если ) , то такая система функций называется орто- нормированной. Условие ортонормированности удобнее всего записывать с помощью символа Кронекера ( ) { Рассмотрим следующую задачу: дана ортогональная система функций ( ) и функция ( ), представленная в виде ряда ( ) ∑ ( ) 4 Требуется найти коэффициенты , называемые коэффициентами Фурье. Решается эта задача так. Умножив скалярно ряд для функции ( ) на ( ), сразу получим формулу для коэффициентов функцию ( ) ( ∑ ) ( ( ( : ) ) ) Пример. Функции образуют ортогональную систему на отрезке [ ] (или [ ]). ⎕ При доказательстве полезными оказываются следующие соотноше( ния: ) ( ) ( ( ) . Далее, ) ∫ ∫ | ∫ ( ( ) ) ‖ ‖ √ ( ) ∫ ( ‖ ( ∫( ( Соответственно, | √ . ( Аналогично ( ) ) получим ‖ ‖ √ , .█ Упражнение. Самостоятельно проделать выкладки для ( ( ) ) )| ∫( )| ‖ ) ). ), 5 4.3. Ряд Фурье для отрезка [ ]. Ядро Дирихле Пусть функция ( ) непрерывна на отрезке [ ] или имеет конечное число точек разрыва I рода. Поставим ей в соответствие ряд Фурье ( ) ∑( где коэффициенты ряда ) определяются формулами ∫ ( ) ( ( ) ) ) ( ) ( ∫ ( ) ( ( ( ) ( ) ) ) ∫ ( ) ( ( ( ) ( ) ) ) Рассмотрим частичную сумму ряда ( ) ∑( ) ( ) выражения для коэффициентов Подставим в лах переменную интегрирования ( ) ∫ ( )( ∫ ( ) ( на переменную : ∑( ( ∑ ( Функция двух переменных ( ) , заменив в интегра- )) )) ∫ ( ) ( ) ), определяемая равенством ( ∑ ( )) называется ядром Дирихле. Особенность рядов Фурье состоит в том, что для данной суммы косинусов получается явная формула: 6 ( )( ( ) ) Для доказательства рассмотрим сумму Умножим на и воспользуемся формулой ( ) ( ) Получим ( ) ( ) ( ) ( ) Таким образом, ( ( ) ) Вернёмся к ядру Дирихле ( ) ( ( )( ) ( ) )( ) Это завершает вывод формулы. Подведём итоги. Частичная сумма ряда Фурье задаётся формулой ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) Укажем одно свойство ядра Дирихле. Выберем при ( ) . Соответственно, ∫ ( ) В ряде учебников множитель этот вариант, чтобы интеграл от ( ∫ . Тогда , , )( ) не включают в ядро Дирихле. Мы выбрали ( ) по отрезку [ ] равнялся 1. 7 4.4. Ряд Фурье в комплексной форме Ряд Фурье можно записать в следующем виде ( ) ∑ где коэффициенты ряда ∫ ( ) ( ( ( ) ( ) ) ) При этом для вещественных и комплексных коэффициентов Фурье справедливы соотношения Докажем эти утверждения. Из формулы Эйлера следует, что Для этих формул также используется название формулы Эйлера. Вернёмся к ряду Фурье ( ) ∑( ∑ ) ( ) ∑ ( ) Заметим, что Следовательно, ( ) ∑ Теперь выведем формулу для ∑ : ∑ 8 ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )( ) ∫ ( ) Все утверждения данного пункта полностью доказаны. 4.5. Ряд Фурье для произвольного отрезка Пусть ( ) ( ) [ ], т.е. ( ) – чётная функция. Тогда ∫ ( ) ∫ ( ) Заметим, что в определение чётности входит симметричность относительно нулевой точки области определения ( ). Пусть теперь ( [ ) ( ) ], т.е. g( ) – нечётная функция. Тогда ∫ ( ) Если заданная на отрезке [ ( ) ] функция ( ) – чётная, то функции также чётные, а функции ( ) – нечётные. Поэтому и мы получим ряд Фурье по косинусам ( ) ∑ ∫ ( ) Для нечётных функций ∫ ( ) , и мы получим ряд Фурье по синусам ( ) ∑ ∫ ( ) , 9 В случае произвольного симметричного отрезка [ ] меняется орто- гональная система тригонометрических функций. Рассмотрим функции . Период этих функций , т.к. отрезок [ должен удовлетворять равенству ] должен содержать целое число периодов. С другой стороны, Соответствующий ряд Фурье имеет следующий вид ( ) ∑( ) где коэффициенты ряда определяются формулами ∫ ( ) ( ( ) ) ) ( ) ( ∫ ( ) ( ∫ ( ) ( ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( Для чётных функций ( ) ∑ ∫ ( ) ∫ ( ) для нечётных функций ( ) ∑ ∫ ( ) ) ) ) ) 10 В случае произвольного отрезка [ ( ) ] основной период . Ряд Фурье имеет следующий вид ( ) ∑( ) коэффициенты ряда определяются формулами ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) 4.6. Признаки сходимости рядов Фурье Определение 1. Функция ( ) называется абсолютно интегрируемой на отрезке [ ], если ∫| ( )| Непрерывная на отрезке функция абсолютно интегрируема, поскольку функция | ( )| также непрерывна. В силу свойства аддитивности определённого интеграла абсолютно интегрируемой будет и кусочно-непрерывная функция. Напомним, что функция называется кусочно-непрерывной, если она имеет конечное число точек разрыва I рода. Определение 2. Функция ( ) называется кусочно-дифференцируемой на отрезке [ ], если существует такое разбиение отрезка что на каждом из отрезков разбиения [ ] функция дифференцируема, а на концах отрезка существуют конечные односторонние производные ( ) ( ). 11 Поставим в соответствие функции ( ), заданной на отрезке [ ], ряд Фурье ( ) ∑( ) Сумма ряда ( ) является периодической функцией с периодом мы хотим добиться выполнения равенства ( ) . Если ( ), то такой же период должен быть и у функции ( ). В случае непрерывной функции ( ) из периодичности следует дополнительное условие: ( ( требуется выполнения равенства выполнено, то в точке ) ) ( ( ). Точнее говоря, ). Если это условие не (и в эквивалентной по периоду точке ) будет разрыв I рода. Приведём без доказательства следующее очень важное утверждение, используемое как для рядов Фурье, так и для преобразования Фурье. Теорема 1 (теорема Римана). Если функция ( ) абсолютно интегрируема на отрезке [ ], то ∫ ( ) ∫ ( ) Из этой теоремы, в частности, следует, что коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой функции стремятся к нулю, когда . Заме- тим, что теорема Римана верна и для бесконечного промежутка. Введём вспомогательную функцию ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Следующая теорема также даётся без доказательства. Теорема 2 (признак Дини). Пусть ( ) – абсолютно интегрируемая, периодическая функция. Тогда, если точка является точкой непре- рывности или точкой разрыва I рода ( ) и выполнено условие ∫ | ( )| 12 то ряд Фурье ( ) сходится в точке ( к значению ) ( ) В частности, в точках непрерывности, ряд Фурье сходится к ( ). и– Заметим, что в точках ряд Фурье сходится к значению ( ) ( ) Для кусочно-дифференцируемой функции условия теоремы 2 выполнены, поэтому справедливо ( ) – непрерывная, кусочно-дифференцируемая, Следствие. Пусть периодическая функция. Тогда её ряд Фурье сходится во всех точках числовой оси к самой функции. Опишем кратко схему доказательства теоремы 2. Ключевым моментом является тот факт, что частичная сумма ряда Фурье может быть записана с помощью ядра Дирихле ( ) Для фиксированной точки ∫ ( ) ( ) обозначим ( ) ( ) Поскольку ядро Дирихле удовлетворяет равенству ∫ ( ) )( ( ∫ ) то справедлива формула ( ) ∫ ( ) ∫ ( ( ) ) ∫ ( ) ( Осталось воспользоваться теоремой Римана (теоремой 1). ) 13 4.7. Скорость убывания коэффициентов ряда Фурье в зависимости от гладкости функции Предположим, что у нас выполнены условия следствия из теоремы 2 предыдущего пункта. Тогда мы можем записать равенство ( ) ∑( ) С практической точки зрения важную роль играет скорость сходимости данного ряда. Постановка вопроса такая: сколько слагаемых ряда надо оставить, чтобы получить требуемую точность? Покажем, что чем более функция ( ) гладкая, тем быстрее стремятся к нулю коэффициенты ряда Фурье. ( ) можно Предположим, что ряд Фурье функции раз почленно дифференцировать. Заметим, что у гладкой периодической функции значения производных на концах отрезка должны быть согласованы: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Вычислим первую производную ( ) ∑( ) Из сходимости ряда следует, что при ( ) Соответственно, для ( ) ( ) , т.е. ( ) -ой производной ∑( ( ) Из сходимости ряда следует, что ( ) ( ( )) при , т.е. ) Если из исходной функции вычесть вспомогательную функцию, имеющую такие же точки разрыва, то сходимость ряда Фурье ускорится. Этот приём часто используется в практических задачах. 14 4.8. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля Снова рассмотрим общую ситуацию, когда на отрезке [ ( ) тонормированная система функций ( ) ( ) ] задана ор( ) . Напом- ним, что условие ортонормированности записывается с помощью символа Кронекера так: ( ) . Предположим, что данная система функций полна, т.е. любую функцию ( ) можно представить в виде ряда Фурье ( ) ( ) ∑ ( ) Здесь не обсуждаются классы функций, которым должны принадлежать ( ) ( ), а также характер сходимости ряда Фурье. и Два примера ортонормированных систем функций, заданных на отрезке [ ], были указаны ранее: ) ) √ √ √ √ В математической физике используются и другие системы функций, например, функции Эрмита, сферические функции и т.д. Теорема (неравенство Бесселя). Пусть ( ная система функций, Тогда для любого справедливо неравенство Умножим скалярно разность ( ) ) ( ‖ ‖ ( ) част чную сумму яда Фу ье ( ) ( , – ортонормирован- ) – коэффициенты Фурье функции ( ). ∑| | ⎕ Обозначим че ез ( ) ) ∑ ( ( ) ∑ ( ) на функции ) ∑ ( ) , 15 Таким образом, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Поэтому для квадратов норм этих функций справедливо равенство, являющееся аналогом теоремы Пифагора из школьной геометрии, ‖ ‖ Следовательно, ‖ ‖ ‖ ‖ ( ∑∑ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ . Осталось получить формулу для ‖ ( ) ) ‖ (∑ ∑ ( ) ∑ (∑ ) ‖ : ( )) ∑| | ∑ █ Применяя такой же приём к бесконечному ряду ( ) ∑ ( ) получим равенство Парсеваля ∑| | ‖ ‖ Заметим, что в случае неравенства Бесселя мы имеем дело с конечным числом слагаемых, а в случае равенства Парсеваля требуется обосновать перестановку слагаемых в двойном ряде, поэтому мы оставляем это равенство без доказательства. Выпишем равенство Парсеваля для ряда Фурье на отрезке [ ( ) ∫ | ( )| ∑ Соответственно, для произвольного отрезка [ ( ) ∑ ] ∑ | | ] ∑ | | Упражнение. Выписать равенство Парсеваля для рядов Фурье в тригонометрической форме.