Примеры решения задач на ДВПФ

Дискретные преобразования сигналов. Лекция 13 марта 2018 г.; МФТИ Примеры решения задач на ДВПФ  1. Найти ДВПФ периодической последовательности единичных импульсов  1 k  m  . m Решение.        j 2k    1 k  m  e j 2k .   1 k  m  e k   m m k   С учетом теоремы запаздывания ДВПФ имеем X    X     e j 2m . m Это есть ряд Фурье для периодической (по частоте) последовательности  - функций с периодом 1. Действительно   n     n    Cm e j 2m , m  где коэффициенты Фурье 1 2 j 2 m d   1.     e C m  1 2 Таким образом,   m n   m n X    e j 2m =      n  . Для   t  2f t  2 X     e jm =2      2n  . x(k) X(ν) (1) ~ ~ ДВПФ ~ ~ -3 -2 -1 0 1 2 3 k -3 -2 -1 0 x(k) 1 2 X(θ) 3 ν (2 ) ДВПФ ~ ~ ~ k −2π 0 2π ~ 2. Гармонический сигнал x(t )  cos 2 f 0t дискретизуется так, что на периоде образуется 8 отсчетов, 0 t   / 4 или  0  1/ 8. 1. 2. Изобразить последовательность x(k ) и ее спектр. Найти и изобразить по модулю ДВПФ последовательности 15 y (k )   x(m)1(k  m). m0 Решение 1. Представим косинусоиду в виде 1 Дискретные преобразования сигналов. Лекция 13 марта 2018 г.; МФТИ x(k )  cos2f 0 k t  cos20 k , где 0  f 0 t  f 0 / f д  частота косинусоиды, нормированная к частоте дискретизации (доли частоты дискретизации). Спектр дискретизованной косинусоиды – две дельта-функции (с весом 1/2) в точках 0 , повторяющиеся с периодом 1. X(𝜈) x(k) ≈ ≈ ≈ ≈ −𝜈0 ν0 ν Решение 2. Последовательность y(k ) представляет собой отрезок из двух периодов косинусоиды. 1 1 С учетом того, что cos 2 0k  exp( j 2 0k )  exp( j 2 0k ) можем записать для ДВПФ после2 2 довательности y(k ) 1  N 1  j 2  0 k  N 1 1  N 1  j 2  0 k  1 k  m e     1 k  m  e        m 0 2  k 0  m 0 2  k 0 1 1 sin     N sin      0  N    j 0  N 1 2  j 0  N 1 2 e  e  . sin      0  sin      0  Y   N 1  Модуль этой функции изображен на рисунке для N=16. б N∕2 |Y(ν)| ·   +1/N −1· ·−ν·0 · · 0 ν0 · 1· 3. Доказать, что ДВПФ последовательности единичных импульсов с периодом L   1 (k  mL) m   есть последовательность -функций с периодом 1/L (площади равны 1/L)  (1/ L)   (v  n / L) . n  2 ν Дискретные преобразования сигналов. Лекция 13 марта 2018 г.; МФТИ Решение. Обозначим   x(k )  m   1(k  m) и x1 ( k )    1(k  mL). m   Последовательность x1 (k ) получается, если между каждой парой отсчётов последовательности x(k ) вставить L  1 нулей. Для случая L  3 это иллюстрируется на рис. 3.1. Рис. 3.1 Вычисление ДВПФ дает (с учётом теоремы запаздывания) X 1 (v )      1 (k  m L) e j 2 vk    k  m     m  k  1 (k  m L) e j 2 vk    e j 2 vLm . m  Это есть ряд Фурье (по оси v) периодической последовательности -функций с площадями и периодом 1/L. Действительно Действительно   m n      m / L    Cn e j 2Ln , где коэффициенты Фурье 1 Cn 1 2 1      e j 2Ln d   .  L 1 L 2 Следовательно X 1 (v)  (1/ L)    (v  n / L). n  Для случая L  3 это иллюстрируется на рис. 3.1. 4. Теорема об изменение масштаба для ДПФ:   x (m) 1 (k  mL)  X ( L) . k  3 Дискретные преобразования сигналов. Лекция 13 марта 2018 г.; МФТИ Решение. В качестве примера рассмотрим последовательность x(k ) из пяти отсчётов одиночного прямоугольного импульса. ДВПФ этой последовательности X ( )  2  k  2  2 x(k ) e  j 2 k   e  j 2 k  e j 4 k  2 1  e  j 2 5 e 1  e  j 2 j 4 e  j 5 sin  5   e  j sin  sin  5 . sin  Таким образом, ДВПФ последовательности из N = 5 отсчетов прямоугольного импульса представляется выражением sin  N sin 5  X ( )   sin  sin  и изображено на рис. 4.1а справа. Функция X ( ) периодична с периодом, равным 1. а) б) Рис. 4.1 Образуем новую последовательность y(k ) путем добавления L–1 нулей между каждой парой отсчетов x(k ) : y (k )    x (m) 1(k  mL). m  Эта последовательность показана на рис. 4.1б для случая L  2. Новая последовательность с измененным масштабом имеет ДВПФ Y (v )    y (k ) e j 2 vk  k      m    x ( m)  k     x (m) 1 (k  m L) e j 2 vk    k   m   1(k  mL) e j 2 vk   x (m) e j 2 vmL  X (vL).  m   Функция Y (v) периодична с периодом 1/ L и сжата по оси v в L раз. Случай L  2 изображен на рис. 4.1.б. 4 Дискретные преобразования сигналов. Лекция 13 марта 2018 г.; МФТИ 5. Пример применения теоремы о свертке для ДВПФ. Рассмотрим прямоугольное окно 1, k  N / 2, w (k )   0, k  N / 2. ДВПФ этого временного окна (см. предыдущую задачу) W( f )  t N /2 e  j 2 f k  t   t  k   N /2 sin  ( N  1) f  t sin  f  t при больших N ведёт себя как функция sin x / x, имеющая пульсирующий характер из-за наличия боковых лепестков. Рассмотрим теперь треугольное окно  k  1 , k  N , w1 (k )   N 0 , k N,  которое получается свёрткой двух прямоугольных окон каждое длительностью в N  1 отсчётов:  1  N /2 w1 (k )     w(m) w(k  m) . N  1     m   N /2 1 Нормирующий множитель в формуле свертки необходим, чтобы выполнялось условие w1 (0)  1.  N  1 По теореме о свёртке ДВПФ треугольного окна 2 t  sin ( N  1) f  t  W1 ( f )   t  w1 (k ) e    N 1  sin f  t k  N  По сравнению с прямоугольным, треугольное спектральное окно имеет меньший уровень боковых лепестков. N  j 2 f k  t Задачи к лекции 13 марта 2018 г. 1. Пусть x (k ) – финитная последовательность x(k )  {2 1  1 0 3 2 0  3 4},  k  0, имеющая ДВПФ X (). Вычислить следующие функции от X (), не вычисляя самого ДВПФ: а) X (0); б) X (1/ 2); в) 1/ 2  X ()d ; г) 1 / 2 1/ 2  1 / 2 2 X () d ; д) 1/ 2  1 / 2 2 dX () d . d 2. Определить и изобразить по модулю ДВПФ для последовательности 2 x(k )  cos( 4k ), 0  k  15. N Следующие задачи полезны для подготовки к курсовой работе 5 Дискретные преобразования сигналов. Лекция 13 марта 2018 г.; МФТИ   Теорема Котельникова (случай нефинитного спектра). Найти и изобразить ДВПФ 16 - точечных последовательностей 15 x(k )   1(k  m) и y(k )  x(k )cos(2 6k / N ) . m0  Найти и изобразить по модулю дискретное во времени преобразование Фурье (ДВПФ) для последовательности x(k )  cos k ,   k  . Изобразить спектр новой последователь- 4 ности 15 y (k )   x(m)1(k  m) . m 0    Теорема Котельникова в частотной области. Спектр идеально дискретизованного сигнала. Найти ДВПФ последовательности x(k )  a k u  k  5  , где  a  1, u  k   дискретная функция включения. Определить обратное ДВПФ для функции X ()    cos n,   t . n   Теорема об изменении временного масштаба для ДВПФ. В качестве иллюстрации ис- пользовать последовательность из 10 отсчётов прямоугольного импульса.  Доказать ортогональность функций отсчетов k (t )   sin 2 f в (t  k t ) 1 , t  , на бесконечном интервале (, ) . 2 f в (t  k t ) 2 fв Определить спектр функции отсчетов. 6