Развитие творческих способностей

РАЗВИТИЕ ТВОРЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ Аннотация. Развитие творческих способностей предполагает стратегическую ориентацию на инновационный характер обучения, с акцентом на исследовательскую составляющую и максимальное участие обучающихся в семинарах, конференциях, проектах, а также увеличение доли самостоятельной работы при условии индивидуального консультирования. В данном курсе рассматриваются современные формы обучения и их использование в процессе обучения математике, направленного на развитие творческих способностей обучающихся. “Если ученик в школе не научился сам ничего творить, то и в жизни он всегда будет только подражать, копировать, так как мало таких, которые бы, научившись копировать, умели сделать самостоятельное приложение этих сведений”. Л. Толстой Творческая деятельность – это, прежде всего, способ реализации личности, определенная интеллектуальная, поведенческая, деятельностная реакция на объективные условия, на проблемную ситуацию. Это особый вид человеческой деятельности, для которой характерны следующие признаки: разрешение проблемы, решение творческой (для конкретного субъекта) задачи. Творческий поиск начинается с осознания проблемы, еѐ формулирования, а заканчивается разрешением. Субъект открывает новый (для себя) способ решения творческой задачи, под которым понимается не только формирование навыков, умений, технологии деятельности, но и мотивационно-ценностные компоненты личности, интуиция, открытость для дальнейшего творчества. Творческая деятельность, как правило, предполагает рациональное комбинирование существующей информации, в результате чего появляется новое знание, расширяющее границы предшествующих. Для творчества необходимы личностные качества, творческие способности, ценностные ориентации. В настоящее времени сложилось несколько подходов к изучению творческого потенциала личности: 1) подход, в основе которого лежат представления о способностях человека, при этом творческий потенциал отождествляется с творческими способностями и определяется как интеллектуально-творческая предпосылка творческой деятельности; 2) деятельностно-организационный подход, где творческий потенциал рассматривается как синтетическое качество личности, характеризующее меру ее возможностей осуществлять деятельность творческого характера; 3) развивающий подход, сторонники которого творческий потенциал определяют как совокупность реальных возможностей, умений и навыков, обусловливающих соответствующий уровень развития личности; 4) онтологический подход, в рамках которого творческий потенциал рассматривается как характерное свойство индивида, определяющее меру его возможностей в творческом самоосуществлении и самореализации; 5) интегративный подход, представители которого творческий потенциал определяют как интегративное качество личности, отражающее потребность, готовность и возможность творческой самореализации и саморазвития; и др. Реализация компетентностного, исследовательского, творческого подходов в обучении, направленных на активизацию учебно-познавательной деятельности обучающихся, определяет необходимость применения таких организационных интерактивных форм, как «мозговой штурм», микропреподавание, осуществление взаимоконтроля в парах и малых группах, проект-задания, интеллект-карты, кейсы, диалоговое взаимодействие, участие в консультациях, приемы из образовательной технологии развития критического мышления (бортовой журнал, кластеры, маркировочная таблица и др.), а также следующих форм обучения: профориентационные лекции – посвящены практике работы специалистов в области математического образования, лекции о математических исследованиях и их особенностях; мастер-классы – творческие мастерские, в ходе которых обобщается и распространяется творческих опыт, идет поиск творческого решения математической проблемы всеми участниками, детально рассматриваются этапы исследовательской и аналитической работы на конкретных кейсах, особое внимание уделяется развитию саморефлексии и освоению нестандартных способов организации исследования; семинары-дискуссии – семинары, построенные в форме обсуждения прочитанных работ, материалов лекций, имеющие целью более полное понимание предмета обсуждения, многообразие его аспектов и взаимосвязей его частей с внешним миром, а также развитие навыков восприятия и изложения различных точек зрения, усвоения этики математической дискуссии; проектные семинары – семинары, предметом обсуждения которых является конкретная работа на любой стадии ее проведения – от замысла/плана до презентации и распространения результатов (одной из форм проектного семинара является «мозговой штурм»); предзащита проектно-исследовательской работы – в этой форме занятий обучающиеся апробируют свои способы презентации учебного исследования, а также имеют возможность получить предложения коллег, экспертов, рецензентов по улучшению работы; и др. Примером инновационной модели обучения математике может являться участие школьников в системе Математических кружков, реализуемых студентами вузов на волонтерской основе на базе опорных школ-партнѐров. При этом студенты получают возможность развития собственных профессиональных, твороческих компетенций в области дополнительного математического образования. Под процессом педагогического творчества в психолого-педагогической науке понимается процесс решения постоянно возникающих педагогических задач. Приведем критерии оценки педагогического творчества с точки зрения их полноты и объективности: 1) умение педагога переводить теоретические и методические положения в педагогические действия); 2) умение разрабатывать новые методики, формы, приѐмы и средства; 3) эффективное применение имеющегося опыта в новых условиях; 4) способность к рефлексивной оценке собственной деятельности и еѐ результатов; 5) способность к импровизации, основанной на знаниях и интуиции; 6) умение видеть «веер вариантов». Приведем примеры заданий или иных материалов, необходимых для оценки результатов обучения, характеризующих этапы формирования творческих компетенций педагога. Примеры вопросов для самостоятельной работы, в том числе групповой самостоятельной работы студентов педвуза: 1. Психолого-педагогические аспекты обучения математике в контексте перехода на новые образовательные стандарты (психодидактический подход). 2. Особенности конструирования компетентностных / контекстных / интерактивных / развивающих / исследовательских заданий в современных условиях развития математического образования. 3. Развитие творческих способностей обучающихся на уроках математики в специальных (коррекционных) классах (особенности обучения математике детей с ОВЗ / в условиях инклюзивного образования). 4. Приведите примеры учебных текстов, которые мотивируют изучение алгебры. 5. Представьте структуру метакогнитивного умственного опыта. Приведите примеры учебных математических текстов, обогащающих этот опыт. 6. Приведите примеры заданий по теме «Квадратные уравнения», которые способствуют: - развитию разных способов кодирования информации; установлению связей между понятиями; - организации учебнопознавательной деятельности с признаками понятий; - формированию умения контролировать учебно-познавательную деятельность. Примеры тестовых заданий Выберите несколько правильных ответов 1. Какие факторы влияют на постановку цели образования: 1. требования родителей 2. потребности общества 3. представления и стремления прогрессивно мыслящих людей 4. идеал человеческого воспитания 5. экономический уровень развития общества 6. требование христианских добродетелей 7. возможности учителей и воспитателей 8. физические и психологические возможности детей 9. 10. 11. 12. уровень цивилизованности общества идеология и политика государства уровень развития педагогической науки и практики возможности образовательного учреждения. Установите соответствие 2. Между списком моделей обучения элементами 1. Активизирующая модель 2. Диалогическая модель 3. Личностная модель 4. Обогащающая модель 5. Развивающая модель 6. Структурирующая модель 7. Формирующая модель 3. Между понятиями 1. Вариативность 2. Семинар 3. Математический диктант 4. Математическая задача и их ключевыми психологическими а. Личностный фактор б. Способы деятельности в. Познавательная активность г. Дидактическая единица д. Ментальный опыт е. Умственное действие ж. Диалог а. Принцип обучения б. Средство обучения в. Форма контроля результативности обучения г. Форма организации обучения Примерные виды аттестационных работ (к зачету) 1. Самоанализ профессиональной педагогической деятельности. 2. Рабочая программа учебного курса по математике. 3. Научно-методическая статья, подготовленная для публикации и выступления с докладом на научно-практической конференции по проблемам математического образования. 4. Педагогический проект (например, по разработке конспектов проблемных занятий по определенной теме школьного или вузовского курса математики). Вопросы для самопроверки, диалогов, обсуждений, дискуссий, экспертиз 1. Зачем обучающиеся ходят в школу: 1) Чтобы получить знания? 2) Чтобы освоить необходимый социальный опыт? 3) Чтобы хорошо сдать ЕГЭ и получить достойное высшее образование? Ответьте на эти вопросы исходя из задач интеллектуального воспитания обучающихся. 