Прямолинейное движение точки

44 Лекция 2. Прямолинейное движение точки 2.1. Историческая справка Вопрос о скорости был “камнем преткновения” до начала «Ньютоновской» эпохи в механике. Задачи на вычисление скорости неравномерного движения материальной точки тогда были неразрешимы. Кроме того, существовали многочисленные «парадоксы». Один из них известен под названием «парадокс Зенона». Этот парадокс хорошо показывает неразрешимость этой задачи Справка. Зенон – греческий философ и астроном, жил на о. Кипр около 336 – 264 до н.э. и известен тем, что одним из первых правильно объяснил затмения Солнца и Луны. Парадокс Зенона. Предположим, что Ахиллес (на рис. 2.1, точка M 1 ) бегает в десять раз быстрее черепахи (на рис. 2.1, точка M 2 ). Тем не менее Ахиллес никогда не перегонит черепаху. Действительно, состязания пусть черепаха в начале находилась в 100 метрах впереди Ахиллеса на оси Ox. Тогда ко времени, когда Ахиллес пробежит Рис. 2.1 эти 100 метров, черепаха окажется в 10 метрах впереди Ахиллеса. Пробежав и эти 10 метров, Ахиллес увидит черепаху в одном метре впереди себя. За то время, пока он пробежит этот метр, черепаха пройдет 10 сантиметров и т.д. до бесконечности (пространство непрерывно и перешагнуть черепаху нельзя). Итак, в любой момент черепаха будет впереди Ахиллеса, и он не может ее перегнать! 45 Для разрешения этого парадокса была высказана новая идея, которая положила начало новой области математики, помимо хорошо изученных учеными в те времена геометрии и алгебры. Для описания движения И. Ньютон ввел параметрическую плоскость, где за вторую ось выбрал параметр t , назвал параметр t абсолютным временем и стал рассматривать движение Ахиллеса и черепахи в плоскости Oxt. Отметим особенности оси Ot: на этой оси нельзя остановиться, можно передвигаться только по оси. Эту ось называют мгновенной осью. За одно и то же время  t Ахиллес пройдет путь Δx1 (точка M 1 ), а черепаха – Δx 2 (точка M 2 ), причем Δ x1  10  Δ x 2 . Соединим точки M1, M1 и M 2 , M 2 , соответственно. Получим две прямые под разными углами к мгновенной оси Ot. Эти прямые пересекаются в плоскости O xt в точке M xo ; t o  . Очевидно, что если угол наклона прямой (1) – угол  будет меньше (или равен) углу наклона кривой (2) – угол  , то Ахиллес не перегонит черепаху. Тогда средняя скорость движения Ахиллеса V1 и средняя скорость движения черепахи V 2 можно определить, как углы наклона  и  соответствующих прямых M 1 , M 1 и M 2 , M 2 в плоскости O xt : V1  tg  2.2.  x1  x2 , V2  tg   . t t Скорость Когда некоторая точка движется вдоль оси Ox , то ее движение вполне определено, если задана функция x=f  t  указывающая положение точки в любой момент времени t. Пусть прямолинейное движение точки задается линейной зависимостью координаты x от времени (параметра) t : 46 t  0,    x  t   k  t+xo . (а) Здесь x o – положение точки в начале пути (т. е. при t=0 ). Построим график движения точки на координатных осях O xt , рис. 2.2. При фиксированном времени t1 положение точки будет определено координатой x1 , а при t2 – x2 . Разность координат:  x  x2  x1 определяет путь, который пройдет точка за промежуток времени  t  t2  t1 Символ ∆ (греческая буква «дельта») обозначает просто разность – это оперативный символ и его нельзя рассматривать как числовой множитель. Будем называть ∆x приращением координат (или приращением пути), а разность ∆t – приращением по времени за которое прошла точка путь ∆x. Определим скорость точки M как отношение Рис. 2.2 приращения пути  x по оси Ox к приращению по времени  t : V=скорость= расстояние x2  x1  x = = . время t2  t1  t Размерность скорости (2.1) м  метр  . с  секунда  Отметим, что чем меньше  t , тем точнее будет определена скорость V. Определение скорости. Скоростью точки на данном промежутке времени называется отношение перемещения пути  x к промежутку времени  t за который точка прошла этот путь 47 V=скорость= расстояние x2  x1  x . = = время t2  t1  t Вычислим скорость точки М, уравнение движения которой задано линейной функцией (а) – x  t   k  t + xo . Вычислим приращение функции x(t):  x  x2  x1   xo  k  t2    xo  k  t1   k t2  t1   k  t ; тогда V  x k  t  k. t t Получили, что (б) скорость материальной точки соответствует коэффициенту пропорциональности