Примеры построения математических моделей

Лекция 2 Примеры построения математических моделей Движение тела под действием силы тяжести в среде с сопротивлением На примере этой простой задачи мы подробно рассмотрим весь путь построения модели и принимаемые допущения, которые определяют условия адекватности моделирования. Итак, пусть рассматриваемый объект представляет собой тело определенных размеров, которое совершает прямолинейное движение под действием силы тяжести и при этом испытывает сопротивление движению со стороны окружающей среды. Расчетная схема процесса представлена на рис. 1. Рис. 1. Допущения, принятые при построении такой модели. 1. Тело имеет правильную геометрическую форму (например, шара); его движение происходит прямолинейно под действием силы тяжести и силы сопротивления. Действительно, законы движения шарообразного тела и тела, имеющего форму пластины, имеют существенное различие. 2. Масса тела — постоянная величина. Таким образом, модель не описывает, например, движение тел, вещество которых испаряется, сгорает или растворяется. 3. В процессе движения форма тела не изменяется. А вот, скажем, капля жидкости или пузырек газа изменяют свою форму, поэтому для описания их движения требуются намного более сложные модели. 4. Плотность тела существенно выше плотности окружающей среды; таким образом, силой Архимеда можно пренебречь. В соответствии с этим допущением из рассмотрения исключаются процессы, в которых сила Архимеда имеет определяющее значение. Например, всплывающий газовый пузырек намного легче окружающей жидкости, и его движение подчиняется более сложным законам, в соответствии с которыми траектория его движения будет иметь волнообразный характер. 5. Вращение тела отсутствует. Таким образом, например, полет футбольного мяча данная модель в полной мере описать не в состоянии. 6. Сила сопротивления линейно зависит от скорости движения тела: F= -kV. Данное допущение справедливо в определенном диапазоне скоростей движения тела. На практике же часто реализуется квадратичный закон сопротивления: F = -k*V*|V|. 7. Сила тяжести рассматривается как постоянная величина. Таким образом, модель не распространяется на описание процессом космического масштаба (например, движения космического лета тельного аппарата по околоземной орбите или полета метеорита). Если перечисленные допущения выполняются, то тело можно считать материальной точкой, движение которой описывается законами классической механики. Все указанные допущения направлены на то, чтобы определить область корректного применения законов движении материальной точки. Однако определение значения коэффициент к возможно только путем идентификации или с помощью полуэмпири ческих зависимостей. На данном примере мы хотим подчеркнуть, что любая модель имеет свою область применения. Действительно, перечень допущений достаточно велик, а невыполнение любого из них приведёт к неадекватным результатам моделирования. Например, вращение тела при движении в среде с сопротивлением создает дополнительную силу (эффект Магнуса); проявление данного эффекта можно наблюдать в ходе любого футбольного матча. Цель моделирования: построить модель, на основе которой можно определить закон изменения скорости движения тела V(t) и изменения координаты X(t) во времени. В соответствии с принятыми допущениями модель движения тела строится на основе второго закона Ньютона. Система дифференциальных уравнений, описывающая движение тела, имеет вид с начальными условиями: V(t = 0) = V0; x(t = 0). Данная модель имеет четыре параметра, что существенно затрудняет ее анализ. Для упрощения анализа результатов моделирования необходимо свести количество параметров к минимуму. Преобразуем модель к безразмерному виду следующим образом: Определим безразмерную скорость как отношение текущего иачения скорости V к ее начальному значению V0 () и преобразуем уравнение движения: Обозначим через t* = V0/g характерное время процесса. Введем безразмерное время: . Тогда уравнение движения примет вид: Обозначим буквой — безразмерный коэффициент сопротивления. С учетом принятых обозначений запишем уравнение движения в следующей форме: Кинематическое уравнение преобразуется аналогичным образом: В итоге получим систему безразмерных дифференциальных уравнений: с начальными условиями: . Таким образом, после преобразований задача приведена к безразмерномувиду и имеет всего один безразмерный параметр . Конечно же анализ свойств подобной модели проводить значительно проще, чем исходной. При анализе модели в исходном размерном виде, задав конкретные значения параметров, мы установим свойства лишь единственной конкретной системы. Анализ же модели в безразмерной форме для заданного значения дает информацию о свойствах бесконечного числа реальных систем, для которых выполняется соотношение . Различные реальные системы, имеющие одинаковые значении параметра к, называются подобными, а параметр для данной задачи называется критерием подобия. В частном случае, когда Vo = 0, можно получить безразмерную модель с нулевым количеством параметров. Такая система называется автомодельной. В этом случае все реальные системы подобны друг другу. Таким образом, проделанные предварительные преобразования существенно повысили информативность модели и упростили дальнейший вычислительный эксперимент. Модель движения тела по баллистической траектории. Данная модель непосредственно связана с предыдущей. Будем считать, что все ранее принятые допущения справедливы. Различие же только состоит в начальных условиях: в начальный момент времени тело находится в точке с координатами x(0)=0, y(0)=0 (рис. 2) ) и начинает движение углом α со скоростью V0. тела в момент старта. Рис.2 Целью моделирования здесь является построение траектории движения в прямоугольной системе координат. Как и прежде модель строится на основе второго закона Ньютона и кинематических уравнений: Аналогичные простейшие преобразования уравнений модели дают следующий результат: Аналогичные преобразования проводятся и с кинематическими уравнениями. Тогда окончательно