Проверка статистических гипотез. Однофакторный дисперсионный анализ. Правило сложения дисперсий

Тема 5 Метод статистической выборки и его приложения План 1. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 2. ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ 3. ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ ДИСПЕРСИЙ 4. ЭМПИРИЧЕСКИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ Проверка статистических гипотез Статистическая гипотеза – любое предположение о значениях или свойствах характеристик, а также предположение о виде закона распределения Схема проверки статистической гипотезы 1. 2. 3. 4. 5. Формулируется основная гипотеза 𝐻0 Выдвигаются одна или несколько конкурирующих гипотез 𝐻1 , 𝐻2 , … Вычисляется значение статистического параметра по данным выборки Определяется критическое значение статистического параметра Сравниваются наблюдаемое и критическое значения параметра Задача 1  Гипотеза о равенстве генерального среднего 𝑥 заранее определенному числовому значению 𝑎 𝜃= 𝑥−𝑎 ∙ 𝑛−1 𝑠 > 𝜃1−𝛼; 𝑛−1 В соответствии с технической документацией заводаизготовителя автомобилей расход топлива составляет 11,5 литров на 100 километров. При проверке 15 автомобилей партии получены следующие статистические данные. Проверить гипотезу о соответствии автомобилей технической документации. Задача 2  Гипотеза о равенстве двух генеральных средних 𝑥1 и 𝑥2 выборок из одной генеральной совокупности 𝜃= 𝑑∙ 𝑛 𝑠𝑑 > 𝜃1−𝛼; 𝑛−1 Для подтверждения результатов эксперимента было проведено повторное исследование расхода топлива. На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о несущественности отличия оценок генеральной средней, если в ходе второго опыта получен следующий ряд: 10,8; 10,8; 10,6; 11,4; 10,6; 11; 12,2; 12,2; 10,6; 12,2; 12; 10,7; 12,2; 11,5; 10,9 Задача 3  Гипотеза о равенстве двух генеральных средних 𝑥 и 𝑦 выборок из разных генеральных совокупностей 𝑥−𝑦 𝜃= >𝜃 1−𝛼; 𝑛1 +𝑛2 −2 2 2 𝑥𝑖 −𝑥 + 𝑦𝑗 −y 𝑛1 +𝑛2 −2 ∙ 1 1 + 𝑛1 𝑛2 При исследовании уровня заработной платы работников одной сферы в двух регионах получены следующие данные. проверить гипотезу об одинаковом уровне дохода работников сферы в этих двух регионах. Задача 4  Гипотеза о равенстве генеральных средних величин нескольких (более двух) выборок, каждая из которых имеет одинаковый объем Критерий согласия Пирсона 𝜒 𝑚 2 𝜒набл = 𝑖=1 𝑛𝑖 − 𝑛𝑝𝑖 𝑛𝑝𝑖 2 2 где 𝑚 – число интервалов эмпирического распределения, 𝑛 – число значений эмпирического распределения, 𝑛𝑖 –наблюдаемая частота 𝑖 − го интервала, 𝑝𝑖 – теоретическая вероятность того, что случайная величина примет значение из 𝑖 − го интервала 2 2 𝜒крит = 𝜒𝛼;𝑚−𝑟−1 𝑟 – число параметров выбранного закона распределения 𝛼 – уровень значимости 2 2 𝜒набл < 𝜒крит ХИ2.ОБР.ПХ(𝛼; 𝑚 − 𝑟 − 1) Вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала 𝑥𝑖 ; 𝑥𝑖+1 , равна 𝑝𝑖 = 𝐹 𝑥𝑖+1 − 𝐹 𝑥𝑖 Для нормального распределения 1 1 𝑥−𝑥 𝐹 𝑥 = + Φ 2 2 𝜎 Φ 𝑥 – функция Лапласа (НОРМ.СТ.РАСП(нормализованные значения признака;1)-0,5)*2 Однофакторный дисперсионный анализ Дисперсионный анализ – статистический метод, направленный на выявление существенности влияния одного или нескольких факторов на изучаемый признак j 1 2 … n … Эксперимент n 𝑥𝑗 i Эксперимент 1 Эксперимент 2 𝐹𝑖 1 Уровень фактора 1 𝑥11 𝑥12 𝑥1𝑛 2 Уровень фактора 2 𝑥21 𝑥22 𝑥2𝑛 … … m Уровень фактора m 𝑥𝑚1 𝑥𝑚2 𝑥𝑚𝑛 Этапы дисперсионного анализа 1. Вычисляются частные средние: 𝑥𝑖 = 𝑛 𝑗=1 𝑥𝑖𝑗 𝑛 2. Определяется общая средняя вариант: 𝑥общ = 𝑚 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑚 3. Вычисляются частные (внутригрупповые) дисперсии: 2 𝜎𝑖 = 𝑛 𝑗=1 𝑥𝑖𝑗 − 𝑥𝑖 𝑛 2 4. Определяется средняя внутригрупповая дисперсия: 𝜎2 = 𝑚 2 𝑖=1 𝜎𝑖 𝑚 5. Вычисляется межгрупповая дисперсия: 𝛿2 = 𝑚 𝑖=1 𝑥𝑖 − 𝑥общ 𝑚 2 6. Определяется значение статистики: 𝑚 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝛿2 𝐹= 𝑚 − 1 ∙ 𝜎2 7. Определяется критическое значения критерия Фишера-Снедекор: 𝐹 > 𝐹𝛼; 𝑚−1; 𝑚𝑛−𝑚 F.ОБР(1- 𝛼; первый_параметр; второй_параметр) Правило сложения дисперсий Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсии 2 𝜎 = 2 𝜎 + 2 𝛿 Внутригрупповая (частная) дисперсия 𝜎𝑖2 характеризует ту часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов Межгрупповая дисперсия 𝛿 2 определяет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием группировочного признака Общая дисперсия 𝜎 2 характеризует вариацию результативного признака под воздействием всех факторов Методика использования правила сложения дисперсий 1. Вычисляются частные средние: 𝑥𝑖 = 𝑛 𝑗=1 𝑥𝑖𝑗 𝑛𝑖𝑗 𝑛 𝑗=1 𝑛𝑖𝑗 2. Определяется общая средняя арифметическая вариант: 𝑥общ = 𝑚 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑚 𝑖=1 𝑛𝑖 3. Вычисляются частные (внутригрупповые) дисперсии: 2 𝜎𝑖 = 𝑛 𝑗=1 2 𝑥𝑖𝑗 − 𝑥𝑖 𝑛𝑖𝑗 𝑛 𝑗=1 𝑛𝑖𝑗 4. Определяется средняя внутригрупповая дисперсия: 𝜎2 = 𝑚 2 𝜎 𝑖=1 𝑖 𝑛𝑖 𝑚 𝑖=1 𝑛𝑖 5. Вычисляется межгрупповая дисперсия: 2 𝛿 = 𝑚 𝑖=1 𝑥𝑖 − 𝑥общ 𝑚 𝑖=1 𝑛𝑖 2 ∙ 𝑛𝑖 6. Находится общая дисперсия: 2 𝜎 = 𝜎2 +𝛿 2 Полученный результат целесообразно проверить, вычислив общую дисперсию по формуле: 𝜎2 = 𝑚 𝑖=1 2 𝑛 𝑗=1 𝑥𝑖𝑗 − 𝑥общ 𝑚 𝑛 𝑖=1 𝑗=1 𝑛𝑖𝑗 ∙ 𝑛𝑖𝑗 Эмпирический коэффициент детерминации Эмпирический коэффициент 2 детерминации 𝜂 – доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака 2 𝛿 2 𝜂 = 2 𝜎 Эмпирическое корреляционное отношение 𝜂 – корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации 𝜂= 2 𝛿 𝜎2 Таблица Чеддока η Теснота связи 0,1-0,3 0,3-0,5 0,5-0,7 0,7-0,9 0,9→1 Слабая Умеренная Заметная Тесная Очень тесная Проверка на значимость 2 𝜂 𝑛−𝑚 > 𝐹 𝛼;𝑚−1;𝑛−𝑚 2 1−𝜂 𝑚−1 где 𝐹𝛼;𝑚−1;𝑛−𝑚 – функция Фишера-Снедекора