Расчет установившихся режимов ЭЭС

I. РАСЧЕТ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЭЭС 1.1. Модель установившихся режимов в детерминированной постановке Анализ условий работы электрических систем требует расчета установившихся режимов, целью которого является определение параметров режима – напряжений в узлах электрической сети, токов и мощностей, протекающих по отдельным элементам этой сети. Эти расчеты выполняются с помощью схемы замещения, которая представляет собой графическое изображение электрической сети, показывающее последовательность соединения отдельных элементов и отображающее свойства рассматриваемой электрической схемы. К схеме замещения применимы такие понятия, как ветвь, узел и контур. Ветвью называется участок цепи, который состоит из последовательно соединенных ЭДС и сопротивления (либо только сопротивления) и вдоль которого в любой момент времени ток имеет одно и то же значение. Узел определяется как точка соединения двух и более ветвей, а контур – как участок цепи, образованный таким последовательным соединением нескольких ветвей, при котором начало первой ветви контура соединено с концом последней в одном узле. Элементы схем замещения делятся на активные и пассивные. К активным элементам схем замещения относят источники ЭДС и тока. Для них характерно то, что они задают напряжения или токи в точках присоединения этих элементов в соответствующей цепи, независимо от ее остальных параметров. Пассивные элементы схем замещения (в первую очередь сопротивления и проводимости) создают пути для протекания электрических токов. Пассивные элементы обычно разделяют на поперечные и продольные. Поперечные пассивные элементы – это ветви, включенные между узлами схемы и нейтралью, т.е. узлом, имеющим напряжение, равное нулю. К продольным пассивным элементам относят ветви, соединяющие все узлы, кроме узла с напряжением, равным нулю. Основными элементами расчетной схемы замещения являются узлы и ветви. Модель узла электрической сети В общем случае отдельный узел электрической сети представляют схемой замещения (рис.1.1). Здесь ,  регулируемые активная и реактивная мощности генерации узла ; ,  активная и реактивная мощности нагрузки узла ;  проводимость поперечной ветви; ,  активная и реактивная мощности, выдаваемые из узла в сеть; ,  активная и реактивная мощности, вытекающие из узла в узел ;  множество узлов, смежных с -ым узлом; ,  модуль напряжения и угол сдвига в узле . Величина определяется с помощью следующего выражения: , где  активная проводимость поперечной ветви;  реактивная проводимость поперечной ветви. При расчетах можно также использовать продольную и поперечную составляющие комплекса напряжения и . Известно, что , и, наоборот, , . Комплексы токов могут быть найдены через заданные активные и реактивные мощности и и модули напряжений . Например, для генераторов  активный ток,  реактивный ток или  модуль тока,  фаза тока относительно напряжения . Аналогично записывают выражения для токов других элементов. Обратное преобразование от токов к мощности очевидно: , или , . Модель ветви электрической сети Рассмотрим модель ветви, которая в общем случае может быть представлена следующей схемой замещения (рис.1.2). Схема замещения содержит следующие параметры, характеризующие ветвь:  сопротивление продольное : ;  проводимость ветви : ;  проводимость на землю в узле связи : ;  проводимость на землю в узле связи : . Необходимо подчеркнуть, что в общем случае . Комплексные коэффициенты трансформации в узле , а в узле . Соответственно ток , вытекающий из узла по связи , определяется с помощью закона Ома: 1.2 Определение потоков и потерь мощности Расчет установившихся режимов сложных электрических систем методом узловых напряжений состоит из двух частей: 1) определение напряжений узлов; 2) определение токов, потоков и потерь мощности в ветвях. Если напряжения всех улов известны, то можно легко определить для каждой ветви ток по закону Ома, а также потоки и потери мощности в соответствии с приведенными ниже выражениями. Пусть дана схема замещения сети (рис. 1.3), состоящая из трех линий электропередачи, генераторных узлов 1, 2 и нагрузочного узла 3. Ток (фазный) в продольной части линии (рис.1.3) по закону Ома равен: , где ,  линейные напряжения узлов и ;  сопротивление ветви ;  взаимная проводимость узлов. Имея в виду, что напряжение может быть представлено в виде суммы действительной и мнимой составляющих: , а проводимость – как сумма активной и реактивной: , можно получить выражения для активной и реактивной составляющих тока по связи : ; . Перетоки активной и реактивной мощностей по отдельным связям определяются по формулам: , . Вычислим суммарные потери мощности для схемы, приведенной на рис. 1.3., при следующих детерминированных данных: сопротивление линий  , , ; модули напряжений узлов  , , ; сдвиги фаз узлов  , , . Решение. 