модель имеет два параметра: коэффициент сопротивления и угол начального движения (в отличие от исходной модели, которая имела пять параметров). В итоге паши модель принимает следующий вид: Тепловое взаимодействие тела с окружающей средой Имеется нагретое тело с параметрами m- масса тела и с- теплоёмкость, которые постоянны во времени. В начальный момент времени температура тела равна заданной величине: T(t = 0) = Т1 ,Т1 > Т0, где Т0 — температура окружающей среды (Т0 = const). Тепловое взаимодействие тела с окружающей средой происходит по поверхности тела площадью F = const. Задача: установить характер изменения температуры тела во времени T(t) после того, как началось его охлаждение. Модель такого процесса строится на основе закона сохранения энергии в форме уравнения теплового баланса: Левая часть этого уравнения отражает скорость изменения во времени количества тепла в нагретом теле, а правая соответствует скорости передачи тепла в окружающую среду через боковую поверхность тела. Данная величина пропорциональна площади боковой поверхности тела и разности температур, а α — это коэффициент теплопередачи, который определяется на основе полуэмпирических зависимостей. Такая модель адекватно описывает процесс только в том случае, когда скорость распространения тепла внутри тела за счет теплопроводности намного больше скорости теплоотдачи через боковую поверхность тела —иначе нельзя полагать, что температура тела по его объёму будет иметь равномерное распределение. Преобразуем уравнение к безразмерной форме: Где t*- характерное время (масштаб) процесса, t —безразмерное время| процесса: t = t/t*. Определим безразмерную температуру: Кинетика химической реакции Имеется автоклав, в котором происходит некая химическая реакция. Концентрация реагента одинакова по всему объёму автоклава. Предполагается, что скорость изменения концентрации реагента описывается на основе закона действующих масс следующим уравнением химической кинетики: dc/dt=-kc, где k- константа скорости химической реакции (примем, что k = const), а с — концентрация реагента. Реакция имеет первый порядок, так как ее скорость линейно зависит от концентрации. В начальный момент времени концентрация реагента задана: ' с(0) = с0. Проведем преобразования исходной модели к безразмерному виду: После преобразования начальные условия примут вид: с(0)= 1. Полученная модель по форме записи полностью совпадает с моделью остывания нагретого тела. Оба этих примера показывают, что разнородные по своей физической природе процессы могут описываться тождественными безразмерными математическими моделями, демонстрируя явление аналогии. Построение безразмерных обобщенных моделей Математические модели многих объектов или процессов, как правило, имеют достаточно большое число параметров, и это существенно затрудняет выявление каких-либо закономерностей. Построение безразмерной модели еще на этапе, предшествующем проведению вычислительных экспериментов с математической моделью, позволяет существенно повысить ее информативность и информа-тивность результатов моделирования. Это следствие сокращения количества параметров и выявления безразмерных комплексов, которые определяют свойства моделируемого объекта. Построение безразмерной модели позволяет установить законы подобия. Именно при построении моделей технических объектом были впервые разработаны основные положения теории подобия, которые впоследствии нашли применение при решении многих задач В предыдущем разделе такие преобразования нами уже производились; теперь же мы рассмотрим общую методику, суть которой состоит в следующем. 1.Построение модели — математическая модель строится в виде системы уравнений в размерной форме; только в этом виде уравнения отражают «физическую» суть моделируемых процессов. 2.Определение безразмерных переменных — все переменные (пространственные координаты, время, искомые функции) представляются в безразмерной форме путем введения неопределенных масштабов. 3.Преобразование модели к безразмерному виду— уравнения, краевые и начальные условия чисто алгебраическими методами преобразуются к безразмерному виду; в этом случае в уравнениях образуются безразмерные комплексы размерных параметром которые включают неопределенные масштабы. 4.Определение масштабов — безразмерные комплексы, содержащие неопределенные масштабы, приравниваются единице, тем самым образуется система алгебраических уравнений, решение которой дает выражения для неопределенных масштабов. Разумеется, количество алгебраических уравнений, которые используются для определения масштабов, должно быть равно количеству неопределённых масштабов. В оставшихся безразмерных комплексах масштабы получают конкретные значения. Эти комплексы и образуют безразмерные параметры задачи. Таким чисто формальным путем могут быть получены естественные безразмерные параметры модели, которые в каждом конкретном случае имеют свой «физический» смысл. Результаты же исследования безразмерной модели распространяются на множество реальных объектов, для которых безразмерные параметры имеют одинаковое значение. В качестве примера рассмотрим преобразование к безразмерному виду модели динамической системы, которая представляет собой тело m, совершающее колебания под действием упругой пружины и сил трения. Схема объекта исследования представлена на рис. 3. Рис.3 1. Построение модели. Исходная размерная модель, записанная в виде системы дифференциальных уравнений, имеет вид: x(t = 0) = х0; V(t = 0) = 0, m - масса тела, х — координата тела, V — его скорость, с — жесткость пружины, k— коэффициент трения. Значение х = 0 соответсвует положению равновесия.  Определение безразмерных переменных. Определим безразмерные переменные, используя следующие соотношения: Вопросы. 1. Что будет, если убрать допущение о том, что плотность падающего шарика будет больше плотности окружающей среды. 2. Написать математическую модель движения шарика при отсутствии силы трения. 3. К чему приведет отказ от допущения, что теплопроводность внутри тела будет много больше теплоотдачи в окружающую среду.