k в уравнении движения (а). Тогда уравнения движения перепишутся: t  0,    x  t   V  t + xo . Равномерное движение с постоянной скоростью V по оси Ox определяется линейной функцией x  t =V  t+xo , где xo есть положение частицы в начальный момент при t =0), V – скорость движения. Пример 2.1. Велосипедист начал движение по прямой дорожке со скоростью V=10 kм . Записать его уравнение час движения, построить Вычислить путь  график , который движения. проедет велосипедист между 1  t  2 час . Решение. Свяжем ось движения велосипедиста с прямой дорожкой и при t  0 он находился в начале координат системы Oxt , Рис. 2.3 рис. 2.3. Уравнение движения велосипедиста 48 имеет вид x  t   V  t  10  t . (а) График движения велосипедиста показан на рис. 2.3. Вычислим путь  , который проедет велосипедист между 1  t  2 час . Имеем  xt 1  10  1  10 kм;     xt2  xt1  20  10  10 kм.  x  10  2  20 kм;  t 2 Пример 2.2. На рис. 2.4 изображен график движения пешехода. Записать его уравнение движения и вычислить путь  , который пройдет пешеход за 15 час. Решение. На графике движения пешехода видно, что в начальный момент времени пешеход находился в точке A 0; 40 и движется против направления оси Рис. 2.4 Ox . Тогда уравнение движения пешехода будет иметь вид: x  t   V  t + xo  x  t   V  t + 40 (а) Вычислим скорость движения пешехода. Имеем: t1  0 сек, x1  0   40 kм;    t2  10 сек, x2 10   0 kм. x  x2  x1  0  40  40 ;   t = t  t  10  0  10.  2 1 Скорость движения пешехода будет равна: V   x 40 kм = 4 . t 10 час Получили, что скорость движения пешехода равна Vo  4 направлена против направления оси Ox . Тогда уравнение движения пешехода будет иметь вид kм и час 49 x  t   4  t + 40 kм . Вычисли координату точки В, в которой пешеход будет находиться через 15 час: xB  t  15  40  4 15  20 . Путь  , который пройдет пешеход за 15 час, будет равен:   40   20   40  20  60 kм. Пример 2.3. Автомобили 1 и 2 выезжают одновременно навстречу друг к другу. По заданному графику движения автомобилей (рис. 2.5): 1. Определить координаты автомобилей в начале движения. 2. Определить путь, пройденный каждым автомобилем до их встречи. 3. Вычислить скорость каждого автомобиля. Составить уравнения движения автомобилей. Рис. 2.5 Решение. 1. Движение автомобилей на графике показано в системе координат Oxt . По оси Ox отложен путь, который проходят автомобили, по оси Ot – время, за которое автомобили прошли этот путь. В начале пути при t=0 , автомобиль 1 находился на оси Ox в точке с координатами A1 0; 0 и начал движение по оси Ox вверх; автомобиль 2 находился по оси Ox в точке с координатами A2 0; 500 и начал движение вниз по оси Ox . 50 2. Из графика на рис. 2.5 видно, что расстояние между автомобилями в начале пути равно 500 kм. За 6 час автомобиль 1 прошел путь x1  300  0  300 kм, .второй – x2  500  300 =200 kм. 3. Вычислим скорость каждого автомобиля: V1  x1 300  0 300 kм ,    50 t 6 6 час V2  x2 500  300 200 kм .    33,3 t 6 6 час 4. Составим уравнения движения каждого автомобиля. Имеем: x1  t   xo1  V1  t  0  50  t  50  t ; x2  t   xo 2  V2  t  500  33,3  t . Пример 2.4. Точка M движется по расписанию, заданному уравнением x1  2t  6 м, точка N движется по расписанию, заданному уравнением x2  3  t м. Вычислить графически и аналитически время встречи этих точек и путь в метрах (м), пройденный каждой точкой до встречи. Вычислить скорость движения точек. Решение. Запишем заданные уравнения движения в виде системы линейных уравнений: t  0,    xM  2t  6,   x  3  t.  N (а) Графическое решение. Каждое из уравнений системы (а) в отдельности в координатной плоскости Oxt изображает прямую линию. Построим графики этих линий (рис. 2.6): Имеем: 51 t  0, x1 t 0  6,  прямая пересекает ось Ox в точке  0; 6  ; x1  2t  6    x1  0, t x0  3,  прямая переекает ось Ot в точке  3; 0  . t  0, x2 t 0  3,  прямая пересекает ось Ox в точке с координатами  0;3 ; x2  t   3  t    x2 t 3  0, t  3,  прямая пересекает Ox в точке с координатами  0;3 . Рис. 2.6 Из графика видно, что прямые пересекаются в точке A  3; 0  , следовательно, через 3с после начала движения, точки встретятся. Первая точка пройдет до встречи путь 1  6 м , а вторая точка  2  3 м . Скорости движения первой и второй точек равны: V1= м  3 м = =2 ; V2= 2 = =1 ; t1 2 с