1. Определение полных проводимостей отдельных связей электрической сети и отдельных составляющих этих проводимостей и : , , , , , , , , ; 2. Определение активных и реактивных составляющих напряжений отдельных узлов электрической сети: , , , , , ; 3. Определение активных и реактивных составляющих токов по отдельным связям электрической сети: , , , , , ; 4. Определение реверсивных составляющих токов по отдельным связям, , : , , , , , ; 5. Определение перетоков активной и реактивной мощностей по отдельным связям: , , , , , ; 6. Определение реверсивных перетоков активной и реактивной мощностей по отдельным связям: , , , , , ; 7. Определение потерь активной , реактивной и полной мощностей в отдельных связях: , , , , , , , , ; 8. Определение суммарной потери полной мощности в электрической сети : . II. РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ В электроэнергетике экспериментальные исследования получили большое распространение как на этапе проектирования, так и при текущей эксплуатации электрических сетей. При математической обработке массивов экспериментальной информации возникает необходимость в подборе эмпирических формул, устанавливающих связь одного измеренного параметра с другим. Задача определения точного вида выявленной взаимозависимости параметров решается с помощью регрессионного анализа. Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения зависимости, в которой изменение одного параметра обусловлено влиянием другого параметра , т.е. необходимо определить функциональную зависимость . Количественная оценка данной зависимости осуществляется с помощью построения регрессионной функции – уравнения регрессии. В общем случае уравнение регрессии зависимого параметра от независимого параметра можно записать в виде полинома степени . В простейшем случае между двумя коррелированными параметрами существует линейная зависимость , (3.1) которое является линейным уравнением регрессии. В выражение (3.1) величина называется свободным членом уравнения регрессии, а величина  коэффициентом уравнения регрессии. Предположим, что в результате измерений сформированы массивы экспериментальной информации по параметрам и , которые определяются зависимостью , а график этой зависимости представлен на рис.3.3. Известно, что с помощью интерполирования через любые точек всегда можно провести кривую, выраженную полиномом степени , так чтобы она в точности прошла через каждую из точек (рис.3.3., непрерывная кривая). Однако вид такой кривой крайне сложен для ее математического описания. Возникает задача сглаживания экспериментальной зависимости. Экспериментальные данные желательно обработать так, чтобы по возможности достаточно точно отразить общую тенденцию зависимости от , но вместе с тем «сгладить» нехарактерные случайные отклонения (рис.3.3., пунктирная кривая), вызванные, в том числе, и неизбежными погрешностями измерений. Одним из эффективных методов расчетного сглаживания является метод наименьших квадратов (МНК). Формулировка МНК Пусть имеются результаты независимых измерений, оформленные в виде статистической таблицы. Пусть выбрана зависимость вида , содержащая ряд числовых коэффициентов , , …, , …, . Требуется так выбрать эти коэффициент, чтобы кривая в определенном смысле наилучшим образом изображала зависимость, полученную по данным измерениям. Согласно этому методу требование наилучшего согласования кривой вводится для того, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных измерений от сглаживающей кривой обращалась в минимум. Запишем как функцию не только параметра , но и коэффициентов , , …, , …, : . По МНК коэффициенты надо выбрать так, чтобы выполнялось условие . (3.2) Для того чтобы выполнить это условие, необходимо продифференцировать выражение (3.2) по коэффициентам , , …, , …, и приравнять полученные производные к нулю: где  значение частной производной функции по коэффициенту в точке . Для решения этой системы необходимо задаться конкретным видом зависимости . Рассмотрим наиболее часто встречающийся на практике случай, когда функциональная зависимость имеет вид (3.1). Определение коэффициентов линейной функции с помощью МНК Пусть в опыте зарегистрирована совокупность значений , , . Требуется определить по МНК коэффициенты , линейного уравнения регрессии (3.1), отображающего данную экспериментальную зависимость. Найдем частные производные выражения (3.1) по коэффициентам и : , . Тогда, используя МНК, можно записать или (3.3) Раскроем скобки в системе (3.3) и, произведя суммирование, получим (3.4) Из системы (3.4) определяем коэффициенты линейного уравнения регрессии (3.1) (3.5) Определение коэффициентов и из системы (3.5) является трудоемкой задачей при большом количестве экспериментальных данных. Расчеты значительно упрощаются, если использовать коэффициент корреляции . Пусть значения экспериментальных измерений являются дискретными случайными величинами с равновероятностными элементарными исходами. Тогда можно записать , , (3.6) , , (3.7) , , (3.8) . (3.9) В выражении (3.7) для дискретной величины раскроем скобки и проведем суммирование, т.е. Учитывая (3.6) и (3.8), получим или . (3.10) Преобразуем выражение (3.9), раскрыв скобки и проведя суммирование Учитывая (3.6), запишем или . (3.11) Учитывая (3.6), (3.10) и (3.11), запишем систему для определения коэффициентов линейного уравнения регрессии следующим образом (3.12) Из (3.12) видно, что коэффициент имеет размерность равную отношению размерностей экспериментальных данных к , а коэффициент  размерность экспериментальных данных Таким образом, линейное уравнение регрессии (3.1) с учетом коэффициентов (3.12) примет вид . (3.13) Следует отметить, что знак при коэффициенте корреляции показывает характер тенденции корреляционной связи и является одним из критериев правильности выполненных расчетов: ▪ знак «+» означает, что изменение исследуемых параметров и имеет одинаковую тенденцию (корреляционная связь положительная); ▪ знак «» означает, что изменение исследуемых параметров и имеет разную тенденцию (корреляционная связь отрицательная); ▪ значение означает, что корреляционная связь между исследуемыми параметрами и отсутствует. Для статистического определения коэффициентов линейного уравнения регрессии между двумя случайными величинами и необходимо иметь данные их измерений. Пусть наблюдались следующие пары одновременных измерений величин и : , , …, , …, , тогда для получения зависимости в виде линейного уравнения регрессии нужно: 1. Определить математические ожидания случайных величин и по формулам: , ; 2. Определить дисперсии случайных величин и по формулам: , ; 3. Определить среднеквадратичные отклонения случайных величин и по формулам: , ; 4. Определить коэффициент корреляции случайных величин и по формуле: ; 5. Определить коэффициенты регрессии по формулам: . Важной проверкой составления регрессионной модели является знак : ▪ знак «+» означает, что изменение исследуемых параметров и имеет одинаковую тенденцию; ▪ знак «»  разную тенденцию; 6. Составить регрессионную модель по формуле: . Пример. В течение ряда лет максимум нагрузки энергосистемы и годовая выработка электроэнергии имели следующие значения: Решение. Для заданных параметров и определим основные статические характеристики. Нагрузка потребителей : , . Годовая выработка электроэнергии : , . Определяем величину коэффициента корреляции: Так как параметры и имеют одинаковую тенденцию изменения – оба увеличиваются, положительный знак при коэффициенте корреляции определен верно. Запишем уравнение регрессии на : , , . Положительный знак у параметра в правой части уравнения регрессии свидетельствует об идентичной тенденции в изменении параметров, что соответствует истине. Приняв из таблицы , по уравнению регрессии находим . В этом случае погрешность сглаживания будет равна . III. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Расчеты установившихся режимов составляют существенную часть общего объема исследований электроэнергетических систем, выполняемых как на стадии проектирования, так и в процессе эксплуатации этих систем. Эти расчеты необходимы при выборе конфигурации схемы электрической системы и параметров ее элементов, анализе устойчивости и оценке токов коротких замыканий, определении наиболее экономичных режимов ее работы. Исходными данными о нагрузках реальных электрических систем при их проектировании и эксплуатации обычно служат значения потребляемых ими активных и реактивных мощностей (), которые могут приниматься постоянными (), либо зависящими от напряжения в точке подключения нагрузки к сети, т.