2. Перечислите элементы развивающего учебного текста. Приведите один пример такого текста. Примеры кейсов Кейс 1. Ученик допустил ошибку: Как бы вы построили работу с ним? Проанализируйте, какие затруднения испытывают обучающиеся при выполнении действий сложения, вычитания, умножения многозначных чисел. Предложите приемы работы учителя, которые могут помочь преодолеть эти затруднения. Назовите типичные ошибки школьников при делении многозначных чисел. Почему ученик делает эти ошибки? Подберите задания, которые помогут предупредить их возникновение. Разработайте задания, которые учат школьников самоконтролю при выполнении деления многозначных чисел. Кейс 2. Одним из способов активизации учебно-познавательной деятельности обучающихся, осознания проблем в развитии математики является обсуждение высказываний математиков, философов по поводу соответствующей проблемы. Когда систематизируются знания школьников о различных множествах чисел, можно предложить следующее задание. «Знаменитый немецкий математик Карл Гаусс писал: «Нисколько не опасаются вводить в общую арифметику дробные числа, хотя существует так много пересчитываемых вещей, в применении к которым дробь не имеет никакого смысла. Настолько же не следует отказывать отрицательным числам в правах, равных с положительными, потому только, что многие вещи не допускают противоположения. Реальность отрицательных чисел достаточно оправдывается тем, что в бесчисленных других случаях они находят подходящую основу». 1. Как вы понимаете это письмо, чем оно вызвано? 2. В каких ситуациях возможно использовать отрицательные числа? 3. Согласны ли вы с высказыванием Гаусса? Почему? 4. Приведите примеры использования отрицательных чисел. Выполняя задание, обучающиеся могут осознать значимость изучаемого понятия. Разработайте подобный кейс-проблематизация. Кейс 3. Актуализации правил выполнения тождественных преобразований и алгоритма решения линейных уравнений может служить следующее задание. «Познакомьтесь с решением одной из задач ал-Каши (XIV–XV вв.), представленным таблицей. Составьте комментарий к решению, используя современные обозначения. «Мы хотим такое число, что если удвоить его, прибавить к этому единицу, умножить сумму на три, прибавить к произведению два, затем умножить то, что получится, на четыре и прибавить к произведению три, получится девяносто пять». Решение задачи ал-Каши Решение ал-Каши Комментарии 1. Примем число за вещь. 2. Прибавим к результату удвоения единицу, получится две вещи и единица. 3. Умножим это на три, получится шесть вещей и три. 4.Прибавим к этому два, получится шесть вещей и пять. 5. Умножим это на четыре, получится двадцать четыре вещи и число двадцать. 6. Прибавим к этому числу три, получится двадцать четыре вещи и число двадцать три. 7. Это равно девяносто пяти. 8. Отбросим общее у приравниваемых, т.е. число двадцать три. 9. Останется, двадцать четыре вещи равны числу семьдесят два. Задача приведена к первой из простых. 10. Разделим число на число вещей, получится три. Это и есть неизвестное число. Что ал-Каши понимал под термином «вещь»? В каких строках проводится раскрытие скобок? Составьте алгоритм, по которому решает уравнение автор. Что, по вашему мнению, означают слова из текста «… отбросим общее у приравниваемых …»? 5. Приведите примеры уравнений, которые можно решить по этому правилу». После выполнения данного задания обучающимся 6 класса полезно задать вопрос: «Можно ли сказать, что ал-Каши при решении уравнения пользовался свойствами равенств? Если да, то, какими?» Это задание может служить средством закрепления введенного алгоритма решения линейных уравнений, а может предшествовать ему. Разработайте подобный кейс-история алгоритма. 1. 2. 3. 4. Приведем учебно-методические материалы, предназначенные для развития творческих способностей учащихся в рамках конкурса-игры “Кенгуру”. Игровая форма изучения математики делает привлекательными занятия, как для самых маленьких, так и для учащихся старших классов. При этом решение логических задач, предлагаемых на различных олимпиадах и математических конкурсах, часто оказывается очень трудным для учащихся. С другой стороны, элементарные логические навыки необходимы для успешного овладения школьной программой по математике, да и по другим предметам, и представляют собой базу для развития творческого мышления обучающихся. Конкурс «Кенгуру» возник в Австралии по инициативе известного австралийского математика и педагога Питера Холлорана и быстро распространился по странам и континентам. В России конкурс появился в 1994 году. Профессор Ю.В. Матиясевич привѐз из Франции варианты заданий для старших школьников, и конкурс был проведен под эгидой Санкт- Петербургского математического общества в нескольких школах СанктПетербурга. Количество участников конкурса в России росло очень быстро, с 300 человек в 1994 году. Сейчас Россия по количеству участников конкурса вышла на первое место в мире. Так же быстро расширяется и география конкурса, в нем принимают участие школьники практически всех регионов России. Томская область – одна из первых областей России, которые начали принимать участие в конкурсе «Кенгуру». ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. УРОКИ ВИЛЛИНЫ Когда Железный Дровосек, Элли, Страшила и Тотошка вывезли Льва с макового поля, друзья хотели сразу же двигаться дальше. Но Лев слишком ослабел после перенесенного испытания, поэтому было решено отдохнуть один – два дня. Друзья остановились на опушке леса, на невысоком холме, поросшем густой, ярко-зеленой травой. Железный Дровосек мигом соорудил маленький домик из жердей, в котором можно было переночевать. Солнце уже клонилось к закату, когда он закончил свою работу, в которой Элли и Страшила, как могли, помогали ему. Друзья разожгли костер неподалеку от своего домика и уселись вокруг огня. Солнце уже зацепилось за верхушки деревьев. В лесу кричали неведомые птицы. Подул холодный ветер. Все молчали, глядя на огонь. Элли вспомнила о своих друзьях в Канзасе, о маме и папе. Трусливый Лев и Тотоша дремали. Железный Дровосек стоял, опираясь на свой топор, и думал о невесте. Страшила что-то считал, загибая пальцы. И вдруг Тотошка насторожился, поднял свои остренькие уши и затявкал, Лев негромко зарычал. И тогда все увидели – из лесу вышел человек в белом и направился прямо к ним. А когда он приблизился к костру, все увидели, что это была добрая волшебница Виллина. Она сердечно приветствовала путников и уселась рядом с Элли и Тотошкой прямо на траву. Друзья долго рассказывали волшебнице о своих приключениях, о том, как Элли попала в плен к людоеду, о встрече с саблезубыми тиграми, о переправе через реку, о коварном маковом поле. Потом Элли попросила Виллину: «Расскажите нам что-нибудь интересное, пожалуйста». Виллина ответила, и тут начались беседы, которые с перерывами продолжались весь следующий день, и еще один день. Вот о чем они говорили. Виллина: Хотите, я задам вам задачу? На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду. Лжецы всегда лгут. Однажды встретились два жителя острова: Смит и Браун. Браун сказал: «По крайней мере, один из нас – лжец». Можем ли мы сказать, кто такой Смит – рыцарь или лжец, и кто такой Браун? Элли и Железный Дровосек, приходилось ли вам решать такие задачи? Элли: Нет, никогда! Железный Дровосек: Что-то не припоминаю. Элли: Вы сами придумали эту задачу? Виллина: О нет, дитя моѐ! Я узнала еѐ из моей волшебной книги, как и ещѐ много интересных вещей из математической логики. Дорога в тысячу миль начинается с первого шага. Элли: А что такое – математическая логика? Я совсем-совсем не знаю! Виллина: Это целое царство, царство истины, хотите отправиться туда? Но давайте, для начала, поговорим о высказываниях. Страшила: О высказываниях? А что это? Виллина: Ну вот, Элли сказала: «Я не знаю, что такое математическая логика». Это – высказывание. Страшила: Значит. Высказывание – это что-то про математическую логику? Виллина: Не обязательно. Вот еще два высказывания: «Число 6 делится на 3», «18 – простое число». Элли: Но ведь это неправда, что 18 – простое число! Число 18 делится на 2, на 3 – значит, это не простое число! Виллина: Верно, - высказывание: «18 – простое число», - ложное. А высказывание: «Число 6 делится на 3», - истинное. Как вы теперь понимаете, - что такое высказывание? Элли: Я не знаю, я ещѐ не поняла. Виллина: Вот ещѐ одно высказывание: «Если число оканчивается нулем, то оно делится на 5», «Если бы у меня не было сердца, я бы не был трусом». Это тоже высказывание. Тотошка: А вот еще: «Каждый охотник желает знать, где сидит фазан». Виллина: Ай да, Тотошка! Это очень хороший пример высказывания. Что же такое высказывание? Это и в самом деле предложение, но не всякое предложение. Это истинное или ложное предложение. Лев: А разве бывают не такие предложения? То есть такие, которые, и не истинные, и не ложные? Страшила: А можно мне сказать? Виллина: Конечно, говори. Страшила: Вот, например: «Который час?» Это предложение и не истинно, и не ложно, ведь оно ничего не утверждает. Виллина: Молодец! Ты хорошо сказал. Шаг второй. Виллина: Возьмем такое высказывание: «10 делится на 2, и 10 делится на 3». Истинно это высказывание или ложно? Элли: Ясно, что ложно. Виллина: А почему ты решила, что оно ложно? Элли: Потому что 10 не делится на 3. Виллина: Верно. Мы видим, что наше высказывание состоит из двух высказываний: «10 делится на 2», и ещѐ «10 делится на 3». Эти два высказывания соединены союзом «и». Полученное таким образом высказывание называется конъюнкцией этих двух высказываний. Когда же конъюнкция двух высказываний истинна? Страшила: Я думаю, что она истинна, тогда и только тогда, когда оба эти высказывания истинны. Виллина: Молодец! Но почему вместо слова «конъюнкция» ты сказал «она»? Это слово латинское. Оно означает «соединение». Элли: Значит конъюнкция – это соединение высказываний? Виллина: Да, соединение высказываний с помощью союза «и». Шаг третий. Страшила: А бывают другие высказывания, не конъюнкции? Виллина: Да, бывают. Вот например, скажите, когда произведение двух чисел a И b четное? Железный Дровосек: Позвольте, мне. Произведение a b четное, когда a – четное или b – четное. Например, a = 2, b = 3; a= 5, b = 4; a = 6, b = 8. Виллина: Прекрасно! Рассмотрим высказывание: «a – четно или b четно». Оно состоит из двух высказываний: «a – четно», «b четно», соединенных союзом «или». Такое составное высказывание назовем дизъюнкцией. Тотошка: А зачем придумали эти «конъюнки» и «дизъюнки»? Виллина: Видишь ли, Тотошка, очень длинно говорить: «Высказывание, состоящее из двух высказываний, соединѐнных союзом «или»». Гораздо проще сказать: «дизъюнкция». Шаг четвертый. А нельзя писать как-нибудь короче? Все очень длинно получается! «Число a – четное или число b четное». Виллина: Можно и немного короче. Будем писать вместо «и» такой «шалашик» , а вместо «или» - этот же знак, но перевернутый: . Вспомните, как в математике вы обозначали числа. Кто помнит? Элли: Мы обозначали числа цифрами. Виллина: Ну, хорошо, вспомним формулу «разность квадратов» Железный Дровосек: a 2 b 2 (a b)(a b) . Виллина: Превосходно! Что здесь обозначают буквы a и b? Элли: Числа. Виллина: Верно. А мы будем обозначать заглавными буквами A, B, C, P, Q, R – различные высказывания. Тогда высказывание «a – четно или b – четно» можно записать в виде: P Q. Это читаем так: «P или Q». Что здесь обозначает P, и что – Q? Страшила: Наверно, P обозначает: «a – четно», Q обозначает: «b – четно». Виллина: Давайте вспомним высказывание: «10 делится на 2 и 10 делится на 3». Каким образом можно записать это высказывание? Тотошка: Я думаю – Гав! – так: А В. Шаг пятый. Виллина: Итак, конъюнкцию мы записали в виде: А В. Это читается “А и В.” Когда же это высказывание А В истинно? Мы, ведь уже обсуждали. Элли: Может быть, это высказывание: А В – истинно , тогда и только тогда, когда А истинно, и В истинно. Виллина: Составим теперь такую таблицу. А 1. и и л л В и л и л А В и л л л Сверху в нашей таблице написаны А, В, А В. В следующей строке – под буквой А написано «и»; под В написано «и», и под А В также написано «и». Это означает, что когда А и В – истинные высказывания, тогда (А В) – также истинное высказывание. Из таблицы видно, что если хотя бы одно из высказываний А или В – ложно, то высказывание А В – ложно. Тотошка: А как называется такая таблица? Виллина: Она называется: Таблица истинности. Итак, мы записали таблицу истинности для конъюнкции. Есть какие-нибудь вопросы? Элли: А зачем нужна таблица истинности? Виллина: Видишь ли, эта таблица и представляет собой определение конъюнкции. Шаг шестой. Железный Дровосек: А можно мне записать таблицу истинности для дизъюнкции? Виллина: Пожалуйста, попробуй. Железный Дровосек: Что-то я не знаю, как подступиться к делу. Нарисуем, пожалуй, сначала таблицу: Здесь А и В могут быть истинными и ложными высказываниями. Поэтому первые два столбика мы заполним так: В А В и и и л л и л л Не знаю, как заполнить третий столбик. Виллина: Давайте рассмотрим высказывание: «Произведение двух чисел а и b, равно нулю, тогда и только тогда, когда, a = 0 или b = 0». Итак, условие того, что, a b 0 , состоит в следующем: «a = 0 или b = 0». Запишем это условие в виде P Q. Подумаем вместе, когда P Q ложно. Страшила: Конечно, когда, a 0 и b 0 , то есть, когда P – ложно, и Q ложно. Виллина: Итак, высказывание P Q ложно только в одном случае: P – ложно, Q – ложно. Железный Дровосек: Теперь я знаю, как заполнить третий столбик! 2. А А 3. и и л л В и л и л А В и и и л Шаг седьмой. Страшила: А у меня вот такой вопрос. Обозначим через P высказывание «m делится на n». А как тогда записать высказывание: «m не делится на n». Виллина: Это, ведь, все равно, что «неверно, что m делится на n». Ты согласен? Страшила: Я должен согласиться. Виллина: Давайте, договоримся обозначать отрицательную частицу «не» с помощью вот такого уголочка: . Тогда высказывание: «Неверно, что m делится на n запишется так: P . «Уголок» называется «отрицание», а высказывание P называется отрицанием P и читается “не-P”. Тотошка: Ещѐ одно обозначение! И зачем оно? Пойду-ка я погуляю! (уходит). Элли: А можно рассмотреть ещѐ какой-нибудь пример? Возьмем вот такое высказывание: « a b 0 ». А как записать тогда высказывание: a b 0 ? Виллина: Очень хороший вопрос! Ну, во-первых, такая запись: a b 0 сама по себе хороша. Но можно записать то же самое с использованием нашего «уголка»: (a b 0) Это можно читать так: «неверно, что a b 0 ». Кстати, когда a b 0 , мы уже говорили об этом. Железный Дровосек: Позвольте я отвечу, уважаемая Виллина. Сказать a b 0 это все равно, что сказать: (а = 0) или (b = 0). Элли: Это ведь можно записать так: (а = 0) (b = 0). Виллина: Подумаем теперь, что можно сказать о числах a и b, если (a b 0) ,т.е. неверно, что. a b 0 ? Страшила: Это значит, что а 0 и b 0. Это можно записать так: (а 0) (b 0). Виллина: Итак, высказывание (a b 0) , можно заменить высказыванием: (a 0) (b 0) . Будем называть такие высказывания равносильными. Но само высказывание a b 0 можно заменить таким высказыванием: (а=0) (b=0) . Поэтому отрицание высказывания (а=0) (b=0) равносильно высказыванию ((а=0) (b=0)) (a 0) (b 0) . Иначе: высказывание равносильно такому высказыванию: (a 0) (b 0) . Страшила: Давайте обозначим а=0 через А, b=0 через В. Тогда ( A B) равносильно A B. Элли: Как интересно! Выходит, что отрицание переводит «или» в «и»! Виллина: Вспомним, что А В мы называем дизъюнкцией высказываний А и В. В свою очередь, A B – это конъюнкция высказываний A и B . Страшила: Так, так… Что же получается?! Отрицание дизъюнкции высказываний равносильно конъюнкции отрицаний этих высказываний. Железный Дровосек: Да ты у нас прямо Страшила Мудрый! Лев: А помнишь, Элли, как я спросил про собачку: верно ли, что она из железа или набита соломой? «Она из железа или набита соломой» - это ведь, как я понимаю, дизъюнкция. Элли: А я ответила: «Ни то и ни другое. А это ведь кон…, кон… Страшила: Конъюнкция отрицаний! А что будет, если взять отрицание конъюнкции? Элли: Что-что? Страшила: Ну, вот конъюнкция: А В – «А и В», а это еѐ отрицание: ( A B) – «неверно, что А и В». Что это значит? Железный Дровосек: Это, пожалуй, означает «не – А или не – В», то есть A B. Виллина: Ты совершенно прав, мой друг! Итак, посмотрим, что же получилось A B. ( A B) все равно что A B. Страшила: Отрицание дизъюнкции равносильно конъюнкции отрицаний! Железный Дровосек: Теперь мы знаем, что такое отрицание конъюнкции и отрицание дизъюнкции. А что значит отрицание отрицания? Элли: Ну вот, пусть А это высказывание «страшила самый мудрый». Тогда ( A ) означает: «неверно, что страшила самый мудрый». Тогда ( A ) означает: «неверно, что неверно, что страшила самый мудрый». Но ведь это означает, что «страшила самый мудрый». Страшила: Весьма польщен таким примером. Но давайте посмотрим, что же получается: ( A ) тоже самое, что просто А! Виллина: Запомним, что ( A ) равносильно А. Шаг восьмой. Тотошка: (вбегает, облизываясь, с довольной мордочкой). Гав – Гав! А вы все про конъюнки – дизъюнки! А задачу вам решить слабо? Элли: Какую задачу? Татошка: Про рыцарей и лжецов, вот какую! Виллина: Теперь, пожалуй, мы сможем решить эту задачу. Кто помнит еѐ условие? Страшила: Такую задачу забыть трудно. На острове жили лжецы и рыцари. Лжецы всегда лгали, а рыцари говорили только правду. И вот, однажды повстречались двое – как же их звали-то? Тотошка: А я помню. Я все помню! Страшила: Ну, так как же их звали? Тотошка: Смит и Браун, гав –гав! Виллина: Молодец, Тотошка! Продолжай, Страшила. Страшила: Браун сказал: «По крайней мере, один из нас - лжец». Надо узнать кто такой Смит – лжец или рыцарь, и кто такой Браун. Вот и вся задача! Виллина: Очень хорошо. Давайте обозначим высказывание: «Смит – рыцарь» через А, а высказывание «Браун – рыцарь» - через В. Теперь надо узнать, верно ли А и верно ли В. Лев: А как тогда записать, что Смит лжец? Элли: Это просто: A . А вот B означает: «Браун – лжец». Браун сказал: «По крайней мере, один из нас – лжец». Это можно записать так: A B , то есть: «Браун – лжец; или Смит – лжец». Страшила: Ну, теперь все ясно! Если Браун рыцарь и всегда говорит правду, то верно A B . Но, раз он рыцарь, то верно А, значит A – ложно. Но, ведь, дизъюнкция A B – истинна, значит, B – истинно. А это значит, что «Смит – лжец». Железный Дровосек: Позвольте, теперь я хочу решить дальше. Если же Браун лжец, то верно A . Но лжец всегда говорит неправду, а Браун сказал B) . Что же дальше? A B . Значит, это неверно. Поэтому: верно ( A Страшила: Но это же отрицание дизъюнкции! «Отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний», значит, верно, что A B . Но A равносильно А, B равносильно В. Поэтому, верно, что А В. Что же получается? Если Браун лжец, то есть, истинно A , то истинно А В. Но если истинно А В, то истинно А ! Что же выходит?! Если истинно A , то истинно А! То есть, если Браун – лжец, то Браун – рыцарь! Но, ведь, такого быть не может! Выходит, что Браун – не лжец, значит Браун – рыцарь! Элли: Скажи же, Тотошка, кто такой Смит? Сможешь ты сказать? Тотошка: Ты думаешь, что я совсем глупый? Раз Браун рыцарь, то Смит – лжец. Виллина: Ну, вот и все решение. Поздравляю вас, друзья мои! Шаг девятый. Тотошка: Мы решили задачу о рыцарях и лжецах – значит, мы знаем математическую логику. Виллина: Мы сделали только несколько первых шагов. Мы даже не знаем как следует, какие бывают высказывания. Тотошка: Например? Виллина: Например, то, что сказал ты! «Мы решили задачу о рыцарях и лжецах – значит, мы знаем математическую логику». Скажи, пожалуйста, это дизъюнкция? Тотошка: Гав! По-моему, нет. Виллина: Конечно, нет, ведь здесь нет двух высказываний, связанных союзом «или». Но, может быть это конъюнкция? Или отрицание? Элли: Не похоже что-то. Виллина: Вспомни, Элли, как я прочла тебе в волшебной книге: что если ты поможешь трѐм существам исполнить их заветные желания, то Великий Гудвин вернет тебя домой. Вот это тоже высказывание, но не дизъюнкция, не конъюнкция и не отрицание. Элли: А я тоже знаю такое высказывание! «Если каждое из чисел a и b четное, то их сумма ( a b ) четна». Виллина: Вместо слов «если,…,то…», договоримся писать стрелочку: . Тогда высказывание Элли можно записать так: (Каждое из чисел a и b – чѐтно) ( a b – чѐтное). Или, короче: A B . Это читается так: «Если А, то В», или: «А влечет В», или «Из А следует В». Понятно, что здесь означают А и В? Железный Дровосек: Конечно, понятно. А как называется такое высказывание? Виллина: Такое высказывание