Расчет винтовых цилиндрических пружин

ЛЕКЦИЯ №8 Расчет винтовых цилиндрических пружин. Определение напряжений в пружинах. Различные способы определения перемещений в пружинах. В подвесках, в клапанах и в других деталях механизмов применяются винтовые пружины, подвергающиеся действию сил, сжимающих или растягивающих пружину. При проектировании пружин необходимо уметь вычислять наибольшее напряжение (для проверки прочности) и определять деформацию пружины – ее удлинение или осадку. Последнее необходимо, так как на практике регулируют нагрузки, приходящиеся на пружину, давая ей большие или меньшие деформации сжатия или растяжения. Таким образом, необходимо по размерам пружины уметь вычислить зависимость между ее деформацией и силой. Оказывается, что материал пружины испытывает напряжения кручения, как это будет показано ниже. Мы ограничимся рассмотрением винтовой пружины с малым шагом витков, т.е. с малым по сравнению с ее диаметром расстояния между витками. При этом условии наклоном витков можно пренебречь и считать, что любое поперечное сечение параллельно силам Р, приложенным вдоль оси пружины и растягивающим или сжимающим ее (рис. 8.1). Обозначим: радиус винтовой пружины R; диаметр проволоки, из которой она свита, d=2r; число витков пружины n и модуль сдвига материала G. Для определения внутренних усилий и напряжений, возникающих в сечении при растяжении (или сжатии) пружины, разрежем один из витков плоскостью, проходящей через ось пружины, и рассмотрим равновесие одной из отсеченных частей, например нижней (рис. 8.1,б и 8.2). Рис. 8.1 Рис. 8.2 Приложенная к этой части внешняя сила F, направленная вниз, уравновешивается направленным вверх внутренним усилием F1=F, лежащим в плоскости сечения и передающимся через это сечение от верхней отброшенной части на нижнюю. Так как силы F и F1 образуют пару с моментом Т=FR, вращающим рассматриваемую часть пружины против хода часовой стрелки, то уравновесить ее может только лежащий в плоскости сечения момент внутренних сил Тk=FR, направленный по ходу часовой стрелки. Поскольку внутренние усилия F1 и Тк, заменяющие действие верхней части пружины на нижнюю, лежат в плоскости сечения, они складываются из касательных напряжений. Сдвигающая сила F1=F образуется из элементарных усилий dF1 = τ 1dA , удерживающих сечение от сдвига вниз (рис. 8.3,а). Предполагая равномерное распределение напряжений τ1 по площади сечения, выразим силу F1 = τ 1 A , откуда напряжение среза: τ1 = F1 F = 2. A πr (8.1) Tk FR ρ= ρ Ip Ip . (8.2) Крутящий момент Тк, удерживающий сечение от вращения (см. рис. 8.2), как известно, связан с касательными напряжениями τ2 при кручении формулой: τ2 = Рис. 8.3 Обе системы напряжений τ1 и τ2, возникающие в сечении при растяжении пружины силами F, показаны на рис. 8.3,а,б. В каждой точке сечения τ1 и τ2 складываются геометрически и лишь вдоль радиуса АО направления их совпадают. Так как наибольшие напряжения кручения возникают в точках контура сечения, т.е.: τ 2, max = Tk 2 FR = W p πr 3 , (8.3) то наиболее опасной точкой сечения будет точка А у внутреннего края контура, где τ1 и τ2 складываются арифметически. Следовательно, наибольшее суммарное касательное напряжение в сечении пружины равно: 2R F 2 FR F ( 1 ). + = + πr 2 πr 3 πr 2 r По условию прочности τ max ≤ [τ ] , или τ max = τ max = P 2R ( 1 + ) ≤ [τ ]. r πr 2 (8.4) Так как в большинстве случаев второе слагаемое в скобках (8.4) значительно больше единицы, то обычно пренебрегают первым слагаемым – напряжением от простого перерезывания – и учитывают лишь кручение стержня парами PR. Тогда: τ max = 2 FR πr 3 . (8.5) При таком упрощении легко вычислить удлинение пружины, которую мы обозначим через λ. Вырежем из пружины отрезок длиной ds двумя смежными сечениями – СО1 и СО2, проходящими через ось пружины (рис. 8.4). Так как эти сечения мы