t2 3 с 1 6 Аналитическое решение. Решим аналитически систему уравнений 52 t  0,    x1  2t  6,   x  3  t.  2 При встречи точки M и N будут иметь одинаковые координаты, следовательно, xM  xN  2t  6  3  t  t=3 c. При этом xM  xN  0. Получили, что после начала движения материальные точки встретятся через 3 с в точке с координатами (3;0). Первая материальная точка прошла до встречи 6 м, вторая – 3 м. 2.4. Ускорение Рассмотрим движение точки, движение которой заданно уравнением движения: t  0;   x  t   kt 2 . где x и y выражены в см, t  в сек. Построим в системе координат Oxt график движения x  t   kt 2 , рис. 2.7 и вычислим скорость Рис. 2.7 точки (2.1). Имеем: V=скорость= расстояние x2  x1  x = = . время t2  t1  t Здесь:     2 2 2 2 2 2 x = k  t  t   t   k t  2t t   t   t  k 2t t   t  ;   тогда 53 2t t   t   x x  t+t   x  t  V  k  k  2t  t  . t t t 2 Покажем численным экспериментом, что при уменьшении промежутка времени t , выражение k  2t  t  стремится к значению k  2t  Вычислим Vcр  k  2t  t  при  t = 1 с,  t = 0,1с и  t  0,001c (таблица 2.1). Таблица 2.1 t,с Vcр  k  2t  0,1 ,  t  0,1 Vcр  k  2t  0,1 , t  0,01 Vcр  k  2t  0,1 , t  0,001 1 k  2  1  0,1  2,1k k  2  1  0, 01  2, 01k k  2  1  0, 001  2, 001k 2 k  2  2  0,1  4,1k k  2  2  0, 01  4, 01k k  2  2  0, 001  4, 001k 3 k  2  3  0,1  6,1k k  2  3  0, 01  6, 01k k  2  3  0, 001  6, 001k 4 k  2  4  0,1  8,1k k  2  4  0, 01  8, 01k k  2  4  0, 001  8, 001k Из таблицы видно, что уменьшая t до предела точности измерения, мы приближаемся к значениям скорости в точке: V  t   2k  t . В пределах точности измерения, получили, что скорость зависит линейно от времени: V  t   2k  t . Определение 2. Ускорение – величина возрастания или убывания величины скорости. Ускорением a называется отношение a V : t приращение скорости V V2  V1 м .  , приращение времени t t2  t1 с 2 (2.2) Вычислим ускорение точки, движение которой квадратично по времени. Имеем: a 2k  t  t   2kt  м V V  t+t   V  t   k  2k ,  2  . t t t с  Если ускорение a на равных промежутках времени  t равны, то движение точки называется равноускоренным. 54 Свяжем уравнение равноускоренного движения x  t   kt 2 с ускорением a  2k . Имеем  x  t   kt 2 , 1   x t   a  t 2 .  1 2  k = a;  2 Итак, уравнения равноускоренного движения имеют вид: t  0,   x  1 at 2 ,  2  V=a  t. Пример 2.5. Робот выезжает из стартовой зоны и через 120 см достигает мяч, приобретая скорость 1,5 м . Движение робота считать с равноускоренным. Вычислить: 1. Ускорение робота, считая, что начальная скорость равна нулю. 2. Время, за которое робот пройдет 120 см. Решение. При равноускоренном движении путь, пройденный роботом и его скорость, связаны системой параметрических уравнений (7), при условии, что xo  0 , Vo  0 : t  0, 2   x  at ,  2  V  at. (а) Свяжем путь, пройденный телом и его скорость. Для этого освободимся от параметра t в системе (а), получим 2  V  at 2  at a  x  ,  ,  V2 x  a  2 x   2   V 2 2 a  t  ; V  at ;  a 2 55 2 V 1,5  2,25  0,94 м . a  2S 2  1,2 2,4 с2 2 Вычислим время, за которое робот достигнет мяча. Имеем: V  at  t  2.5. V 1,5   1,6 с . a 0,94 Мгновенная скорость и мговенное ускорение точки Несколько математиков-энтузиастов из разных стран Европы в XVII в. поставили своей целью продолжение математической работы Галилея и Кеплера. Эти люди поддерживали друг с другом тесное общение с помощью переписки и личных встреч. Внимание их было привлечено двумя центральными проблемами. Во-первых, проблемой касательной: определить касательную к данной кривой, во-вторых, проблемой квадратуры: определить площадь, связанную с заданной кривой. Для решения этих проблем в Европе образовались две крупные Исаак Ньютон математические школы. Главой одной из них был Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646-1716), другую школу возглавил Исаак Ньютон (1642-1727). Величайшей заслугой Ньютона и Лейбница Готфрид. Лейбниц является то, что они ясно осознали внутреннюю связь между этими двумя проблемами. Обе школы создали новые мощные алгоритмы, приведшие, по сути, к одним и тем же результатам – к созданию дифференциального и интегрального исчисления. Основные задачи, решение которых приводит к понятию производной – это задача об угле наклона касательной к графику функции и задача о кинематики движения материальной точки (вычисления пути, пройденного точкой, ее скорости и ускорения). 56 Эмпирическое определение мгновенной скорости. Первой целью, которую поставил себе Ньютон, было нахождение скорости точки в общем случае, движущейся неравномерно. Рассмотрим для простоты уравнение движения точки по прямой линии, заданное элементарной функцией x=f  t  Если бы движение было равномерным, т. е. совершалось с постоянной скоростью, то скорость движения точки можно вычислить отношением V=скорость= расстояние x2  x1  x . = = время t2  t1  t (2.3) В общем случае неравномерного движения , например, это имеет место при свободном падении тела (скорость тела по мере падения возрастает), то отношение (2.3) не дает значения скорости в момент t, а представляет собой то, что принято называть средней скоростью на промежутке времени ∆t, причем ее точность будет тем больше, чем меньше ∆t. Таким образом, вместе с Ньютоном определим мгновенную скорость так: x2  x1 x d x  lim   x t  . t2 t1 t2  t1  t 0  t dt V  cкорость в момент t  = lim Производная по времени обозначается точкой над функцией – x . Другими словами, скорость есть производная от пройденного пути (координаты точки на прямой) по времени, или мгновенная скорость определяет изменение пути по отношению ко времени – в противоположность средней скорости: изменения, определяемой по формуле (2.3). Скорость изменения самой скорости называется ускорением. Ускорение – это просто производная от производной; она обычно обозначается символом a=V  t  и называется второй производной от функции – x  t  . 57 Мгновенная скорость прямолинейного движения. Совместим с прямолинейной траекторией ось Ox , рис. 2.8. Если рассматривать значения x как координату точки на координатной плоскости Oxt , то каждому значению t соответствует определенная точка M  t; x  на плоскости. За промежуток времени t  t 2 t1, тогда приращение пути определится как  x=x2  x1 . Рис. 2.8 Тогда средняя скорость направлена по оси Ox и определена как отношение: Vcр  x  t+t   x  t   м   x x2  x1    . t t2  t1 t с Если x2  x1 >0 , то вектор скорости направлен по оси Ox, если x2  x1 <0 , то вектор скорости направлен против оси Ox . Отметим, что средней скорости Vср  при вычислении x , дуга M1M 2 не t совпадает с прямой M1M 2 , рис. 2.9. При уменьшении t дуга M1M 2 приближается к прямой M1M 2 и при Рис. 2.9 t  0 бесконечно малый участок дуги  M1M 2 совпадет с бесконечно малым отрезком M1M 2 .При уменьшении t дуга M1M 2 приближается к прямой M1M 2 и при t  0 бесконечно малый участок дуги  M1M 2 совпадет с бесконечно малым отрезком M1M 2 . 58 Определение. точки x называется предел, к которому стремится средняя скорость Vср  при t t  0 : x  t1  t   x  t1  x (2.4) V  lim Vср  lim  lim  x. t 0 t 0  t t 0 t Выражение (2.5) Мгновенной определяет скоростью V величину движения скорости точки. Знак производной может быть как положительный, так и отрицательный, знак производной определяет направление движения по оси Ox , если знак производной положительный   x  или против оси, если знак производной отрицательный   x  , рис. 2.10. Итак, Рис. 2.10 x  t1  t   x  t1   x. t 0 t V  lim Пример 2.6. Вычислить мгновенную скорость материальной точки M , если уравнение прямолинейного неравномерного движения точки задано функцией x  t   3t . Провести анализ движения точки. Решение. Вычислим мгновенную скорость движения точки: x  t1  t   x  t1  3  t  t   3t 3t  lim  lim  3. t 0 t 0 t 0  t t t м Итак, мгновенная скорость точки равна 3 . с Получили, что точка M движется по прямой линии с постоянной V  lim скоростью. Пример 2.7. Уравнение прямолинейного движения точки задано 2 функцией x  t   3t  t . Вычислить мгновенную скорость точки M при t1  1 с и t1  3 с . Провести анализ движения точки. Вычислить путь, который прошла точка за 3 с от начала движения. 59 Решение. Построим функцию x  t   3t  t 2 в прямоугольной системе координат Oxt , рис. 2.11. Эта функция имеет два корня: t1  0 и t2  3 ; максимальное значение принимает при t  1,5с. Вычислим мгновенную скорость точки: x  t1  t   x  t1   t 0 t x  lim 2  lim Рис. 2.11  3  t  t    t  t   3t  t t 0 t 2  3t  3t  t 2  2t t   t   3t  t 2 3t  2t t   t   lim  lim  3  2t. t 0 t 0 t t 2 Итак, мгновенная скорость точки равна V  x  3  2t 2 м . с Проведем анализ движения точки, рис. 2.11: V  3  2t  0 при 0  t  1,5 с; точка из состояния покоя   движется по оси Ox и за это время прошла  2 2  x  3t  t  3  1,5  1,5   2,25 см;  V  3  2t  V  3  2t  0 при t  1,5 с; точка останавливается на оси Ox;  V  3  2t  0 при t  1,5 с; точка движется из состояния покоя  против оси Ox и за следующие 1,5 с прошла  2 2  x  3t  t  3  1,5  1,5   2,25 см. Вычислим путь, который прошла точка за t=3 с : S  t  1,5  2,25  2,25  5 м . Мгновенное ускорение прямолинейного движения. Ускорение – величина возрастания или убывания скорости в единицу времени. Определим среднее ускорение acр точки М как отношение, рис. 2.12: 60 acр  приращение скорости V V2  V1 V м .   , приращение времени t t2  t1 t с 2 При уменьшении (2.5) t дуга M1M 2 приближается к прямой M1M 2 и при  t  0 бесконечно малый участок дуги  M1M 2 совпадет с бесконечно малым отрезком M1M 2 , а среднее ускорение на приращении стремится к мгновенному ускорению в точке M1 . Рис. 2.12 Определение. Мгновенным ускорением a точки называется предел, к которому стремится среднее ускорение aср  V при t  0 : t V  t1  t   V  t1  V  lim  V  x. t 0  t t 0 t a  lim aср  lim t 0 Пример 2.8. По оси Ox движутся две точки, имеющие уравнения 1 2 движения x1  t   100  5t и x2  t   t , где t  0 . С каким ускорением 2 удаляются эти точки друг от друга в момент встречи ( x в м, t в с). Решение. Вычислим время встречи точек: 1 x1  x2  100  5t  t 2 ; 2 t 2  10t  200  0; t1,2  5  52  200  5  15  t  20 с. На рис. 2.13 показана точка пересечения Рис. 2.13 графиков движения точек. Вычислим скорость движения первой и второй точек через t  20 с : 61 V1  x1  d м 1  5t   5   ; dt с a1  V1  d  5  0. dt V2  x2  d 1 2 1  м  20   ;  t    2t dt2  2 с t 20 с a2  V2  d м  t   1  2  ; dt с  Первая точка движется с постояной скоростью, вторая точка удаляется от м первой с постоянным ускорением a2  1  2  . с  2.6. Задача о пройденном пути Вычислим путь S, пройденный движущейся по прямой точкой за отрезок времени t1; t2  . При этом известна мгновенная скорость точки как функция времени – V  t  . Определение: определенный интеграл функции – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых. При «размельчении» разбиения (когда каждое  t  0 ) интегральная сумма стремиться к интегралу функции f (t) на рассматриваемом отрезке: b A   f  t   ti   f (t )d t . i a Разобьем весь отрезок времени t1; t2  на N отрезков  ti ( i=1, 2, ... , N ). Будем считать на каждом отрезке  x i движение точки равномерным, тогда средняя скорость движения точки равна N N  xi Vср    xi  Vср  ti  X    xi  Vср  ti , ti i=1 i=1 62 и пройденный точкой путь X будет равен сумме всех  x i , пройденных точкой за весь отрезок времени t1; t2  : N N X    xi  Vср  ti i 1 (а) . i 1 Перейдем к мгновенной скорости V . Имеем: V  lim Vср  t 0 dx откуда dx  V  dt . dt Тогда (а) перепишем так: N   t 0 0 X  lim    xi    d x  V  dt . Знак бесконечного суммирования (б) превращается в интеграл, обозначающийся символом " ∫ "– искаженное большое S, первая буква латинского слова “Summa” (этот значок назван интегралом). Бесконечная сумма (б) при фиксированном отрезке времени t1; t2  запишется через определенный интеграл: t2 S   V  t  dt , V  t   x (2.6) t1 Если точка на всем отрезке времени t1; t2  меняла свое направление движения k раз, то k S  S1  S2  ...  Sk =  Si ; Si  i 1 Для расстановки t j 1  V j t  dt . (2.7) tj пределов интегрирования нужно исследовать заданную функцию движения x  t  на экстремум, т.е. нужно вычислить   значения t j , при которых V  x t j  0 . Тогда при t  t j функция x  t  имеет экстремумы, а движущаяся точка в эти моменты времени мгновенно останавливается и меняет направление движения. 63 Справка. Если точка движется прямолинейно в одну сторону, координата x  t1  и путь S  t  , пройденный точкой за время t1 , совпадут. Если точка меняет направление движения, то координата x  t1  и путь S  t  , пройденный точкой за время t1 , не совпадут. Геометрическая интерпретация. Рассмотрим прямолинейное движение точки М, заданное уравнением x  t    t  3  4. 2 (а) Построим график движения в плоскости O xt. График дви функции – парабола, ветви которой направлены вверх, вершина имеет координаты  3; 4  , рис. 2.14. 