Проекции

Системы координат и высот в геодезии Оглавление Лекция 5. Проекции 3 Лекция 5. Проекции Проекция Гаусса-Крюгера введена на всей территории РФ, но в некоторых случаях вводятся местные системы координат, параметры которых (ширина зоны, значения L0 , x0 , y0 , размеры и сжатие эллипсоида) могут отличаться от стандартных значений. Пространственные эллипсоидальные координаты B, L, H относятся к математически правильной поверхности эллипсоида вращения, аппроксимирующего реальную поверхность Земли. Геодезическая широта B численно равна величине острого угла между нормалью к поверхности эллипсоида в данной точке и плоскостью экватора. Геодезическая долгота L соответствует величине двугранного угла, образованного плоскостями начального меридиана и меридиана данной точки. Геодезическая высота H равна длине отрезка нормали между данной точкой и поверхностью эллипсоида. В проекции Гаусса-Крюгера земной эллипсоид разбивается на зоны по долготе шириной 6. Каждая зона представляет собой сферический двуугольник, образованный граничными меридианами, и имеет собственную систему плоских прямоугольных координат. Осевой меридиан зоны и линия экватора изображаются на плоскости прямыми линиями, меридиан проецируется без искажения длины. Ось абсцисс совпадает с изображением осевого меридиана, ось ординат - с изображением экватора. Чтобы избежать отрицательных значений, действительное значение y’ ординаты увеличивают на величину y0 = 500 000 м, кроме того, слева добавляют номер зоны. Рис. 1 Элементы проекции Гаусса-Крюгера Земной эллипсоид вращения служит общим местом рассмотрения положения объекта в различных системах координат. Таблица 1 Характеристики эллипсоида Красовского № п/п Название эллипсоида Большая полуось, м Квадрат эксцентриситета e2 103 1 Красовского 6378245 6,693421623 Преобразования координат носят строго выраженные математические зависимости и в общем виде преобразование из геодезических координат BLH в координаты xyH, проекции Гаусса-Крюгера, осуществляется по формулам, представляющим собой степенные ряды. Теория и практика применения различных изображений (проекций) поверхности земного эллипсоида на плоскости изучается в математической картографии При любом изображении поверхности эллипсоида на плоскости изменяется взаимное положение точек, вследствие чего неизбежно возникают искажения длин линий, углов и площадей. Применение картографических проекций в геодезии имеет свои особенности. Если в математической картографии изображают на плоскости большие области или же всю поверхность эллипсоида, то в геодезии используют изображение сравнительно небольшой части поверхности эллипсоида. Основной причиной такого ограничения является практическое требование: линейные и угловые величины на поверхности эллипсоида должны, возможно, меньше отличаться от соответствующих величин на плоскости, т. е. величина линейных и угловых искажений должна быть сравнительно небольшой. Конечно, при любом изображении эллипсоида на плоскости можно вычислить все возникающие искажения. В геодезии на плоскости изображают лишь небольшую область поверхности эллипсоида, в пределах которой искажения невелики и вычисляются сравнительно просто. Если же требуется изобразить большую область, то ее приходится делить на отдельные небольшие участки, и каждый такой участок изображать на плоскости в своей системе плоских координат. Из множества картографических проекций в геодезии в настоящее время применяют только конформные (равноугольные) проекции. В конформных проекциях углы между линиями на поверхности при изображении этих линий на плоскости не изменяются, а масштаб в данной точке изображения не зависит от направления. Отсутствие угловых искажений не является главным преимуществом конформных проекций перед неконформными. Изображение геодезической линии на плоскости заменяют прямой линией — хордой, соединяющей конечные точки этого изображения. Отсюда возникает дополнительная задача — вычисление угла между изображением геодезической линии и хордой. Наиболее существенное преимущество конформных проекций — это независимость масштаба конформного изображения от направления в данной точке. Это свойство конформных проекций позволяет гораздо проще, чем в других проекциях, учитывать линейные искажения при выполнении геодезических и топографических работ. Связь между полярными координатами на эллипсоиде и плоскости На поверхности эллипсоида положение какой-либо точки Q2 по отношению к некоторой точке Q1 определяется геодезическими полярными координатами — длиной геодезической линии s между этими точками и ее геодезическим азимутом А12 в точке Q1. После того как поверхность эллипсоида изображена на плоскости, положение точки Q2 по отношению к точке Q1 будет определяться плоскими полярными координатами — длиной прямолинейного отрезка d и его направляющим углом 12 в точке Q1. Направляющий угол , отсчитываемый от координатной линии y=const, т. е. линии, параллельной оси абсцисс, по часовой стрелке до заданного направления на плоскости, называется дирекционным углом. Математическая обработка результатов геодезических измерений значительно проще выполняется на плоскости, чем на эллипсоиде. Поэтому необходимо найти формулы перехода от полярных координат s и A12 на эллипсоиде к им соответствующим полярным координатам d и 12 на плоскости. Геодезическая линия эллипсоида изображается на плоскости в виде некоторой кривой s, вид которой в общем случае неизвестен. Использование этой кривой для решения геодезических задач на плоскости практически невозможно. Поэтому вместо кривой S используют хорду d, стягивающую эту кривую между двумя заданными точками Q1 и Q2 (Рис. 2). Рис. 2 Связь азимута и дирекционного угла Для перехода от азимута A12 геодезической линии s к дирекционному углу α12 хорды d используют следующее равенство . Где - дирекционный угол; - азимут; - сближение меридианов; - поправка за кривизну. Поправку 12 называют сокращенно поправкой за кривизну. Ее отсчитывают от касательной к кривой S по часовой стрелке до хорды. Знак сближения меридианов совпадает со знаком разности долгот: . Для точек, расположенных к востоку от осевого меридиана, сближение меридианов всегда будет иметь знак плюс, а к западу — минус. Для приближенного определения сближения меридианов с точностью до 1' достаточно ограничиться первым членом в равенстве. Тогда . (1) Если же заданы плоские координаты, то предварительно находят приближенную широту В с точностью до 1' (по крупномасштабной карте), а затем применяют такую формулу: . (2) Точная формула имеет вид . (3) . (4) Представим формулы преобразования геодезических координат в плоские прямоугольные координаты поперечно-цилиндрической проекции Меркатора (EPSG). - большая полуось эллипсоида; - малая полуось эллипсоида; - сжатие эллипсоида; - второе сжатие эллипсоида ; - (сетка) назначенный масштабный коэффициент центрального меридиана; - параллель начальной геодезической широты (сетка); - центральный меридиан (ЦМ); - измененная координата E(восток) (константа присвоенная центральному меридиану); - измененная координата N(север) (константа, присвоенная широте сетки); - параллель геодезической широты, положительный N(север); - меридиан геодезической долготы, положительный E(восток); - восточная координата в проекции; - северная координата в проекции; - сходимость (сближение) меридианов; - масштабный коэффициент в точке сетки; - поправка в меридианный угол; - длина меридиана; - длина меридиана из экватора до , умноженный на масштабный коэффициент центрального меридиана; - разность восточных координат; - разность северных координат; ; - квадрат первого эксцентриситета ; - квадрат второго эксцентриситета ; - радиус кривизны первого вертикала; - геометрический средний радиус кривизны масштабированной сетки; - радиус исправленной сферы; - ; - азимут сетки; ; . Константы для дуги меридиана (формулы Hooijderg, Marten: Practical Geodesy, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1997, pages 81-84). ; ; ; ; ; (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) Формула дуги меридиана (14) (15) Прямое вычисление Вход: геодезические координаты точки Выход: сетка координат точки ; (16) ; (17) ; (18) ; (19) ; ; ; (20) ; (21) ; ; (22) ; (23) (24) (25) Обратные вычисления Вход: сетка координат точки Выход: геодезические координаты точки (26) (27) (28) , где (29) ; ; (30) ; (31) ; (32) (33) (34) (35) (36) Представим преобразование геодезических координат в плоские прямоугольные координаты в проекции Гаусса и обратно. Прямоугольные координаты вычисляются по формулам: (37) n – номер зоны, в который необходимо вычислить прямоугольные координаты. Геодезические координаты вычисляются по формулам: (38) Формулы (37), (38) позволяют преобразовать координаты с точностью до 1 метра, при удалении от осевого меридиана до 4o. Вычисление плоских прямоугольных координат в равноугольной проекции Гаусса-Крюгера осуществляется по формулам, представляющим собой степенные ряды. Общее решение задачи преобразования координат на произвольном эллипсоиде выполняется с погрешностью меньше 0.001 м. В процессе вычислений используются параметры эллипсоида , , а также долгота осевого меридиана зоны, значение ординаты (обычно ) осевого меридиана, смещение абсциссы (обычно ), и номер зоны . Преобразование : ; ; ; ; ; (39) ; ; ; ; (40) ; (41) ; ; (42) ;; (43) ; (44) ; (45) ; ; (46) ; (47) ; (48) ; (49) ; ; (50) ; ; (51) Преобразование : ; ; ; ; ; (52) ; ; ; (53) ; (54) ; ; ; (55) ; (56) ; (57) ; (58) ; ; (59) ; (60) ; (61) ;; (62) ; ; (63) Математические зависимости (39)-(63) справедливы также для поперечной проекции Меркатора и универсальной поперечной системы Меркатора (сетка UTM), принятых на зарубежных картах. Различие с точки зрения вычислений заключаются в том, что вводится масштабный коэффициент , а также получает смещение номер зоны ; (64) ; (65) ; (66) здесь индексы UTM и GK обозначают проекцию Меркатора и проекцию Гаусса-Крюгера.