Прямая и плоскость в пространстве. Виды уравнений плоскости в пространстве

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Пусть Oxyz - прямоугольная система координат в пространстве,  - плоскость. Определение. Уравнение с тремя неизвестными x , y и z называется уравнением плоскости  в пространстве, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей в плоскости  и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей плоскости  . Положение плоскости в пространстве относительно системы координат Уравнение плоскости в пространстве однозначно можно задать 1. Уравнение плоскости, проходящей 1. Точкой M 0 x0 , y0 , z0  , принадлежащей через заданную точку и с заданным  плоскости и вектором n  A, B, C, пер- вектором нормали: пендикулярным плоскости  (вектором A( x  x0 )  B( y  y0 )  C z  z0   0 нормали). 2. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки: x y z 1 M 0 x0 , y0 , z0 , 2. Тремя точками x0 y 0 z 0 1 M 1 x1 , y1 , z1 , M 2 x2 , y2 , z2 , принадле 0. x1 y1 z1 1 жащими плоскости. x2 y 2 z 2 1 3. Уравнение плоскости в отрезках: x y z    1. a b c 3. Величинами a , b и c отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат. 4. Длиной перпендикуляра p , опущенного на плоскость из начала координат и 4. Нормальное уравнение плоскости: величинами углов  ,  и  , которые x cos  y cos   z cos  p  0 . составляет этот перпендикуляр с осями координат. 5. Общее уравнение плоскости: Ax  By  Cz  D  0 , A, B, C, D  R , A2  B 2  C 2  0 .  Здесь n  A, B, C - вектор нормали к плоскости  . Пример. Даны точки M 1 3;1;2 ; M 2 4;2;1Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M 1 перпендикулярно вектору M 1M 2 . Решение. Найдём координаты вектора M 1M 2 : M 1M 2  1;1;3. Используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и с заданным вектором нормали: 1  : x  3  ( y  1)  3( z  2)  0  : x  y  3z  2  0 . Пример. Исследуем особенности расположения плоскости Ax  By  Cz  D  0 в системе координат если: а) отсутствует свободный член: D  0 . Ax  By  Cz  0 - плоскость проходит через начало координат. б) отсутствует член с одной из координат: A  0 или B  0 или C  0 . A  0 By  Cz  D  0 - плоскость параллельна оси Ox ; B  0 Ax  Cz  D  0 - плоскость параллельна оси Oy ; C  0 Ax  By  D  0 - плоскость параллельна оси Oz ; в) одновременно отсутствуют свободный член и член с одной из координат: A  0 и D  0 By  Cz  0 - плоскость проходит через ось Ox ; B  0 и D  0 Ax  Cz  0 - плоскость проходит через ось Oy ; C  0 и D  0 Ax  By  0 - плоскость проходит через ось Oz ; г) одновременно отсутствуют члены с двумя координатами: A  0 и B  0 Cz  D  0 - плоскость параллельна плоскости Oxy ; B  0 и C  0 Ax  D  0 - плоскость параллельна плоскости Oyz ; A  0 и C  0 By  D  0 - плоскость параллельна плоскости Oxz ; д) одновременно отсутствуют члены с двумя координатами и свободный член: A  0 , B  0 и D  0 Cz  0 , z  0 - плоскость совпадает с Oxy ; B  0 , C  0 и D  0 Ax  0 , x  0 - плоскость совпадает с Oyz ; A  0 , C  0 и D  0 By  0 , y  0 - плоскость совпадает с Oxz . УСЛОВИЯ СОВПАДЕНИЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Пусть на плоскости заданы две плоскости  1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 , и  2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 . Найдём условия совпадения, параллельности и перпендикулярности двух плоскостей в пространстве: A B C D 1   2  1  1  1  1 A2 B2 C2 D2 A B C D    1  2  n1  n2  1  1  1  1 . A2 B2 C2 D2    1   2  n1  n2  A1 A2  B1B2  C1C2  0 . РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ Расстояние от точки M 0 x0 , y0 , z0  до плоскости  : Ax  By  Cz  D  0 может быть вычислено по формуле d M 0 ,    Ax0  By0  Cz 0  D A2  B 2  D 2 2 . Пример. Найти длину высоты DH треугольной пирамиды с вершинами A(3;0;0) , B(3;3;0) , C (1;2;1) , D(1;1;2) . Решение. Составим уравнение плоскости (АВС) x y z 1 3 0 0 1  ABC :  0, 3 3 0 1 1 1 2 1 3 0 1 x y 1  ABC : z 3 3 1  2 3 0 1  0 , 1 1 1 3 3 1  ABC : z9  3  3  3  2(9  3 y  3x  3 y)  0 ,  ABC : 6x  6z  18  0 ,  ABC : x  z  3  0 . Таким образом, 1  2  3 2 11 . DH  d D,  ABC   11 11 ВЫЧИСЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ Пусть на плоскости заданы две плоскости  1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 , и  2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 . Определение. Под углом между двумя плоскостями  1 и  2 понимается наименьший угол, между их векторами нормали:   n1  n2 A1 A2  B1 B2  C1C 2   cos 1 ˆ;  2   cosn1 ˆ; n2      . 2 2 2 2 2 2 n1  n2 A1  B1  C1  A2  B2  C 2 Пример. Две плоскости заданы уравнениями  1 : x  2 y  2 z  8  0 ,  2 : x  z  6  0 . Найдем угол между этими плоскостями.   n1  1;2;2, n2  1;0;1. Таким образом, 1 2  2 , . cos 1 ˆ;  2    4 2 1 4  4  2 ВИДЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Определение. Уравнение с тремя неизвестными x , y , z называется уравнением прямой l , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на прямой l и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на прямой l . Положение прямой в пространстве относительно системы координат Уравнение прямой на плоскости однозначно можно задать 1. Точкой M 0 x0 , y0 ; z0  , принадлежащей 1.1. Параметрические уравнения пряпрямой, и направляющим вектором мой: 3  p  p1 , p2 , p2 , параллельным прямой l  x  x0  p1t ,   y  y0  p2t ,  z  z  p t. 3  1.2. Каноническое уравнение прямой: x  x0 y  y 0 z  z 0 .   p1 p2 p3 2. Уравнение прямой, проходящей через 2. Двумя различными точками две заданные точки: M 1 x1 , y1 ; z1  и M 2 x2 , y2 , z2 , принадлеx  x1 y  y1 z  z1 .   жащими прямой. x2  x1 y2  y1 z 2  z1 3. Общее уравнение прямой: 3. Пересечением двух плоскостей  A x  B1 y  C1 z  D1  0,  1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 и l : 1  2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 .  A2 x  B2 y  C2 z  D2  0. УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ x  x0 y  y0 z  z0 Пусть в пространстве заданы две прямые l : ,   p1 p2 p3 x  x0 y  y 0 z  z 0 . l:   p1 p2 p3 Найдём условия параллельности и перпендикулярности этих прямых p p p   l l  p p  1  2  3 . p1 p2 p3   l  l  p  p  p1 p1  p2 p2  p3 p3  0 . x  y  z  0 x  2 y 1 Пример. Покажем, что прямые l : па 3 z и l : x  y  5 z  8  3 2  раллельны.  Решение. Направляющий вектор прямой l имеет вид: p   3;2;1. Найдём направляющий вектор прямой l , записав её уравнение в каноническом виде: 2 x  6 z  8  0 ; l : 2 y  4 z  8  0 x4  z   3 l : ; y  4 z   2 x4 y4 z l:   . 3 2 1  Таким образом, p  3;2;1. 4 p1 p1  p2 p2  p3 p3  1  l l  x  2t  1 2 x  y  4 z  2  0  Пример. Показать, что прямые l :  y  3t  2 и l :  перпенди4 x  y  5 z  4    z  6t  1  кулярны.  Решение. Направляющий вектор прямой l имеет вид: p  2;3;6. Найдём направляющий вектор прямой l , записав её уравнение в каноническом виде: 6 x  9 z  6  0 ; l : 3 y  3z  0 2x  2  z  l : 3 ;  z  y x 1 y z l:   . 1,5 1 1  Таким образом, p  1,5;1;1. p1 p1  p2 p2  p3 p3  3  3  6  0  l  l . ВЫЧИСЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ x  x0 y  y0 z  z0 Пусть на плоскости заданы две прямые l : ,   p1 p2 p3 x  x0 y  y 0 z  z 0 . l:   p1 p2 p3 Определение. Под углом между двумя прямыми l и l понимается наименьший угол, при повороте на который прямая l совпадает с l .   p p  p1 p1  p 2 p 2  p3 p3  cosl ˆ; l   cos pˆ; p      2 2 2 2 2 2 p p p1  p 2  p3  p1  p 2  p3 x  y  z  4  0 Пример. Две прямые заданы уравнениями , l : 2 x  y  2 z  5   x  y  z  4  0 . Найдем угол между этими прямыми. l : 2 x  3 y  z  6  0 Решение. Найдём направляющий вектор каждой прямой. 3x  z  1  0 ; l :  3 y  4 z  13  0 5 Таким образом, 1  x  3 z  1   3 ; l : 13  y z  3  4  3  1 13 x y 3  3  z. l: 1 4 1 3 3  1 4   p   ; ;1 или p  1;4;3. 3 3  x  4z  6  0 ; l :  y  3z  2  0 x6   z   4 ; l : y  2 z   3 x6 y2 z l:   , 4 3 1 поэтому  p   4;3;1. Получаем, cosl ˆ; l    4  12  3  1  16  9  16  9  1 l ˆ; l   arccos 11 . 26 11 11  . 26  26 26 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ x  x0 y  y0 z  z0   Пусть в пространстве задана прямая l : , и плоскость p1 p2 p3  : Ax  By  Cz  D  0 . Найдём условия их параллельности и перпендикулярности.   l   p  n  p1 A  p2 B  p3C  0 A B C   l   p n    p1 p2 p3 6 ВЫЧИСЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ  ˆ; l   180 0  n ; p  , Ap1  Bp2  Cp 3   , cosn ˆ; p   2 2 2 2 2 2 A  B  C  p1  p 2  p3       sin  ˆ; l   sin 180 0  n ; p   cosn ˆ; p   Ap1  Bp2  Cp 3 . 2 2 2 A 2  B 2  C 2  p1  p 2  p3 x  2 y 1 z  3 Пример. Найти точку пересечения прямой l : и плоскости   2 3 1  : 2 x  3 y  z  0 и вычислить угол между ними. Решение. Запишем уравнение прямой l в параметрическом виде  x  2t  2,  l :  y  3t  1, z  t  1  Подставим в уравнение плоскости  , получим 2(2t  2)  3(3t  1)  t  3  0 , Откуда 5 t , 7 поэтому 4 8 16 l    M ( ; ; ) . 7 7 7 4  9 1 sin  ˆ; l    1, 4  9 1 4  9 1  ˆ; l   arcsin1  900 . 7