А В называется импликацией. Железный Дровосек: А как узнать, истинна ли эта самая импликация? Виллина: Это не простой вопрос. Попробуем составить таблицу истинности для импликации. Сначала нарисуем такую таблицу: А 4. и и л л В и л и л А В Начнем заполнять еѐ строка за строкой. Все помним пример Элли: «Если числа a и b четные, то (a+b) - четное», или короче А В . Мы знаем, что это истинное высказывание, для любых чисел а, в. Рассмотрим разные случаи. Пусть, сначала, а и b– четные. Тогда А – истинно, В – истинно, A B истинно ( A B в нашем случае всегда истинно) Значит, можно в первой строке таблицы, где А – истинно, В – истинно, написать A B истинно. Теперь таблица выглядит так: А В В и и и и л л и л л Тотошка: А как же другие строчки? Виллина: Положим теперь а=1, b=2. Кто хочет порассуждать дальше? Страшила: Давайте, я порассуждаю. А – ложно, ведь А утверждает, что а и b– четные; на самом деле, а = 1, а – нечетное. Дальше, В утверждает, что «(a+b) - четное», но а + b = 3 – число нечетное. Значит, мы получили последнюю строку таблицы, ведь там А – ложь, В – ложь. Осталось там написать в последнем столбике И, ведь наше высказывание А В всегда истинно. А В 6. А В и и и и л л и л л и 5. А Виллина: Значит, то, что из лжи следует ложь – это истина. Положим теперь: a= 1, b = 1. Кто хочет разобрать этот случай? Элли: Можно мне? Что такое А? «а и b– четные» - ложь! Что такое В? Это высказывание “(a+b) – четное”. В нашем случае, (a+b)=2 – это четное число. Значит, В истинно. Запишем И в третьей строке под А В: А В 7. А В И И И И Л Л И И Л Л И Страшила: Что же получается? В третьей строке мы видим: «из лжи следует истина – это истина». А в четвертой строке: «из лжи следует ложь – это истина». Как же так? Верно, что из лжи следует ложь, и верно, что из лжи следует истина! Виллина: Так оно и есть. Математики говорят: «Из лжи следует, всѐ, что угодно». Железный Дровосек: Достопочтенная Виллина, не можете ли Вы пояснить эти слова: «Из лжи следует, всѐ, что угодно»? Виллина: Возьмем какое-нибудь ложное высказывание, например: 1 = 2. Тотошка: Даже я знаю, что две собаки – не то, что одна! Виллина: Да, это ложное высказывание. Посмотрим, какие следствия можно из него вывести. Во-первых, если a b , то a 1 b 1 . Согласен, Тотошка? Тотошка: Гав – гав! Виллина: Ну вот, раз мы приняли, что 1=2, то получаем: 2=3. Эллли: Но тогда отсюда следует: 3=4; а дальше 4=5, 5=6, 6=7, ну и так далее. Страшила: Значит, 1=2=3=4=5=6=7=…, и выходит, все натуральные числа равны! Виллина: И все это следует из чего? Страшила: Ясно, из чего, из того равенства: 1=2. Теперь ясно, что это значит: «Из лжи следует, всѐ, что угодно». Из лжи следует любая ерунда! Элли: А можно из этого неправильного, то есть ложного равенства «1=2» вывести и что-нибудь правильное, то есть истинное? Страшила: Сейчас подумаю… Ну, вот, если m=n, то m + 3 n. Согласна? Элли: Конечно! Страшила: Если мы приняли, что 1=2, то отсюда следует, что 1+3 2, то есть 4 2. Значит из ложного равенства 1 = 2 следует истинное неравенство 4 2. Элли: У нас осталась незаполненной еще одна строка. Виллина: Попробуем сообразить, как заполнить вторую строку. Здесь А – истинно, В – ложно. Наше высказывание А В в этом случае утверждает, что из истины следует ложь. Железный Дровосек: Позвольте мне сказать. «Из истины следует ложь» - это и есть самая настоящая ложь! Виллина: Согласна, полностью согласна. Итак, заполняем вторую строчку и таблица принимает вид: А В 8. А В и и и и л л л и и л л и Элли: Выходит и импликация А В всегда истинна, кроме случая, когда А истинно, В – ложно. «Из истины следует ложь – это ложь». Виллина: Хорошо сказано! Шаг десятый. Виллина: Скоро наши беседы о логике закончатся. Вам пора идти дальше, да и меня ждут неотложные дела. Элли: Расскажите нам ещѐ что-нибудь на прощанье! Виллина: Хорошо, я расскажу вам – о чѐм же? Пожалуй, хорошо закончить наши встречи беседой о необходимых и достаточных условиях. Страшила: Достопочтенная Виллина, а что это такое: необходимые и достаточные условия? И условия чего? Виллина: Минутку терпения! Не всѐ сразу. Начнѐм с необходимого условия. Мы знаем, что если числа а и b четные, то и число (а+b) – четное. Элли: Это же наша импликация! Мы еѐ только что обсуждали. И записали еѐ так: А В («если А, то В», или «А влечѐт В»). Здесь А – «числа а и b четные», В – сумма (а+b) – четная. Виллина: Так, вот, если выполнено условие «числа а и b четные», то видно, что (а+b) – число четное. Условие: «если числа а и b четные» называется достаточным условием для того, чтобы сумма (а+b) была четной. Вообще, если А В, то A называется достаточным условием для В; это значит, что выполнение А достаточно для того, чтобы и В было выполнено. Например четности чисел а и b достаточно для того, чтобы сумма (а+b) была четной. Железный Дровосек: не соблаговолите ли вы, почтенная Виллина, привести ещѐ примеры достаточных условий? Виллина: Может быть, кто-нибудь ещѐ сможет привести такие примеры? Страшила: Ну что ж, попробуем! Если число оканчивается нулем, то оно делится на 5. Значит, для того, чтобы число делилось на 5, достаточно, чтобы оно оканчивалось на нуль. Элли: А если число оканчивается на 5, оно тоже делится на 5. Значит, чтобы число делилось на 5, достаточно, чтобы оно оканчивалось на 5. Виллина: Ну вот, как будто бы понятно. Рассмотрим снова импликацию: А В. Мы уже договорились называть А достаточным условием для В. А вот В называется необходимым условием для А. Как вы думаете почему? Страшила: Не знаю, смогу ли я правильно сказать! Но, как говорится, попытка – не пытка. Ну, вот, пусть из А следует В. Допустим, что В неверно – тогда и А неверно (если А верно, то верно и В). Значит, чтобы А было верно, необходимо, чтобы В было верно. Поэтому В называется необходимым условием для А. Виллина: С твоей головой, Страшила, надо бы учиться. Жаль, что в Волшебной стране нет университетов! Давайте, впрочем, придумаем примеры необходимых условий. Элли: Чтобы числа а, b были четными, необходимо, чтобы их сумма была четной. Чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Виллина: Очень хорошо. Обратим внимание на последний пример. Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3. Значит условие: «сумма цифр числа делится на 3» достаточно для того, чтобы число делилось на 3. Страшила: Интересно! Мы только что показали, что условие «сумма цифр числа делится на 3» необходимо для того, чтобы число делилось на 3. А теперь оказывается, что это условие и достаточно. Виллина: Вот такие условия и называются необходимыми и достаточными. Давайте, ещѐ обдумаем, что такое необходимое и достаточное условие. Пусть А – это необходимое и достаточное условие для B. Так как А – достаточное условие для В, то – что отсюда следует? Кто скажет? Страшила: Ну, отсюда, А В («А влечет В»). Виллина: Верно. Но ведь, А и необходимое условие для В. Что же это значит? Страшила: Что же это значит? Наверно, вот что! В А Виллина: Совершенно верно! Итак, сказать, что А – это необходимое и достаточное условие для В – это все равно, что сказать: «Из А следует В, из В следует А». Короче: А В, В А. Пишут ещѐ короче: А В. Это читается так: «А необходимо и достаточно для В»; или «А тогда и только тогда, когда В». Ну, а теперь прощайте, настала пора расставаться! Элли, Тотошка, Страшила, Железный Дровосек, Лев: «Но мы ведь встретимся снова?» Виллина: Если мы хотим встретиться, то это необходимое условие для встречи. А если наше желание глубоко и постоянно, то это и достаточное условие. Прощайте, друзья мои! Все: Прощайте! Виллина: (исчезает). Упражнения К первому шагу: Подумай, какие из следующих предложений являются высказываниями и почему? (1) Разделите число а на b. (2) 2 5. (3) Земля – планета Солнечной системы. (4) Да здравствует математическая логика! (5) Существуют внеземные цивилизации! (6) Если 2 3 , то 2 5. Ко второму шагу: Укажи высказывания, конъюнкцией которых является каждое из высказываний (1) – (4) (1) 10 3 8. (2) 35 делится на 3 и на 10. (3) Мыши перегрызли нитки, привязанные к их хвостам, и поспешили домой. (4) На голове у Железного Дровосека была железная воронка, галстук на шее был железный. К третьему шагу: Из двух заданных высказываний составь высказывание, являющееся их дизъюнкцией. Определи истинность полученных высказываний. (1) «1 – простое число», «1 – составное число». (2) «15 нацело делится на 7», «15 нацело делится на 3». (3) «12 2», «12 10». (4) «Хвост у зверя есть», «Хвоста у зверя нет». К четвертому шагу: 1) Пусть А означает: «сегодня морозно», В – «сегодня светит солнце». Прочитай словесно: А В, А В. 2) Высказывание А В С можно прочитать так: «Хотя бы одно из чисел а, b, с делится на 3», или «По крайней мере, одно из чисел а, b, с делится на 3». Что такое А? В? С? Построй конъюнкции этих высказываний. К пятому и шестому шагам: Попробуй составить таблицу истинности для конъюнкции высказываний А и высказывания, являющегося дизъюнкцией высказываний В и С. Сначала давай договоримся так: если тебе это кажется очень сложным, будем делать вместе. В противном случае, попробуй решить задачу сам, а потом сверь своѐ решение с нашим: Итак: 1) запиши дизъюнкцию В и С В С. 2) Теперь наше высказывание имеет вид: А (В С) 3) Теперь чертим таблицу. Сколько в ней столбиков? 3 столбика нужны для высказываний А, В, С. Четвертый для (В С) и, наконец, пятый для А (В С). А строчек? Так как каждое из трех высказываний А, В, С может быть истинным, и ложным, то легко видеть, что количество различных комбинаций равняется 8. Итак, заполняем таблицу: А И И И И Л Л Л Л В И И Л Л И Л И Л С И Л И Л И И Л Л В С И И И Л И И И Л А (В С) И И И Л Л Л Л Л При заполнении 4 и 5 столбиков мы пользуемся определениями дизъюнкции и конъюнкции двух высказываний. Теперь построй таблицы истинности для высказываний (А В) С; А (В С); (А В) (А С). К седьмому шагу: 1. Сформулируй отрицания к следующим высказываниям: 1) a b , 2) 48  4 . 2. Являются ли отрицанием друг друга следующие высказывания: (1) Он – мой враг. Он – мой друг. (2) а 0. а 0. (3) а  5. а  5. (5) а 0. а 0. 3. Что можно сказать о числах а и b, если не верно, что их произведение четно? (заметь, что условие чѐтности произведения можно записать в виде: (а – четно) (b – четно). К восьмому шагу: В стране Рыцарей и Лжецов Джон сказал Смиту: «Или я – Лжец, или Смит – рыцарь». Попробуй, разберись, кто есть кто? К девятому шагу: 1. Введя соответствующие обозначения высказываний и используя операции над высказываниями, запиши следующие высказывания: (1) Если Гудвин даст мне сердце, я вернусь в страну Жевунов и женюсь на девушке. (Ответ: А (В С)). (2) Если меня смазать, я буду как новенький. (3) «Вот если бы – думал Пятачок, … я был бы в гостях у Пуха, или у Кристофера Робена, или хотя бы у Кролика, - мне было бы всѐ время хорошо». 2. На примере высказывания: a b b c a c покажи, что из лжи следует всѐ, что угодно. К десятому шагу: Какими являются высказывания: а кратно 8, а 1 для высказывания: (а – четно)? ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ИГРАЕМ В “КЕНГУРУ” ГЛАВА I «КЕНГУРУ» И МАЛЫШИ Обсуждаемые в этой главе задачи предлагаются учащимся младших классов. Действующие лица этих задач: сказочные герои, игрушки, близкие малышам персонажи. При решении задач можно порисовать, поводить пальчиком, пофантазировать. Задачи подобраны так, что для их решения требуется минимум знаний из школьной математики, поэтому решить их может даже ученик, полностью разуверившийся в своих математических способностях. Задача 1. На скамейке сидят Даша, еѐ мама, бабушка и кукла. Бабушка сидит рядом с внучкой, но не рядом с куклой. Кукла сидит не рядом с мамой. Кто сидит рядом с мамой Даши? [2] Решение. - Сделаем краткую запись к задаче: Действующее лицо Бабушка (Б) Внучка (В) Мама (М) Кукла (К) рядом с ним не рядом с ним В Б - К К Б, М - Давайте посадим наших героев на скамейку. А также заранее договоримся: если мы уверены, что действующий герой нашей задачи сидит именно на этом месте, то будем рисовать его в квадратике, если же мы сомневаемся (строим предположение), то будем рисовать его в «облачке». - Кто сидит рядом с бабушкой? - Внучка. - Пусть она на нашей скамейке сидит слева от бабушки. В Б - Как вы думаете, может ли бабушка быть крайней? - Если бабушка крайняя, то: К М В Б К М В Б - Но по условию кукла и мама не сидят рядом. Значит, справа от бабушки кто-то сидит. - Кукла или мама, но не обе вместе. В Б - Кто не может сидеть справа от бабушки? - Кукла. - Тогда имеем: К В Б - Кто сидит справа от бабушки? - Мама. К В Б М - Таким образом, мы нашли ответ на вопрос задачи. Так кто сидит рядом с мамой Даши? - Бабушка. - А теперь сделайте самостоятельно рисунки для случая, когда внучка сидит справа от бабушки. Сравните ответы. Для самостоятельной работы ученикам можно предложить следующие задачи: Задача 1. Старый гном разложил свои сокровища в три разноцветных сундука, стоящих у стены: в один – драгоценные камни, в другой – золотые монеты, а в третий – магические книги. Он помнит, что: - красный сундук правее, чем драгоценные камни. - магические книги правее, чем красный сундук. В каком сундуке лежат магические книги, если зелѐный сундук стоит правее, чем красный сундук. [2] Задача 2. Натуральные числа a, b, c, между числами 12 и 19. Известно, что 1. b кратно 5, d расположены на числовой прямой 2. d - соседнее к b и находится правее b, 3. a левее b и одинаковой четности с b, 4. c правее d , но не сосед 19. Найдите, чему равны a, b, c, d. В следующей задаче необходимо выбрать из предложенных ответов правильный. Ученик делает вывод о ложности предложенного варианта ответа, если он противоречит условию задачи. Задача 3. Красная Шапочка несла бабушке пироги: 7 с капустой, 6 с яблоками, 3 с мясом. По дороге она съела 2 пирога. Могло ли получиться, что: (А) Бабушке не досталось пирогов с мясом. (В) Пирогов с яблоками стало меньше, чем с мясом. (С) Пирогов всех видов стало поровну. (D) Пирогов двух видов стало поровну. (Е) Пирогов с капустой стало больше, чем всех остальных вместе.[2] Решение. Давайте рассмотрим все предложенные варианты. (А) - Сколько пирогов должна съесть Красная Шапочка, чтобы у неѐ не осталось пирогов с мясом? - больше трех или ровно 3. - А сколько она съела в действительности? - 2. Вывод: не могло получиться. (В) - Пусть пирогов с яблоками стало меньше, чем с мясом. Сколько пирогов должна была съесть Красная Шапочка? - больше 3. - А сколько она съела в действительности? - 2 Вывод: не могло получиться. (С) - Какое наименьшее число пирогов должна съесть Красная Шапочка, чтобы оставшихся пирогов стало поровну? - 7 Вывод: не могло получиться. (D) – Какие два пирожка могла съесть Красная Шапочка, чтобы пирогов двух видов стало поровну? - 1 – с капустой, 1 – с мясом Вывод: такое могло получиться. (Е) – Какое наименьшее число пирожков нужно съесть Красной Шапочке, чтобы пирогов с капустой стало больше, чем остальных вместе? - Хотя бы 3 пирожка. Вывод: не могло получиться. - Значит, после того, как Красная Шапочка съела 2 пирога, могло получиться, что пирогов двух видов стало поровну. Правильный ответ (D). В следующей задаче предложим ребятам немного попутешествовать. Задача 4. От Кощея Бессмертного до Бабы Яги ведут три дороги, а от Бабы Яги до Кикиморы – 2 дороги. Сколькими способами можно пройти от Кощея до Кикиморы, заходя к Бабе Яге? [2] (А) 2 (В) 3 (С) 4 (D) 5 (Е) 6 Решение. - Ребята, а как ещѐ можно назвать сказочную дорогу? - Тропинка, путь. - Нарисуем ситуацию, описанную в задаче. БЯ КБ К - Заполните следующую таблицу, в которой расшифруйте введенные обозначения: обозначение расшифровка Итак, каждый путь от КБ до К состоит из двух частей: первая часть – одна из дорог: д1, д2, д3, вторая часть – одна из тропинок: т1, т2,. Вопрос задачи: Сколько всего различных путей? Как вы можете решить эту задачу? Конечно же очень просто, а именно, водя пальцем по дорожкам и тропинкам и считая все возможные варианты. В данном случае так сделать можно. А если у вас дорог, ведущих от КБ до БЯ - 3000, а тропинок от БЯ до К - 2000, то так считать все варианты - достаточно трудоѐмкая работа. Поэтому возникает вопрос: как можно искать все пути по-другому? Давайте теперь разобьем все пути на три класса: 1) начинающиеся с д1, 2) начинающиеся с д2, 3) начинающиеся с д3. Каждую из этих дорог можно продолжить двумя тропинками, чтобы получился весь путь. Попробуем нарисовать все эти пути: Д1 Т1 Д1 Т2 Д2 Т1 Д2 Т2 Т1 Д3 Д3 Т2 А теперь построим таблицу: т1 Т2 д1 д1 т1 д1 т2 д2 д2 т1 д2 т2 д3 д3 т1 д3 т2 - Сколько столбцов в таблице? - 2. - Сколько у нас тропинок? - 2. - Сколько строк? - 3. - Сколько дорог? - 3. - Сколько всего путей у нас получилось? - 6. - Посмотрите внимательно на числа (3,2,6). - 3 2=6. - Заметьте, что число ячеек в рабочей таблице тоже 6: в каждой ячейке путь, для каждого пути – своя ячейка! А если у нас дорожек 30, а тропинок 20, тогда, сколько в нашей таблице будет строк? - 30. - А столбцов? - 20. - Сколько всего путей мы получим? - 600. Решая таким образом задачу, мы применили правило произведения: если дорожку от КБ до БЯ можно выбрать 3 способами, после этого тропинку от БЯ до К можно выбрать 2 способами, то весь путь, состоящий из дорожки и тропинки, можно выбрать 3 2=6 – способами. Используя правило произведения, можно решить множество интересных задач. Например, такие: Задача 1. Сколькими способами можно выбрать две буквы из слова ПОЛКА так, чтобы первая из них была согласной, а вторая – гласной.[7] Решение. - Сделаем краткую запись задачи: Множество гласных букв { О, А} Множество согласных букв { П, Л, К} Сколькими способами можно выбрать согласную букву? - тремя - А гласную? - двумя - Тогда сколькими способами из слова можно выбрать две буквы так, чтобы первая из них была согласной, а вторая - гласной? - 3 2= 6. - Перечислим все варианты: { П О, П А, Л О, Л А, К О, К А } Задача 2. Сколькими способами из цифр: {2, 7, 9, 8, 4, 6, 5} можно составить двузначное число, у которого первая цифра четная, а вторая нечѐтная? [7] Решение. - Выпишем все четные цифры из данных, и все нечетные цифры. - четные -2, 8, 4, 6; нечетные - 7, 9, 5. - Сколько способов для выбора одной четной цифры? - 4. - Одной нечетной цифры? - 3. - Сколько всего двузначных чисел можно составить из указанного множества цифр, у которых первая цифра четная, а вторая нечѐтная? - 4 3 = 12. - Перечислим эти числа: {27, 29, 25, 87, 89, 85, 47, 49, 45, 67, 69, 65}. «Волшебные квадраты» Следующий тип задач приводится как в конкурсе «Кенгуру», так и во многих задачниках, учебниках и называются они «волшебные квадраты». У всех этих квадратов есть маленький «секрет». Для их решения, кроме знаний школьной математики, понадобится наблюдательность, умение сравнивать, проводить аналогии, обобщать, делать выводы. В решении каждого квадрата присутствует крупица открытия, то есть в нем имеется место для догадки, для правдоподобного умозаключения. Давайте начнѐм с простых «волшебных квадратов». Задача 1. Установите зависимость и заполните, пустую клетку квадрата. Решение. Начинайте своѐ движение по указанной стрелке. 41 36 [Ответ: 26. По стрелке вычитается по 5] 31 64 [Ответ: 1. По стрелке выполняется деление на 4] 16 4 30 60 [Ответ: 120. По стрелке выполняется умножение на 2] 15 Усложним немного задачу: Задача 2. 1) Определите закономерность в столбцах таблицы и заполните все еѐ клетки: Ответ: 15 27 39 51 15 27 39 51 63 12 19 3 8 26 40 18 23 12 19 26 33 40 3 8 13 18 23 2) Есть ли закономерность в расположении чисел по строкам таблицы? 3) Продолжите таблицу, сохраняя подмеченные закономерности. Задача 3. Самостоятельно определите закономерность, которой связаны числа в столбцах таблицы, начертите еѐ в тетради и заполните пустые клетки. 