е. . Исходными данными об источниках питания, как правило, служат выдаваемые генераторами в систему активные мощности () и абсолютные значения напряжений в точках их подключения: , хотя в ряде случаев источники питания могут быть заданы и постоянными значениями активных и реактивных мощностей (,) аналогично нагрузкам. При указанных исходных данных целью расчета установившегося режима электрической системы является определение мощностей и токов в ветвях схемы замещения и комплексных значений напряжений в ее узловых точках. С математической точки зрения задача сводится к решению системы нелинейных уравнений из-за нелинейности зависимости мощности от тока и напряжения. Конкретный вид этих уравнений определяется формами уравнений состояния, положенных в основу математического описания установившегося режима и обобщенными параметрами системы. Из уравнения состояния наиболее широко применяются узловые уравнения, которые характеризуются как простотой формирования, так и большими возможностями эффективной организации процесса решения. Методы решения можно разделить на две большие группы: прямые и итерационные. К прямым относятся методы, позволяющие получить решение в результате конечного числа арифметических операций, зависящего только от вычислительной схемы, а также от порядка и структуры матрицы коэффициентов системы уравнений. В математике методы этой группы называются точными, поскольку, если исходные данные заданы точно (в виде целых чисел или обыкновенных дробей) и вычисления выполняются точно (например, по правилам действия над обыкновенными дробями), то решение также получается точным. Практически в основе всех прямых методов решения линейных алгебраических уравнений установившегося режима электрической системы лежит метод последовательного исключения неизвестных, называемый методом Гаусса. К итерационным относятся методы, с помощью которых решение системы линейных алгебраических уравнений получается как предел последовательных приближений, вычисляемых посредством единообразных операций. В математике итерационные методы называются приближенными, они позволяют получить решение системы уравнений лишь с заданной точностью. 3.1 Метод простой итерации Исходная система линейных алгебраических уравнений (3.1) В предположении, что , , приводится к виду (3.2) Система уравнения (3.2) согласно методу простой итерации решается следующим образом: 1) задаются начальными (нулевыми) приближениями неизвестных , ; 2) значения подставляются в правые части системы (3.2) и тем самым определяются следующие приближения неизвестных , ; 3) подстановкой полученных значений находится следующее приближение и т.д. Таким образом, на -ом шаге итерационного процесса система (3.2) запишется как (3.3) Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения , полученные на двух смежных итерациях, не будут отличаться на величину, меньшую заданной погрешности решения , т.е. до выполнения условия , . (3.4) При выполнении неравенства (3.4) для произвольного начального приближения , итерационный процесс называется сходящимся. В противном случае итерационный процесс не приводит к решению и называется расходящимся. Условием сходимости итерационного процесса является выражение: , , . (3.5) В матричном виде систему (3.1) можно представить следующим образом . В дальнейшем исходная система (3.1) заменяется системой и приводится к виду . Тогда матрицу неизвестных согласно системе (3.3) можно записать: . Пример 3.1. Методом простой итерации с точностью определить напряжения в узлах электрической сети, описываемых следующей системой уравнений: Решение. Проверим достаточное условие сходимости (3.5)  условие выполняется,  условие выполняется,  условие выполняется,  условие выполняется. Приводим систему линейных алгебраических уравнений к виду (3.2) Задаем начальное приближение: . Определяем первое приближение: . Определяем второе приближение: . Дальнейшие расчеты выполняются в соответствии с вышеизложенным алгоритмом. Результаты вычислений представлены в таблице. Результаты расчета № итерации 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1 27.115344 12.166667 41.550218 25.724820 2 20.452435 21.067212 55.839344 38.215894 3 20.415115 16.997163 56.563434 45.645101 4 19.755137 14.885029 59.281450 44.882491 5 