1. Вычислим графически путь  , пройденный точкой М за 7 с от начала движения.. Из рисунка видно, что точка М начала движение при t  0 с из координаты xo  5 Рис. 2.14 вниз по оси Ox до точки с координатой xo  4. Затем точка мгновенно остановилась, изменила направление и начала двигаться вверх по оси O x и через 7 с дошла до точки с координатой x  12 . Точка по оси O x прошла путь S   5  4    4  12   25  м  . 2. Вычислим путь S, пройденный точкой аналитически. Вычислим модуль скорости и отрозим его на графике, рис. 2.15. Имеем: Рис. 2.15 V  x t   2 t  3  64 0  t  3 c, x  0,     t  3 c, x  0,  t  3 c, x  0.  Тогда выражение (2.7) примет вид 3 7 X  x1  x2  V1  t  dt  V2  t  dt . (в) 3 Подставим полученные выражения (б) в (в), получим 3 7   t2  t2  X  2  3  t   dt  2  t  3  dt  2  3t    2   3t   2 0  2 3 3   32  32   72  2  3  3    2   3  7    3  3    2  4,5  2  3,5+4,5   9  16  25  м  .  2   2   2  3 7 Пример 2.9. Материальная точка М движется прямолинейно согласно уравнению x  t    t  4  9. 2 (а) Вычислить путь X, пройденный материальной точкой М за 5с от начала движения. Решение. Построим график движения точки, рис. 2.16, а Рис. 2.16 65 Вычислим скорость точки V  x  2  t  4   8  2t . Имеем, рис.2.16, б: 0  t  4 c, V  0, 0  t  4 c, V1  8  2t ,    V  8  2t  t  4 c, V  0,  t  4 c, V  0,     t  4 c, V2  2t  8. t  4 c, V  0; Вектор скорости V при t  4 c меняет свое направление, поэтому путь X , пройденный материальной точкой за 5 с, будет вычисляться так: 4 5 4 5 4 4 X   V1 dt   V2 dt     2t  dt    2t  8 dt  4 5 2 2  2 2   2      8t  t    t  8t    8  4  4  +  5  8  5  4  8  4  =16 +1=17 м.  0  4     Материальная точка за t  5 с прошла X=17 м. Пример 2.10. Материальная точка М движется прямолинейно согласно уравнению x  t   t  3t  9t  1. 3 2 Вычислить путь X , пройденный материальной точкой за t  8 с от начала движения. Решение. Вычислим скорость точки и определим время движения точки в одном направлении: ' V  x  t 3  3t 2  9t  1  3t 2  6t  9  3 t 2  2t  3 . t Вычислим время, когда точка меняет свое направление t  2t  3  0  t1,2  1  1  3  t  1  2  3 2 Имеем, 66 V  t   3 t  1 t  3 . Тогда   0  t  3, V   t 2  2t  3 ; 1   2 V  t  2t  3  3  t  1 t  3  t  3, V  0;   2 t  3, V2  t  2t  3.  Вектор скорости V при t  3 c меняет свое направление, поэтому путь X, пройденный точкой за 5 с, будет вычисляться так: 3 8 3 3  2  8  2  X   V1 dt   V2 dt  3 t  2t  3 dt  3 t  2t  3 dt  3 3 8  t3 2   t3 2   3    t  3t   3   t  3t    3  3   0  3 3  33   83  2 2 2 3  3   3  3  3   3  8  3  8   3  3  3    3  3  3     512    512   3  9  9  9   64  24  9   3   210   302  м  . 3    3  Точка за t  8 с прошла X =302 м. Задача 2.11. Скорость движения точки М задана уравнением: V  t   3t 2  2t  1, м с (а) Вычислить путь S, пройденный точкой М за 10 с от начала движения. Решение. Вычислим время движения точки в одном направлении: 3t  2t  1  0  t1,2  2 Имеем: 2  4  12 1  t  с. 6 3 67   1   t  , V1   3 t 2  2t  1 ;  3  1 V  3 t 2  2t  1  t  , V  0;  3  t  1 , V  3 t 2  2t  1.  3 2 При t  1 c точка М меняет свое направление, вычислим путь X, 3 пройденный точкой за 10 с: 1 3 10 1 3 10 3 2 X     3 t  2t  1 dt    3 t  2t  1 dt    t  t  t    t  t  t       0  1 1 2 2 3 2 3 3 3 2   1 3  1  2 1   3 2 1 1 1            10  10  10           3   3  3    3   3  3      1090  2 5  1090  2,2  1092,2 м. 27 Пример 2.12. Точка М движется прямолинейно, согласно уравнению x  t     t  4   9. 2 (а) Вычислить путь S, пройденный точкой М за 5с. Решение. Вычислим скорость точки 0  t  4c, V  0;  V  x  2  t  4  )  2t  8  t  4c, V  0;   t  4c, V  0. Вектор скорости V при t  4c меняет свое направление, поэтому путь  , пройденный точкой за 5с, будет вычисляться так: 4 5 4 X   V dt   x dt   2t  8 dt   2t  8 dt  t  t  8t 2 t 4  t  8t 4 16  1  17 м. 2 5 Точка за 5с прошла X = 17 м. 68 Пример 2.13. Материальная точка М движется прямолинейно согласно уравнению x  t   4 sin  6 (а) t. Вычислить путь X, пройденный точкой М за 6 с и 12 с. Имеем:   0  t  3 с  V  0;    9  t  12 с  2  V x cos t   3 6  t  3 с  V  0;   t  9 с  3  t  9 с  V  0.  Вычислим период функции cos t : 6  1 T  2  T  12c , полупериод . T  6 c . 2 6 Вектор скорости V при t  3 c меняет свое направление, поэтому путь X, пройденный точкой за 6 сек, будет вычисляться так: 2  2    X  V dt  cos t dt    cos t  dt    3 0 6 3 3 6  t 3 6 2 6    2 6       sin t      sin t   3  6 0 3   6 3 3 6              4  sin   3   sin   0    4   sin   6   sin   3     6  6   6   6    4  1  0   4  0  1  4  4  8 м. За каждый полупериод точка проходит 8 м. Следовательно, за весь период T  12 с точка пройдет 2  8  16  м  . 69 Анализ прямолинейного движения точки 2.6. Уравнение прямолинейного движения задается в виде t  0,   x  t   f  t   xo . Здесь xo – положение точки на оси Ox при t=0. Скорость и ускорение точки вычисляются по формулам V  x, м м , a x, 2. с с Если x  0 , x  0 – вектор скорости и вектор ускорения направлены по оси Ox в одну сторону, такое движение называется ускоренным. Если x  0 , x  0 или x < 0 , x > 0 – вектор скорости и вектор ускорения направлены по оси Ox в разные стороны, такое движение называется замедленным. Пример 2.14. Прямолинейное движение точки М задано уравнением x  t   4t  t . Вычислить скорость и ускорение точки М в момент времени 3 t  1 c. Решение. Вычислим скорость и ускорение точки М в момент времени t  1 c. V  x  4  3t 2 м  4  3 1 ; t 1c с a  x  3  2t t 1c  6  6 м c 2 . Точка М в заданный момент времени движется замедленно, т.к. x  0 , x  0 , при этом вектор скорости и вектор ускорения направлены в противоположные стороны. 70 Справка. Кривошипно-шатунный механизм (рис. 2.17) состоит из кривошипа OA, который крепится к основанию шарнирнонеподвижной опорой шарнирно-неподвижная О. Схематически опора обозначается двумя опорными стержнями с шарнирами на Рис. 2.17 концах. Тело, опертое на эту опору может вращаться вокруг шарнира О. Шатун АВ шарнирно крепится к кривошипу и ползуну (поршню) В и строго движется вдоль направляющих. Пример 2.15. Положение кривошипа ОА в кривошипно-шатунном механизме определяется углом   3t (рад). Вычислить скорость и ускорение ползуна (поршня) в момент to  0 c, t1   9 c, если ОА=АВ = , = 0,5 м. Решение. Декартовую систему координат Oxy совместим с точкой О кривошипа OA . Ползун В движется прямолинейно вдоль оси Оx , рис. 2.18. Следовательно, в любой момент времени его движение определяться координатой x B : x  2 cos   2  0,5 cos  3t   cos  3t  . Рис. 2.18 B Вычислим скорость и ускорение ползуна в общем случае: VB  x B  3 sin  3t  ; a B  x B  9 cos  3t  . 1. Вычислим скорость и ускорение ползуна (поршня) в момент to  0 c. Для момента времени вычислим значение этого угла, рис. 2.19:   3t t 0  3  0  0 рад  0 . 71 Имеем: V B  3 sin  3t  t 0  0; a B  9 cos  3t   см   9  9  2  . t 0 с  Рис. 2.19 В момент времени t=0 ползун имееи нулевую скорость, а ускорение  см  направлено против оси Ox и равно a B  9  2  . с  2. Для момента времени t1   с, 9 вычислим значение этого угла, рис. 2.20:   3t 9 Рис. 2.20 V B  3 sin  3t    3  9   3 рад  60 . Имеем t a B  9 cos  3t   9 t  9 3    см   3 sin  3    3   5,6   ; 2  9  с   см  1    9 cos  3    9   4,5  2  . 2  9 с  В заданный момент времени x B  0 , xB  0 , следовательно, ползун движется ускоренно против оси Ox . Пример 2.16. Лестница длиной метров, прислоненная к вертикальной стене, падает, скользя одним концом В по стене, другим А – по полу, рис. 2.21. С какой скоростью опускается верхний конец Рис. 2.21 72 В, если нижний движется с постоянной скоростью Vo ? Определить, как движется конец B лестницы: ускоренно или замедленно. Решение. Точка А движется с постоянной скоростью, следовательно, уравнение ее движения имеет вид: x A  t   Vot . Рассмотрим  BOA , рис. 2.21: 2  OB   OA . 2 2 Расстояние OA при падении лестницы изменяется согласно уравнению x A  t   Vot , тогда расстояние OB будет меняться согласно уравнению 2 yB  2  Vot  . 2  xA  2 Имеем d VB  yB   dt  2  Vot  2 2 2 2Vo t    2 2  Vot   2 2 Vo t 2  Vot   2 Vo t 2  Vot  2 Так как yB  0 , конец лестницы B сползает вниз. Вычислим ускорение 2  aB  y B      2  Vo  2 Vo t 2  Vot   V t   V t   2  Vot  4 2 o 2 3 2 2 2 o 2 Vo '       2 2 2  Vot  2 2  2  V t 2  o     Vo 2  2Vot  Vo  Vot   Vo t   3 2 2 2  Vot  2  . Получили: yB  0, yB  0 , следовательно, конец лестницы B движется ускоренно. . 73 Прямая и обратная задачи кинематики 2.7. Прямая задача кинематики. Задано уравнение прямолинейного движения t  0,   x  t   f  t   xo . Решение прямой задачи кинематики связано с правилами дифференцирования функций, т.к. скорость и ускорение точки вычисляются по формулам Vx  При dx d 2x i  x  i , ax  2 i  x  i . dt dt этом рекомендуется пользоваться таблицей производных элементарных функций, приведенных в справочниках по математике. Если x  0 , x  0 – вектор скорости и вектор ускорения направлены в одну сторону – движение ускоренное, если x  0 , x  0 , – вектор скорости и вектор ускорения направлены в в противоположные стороны – движение замедленное. Пример 2.17. Прямолинейное движение точки М задано уравнением xt   3 sin t . Вычислить скорость и ускорение точки М в момент времени t  c. 6 Решение. Уравнение движения задано ограниченной периодической функцией – sint  1 . Поэтому траекторией движения точки М является отрезок на прямой x <3 (рис. 2.22), В момент времени t  0, x  0 , в моменты времени t k   2  k , k  1,2....n , x  3 . Итак, точка М совершает 74 гармонические колебания с амплитудой гармонических колебаний, равной 3.  c, точка М имеет координату: 6 В момент времени t      x t    3 sin   1,5 м. 6  6 Рис. 2.22 Вычислим скорость и ускорение точки М: 3 м   V  x  3 cos t t   c  3 cos   3   2,6 ; 2 с 6 6 1 м   a  x   3 sin t t   c   3 sin    3   1,5 . 2 6 c2 6 Точка М в заданный момент времени движется замедленно, т.к. x  0 , x  0 , поэтому вектор скорости и вектор ускорения направлены в противоположные стороны (рис. 2.22). Обратная задача кинематики. Задано ускорение движущейся точки, как функция времени: a  a t  . Требуется вычислить уравнение движения точки. Ускорение точки связано со скоростью at   V t  , а скорость с уравнением движения V ( t )  x( t ) линейными дифференциальными уравнениями: d V t   a t  , dt d x t   V t  . dt (4.8) При решении обратной задачи необходима процедура, обратная дифференцированию, т.е. интегрирование. При интегрировании аналитических функций возникают неопределенные константы и функция 75 x  xt  , удовлетворяющая дифференциальным уравнениям (2.14), будет содержать две произвольные постоянные интегрирования (дважды интегрируем). x  xt , C1 , C2  . В каждой конкретной задаче постоянные интегрирования определяются из начальных условий задачи, поэтому при решении обратной задачи кинематики, необходимо формулировать эти условия. Начальные условия задачи определяют значения начальной координаты и начальной скорости точки. Начальные условия задачи  x  xo , to  0   V  x  Vox . (а) Начальные условия задачи определяют единственное решение дифференциальных уравнений (а). Алгоритм решения обратной задачи кинематики: в дифференциальных уравнениях (4.8) разделяют переменные, полученные d V  t   a  t  dt  V t   V d x t   V t  d t  dV   a  t  dt  V  t ; ox xt   xo t o (2.8) t dx  V  t  dt  x  t  . При интегрировании уравнений (2.8) с помощью определенных интегралов, нижние пределы интегрирования соответствуют значениям интегрируемых величин в начальный момент времени, т.е. начальным условиям задачи, верхние пределы интегрирования соответствуют значению интегрируемых величин при текущем времени t. Пример 2.18. Точка М движется прямолинейно по оси Оx со скоростью V t   2t . В начальный момент времени точка находилась от начала отсчета на расстоянии xo  3 м . Определить уравнение движения точки. 76 Решение. Имеем dx dx  V t    2t . dt dt Разделим переменные: умножим правую и левую части уравнения на dt, получим dx  2t  dt . Начальные условия задачи: при to  0, x  3м. Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение с учетом начальных условий задачи. Имеем: xt  t t2 2  dx  2 tdt  x t   3  2 2  x t   3  t . x 3 o Получили уравнение равномерного прямолинейного движения точки: xt   3  t 2 . Пример 4.9. Точка движется вдоль оси Оx с ускорением a  3t . При t  0 , x o  2 м, Vo  5 м . Найти уравнение движения точки. с Решение. Имеем d V t  d V t   a t    3t  dV  3tdt . dt dt Взяв от обеих частей последнего равенства интегралы с учетом начальных условий, получим V(t ) t V0  5  dV  3 t dt  V t   5  Используя подстановку dxt  3  5  t2 dt 2  3t 2 2 3  V t   5  t 2 . 2 dx  V и разделяя переменные, получим: dt 3 dx  5dt  t 2 dt . 2 77 Взяв от обеих частей последнего равенства интегралы с учетом начальных условий, получим x( t ) t 3 2 3 t3  dx  5 dt  2  t dt  x  2  5  t  2  3 . x0  2 Получили уравнение прямолинейного переменного движения точки. t3 xt   2  5t  . 2 Ответ: V  105 м/с.