43 37 61 49 73 29 35 53 6 4 54 36 7 8 59 18 Закономерно ли расположены числа в строках таблицы? Объясните свой ответ. Преобразуйте таблицы так, чтобы числа в строках располагались закономерно. Если закономерность нарушается, дополните таблицы нужными парами чисел. Задача 4. - Ребята, посмотрите вот на такой квадрат: 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 Подсчитайте сумму чисел в каждой строке, в каждом столбце и в каждой диагонали квадрата. У вас получилось одно и то же число - 34. Так вот, ребята, такой квадрат называется магическим: числа расположены в виде квадрата так, что числа в каждой строчке, в каждом столбце и на диагоналях дают одинаковую сумму, называемую магической. Во времена средневековья странные свойства магических квадратов считались волшебными, и поэтому магические квадраты служили талисманами, защищающими тех, кто их носит, от многих несчастий. В XVI и XVII веках и даже позже составление магических квадратов столь же процветало, как и кроссвордов в наши дни. [1] В предложенный вам квадрат вставьте числа из множества {1,2,3,4,5,6,7,8,9} так, чтобы этот квадрат стал магическим. 9 4 7 8 Ответ: 2 9 4 7 5 3 6 1 8 ГЛАВА II «КЕНГУРУ» В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ Во всем, что связано с математикой, очень важное место занимает логика. Это очень древняя, важная и непростая наука. С исходными понятиями и законами математической логики школьники знакомятся на уроках информатики. А некоторые еѐ правила настолько просты, что многие могут сказать – какие же это правила, если это и так каждому ясно? Но какими бы простыми ни казались эти правила, они могут принести заметную пользу при решении многих задач. В частности, рассмотрим такую задачу: Задача 1. У каждого из ребят живет какое-то одно любимое животное: КОШКА, СОБАКА, 9. РЫБКА, КАНАРЕЙКА, причѐм у всех разные. У Маши - животное с пушистой шерстью, у Феди - четвероногое, у Саши - пернатое. Кроме того, известно, что Катя и Маша не любят кошек. Также известно, что ровно одно из следующих утверждений неверно. Найдите его: (А) У Феди - собака. (В) У Саши – канарейка. (С) У Феди – кошка. (D) У Кати – рыбка. (E) У Маши – собака. [2] - Ребята, давайте запишем условие задачи в более удобном виде: 10. Имя Маша Федя Саша Катя Информация о животном Название животного с пушистой шерстью не кошка четвероногое пернатое Не кошка I способ. - Т.к. согласно условию задачи у каждого из ребят только одно животное, то какие из высказываний не могут быть оба истинными? - А и С. - Но только одно из всех высказываний ложно, значит среди А и С одно истинно, а другое ложно. - Предположим, что А – истинно, т.е. (А)= 1, тогда (С)= 0. С другой стороны, по условию задачи, у разных ребят разные животные. Поэтому, если (А)=1, то (Е)=0.Получим два ложных высказывания Е и С, что противоречит условию задачи. А значит, наше предположение неверно, то есть (А)=0. II способ. - По условию задачи у каждого из ребят только одно животное и к тому же у всех разные, поэтому имеем: Одно из высказываний А и С – ложно, а другое истинно; одно из высказываний А и Е – ложно, а другое истинно. Поэтому, воспользовавшись определениями , можно записать следующую систему равенств: (А (А (А (А С) = 0, С) = 1, Е) = 0, Е) = 1. Проанализируйте эту систему и сделайте вывод, учитывая, что только одно из высказываний ложно. Используя полученный ответ задачи, заполните последний столбик таблицы. Сложность операции импликации показали результаты решения следующей задачи: Задача 2. Про климат в районе одного австралийского заповедника, где обитают кенгуру, точно известно, что: - если светит солнце, то температура не ниже 250 - если температура превышает 260, то светит солнце Тогда обязательно: (А) ночью температура ниже 250 (В) ночью не бывает температуры 270 (С) днем температура выше 240 (D) днем не бывает температуры 240 [2] Эта задача использует понятие и свойства импликации, а также определение логического следования. В школьном курсе математики трудно дать изложение соответствующих теоретических вопросов. Поэтому, прежде всего, на доступных примерах мы иллюстрируем равносильность высказываний A B A , потом просим учеников построить высказывания, равносильные и B предложенным. I. Обратите внимание: В каждой из трех пар высказываний оба высказывания либо истинны, либо ложны одновременно. А1: Если число 3 является корнем уравнения х2-5х+6=0,то 32+5 3+6=0. А2: Если 32+5 3+6 0 ,то 3 не является корнем уравнения х2-5х+6=0. В1: Если 12 кратно а ,то а 0. В2: Если а=0, то 12 не кратно а. С1: Если 5 > -7, то 25 > 49. С2: Если 25 49, то 5 -7. II. По аналогии с I постройте высказывания, равносильные следующим: 1. Если я правильно решу все задачи «Кенгуру», то я поеду в СанктПетербург. 2. Если треугольник прямоугольный, то квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон. 3. Если число заканчивается нулем, то оно делится на 10. III. Следующие рассуждения также понятны: - Известно, что если число четное, то оно заканчивается на одну из следующих цифр: 2,4,6,8,0 . Обязательно ли число, кратное 8 заканчивается на 4? - Если число кратно 8, то оно четно. Четное число может заканчиваться на 4, но совсем не обязательно, т.к. оно может заканчиваться и на 2,6,8,0. - Обязательно ли число, кратное 16, не может заканчиваться на 5? - Если число кратно 16, то оно четно. В свою очередь четное число не может заканчиваться на 5. Итак, приступаем к рассмотрению задачи «о климате…», которую мы сформулировали ранее. Теперь, прежде чем решать задачу, заметим, что солнце не светит не только ночью, но и в пасмурные дни. Например, когда небо заволокут тучи, то солнце не светит и днем. Давайте запишем условие нашей задачи на языке логических формул. Высказывание «светит солнце» обозначим через S. Тогда имеем, что по условию истинны следующие утверждения: S (t 25o ) (1) t 26o S (2) А, следовательно, истинными будут и следующие высказывания: S (3) t < 250 S t 26 (4) - Прочитайте эти высказывания. - Обратимся теперь к вопросам задачи. Обязательно ли (А) ночью температура ниже 250? Если речь идет о ночи, то истинно S , а следовательно рассматриваем (4). Согласно этому условию t 260 Таким образом, следует ли отсюда, что t < 250? - Нет, не следует, температура может равняться, например, 260 . - Обязательно ли (В) ночью не бывает температуры 270? Какое условие будем рассматривать? - (4),так как истинно S . - Следует ли из утверждения t 260 , что t 27? - Да, следует. - Рассмотрим (С). Обязательно ли днем температура выше 240? Какие условия следует рассматривать? - Если день солнечный, то (1), так как истинно S. - Что следует из (1)? - t 250 и, следовательно, температура выше 240. - А если день пасмурный? - Тогда истинно S и в этом случае следует рассматривать (4). - Следует ли из (4), что температура обязательно выше 240? - Согласно (4) t 260 , а это совсем не означает, что температура обязательно выше 240. - Следовательно, на основании наших рассуждений мы можем сделать вывод: совсем не обязательно, что днем температура выше 240. Проведите аналогичные рассуждения о высказывании (D) и сделайте вывод о возможности этой ситуации. Ответ: (В). Все математические понятия, объекты являются абстрактными, лишенными вещественных основ. И здесь велика опасность того, что школьник может воспринять математику лишь как игру по особым правилам с символами, потерять всякую связь изучаемых понятий с реальным миром. Вот почему при обучении математике очень важна наглядность. Многие реальные события, рассматриваемые в прикладных математических задачах, поясняются разного рода чертежами, рисунками, блок-схемами и т.д. Задача 3. Когда идет дождь, кошка сидит в комнате или в подвале. Если кошка в комнате, то мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильнике. Если же сыр на столе и кошка в подвале, то мышка в комнате. Сейчас идет дождь и сыр лежит на столе. Тогда обязательно: (А) кошка в комнате (Bмышка в норке (С) кошка в комнате или мышка в норке (D) кошка в подвале, а мышка в комнате (Е) такое невозможно [2] - Ребята, прежде чем решать эту запутанную задачу, введем некоторые обозначения: Кк, Кп, Д, Мк, Сх, Мп, Сс, Мн. - Заполните таблицу: обозначение Кк Кп Д Мп Сс Мк Сх расшифровка - Давайте условие задачи запишем в виде схемы. События, которые происходят одновременно, будем записывать в один прямоугольник и разделять их вертикальной чертой. Например: Сс Кп Тогда условие задачи запишется в виде Д Кк Мн Кп Сх схемы №1 и Сс Кп Мк схемы №2. - А теперь попробуйте прочитать условие задачи по нашим схемам. - Давайте составим схему, которая нам говорит, что происходит сейчас. Попробуйте это сделать самостоятельно, а потом сравним, что у каждого из нас получилось. - Правильная схема выглядит следующим образом: Сейчас… Д Сс схема №3 - Так как идѐт дождь, то согласно схеме№1, где может находиться кошка? - Либо в комнате, либо в подвале. - Изобразим это схематично: Д Кк Сс Кп - Но, если Кк, то где сыр? Посмотрите внимательно на схему№1 условия задачи. Кк Мн Сх - Сх - А сейчас Сс. (схема 3) - Значит, где кошка? - Кп - Итак, сейчас Сс и Кп, значит, можно воспользоваться схемой№2. А тогда согласно схеме№2, где мышь? - Мк - Итак, мы получили, что сейчас: Д Сс Кп Мк - Используя полученную схему, можно сделать вывод, что Кп, а Мк. Таким образом, верен ответ (D). При решении задач следующего вида учащиеся развивают умения сравнивать соответствующие элементы, находить закономерности, находить соответствия. Задача 4. Пятеро друзей выясняли, какой сегодня день недели: Андрей сказал: «Позавчера была пятница». Сережа сказал: «Завтра будет понедельник». Егор сказал: «Сегодня четверг» Дима сказал: «Вчера была суббота» Вова сказал: «Послезавтра вторник» Один из них ошибся. Кто? (А) Андрей (С) Сережа (Е) Егор (В) Володя (Д) Дима [2] - Давайте в первую очередь разберемся со словами: позавчера, сегодня, послезавтра, вчера, завтра. Попытайтесь расположить их по порядку следования. Что у вас получилось? - Позавчера, вчера, сегодня, завтра, послезавтра. - Чтобы сопоставить всю информацию, которую сказали ребята, давайте занесем ее в следующую таблицу: Позавчера Вчера Сегодня Завтра Послезавтра Андрей Пятница Вова Сережа Дима Егор Суббота Четверг Понедельник Вторник - Таблица заполнена полностью? - Нет, в таблице есть пустые клетки. - Заполните до конца таблицу сами, используя сказанное ребятами. Например: Позавчера Вчера Сегодня Завтра Послезавтра Андрей Вова Сережа Дима Пятница Пятница Суббота Суббота Воскресенье Понедельник Понедельник Вторник Егор Четверг - Так же заполняются все остальные столбики. Так как, согласно условию задачи ошибается только один из мальчиков, то кто это? Позавчера Вчера Сегодня Завтра Послезавтра Андрей Пятница Суббота Воскресенье Понедельник Вторник Вова Пятница Суббота Воскресенье Понедельник Вторник Сережа Пятница Суббота Воскресенье Понедельник Вторник Дима Пятница Суббота Воскресенье Понедельник Вторник Егор Вторник Среда Четверг Пятница Суббота - Егор. Только его утверждение не совпадает со всеми остальными. В следующих задачах ребята учатся находить у множества объектов общие свойства, которые объединяют эти объекты. 1) Вставьте пропущенное выражение вместо знака «?» [3]. 5 1 10 3 15 5 20 7 …….. 9 ……… …….. 5в ? [ Ответ: 2в-1.] 2) Вставьте пропущенное число вместо знака «?»[3]. 5х-2 = -2х-1 3х+4 = 25 8-4х = х-17 6х+3 = х+4 8-х = 6 2х-5 = ? [ Ответ: - 4, так как корни уравнений в правом и левом столбиках взаимообратные.] 15 - 4 b 3b+1=13 -1 5b+1 8-3b=2 ? Подсказка: Реши указанные линейные уравнения в обеих строках и сравни полученные корни. [ Ответ: 11.] cn+3 cn-5 c8 5a9b16 a8b20 ? [ Ответ: 5а b-4 – частное от деления данных выражений.] 3a + 4 9a2 + 24a + 16 12ab7 ? 2 14 2 2 [ Ответ: 144 a b , так как (3a + 4) =9a + 24a + 16 следовательно (12ab7)2= 144 a2b14.] Далеко не всегда в ячейках квадрата, содержащего некоторый «секрет», располагаются числа. Рассмотрим такие квадраты: Нарисуйте пропущенную фигуру и аргументируйте свой ответ [6]. Задача 1. Задача 2. В предыдущей главе учащиеся рассмотрели самые простые магические квадраты. Сейчас мы постараемся расширить и углубить их знания. Напомним, что если некоторое множество натуральных чисел, например все числа от 1 до 16, или от 1 до 9, от 1 до 25, от 1 до 100 и так далее, расположить в форме квадрата так, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали одинаковы, то такой квадрат называется магическим. Идея составления волшебного квадрата, возникшая около семи тысячелетий назад, постепенно увлекла, как любителей математических развлечений, так и специалистов-математиков. Начались и до сих пор продолжаются поиски теоретических обоснований этого удивительного и красивого явления в мире чисел. За сотни лет придуманы сотни остроумных способов и правил составления различных волшебных квадратов [1]. Доказано что, магические квадраты могут быть построены для любого натурального числа n>2. Для больших значений n можно построить много различных магических квадратов. Страстным поклонником составления магических квадратов был выдающийся американский общественный деятель Бенджамин Франклин (1706 1790). Он составил магический квадрат 16 16 [1]: 200 217 232 249 58 39 26 7 198 219 230 251 60 37 28 5 201 216 233 248 55 42 23 10 8 25 40 57 72 89 104 121 136 153 168 185 250 231 218 199 186 167 154 135 122 103 6 27 38 59 70 91 24 41 56 73 88 203 214 235 246 11 53 245 236 213 204 181 172 149 140 117 108 44 21 12 15 49 241 240 209 208 177 176 145 144 113 112 17 16 196 221 228 253 62 35 30 3 194 223 226 255 64 33 32 1 4 29 36 50 61 79 68 82 93 31 34 63 66 95 74 85 76 83 78 111 114 143 146 175 178 81 80 100 125 132 157 164 189 254 227 222 195 195 163 158 131 126 2 87 109 116 141 148 173 180 207 210 239 242 48 47 84 69 107 118 139 150 171 182 243 238 211 206 179 174 147 142 115 110 18 77 86 51 14 52 75 13 19 45 54 205 212 237 244 46 20 43 92 105 120 137 152 169 184 247 234 215 202 183 170 151 138 119 106 22 71 102 123 134 155 166 187 252 229 220 197 188 165 156 133 124 101 9 90 98 99 94 67 127 130 159 162 191 256 225 224 193 192 161 160 129 128 97 96 65 Придуманы же были волшебные квадраты, по-видимому, китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской книге, написанной за 4000 – 5000 лет до нашей эры. Сейчас мы с вами будем строить из натуральных чисел {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16} магический квадрат четвертого порядка, если известно, что он имеет следующую структуру: 4а1+1 4а2+3 4а3+2 4а4 4в1 4в2+2 4в3+3 4в4+1 4с1 4с2+2 4с3+3 4с4+1 4d1+1 4d2+3 4d3+2 4d4 Ваша задача состоит в том, чтобы заполнить клетки этого квадрата конкретными числами. Я буду вам помогать с помощью вопросов. - Чему равна сумма чисел в каждой строке (столбце, диагонали) квадрата? - 34. - Сложите все числа первой строчки и найдите сумму а1+а2+а3+а4 (в1+в2+в3+в4, с1+с2+с3+с4 , d1+d2+d3+d4). - 7. - Заметьте, что все числа аi (вi , сi , di) мы умножаем на 4, а самое большое число квадрата равно 16, тогда чему равно максимальное значение аi (вi , сi , di)? - Максимальное значение равно 4. - А минимальное значение аi (вi , сi , di)? - Минимальное значение равно 0. - И вот вам еще одна подсказка: d4 – принимает максимальное значение; в4 – четно и в4 0; а1 – принимает минимальное значение. Заполните соответствующие клетки квадрата. 1 9 16 - Вычислите сумму а4+с4. Может ли одно из этих слагаемых равняться 2? Заполните соответствующие клетки квадрата. - а4+с4=2, а4=с4=1. 1 4 9 5 16 - Найдите а2+ а3. Может ли одно из слагаемых равняться 4? Укажите значение а2 , а3 и заполните соответствующие клетки квадрата. - а2+ а3=6, а2=а3=3. 1 15 14 4 9 5 16 - Найдите в1+ с1? Сделайте вывод о d1. Заполните соответствующую клетку. - в1+с1+5, d1=3. 1 15 14 4 9 5 13 16 - Найдите d2+ d3, d2, d3? Заполните клетки. - d2=d3=0. 1 15 14 4 9 5 13 3 2 16 - Найдите суммы в3+ с3, в3+ с2 и сделайте вывод о соотношении чисел с2 и с3? - в3+ с3=3, в3+ с2=3, значит с2 = с3. - Вычислите в2+ с2, в3+ с3? Установите связь между. - в2+ с2=3, в3+ с3=3, значит в2 = в3. - И наконец, чему равна сумма в1+в2+в3? - в1+в2+в3=5. - Так как в1 1 (почему?), в2+в3- четно, то в1=?, в2=в3=? - в1=3; в2=в3=1. - Тогда с1=? Следовательно, с2=с3=? Занесите последние данные в квадрат. 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 - Проверьте, что полученный квадрат является магическим. Известен следующий интересный способ построения этого же магического квадрата: [8] - Расположите в шестнадцати клетках все целые числа от 1 до 16 по порядку. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - Порядок следования чисел в строках 3 и 4 изменить на обратный и поменять местами строки 2 и 3. 1 2 3 4 12 11 10 9 5 6 7 8 16 15 14 13 - Порядок следования чисел во 2 и 3 столбцах изменить на обратный. 1 15 14 4 12 6 7 9 5 11 10 8 16 2 3 13 - Порядок следования чисел в строках 3 и 4 изменить на обратный. 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 - Волшебный квадрат готов. Сравните его с нашим. ГЛАВА III «КЕНГУРУ» ДЛЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ Эта глава, как и предыдущие, посвящена логике – тому, как понимать сложные утверждения, правильно рассуждать и точно выражать свои мысли, как убеждать в своей правоте и опровергать ложь в споре. Все эти умения нужны школьника повседневно. Конечно, не обойтись без них и при решении задач конкурса «Кенгуру». Попробуем разобраться в этом. Рассмотрим несколько примеров. 1. Все отличники в нашем классе – спортсмены. 2. Староста нашего класса – отличница, но не спортсменка. 3. Существует треугольник, все углы которого тупые. 4. Сумма углов каждого треугольника равна 1800. - Что вы можете сказать об истинности первого высказывания, если известно, что второе истинно? Это высказывание ложное, так как в нашем классе есть отличник (староста), который не является спортсменом. - Постройте отрицание первого высказывания? - Не все отличники в нашем классе – спортсмены. - Другими словами: «Существуют отличники в нашем классе, которые не спортсмены.» - Что вы можете сказать об истинности третьего высказывания, если известно, что четвертое истинно? - Это высказывание ложное, так как в этом случае сумма углов была бы больше 1800. - Постройте отрицание третьего высказывания? - Не существует треугольника, все углы которого тупые. - Другими словами: «У любого треугольника не все углы тупые». Среди следующих утверждений найдите пары высказываний, которые являются отрицаниями друг друга. А) Все ученики нашего класса решили задачу. В) В городе Томске есть сорокаэтажные здания. С) Ни одно здание города Томска не имеет сорок этажей. D) Существуют ученики в нашем классе, не решившие задачу. E) Никто в нашем классе не решил задачу. F) В городе Томске все здания сорокаэтажные. [Ответ: (А, D),( В, С).] Пусть каждое из следующих утверждений неверно. Постройте отрицание каждого из них так, чтобы соответствующие истинные высказывания не начинались с частицы НЕ. 1. Все шары в урне красные. 2. Некоторые шары в урне красные. 3. Некоторые шары в урне белые. 4. Все ученики класса были на собрании. 5. Некоторые девочки были на собрании. - А теперь общая схема построения отрицания для высказываний, начинающихся со слов: все, каждый, некоторые, существуют – некое «ВОЛШЕБНОЕ СРЕДСТВО». Рассмотрим его : Напомним, что истинным обязано быть либо высказывание, либо его отрицание, при чем одно и только одно из двух! Итак, пусть у нас есть множество М каких-то объектов (шаров, книг, учеников и так далее). Каждый из элементов этого множества может обладать, а может и не обладать некоторым свойством А. Например: шар может быть красным, а может и не быть; число может быть четным, а может и не быть; ученик может быть спортсменом, а может и не быть. Итак, наша схема: Утверждение: 1. Все (каждый) предметы из М обладают свойством А. 2. Некоторые (существуют) предметы из М обладают свойством А. Его отрицание: 1. Хотя бы один (существует) из предметов М не обладает свойством А. 2. Все (каждый) предметы из М не обладают свойством А. - Постройте по данной схеме отрицание следующих утверждений и в каждой паре определите, какое из них истинно [4]. 1. Все углы данного шестиугольника тупые. 