Работа стержня в упругопластической стадии.

Работа стержня в упругопластической стадии. Экспериментальные исследования, выполненные для стержней с минимальным количеством дефектов, хорошо согласуются с расчетами. Для гибких стержней (длинных и тонких) основной причиной, ограничивающей несущую способность является именно потеря устойчивости. Однако для стержней коротких и массивных критические напряжения по Эйлеру оказываются выше, чем предел пропорциональности материала (а иногда и предела текучести), где решение Эйлера не применимо. Для таких стержней теория плохо согласуется с экспериментом, а сами экспериментальные исследования дают большое рассеивание результатов, что говорит о наличии каких-то факторов, не учитываемых при проведении экспериментов. Такими факторами являются значительное рассеивание величины предела текучести, степени упрочнения, наличие внутренних напряжений в процессе обработки и т.п. Общая картина может быть охарактеризована рис. 34, где отмечено положение точек, наблюдаемых при экспериментах. Очевидно, что предельный уровень напряжений в стержне не может превышать предела текучести для пластичных материалов и предела прочности для хрупких материалов, а при повышении гибкости стержня должен ограничиваться пределом устойчивости по Эйлеру. По Эйлеру критические напряжения равны . Для малых значений гибкости стержня предложено много методик, смысл которых как-нибудь согласовать кривую Эйлера с пределом текучести (прочности), обеспечив непрерывную кривую предельных (критических) нагрузок. Линейная формула. Критические напряжения определяют уравнением , параметры которого дают прямую от точки, соответствующей пределу пропорциональности (границе применимости кривой Эйлера) к точке на оси ординат со значением напряжений равным пределу текучести. Формула такого типа была предложена Ясинским Ф.С. и Тетмайером. Гиперболическая формула. Критические напряжения определяют зависимостью , где и α эмпирические коэффициенты. Параболическая формула. Принимают, что .Подбирая коэффициенты можно обеспечить плавный переход от гиперболы Эйлера к параболе, ограниченной пределом текучести. Во всех этих формулах коэффициенты зачастую подбирают из статистической обработки экспериментальных данных. Несколько иной подход принят в формуле суммирования опасностей. Принимают, что при действии критических напряжений суммарный запас по текучести и устойчивости равен 1. . Здесь . Формула охватывает как упругую, так и упругопластическую области. Хорошее соответствие с экспериментами дает формула . Подобные формулы имеются в отраслевых нормативных документах. Так в вагоностроении рекомендуется оценивать устойчивость по формуле: , где Выпучивание стержня при неизменной нагрузке Рассмотрим выпучивание стержня сжатого строго по оси, материал которого характеризуется диаграммой сжатия (растяжения), соответствующей рис. 35. При нагружении образца связь между напряжениями и деформациями соответствует кривой OM, начальный участок которой имее наклон, характеризующий модуль упругости материала E. После достижения предела пропорциональности линейная связь между напряжениями и деформациями исчезает и при дальнейшем росте напряжений (участок MM’) характеризуется касательным модулем упругости Ek . При разгрузке из точки m (участок MM’’) напряжения и деформации связаны модулем упругости материала. Если до потери устойчивости напряжения в сечении превысили предел пропорциональности, то при выпучивании стержня в одной части сечения (на вогнутой стороне - зона догрузки) материал испытывает дополнительное сжатие и связь между напряжениями и деформациями характеризуется касательным модулем упругости в то время как в другой части сечения (с выпуклой стороны - зона разгрузки) связь между напряжениями и деформациями определяется модулем упругости материала. (для ) (для ) Принимая обычные гипотезы для изгиба стержней можем записать: - зона, где деформации растут . При выпучивании стержня в его сечениях возникает изгибающий момент, а нормальная сила сохраняет прежнее значение (мы рассматриваем случай выпучивания стержня при постоянной нагрузке). Поэтому для дополнительных напряжений, возникающих при выпучивании, можем записать два уравнения: Интегралы в первом уравнении – это статические моменты частей сечения, испытывающих дополнительную нагрузку и разгрузку соответственно. Во втором уравнении интегралы – это моменты инерции. Обозначим - статический момент в той области, в которой напряжения возрастают и - статический момент в той области, которая разгружается. Тогда система уравнений примет вид: Эти два уравнения позволяют определить положение новой нейтральной оси и определить приведенный модуль упругости для стержня при выпучивании: Используя приведенный модуль можно получить все уравнения, аналогичные уравнениям для обычного упругого стержня. Конкретное значение приведенного модуля зависит от формы сечения. Например, для двутаврового профиля, учитывая в нем только полки, получим: Подставляя, получим: Для прямоугольного сечения аналогично можно получить: