Простейшие математические модели и основные понятия математического моделирования

ЛЕКЦИЯ № 1 ПРОСТЕЙШИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 1. Элементарные математические модели Рассмотрим некоторые подходы к построению простейших математических моделей, иллюстрирующие применение фундаментальных законов природы, вариационных принципов, аналогий, иерархических цепочек. Несмотря на простоту, привлекаемый материал даст возможность начать обсуждение таких понятий, как адекватность моделей, их «оснащение», нелинейность, численная реализация и ряда других принципиальных вопросов математического моделирования. 1.1 Фундаментальные законы природы. Наиболее распространенный метод построения моделей состоит в применении фундаментальных законов природы к конкретной ситуации. Эти законы общепризнаны, многократно подтверждены опытом, служат основой множества научно-технических достижений. Поэтому их обоснованность не вызывает сомнений, что, помимо всего прочего, обеспечивает исследователю мощную психологическую поддержку. На первый план выдвигаются вопросы, связанные с тем, какой закон (законы) следует применять в данном случае и как это делать. а) Сохранение энергии. Этот закон известен почти двести лет и занимает, пожалуй, наиболее почетное место среди великих законов природы. Полагаясь на него, эксперт по баллистике, желающий быстро определить скорость револьверной пули и не имеющий поблизости специальной лаборатории, может воспользоваться устройством относительно типа маятника простым — груза, подвешенного на легком жестком и свободно вращающемся стержне (рис. 1). Пуля, застрявшая в грузе, сообщит системе «пуля— груз» свою кинетическую энергию, которая в момент наибольшего отклонения стержня от вертикали полностью перейдет в потенциальную энергию системы. Эти трансформации описываются цепочкой равенств (0) Здесь mv2 /2 — кинетическая энергия пули массы ш, имеющей скорость v, М — масса груза, V — скорость системы «пуля—груз» сразу после столкновения, g — ускорение свободного падения, l — длина стержня, а — угол наибольшего отклонения. Искомая скорость определяется формулой (1) которая будет вполне точной, если не учитываемые нами потери энергии на разогрев пули и груза, на преодоление сопротивления воздуха, разгон стержня и т. д. невелики. Процессы, происходящие при «слипании» пули и маятника, уже не являются чисто механическими. Поэтому примененный для вычисления величины V закон сохранения механической энергии несправедлив: сохраняется полная, а не механическая энергия системы. Он дает лишь нижнюю границу для оценки скорости пули (для правильного решения этой простой задачи надо воспользоваться также законом сохранения импульса). Сходные рассуждения может применить и инженер для оценки времени tk сверления слоя металла толщины L лазером с мощностью W, излучение которого перпендикулярно поверхности материала (рис. 2). Если энергия лазера полностью идет на испарение столбика Рис. 2. Начальная, промежуточная и конечная стадии сверления металла лазером металла массы LSρ (S — облучаемая площадь, LS — объем столбика, ρ — плотность вещества), то закон сохранения энергии выражается равенством (2) где h — энергия, требуемая для испарения единицы массы. Величина h имеет составную структуру: h = (Тпл — Т)h1+h2+h3 поскольку материал необходимо последовательно нагреть до температуры плавления Тпл, а затем расплавить и превратить в пар (Т — исходная температура, h1 — удельная теплоемкость, h2 и h3 — соответственно удельная теплота плавления и парообразования). Изменение глубины выемки l(t) со временем определяется из детального баланса энергии в промежутке времени от t до t + dt. На испаренную за это время массу тратится энергия dlhSρ, равная энергии Wdt, сообщаемой веществу лазером: dl hSp = Wdt, откуда получается дифференциальное уравнение Его интегрирование (с учетом того, что начальная глубина выемки равна нулю) дает (3) где E(t) — вся энергия, выделенная лазером к моменту времени t., следовательно, глубина выемки пропорциональна затраченной энергии (причем величина, когда l(tk) = L, совпадает с вычисленной по формуле (2)). В действительности процесс сверления гораздо сложнее рассмотренной схемы — энергия тратится на нагрев вещества, на удаление паров из выемки, которая может иметь неправильную форму, и т. д. Поэтому уверенность в правильности предложенного математического описания значительно меньше, чем в случае с пулей. Вопрос о соответствии объекта и его модели — один из центральных в математическом моделировании, и в дальнейшем мы будем неоднократно к нему возвращаться. б) Сохранение матери Пусть, например, имеется небольшое количество радиоактивного вещества (урана), окруженного толстым слоем «обычного» материала (свинца), — ситуация типичная либо при хранении делящихся материалов, либо при их использовании в энергетике (рис. 3). Под словом «небольшой» подразумевается упрощающее обстоятельство, а именно то, что все продукты распада, не испытывая столкновений с атомами вещества, беспрепятственно покидают область I. Другими словами, длина свободного пробега продуктов распада 1 в первом веществе значительно больше характерных размеров самого материала L1, т. е. λ1 ≫ 𝐿1. Слова «толстый слой» означают, что в согласии с целями хранения продукты деления полностью поглощаются в области II. Это гарантируется при выполнении противоположного условия λII≪LII, где λII — длина пробега продуктов распада во втором веществе, LII — его характерный размер. Итак, все, что вылетает из области I, поглощается в области II, и суммарная масса обоих веществ со временем не меняется. Это и есть закон сохранения материи, примененный к данной ситуации. Если в начальный момент времени t = 0 массы веществ были равны MI(0) и МII(0), то в любой момент времени справедлив баланс (4) Одного уравнения (4), очевидно, недостаточно для определения текущих значений двух масс — MI(t) и MII(t). Для замыкания математической формулировки необходимо привлечь дополнительное соображение о характере распада. Оно гласит, что скорость распада (число атомов, распадающихся в единицу времени) пропорционально общему числу атомов радиоактивного вещества. За небольшое время dt между моментами t и t + dt всего распадется атомов. Здесь вторично использован закон сохранения вещества, но применительно не ко всему процессу, а к отрезку времени dt. В этом уравнении, описывающем баланс атомов, в правой части стоит знак минус (вещество убывает), а величина NI(t + ξdt) отвечает некоторому среднему значению числа атомов за рассматриваемое время. Перепишем его в дифференциальной форме: Учитывая, что MI(t) = μINI(t), где μI — атомный вес вещества I, получаем (5) При самопроизвольной радиоактивности любой атом имеет некоторую не зависящую от состояния окружающего вещества вероятность распада. Поэтому чем больше (меньше) самого радиоактивного вещества, тем больше (меньше) выделяется продуктов распада в единицу времени. Коэффициент пропорциональности, а> 0 (постоянная распада) определяется конкретным веществом. Уравнения (4), (5) вместе с условиями λ1 ≫ 𝐿1 , λII≪LII, а также величинами α, MI(0), МII(0) и составляют математическую модель рассматриваемого объекта. Интегрируя (5), получаем, что масса делящегося материала убывает по экспоненциальному закону и при t →∞ в области I вещество полностью исчезает. Так как суммарная масса в соответствии с (4) остается постоянной, то в области II количество вещества растет: и при t →∞ продукты распада полностью переходят из области I в область II. в) Сохранение импульса. Неподвижно стоящая в безветренную погоду на поверхности озера лодка начнет двигаться вперед, если сделать несколько шагов от ее носа к корме. Так проявляет себя закон сохранения импульса, утверждающий: полный импульс системы, не испытывающей действия внешних сил, сохраняется. На передвижение гребца лодка реагирует смещением в противоположную сторону. Принцип реактивного движения положен в основу многих замечательных технических устройств, например, ракеты, выводящей на орбиту вокруг Земли искусственный спутник, для чего ей требуется развить скорость примерно 8 км/с. Простейшая математическая модель движения ракеты получается из закона сохранения импульса в пренебрежении сопротивлением воздуха, гравитацией и другими силами, исключая, конечно, тягу реактивных двигателей. Пусть продукты сгорания ракетного топлива покидают расположенные в кормовой части выхлопные сопла со скоростью и (для современных топлив величина и равна 3-5 км/с). За малый промежуток времени dt между моментами t и t + dt часть топлива выгорела, и масса ракеты изменилась на величину dm. Изменился также импульс ракеты, однако суммарный импульс системы «ракета плюс продукты сгорания» остался тем же, что и в момент ξ, т. е. где v(t) — скорость ракеты, v(t + ξdt) — и, 0 < ξ < 1 — средняя за промежуток dt скорость истекающих из сопел газов (обе скорости берутся относительно Земли). Первый член в правой части этого равенства — импульс ракеты в момент t + dt, второй — импульс, переданный истекающим газом за время dt. Учитывая, что m(t + dt) = m(t) + (dm/dt) dt + O(dt2), закон сохранения импульса можно переписать в виде дифференциального уравнения в котором член — (dm/dt) и, очевидно, не что иное, как сила тяги ракетных двигателей, и которое, будучи преобразованным к виду легко интегрируется: где vo, то — соответственно скорость и масса ракеты в момент t = 0. Если vo = 0, то максимальная скорость ракеты, достигаемая при полном сгорании топлива, равна (6) Здесь тр — полезная масса (масса спутника), ms — структурная масса (масса собственно ракетной конструкции — топливных баков, двигателей, систем управления и т. д.). Простая формула Циолковского (6) позволяет сделать фундаментальный вывод о конструкции ракеты для космических полетов. Введем величину , которая характеризует при тр = 0 отношение структурной и начальной масс ракеты. Тогда для практически реальных значений λ = 0,1, и = 3 км/с получаем при тр = 0 Отсюда следует, что даже в самой идеальной ситуации (полезная масса равна нулю, отсутствуют гравитация и сопротивление воздуха и т. д.) ракета рассматриваемого типа не способна достичь первой космической скорости. Тем самым необходимо использовать многоступенчатые ракеты — вывод, к которому пришли основоположники космонавтики. Данный пример иллюстрирует также своего рода принцип «наибольшего благоприятствия», часто используемый на начальной стадии математического моделирования сложных объектов: если объект, поставленный в наилучшие условия, не в состоянии достичь требуемых характеристик, то надо изменить сам подход к объекту либо смягчить требования к нему; если же требования в принципе достижимы, то следующие шаги связаны с исследованием влияния на объект дополнительных осложняющих факторов.