выбираем весьма близко, то можно принять, что до деформации радиусы R, идущие от оси пружины к центрам проведенных сечений, лежат в одной плоскости и образуют треугольник O1CO2. Рис. 8.4 После деформации второе сечение, вследствие скручивания участка стержня Tk ds d = ϕ длиной ds, повернется относительно первого на угол GI p . Тогда радиус О2С повернется относительно радиуса О1С тоже на угол dφ, и точка С переместится в положение С1, что повлечет опускание конца пружины на величину dλ = Rdϕ = R Tk ds GI p . Если мы учтем, что все элементы ds стержня пружины деформируются таким же образом, то полное опускание нижнего конца пружины, т.е. ее удлинение, выразится суммой величин dλ: l λ = ∑ dλ = ∫ R Tk ds Tl =R k . GI p GI p (8.6) l ∫ Здесь l = ds – полная длина стержня пружины, а Tk l – взаимный угол GI p закручивания концов стержня пружины, определенный в предположении, что стержень распрямлен. Пренебрегая наклоном витков к горизонтали и принимая число их n, получаем, что полная длина винтового стержня равна: l = 2πRn , тогда Tk R 4 FR 3n λ= 2πRn = GI p Gr 4 . (8.7) Ту же формулу можно получить путем сравнения работы внешних сил 1 A = Fλ 2 с потенциальной энергией Tk2l U= 2GI p , кручения что рекомендуется сделать самостоятельно. Обозначая допускаемую величину осадки пружины через [λ], напишем условие жесткости для нее: 4 FR 3n λ= ≤ [λ ] . Gr 4 (8.8) На практике при расчете пружин в формулу для определения максимальных касательных напряжений вводят поправочный коэффициент k, учитывающий как влияние перерезывания, так и ряд других, не учтенных выше факторов (изгиб формы стержня, продольные деформации и т.д.); величина этого коэффициента тем больше, чем больше отношение r/R, т.е. чем более жестка в геометрическом отношении пружина. При этом расчет ведут по формуле: τ max = k Tk FR =k 3 πr . Wp 2 (8.9) Поправочный коэффициент может быть взят по табл. 8.1. Таблица 8.1 R/r 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 k 1,42 1,31 1,25 1,21 1,18 1,16 1,14 1,12 1,11 1,09 При расчете пружин иногда заданной является не сила, сжимающая или растягивающая пружину, а энергия U0, которая должна быть ею поглощена. Подобно тому, как это было при растяжении или сжатии стержня, потенциальная энергия деформации пружины U измеряется работой внешних сил. Так как для пружины зависимость между λ и F прямолинейна, потенциальная энергия деформации пружины равна: 1 2 F 2 R 3n U = Pλ = . 2 Gr 4 Учитывая, что FR = U= τπr 3 2πRn 2 2 πr τ . 4G 2 , получаем: 2 Так как 2πRn – длина стержня пружины, а πr – площадь сечения, то τ2 U= V 4G , где V – объем пружины; учитывая, что U=U0, находим: V= 4GU 0 [τ ] 2 . (8.10) Таким образом, задавшись предельной величиной напряжения τ=[τ], мы можем вычислить объем пружины, необходимый для поглощения заданной величины энергии U=U0, с тем, чтобы не были превышены допускаемые напряжения [τ]. При этом необходимо проверить осадку пружины при напряжениях [τ]; она должна быть такой, чтобы не произошло закрытия зазоров между витками. Кроме цилиндрических винтовых пружин на практике приходится встречаться с коническими пружинами (рис. 8.5). Радиусы верхнего и нижнего витков обозначены соответственно R1 и R2; величина промежуточного радиуса R определяется формулой: R = R1 + R2 − R1 α, 2πn (8.11) где n – число витков, а α – угол, образованный рассматриваемым радиусом с верхним радиусом R1 и отсчитываемый по виткам пружины. Рис. 8.5 Проверка прочности конической пружины производится по формулам (8.3) или (8.9). Что касается осадки λ, то при ее вычислении, как и раньше, надо суммировать элементарные деформации: dλ = Tk Rds GI p , где Тк – теперь переменная величина FR. Таким образом, осадка пружины может быть вычислена по формуле: T ds F λ=∫ k R= GI p GI p 2πn ∫ 3 ( R2 − R1 )α  Fn  dα = 4 R12 + R22 ∗ [R1 + R 2 ] . (8.12)  R1 +  2πn  r G [ ]