2. Для каждого х из множества целых чисел выполняется неравенство х2>4. 3. Некоторые люди – дети. 4. По крайней мере для одного целого числа х имеет место х2-2х+1=0. 5. Все мужчины выше двух метров. 6. Все простые числа – четные. Гораздо удобнее строить отрицание высказывания, когда оно записано символически. Рассмотрим высказывания: «Все четные числа составные», «Существует целый корень уравнения 2х=3» Введем обозначения: Р – свойство быть составным (быть корнем). х – означает любое четное число (целое число). - знак заменяет слова «каждый», «любой», «все». - знак заменяет слово «существует», «некоторый» - знак отрицания («не»). Следовательно, наши высказывания запишутся в виде х Р(х), х Р(х). Попробуйте самостоятельно записать отрицание первого высказывания на языке символов, используя «ВОЛШЕБНОЕ СРЕДСТВО» и прочитайте его. х Р(х) Существует четное число, которое не является составным (например число 2). - Запишите символически отрицание второго высказывания и прочитайте его. х Р(х) Любое целое число не является корнем уравнения 2х=3. - Используя рассуждения проведенные выше, мы можем записать наше «ВОЛШЕБНОЕ СРЕДСТВО» в следующем виде: схема: Утверждение: 1. х Р(х) 2. х Р(х) Его отрицание: 1. х Р(х) 2. х Р(х) - Используя «волшебное средство», запишите отрицания следующих утверждений: [4] 1. y (y  5 y 10) 2. x (х  2 х 0) 3. y (y -1 x+y<1) 4. x(x 12 x+y>16) 5. x(|x| 15 x+y<10) - А теперь выполните задание несколько другого характера: Пусть Р(х) означает фразу – « x– простое число» E(x) означает фразу – « x– четное число» Расшифруйте следующие утверждения: символически 1. Р(х) E(x) 2. Р(х) E(x) 3. х (Р(х) E(x)) 4. х (Р(х) E(x)) Все приведенные выше рассуждения нам пригодятся для решения следующей задачи: Задача 1. На Марсе были обнаружены существа, имеющие головы (их назвали марсианами). Один ученый сообщил: «Каждый марсианин имеет ровно две головы». Позднее выяснилось, что он ошибся. Ровно одно из следующих утверждений верно. Найдите его. (А) Не существует марсиан с двумя головами. (В) Каждый марсианин имеет или одну голову, или больше двух. (С) Существует марсианин с одной головой. (D) Существует марсианин, имеющий или одну голову, или больше двух. (Е) Существует марсианин, имеющий больше двух голов. [2] Решение. - Давайте, прежде чем решать эту задачу, введем обозначения. m -означает марсианина P – свойство иметь ровно две головы Q - свойство иметь ровно одну голову F - свойство иметь больше двух голов Попробуйте записать сообщение ученого с помощью данных обозначений. m P(m) - А теперь запишите все утверждения с помощью наших обозначений. - (А) m P(m) (В) m(Q(m) F(m)) (С) m Q(m) (D) m(Q(m) F(m)) (Е) m F(m) - Что, на ваш взгляд, обозначает фраза: «У марсианина меньше двух голов». - У него одна голова. - Тогда если у марсианина не две головы, то сколько может быть у него голов? - Одна или больше двух. - Итак, наш ученый сказал mP(m). Но позже выяснилось, что он ошибся. А следовательно отрицание этого высказывания истинно. Постройте это отрицание, прочтите его? m P(m) - Мы уже говорили, что если у марсианина не две головы, то у него либо одна голова, либо больше двух. Тогда как ещѐ можно записать утверждение m P(m)? m(Q(m) F(m)) - Посмотрите теперь внимательно на предложенные варианты ответов. - Правильный ответ(D). Можно рассматривать цепочки утверждений, содержащие любое число кванторов. Однако надо понимать, что порядок кванторов существования и всеобщности в кванторной цепочке очень важен. На наш взгляд, данный материал вызовет ряд затруднений у учащихся. Поэтому, рассмотрение следующей задачи мы представляем в несколько иной форме, которая будет доступна школьнику, даже если он не знаком с соответствующими понятиями математической логики. Задача 2. В моей семье 4 человека. Фраза: «Ровно 2 человека из них ежедневно делают зарядку» означает: (А) Ежедневно только два человека делают зарядку. (В) Ровно два человека никогда не делают зарядку. (С) Ровно два человека если и делают зарядку, то не каждый день. (D) Ежедневно ровно два человека не делают зарядку. (Е) Ежедневно происходит следующее: два человека делают зарядку, а два не делают [2]. Решение. - Мама решила вести лист учета, в котором она отмечала - человека, делавшего зарядку, н – ставила напротив имени того, кто сегодня зарядку не делал. Вот, что в результате у мамы получилось: Имя Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс Маша Сережа н н н н н н н н Папа Мама н - Что, на ваш взгляд, означает фраза: «Ровно 2 человека из них ежедневно делают зарядку». Назовите их имена? - Делают зарядку каждый день, не пропуская. Это Маша и папа. - Но в семье всего 4 человека. Тогда как обстоит дело с зарядкой у оставшихся 2 человек? - Если они и делают зарядку, то не каждый день. - Давайте рассмотрим по порядку предложенные нам варианты. (А) Ежедневно только два человека делают зарядку. Это верное утверждение? Посмотрите внимательно на лист учета. - Нет, так как не всегда зарядку делают только два человека. В некоторые дни занимающихся 3 и даже 4. - Теперь рассмотрим следующее утверждение: (В) Ровно два человека никогда не делают зарядку. Это верное утверждение? Посмотрите внимательно на лист учета. - Это неправда, так как мама и Сережа иногда делают зарядку. - Смотри следующее утверждение: (С) Ровно два человека если и делают зарядку, то не каждый день. Как вы думаете, это верное утверждение? - Да, так как у нас папа и Маша делают зарядку каждый день, а мама и Сережа, если и делают, то не каждый день. - У нас осталось еще два варианта: (D) Ежедневно ровно два человека не делают зарядку. - Совсем не обязательно. Бывают дни, когда мама и Сережа делают зарядку. - Итак, рассматриваем последнее утверждение: (Е) Ежедневно происходит следующее: два человека делают зарядку, а два не делают. - Оно не верно, если внимательно посмотреть на лист учета. - Таким образом правильный ответ: (С) Ровно два человека если и делают зарядку, то не каждый день. Подобного рода задачу можно решать и в том случае, если у нас не 4 человека, а например 30 или 600. Рассуждения остаются теми же. Задача 3. Если вчера был понедельник, то через 72 часа после сегодняшнего полудня был бы день недели, который на самом деле будет послезавтра. Из этого следует, что завтра будет: (А) Понедельник (В) Вторник (С) Четверг (D) Воскресенье (Е) Другой день [2] Решение. - Переведите 72 часа в сутки. - 3 суток. - Прочитайте условие задачи, заменив названием дней недели сочетания: «сегодняшнего полудня», «день недели». - Если вчера был понедельник, то через 3 суток после вторника была бы пятница, которая на самом деле будет послезавтра. - Какой день недели, на самом деле, будет завтра? - Четверг. - Сравните ваш ответ с предложенными вариантами. Сейчас мы рассмотрим задачу о жителях одной сказочной страны. Жители этой страны Рыцари и Лжецы. Известно, что Лжецы – всегда лгут, а Рыцари – всегда говорят правду. Итак, задача: Задача 4. Пять человек сидят за столом. По очереди каждый из них говорит: «Оба мои соседа, справа и слева, – Лжецы». Кроме того, все знают, является ли Лжецами их соседи. Сколько Лжецов за столом? [2] Решение. - Могут ли все 5 человек быть лжецами? - Нет, так как получится, что Лжец говорит правду, а у нас Лжецы - всегда лгут. - Давайте схематически изобразим всех сидящих за столом и рассмотрим одного из Рыцарей. Р - Какой можно сделать вывод о его соседе, исходя из условия задачи? Дополните схему. - Оба его соседа – Лжецы. Р Л Л - Далее идем по часовой стрелке от Рыцаря, то есть предоставляем слово Лжецу. Так как он всегда лжет и произносит фразу: «Оба мои соседа, справа и слева, – Лжецы» - какая это фраза: истинная или ложная? Сформулируйте отрицание этой фразы. - Эта фраза ложная. Следовательно, на самом деле, либо с обеих сторон сидят Рыцари, либо с одной стороны Рыцарь, а с другой Лжец. Р 1) Л 2) Л Р Л Л - Теперь продолжим идти по часовой стрелке и предоставим слово соседу Лжеца. В 1) ситуации : Скажите, кто пятый человек за столом? Изобразите соответствующую схему. - Сосед слева - Лжец. Р Л Л Л Р - 2) ситуация : Эту фразу произносит Лжец. Что можно сказать о пятом сидящем за столом. - Это Рыцарь. Р Л Л Р Л - Таким образом, сколько Лжецов за столом в каждом из ситуаций? - 3 Лжеца. И, наконец, мы предлагаем старшеклассникам серию задач, связанных с волшебными квадратами. Другими словами, требуется увидеть некоторую закономерность. 1. Вставьте пропущенное выражение [3] sin а cos 1 24 7 1 1 а2 в2 а а2 25 в2 ? Подсказка: вспомни основное тригонометрическое тождество. [Ответ: 2a .] b 2. Заполни пустые клетки [3]. х5 х 5x4 ? tg x ? sin x cos x [Ответ: Производные от выражений верхней строки: 1 2 х ; 1 .] cos 2 x 3. Найди неизвестное выражение[3]. Подсказка: (ln x) = ln x 1 х 1 х2 sin2x sin2x 2cos2 x х 1 х ? ? 1 . х [Ответ: Выражения, записанные во втором столбике, производные выражений, записанных в первом, а выражения, записанные в третьем столбике, производные выражений, записанных во втором 1 ; х2 4. Заполни сектор [3]. 1+tg2x sin2x 1-sinx 1+ sinx ctg2x 1) (1+sinx)  ( 1–sinx) = ? 2) sin2x  ctg2x = ? 3) (1+tg2x)  ? = ? ? (1+sinx)  ( 1–sinx) = sin2x  ctg2x =(1+tg2x)  ? Какая операция обозначена  ? Замени ? выражением. [Ответ: cos2x .] 5. Изобрази схематично [3]. 2 .] х3 y = sinx y = |sinx| y = sin|x| Ответ: Данные материалы разработаны А.И. Забариной, Т.С. Ожеред, Г.Г. Пестовым и опубликованы в пособии: Организация занятий школьников по логике в рамках игры “Кенгуру”. Учебнометодическое пособие. – Томск : Учебно-методический издательский центр ТГПУ, 2007. – 53 с. Таким образом, с помощью системы непрерывной подготовки, включающей инновационные содержание, формы обучения, и ориентированной на формирование творческого уровня знаний и умений обучающихся, создаются условия для развития личности ученика в направлении, соответствующем ее внутреннему стремлению к саморазвитию, самоактуализации и самореализации в процессе изучения математики.