17.900517 15.273254 59.111408 45.292926 6 18.163006 14.423980 58.640808 45.564942 7 18.060997 14.371238 58.902613 45.179391 8 17.891799 14.486831 58.762686 45.260422 9 17.995880 14.377573 58.723224 45.266178 10 17.970948 14.409265 58.768850 45.214391 11 17.958636 14.422125 58.742067 45.239364 12 17.976558 14.405994 58.744407 45.235717 13 17.969299 14.414212 58.750543 45.230288 14 17.969311 14.414008 58.745774 45.235095 15 17.971645 14.411862 58.747251 45.233564 16 17.970110 14.413423 58.747737 45.233210 17 17.970454 14.413022 58.746989 45.233931 18 17.970680 14.412824 58.747356 45.233559 19 17.970422 14.413076 58.747334 45.233597 20 17.970528 14.412964 58.747239 45.233683 21 17.970533 14.412964 58.747310 45.233613 22 17.970498 14.412997 58.747291 45.233634 23 17.970520 14.412975 58.747283 45.233641 24 17.970516 14.412980 58.747294 45.233630 Таким образом: , , , . 3.2 Метод Гаусса-Зейделя Этот метод, так же как и метод простой итерации, базируется на использовании уравнений системы, приведенных к виду (3.2). Однако в отличие от метода простой итерации для вычисления -ой переменной на каждом -ом шаге итерационного процесса используются значения переменных, вычисленные на предыдущем -ом шаге, так и на данном. При этом на -ом шаге итерационного процесса система (3.2) примет вид (3.6) Условием сходимости итерационного процесса по методу Гаусса-Зейделя является выражение (3.5). Пример 3.2. Найти решение системы алгебраических уравнений, рассмотренной в примере 3.1 с помощью метода Гаусса-Зейделя. Решение. Проверим достаточное условие сходимости (3.5)  условие выполняется,  условие выполняется,  условие выполняется,  условие выполняется. Приводим систему линейных алгебраических уравнений к виду (3.2) Задаем начальное приближение: Определяем первое приближение: , , , Дальнейшие расчеты выполняются в соответствии с вышеизложенным алгоритмом. Результаты вычислений представлены в таблице. Результаты расчета № итерации 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1 27.115344 22.424116 46.851929 42.360552 2 24.730290 16.023911 59.682907 45.077610 3 18.201203 14.688184 58.735208 45.268326 4 18.080373 14.442402 58.786626 45.239376 5 17.968024 14.416285 58.747886 45.234934 6 17.971697 14.413132 58.748012 45.233749 7 17.970328 14.412986 58.747268 45.233652 8 17.970526 14.412977 58.747299 45.233635 9 17.970510 14.412980 58.747288 45.233635 10 17.970515 14.412981 58.747290 45.233635 Таким образом: , , , . 3.3 Метод Ньютона-Рафсона Итерационный метод Ньютона-Рафсона используется для решения нелинейного уравнения вида . В основу этого метода положена линеаризация исходного нелинейного уравнения. В этом случае нелинейную функцию записывают в виде ряда Тейлора (разложение по степеням полинома): . В случае линейной постановки задачи при решении методом Ньютона-Рафсона используется следующее выражение: . Поскольку решение находим при , то, приняв , получим . Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения , полученные на двух смежных итерациях, не будут отличаться на величину, меньшую заданной погрешности решения , т.е. до выполнения условия или . Для корректного применения метода необходимо определить интервал изменения переменной, на котором уравнение имеет точно один корень. При выборе начального приближения должно выполняться следующее условие . Следует отметить, что данный метод применим лишь для тех нелинейных функций, которые монотонны, гладки, дифференцируемы, не имеют разрывов 1-го и 2-го рода и однозначно определены. Пример 3. Методом Ньютона-Рафсона найти решение нелинейной функции : . Расчеты выполнить с двойной машинной точность . Решение. Приравняем функцию к нулю: . Вычислим первую производную : . Определим возможную область существования решения. Для этого необходимо определить интервал, на котором функция меняет свой знак, т.е.: при , , ; при , , ; при , , . Выбираем за начальное приближение , так как . Определяем первой приближение: , . Определяем второе приближение: , . Дальнейшие расчеты выполняются с вышеизложенным алгоритмом. Результаты вычислений представлены в таблице. Результаты вычислений 2,000000 37,000000 65,000000 0,569231 1 1,430769 10,140369 33,773415 0,300247 2 1,130522 1,263773 26,109534 0,048403 3 1,082119 0,020977 25,257471 0,000831 4 1,081289 0,000006 25,243609 0,000000 5 1,081289 0,000000 25,243605 0,000000 Окончательно имеем: . IV. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ Схемы замещения современных сложных электрических систем содержат сотни и более узлов и ветвей. Количество уравнений состояния для таких систем настолько велико, что для их решения необходимо использовать современные вычислительные комплексы. Более того, составление уравнений состояния для сложных электрических схем является весьма трудоемкой процедурой. Поэтому для решения таких задач в практических расчетах широко используется аналитическое представление конфигурации схемы замещения электрической сети с помощью процедур алгебры матриц и элементов теории графов. 4.1 Схема замещения электрической сети как связанный граф Основоположником применения теории графов при расчете электрических схем является Кирхгоф, который сформулировал основные топологические правила решения контурных уравнений схемы. Он впервые показал функциональную связь электрической схемы с ее геометрией. Схема замещения электрической сети представляется в виде связанного направленного (ориентированного) графа и состоит из ветвей (ребра), связывающих различные узлы (вершины). Эти ветви организуют цепочки (пути графа), которые, замыкаясь, могут образовывать замкнутые контуры. Замкнутый контур, у которого хотя бы одна из ветвей является внешней по отношению к другим замкнутым контурам, называется замкнутым независимым контуром. Рассмотрим схему замещения электрической сети (рис.4.1). Схеме замещения на рис. 4.1., соответствует связанный направленный граф, который содержит: узлы  1, 2, 3, 4, 5; ветви  , , , , , ; контура, образуемые ветвями: ,, . Замкнутыми независимыми контурами будут являться контура, образованные ветвями: ,. Факт совпадения конечной точки ветви с отдельным узлом графа называется инциденций. Для направленного графа могут быть определены: 1. Матрица соединений ветвей в узлах (первая матрица инциденций); 2. Матрица соединений ветвей в независимые контуры (вторая матрица инциденций). Матрица соединений впервые введена Пуанкаре. Она предназначена для аналитического описания направленного графа электрической сети и отображает связь отдельных узлов в этой схеме. Матрица  это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу узлов графа , а число столбцов  числу ветвей . Она обозначается следующим образом: , , . При этом номера строк соответствуют номерам узлов, а номера столбцов  номерам ветвей. Элементы матрицы могут принимать одно из трех значений: , если узел является начальной вершиной ветви ; , если узел является конечной вершиной ветви ; , если узел не принадлежит ветви . Каждая строка показывает, какие ветви присоединяются к данному узлу схемы, а каждый столбец – какие узлы являются начальным и конечным узлами данной ветви. Таким образом, в графе, содержащем изолированные узлы, соответствующие строки матрицы будут содержать только нулевые элементы. Условием правильности составления матрицы является наличие только одной положительной единицы и только одной отрицательной единицы в каждом ее столбце. Для направленного графа, показанного на рис. 4.2, матрица будет иметь вид: Матрица контуров служит для обобщенного аналитического описания различных совокупностей ветвей графа, образующих линейные замкнутые контуры. Матрица  это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу независимых контуров графа , а число столбцов  числу ветвей . Она обозначается следующим образом: , , . При этом номера строк соответствуют номерам независимых контуров, а номера столбцов  номерам ветвей. Элементы матрицы определяются следующим образом: , если ветвь входит в контур и их направления совпадают; , если ветвь входит в контур и их направления не совпадают; , если ветвь не входит в контур . Каждая строка матрицы показывает, какие ветви входят в состав соответствующего независимого контура и какое направление имеют относительно направления контура. Каждый столбец той же матрицы показывает, в состав каких независимых контуров входит данная ветвь и совпадает ли ее направление с направлением эти контуров. Условием правильности составления матрицы контуров, если все ветви входят в контуры, является наличие хотя бы одной положительной либо отрицательной единицы в отдельном ее столбце. Исключение составляют столбцы, которые содержат ветви, не входящие ни в один линейный замкнутый независимый контур графа. В этом случае столбцы матрицы будут содержать только нулевые элементы. Для направленного графа, показанного на рис. 4.2, матрица будет иметь вид: