Ряд Фурье

Ряд Фурье Определение: тригонометрическим рядом называют ряд вида: В более простой записи: где Определение: функция f(x), определенная на всей числовой оси, называется периодической, если существует такое ненулевое число T, что при любом значении х выполняется равенство f(x+T) = f(x). Число Т называется периодом функции. Отметим некоторые свойства этой функции: 1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т; 2) Если функция f(x) период имеет период Т, то функция f(ax) имеет период ; 3) Если f(x) - периодическая функция периода Т, то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство Теорема: если функция f(x) определена и интегрируема на интервале [₋π; π], то её можно разложить в тригонометрический ряд, причём это разложение единственно. Доказательство: 1. Можно провести только зная некоторые тригонометрические интегралы. 2. Допустим, функция действительно раскладывается. Найдём коэффициенты разложения. Для разыскания коэффициента , умножим обе части равенства на и проинтегрируем. 3. По аналогии находим и , домножив равенство на : 4. Теперь найдём : Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части: Таким образом: На этом будем считать теорему доказанной. Теорема Дирихле (достаточное условие разложения функции в ряд Дирихле): Если 2π – периодическая функция f(x) на отрезке [₋π; π] удовлетворяет двум условиям: 1. f(x) – кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1 рода. 2. f(x) – кусочно-монотонна, т.е. монотонна на всём отрезке или отрезок можно разбить на конечное число интервалов монотонности. Тогда: ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках на этом отрезке и при этом: 1. В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с самой функцией: S(x) = f(x). 2. В каждой точке разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределу функций f(x) справа и слева: 3. В точках x = π и x = ₋π, т.е. на концах отрезка: Пример 1: разложить функцию в ряд Фурье на . Решение: 1. Данная функция удовлетворяет условиям теоремы. Найдем коэффициенты Фурье. 2. По формуле найдём : 3. Посчитаем и : 4. Следовательно, ряд Фурье имеет следующий вид: 5. По теореме Дирихле: а концах отрезка , т.е. в точках , которые являются точками разрыва первого рода (если считать искомую функцию периодической), будем иметь: 6. Проанализируем графики и построим график суммы ряда с учётом теоремы Дирихле. Рис 1. Искомая функция f(x) Рис 2. Первые 4 гармоники Рис 3. Частичная сумма первых четырёх членов Рис 4. Частичная сумма первых 20 членов ряда Рис 5. Сумма ряда Фурье Ответ: Пример 2: Разложить функцию в ряд Фурье на интервале . Решение: 1. Данная функция удовлетворяет условиям теоремы. Найдем коэффициенты Фурье. 2. Используя свойство аддитивности определенного интеграла, посчитаем коэффициент 3. Посчитаем и : 4. Следовательно, ряд Фурье имеет следующий вид: 5. По теореме Дирихле: на концах отрезка , т.е. в точках , которые являются точками разрыва первого рода, имеем: 6. Построим график суммы ряда с учётом теоремы Дирихле. Рис. 6. Искомая функция f(x) Рис. 7. Частичная сумма первых 9 членов ряда Рис. 8. Сумма ряда Фурье Ответ: Применение: Применение в электросвязи: